高三数学导数专题例题及知识点总结
专题03导数及其应用（解析版）
专题03 导数及其应用1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-【答案】D【解析】∵e ln 1,x y a x '=++∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=， 将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-. 故选D ．【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a ，b 的等式，从而求解，属于常考题型.2．【2019年高考天津理数】已知a ∈R ，设函数222,1,()ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为 A ．[]0,1 B ．[]0,2 C ．[]0,eD ．[]1,e【答案】C【解析】当1x =时，(1)12210f a a =-+=>恒成立；当1x <时，22()22021x f x x ax a a x =-+≥⇔≥-恒成立，令2()1x g x x =-，则222(11)(1)2(1)1()111x x x x g x x x x -----+=-=-=----112201x x ⎛⎫⎛⎫=--+-≤-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，当111x x-=-，即0x =时取等号， ∴max 2()0a g x ≥=，则0a >.当1x >时，()ln 0f x x a x =-≥，即ln xa x≤恒成立， 令()ln xh x x=，则2ln 1()(ln )x h x x -'=，当e x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增， 当0e x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减， 则e x =时，()h x 取得最小值(e)e h =， ∴min ()e a h x ≤=，综上可知，a 的取值范围是[0,e]. 故选C.【名师点睛】本题考查分段函数的最值问题，分别利用基本不等式和求导的方法研究函数的最值，然后解决恒成立问题.3．（2019浙江）已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则 A ．a <–1，b <0 B ．a <–1，b >0 C ．a >–1，b <0 D ．a >–1，b >0【答案】C【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x =b1−a ， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2﹣b ，2(1)y x a x =+-'，当a +1≤0，即a ≤﹣1时，y ′≥0，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上单调递增， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点，不合题意；当a +1＞0，即a >﹣1时，令y ′＞0得x ∈(a +1，+∞），此时函数单调递增，令y ′＜0得x ∈[0，a +1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点⇔函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点， 如图：∴b1−a ＜0且{−b ＞013(a +1)3−12(a +1)(a +1)2−b ＜0， 解得b ＜0，1﹣a ＞0，b ＞−16（a +1）3，则a >–1，b <0. 故选C ．【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2﹣b ，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解．4．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________． 【答案】30x y -=【解析】223(21)e 3()e 3(31)e ,x x x y x x x x x '=+++=++ 所以切线的斜率0|3x k y ='==，则曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=．【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．5．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是 ▲ . 【答案】4 【解析】由4(0)y x x x =+>，得241y x'=-， 设斜率为1-的直线与曲线4(0)y x x x=+>切于0004(,)x x x +，由20411x -=-得0x =0x =， ∴曲线4(0)y x x x=+>上，点P 到直线0x y +=4=.故答案为4．【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法，利用数形结合和转化与化归思想解题.6．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 ▲ . 【答案】(e, 1)【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标. 设点()00,A x y ，则00ln y x =. 又1y x'=， 当0x x =时，01y x '=， 则曲线ln y x =在点A 处的切线为0001()y y x x x -=-， 即00ln 1xy x x -=-， 将点()e,1--代入，得00e1ln 1x x ---=-，即00ln e x x =，考察函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >， 且()ln 1H x x '=+，当1x >时，()()0,H x H x '>单调递增， 注意到()e e H =，故00ln e x x =存在唯一的实数根0e x =， 此时01y =， 故点A 的坐标为()e,1.【名师点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．7．【2019年高考北京理数】设函数()e e xxf x a -=+（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________． 【答案】(]1,0--∞【解析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用()0f x '≥可得a 的取值范围.若函数()e e xxf x a -=+为奇函数，则()(),f x f x -=-即()ee e e xx x x a a --+=-+，即()()1e e0x xa -++=对任意的x 恒成立， 则10a +=，得1a =-.若函数()e e xxf x a -=+是R 上的增函数，则() e e 0x x f x a -'=-≥在R 上恒成立，即2e x a ≤在R 上恒成立， 又2e 0x >，则0a ≤，即实数a 的取值范围是(],0-∞.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中，需利用转化与化归思想，转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查.8．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：（1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点； （2）()f x 有且仅有2个零点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）设()()g x f 'x =，则1()cos 1g x x x =-+，21sin ())(1x 'x g x =-++. 当1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()g'x 单调递减，而(0)0,()02g'g'π><，可得()g'x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭有唯一零点，设为α.则当(1,)x α∈-时，()0g'x >；当,2x α⎛π⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g'x <. 所以()g x 在(1,)α-单调递增，在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，故()g x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭存在唯一极大值点，即()f 'x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭存在唯一极大值点. （2）()f x 的定义域为(1,)-+∞.（i ）当(1,0]x ∈-时，由（1）知，()f 'x 在(1,0)-单调递增，而(0)0f '=，所以当(1,0)x ∈-时，()0f 'x <，故()f x 在(1,0)-单调递减，又(0)=0f ，从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点.（ii ）当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时，由（1）知，()f 'x 在(0,)α单调递增，在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，而(0)=0f '，02f 'π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以存在,2βαπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0f 'β=，且当(0,)x β∈时，()0f 'x >；当,2x βπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f 'x <.故()f x 在(0,)β单调递增，在,2βπ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.又(0)=0f ，1ln 1022f ππ⎛⎫⎛⎫=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x >.从而，()f x 在0,2⎛⎤⎥⎝⎦π没有零点. （iii ）当,2x π⎛⎤∈π⎥⎝⎦时，()0f 'x <，所以()f x 在,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减.而02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，()0f π<，所以()f x 在,2π⎛⎤π⎥⎝⎦有唯一零点. （iv ）当(,)x ∈π+∞时，ln(1)1x +>，所以()f x <0，从而()f x 在(,)π+∞没有零点. 综上，()f x 有且仅有2个零点.【名师点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在性定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可.9．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数()11ln x f x x x -=-+.（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线e x y =的切线. 【答案】（1）函数()f x 在(0,1)和(1,)+∞上是单调增函数，证明见解析； （2）见解析.【解析】（1）f （x ）的定义域为（0，1）（1，+∞）．因为212()0(1)f 'x x x =+>-，所以()f x 在（0，1），（1，+∞）单调递增． 因为f （e ）=e 110e 1+-<-，22222e 1e 3(e )20e 1e 1f +-=-=>--，所以f （x ）在（1，+∞）有唯一零点x 1，即f （x 1）=0．又1101x <<，1111111()ln ()01x f x f x x x +=-+=-=-，故f （x ）在（0，1）有唯一零点11x ．综上，f （x ）有且仅有两个零点． （2）因为0ln 01e x x -=，故点B （–ln x 0，01x ）在曲线y =e x 上．由题设知0()0f x =，即0001ln 1x x x +=-，故直线AB 的斜率0000000000111ln 111ln 1x x x x x k x x x x x x +---===+-----． 曲线y =e x 在点001(ln ,)B x x -处切线的斜率是01x ，曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处切线的斜率也是01x ， 所以曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处的切线也是曲线y =e x 的切线．【名师点睛】本题考查了利用导数求已知函数的单调性、考查了曲线的切线方程，考查了数学运算能力. 10．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数32()2f x x ax b =-+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）01a b =⎧⎨=-⎩或41a b =⎧⎨=⎩. 【解析】（1）2()622(3)f x x ax x x a '=-=-． 令()0f x '=，得x =0或3ax =. 若a >0，则当(,0),3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当0,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在0,3a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；若a =0，()f x 在(,)-∞+∞单调递增；若a <0，则当,(0,)3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在,,(0,)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减.（2）满足题设条件的a ，b 存在.（i ）当a ≤0时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递增，所以()f x 在区间[0，l]的最小值为(0)=f b ，最大值为(1)2f a b =-+.此时a ，b 满足题设条件当且仅当1b =-，21a b -+=，即a =0，1b =-．（ii ）当a ≥3时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递减，所以()f x 在区间[0，1]的最大值为(0)=f b ，最小值为(1)2f a b =-+．此时a ，b 满足题设条件当且仅当21a b -+=-，b =1，即a =4，b =1．（iii ）当0<a <3时，由（1）知，()f x 在[0，1]的最小值为3327a a f b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最大值为b 或2a b -+．若3127a b -+=-，b =1，则a =0<a <3矛盾.若3127a b -+=-，21a b -+=，则a =a =-a =0，与0<a <3矛盾． 综上，当且仅当a =0，1b =-或a =4，b =1时，()f x 在[0，1]的最小值为-1，最大值为1．【名师点睛】这是一道常规的函数导数和不等式的综合题，题目难度比往年降低了不少，考查函数的单调性、最大值、最小值这种基本量的计算. 11．【2019年高考北京理数】已知函数321()4f x x x x =-+． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M （a ）．当M （a ）最小时，求a 的值．【答案】（Ⅰ）y x =与6427y x =-；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）3a =-. 