中职数学基础模块下册《平面向量的概念》公开课
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中职数学 下册 课件-第七章 平面向量
第七章 平面向量
7.1平面向量的概念及线性运算 7.1.1向量的概念 7.1.2平面向量的加法 7.1.3平面向量的减法 7.1.4平面向量的数乘运算
7.2平面向量的坐标表示 7.2.1平面向量的坐标 7.2.2向量线性运算的坐标表示 7.2.3共线向量的坐标表示
7.3平面向量的内积 7.2.1平面向量的内积 7.2.2内积的坐标表示
a
b
B
a
b
A a+b
C
一般地，设向量a与向量b不共线，在平面上任取一点A
依次作 AB a，BC b，则向量AC 叫做向量a与向量b的和，
距离、位移、身高、力、质量、时间、速度、面积、温度.
数量
向量
距离、身高、 质量、时间、 面积、温度
位移、力、 速度
【新知识】向量的表示
用有向线段表示(规定了起点、方向、长度的 线段)
a 始点
终点
始点
终点
A
B
a 用字母表示 AB, 或
始点
终点
1【.向(模新量)表知的示大识：小】(模向| A)量B: | 的向或有量| a关A|B概或念a 的大小
向量是不能比较大小的,但
向量的模是可以进行大小比较的.
a
| a || b | √
b
a b
×
2.两个基本向量：
零向量: 模 为零的 向量(方向不确定). 表示： 0, | 0 | 0
单位向量: 模为1个单位长度的向量.
巩固知识 典型例题
例1 一架飞机从A处向正南方向飞行200km， 另一架飞机从A处朝北偏东45°方向飞行200km， 两架飞机的位移相同吗？分别用有向线段表示两架 飞机的位移．
7.1平面向量的概念及线性运算 7.1.1向量的概念 7.1.2平面向量的加法 7.1.3平面向量的减法 7.1.4平面向量的数乘运算
7.1平面向量的概念及线性运算 7.1.1向量的概念 7.1.2平面向量的加法 7.1.3平面向量的减法 7.1.4平面向量的数乘运算
7.2平面向量的坐标表示 7.2.1平面向量的坐标 7.2.2向量线性运算的坐标表示 7.2.3共线向量的坐标表示
7.3平面向量的内积 7.2.1平面向量的内积 7.2.2内积的坐标表示
a
b
B
a
b
A a+b
C
一般地，设向量a与向量b不共线，在平面上任取一点A
依次作 AB a，BC b，则向量AC 叫做向量a与向量b的和，
距离、位移、身高、力、质量、时间、速度、面积、温度.
数量
向量
距离、身高、 质量、时间、 面积、温度
位移、力、 速度
【新知识】向量的表示
用有向线段表示(规定了起点、方向、长度的 线段)
a 始点
终点
始点
终点
A
B
a 用字母表示 AB, 或
始点
终点
1【.向(模新量)表知的示大识：小】(模向| A)量B: | 的向或有量| a关A|B概或念a 的大小
向量是不能比较大小的,但
向量的模是可以进行大小比较的.
a
| a || b | √
b
a b
×
2.两个基本向量：
零向量: 模 为零的 向量(方向不确定). 表示： 0, | 0 | 0
单位向量: 模为1个单位长度的向量.
巩固知识 典型例题
例1 一架飞机从A处向正南方向飞行200km， 另一架飞机从A处朝北偏东45°方向飞行200km， 两架飞机的位移相同吗？分别用有向线段表示两架 飞机的位移．
7.1平面向量的概念及线性运算 7.1.1向量的概念 7.1.2平面向量的加法 7.1.3平面向量的减法 7.1.4平面向量的数乘运算
高教版中职数学(基础模块)下册7.1《平面向量的概念及线性运算》ppt课件3
解：AC AB AD a b，DB AB AD a b，
MA 1 AC 1 a b 1 a 1 b，
2
2
22
MB 1 AC 1 a 1 b，
2
22
MD MB 1 DB 1 a 1 b.
2
22
一般地，a b叫做a,b的一个线性组合， 如果l a b,则称l可以用a,b线性表示。
1.向量加法三角形法则:
b a
Байду номын сангаасo.
特点:首尾顺次连，起点 指终点
b
a
O.
B
a+b
a+b
A
B
A
C
2.向量加法平行四边形法则: 特点:起点相同,对角为和
15
复习2:向量的减法
如图,已知向量a和向量b,作向量a-b.
b
a
a
b
o.
B
向量减法三角形法则:
a-b A
特点：平移同起点，方向指被减 16
探究新知: 已知非零向量 a ,作出a a a ,你能发现什么？
b B
BA = a − b ．
观察图可以得到：起点相同的
两个向量 a ，b 其差 a- b仍然是一
个向量，其起点是减向量 b 的终点， 终点是被减向量 a 的终点．
思考：当a,b共线时，如何画出a-b? 试一试：:练习册第22页第3题；第24页第3题。
复习1:向量的加法
如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.
2019/7/31
最新中小学教学课件
25
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2019/7/31
中职教育-数学(基础模块)下册课件：第七章 平面向量.ppt
，E→．F
→
FG
（3）相等向量为
→
AB
C→D ，D→E
→
GH
．
（4）互为负向量的向量为
→
BC
D→E ，B→C
→
GH
．
7.2 平面向量的线性运算
7.2.1 平面向量的加法
如右图所示，一人从A点出发，走到B点，又从B点
走到C点，则他的最终位移
→
AC
可以看作是位移
→
AB
与
B→C 的和．
如右图所示，已知向量a与b，
解 位移是向量，它包括大小和方向 两个要素．本题中，虽然这两个向量的 模相等，但它们的方向不同，所以，两 辆汽车的位移不相同．如图所示为用有 向线段表示两辆汽车的位移．
方向相同或相反的两个非零向量称为平行向量．向量a与b平行记作 a ∥b ． 如图所示，向量 a ，b ，c平行，任意作一条与向量a所在直线平行的直线l，
如右
图所示，
设有两个
非零向量
a
，b
，
作
→
OA
a
，O→B
b
，则
AOB θ(0°剟θ 180°) 称为向量 a ，b 的夹角．
显然，当 θ 0°时，a 与 b 同向；当 θ 180°时，a 与 b 反向；当 θ 90° 时，a 与 b 垂直，记作 a b ．
我们将 a b cosθ 称为向量 a ，b 的内积（或数量积），记作 a gb ，
7.1
• 平面向量的概念
7.2
• 平面向量的线性运算
7.3
• 平面向量的坐标表示
7.4
• 平面向量的内积
7.1 平面向量的概念
标量是指只有大小、没有方向的量，如长度、质量、温度、面积等； 向量是指既有大小、又有方向的量，如速度、位移、力等．
中职教育数学《向量的概念》课件
解：OA CB DO
OB DC EO
OC AB ED FO
练习∶上题中 11
(1)与向量 OA长度相等的向量有多少个？
（2）是否存在与向量
OA
长度相等，
方向相反的向量？
FE
（3）与向量OA 共线的向量有哪些？
单击动画演示 CB DO FE
课堂 小结
向量
向量的定义 向量的表示
字母表示 几何表示
B
a
AB
三、与向量有关的基本概念
1、向量的大小（长度）叫向量的模: 向量 AB 的模
表示： | AB | 模可以比较大小
2、零向量与单位向量
零向量: 长度为零的向量(方向任意).
