[工学]随机过程及其应用_习题答案陆大金

第一章概论

第1题

某公共汽车站停放两辆公共汽车A 和B ，从t=1秒开始，每隔1秒有一乘客到达车站。如果每一乘客以概率

21登上A 车，以概率2

1

登上B 车，各乘客登哪一辆车是相互统计独立的，并用j ξ代表t=j 时乘客登上A 车的状态，

即乘客登上A 车则j ξ＝1，乘客登上B 车则j ξ＝0，则,21

}0{,21}1{====j j P P ξξ当t ＝n 时在A 车上的乘客数为n n j j n ηξη,1

∑==是一

个二项式分布的计算过程。

（1）求n η的概率，即;,...,2,1,0?}{n k k P n ===η

（2）当公共汽车A 上到达10个乘客时，A 即开车（例如t ＝21时921=η，且t ＝22时又有一个乘客乘A 车，则t ＝22时A 车出发），求A 车的出发时间n 的概率分布。

解（1）：

n

n k n k P ⎟⎠

⎞

⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==21}{η

解（2）：

n

n n n P P ⎟⎠

⎞⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎠

⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−==−2191212191A)10n 9A 1-n (}

n A {1

名乘客登上车时刻第名乘客；在有时刻，车在开车在时刻车

第2题

设有一采用脉宽调制以传递信息的简单通信系统。脉冲的重复周期为T ，每一个周期传递一个值；脉冲宽度受到随机信息的调制，使每个脉冲的宽度均匀分布于（0，T ）内，而且不同周期的脉宽是相互统计独立的随机变量；脉冲的幅度为常数A 。也就是说，这个通信系统传送的信号为随机脉宽等幅度的周期信号，它是以随机过程)(t ξ。图题1－2画出了它的样本函数。试求)(t ξ的一维概率密度)(x f t ξ。 解：

00

(1)()()(){()}{()0}[(1),],(0,){()}{[(1),]}

{[(1)]}

1(1)(1)1({()0}1{()}t A A n n n T

t n T f x P x A P x P t A P P t P t n T nT n T P t A P t n T nT P t n T d T

T t n T T nT t T t n T

t n T T t n P t P t A ξδδξξηξηηη

ξξ−−=−+====∈−∈==∈−+=>−−=−+−=

−=

=−

−−=−

−−==−==

∫

是任意的脉冲宽度01)(1)()()()()(1)()

t A T t

n T T

f x P x A P x t t n x A n x T T ξδδδδ=−−∴=−+⎛⎞⎛⎞

=−

−+−−⎜⎟⎜⎟⎝

⎠⎝⎠

第3题

设有一随机过程)(t ξ，它的样本函数为周期性的锯齿波。图题1－3(a)、(b)画出了两个样本函数图。各样本函数具有统一形式的波形，其区别仅在于锯齿波的起点位置不同。设在t=0后的第一个零值点位于0τ，0τ是一个随机变量，它在（0，T ）内均匀分布，即

⎪⎩⎪

⎨⎧≤≤=其它值）

(0)0(1

)(0T t T t f τ若锯齿波的幅度为A ，求随机过程)(t ξ的一维概率密度。

解（1）：)(t ξ取值在0，A 之间，且均匀分布

⎪⎩⎪

⎨⎧≤≤=其它值）

(0)0(1

)()(A x A x f t ξ

解（2）：

令)(t ξ＝x ，则x=k(t-0τ)，)0(A x ≤≤，t=T T t t ⎥⎦

⎥⎢⎣⎢−''

, k 为斜率。所以0τ=t-k x

。

⎪⎩

⎪

⎨⎧≤≤=−•==其它值）(0)

0(111)()(A x A

k T x f t ξ

第4题

设有随机过程)(sin cos )(∞<<−∞+=t t t t ωηωξζ其中ω为常数，且ω>0，ξ和

η是随机变量，且相互统计独立，它们的概率密度为

)

(}2exp{21)()

(}2exp{21)(2

2

∞<<−∞−=

∞<<−∞−=y y

x f x x x f π

π

ηξ

即ξ和η是正态分布N （0，1）随机变量。若把)(t ζ写成)sin()(φωζ+=t V t 的形式， （1）求),,(),(),(ϕϕϕϕv f f v f v v 问V 和φ是否统计独立。 （2）画出)(t ζ的典型样本函数； （3）求)(t ζ的一维概率密度)(z f t ξ； （4）设有事件A ，})(2{/0

2c dt t A >Δ∫

ω

πζπ

ω

，其中c 为常数，求出现A 事件的概率 P(A)。

解（1）：

ηξ,相互独立，故其联合概率密度为)()(),(y f x f y x f ηξξη⋅=，利用随机变量变换后

的概率密度的公式，可得到φ,v 的联合概率密度：

J v f v f v f v ⋅⋅=)cos ()sin (),(φφφηξφ

t

t t

V t V t V t ωηωξωφωφφωζsin cos sin cos cos sin )

sin()(+=+=+=

⎩⎨⎧==φη

φξ

cos sin V V ⎪⎩

⎪

⎨⎧<<=+∞<<+=−)20(tan )

0(122πφηξφηξV V

Jacobi 行列式：