【解析】（Ⅰ）由321()4f x x x x =-+得23()214f x x x '=-+.令()1f x '=，即232114x x -+=，得0x =或83x =.又(0)0f =，88()327f =，所以曲线()y f x =的斜率为1的切线方程是y x =与88273y x -=-， 即y x =与6427y x =-.（Ⅱ）令()(),[2,4]g x f x x x =-∈-. 由321()4g x x x =-得23()24g'x x x =-.令()0g'x =得0x =或83x =. (),()g'x g x 的情况如下：所以()g x 的最小值为6-，最大值为0. 故6()0g x -≤≤，即6()x f x x -≤≤. （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当3a <-时，()(0)|(0)|3M F g a a a ≥=-=->； 当3a >-时，()(2)|(2)|63M F a g a a ≥-=--=+>； 当3a =-时，()3M a =. 综上，当()M a 最小时，3a =-.【名师点睛】本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12．【2019年高考天津理数】设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭；（Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242n n ππ⎛⎫π+π+ ⎪⎝⎭内的零点，其中n ∈N ，证明20022sin c s e o n n n x x x -πππ+-<-． 【答案】（Ⅰ）()f x 的单调递增区间为3ππ2π,2π(),()44k k k f x ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 的单调递减区间为π5π2π,2π()44k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析. 【解析】（Ⅰ）由已知，有()e (cos sin )x f 'x x x =-．因此，当52,244x k k ππ⎛⎫∈π+π+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 时，有sin cos x x >，得()0f 'x <，则()f x 单调递减；当32,244x k k ππ⎛⎫∈π-π+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 时，有sin cos x x <，得()0f 'x >，则()f x 单调递增．所以，()f x 的单调递增区间为32,2(),()44k k k f x ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦Z 的单调递减区间为52,2()44k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z ． （Ⅱ）证明：记()()()2h x f x g x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭．依题意及（Ⅰ），有()e (cos sin )x g x x x =-，从而()2e sin x g'x x =-．当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0()g'x <，故()()()()(1)()022h'x f 'x g'x x g x g'x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因此，()h x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，进而()022h x h f ππ⎛⎫⎛⎫≥== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭．（Ⅲ）证明：依题意，()()10n n u x f x =-=，即cos e 1n x n x =．记2n n y x n =-π，则,42n y ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()()()22e cos ecos 2e n n yx n n n n n f y y x n n π--π==-π=∈N ．由()()20e1n n f y f y -π==≤及（Ⅰ），得0n y y ≥．由（Ⅱ）知，当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g'x <，所以()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，因此()()004n g y g y g π⎛⎫≤<= ⎪⎝⎭．又由（Ⅱ）知，()()02n n n f y g y y π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，故()()()()()022*******2sin cos sin c e e e e os e n n n n n n y n n f y y g y g y g y y y x x -π-π-π-ππ--=-≤=--≤<． 所以，20022sin c s e o n n n x x x -πππ+-<-．【名师点睛】本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法．考查函数思想和化归与转化思想．考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力． 13．【2019年高考浙江】已知实数0a ≠，设函数()=ln 0.f x a x x >（1）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间； （2）对任意21[,)e x ∈+∞均有()2f x a≤ 求a 的取值范围． 注：e=…为自然对数的底数．【答案】（1）()f x 的单调递增区间是()3,+∞,单调递减区间是()0,3；（2）0,4⎛ ⎝⎦. 【解析】（1）当34a =-时，3()ln 04f x x x =-+>．3()4f 'x x =-+=所以，函数()f x 的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+∞）．（2）由1(1)2f a ≤，得0a <≤．当0a <≤()f x ≤2ln 0x -≥． 令1t a=，则t ≥．设()22ln ,g t t x t =≥则2()2ln g t t x =．（i ）当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭()2ln g t g x ≥=．记1()ln ,7p x x x =≥，则1()p'x x =-==.故所以，()(1)0p x p ≥=．因此，()2()0g t g p x ≥=≥．（ii ）当211,e 7x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，1()1g t g x ⎛+= ⎝．令211()(1),,e 7q x x x x ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，则()10q'x =+>， 故()q x 在211,e 7⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以1()7q x q ⎛⎫⎪⎝⎭．由（i ）得，11(1)077q p p ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以，()<0q x ．因此1()10g t g x ⎛+=> ⎝．由（i ）（ii ）知对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，),()0t g t ∈+∞， 即对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()2xf x a ．综上所述，所求a 的取值范围是⎛⎝⎦． 【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．14．【2019年高考江苏】设函数()()()(),,,f x x a x b x c a b c =---∈R 、()f 'x 为f （x ）的导函数．（1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；（2）若a ≠b ，b =c ，且f （x ）和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中，求f （x ）的极小值；（3）若0,01,1a b c =<=，且f （x ）的极大值为M ，求证:M ≤427． 【答案】（1）2a =；（2）见解析；（3）见解析.【解析】（1）因为a b c ==，所以3()()()()()f x x a x b x c x a =---=-．因为(4)8f =，所以3(4)8a -=，解得2a =．（2）因为b c =，所以2322()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-， 从而2()3()3a b f 'x x b x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0f 'x =，得x b =或23a b x +=． 因为2,,3a ba b +都在集合{3,1,3}-中，且a b ≠， 所以21,3,33a ba b +===-． 此时2()(3)(3)f x x x =-+，()3(3)(1)f 'x x x =+-． 令()0f 'x =，得3x =-或1x =．列表如下：所以()f x 的极小值为2(1)(13)(13)32f =-+=-．（3）因为0,1a c ==，所以32()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++，2()32(1)f 'x x b x b =-++．因为01b <≤，所以224(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>， 则()f 'x 有2个不同的零点，设为()1212,x x x x <．由()0f 'x =，得12x x ==． 列表如下：所以()f x 的极大值()1M f x =． 解法一：()321111(1)M f x x b x bx ==-++()221111211(1)[32(1)]3999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭()2321(1)(1)227927b b b b b --+++=++23(1)2(1)(1)2272727b b b b +-+=-+(1)24272727b b +≤+≤．因此427M ≤． 解法二：因为01b <≤，所以1(0,1)x ∈．当(0,1)x ∈时，2()()(1)(1)f x x x b x x x =--≤-． 令2()(1),(0,1)g x x x x =-∈，则1()3(1)3g'x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． 令()0g'x =，得1x =．列表如下：所以当13x =时，()g x 取得极大值，且是最大值，故max 14()327g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭． 所以当(0,1)x ∈时，4()()27f x g x ≤≤，因此427M ≤． 【名师点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．15．【河北省武邑中学2019届高三第二次调研考试数学】函数f(x)=x 2−2lnx 的单调减区间是A ．(0,1]B ．[1,+∞)C ．(−∞,−1]∪(0，1]D ．[−1,0)∪(0,1]【答案】A【解析】f′(x)=2x −2x =2x 2−2x(x >0)，令f′(x)≤0，解得：0<x ≤1. 故选A ．【名师点睛】本题考查了函数的单调性，考查导数的应用，是一道基础题.16．【江西省南昌市2019届高三模拟考试数学】已知f(x)在R 上连续可导，f ′(x)为其导函数，且f(x)=e x +e −x −f ′(1)x ⋅(e x −e −x )，则f ′(2)+f ′(−2)−f ′(0)f ′(1)= A ．4e 2+4e −2 B ．4e 2−4e −2 C ．0D ．4e 2【答案】C【解析】∵()e e (1)()(e e ()x x x x f x f x f x --'-=+=---)， ∴()f x 是偶函数，两边对x 求导，得()()f x f x -'-='，即()()f x f x '-=-'， 则()f x '是R 上的奇函数，则(0)0f '=，(2)(2)f f '-=-'，即(2)(2)0f f '+'-=，则(2)(2)(0)(1)0f f f f ''''+--=. 故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数导数值的计算，根据条件判断函数的奇偶性是解决本题的关键，是中档题.17．【江西省新八校2019届高三第二次联考数学】若3()3()21f x f x x x +-=++对x ∈R 恒成立，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为A ．5250x y +-=B ．10450x y +-=C ．540x y +=D ．204150x y --=【答案】B 【解析】()()3321f x f x x x +-=++……①，()()3321f x f x x x ∴-+=--+……②，联立①②，解得()31124f x x x =--+，则()2312f x x '=--， ()11511244f ∴=--+=-，()351122f '=--=-，∴切线方程为：()55142y x +=--，即10450x y +-=. 故选B.【名师点睛】本题考查利用导数的几何意义求解在某一点处的切线方程，关键是能够利用构造方程组的方式求得函数的解析式.18．【云南省玉溪市第一中学2019届高三第二次调研考试数学】函数2l ()n f x x x =的最小值为A ．1e -B ．1eC ．12e-D ．12e【答案】C【解析】由题得(0,)x ∈+∞，()2ln (2ln 1)f x x x x x x '=+=+， 令2ln 10x +=，解得12ex -=，则当12(0,e )x -∈时，()f x 为减函数，当12(e ,)x -∈+∞时，()f x 为增函数， 所以12e x -=处的函数值为最小值，且121(e )2ef -=-. 故选C.【名师点睛】本题考查用导数求函数最值，解此类题首先确定函数的定义域，其次判断函数的单调性，确定最值点，最后代回原函数求得最值.19．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学】若函数f(x)=12ax 2+xlnx −x 存在单调递增区间，则a 的取值范围是 A ．1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,-+∞D ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】()ln f x ax x '=+， ∴()0f x '>在x ∈()0+∞，上成立， 即ax+ln x ＞0在x ∈()0+∞，上成立，即a ln xx-＞在x ∈()0+∞，上成立． 令g （x ）ln x x =-，则g ′（x ）21ln xx -=-， ∴g （x ）ln xx =-在（0，e ）上单调递减，在（e ，+∞）上单调递增，∴g （x ）ln x x =-的最小值为g （e ）=1e-，∴a ＞1e-． 故选B ．【名师点睛】本题考查学生利用导数研究函数的单调性及转化化归思想的运用，属中档题．20．【山西省太原市2019届高三模拟试题（一）数学】已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf ′(x)−f(x)<0，且f(2)=2，则f (e x )−e x >0的解集是 A ．(−∞,ln2) B ．(ln2,+∞) C ．(0,e 2)D ．(e 2,+∞)【答案】A 【解析】令g (x )=f (x )x,g ′(x )=xf ′(x )−f (x )x 2<0,∴g(x)在(0,+∞)上单调递减，且g (2)=f (2)2=1,故f (e x )−e x >0等价为f (e x )e x>f (2)2，即g (e x )>g (2)，故e x <2,即x <ln2， 则所求的解集为(−∞,ln2). 