表示：0或 0, | 0 | 0 a a
3、单位向量: 长度为1个单位长度的向量.
P26例1
3、向量之间的关系
（1）平行向量：方向相同或相反的非零向量.
注意：数量与向量的区别：
1.数量只有大小，是一个代数量，可 以比较大小.
2.向量有方向、大小，双重属性，而 方向是不能比较大小的，因此向量 不能比较大小. 向量不能比较大小.
问题:温度是不是向量? 重量呢？身高？海拔？速度？
向量的表示
a
1.几何法：用有向线段表示
A
2.字母法：用小写字母表示
3.用表示向量的有向线段的起点 和终点字母表示
等.
表示平面上的六个平行四边形，问图中
哪些向量分别与向量 AB、AD、AE 相等？
那些向量与它们互为相反向量？
A
B
D
C
E
F
H
G
例1．判断下列命题真假或给出问题的答案：
（1）平行向量的方向一定相同． × （2）不相等的向量一定不平行． ×
中职数学基础模块下册《平面向量的概念》课件
向量的投影可以看作是向量在某个方 向上的分量，通过计算向量的数量积 可以得到向量的投影。
速度和加速度的计算
在运动学中，速度和加速度可以表示 为位置向量的时间导数，通过计算向 量的数量积可以得到速度和加速度的 大小。
THANKS
感谢观看
数量积的几何意义
01
数量积表示向量a与向量b的长度 和它们之间的夹角的余弦值的乘 积。
02
当两向量同向时，数量积为两向 量长度之积；当两向量反向时， 数量积为两向量长度之差的绝对 值。
数量积的应用举例
力的合成与分解
向量的投影
在物理中，力可以视为向量，力的合 成与分解可以通过计算向量的数量积 来实现。
详细描述
向量模是表示向量长度的概念， 记作|a|。向量模具有非负性、齐 次性、三角形不等式等性质。
向量模的计算方法
总结词
掌握向量模的计算方法是实际应用中必不可少的技能。
详细描述
向量模的计算公式为|a| = 根号(x^2 + y^2)，其中x和y分别是向量在x轴和y轴上的分量。此外，还有 向量模的运算性质，如|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a-b|≥||a|-|b||等，这些性质在实际问题中具有广泛 的应用。
平面向量数乘的定义与性质
总结词
数乘是标量与向量的乘积，结果仍为 向量，满足分配律。
详细描述
数乘是实数与向量的乘积，其实质是 标量与向量的乘积。数乘的结果仍为 向量，且满足分配律，即 m(a+b)=ma+mb。
平面向量加法与数乘的几何意义
总结词
平面向量加法的几何意义是将两个向量首尾相接， 按平行四边形法则或三角形法则确定的合成向量； 数乘的几何意义是改变向量的模长和方向。
高教版中等职业学校职业高中平面向量的概念定义教案课件
【课题】7.1 .1 平面向量的概念【教学目标】知识目标：（1）了解向量、向量的相等、共线向量等概念；（2）掌握向量、向量的相等、共线向量等概念．能力目标：通过这些内容的学习，培养学生的运算技能与熟悉思维能力．【教学重点】向量的线性运算．【教学难点】已知两个向量，求这两个向量的差向量以及非零向量平行的充要条件．【教学设计】从“不同方向的力作用于小车，产生运动的效果不同”的实际问题引入概念．向量不同于数量，数量是只有大小的量，而向量既有大小、又有方向．教材中用有向线段来直观的表示向量，有向线段的长度叫做向量的模，有向线段的方向表示向量的方向．数量可以比较大小，而向量不能比较大小，记号“a＞b”没有意义，而“︱a︱＞︱b︱”才是有意义的.教材通过生活实例，借助于位移来引入向量的加法运算．向量的加法有三角形法则与平行四边形法则.向量的减法是在负向量的基础上，通过向量的加法来定义的.即a-b=a+(-b)，它可以通过几何作图的方法得到，即a-b可表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.作向量减法时，必须将两个向量平移至同一起点.实数λ乘以非零向量a，是数乘运算，其结果记作λa，它是一个向量，其方向与向量a 相同，其模为a的λ倍．由此得到λ∥．对向量共线的充要条件，要特别注意“非a b a b⇔=λ≠”等条件.零向量a、b”与“0【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】图手写时应在字母上面加箭头，记作AB．模为零的向量叫做向量的方向相同；向量CD与PQ所在的直线平行，两个向量，方向相反，模相等．的模相等并且方向相同时，DC的负向量；）找出与向量AB平行的向量．析．两个向量相等，它们必须是方向相同，模相等；两个向量-,CDBA=DCBA//AB,DC//AB，CD//ABA F。
中职数学基础模块下册《平面向量的概念》公开课课件
01
02
03
平行四边形的性质
通过平面向量的线性组合 ，可以证明平行四边形的 对边相等、对角线互相平 分等性质。
三角形的重心
利用平面向量，可以求出 三角形的重心坐标，进而 求出其他几何量。
空间几何
平面向量可以扩展到三维 空间，用于描述空间几何 图形的位置和方向。
平面向量在物理中的应用
力的合成与分解
在物理中，力是矢量，可以用平 面向量来表示和运算。通过力的 合成与分解，可以求解物体的运
向量的正交分解
将一个向量分解为两个相互垂直的向量的线性组合。
向量的坐标表示
将一个向量用一组有序实数对（x,y）表示，这组实数对称为该向量的坐标。
05
平面向量的解题技巧与方法
运用向量性质简化问题
01
向量具有方向性
利用向量的方向性，可以解决一些与向量方向相关的问题，如向量旋转
、向量投影等。
02
向量模的非负性
中职数学基础模块下册《平 面向量的概念》公开课课件
汇报人： 202X-12-22
目 录
• 平面向量的基本概念 • 平面向量的运算 • 平面向量的应用 • 平面向量的性质与定理 • 平面向量的解题技巧与方法 • 平面向量与其他数学知识的联系与区别
01
平面向量的基本概念
平面向量的定义与表示
向量的定义
数乘向量
数乘向量的定义
数乘向量是指将一个实数与一个向量相乘，得到一个新的向量。其实质是将向量 的每个分量都乘以该实数。
数乘向量的运算规则
数乘向量的运算规则是线性运算的分配律，即对于任意实数k和任意向量a，有 ka=k(a1,a2,...,an)=(k*a1,k*a2,...,k*an)。
高教版中职数学(基础模块)下册7.1《平面向量的概念及线性运算》ppt课件1
【例2】:如图，设O是正六边形的中心，分别写 出图中与向量 、 相等的向量， OA 、 OC 负向 OB OC B A 量。
C
O
F
D
E
解：
B
A
OA CB DO
OB DC EO
O
C F
OC AB ED FO
D E
OC BA DE OF
下面几个命题：
（1）若a = b， b = c，则a = c。
两个向量a、 b，其差a − b仍然是一
个向量，其起点是减向量b的终点，
B b O a
A
终点是被减向量a的终点．
a
b
b
O
a (b)
a
b
a b
向量减法法则
a
a
ab
b b
B
A
O
a
ba
A
b
B
作法：在平面内任取一 点O, 作OA a, OB b, 则BA a b.
