2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第一章 集合与常用逻辑用语第3课时 逻辑联结词、全称存在量词

《最高考系列 高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第一章 集合与常用逻辑用语第3课时 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1. (选修11P 20第4(1)题改编)命题“若a 、b 、c 成等比数列，则ac ＝b 2”的逆否命题是________________________________________________________________________．答案：若ac≠b 2，则a 、b 、c 不成等比数列2. (选修11P 20第6题改编)若命题p 的否命题为q ，命题q 的逆否命题为r ，则p 与r 的关系是__________．答案：互为逆命题 3. (选修11P 20第7题改编)已知p 、q 是r 的充分条件，r 是s 的充分条件，q 是s 的必要条件，则s 是p 的__________条件．答案：必要不充分 4. (原创)写出命题“若x ＋y ＝5，则x ＝3且y ＝2”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．答案：逆命题：若x ＝3且y ＝2，则x ＋y ＝5.是真命题． 否命题：若x ＋y≠5，则x≠3或y≠2.是真命题． 逆否命题：若x≠3或y≠2，则x ＋y≠5.是假命题． 5. 下列命题中的真命题有________．(填序号)①$ x ∈R ，x ＋1x＝2；② $x ∈R ，sinx ＝－1；③ "x ∈R ，x 2>0；④ "x ∈R ，2x>0. 答案：①②④解析：对于①，x ＝1时，x ＋1x ＝2，正确；对于②，当x ＝3π2时，sinx ＝－1，正确；对于③，x ＝0时，x 2＝0，错误；对于④，根据指数函数的值域，正确．6. 命题p ：有的三角形是等边三角形．命题綈p ：____________________________． 答案：所有的三角形都不是等边三角形1. 四种命题及其关系 (1) 四种命题(2)(3) 四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．2. 充分条件与必要条件(1) 如果pÞq，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2) 如果pÞq，且q p，那么称p是q的充要条件，记作pÛq.(3) 如果pÞq，qÞ /p，那么称p是q的充分不必要条件．(4) 如果qÞp，pÞq，那么称p是q的必要不充分条件．(5) 如果pÞ/ q，且qÞ/ p，那么称p是q的既不充分也不必要条件．3. 简单的逻辑联结词(1) 用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．(2) 用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．(3) 对一个命题p全盘否定记作綈p，读作“非p”或“p的否定”．(4) 命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断p∧q中p、q有一假为假，p∨q有一真为真，p与非p必定是一真一假．4. 全称量词与存在量词(1) 全称量词与全称命题短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，并用符号“" x”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为"x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．(2) 存在量词与存在性命题短语“有一个”“有些”“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，并用符号“$x”表示．含有存在量词的命题，叫做存在性命题．存在性命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为$x∈M，p(x)，读作“存在一个x属于M，使p(x)成立”．5. 含有一个量词的命题的否定[备课札记]题型1 否命题与命题否定例1 (1) 命题“若a ＞b ，则2a ＞2b－1”的否命题为____________________________；(2) 命题：“若x 2＋x －m ＝0没有实根，则m≤0”是____(填“真”或“假”)命题； (3) 命题p ：“有些三角形是等腰三角形”，则Øp 是____________________．答案：(1) 若a≤b，则2a ≤2b－1 (2) 真 (3) 所有三角形都不是等腰三角形解析：(2) 很可能许多同学会认为它是假命题原因为当m ＝0时显然方程有根，其实不然，由x 2＋x －m ＝0没实根可推得m<－14，而{m|m<－14}是{m|m≤0}的真子集，由m<－14可推得m ≤0，故原命题为真，而它的逆否命题“若m>0，则x 2＋x －m ＝0有实根”显然为真，其实用逆否命题很容易判断它是真命题．(3) Øp 为“对任意x∈A，有p(x)不成立”，它恰与全称性命题的否定命题相反． 变式训练把下列命题改写成“若p 则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题． (1) 正三角形的三个内角相等；(2) 已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＝b ，c ＝d ，则a ＋c ＝b ＋d.解：(1) 原命题：若一个三角形是正三角形，则它的三个内角相等． 逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则这个三角形是正三角形． 