故选A.【名师点睛】本题考查导数与单调性的应用，构造函数的思想，考查分析推理能力，是中档题. 21．【河南省焦作市2019届高三第四次模拟考试数学】已知a =ln √33，b =e −1，c =3ln28，则a,b,c 的大小关系为 A ．b <c <a B ．a >c >b C ．a >b >cD ．b >a >c【答案】D【解析】依题意，得ln33a ==，1lne e e b -==，3ln2ln888c ==.令f (x )=ln x x，所以f ′(x )=1−ln x x 2.所以函数f (x )在(0,e )上单调递增，在(e,+∞)上单调递减， 所以[f (x )]max =f (e )=1e =b ，且f (3)>f (8)，即a >c ， 所以b >a >c . 故选D.【名师点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，构造出函数()ln xf x x=是解题的关键，属于中档题.22．【安徽省毛坦厂中学2019届高三校区4月联考数学】已知f (x )=lnx +1−ae x ，若关于x 的不等式f (x )<0恒成立，则实数a 的取值范围是 A ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(),0-∞C ．1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由()0f x <恒成立得ln 1ex x a +>恒成立， 设()ln 1e x x h x +=，则()1ln 1e xx x h x -='-. 设()1ln 1g x x x =--，则()2110g x x x'=--<恒成立，∴g (x )在(0,+∞)上单调递减，又∵g (1)=0，∴当0<x <1时，g (x )>g (1)=0，即ℎ′(x )>0； 当x >1时，g (x )<g (1)=0，即ℎ′(x )<0， ∴ℎ(x )在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减， ∴ℎ(x)max =ℎ(1)=1e ，∴a >1e . 故选D.【名师点睛】本题考查利用导数求函数的最值，不等式恒成立问题，分离参数是常见的方法，属于中档题.23．【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试】若1x =是函数()3221()(1)33f x x a x a a x =++-+-的极值点，则a 的值为 A ．-2 B ．3 C ．-2或3D ．-3或2【答案】B 【解析】()()()()32222113(3)(132)f x x a x a a f x x x a x a a '=++-=++-+-⇒+-，由题意可知(1)0f '=，即()212(1)303a a a a +-=+⇒-=+或2a =-，当3a =时，()222()2(1)389(9)(1)f x x a x a a x x x x +-'=++-=+-=+-，当1x >或9x <-时，()0f x '>，函数单调递增；当91x -<<时，()0f x '<，函数单调递减， 显然1x =是函数()f x 的极值点；当2a =-时，()2222()232(111))(0a a f x x a x x x x +-=-++=-=+-≥'，所以函数()f x 是R 上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去. 故3a =. 故选B ．【名师点睛】本题考查了已知函数的极值，求参数的问题.本题易错的地方是求出a 的值，没有通过单调性来验证1x =是不是函数的极值点，也就是说使得导函数为零的自变量的值，不一定是极值点. 24．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷)考试】已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x >时，有()()22f x xf x x '>+，则不等式()()()22018+2018420x f x f +-<＋的解集为A ．(),2016-∞-B ．()2016,2012--C ．(),2018-∞-D ．()2016,0-【答案】A【解析】设()()2g x x f x =，因为()f x 为R 上的奇函数，所以()()()()22g x x f x x f x -=--=-，即()g x 为R 上的奇函数对()g x 求导，得()()()2f g f x x x x x '=+'⎡⎤⎣⎦， 而当0x >时，有()()220f x xf x x '>+≥，故0x >时，()0g x '>，即()g x 单调递增，所以()g x 在R 上单调递增，则不等式()()()22018+2018420x f x f +-<＋即()()()22018+201842x f x f +<--， 即()()()22018+201842x f x f +<， 即()()20182g x g +<，所以20182x +<，解得2016x <-. 故选A.【名师点睛】本题考查构造函数解不等式，利用导数求函数的单调性，函数的奇偶性，题目较综合，有一定的技巧性，属于中档题.25．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学】曲线21()ln 2f x x x x =+在点(1(1))f ，处的切线与直线10ax y --=垂直，则a =________. 【答案】12-【解析】因为21()ln 2f x x x x =+，所以()ln 1f x x x '=++， 因此，曲线21()ln 2f x x x x =+在点(1(1))f ，处的切线斜率为(1)112k f '==+=， 又该切线与直线10ax y --=垂直，所以12a =-. 故答案为12-. 【名师点睛】本题主要考查导数在某点处的切线斜率问题，熟记导数的几何意义即可求解，属于常考题型.26．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月）数学】已知函数22,0,()e ,0,x x x f x x ⎧≤=⎨>⎩若方程2[()]f x a =恰有两个不同的实数根12,x x ，则12x x +的最大值是______．【答案】3ln 22-【解析】作出函数()f x 的图象如图所示，由()2f x a =⎡⎤⎣⎦，可得()1f x =>， 即1a >，不妨设12x x < ，则2212e x x =(1)t t =>，则12ln x x t ==，12ln x x t ∴+=令()ln g t t =()g t '= ∴当18t <<时，()0g t '>，g t 在()1,8上单调递增；当8t时，()0g t '<，g t 在()8,+∞上单调递减，∴当8t =时，g t 取得最大值，为(8)ln823ln22g =-=-.故答案为3ln 22-.【名师点睛】本题主要考查方程的根与图象交点的关系，考查了利用导数判断函数的单调性以及求函数的极值与最值，属于难题.求函数()f x 的极值与最值的步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数()f x '；（3）解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；（4）判断()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值.（5）如果只有一个极值点，则在该点处取得极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点处的函数值与极值的大小.27．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模）数学】已知函数4211()42f x x ax =-，a ∈R . （1）当1a =时，求曲线()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程；（2）设函数2()(22)e e ()x g x x x a f x =-+--，其中e 2.71828...=是自然对数的底数，讨论()g x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 【答案】（1）6100x y --=；（2）当0a ≤时，()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，无极值；当0a >时，()g x 在(,-∞和)+∞单调递增，在(单调递减，极大值为2e(2)e4g a =+，极小值为2e (4g a =-+. 【解析】（1）由题意3()f x x ax '=-，所以当1a =时，(2)2f =，(2)6f '=， 因此曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程是26(2)y x -=-， 即6100x y --=.（2）因为2()(22)e e ()x g x x x a f x =-+--， 所以2()(22)e (22)e e '()x x g x x x x a f x '=-+-+--232()e e()()(e e )x x x a x ax x a x =---=--，令()e e x h x x =-，则()e e x h x '=-， 令()0h x '=得1x =，当(,1)x ∈-∞时，()0h x '<，()h x 单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增， 所以当1x =时，min ()(1)0h x h ==， 也就说，对于x ∀∈R 恒有()0h x ≥. 当0a ≤时，2()()()0g x x a h x '=-≥，()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，无极值；当0a >时，令()0g x '=，可得x =当x <x >2()()()0g x x a h x '=-≥，()g x 单调递增，当x <<()0g x '<，()g x 单调递减，因此，当x =()g x 取得极大值2e(2)e4g a =+；当x =()g x 取得极小值2e (4g a =-+. 综上所述：当0a ≤时，()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，无极值；当0a >时，()g x 在(,-∞和)+∞上单调递增，在(上单调递减， 函数既有极大值，又有极小值，极大值为2e(2)e4g a =+，极小值为2e (4g a =-+. 【名师点睛】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．28．【陕西省2019届高三第三次联考数学】已知函数f(x)=lnx −ax ，g(x)=x 2，a ∈R .（1）求函数f(x)的极值点；（2）若f(x)≤g(x)恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）极大值点为1a ，无极小值点.（2）a ≥−1.【解析】（1）()ln f x x ax =-的定义域为(0,+∞)，f ′(x )=1x −a ， 当a ≤0时，f ′(x )=1x −a >0，所以f (x )在(0,+∞)上单调递增，无极值点；当a >0时，解f ′(x )=1x −a >0得0<x <1a ，解f ′(x )=1x −a <0得x >1a ， 所以f (x )在(0,1a )上单调递增，在(1a ,+∞)上单调递减，所以函数f (x )有极大值点，为1a ，无极小值点. （2）由条件可得ln x −x 2−ax ≤0(x >0)恒成立， 则当x >0时，a ≥ln x x−x 恒成立，令ℎ(x )=ln x x−x(x >0)，则ℎ′(x )=1−x 2−ln xx 2，令k (x )=1−x 2−ln x(x >0)，则当x >0时，k ′(x )=−2x −1x <0，所以k (x )在(0,+∞)上为减函数. 又k (1)=0，所以在(0,1)上，ℎ′(x )>0；在(1,+∞)上，ℎ′(x )<0. 所以ℎ(x )在(0,1)上为增函数，在(1,+∞)上为减函数， 所以ℎ(x )max =ℎ(1)=−1，所以a ≥−1.【名师点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数.29．【山东省济宁市2019届高三二模数学】已知函数f(x)=lnx −xe x +ax(a ∈R).（1）若函数f(x)在[1,+∞)上单调递减，求实数a 的取值范围； （2）若a =1，求f(x)的最大值.【答案】（1）a ≤2e −1；（2）f(x)max =−1.【解析】（1）由题意知，f′(x)=1x −(e x +xe x )+a =1x −(x +1)e x +a ≤0在[1,+∞)上恒成立， 所以a ≤(x +1)e x −1x 在[1,+∞)上恒成立. 令g(x)=(x +1)e x −1x ，则g′(x)=(x +2)e x +1x 2>0，所以g(x)在[1,+∞)上单调递增，所以g(x)min =g(1)=2e −1， 所以a ≤2e −1.（2）当a =1时，f(x)=lnx −xe x +x(x >0). 则f′(x)=1x−(x +1)e x +1=(x +1)(1x−e x )，令m(x)=1x −e x ，则m′(x)=−1x 2−e x <0， 所以m(x)在(0,+∞)上单调递减.由于m(12)>0，m(1)<0，所以存在x 0>0满足m(x 0)=0，即e x 0=1x 0.当x ∈(0,x 0)时，m(x)>0，f′(x)>0；当x ∈(x 0,+∞)时，m(x)<0，f′(x)<0. 所以f(x)在(0,x 0)上单调递增，在(x 0,+∞)上单调递减. 所以f(x)max =f (x 0)=lnx 0−x 0e x 0+x 0， 因为e x 0=1x 0，所以x 0=−lnx 0，所以f(x 0)=−x 0−1+x 0=−1， 所以f(x)max =−1.【名师点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，最值，零点存在性定理及其应用，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.30．【福建省龙岩市2019届高三5月月考数学】今年3月5日，国务院总理李克强作的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”.教育部日前公布的《教育部2019年部门预算》中透露，2019年教育部拟抽检博士学位论文约6000篇，预算为800万元.国务院学位委员会、教育部2014年印发的《博士硕士学位论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学位论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含2位）专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”.有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学位论文，将再送2位同行专家进行复评，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”.设每篇学位论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为(01)p p <<，且各篇学位论文是否被评议为“不合格”相互独立.（1）记一篇抽检的学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为()f p ，求()f p ；（2）若拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的评审费用为1500元；除评审费外，其它费用总计为100万元.现以此方案实施，且抽检论文为6000篇，问是否会超过预算并说明理由.【答案】（1）−3p 5+12p 4−17p 3+9p 2；（2）若以此方案实施，不会超过预算.【解析】（1）因为一篇学位论文初评被认定为“存在问题学位论文”的概率为C 32p 2(1−p )+C 33p 3， 一篇学位论文复评被认定为“存在问题学位论文”的概率为C 31p (1−p )2[1−(1−p )2]，所以一篇学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为f (p )=C 32p 2(1−p )+C 33p 3+C 31p (1−p )2[1−(1−p )2]=3p 2(1−p )+p 3+3p (1−p )2[1−(1−p )2] =−3p 5+12p 4−17p 3+9p 2.