• 要点:1.平移到同一起点；2.指向被减向量.
向量加法法则总结与拓展
• 向量加法的三角形法则: – 1.将向量平移使得它们首尾相连 – 2.和向量即是第一个向量的首指向第二个向量的尾 • 向量加法的平行四边形法则: – 1.将向量平移到同一起点 – 2.和向量即以它们作为邻边平行四边形的共起点的 对角线 • 三角形法则推广为多边形法则：
多个向量相加， 如：AB BC CD DE EF AF ，
任一组平行向量都可移到同一条直线上,平行向量也叫
共线向量 规定：零向量与任一向量平行
记作:
0 // a
3. 向量的负向量：长度相等且方向相反的向量。
平面向量的概念教学课件
应用举例
通过具体例子展示如何利用夹角计算公式求解两向量的夹角， 并解释夹角在实际问题中的应用，如力的合成与分解等。
投影概念及其在计算中应用
投影概念
一个向量在另一个向量上的投影 是一个标量，其值等于该向量的 模与两向量夹角的余弦的乘积。
在计算中应用
通过具体例子展示如何利用投影 概念求解数量积和夹角，强调投 影在计算中的重要性。
向量减法
两个向量相减，对应坐标 分量相减，结果向量的坐 标为$(x_1-x_2,y_1-y_2)$。
向量数乘
一个向量与一个实数相乘， 结果向量的坐标为 $(kx,ky)$，其中$k$为实 数。
坐标运算在实际问题中应用
力的合成与分解
多个力作用于同一物体时，可用向量加法求解合力；一个力产生 多个效果时，可用向量减法求解分力。
实施方案
教师准备相关例子和问题，学生分组进行讨论，每组选派代表进行抢答，教师根据回答情况进行点评 和补充。
知识巩固检测题目设置和难度控制
题目设置
针对向量的基本概念和性质，设置选择题、填空题和计算题，确保题目覆盖全面，难度适中。
难度控制
根据学生的学习情况和反馈，适时调整题目难度，确保题目具有挑战性和可完成性，达到巩固知识的目的。
难度适中
按照循序渐进的原则，设计不同难 度的例题，以适应不同学生的学习 需求。
解题思路展示
通过详细解析例题的解题过程，展 示正确的解题思路和方法，帮助学 生理解和掌握平面向量的知识要点。
常见错误类型总结及避免方法
1 2 3
概念混淆 如将向量与标量混淆、误解向量运算性质等。应 加强对平面向量基本概念和性质的记忆和理解， 避免概念混淆。
共面向量
平行于同一平面的向量叫做共面向量。共面向量定理：如果两个非零向量 $\vec{a}$、$\vec{b}$不共线，那么向量$\vec{p}$与向量$\vec{a}$、 $\vec{b}$共面的充要条件是存在唯一一对实数$x$、$y$，使得 $\vec{p}=x\vec{a}+y\vec{b}$。
通过具体例子展示如何利用夹角计算公式求解两向量的夹角， 并解释夹角在实际问题中的应用，如力的合成与分解等。
投影概念及其在计算中应用
投影概念
一个向量在另一个向量上的投影 是一个标量，其值等于该向量的 模与两向量夹角的余弦的乘积。
在计算中应用
通过具体例子展示如何利用投影 概念求解数量积和夹角，强调投 影在计算中的重要性。
向量减法
两个向量相减，对应坐标 分量相减，结果向量的坐 标为$(x_1-x_2,y_1-y_2)$。
向量数乘
一个向量与一个实数相乘， 结果向量的坐标为 $(kx,ky)$，其中$k$为实 数。
坐标运算在实际问题中应用
力的合成与分解
多个力作用于同一物体时，可用向量加法求解合力；一个力产生 多个效果时，可用向量减法求解分力。
实施方案
教师准备相关例子和问题，学生分组进行讨论，每组选派代表进行抢答，教师根据回答情况进行点评 和补充。
知识巩固检测题目设置和难度控制
题目设置
针对向量的基本概念和性质，设置选择题、填空题和计算题，确保题目覆盖全面，难度适中。
难度控制
根据学生的学习情况和反馈，适时调整题目难度，确保题目具有挑战性和可完成性，达到巩固知识的目的。
难度适中
按照循序渐进的原则，设计不同难 度的例题，以适应不同学生的学习 需求。
解题思路展示
通过详细解析例题的解题过程，展 示正确的解题思路和方法，帮助学 生理解和掌握平面向量的知识要点。
常见错误类型总结及避免方法
1 2 3
概念混淆 如将向量与标量混淆、误解向量运算性质等。应 加强对平面向量基本概念和性质的记忆和理解， 避免概念混淆。
共面向量
平行于同一平面的向量叫做共面向量。共面向量定理：如果两个非零向量 $\vec{a}$、$\vec{b}$不共线，那么向量$\vec{p}$与向量$\vec{a}$、 $\vec{b}$共面的充要条件是存在唯一一对实数$x$、$y$，使得 $\vec{p}=x\vec{a}+y\vec{b}$。
中职数学基础模块下册《平面向量的概念》ppt公开课课件
（1）找出与向量 DA 相等的向量； （2）找出向量 DC 的负向量； （3）找出与向量 AB 平行的向量． 要结合平行四边形 的性质进行分析．两个 向量相等，它们必须是 方向相同，模相等；两 个向量互为负向量，它 们必须是方向相反，模 相等；两个平行向量的 方向相同或相反．
A
图7－5
B
巩固知识
例2
表示：
0,
| 0 | 0
单位向量: 模为1个单位长度的向量.