否命题：若一个三角形不是正三角形，则它的三个内角不全相等．逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，那么这个三角形不是正三角形． (2) 原命题：已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＝b ，c ＝d ，则a ＋c ＝b ＋d. 逆命题：已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＋c ＝b ＋d ，则a ＝b 且c ＝d.否命题：已知a 、b 、c 、d 是实数，若a 与b ，c 与d 不都相等，则a ＋c≠b＋d. 逆否命题：已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＋c≠b＋d ，则a 与b ，c 与d 不都相等． 题型2 充分必要条件例2 已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，若Øp 是Øq 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：Øp ：x 2－8x －20＞0，得x ＜－2或x ＞10， 设A ＝{x|x ＜－2或x ＞10}，Øq ：x 2－2x ＋1－m 2＞0，得x ＜1－m ，或x ＞1＋m ， 设B ＝{x|x ＜1－m 或x ＞1＋m}． ∵ Øp 是Øq 的必要非充分条件，∴ B 真包含于A ，即⎩⎪⎨⎪⎧1－m≤－21＋m≥10Þ m ≥9.∴ 实数m 的取值范围为m≥9. 备选变式（教师专享）下列四个结论正确的是________．(填序号)① “x ≠0”是“x＋|x|>0”的必要不充分条件；② 已知a 、b∈R ，则“|a＋b|＝|a|＋|b|”的充要条件是ab>0；③ “a>0，且Δ＝b 2－4ac≤0”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c≥0的解集是R ”的充要条件；④ “x ≠1”是“x 2≠1”的充分不必要条件．答案：①③解析：① 因为由x≠0推不出x ＋|x|>0，如x ＝－1，x ＋|x|＝0，而x ＋|x|>0 x ≠0，故①正确；因为a ＝0时，也有|a ＋b|＝|a|＋|b|，故②错误，正确的应该是“|a＋b|＝|a|＋|b|”的充分不必要条件是ab>0；由二次函数的图象可知③正确；x ＝－1时，有x 2＝1，故④错误，正确的应该是“x≠1”是“x 2≠1”的必要不充分条件．题型3 全称命题与存在性命题的否定例3 命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是________________________________．答案：存在一个不能被2整除的整数不是奇数 备选变式（教师专享）若命题改为“存在一个能被2整除的整数是奇数”，其否定为________________________________．答案：所有能被2整除的整数都不是奇数 题型4 求参数范围例4 已知命题p ：方程a 2x 2＋ax －2＝0在[－1，1]上有解；命题q ：只有一个实数x满足不等式x 2＋2ax ＋2a≤0，若命题“p 或q”是假命题，求实数a 的取值范围．解：由a 2x 2＋ax －2＝0，得 (ax ＋2)(ax －1)＝0，显然a≠0，∴ x ＝－2a 或x ＝1a .∵ x ∈[－1，1]，故⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a ≤1或⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a ≤1， ∴ |a|≥1.由题知命题q“只有一个实数x 满足x 2＋2ax ＋2a≤0”，即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点，∴ Δ＝4a 2－8a ＝0，∴ a ＝0或a ＝2，∴ 当命题“p 或q”为真命题时|a|≥1或a ＝0. ∵ 命题“p 或q”为假命题，∴ a 的取值范围为{a|－1<a<0或0<a<1}． 备选变式（教师专享）已知命题p ：函数y ＝log a (1－2x)在定义域上单调递增；命题q ：不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对任意实数x 恒成立．若p∨q 是真命题，求实数a 的取值范围．解：∵ 命题p ：函数y ＝log a (1－2x)在定义域上单调递增，∴ 0<a<1.又命题q ：不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对任意实数x 恒成立，∴ a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝4（a －2）2＋16（a －2）<0， 即－2<a≤2. ∵ p ∨q 是真命题，∴ a 的取值范围是－2<a≤2.1. 命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是___________________________ ________________________．答案：存在一个能被2整除的数不是偶数 2. 设α、β为两个不同的平面，直线l Ìα，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的________条件．答案：充分不必要解析：根据定理知由l⊥β可以推出α⊥β.反之不成立，仅当l 垂直于α、β的交线时才成立．3. “若a ＋b 为偶数，则a 、b 必定同为奇数或偶数”的逆否命题为______________________________．答案：若a 、b 不同为奇数且不同为偶数，则a ＋b 不是偶数4．