（2）设每篇学位论文的评审费为X 元，则X 的可能取值为900，1500.P (X =1500)=C 31p (1−p )2， P (X =900)=1−C 31p (1−p )2， 所以E (X )=900×[1−C 31p (1−p )2]+1500×C 31p (1−p )2=900+1800p (1−p )2. 令g (p )=p (1−p )2,p ∈(0,1),g ′(p )=(1−p )2−2p (1−p )=(3p −1)(p −1). 当p ∈(0,13)时，g ′(p )>0，g (p )在(0,13)上单调递增；当p ∈(13,1)时，g ′(p )<0，g (p )在(13,1)上单调递减,所以g (p )的最大值为g (13)=427.所以实施此方案，最高费用为100+6000×(900+1800×427)×10−4=800（万元）. 综上，若以此方案实施，不会超过预算.【名师点睛】本题主要考查互斥事件的概率和独立重复试验的概率的求法，考查随机变量的期望的求法，考查利用导数求函数的最大值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 31．【北京市西城区2019届高三4月统一测试（一模）数学】设函数f(x)=m e x −x 2+3，其中m ∈R ．（1）当f(x)为偶函数时，求函数ℎ(x)=xf(x)的极值；（2）若函数f(x)在区间[−2 , 4]上有两个零点，求m 的取值范围． 【答案】（1）极小值ℎ(−1)=−2，极大值ℎ(1)=2；（2）−2e <m <13e 4或m =6e 3.【解析】（1）由函数f(x)是偶函数，得f(−x)=f(x)， 即m e −x −(−x)2+3=m e x −x 2+3对于任意实数x 都成立， 所以m =0. 此时ℎ(x)=xf(x)=−x 3+3x ，则ℎ′(x)=−3x 2+3. 由ℎ′(x)=0，解得x =±1. 当x 变化时，ℎ′(x)与ℎ(x)的变化情况如下表所示：所以ℎ(x)在(−∞,−1)，(1,+∞)上单调递减，在(−1,1)上单调递增. 所以ℎ(x)有极小值ℎ(−1)=−2，极大值ℎ(1)=2. （2）由f(x)=m e x −x 2+3=0，得m =x 2−3e x.所以“f(x)在区间[−2 , 4]上有两个零点”等价于“直线y =m 与曲线g(x)=x 2−3e x，x ∈[−2 , 4]有且只有两个公共点”.对函数g(x)求导，得g ′(x)=−x 2+2x+3e x.由g ′(x)=0，解得x 1=−1，x 2=3. 当x 变化时，g ′(x)与g(x)的变化情况如下表所示：所以g(x)在(−2,−1)，(3,4)上单调递减，在(−1,3)上单调递增. 又因为g(−2)=e 2，g(−1)=−2e ，g(3)=6e 3<g(−2)，g(4)=13e 4>g(−1)，所以当−2e <m <13e4或m =6e3时，直线y =m 与曲线g(x)=x 2−3e x，x ∈[−2 , 4]有且只有两个公共点.即当−2e <m <13e 4或m =6e3时，函数f(x)在区间[−2 , 4]上有两个零点.【名师点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法： （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解. （2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解. （3）转化为两熟悉的函数图象问题，从而构建不等式求解.。
专题17 函数与导数压轴解答题常考套路归类(精讲精练)(原卷版)
专题17 函数与导数压轴解答题常考套路归类【命题规律】函数与导数是高中数学的重要考查内容，同时也是高等数学的基础，其试题的难度呈逐年上升趋势，通过对近十年的高考数学试题，分析并归纳出五大考点：（1）含参函数的单调性、极值与最值； （2）函数的零点问题；（3）不等式恒成立与存在性问题； （4）函数不等式的证明． （5）导数中含三角函数形式的问题其中，对于函数不等式证明中极值点偏移、隐零点问题、含三角函数形式的问题探究和不等式的放缩应用这四类问题是目前高考函数与导数压轴题的热点．【核心考点目录】核心考点一：含参数函数单调性讨论 核心考点二：导数与数列不等式的综合问题 核心考点三：双变量问题 核心考点四：证明不等式 核心考点五：极最值问题 核心考点六：零点问题核心考点七：不等式恒成立问题核心考点八：极值点偏移问题与拐点偏移问题 核心考点九：利用导数解决一类整数问题 核心考点十：导数中的同构问题 核心考点十一：洛必达法则核心考点十二：导数与三角函数结合问题【真题回归】1．（2022·天津·统考高考真题）已知a b ∈R ，，函数()()sin ,x f x e a x g x =-=(1)求函数()y f x =在()()0,0f 处的切线方程； (2)若()y f x =和()y g x =有公共点， （i ）当0a =时，求b 的取值范围； （ii ）求证：22e a b +>．2．（2022·北京·统考高考真题）已知函数()e ln(1)x f x x =+． (1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (2)设()()g x f x '=，讨论函数()g x 在[0,)+∞上的单调性； (3)证明：对任意的,(0,)s t ∈+∞，有()()()f s t f s f t +>+．3．（2022·浙江·统考高考真题）设函数e()ln (0)2f x x x x=+>． (1)求()f x 的单调区间；(2)已知,a b ∈R ，曲线()y f x =上不同的三点()()()()()()112233,,,,,x f x x f x x f x 处的切线都经过点(,)a b ．证明：（ⅰ）若e a >，则10()12e a b f a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭； （ⅰ）若1230e,a x x x <<<<，则22132e 112e e6e 6e a ax x a --+<+<-． （注：e 2.71828=是自然对数的底数）4．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()e e ax x f x x =-． (1)当1a =时，讨论()f x 的单调性；(2)当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围； (3)设n *∈N21ln(1)n n +>++．5．（2022·全国·统考高考真题）已知函数1()(1)ln f x ax a x x=--+． (1)当0a =时，求()f x 的最大值；(2)若()f x 恰有一个零点，求a 的取值范围．6．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()ln xf x x a xx e -=+-．(1)若()0f x ≥，求a 的取值范围；(2)证明：若()f x 有两个零点12,x x ，则121x x <．7．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()x f x e ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值． (1)求a ；(2)证明：存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【方法技巧与总结】1、对称变换主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：（1）定函数（极值点为0x ），即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点x 0．（2）构造函数，即根据极值点构造对称函数0()()(2)F x f x f x x =--，若证2120x x x > ，则令2()()()x F x f x f x=-． （3）判断单调性，即利用导数讨论()F x 的单调性．（4）比较大小，即判断函数()F x 在某段区间上的正负，并得出()f x 与0(2)f x x -的大小关系．（5）转化，即利用函数()f x 的单调性，将()f x 与0(2)f x x -的大小关系转化为x 与02x x -之间的关系，进而得到所证或所求．【注意】若要证明122x x f +⎛⎫' ⎪⎝⎭的符号问题，还需进一步讨论122x x +与x 0的大小，得出122x x +所在的单调区间，从而得出该处导数值的正负．构造差函数是解决极值点偏移的一种有效方法，函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中．某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用．因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的．根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧．许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效2121212ln ln 2x x x xx x -+<-证明极值点偏移：①由题中等式中产生对数； ②将所得含对数的等式进行变形得到1212ln ln x x x x --；③利用对数平均不等式来证明相应的问题．3、 比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可．【核心考点】核心考点一：含参数函数单调性讨论 【规律方法】1、导函数为含参一次型的函数单调性导函数的形式为含参一次函数时，首先讨论一次项系数为0，导函数的符号易于判断，当一次项系数不为雩，讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数图像判定导函数的符号，写出函数的单调区间．2、导函数为含参二次型函数的单调性当主导函数（决定导函数符号的函数）为二次函数时，确定原函数单调区间的问题转化为探究该二次函数在给定区间上根的判定问题．对于此二次函数根的判定有两种情况：（1）若该二次函数不容易因式分解，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域； （2）若该二次函数容易因式分解，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域，判定导函数的符号，从而判断原函数的单调性．3、导函数为含参二阶求导型的函数单调性当无法直接通过解不等式得到一阶导函数的符号时，可对“主导”函数再次求导，使解题思路清晰．“再构造、再求导”是破解函数综合问题的强大武器．在此我们首先要清楚()()()f x f x f x '''、、之间的联系是如何判断原函数单调性的．（1）二次求导目的：通过()f x ''的符号，来判断()f x '的单调性；（2）通过赋特殊值找到()f x '的零点，来判断()f x '正负区间，进而得出()f x 单调性． 【典型例题】例1．（2023春·山东济南·高三统考期中）已知三次函数()()32111212322f x ax a x x =+---.(1)当3a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程， (2)讨论()y f x =的单调性.例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()2122ex f x x a x a -⎡⎤=+-+-⎣⎦，R a ∈，讨论函数()f x 单调性；例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()212ln 212f x a x x a x =+-+，a ∈R ，求()f x 的单调区间.例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()()22ln 211f x x ax a x a =---+∈R .求函数()f x 的单调区间；核心考点二：导数与数列不等式的综合问题 【规律方法】在解决等差、等比数列综合问题时，要充分利用基本公式、性质以及它们之间的转化关系，在求解过程中要树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，并适时地采用“巧用性质，整体考虑”的方法．可以达到减少运算量的目的．【典型例题】例5．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知函数()1ln f x x a x x=--.(1)若不等式()0f x ≥在()1,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； (2)证明：()()()22211ln 21ni n n i i n n =+-⎛⎫>⎪+⎝⎭∑.例6．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知函数()e (2)2,x f x x a ax a =-++∈R ． (1)当1a =时，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； (2)若不等式()0f x ≥对0x ∀≥恒成立，求实数a 的范围； (3)证明：当111,1ln(21)23n n n*∈++++<+N ．例7．（2023春·福建宁德·高三校考阶段练习）已知函数()e ax f x x =-（12a ≥）. (1)(0,1)x ∈，求证：1sin ln 1x x x<<-；(2)证明：111sin sin sin()23f n n+++<.(ln20.693,ln3 1.099≈≈)核心考点三：双变量问题 【规律方法】破解双参数不等式的方法：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果． 【典型例题】例8．（2023春·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）已知函数()()ln 1R f x x ax a =-+∈. (1)若过原点的一条直线l 与曲线()y f x =相切，求切点的横坐标；(2)若()f x 有两个零点12x x ，，且212x x >，证明：①1228>e x x ； ②2212220+>e x x .例9．（2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知函数2()e ,2xmx f x m =-∈R . (1)讨论()f x 极值点的个数；(2)若()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，证明:()()122e f x f x m +<-.例10．（2023·全国·高三专题练习）巳知函数()ln(3)f x x x =+-. (1)求函数f （x ）的最大值; (2)若关于x 的方程e ln3,(0)3x a a a x +=>+有两个不等实数根x x ₁，₂，证明: 122e e x xa+>.核心考点四：证明不等式 【规律方法】利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数． （4）对数单身狗，指数找基友 （5）凹凸反转，转化为最值问题 （6）同构变形 【典型例题】例11．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知函数()()22ln ,f x x ax bx a b =-+∈R ．(1)当0b =时，讨论()f x 的单调性;(2)设12,x x 为()f x 的两个不同零点，证明：当()0,x ∈+∞时，()()12212124sin 2e x x f x x x x +-+<++．例12．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知2()(ln 1)f x x x =+． (1)求()f x 的单调递增区间； (2)若124()()ef x f x +=，且12x x <，证明12ln()ln 21x x +>-．例13．（2023·江苏·高三专题练习）已知函数()ln m x nf x x+=在()()1,1f 处的切线方程为1y =. (1)求实数m 和n 的值；(2)已知()(),A a f a ，()(),B b f b 是函数()f x 的图象上两点，且()()f a f b =，求证：()()ln ln 1a b ab +<+.核心考点五：极最值问题 【规律方法】利用导数求函数的极最值问题．解题方法是利用导函数与单调性关系确定单调区间，从而求得极最值．