巩固知识
典型例题
例1 一架飞机从A处向正南方向飞行200km，另一架飞机从A处 朝北偏东45°方向飞行200km， 两架飞机的位移相同吗？分别用有向 线段表示两架飞机的位移．两架飞机位移的有向线段表示分别为图中 的有向线段 a 与 b． 下列各图中哪个表示正确？ 东 南 b A a A b 100km.
④
课堂小结:
1、向量定义：既有大小又有方向的量。
AB
A 度
B
2．向量的长度：向量的大小就是向量的长
（或称为模）。记作 3．零向量：长度为0的向量叫做零向量，记 作0 （手写体）。
| AB |
8．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫 做相等向量。 注意：1°零向量与零向量相等。 2°任意两个相等的非零向量，都可以 用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点 无关。 a
始点
AB,
或
a
终点
1.向量的大小(模): 向量 AB 或 a 的大小 (模)表示： | AB | 或 | a |
向量是不能比较大小的,但 向量的模是可以进行大小比较的.
三. 向量的有关概念
a
b
| a || b |
a b
中职数学基础模块下册《平面向量的概念》ppt课件
变式一：与向量OA长度相等的向量 有多少个？ 11个
变式二：是否存在与向量OA长度相等，方向 相反的向量？ 存在，为 FE
变式三：与向量OA长度相等的共线向量有哪些？ CB、DO、FE
1.下面几个命题： （1）若a = b，b = c，则a = c。
（2）若|a|=0，则a = 0
（3）若|a|=|b|，则a = b （4）两个向量a、b相等的充要条件是
01
2.1向量的基本概念
单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发 布的良好效果，请言简意赅地阐述您的观点。
01.
唉, 哪儿去了?
单击此处添加正文
02.
嘻嘻!大笨猫!
单击此处添加正文
03.
A
单击此处添加正文
04.
B
单击此处添加正文
一、向量的定义
既有大小，又有方向的量叫做向量。
二 、向量的表示方法
方向走了 米到10达C2点，到达C点后又改变方向向西走了10
米到达D点（1）作出向量AB,BC,CD;(2) 求AD的模
D C
1m
北
西
A
B东
南
小结:
向量
定义
几何表示法：有向线段
பைடு நூலகம்表示
符号表示法：
a ，b
AB
长度（模）
向量的有关概念
特殊向量
向量间 的关系
零向量 单位向量 平行（共线）
相等
作业：课本86页 习题2.1第2题，第3题
3．向量间的关系
（１）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
a
如：
b
c
平行向量又叫做共线向量 记作 a ∥b ∥c
变式二：是否存在与向量OA长度相等，方向 相反的向量？ 存在，为 FE
变式三：与向量OA长度相等的共线向量有哪些？ CB、DO、FE
1.下面几个命题： （1）若a = b，b = c，则a = c。
（2）若|a|=0，则a = 0
（3）若|a|=|b|，则a = b （4）两个向量a、b相等的充要条件是
01
2.1向量的基本概念
单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发 布的良好效果，请言简意赅地阐述您的观点。
01.
唉, 哪儿去了?
单击此处添加正文
02.
嘻嘻!大笨猫!
单击此处添加正文
03.
A
单击此处添加正文
04.
B
单击此处添加正文
一、向量的定义
既有大小，又有方向的量叫做向量。
二 、向量的表示方法
方向走了 米到10达C2点，到达C点后又改变方向向西走了10
米到达D点（1）作出向量AB,BC,CD;(2) 求AD的模
D C
1m
北
西
A
B东
南
小结:
向量
定义
几何表示法：有向线段
பைடு நூலகம்表示
符号表示法：
a ，b
AB
长度（模）
向量的有关概念
特殊向量
向量间 的关系
零向量 单位向量 平行（共线）
相等
作业：课本86页 习题2.1第2题，第3题
3．向量间的关系
（１）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
a
如：
b
c
平行向量又叫做共线向量 记作 a ∥b ∥c
2024版中职数学基础模块下册平面向量的概念课件
中职数学基础模块下册平面向 量的概念课件
2024/1/30
1
2024/1/30
CONTENTS
• 平面向量基本概念 • 平面向量运算 • 平面向量坐标表示法 • 平面向量数量积与投影 • 平面向量应用举例
2
2024/1/30
01
平面向量基本概念
3
向量定义及表示方法
2024/1/30
向量的定义
向量是既有大小又有方向的量，常 用带箭头的线段表示，线段的长度 表示向量的大小，箭头的指向表示 向量的方向。
18
数量积定义及性质
数量积定义
性质1
两个向量的数量积是一个标量，其大小等于 这两个向量的模与它们夹角的余弦的乘积， 方向由夹角决定。
交换律，即a·b=b·a。
性质2
分配律，即(a+b)·c=a·c+b·c。
性质3
与零向量的数量积，a·0=0。
2024/1/30
19
投影概念及计算方法
2024/1/30
坐标运算
若向量a=(x,y)，则λa=(λx,λy)。
2024/1/30
11
向量运算性质总结
交换律
向量加法满足交换律，即 a+b=b+a。
零元
存在零向量0，使得对于任 意向量a，都有a+0=a。
数乘结合律
对于任意实数λ、μ和向量 a，都有(λμ)a=λ(μa)。
结合律
向量加法满足结合律，即 (a+b)+c=a+(b+c)。
这两个向量的和。
2024/1/30
三角形法则
将两个向量平移至同一起 点，首尾相接，从第一个 向量起点指向第二个向量 终点的向量即为这两个向
2024/1/30
1
2024/1/30
CONTENTS
• 平面向量基本概念 • 平面向量运算 • 平面向量坐标表示法 • 平面向量数量积与投影 • 平面向量应用举例
2
2024/1/30
01
平面向量基本概念
3
向量定义及表示方法
2024/1/30
向量的定义
向量是既有大小又有方向的量，常 用带箭头的线段表示，线段的长度 表示向量的大小，箭头的指向表示 向量的方向。
18
数量积定义及性质
数量积定义
性质1
两个向量的数量积是一个标量，其大小等于 这两个向量的模与它们夹角的余弦的乘积， 方向由夹角决定。