已知命题p 1：函数y ＝ln(x ＋1＋x 2)，是奇函数，p 2：函数y ＝x 12为偶函数，则下列四个命题：① p 1∨p 2；② p 1∧p 2；③ (Øp 1)∨p 2；④ p 1∧(Øp 2)． 其中，真命题是________．(填序号) 答案：①④解析：由函数的奇偶性可得命题p 1为真命题，命题p 2为假命题，再由命题的真假值表可得②③为假，①④为真．1. 若a 、b 为实数，则 “0<ab<1”是“b<1a”的________条件．答案：既不充分也不必要解析：0<ab<1，a 、b 都是负数时，不能推出b<1a ；同理b<1a也不能推出0<ab<1.2. 在命题p 的四种形式的命题(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，正确命题的个数记为f(p)，已知命题p ：“若两条直线l 1：a 1x ＋b 1y ＋c 1＝0，l 2：a 2x ＋b 2y ＋c 2＝0平行，则a 1b 2－a 2b 1＝0”．那么f(p)＝________．答案：2解析：若两条直线l 1：a 1x ＋b 1y ＋c 1＝0与l 2：a 2x ＋b 2y ＋c 2＝0平行，则必有a 1b 2－a 2b 1＝0，但当a 1b 2－a 2b 1＝0时，直线l 1与l 2不一定平行，还有可能重合，因此命题p 是真命题，但其逆命题是假命题，从而其否命题为假命题，逆否命题为真命题，所以在命题p 的四种形式的命题(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，有2个正确命题，即f(p)＝2.3. 设命题p ：关于x 的不等式2|x －2|<a 的解集为 ；命题q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a)的值域是R .如果命题p 和q 有且仅有一个正确，求实数a 的取值范围．解：由不等式2|x －2|<a 的解集为Æ得a≤1.由函数y ＝lg(ax 2－x ＋a)的值域是R 知ax 2－x ＋a 要取到所有正数， 故⎩⎪⎨⎪⎧a>0Δ＝1－4a 2≥0 0<a ≤12 或a ＝0即0≤a≤12. 由命题p 和q 有且仅有一个正确得a 的取值范围是(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1. 4. 设数列{a n }、{b n }、{c n }满足：b n ＝a n －a n ＋2，c n ＝a n ＋2a n ＋1＋3a n ＋2(n ＝1，2，3，…)，求证：{a n }为等差数列的充分必要条件是{c n }为等差数列且b n ≤b n ＋1(n ＝1，2，3，…)．证明：必要性：设{a n }是公差为d 1的等差数列，则 b n ＋1－b n ＝(a n ＋1－a n ＋3) － (a n －a n ＋2)＝ (a n ＋1－a n ) － (a n ＋3－a n ＋2)＝ d 1－ d 1＝0， 所以b n ≤b n ＋1(n ＝1，2，3，…)成立．又c n ＋1－c n ＝(a n ＋1－a n )＋2(a n ＋2－a n ＋1)＋3(a n ＋3－a n ＋2)＝ d 1＋2d 1 ＋3d 1 ＝6d 1(常数)(n ＝1，2，3，…)，所以数列{c n }为等差数列． 充分性：设数列{c n }是公差为d 2的等差数列，且b n ≤b n ＋1(n ＝1，2，3，…)． ∵ c n ＝a n ＋2a n ＋1＋3a n ＋2， ① ∴ c n ＋2＝a n ＋2＋2a n ＋3＋3a n ＋4， ②①－②，得c n －c n ＋2＝(a n －a n ＋2)＋2 (a n ＋1－a n ＋3)＋3 (a n ＋2－a n ＋4)＝b n ＋2b n ＋1＋3b n ＋2. ∵ c n －c n ＋2＝(c n －c n ＋1)＋(c n ＋1－c n ＋2)＝ －2d 2， ∴ b n ＋2b n ＋1＋3b n ＋2＝－2d 2， ③从而有b n ＋1＋2b n ＋2＋3b n ＋3＝－2d 2， ④④－③，得(b n ＋1－b n )＋2 (b n ＋2－b n ＋1)＋3 (b n ＋3－b n ＋2)＝0.⑤ ∵ b n ＋1－b n ≥0，b n ＋2－b n ＋1≥0，b n ＋3－b n ＋2≥0， ∴ 由⑤得b n ＋1－b n ＝0(n ＝1，2，3，…)．由此不妨设b n ＝d 3 (n ＝1，2，3，…)，则a n －a n ＋2＝d 3(常数)． 由此c n ＝a n ＋2a n ＋1＋3a n ＋2 c n ＝4a n ＋2a n ＋1－3d 3， 从而c n ＋1＝4a n ＋1＋2a n ＋2－5d 3，两式相减得c n ＋1－c n ＝2(a n ＋1－a n ) －2d 3，因此a n ＋1－a n ＝12(c n ＋1－c n )＋d 3＝12d 2＋d 3(常数) (n ＝1，2，3，…)，∴ 数列{a n }为等差数列．1. 在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可．对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手．2. 充要条件的判断，重在“从定义出发”，利用命题“若p ，则q”及其逆命题的真假进行区分，在具体解题中，要注意分清“谁是条件”“谁是结论”，如“A 是B 的什么条件”中，A 是条件，B 是结论，而“A 的什么条件是B”中，A 是结论，B 是条件．有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分．3. 含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1) p∨q：p 、q 中有一个为真，则p∨q 为真，即一真全真； (2) p∧q：p 、q 中有一个为假，则p∧q 为假，即一假即假； (3) Øp ：与p 的真假相反，即一真一假，真假相反．请使用课时训练(A)第3课时(见活页)．[备课札记]。