只是对含有参数的极最值问题，需要对导函数进行二次讨论，对导函数或其中部分函数再一次求导，确定单调性，零点的存在性及唯一性等，由于零点的存在性与参数有关，因此对函数的极最值又需引入新函数，对新函数再用导数进行求值、证明等操作．【典型例题】例14．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知函数()31,R 3f x x ax a a =-+∈.(1)当1a =-时，求()f x 在[]22-,上的最值； (2)讨论()f x 的极值点的个数.例15．（2023·江西景德镇·高三统考阶段练习）已知函数21()(2)e e,()2x f x x g x a x x ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，其中a 为大于0的常数，若()()()F x f x g x =-． (1)讨论()F x 的单调区间；(2)若()F x 在()1x t t =≠取得极小值，求()g t 的最小值．例16．（2023·浙江温州·统考模拟预测）已知0a >，函数()()()F x f x g x =-的最小值为2，其中1()e x f x -=，()ln()g x ax =．(1)求实数a 的值；(2)(0,)∀∈+∞x ，有(1)1(e )f x m kx k g x +-≥+-≥，求2mk k -的最大值．核心考点六：零点问题 【规律方法】函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围．求解步骤：第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与x 轴（或直线y k =）在某区间上的交点问题；第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像； 第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数． 【典型例题】例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()2e 2x m f x x m =+∈R ． (1)若存在0x >，使得()0f x <成立，求m 的取值范围；(2)若函数()()2e e x F x x f x =+-有三个不同的零点，求m 的取值范围．例18．（2023·全国·高三专题练习）设0a >，已知函数()e 2xf x a x =--，和()()ln 22g x x a x =-++⎡⎤⎣⎦.(1)若()f x 与()g x 有相同的最小值，求a 的值；(2)设()()()2ln 2F x f x g x a =++-有两个零点，求a 的取值范围.例19．（2023春·广西·高三期末）已知函数()()ln e axxf xg x x ax ==-，. (1)当1a =时，求函数()f x 的最大值；(2)若关于x 的方()()f x g x +=1有两个不同的实根，求实数a 的取值范围.核心考点七：不等式恒成立问题 【规律方法】1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．2、利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤； （2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤； （4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥．3、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()y f x =，[],x a b ∈，()y g x =，[],x c d ∈． （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，有()()12f xg x <成立，则()()maxmin f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f xg x <成立，则()()maxmax f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f xg x <成立，则()()minmax f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f xg x =成立，则()f x 的值域是()g x 的值域的子集．【典型例题】例20．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）已知函数()ln 1f x x =+.(1)若函数()()1g x mf x x =+-的图象在1x =处的切线与直线2y x =平行，求函数()g x 在1x =处的切线方程；(2)求证：当12a ≤时，不等式()1af x a +≤在[1,e]上恒成立.例21．（2023·上海·高三专题练习）已知函数()(1)e (R x f x x ax a =--∈且a 为常数）. (1)当0a =，求函数()f x 的最小值；(2)若函数()f x 有2个极值点，求a 的取值范围；(3)若()ln e 1x f x x ≥-+对任意的,()0x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围.例22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()()e 1ln ln 0x f x a x a x a =+--⋅>．(1)若e a =，求函数()f x 的单调区间； (2)若不等式()1f x <在区间()1,+∞上有解，求实数a 的取值范围．核心考点八：极值点偏移问题与拐点偏移问题 【规律方法】1、极值点偏移的相关概念所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性．若函数)(x f 在0x x =处取得极值，且函数)(x f y =与直线b y =交于),(),,(21b x B b x A 两点，则AB 的中点为),2(21b x x M +，而往往2210x x x +≠．如下图所示．图1 极值点不偏移 图2 极值点偏移极值点偏移的定义：对于函数)(x f y =在区间),(b a 内只有一个极值点0x ，方程)(x f 的解分别为21x x 、，且b x x a <<<21，（1）若0212x x x ≠+，则称函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 偏移；（2）若0212x x x >+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 左偏，简称极值点0x 左偏；（3）若0212x x x <+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 右偏，简称极值点0x 右偏．【典型例题】例23．（2022•浙江期中）已知函数()f x x lnx a =--有两个不同的零点1x ，2x ． （1）求实数a 的取值范围； （2）证明：121x x a +>+．例24．（2021春•汕头校级月考）已知，函数()f x lnx ax =-，其中a R ∈． （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若函数()f x 有两个零点， ()i 求a 的取值范围；()ii 设()f x 的两个零点分别为1x ，2x ，证明：212x x e >．例25．（2022•浙江开学）已知a R ∈，()ax f x x e -=⋅（其中e 为自然对数的底数）． （ⅰ）求函数()y f x =的单调区间；（ⅰ）若0a >，函数()y f x a =-有两个零点x ，2x ，求证：22122x x e +>．核心考点九：利用导数解决一类整数问题 【规律方法】分离参数、分离函数、半分离 【典型例题】例26．已知函数()ln 2f x x x =--． （1）求函数在()()1,1f 处的切线方程（2）证明：()f x 在区间()3,4内存在唯一的零点；（3）若对于任意的()1,x ∈+∞，都有()ln 1x x x k x +>-，求整数k 的最大值．例27．已知函数211()ln 2f x x x x a a ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，(0)a ≠． （1）当12a =时，求函数()fx 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）令2()()F x af x x =-，若()12F x ax <-在()1,x ∈+∞恒成立，求整数a 的最大值．（参考数据：4ln 33<，5ln 44<）．例28．已知函数()ln 2f x x x =--．（1）证明：()f x 在区间()3,4内存在唯一的零点；（2）若对于任意的()1,x ∈+∞，都有()ln 1x x x k x +>-，求整数k 的最大值．核心考点十：导数中的同构问题【规律方法】1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式2、同构式的应用：（1）在方程中的应用：如果方程()0f a =和()0f b =呈现同构特征，则,a b 可视为方程()0f x =的两个根（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系．可比较大小或解不等式．<同构小套路>①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”：()xf x x e =⋅，()xf x e x =±；寻找“亲戚函数”是关键；③信手拈来凑同构，凑常数、x 、参数；④复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围． （3）在解析几何中的应用：如果()()1122,,,Ax y B x y 满足的方程为同构式，则,A B 为方程所表示曲线上的两点．特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线AB 的方程（4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于(),n a n 与()1,1n a n --的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解【典型例题】例29．（2022·河北·高三阶段练习）已知函数()ln f x x x =． （1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且b a a b =，证明：2111e a b<+<．例30．（2022·河南郑州·二模（文））已知函数()e 21e xf x x =⋅-+，()ln 2xg x x=+． （1）求函数()g x 的极值；（2）当x >0时，证明：()()f x g x ≥例31．（2022·河南省浚县第一中学模拟预测（理））已知函数()()e x f x ax a =-∈R ．（1）讨论f （x ）的单调性．（2）若a ＝0，证明：对任意的x >1，都有()4333ln f x x x x x ≥-+．核心考点十一：洛必达法则 【规律方法】法则1、若函数()f x 和()g x 满足下列条件： （1）()lim 0x af x →=及()lim 0x ag x →=；（2）在点a 的去心邻域()(),,a a a a εε-⋃+内，()f x 与()g x 可导且()0g x '≠； （3）()()limx af x lg x →'='，那么()()lim x a f x g x →=()()lim x a f x l g x →'='．法则2、若函数()f x 和()g x 满足下列条件：（1）()lim 0x f x →∞=及()lim 0x g x →∞=； （2）0A ∃>，()f x 和()g x 在(),A -∞与(),A +∞上可导，且()0g x '≠； （3）()()limx f x l g x →∞'='，那么()()limx f x g x →∞=()()limx f x l g x →∞'='．法则3、若函数()f x 和()g x 满足下列条件： （1）()lim x af x →=∞及()lim x ag x →=∞；（2）在点a 的去心邻域()(),,a a a a εε-⋃+内，()f x 与()g x 可导且()0g x '≠； （3）()()limx af x lg x →'='， 那么()()limx af xg x →=()()limx af x lg x →'='． 注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： （1）将上面公式中的x a →，,x x →+∞→-∞，x a +→，x a -→洛必达法则也成立． （2）洛必达法则可处理00，∞∞，0⋅∞，1∞，∞，，∞-∞型．（3）在着手求极限以前，首先要检查是否满足00，∞∞，0⋅∞，1∞，∞，，∞-∞型定式，否则滥用洛必达法则会出错．当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限．（4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止．()()()()()()limlimlimx ax ax a f x f x f x g x g x g x →→→'''=='''，如满足条件，可继续使用洛必达法则． 【典型例题】例32．已知函数()=ln (,)f x a x bx a b R +∈在12x =处取得极值，且曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线10x y -+=垂直．（1）求实数,a b 的值；（2）若[1,)x ∀∈+∞，不等式()(2)mf x m x x≤--恒成立，求实数m 的取值范围．例33．设函数()1x f x e -=-．（1）证明：当1x >-时，()1xf x x ≥+； （2）设当0x ≥时，()1xf x ax ≤+，求a 的取值范围．例34．设函数sin ()2cos xf x x=+．如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围．22sin 2sin 2sin (sin )x x x x x x =-=-核心考点十二：导数与三角函数结合问题 【规律方法】 分段分析法【典型例题】例35．（2023·河南郑州·高三阶段练习）已知函数()1sin e xx f x x -=+，ππ,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦． (1)求证：()f x 在ππ,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；(2)当[]π,0x ∈-时，()sin e cos sin xf x x x k x --⎡⎤⎣⎦恒成立，求k 的取值范围．例36．（2023春·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）已知函数()sin ()cos f x x x a x =-+（a 为常数），函数3211()32g x x ax =+.(1)证明：（i ）当0x >时，sin x x >； （ii ）当0x <时，sin x x <；(2)证明：当0a ≥时，曲线()y f x =与曲线()y g x =有且只有一个公共点.例37．（2023·全国·高三专题练习）已知函数π()e sin sin ,[0,π]4xf x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.(1)若1a ≤，判断函数()f x 的单调性； (2)证明：e (π)1sin cos x x x x -+≥-.【新题速递】1．（2023·北京·高三专题练习）已知1x =是函数()()ln ln ln 21xf x x ax x=-+++的一个极值点． (1)求a 值；(2)判断()f x 的单调性；(3)是否存在实数m ，使得关于x 的不等式()f x m ≥的解集为()0,∞+?直接写出m 的取值范围．2．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知()214ln 2f x x x a x =-+． (1)若函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； (2)若函数()f x 有两个极值点12,x x ，证明：()()1210ln f x f x a +>-+．3．