交换律，即a·b=b·a。
性质2
分配律，即(a+b)·c=a·c+b·c。
性质3
与零向量的数量积，a·0=0。
2024/1/30
19
投影概念及计算方法
2024/1/30
坐标运算
若向量a=(x,y)，则λa=(λx,λy)。
2024/1/30
11
向量运算性质总结
交换律
向量加法满足交换律，即 a+b=b+a。
零元
存在零向量0，使得对于任 意向量a，都有a+0=a。
数乘结合律
对于任意实数λ、μ和向量 a，都有(λμ)a=λ(μa)。
结合律
向量加法满足结合律，即 (a+b)+c=a+(b+c)。
这两个向量的和。
2024/1/30
三角形法则
将两个向量平移至同一起 点，首尾相接，从第一个 向量起点指向第二个向量 终点的向量即为这两个向
2024版中职数学平面向量的概念ppt课件
01向量的定义向量是既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示。
02向量的表示方法向量可以用小写字母或大写字母加箭头表示，如$vec{a}$或$overset{longrightarrow}{AB}$。
03向量的模向量的大小称为向量的模，记作$|vec{a}|$，模长是一个非负实数。
向量定义及表示方法03向量的模长等于有向线段的长度，可以通过勾股定理或三角函数计算。
向量的模长向量与正方向（通常是x 轴正方向）的夹角称为向量的方向角，记作$theta$，取值范围是$[0, pi]$或$[0, 180^circ]$。
方向角向量与坐标轴正方向的夹角的余弦值称为向量的方向余弦，可以通过方向角计算得到。
方向余弦向量模长与方向角模长为0的向量称为零向量，记作$vec{0}$，零向量没有方向。
零向量单位向量相反向量模长为1的向量称为单位向量，单位向量具有确定的方向。
与给定向量大小相等、方向相反的向量称为相反向量，记作$-vec{a}$。
030201零向量、单位向量和相反向量向量共线与平行关系向量共线如果两个向量在同一直线上或者平行于同一直线，则称这两个向量共线。
共线向量满足$vec{a} = kvec{b}$（$k$为实数）。
向量平行如果两个向量的方向相同或相反，则称这两个向量平行。
平行向量满足$vec{a} parallel vec{b}$。
共线与平行的关系在平面内，共线的向量一定平行，但平行的向量不一定共线。
加法定义两个向量相加，即将它们的对应分量相加得到新的向量。
几何意义向量的加法满足平行四边形法则或三角形法则，即两个向量相加的结果可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线，或者可以表示为将其中一个向量的终点连接到另一个向量的起点的向量。
01减法定义02几何意义两个向量相减，即将被减数的各分量减去减数的对应分量得到新的向量。
向量的减法可以表示为将减数向量的终点连接到被减数向量的起点的向量，这个向量与减数向量方向相反，大小相等。
高教版中职数学(基础模块)下册7.2《平面向量的坐标表示》ppt课件2
类似可以得到
a b (x1 x2, y1 y2 )
（7.6） （7.7）
a ( x1, y1)
（7.8）
巩固知识 典型例题
例3 设a＝(1, −2), b＝(−2,3)，求下列向量的坐标：
(1) a＋b ， (2) －3 a，
(3) 3 a－2 b ．
解 (1) a＋b＝(1, −2)＋(−2,3)＝(−1,1)
运用知识 强化练习
1． 点A的坐标为（－2，3），写出向量OA 的坐标，并用i与j的线性 组合表示向量 OA．
OA 2，3
=-2i 3 j． 2． 设向量 a 3i 4 j,写出向量e的坐标．
a 3， 4．
运用知识 强化练习
已知A，B两点的坐标，求 AB，BA 的坐标．
自我反思 目标检测
3 共线向量的坐标表示？
对非零向量a、 b，设 a (x1, y1), b (x2 , y2 ),
当 时0，有
a ∥ b x1y2 x2 y1 0．
自我反思 目标检测
学习方法
学习行为
学习效果
继续探索 活动探究
读书部分：阅读教材相关章节 书面作业：教材习题７.2Ａ组（必做）
解 因为
a＝可O以M看到＋，M从A原＝5i＋3j ，
点出发的向量，其坐
所标以在数值上与a向量(终5,
3)，
点的坐标是相同的．
同理可得 b ((3,2) ，求 PQ，QP 的坐标．
解 PQ (3, 2) (2, 1) (1,3), QP (2, 1) (3, 2) (1, 3)．
教材习题７.2Ｂ组（选做） 实践调查：试着发现生活中的
向量坐标的应用．
平面向量的概念(优秀经典公开课课件)
[易错警示] Байду номын сангаас向量平行相关的问题中，不要忽视零向量． [规律方法]
相等向量与共线向量的判断 (1)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量． (2)共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量． (3)非零向量共线具有传递性，即向量 a，b，c 为非零向量，若 a∥b，b∥c， 则可推出 a∥c.
(2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为 1)，用直尺和圆规画出下列向 量：
①O→A，使|O→A|＝4 2，点 A 在点 O 北偏东 45°； ②A→B，使|A→B|＝4，点 B 在点 A 正东； ③B→C，使|B→C|＝6，点 C 在点 B 北偏东 30°.
[解析] (1)12 (2)①由于点 A 在点 O 北偏东 45°处，所以在坐标纸上点 A 距点 O 的横向小 方格数与纵向小方格数相等．又因为|O→A|＝4 2，小方格边长为 1，所以点 A 距点 O 的横向小方格数与纵向小方格数都为 4，于是点 A 位置可以确定，画出向量O→A 如图所示． ②由于点 B 在点 A 正东方向处，且|A→B|＝4，所以在坐标纸上点 B 距点 A 的 横向小方格数为 4，纵向小方格数为 0，于是点 B 位置可以确定，画出向量A→B如 图所示．
解析 (1)由题意，作出向量A→B，B→C，C→D，D→A，如图所示．
(2)依题意知，三角形 ABC 为正三角形，所以 AC＝2000 km.又因为∠ACD＝ 45°，CD＝1000 2，所以△ACD 为等腰直角三角形，即 AD＝1000 2 km，∠CAD ＝45°，所以 D 地在 A 地的东南方向，距 A 地 1000 2 km.
