高三数学导数专题例题及知识点总结

导数专题

一、导数的基本应用

（一）研究含参数的函数的单调性、极值和最值

基本思路：定义域 →→ 疑似极值点 →→ 单调区间 →→ 极值 →→ 最值 基本方法：一般通法：利用导函数研究法 特殊方法：（1）二次函数分析法；（2）单调性定义法

【例题1】已知函数2

2()(1)x b

f x x -=

-，求导函数()f x '，并确定()f x 的单调区间．

解：242(1)(2)2(1)()(1)x x b x f x x ----'=-3222(1)x b x -+-=-3

2[(1)]

(1)x b x --=--．

令()0f x '=，得1x b =-． 当11b -=，即2b =时，2

()1

f x x =

-，所以函数()f x 在(1)-∞，和(1)+∞，上单调递减． 当11b -<，即2b <时，()f x '的变化情况如下表：

当11b ->，即2b >时，()f x '的变化情况如下表：

所以，2b <时，函数()f x 在(1)b -∞-，和(1)+∞，上单调递减，在(11)b -，上单调递增，

2b =时，函数()f x 在(1)-∞，

和(1)+∞，上单调递减． 2b >时，函数()f x 在(1)-∞，

和(1)b -+∞，上单调递减，在(11)b -，上单调递增．

【例题2】已知函数3

2

()2f x x mx nx =++-的图象过点(1,6)--，且函数()()6g x f x x '=+的图象关于y 轴对称.（Ⅰ）求m n 、的值及函数()y f x =的单调区间；（Ⅱ）若0a >，求函数()y f x =在区间(1,1)a a -+的极值. 解：（Ⅰ）由函数()f x 图象过点(1,6)--，得3m n -=-，………①

由32()2f x x mx nx =++-，得2()32f x x mx n '=++，则2

()()63(26)g x f x x x m x n '=+=+++； 而()g x 图象关于y 轴对称，所以－

26

023

m +=⨯，所以3m =-， 代入①得 0n =.于是2

()363(2)f x x x x x '=-=-.

由()0f x '>得2x >或0x <，故()f x 的单调递增区间是(,0)-∞，(2,)+∞； 由()0f x '<得02x <<，故()f x 的单调递减区间是(0,2). （Ⅱ）由（Ⅰ）得()3(2)f x x x '=-，令()0f x '=得0x =或2x =. 当x 变化时，()f x '、()f x 的变化情况如下表：

由此可得：当01a <<时，()f x 在(1,1)a a -+有极大值(0)2f =-，无极小值；

当1a =时，()f x 在(1,1)a a -+无极值；

当13a <<时，()f x 在(1,1)a a -+有极小值(2)6f =-，无极大值； 当3a ≥时，()f x 在(1,1)a a -+无极值.

综上所述，当01a <<时，()f x 有极大值2-，无极小值；当13a <<时，()f x 有极小值6-，无极大值；当1a =或

3a ≥时，()f x 无极值.

点评：本题是前面两个例题的变式，同样考查了对导函数零点的分类讨论，但讨论的直接对象变为了函数自变量的研

究围，故此题思路不难，旨在帮助学生加深对此类问题本质的认识，并提升其详尽分类，正确计算的水平. 【例题3】已知函数2

()1ln f x x a x x

=-+-，a ＞0， (I)讨论()f x 的单调性;

(II)设a=3，求()f x 在区间[1，2

e ]上值域.其中e=2.71828…是自然对数的底数.

解：（Ⅰ）由于/

22()1a f x x x =+

-,令1t x

=得/2

()21(0)f x t at t =-+≠

① 当2

80a ∆=-≤，即0a <≤/

()0f x ≥恒成立，∴()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上都是增函数.

② 当2

80a ∆=->，即a >

由2

210t at -+>得t <或t >

∴0x <或x >0x <<

又由2

210t at -+

综上,当0a <≤()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上都是增函数；

当a >()f x 在(-∞及)+∞上都是增函数，

在(

,22

a a -+是减函数. （2）当3a =时，由（1）知，()f x 在[1，2]上是减函数，在[2

2,]e 上是增函数.

又2

2

22

(1)0,(2)23ln 20,()50f f f e e e

==-<=-

-> ∴函数()f x 在区间[1，2e ]上的值域为2

22[23ln 2, e 5]e

---.

点评：

（1）第一问在前面例题的理论基础上，进一步加大了运算的难度，涉及到了换元法，分母有理化等代数技巧； （2）第二问将问题延伸到了函数值域上，过程比较简单，是一个承上启下的过渡性问题. （二）利用函数的单调性、极值、最值，求参数取值围

基本思路：定义域 →→ 单调区间、极值、最值 →→ 不等关系式 →→ 参数取值围 基本工具：导数、含参不等式解法、均值定理等

【例题4】已知函数3

2

()22f x x bx cx =++-的图象在与x 轴交点处的切线方程是510y x =-. （I ）求函数()f x 的解析式； （II ）设函数1

()()3

g x f x mx =+

，若．()g x 的极值存在．．．．．

，数m 的取值围以及函数()g x 取得极值时对应的自变量x 的值. 解：（I ）由已知,切点为(2,0),故有(2)0f =,即430b c ++=……①

又2

()34f x x bx c '=++，由已知(2)1285f b c '=++=得870b c ++=……② 联立①②，解得1,1b c =-=.所以函数的解析式为3

2

()22f x x x x =-+-

（II ）因为32

1()223g x x x x mx =-+-+

令21

()34103

g x x x m '=-++=