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知函数()()2e 21xf x x ax =+-，其中R a ∈，若()f x 的图象在点()()0,0f 处的切线方程为210x by ++=． (1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()f x 在区间[]3,1-上的最值．4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()1f x x =-，()ln(1)g x m x =-，R m ∈. (1)若直线:20l x y -=与()y g x =在(0,(0))g 处的切线垂直，求m 的值；(2)若函数()()()h x g x f x =-存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：()()1122x h x x h x >.5．（2023·北京·高三专题练习）已知函数()2e x f x =，直线:2l y x b =+与曲线()y f x =相切．(1)求实数b 的值；(2)若曲线()y af x =与直线l 有两个公共点，其横坐标分别为(,)m n m n <． ①求实数a 的取值范围； ②证明：()()1f m f n ⋅>．6．（2023春·陕西西安·高三统考期末）已知函数()()33ln af x x a x x=--+． (1)当0a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)若[]1,e x ∀∈，()0f x <，求实数a 的取值范围．7．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知函数()31f x x ax =-+．(1)当1a =时，过点()1,0作曲线()y f x =的切线l ，求l 的方程； (2)当0a ≤时，对于任意0x >，证明：()cos f x x >．8．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知函数()22e xx f x ax +=++． (1)若()f x 单调递增，求a 的取值范围；(2)若()f x 有两个极值点12,x x ，其中12x x <，求证：2133x x a ->-．9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()43,R,04a f x x ax bx ab a =--∈≠ (1)若0b =，求函数()f x 的单调区间；(2)若存在0R x ∈，使得()()00f x x f x x =+-，设函数()y f x =的图像与x 轴的交点从左到右分别为A ，B ，C ，D ，证明：点B ，C 分别是线段AC 和线段BD 的黄金分割点.（注：若线段上的点将线段分割成两部分，且其中较长部分与全长之比等于较短部分与较长部分之比，则称此点为该线段的黄金分割点）10．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知函数()()2e e xf x x =-+，()()2112g x a x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()()ln 1ln h x x x a =-+，其中a 为常数，若()()()()F x f x g x h x =-+.(1)讨论()F x 的单调区间；(2)若()F x 在()1x t t =≠取得极小值，且()()f t mh t ≥恒成立，求实数m 的取值范围.11．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点P (2，0)作直线l 交抛物线于A ，B 两点．(1)若l 的倾斜角为π4，求△F AB 的面积；(2)过点A ，B 分别作抛物线C 的两条切线1l ，2l 且直线1l 与直线2l 相交于点M ，问：点M 是否在某定直线上？若在，求该定直线的方程，若不在，请说明理由．12．（2023春·江西赣州·高三赣州市赣县第三中学校考期中）已知函数()21ln 2f x x ax =-，()()21e 112x g x x ax a x =--+-，(1)求函数()y f x =的单调区间；(2)若对于定义域内任意x ，()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．。
高中数学导数知识点归纳的总结及例题(word文档物超所值)
为函数
_____ _ 的图象的顶点在第四象限，则其导
o
y
x
-33
)
(x
f
y'
=
()y f x ='()f x 为( )
（安微省合肥市2010年高三第二次教学质量检测文科）函数()y f x =的图像如下右)
(x f y '=
（2010年浙江省宁波市高三“十校”联考文科）如右图所示是某
一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是（ ）
象大致形状是（ ）
2009湖南卷文）若函数()y f x =的导函数在区间[,]a b 上是增函数，则函数
()x 在区间[,]a b 上的图象可能是
y
y
y
14.（2008年福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),
y=g(x)的图象可能是（ ）
15.(2008珠海一模文、理)设是函数的导函数，将和的图)('x f )(x f )(x f y =)('x f y =像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．16.(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)已知函数
)(x f y =的导函数)(x f y '=的图像如下，则（
）
函数)(x f 有1个极大值点，1个极小值点
y。
导数高考大题知识点总结
导数高考大题知识点总结一、导数的定义1. 函数的导数函数f(x)在点x处的导数定义为：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h其中，h表示x的增量，表示x的变化量；lim表示极限。
2. 几何意义函数f(x)在点x处的导数，表示函数在该点处的切线斜率。
3. 导数的记号函数f(x)关于x的导数通常记为f'(x)或y'，也读作f关于x的导数或者y的导数。
4. 导数的存在性对于给定的函数f(x)，在某一点x处可能存在导数，也可能不存在。
二、导数的运算法则1. 基本导数法则常数函数的导数等于零；幂函数的导数规律：(x^n)'=nx^(n-1)；指数函数的导数规律：(a^x)'=a^x * ln(a)；对数函数的导数规律：(log_a(x))' = 1/(x * ln(a))；三角函数的导数规律：(sinx)' = cosx，(cosx)' = -sinx。
2. 基本函数的导数导数的和、差法则：(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)；导数的积法则：(f(x)*g(x))' = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)；导数的商法则：(f(x)/g(x))' = (f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x))/g(x)^2；复合函数的导数：设y=f(u)，u=g(x)，则y=f(g(x))，导数为：y'=f'(g(x)) * g'(x)。
3. 链式法则如果函数y=f(u)，u=g(x)，则y=f(g(x))，则有：y'=f'(u) * g'(x)。
4. 隐函数的导数当函数关系式不显式的写出y=f(x)，而是通过x和y的方程来确定时，求导的方法。
三、导数的应用1. 切线方程在点(x,f(x))处的切线方程为y-f(x)=f'(x)(x-a)。
导数知识点总结及例题
导数知识点总结及例题一、导数的定义1.1 函数的变化率在生活中，我们经常会遇到函数随着自变量的变化而发生变化的情况，比如一辆汽车的速度随着时间的变化而变化、货物的销售量随着价格的变化而变化等。
这种情况下，我们就需要考虑函数在某一点处的变化率，也就是导数。
对于函数y=f(x)，在点x处的变化率可以用函数的增量Δy和自变量的增量Δx的比值来表示：f'(x) = lim(Δx→0) (Δy/Δx)其中f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
利用导数的定义，我们可以计算得到函数在某一点处的变化率。
1.2 导数的几何意义导数还有一个重要的几何意义，它表示了函数曲线在某一点处的切线的斜率。
例如，对于函数y=x^2，在点(1,1)处的导数就代表了曲线在这一点处的切线斜率。
这也意味着，导数可以帮助我们理解函数曲线在不同点处的形状和走向。
1.3 导数存在的条件对于一个函数f(x)，它在某一点处的导数存在的条件是：在这一点处函数曲线的切线存在且唯一。
也就是说，如果函数在某一点处导数存在，那么这个点就是函数的可导点。
二、导数的性质2.1 导数与函数的关系导数是函数的一个重要属性，它可以帮助我们理解函数的性质。
例如，导数可以表示函数在某一点处的斜率，可以告诉我们函数曲线的凹凸性，还可以帮助我们找到函数的极值点等。
2.2 导数与导函数当一个函数在某一点处的导数存在时，我们可以使用导数的定义来求出函数在该点处的导数。
我们把这个过程称为求导，求出的导数称为导函数。
导函数的值就是原函数在对应点处的导数值。
2.3 导数的性质导数具有一些重要的性质，比如导数存在的条件、可导函数的和、差、积、商的导数求法则等。
这些性质是我们求解导数的问题时的重要依据，也是我们理解函数性质的基础。
三、求导法则3.1 基本求导法则基本求导法则是求解导数问题的基础，它包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等函数的导数求法。
高三导数经典例题
导数经典例题1导数的概念， 2导数的几何意义， 3物理意义,4几种常见函数的导数5两个函数的和、差、积、商的导数，复合函数的导数，6利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值例1．⎩⎨⎧>+≤==11)(2x bax x x x f y 在1=x 处可导，则=a =b例2．已知f(x)在x=a 处可导，且f ′(a)=b ，求下列极限：（1）0(3)()lim 2h f a h f a h h→+--； （2）20()()lim h f a h f a h →+-例3．（1）求曲线122+=x xy 在点（1，1）处的切线方程； （2）运动曲线方程为2221t tt S +-=，求t=3时的速度。
例4． 求下列函数单调区间 （1）5221)(23+--==x x x x f y （2）x x y 12-=（3）x xk y +=2)0(>k （4）22ln y x x =-例5．求证下列不等式（1）)1(2)1ln(222x x x x x x +-<+<- ),0(∞+∈x （2）πxx 2sin >)2,0(π∈x例6．求满足条件的a（1）使ax x y +=sin 为R 上增函数 （2）使a ax x y ++=3为R 上增函数 （3）使5)(23-+-=x x ax x f 为R 上增函数例7．（2003年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷，理工农医类19）） 设0>a ，求函数),0()(ln()(+∞∈+-=x a x x x f 的单调区间.例8．已知抛物线42-=x y 与直线y=x+2相交于A 、B 两点，过A 、B 两点的切线分别为1l 和2l 。
（1）求A 、B 两点的坐标； （2）求直线1l 与2l 的夹角。
例9．（2001年天津卷）设0>a ，xx e a a e x f +=)(是R 上的偶函数。
（I ）求a 的值；（II ）证明)(x f 在),0(+∞上是增函数例10．（2000年全国、天津卷）设函数ax x x f -+=1)(2，其中0>a 。
高考数学导数与三角函数压轴题综合归纳总结教师版
高考数学导数与三角函数压轴题综合归纳总结教师版导数与三角函数的问题在近几年的高考数学试题中频繁出现，主要包括函数零点个数的确定、根据函数零点个数求参数围、隐零点问题及零点存在性赋值理论。
这些问题的形式逐渐多样化、综合化。
一、零点存在定理例1.【2019全国Ⅰ理20】函数$f(x)=\sin x-\ln(1+x)$，$f'(x)$为$f(x)$的导数。
证明：1）$f'(x)$在区间$(-1,)$存在唯一极大值点；2）$f(x)$有且仅有2个零点。
解析】（1）设$g(x)=f'(x)$，则$g(x)=\cos x-\frac{1}{1+x}$，$g'(x)=-\sin x+\frac{1}{(1+x)^2}$。
当$x\in(-1,\frac{\pi}{2})$时，$g'(x)$单调递减，而$g'(0)>0$，$g'(\frac{\pi}{2})<0$，可得$g'(x)$在$(-1,\frac{\pi}{2})$有唯一零点，设为$\alpha$。
则当$x\in(-1,\alpha)$时，$g'(x)>0$；当$x\in(\alpha,\frac{\pi}{2})$时，$g'(x)<0$。
所以$g(x)$在$(-1,\alpha)$单调递增，在$(\alpha,\frac{\pi}{2})$单调递减，故$g(x)$在$(-1,\frac{\pi}{2})$存在唯一极大值点，即$f'(x)$在$(-1,\frac{\pi}{2})$存在唯一极大值点。
2）$f(x)$的定义域为$(-1,+\infty)$。
i) 由(1)知，$f'(x)$在$(-1,0)$单调递增，而$f'(0)=0$，所以当$x\in(-1,0)$时，$f'(x)<0$，故$f(x)$在$(-1,0)$单调递减，又$f(0)=0$，从而$x=0$是$f(x)$在$(-1,0]$的唯一零点。
高中数学导数经典20题附解析
导数经典20题目录导数经典20题 (1)一、【不等式恒成立-单变量】5道 (3)二、【不等式恒成立-双变量】5道 (13)三、【不等式证明】5道 (23)四、【零点问题】5道 (32)一、【不等式恒成立-单变量】【第01题】（2017•广东模拟）已知()ln a f x x x=+．（1）求()f x 的单调区间和极值；（2）若对任意0x >，均有()2ln ln x a x a −≤恒成立，求正数a 的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）问题转化为2ln ln 1a a ≤+，求出a 的范围即可．【解答】解：（1）（0x >）， ()221a x a f x x x x−′=−=（0x >）， 当0a ≤时，()0f x ′>，在()0,+∞上递增，无极值；当0a >时，0x a <<时，()0f x ′<，在()0,a 上递减，x a >时，()0f x ′>，()f x 在(),a +∞上递增，()()ln 1f x f a a ==+极小值，无极大值．（2）若对任意0x >，均有恒成立，即对任意0x >，均有2ln ln a a x x≤+恒成立， 由（1）得：0a >时，()f x 的最小值是ln 1a +，故问题转化为：2ln ln 1a a ≤+，即ln 1a ≤，故0e a <≤．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查()ln a f x x x =+()f x ()f x ()2ln ln x a x a −≤转化思想，是一道中档题．一、【不等式恒成立-单变量】【第02题】（2019•西安一模）已知函数()()21e x f x x ax =−−（其中e 为自然对数的底数）． （1）判断函数()f x 极值点的个数，并说明理由；（2）若对任意的0x >，()3e x f x x x +≥+，求a 的取值范围．【分析】（1）首先求得导函数，然后分类讨论确定函数的极值点的个数即可；（2）将原问题转化为恒成立的问题，然后分类讨论确定实数a 的取值范围即可．【解答】解：（1）()()e 2e 2x xf x x ax x a ′=−=− ，当0a ≤时，()f x 在(),0−∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，()f x 有1个极值点； 当102a <<时，()f x 在(),ln 2a −∞上单调递增，在()ln 2,0a 上单调递减，在()0,+∞上单调递增，()f a 有2个极值点； 当12a =时，()f x 在R 上单调递增，此时函数没有极值点； 当12a >时，()f x 在(),0−∞上单调递增，在()0,ln 2a 上单调递减，在()ln 2,a +∞上单调递增，()f a 有2个极值点． 综上，当12a =时，()f x 没有极值点；当0a ≤时，()f x 有1个极值点；当0a >且12a ≠时，()f x 有2个极值点．（2）由得32e 0x x x ax x −−−≥．当0x >时，2e 10x x ax −−−≥， 即2e 1x x a x−−≤对0x ∀>恒成立． 