3．向量的表示
导学 3 相等向量与共线向量 如图所示，向量A→P，Q→B，B→C有什么关系？
6.1平面向量的概念课件共45张PPT
即时训练1-1:判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.
(2)单位向量都相等;
解:(2)不正确,单位向量的模均相等且为1,但方向并不确定.
即时训练 1-1:判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.
→
→
(3)四边形 ABCD 是平行四边形当且仅当=;
(4)一个向量方向不确定当且仅当模为 0;
有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题.
即时训练 1-1:判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.
→
→
(1)向量与是共线向量,则 A,B,C,D 四点必在同一直线上;
解:(1)不正确,共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不
→
→
要求两个向量,在同一直线上.
(3)两个特殊向量:
①零向量与非零向量:
长度为0的向量叫做零向量.印刷时用加粗的阿拉伯数字零表示,即0;书写
→
时,可写为.长度不为 0 的向量称为非零向量.
②单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量.
2.向量间的关系
(1)平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,向量
图所示的向量中,
→
→
(1)分别找出与, 相等的向量;
→
→
→
→
解:(1)=,=.
[例 2] O 是正方形 ABCD 对角线的交点,四边形 OAED,OCFB 都是正方形,在如
图所示的向量中,
→
(2)找出与共线的向量;
→
→
→
→
解:(2)与共线的向量有,,.
[例 2] O 是正方形 ABCD 对角线的交点,四边形 OAED,OCFB 都是正方形,在如
中职数学基础模块下册平面向量的概念中职教育
有多少个？
11个
变式二：是否存在与向量OA长度相等，方向 相反的向量？ 存在，为 FE
变式三：与向量OA长度相等的共线向量有哪些？
CB、DO、FE
中职课堂
7
1.下面几个命题： （1）若a = b，b = c，则a = c。
（2）若|a|=0，则a = 0
（3）若|a|=|b|，则a = b |a|=|b|
相等
中职课堂
10
作业：课本86页
习题2.1第2题，第3题
中职课堂
11
中职课堂
12
（4）两个向量a、b相等的充要条件是 a ∥b
（5）若A、B、C、D是不共线的四点，则AB=DC是
四边形ABCD是平形四边形的充要条件。
其中真命题的个数是( )
A．0 B. 1
D
C
C. 2
D. 3
C
D
变：若 a ∥ b， b ∥ c, 则a ∥c 中职课堂
A
B
B
当b ≠人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向
嘻嘻!大笨 猫!
A B
唉, 哪儿去了?
中职课堂
1
一、向量的定义
既有大小，又有方向的量叫做向量。
二 、向量的表示方法
B（终点）
A（起点）
1 几何表示法： 有向线段（ 起点、方向、长度 ）
2 字母表示法： a ，b AB
中职课堂
2
三、 向量的有关概念 1.向量的长度（模）：向量AB的大小也就是向量的长度（模）。
（2）相D等向量：C长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
A
B
A
B
D
C
记作：a = b 规定：0 = 0
11个
变式二：是否存在与向量OA长度相等，方向 相反的向量？ 存在，为 FE
变式三：与向量OA长度相等的共线向量有哪些？
CB、DO、FE
中职课堂
7
1.下面几个命题： （1）若a = b，b = c，则a = c。
（2）若|a|=0，则a = 0
（3）若|a|=|b|，则a = b |a|=|b|
相等
中职课堂
10
作业：课本86页
习题2.1第2题，第3题
中职课堂
11
中职课堂
12
（4）两个向量a、b相等的充要条件是 a ∥b
（5）若A、B、C、D是不共线的四点，则AB=DC是
四边形ABCD是平形四边形的充要条件。
其中真命题的个数是( )
A．0 B. 1
D
C
C. 2
D. 3
C
D
变：若 a ∥ b， b ∥ c, 则a ∥c 中职课堂
A
B
B
当b ≠人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向
嘻嘻!大笨 猫!
A B
唉, 哪儿去了?
中职课堂
1
一、向量的定义
既有大小，又有方向的量叫做向量。
二 、向量的表示方法
B（终点）
A（起点）
1 几何表示法： 有向线段（ 起点、方向、长度 ）
2 字母表示法： a ，b AB
中职课堂
2
三、 向量的有关概念 1.向量的长度（模）：向量AB的大小也就是向量的长度（模）。
（2）相D等向量：C长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
A
B
A
B
D
C
记作：a = b 规定：0 = 0
专题32平面向量的相关概念(课件)-2024年中职数学对口升学考试专题复习精讲课件_41451339
专题32——平面向量的相关概念
2．零向量(单位向量) 模为零 的向量叫作零向量，记作0，0的方向 不确定 ． 模为1 的向量叫作单位向量．与非零向量a同向的单位向量 a
为a．
专题32——平面向量的相关概念
3．平行向量 方向 相同 或 相反 的 两个非零 向量，称为平行向 量或 共线向量 ．任一组平行向量都可以平移到同一条直线上 ．零向量与任意向量共线．
专题32——平面向量的相关概念
3.(2023年浙江省中职升学考试高三一轮复习专题卷)下列关于零向量的说法正确的是
（）
A．零向量没有大小
B．零向量没有方向
C．两个反方向向量之和为零向量 D．零向量与任何向量都共线
【解析】根据零向量的概念可得零向量的长度为零，方向任意，故A、B错误； 两个反方向向量之和不一定为零向量，只有相反向量之和才是零向量，C错误； 零向量与任意向量共线，D正确． 故选：D.
【解析】A中若b＝0，则a与c不一定平行；B中起点相同可以为 共线向量即平行向量；C中共线向量与向量的大小无关．答案选 D
专题32——平面向量的相关概念
5．下列说法中，错误的个数为( )
①有向线段就是向量，向量就是有向线段；
②表示相等向量的两个有向线段，若始点相同，则其终点必
相同；
③若 AB ＝1，则 BA ＝1；
专题32——平面向量的相关概念
【解析】：(1)
(2)量a与b是互为相反向量，则下列结论错误的是(
)
A．a与b方向相反
B．a与b必在同一直线上
C．a与b共线
D．a与b的长度相等
【解析】根据相反向量的概念，答案选B
专题32——平面向量的相关概念
【例2】 已知平面向量a，b，则“a∥b”是“|a－b|＝|a|－|b|”
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平面向量的概念及表示
.
第七章 平面 向量
7.１ 平面向量的概念
.
小组探究
猫与老鼠哪个重?
一只猫的重量是1.5千克,一只老鼠的重量是
0.猫2公能斤,捉谁更住重老? 鼠 • 老鼠由吗A向?东北方向以每秒6米的速度逃窜,
而猫由A向正南方向每秒10米的速度追. • 问猫能否抓到老鼠?
速度是既有大小又有方向的量
B
a 用字母表示 AB , 或
始点
终点
.
三. 向量的有关概念
1.向量的大小(模):
表示：
| AB |
向或量| aA|B
或 a 的大小(模)
向量是不能比较大小的,但
向量的模是可以进行大小比较的.
a
|a||b| √
b
ab
×
.
2.两个基本向量：
零向量: 模 为零的 向量(方向不确定). 表示： 0 , | 0|0
单位向量: 模为1个单位长度的向量.
.
巩固知识 典型例题
例1 一架飞机从A处向正南方向飞行200km，另一架飞机从A处 朝北偏东45°方向飞行200km， 两架飞机的位移相同吗？分别用有向 线段表示两架飞机的位移．两架飞机位移的有向线段表示分别为图中 的有向线段 a 与 b． 下列各图中哪个表示正确？
其中是向量a与b平行的有_①__③__④.
.
课堂小结:
1、向量定义：既有大小又有方向的量。
AB
A
B
2．向量的长度：向量的大小就是向量的长度
（或称为模）。记作
|
AB
|
3．零向量：长度为0的向量叫做零向量，记 作 0 （手写体）。
.
8．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫
做相等向量。
注意：1°零向量与零向量相等。
例2:如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别
写出图中与向量OA 、OB 、OC
量 与OA相等的向量有 B
相等的向
A
DO,CB.
与OB相等的向量有C
O
F
EO,DC.
与OC相等的向量有 D
E
FA,ED. .
练习2:如图
问题:(1) OA 与 FE
相等吗?
B
A
(2) OB 与 AF
相等吗?
O
(3) 与 OA 长度相等 C
（1）找出与向量 D A 相等的向量； （2）找出向量 D C 的负向量；
D
C
O
（3）找出与向量 A B 平行的向量．
要结合平行四边形 的性质进行分析．两个 向量相等，它们必须是 方向相同，模相等；两 个向量互为负向量，它 们必须是方向相反，模 相等；两个平行向量的 方向相同或相反．
A
B
图7－5
.
巩固知识 典型例题
（3）与零向量相等的向量是什么向量？ 零向量 （4）存在与任何向量都平行的向量吗？ 零向量 （5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是 什么向量？ 平行向量（共线向量）
（6）两个非零向量相等的条件是什么？ 模相等且方向相同
（7）共线向量一定在同一直线上． ×
.
巩固知识 典型例题
例2 在平行四边形ABCD中（图7－5），O为对角线交点．
.
如图所示，用100N的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？
.
只有大小，没有方向的量叫做数量（标量） 例如质量、时间、温度、面积、密度等． 既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），
如力、速度、位移等．
.
请说出下列一些量那些是数量那些是向量?
距离、位移、身高、力、质量、时间、速度、面积、温度.
数量
向量
距离、身高、 质量、时间、 面积、温度
位移、力、 速度
.
Ｆ
力
Ｆ
三要素：大小，方向. ，作用点
S
位移:质点做机械运动，从初位置 到末位置的有向线段叫做位移。
.
速度：物
体运动的
位移与所 用的时间
Ｖ
的比值
.
二.向量的表示
用有向线段表示(规定了起点、方向、长度的 线段)
a 始点
终点
始点
终点
A
例2 在平行四边形ABCD中（图7－4），O为对角线交点．
（1）找出与向量 D A 相等的向量； （2）找出向量 D C 的负向量；
D
C
O
（3）找出与向量 A B 平行的向量． 解 由平行四边形的性质，得
A
B
图7－4
（1） CBDA； （2） B A D C ， C D D C ； （3）B A / /A B ， D C / /A B ， C D / /A B ．
2°任意两个相等的非零向量，都可以
用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点
无关。
a
ab
b
.
.
动脑思考 探索新知
在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量 做数量（标量） ，例如质量、时间、温度、面积、密度等． 既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量）， 如力、速度、位移等．
.
2.下列说法正确的是 ( A )
A) 方向相同或相反的向量是平行向量. B) 零向量是0 . C)长度相等的向量叫做相等向量. D) 共线向量是在一条直线上的向量.
3.已知a、b是任意两个向量,下列条件: ①a=b; ②|a|=|b|; ③a与b的方向相反; ④a=0或b=0; ⑤ a与b都是单位向量.
.
练习1：判断下列各命题是否正确？ （1）a = b ,则a = b;
(2)若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； （3）若AB = CD, 则四边形ABCD是平行四边形； （4）若a = b,b=c,则a =c;
(5)若a//c,b//c,则a//b
（1）错 （4）对
（2）错 （5）错
.
（3）错
与非零向量的模相等，且方向相反的向 量叫做向量的负向量，记作 －a．
a
a
.
巩固知识 典型例题
说出下图中各向量的模，并指出其中的单位向量 (小方格边长为1)．NBຫໍສະໝຸດ EMK A
H
L
Z
CD
FK
Q
P
G
图7−４
.
例1．判断下列命题真假或给出问题的答案：
（1）平行向量的方向一定相同． × （2）不相等的向量一定不平行． ×
东
A b
a
b A
a
A
B√
南
b
b
A
A
100km.
a
a
C
D
.
3.向量的关系：
a
平行向量: 表示为：
方向相同或相反的非零向量. a//b//c
b
零向量与任一向量平行. L
c
共线向量: 任一组平行向量都可平移到同一直线上.
即平行向量也叫做共线向量.
.
相等向量
长度相等且方向相同的向量.表示为：
ab
a
负向量(相反向量) b
F
的向量有几个? 12 (4) 与 OA 共线的
向量有哪几个?
D
E
有 CB,FE,DO.
.
如下图,与AB有几个？与AB长度相等的 有几个？
B
相等的有 7个
长度相等
A
的有9个
.