设()2e 1x x g x x−−=（0x >）， ()3e x f x x x +≥+则()()()21e 1x x x g x x −−−′=，设()e 1x h x x =−−，则()e 1x h x ′=−，由0x >可知()0h x ′>，()h x 在()0,+∞上单调递增，()()00h x h >=，即e 1x x >+，()g x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()()1e 2g x g ∴≥=−，e 2a ∴≤−，故a 的取值范围是(],e 2−∞−．【点评】本题主要考查导数研究函数的极值点，导数研究不等式恒成立的方法，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题．【第03题】（2017春•太仆寺旗校级期末）已知函数()ln f x x a x =−，()1a g x x+=−（a ∈R ）． （1）若1a =，求函数()f x 的极小值；（2）设函数()()()h x f x g x =−，求函数()h x 的单调区间；（3）若在区间[]1,e 上存在一点0x ，使得()()00f x g x <成立，求a 的取值范围．【分析】（1）先求出其导函数，让其大于0求出增区间，小于0求出减区间即可得到函数的单调区间进而求出函数()f x 的极值；（2）先求出函数()h x 的导函数，分情况讨论让其大于0求出增区间，小于0求出减区间即可得到函数的单调区间；（3）先把()()00f x g x <成立转化为()00h x <，即函数()1ln a h x x a x x +=+−在[]1,e 上的最小值小于零；再结合（2）的结论分情况讨论求出其最小值即可求出a 的取值范围．【解答】解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，当1a =时，()ln f x x x =−，()111x f x x x −′=−=， x ()0,11 ()1,+∞ ()'f x− 0 + ()f x减 极小 增 所以()f x 在1x =处取得极小值1．（2）()1ln a h x x a x x +=+−， ()()()221111x x a a a h x x x x+−+ + ′=−−=， ①当10a +>时，即1a >−时，在()0,1a +上()0h x ′<，在()1,a ++∞上()0h x ′>， 所以()h x 在()0,1a +上单调递减，在()1,a ++∞上单调递增；②当10a +≤，即1a ≤−时，在()0,+∞上()0h x ′>，所以，函数()h x 在()0,+∞上单调递增．（3）在区间[]1,e 上存在一点0x ，使得()()00f x g x <成立，即在[]1,e 上存在一点0x ，使得()00h x <，即函数在[]1,e 上的最小值小于零． 由（2）可知，①当1e a +≥，即e 1a ≥−时，()h x 在[]1,e 上单调递减，所以()h x 的最小值为()e h ，由()1e e 0ea h a +=+−<可得2e 1e 1a +>−， 因为2e 1e 1+−e 1>−， 所以2e 1e 1a +>−； ②当11a +≤，即0a ≤时，()h x 在上单调递增，所以()h x 最小值为()1h ，由()1110h a =++<可得2a <−；③当11e a <+<，即0e 1a <<−时，可得()h x 最小值为()1h a +，因为()0ln 11a <+<，所以，()0ln 1a a a <+<，故()()12ln 12h a a a a +=+−+>，此时，()10h a +<不成立．综上可得，所求a 的范围是：或2a <−． 【点评】本题第一问考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．()1ln a h x x a x x+=+−[]1,e 2e 1e 1a +>−【第04题】（2019•蚌埠一模）已知函数()()2ln f x a x x x =−−．（1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若()0f x ≥恒成立，求a 的值．【分析】（1）代入a 的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）通过讨论x 的范围，问题转化为01x <<时，2ln x a x x ≤−，1x >时，2ln x a x x ≥−，令()g x =2ln x x x−，根据函数的最值求出a 的范围，取交集即可． 【解答】解：（1）1a =时，()2ln f x x x x −−，（0x >） 故()()()211121x x f x x x x+−′=−−=， 令()0f x ′>，解得：1x >，令()0f x ′<，解得：01x <<，故()f x 在()0,1递减，在()1,+∞递增．（2）若()0f x ≥恒成立，即()2ln a x x x −≥，①()0,1x ∈时，20x x −<，问题转化为2ln x a x x ≤−（()0,1x ∈），1x >时，20x x −>，问题转化为2ln x a x x ≥−（1x >）， 令()g x =2ln x x x −， 则()()()22121ln x x x g x x x −−−′=−， 令()()121ln h x x x x =−−−，则()112ln h x x x ′=−+−，()2120x x xh ′=−−<′， 故()h x ′在()0,1和()1,+∞内都递减，()0,1x ∈时，()()10h x h ′′>=，故()h x 在()0,1递增，()()10h x h <=，故()0,1x ∈时，()0g x ′<，()g x 在()0,1递减，而1x →时，()1g x →，故()0,1x ∈时，()1g x >，故1a ≤，()1,x ∈+∞时，()()10h x h ′′<=，故()h x 在()0,1递减，()()10h x h <=， 故()1,x ∈+∞时，()0g x ′<，()g x 在()1,+∞递减，而1x →时，()1g x →，故()1,x ∈+∞时，()1g x >，故1a ≥，②1x =时，显然成立．综上：1a =．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，分类讨论思想，是一道综合题．【第05题】（2019•南昌一模）已知函数()()e ln x f x x x a =−++（e 为自然对数的底数，a 为常数，且1a ≤）． （1）判断函数()f x 在区间()1,e 内是否存在极值点，并说明理由； （2）若当ln 2a =时，()f x k <（k ∈Z ）恒成立，求整数k 的最小值． 【分析】（1）由题意结合导函数的符号考查函数是否存在极值点即可； （2）由题意结合导函数研究函数的单调性，据此讨论实数k 的最小值即可． 【解答】解：（1）()1e ln 1x f x x x a x ′=−++−，令()1ln 1g x x x a x=−++−，()1,e x ∈，则()()'e x f x g x =， ()2210x x g x x −+′=−<恒成立，所以()g x 在()1,e 上单调递减，所以()()110g x g a <=−≤，所以()'0f x =在()1,e 内无解． 所以函数()f x 在区间()1,e 内无极值点．（2）当ln 2a =时，()()e ln ln 2x f x x x =−++，定义域为()0,+∞，()1e ln ln 21x f x x x x ′=−++−，令()1ln ln 21h x x x x =−++−， 由（1）知，()h x 在()0,+∞上单调递减，又11022h => ，()1ln 210h =−<，所以存在11,12x∈，使得()10h x =，且当()10,x x ∈时，()0h x >，即()'0f x >，当()1,x x ∈+∞时，()0h x <，即()'0f x <．所以()f x 在()10,x 上单调递增，在()1,x +∞上单调递减， 所以()()()1111max e ln ln 2x f x f x x x ==−++． 由()10h x =得1111ln ln 210x x x −++−=，即1111ln ln 21x x x −+=−， 所以()1111e 1x f x x =−，11,12x∈ ，令()1e 1x r x x =− ，1,12x ∈ ，则()211e 10x r x x x′=−+> 恒成立， 所以()r x 在1,12上单调递增，所以()()1102r r x r <<= ，所以()max 0f x <，又因为1211e ln 2ln 2122f=−−+=>−，所以()max 10f x −<<，所以若()f x k <（k ∈Z ）恒成立，则k 的最小值为0．【点评】本题主要考查导数研究函数的极值，导数研究函数的单调性，导数的综合运用等知识，属于中等题．二、【不等式恒成立-双变量】【第06题】（2019•广元模拟）已知函数()()ln 11xf x a x x=−++（a ∈R ），()2e mx g x x =（m ∈R ）． （1）当1a =时，求函数()f x 的最大值；（2）若0a <，且对任意的1x ，[]20,2x ∈，()()121f x g x +≥恒成立，求实数m 的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值即可； （2）令()()1x f x ϕ=+，根据函数的单调性分别求出()x ϕ的最小值和()g x 的最大值，得到关于m 的不等式，解出即可．【解答】解：（1）函数()f x 的定义域为()1,−+∞， 当1a =时，()()()2211111xf x xx x −′=−=+++，∴当()1,0x ∈−时，()'0f x >，函数()f x 在()1,0−上单调递增， ∴当()0,x ∈+∞时，()'0f x <，函数()f x 在()0,+∞上单调递减， ()()max 00f x f ∴==．（2）令()()1x f x ϕ=+，因为“对任意的1x ，[]20,2x ∈，()()121f x g x +≥恒成立”， 所以对任意的1x ，[]20,2x ∈，()()min max x g x ϕ≥成立， 由于()()211ax a x x ϕ−−+′=+，当0a <时，对[]0,2x ∀∈有()'0x ϕ>，从而函数()x ϕ在[]0,2上单调递增， 所以()()min 01x ϕϕ==， ()()222e e 2e mx mx mx g x x x mmxx ′=+⋅=+，当0m =时，()2g x x =，x ∈[]0,2时，()()max 24g x g ==，显然不满足()max 1g x ≤，当0m ≠时，令()'0g x =得10x =，22x m=−， ①当22m−≥，即10m −≤≤时，在[]0,2上()0g x ′≥，所以()g x 在[]0,2上单调递增， 所以()()2max 24e m g x g ==，只需24e 1m ≤，得ln 2m ≤−，所以1ln 2m −≤≤−． ②当202m <−<，即1m <−时，在20,m − 上()0g x ′≥，()g x 单调递增，在2,2m−−上()0g x ′<，()g x 单调递减，所以()22max 24eg x g m m== ， 只需2241e m ≤，得2e m ≤−，所以1m <−． ③当20m−<，即0m >时，显然在[]0,2上()0g x ′≥，()g x 单调递增， 所以()()2max 24e m g x g ==，24e 1m ≤不成立． 综上所述，m 的取值范围是(],ln 2−∞−．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题．【第07题】（2019•濮阳一模）已知函数()ln b f x a x x =+（0a ≠）． （1）当2b =时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a b +=，0b >时，对任意1x ，21,e e x ∈，都有()()12e 2f x f x −≤−成立，求实数b 的取值范围．【分析】（1）通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）原问题等价于()()max min e 2f x f x −≤−成立，可得()()min 11f x f ==，可得()()max e e b f x f b ==−+，即e e 10b b −−+≤，设()e e 1b b b ϕ=−−+（0b >），可得()b ϕ在()0,+∞单调递增，且()10ϕ=，即可得不等式e e 10b b −−+≤的解集．【解答】解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞． 当2b =时，()2ln f x a x x =+，所以()22x a f x x+′=． ①当0a >时，()0f x ′>，所以函数()f x 在()0,+∞上单调递增．②当0a <时，令()0f x ′=，解得：x =当0x <<()0f x ′<，所以函数()f x 在 上单调递减；当x >()0f x ′>，所以函数()f x 在+∞上单调递增． 综上所述，当2b =，0a >时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增；当2b =，0a <时，函数()f x 在 上单调递减，在 +∞上单调递增． （2） 对任意1x ，21,e e x∈，有()()12e 2f x f x −≤−成立，()()max min e 2f x f x ≤∴−−成立，0a b += ，0b >时，()ln b f x b x x =−+．()()11bb b x b f x bx x x−−′=−+=． 当01x <<时，()0f x ′<，当1x >时，()0f x ′>，()f x ∴在1,1e单调递减，在[]1,e 单调递增，()()min 11f x f ==，1e e bf b − =+ ，()e e b f b =−+， 设()()1e e e 2e b b g b f f b −=−=−−（0b >），()e e 20b b g b −′=+−>． ()g b ∴在()0,+∞递增，()()00g b g ∴>=，()1e e f f ∴>．可得()max f x =()e e b f b =−+，e 1e 2b b ∴−+−≤−，即e e 10b b −−+≤，设()e e 1b b b ϕ=−−+（0b >），()e 10b b ϕ′−>在()0,b ∈+∞恒成立．()b ϕ∴在()0,+∞单调递增，且()10ϕ=，∴不等式e e 10b b −−+≤的解集为(]0,1． ∴实数b 的取值范围为(]0,1．【点评】本题考查了导数的应用，考查了转化思想、运算能力，属于压轴题．【第08题】（2019•衡阳一模）已知()32342f x x ax x −=+（x ∈R ），且()f x 在区间[]1,1−上是增函数．（1）求实数a 的值组成的集合A ；（2）设函数()f x 的两个极值点为1x 、2x ，试问：是否存在实数m ，使得不等式21213m tm x x ++≥−对任意a A ∈及[]1,1t ∈−恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由()f x 在区间[]1,1−上是增函数．可得()24220f x ax x ′=+−≥在区间[]1,1−上恒成立．可得()10f ′−≥，()10f ′≥，即可得出． （2）函数()f x 的两个极值点为1x 、2x ，可得12x x a +=，122x x =−．()()1212121212322x x x x x x x x x x −−++≤−++==a A ∈，设()h a =[]1,1a ∈−，则()h a 是偶函数，且在[]0,1上单调递增，进而得出其最大值为7．()21213g t m tm x x ++≥−=对任意a A ∈及[]1,1t ∈−恒成立，可得()()1717g g −≥ ≥，解得m 范围即可得出．【解答】解：（1） ()f x 在区间[]1,1−上是增函数， ∴()24220f x ax x ′=+−≥在区间[]1,1−上恒成立．()14220f a ∴′−=−−≥，()14220f a ′=+−≥，解得11a −≤≤． []1,1A ∴=−．（2）函数()f x 的两个极值点为1x 、2x ， ∴12x x a +=，122x x =−．∴()()1212121212322x x x x x x x x x x −−++≤−++==a A ∈ ，设()h a =[]1,1a ∈−，则()h a 是偶函数，且在[]0,1上单调递增．123x x ∴−的最大值为()17h =．设()2211g t m tm mt m ++=++=，[]1,1t ∈−，()123g t x x ≥−对任意a A ∈及[]1,1t ∈−恒成立，则()()1717g g −≥≥ ，解得3m ≤−或3m ≥． ∴存在实数3m ≤−或3m ≥，使得不等式21213m tm x x ++≥−对任意a A ∈及[]1,1t ∈−恒成立．