练习3: 1、下列命题正确的是 ( D )
（A）共线向量都相等 （B）单位向量都相等 （C）平行向量不一定是共线向量 （D）零向量与任一向量平行
.
第七章 平面 向量
7.１ 平面向量的概念
.
小组探究
猫与老鼠哪个重?
一只猫的重量是1.5千克,一只老鼠的重量是
0.猫2公能斤,捉谁更住重老? 鼠 • 老鼠由吗A向?东北方向以每秒6米的速度逃窜,
而猫由A向正南方向每秒10米的速度追. • 问猫能否抓到老鼠?
速度是既有大小又有方向的量
B
a 用字母表示 AB , 或
始点
终点
.
三. 向量的有关概念
1.向量的大小(模):
表示：
| AB |
向或量| aA|B
或 a 的大小(模)
向量是不能比较大小的,但
向量的模是可以进行大小比较的.
a
|a||b| √
b
ab
×
.
2.两个基本向量：
零向量: 模 为零的 向量(方向不确定). 表示： 0 , | 0|0
单位向量: 模为1个单位长度的向量.
.
巩固知识 典型例题
例1 一架飞机从A处向正南方向飞行200km，另一架飞机从A处 朝北偏东45°方向飞行200km， 两架飞机的位移相同吗？分别用有向 线段表示两架飞机的位移．两架飞机位移的有向线段表示分别为图中 的有向线段 a 与 b． 下列各图中哪个表示正确？
其中是向量a与b平行的有_①__③__④.
.
课堂小结:
1、向量定义：既有大小又有方向的量。
AB
A
B
2．向量的长度：向量的大小就是向量的长度
（或称为模）。记作
|
AB
|
3．零向量：长度为0的向量叫做零向量，记 作 0 （手写体）。
.
8．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫
做相等向量。
注意：1°零向量与零向量相等。
例2:如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别
写出图中与向量OA 、OB 、OC
量 与OA相等的向量有 B
相等的向
A
DO,CB.
与OB相等的向量有C
O
F
EO,DC.
与OC相等的向量有 D
E
FA,ED. .
练习2:如图
问题:(1) OA 与 FE
相等吗?
B
A
(2) OB 与 AF
相等吗?
O
(3) 与 OA 长度相等 C
（1）找出与向量 D A 相等的向量； （2）找出向量 D C 的负向量；
D
C
O
（3）找出与向量 A B 平行的向量．
要结合平行四边形 的性质进行分析．两个 向量相等，它们必须是 方向相同，模相等；两 个向量互为负向量，它 们必须是方向相反，模 相等；两个平行向量的 方向相同或相反．
A
B
图7－5
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巩固知识 典型例题
（3）与零向量相等的向量是什么向量？ 零向量 （4）存在与任何向量都平行的向量吗？ 零向量 （5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是 什么向量？ 平行向量（共线向量）
（6）两个非零向量相等的条件是什么？ 模相等且方向相同
（7）共线向量一定在同一直线上． ×
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巩固知识 典型例题
例2 在平行四边形ABCD中（图7－5），O为对角线交点．
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如图所示，用100N的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？
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只有大小，没有方向的量叫做数量（标量） 例如质量、时间、温度、面积、密度等． 既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），
如力、速度、位移等．
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请说出下列一些量那些是数量那些是向量?
距离、位移、身高、力、质量、时间、速度、面积、温度.
数量
向量
距离、身高、 质量、时间、 面积、温度
位移、力、 速度
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Ｆ
力
Ｆ
三要素：大小，方向. ，作用点
S
位移:质点做机械运动，从初位置 到末位置的有向线段叫做位移。
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速度：物
体运动的
位移与所 用的时间
Ｖ
的比值
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二.向量的表示
用有向线段表示(规定了起点、方向、长度的 线段)
a 始点
终点
始点
终点
A
例2 在平行四边形ABCD中（图7－4），O为对角线交点．
（1）找出与向量 D A 相等的向量； （2）找出向量 D C 的负向量；
D
C
O
（3）找出与向量 A B 平行的向量． 解 由平行四边形的性质，得
A
B
图7－4
（1） CBDA； （2） B A D C ， C D D C ； （3）B A / /A B ， D C / /A B ， C D / /A B ．
2°任意两个相等的非零向量，都可以
用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点
无关。
a
ab
b
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动脑思考 探索新知
在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量 做数量（标量） ，例如质量、时间、温度、面积、密度等． 既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量）， 如力、速度、位移等．
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2.下列说法正确的是 ( A )
A) 方向相同或相反的向量是平行向量. B) 零向量是0 . C)长度相等的向量叫做相等向量. D) 共线向量是在一条直线上的向量.
3.已知a、b是任意两个向量,下列条件: ①a=b; ②|a|=|b|; ③a与b的方向相反; ④a=0或b=0; ⑤ a与b都是单位向量.
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练习1：判断下列各命题是否正确？ （1）a = b ,则a = b;
(2)若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； （3）若AB = CD, 则四边形ABCD是平行四边形； （4）若a = b,b=c,则a =c;
(5)若a//c,b//c,则a//b
（1）错 （4）对
（2）错 （5）错
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（3）错
与非零向量的模相等，且方向相反的向 量叫做向量的负向量，记作 －a．
a
a
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巩固知识 典型例题
说出下图中各向量的模，并指出其中的单位向量 (小方格边长为1)．NBຫໍສະໝຸດ EMK A
H
L
Z
CD
FK
Q
P
G
图7−４
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例1．判断下列命题真假或给出问题的答案：
（1）平行向量的方向一定相同． × （2）不相等的向量一定不平行． ×
东
A b
a
b A
a
A
B√
南
b
b
A
A
100km.
a
a
C
D
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3.向量的关系：
a
平行向量: 表示为：
方向相同或相反的非零向量. a//b//c
b
零向量与任一向量平行. L
c
共线向量: 任一组平行向量都可平移到同一直线上.
即平行向量也叫做共线向量.
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相等向量
长度相等且方向相同的向量.表示为：
ab
a
负向量(相反向量) b
F
的向量有几个? 12 (4) 与 OA 共线的
向量有哪几个?
D
E
有 CB,FE,DO.
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如下图,与AB有几个？与AB长度相等的 有几个？
B
相等的有 7个
长度相等
A
的有9个
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练习3: 1、下列命题正确的是 ( D )
（A）共线向量都相等 （B）单位向量都相等 （C）平行向量不一定是共线向量 （D）零向量与任一向量平行