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．【第09题】（2018•呼和浩特一模）已知函数()ln f x x =，()212g x x bx =−（b 为常数）． （1）当4b =时，讨论函数()()()h x f x g x =+的单调性；（2）2b ≥时，如果对于1x ∀，(]21,2x ∈，且12x x ≠，都有()()()()1212f x f x g x g x −<−成立，求实数b 的取值范围．【分析】（1）先求导，再根据导数和函数的单调性关系即可求出，（2）令()()()x f x g x ϕ=+，则问题等价于函数()x ϕ在区间(]1,2（1，2]上单调递减，即等价于()10x x b xϕ′=+−≤在区间(]1,2上恒成立，所以得1b x x ≥+，求出即可．【解答】解：（1）()21ln 2h x x x bx =+−的定义域为()0,+∞，当4b =时，()21ln 42h x x x x =+−，()2141'4x x h x x x x−+=+−=， 令()'0h x =，解得12x =−，22x =+(2x ∈时，()0h x ′<， 当(0,2x ∈或()2+∞时，()0h x ′>，所以，()h x 在(0,2和()2+∞单调递增；在(2单调递减． （2）因为()ln f x x =在区间(]1,2上单调递增， 当2b ≥时，()212g x x bx =−在区间(]1,2上单调递减， 不妨设12x x >，则()()()()1212f x f x g x g x −<−等价于()()()()1122f x g x f x g x +<+， 令()()()x f x g x ϕ=+，则问题等价于函数()x ϕ在区间(]1,2上单调递减， 即等价于()10x x b xϕ′=+−≤在区间(]1,2上恒成立， 所以得1b x x≥+在区间(]1,2上恒成立， 因为1y x x=+在(]1,2上单调递增， 所以max 15222y =+=，所以得5b≥．2【点评】本题考查了导数研究函数的单调性以及根据函数的增减性得到函数的最值，理解等价转化思想的运用，属于中档题．【第10题】（2018•邕宁区校级模拟）设函数()e xa f x x x=−，a ∈R 且0a ≠，e 为自然对数的底数． （1）求函数()f x y x=的单调区间； （2）若1ea =，当120x x <<时，不等式()()()211212m x x f x f x x x −−>恒成立，求实数m 的取值范围．【分析】（1）求出函数y 的导数y ′，利用导数判断函数y 的单调性与单调区间； （2）120x x <<时，()()()211212m x x f x f x x x −−>等价于()()1212m mf x f x x x −>−；构造函数()()mg x f x x=−，由()g x 在()0,+∞上为减函数，得出()0g x ′≤， 再利用构造函数求最值法求出m 的取值范围． 【解答】解：（1）函数()2e 1xf x a y x x==−， ()243e 2e 2e xx x a x a x x a y x x −⋅−⋅∴′==， ①当0a >时，由0y ′>得02x <<，由0y ′<得0x <或2x >； ②当0a <时，由0y ′>得0x <或2x >，由0y ′<得02x <<． 综上：①当0a >时，函数()f x y x=的增区间为()0,2，减区间为(),0−∞，()2,+∞； ②当0a <时，函数()f x y x=的增区间为(),0−∞，()2,+∞，减区间为()0,2． （2）当120x x <<时，()()()211212m x x f x f x x x −−>等价于()()1212m mf x f x x x −>−，即函数())e (e x m mg x f x x x x x=−=−−在()0,+∞上为减函数，则()()()1212221e 1e 10x x x x x m m g x x x x−−−−−+′=−+=≤， ()121e x m x x −∴≤−−；令()()121e x h x x x −=−−， 则()()11 e 2e 2x x h x x xx −−′=−=−，由()0h x ′=得ln 2e x =；当()0,ln 2e x ∈时，()0h x ′<，()h x 为减函数； 当()ln 2e,+x ∈∞时，()0h x ′>，()h x 为增函数．()h x ∴的最小值为()()()()22ln 2e 12ln 2e ln 2e 1e ln 2e 2ln 2ln 21ln 21h −=−−=−+=−−； 2ln 21m ∴≤−−，m ∴的取值范围是(22,ln 1 −−∞− ．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值问题，也考查了不等式恒成立问题，是综合题．三、【不等式证明】【第11题】（2018新课标Ｉ）已知函数()e ln 1x f x a x =−−．（1）设2x =是()f x 的极值点，求a ，并求()f x 的单调区间； （2）证明：当1ea ≥时，()0f x ≥． 【分析】（1）推导出0x >，()1e x f x a x ′=−，由2x =是()f x 的极值点，解得212ea =，从而()21e ln 12exf x x =−−，进而()211e 2e x f x x ′=−，由此能求出()f x 的单调区间． （2）当1e a ≥时，()e ln 1e xf x x ≥−−，设()e ln 1e xg x x =−−，则()e 1e x g x x ′=−，由此利用导数性质能证明当1ea ≥时，()0f x ≥． 【解答】解：（1）∵函数()e ln 1x f x a x =−−． ∴0x >，()1e xf x a x′=−， ∵2x =是()f x 的极值点，∴()212e 02f a ′=−=，解得212ea =，∴()21e ln 12exf x x =−−，∴()211e 2e x f x x ′=−， 当02x <<时，()0f x ′<，当2x >时，()0f x ′>， ∴()f x 在()0,2单调递减，在()2,+∞单调递增．（2）证明：当1e a ≥时，()e ln 1e xf x x ≥−−，设()e ln 1e x g x x =−−，则()e 1e x g x x ′=−， 由()e 10e x g x x ′=−=，得1x =，当01x <<时，()0g x ′<， 当1x >时，()0g x ′>， ∴1x =是()g x 的最小值点，故当0x >时，()()10g x g ≥=， ∴当1ea ≥时，()0f x ≥． 【点评】本题考查函数的单调性、导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力，是中档题．【第12题】（2018新课标Ⅲ）已知函数()21e xax x f x +−=． （1）求曲线()y f x =在点()0,1−处的切线方程； （2）证明：当1a ≥时，()e 0f x +≥． 【分析】（1）()()()()2221e 1e e x xx ax ax x f x +−+−′=由()02f ′=，可得切线斜率2k =，即可得到切线方程． （2）可得()()()()()()2221e 1e 12ee x xxx ax ax x ax x f x +−+−+−′==−．可得()f x 在1,a−∞−，()2,+∞递减，在1,2a−递增，注意到1a ≥时，函数()21g x ax x =+−在()2,+∞单调递增，且()2410g a =+>．只需()min e f x ≥−，即可． 【解答】解：（1）()()()()()()2221e 1e 12e e x xxx ax ax x ax x f x +−+−+−′==−．∴()02f ′=，即曲线()y f x =在点()01−，处的切线斜率2k =， ∴曲线()y f x =在点()01−，处的切线方程方程为()12y x −−=． 即210x y −−=为所求．（2）证明：函数()f x 的定义域为：R ， 可得()()()()()()2221e 1e 12e e x xxx ax ax x ax x f x +−+−+−′==−．令()0f x ′=，可得12x =，210x a=−<， 当1,x a∈−∞−时，()0f x ′<，当1,2x a ∈− 时，()0f x ′>，当()2,x ∈+∞时，()0f x ′<．∴()f x 在1,a−∞−，()2,+∞递减，在1,2a − 递增，注意到1a ≥时，函数()21g x ax x =+−在()2,+∞单调递增，且()2410g a =+>．函数()f x 的图象如下：∵1a ≥，∴(]10,1a∈，则11e e a f a−=−≥−， ∴()1min e e af x =−≥−， ∴当1a ≥时，()e 0f x +≥．【点评】本题考查了导数的几何意义，及利用导数求单调性、最值，考查了数形结合思想，属于中档题．【第13题】（2016新课标Ⅲ）设函数()ln 1f x x x =−+． （1）讨论()f x 的单调性； （2）证明当()1,x ∈+∞时，11ln x x x−<<； （3）设1c >，证明当()0,1x ∈时，()11x c x c +−>．【分析】（1）求出导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意函数的定义域；（2）由题意可得即证ln 1ln x x x x <−<．运用（1）的单调性可得ln 1x x <−，设()ln 1F x x x x =−+，1x >，求出单调性，即可得到1ln x x x −<成立；（3）设()()11x G x c x c =+−−，求()G x 的二次导数，判断()G x ′的单调性，进而证明原不等式．【解答】解：（1）函数()ln 1f x x x =−+的导数为()11f x x′=−， 由()0f x ′>，可得01x <<；由()0f x ′<，可得1x >． 即有()f x 的增区间为()0,1；减区间为()1,+∞； （2）证明：当()1,x ∈+∞时，11ln x x x−<<，即为ln 1ln x x x x <−<． 由（1）可得()ln 1f x x x =−+在()1,+∞递减， 可得()()10f x f <=，即有ln 1x x <−；设()ln 1F x x x x =−+，1x >，()1ln 1ln F x x x ′=+−=， 当1x >时，()0F x ′>，可得()F x 递增，即有()()10F x F >=， 即有ln 1x x x >−，则原不等式成立； （3）证明：设()()11x G x c x c =+−−，则需要证明：当()0,1x ∈时，()0G x >（1c >）；()1ln x G x c c c ′=−−，()()2ln 0x G x c c ′′=−<，∴()G x ′在()0,1单调递减，而()01ln G c c ′=−−，()11ln G c c c ′=−−， 由（1）中()f x 的单调性，可得()01ln 0G c c ′=−−>，由（2）可得()()11ln 1ln 10G c c c c c ′=−−=−−<，∴()0,1t ∃∈，使得0G t ′=（），即()0,x t ∈时，()0G x ′>，(),1x t ∈时，()0G x ′<； 即()G x 在()0,t 递增，在(),1t 递减； 又因为：()()010G G ==，∴()0,1x ∈时()0G x >成立，不等式得证； 即1c >，当()0,1x ∈时，()11x c x c +−>．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式的证明，注意运用构造函数法，求出导数判断单调性，考查推理和运算能力，属于中档题．【第14题】（2015新课标Ｉ）设函数()2e ln x f x a x =−． （1）讨论()f x 的导函数()f x ′零点的个数； （2）证明：当0a >时，()22lnf x a a a≥+． 【分析】（1）先求导，在分类讨论，当0a ≤时，当0a >时，根据零点存在定理，即可求出；（2）设导函数()f x ′在()0,+∞上的唯一零点为0x ，根据函数()f x 的单调性得到函数的最小值()0f x ，只要最小值大于22ln a a a+，问题得以证明．【解答】解：（1）()2e ln x f x a x =−的定义域为()0,+∞， ∴()22e x xx af =′−． 当0a ≤时，()0f x ′>恒成立，故()f x ′没有零点， 当0a >时，∵2e x y =为单调递增，ay x=−单调递增， ∴()f x ′在()0,+∞单调递增， 又()0f a ′>，假设存在b 满足0ln2a b <<时，且14b <，()0f b ′<， 故当0a >时，导函数()f x ′存在唯一的零点；（2）由（1）知，可设导函数()f x ′在()0,+∞上的唯一零点为0x ， 当()00,x x ∈时，()0f x ′<， 当()0,x x ∈+∞时，()0f x ′>，故f(x)在()00,x 单调递减，在()0,x +∞单调递增， 所欲当0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为()0f x ， 由于0202e 0x ax −=，所以()002a f x x =+02ax +2ln a a ≥2a +2ln a a． 故当0a >时，()22lnf x a a a≥+． 【点评】本题考查了导数和函数单调性的关系和最值的关系，以及函数的零点存在定理，属于中档题．【第15题】（2015安徽）设n ∗∈N ，n x 是曲线221n y x +=+在点()1,2处的切线与x 轴交点的横坐标． （1）求数列{}n x 的通项公式； （2）记2221321n n T x x x −= ，证明：14n T n≥． 【分析】（1）利用导数求切线方程求得切线直线并求得横坐标； （2）利用放缩法缩小式子的值从而达到所需要的式子成立．【解答】解：（1）2221'1'22n n y x n x ++=+=+（）（），曲线221n y x +=+在点()1,2处的切线斜率为22n +，从而切线方程为()()2221y n x −=+−．令0y =，解得切线与x 轴的交点的横坐标为1111n n x n n =−=++；（2）证明：由题设和（1）中的计算结果可知：22213222211321242n n n n T x x x−− = =， 当1n =时，114T =， 当2n ≥时，因为()()()()2222212221211212212222n n n n n n n n n n n x −−−−−−−=>=== ， 所以2112112234n T n n n − >××××= ；综上所述，可得对任意的n ∗∈N ，均有14n T n≥． 【点评】本题主要考查切线方程的求法和放缩法的应用，属基础题型．四、【零点问题】【第16题】（2018秋•龙岩期末）已知函数()()2ln 12f x x ax a x a =−−−+（a ∈R ）． （1）讨论()f x 的单调性；（2）令函数()()()()22e 1ln 1x g x f x x a x −=+−+−−，若函数()g x 有且只有一个零点0x ，试判断0x 与3的大小，并说明理由．【分析】（1）由()222211a x x a f x x a x x +− ′−−−−（1x >），分212a +≤和212a +>两类分析函数的单调性；（2）函数()()()()()222e 1ln 1e ln 12x x g x f x x a x ax x a −−=+−+−−=−−−+，求其导函数，可得()21e 1x g x a x −′=−−−，令()()h x g x ′=，对()h x 求导，分析可得()g x ′在()1,+∞上有唯一零点1x ，结合已知可得01x x =，则()()0000g x g x ′ = = ，由此可得()()0200013e ln 1101x x x x −−−−+−=−， 令()()()213e ln 111x t x x x x −−−−+−−（1x >）． 再利用导数判断其单调性，结合函数零点的判定可得03x <． 【解答】解：（1）()222211a x x a f x x a x x +− ′−−−−（1x >）， 当212a +≤，即0a ≤时，()0f x ′>在()1,+∞上恒成立，()f x 在()1,+∞上单调递增； 当212a +>，即0a >时，若21,2a x + ∈ ，则()0f x ′<，若2,2a x + ∈+∞，则()0f x ′>， ∴()f x 在21,2a + 上单调递减，在2,2a ++∞上单调递增； （2）函数()()()()()222e 1ln 1e ln 12x x g x f x x a x ax x a −−=+−+−−=−−−+． 则()21e 1x g x a x −′=−−−，易知()g x ′在()1,+∞上单调递增，当1x >且1x →时，()g x ′→−∞，x →+∞，()g x ′→+∞， ∴()g x ′在()1,+∞上有唯一零点1x ，当()11,x x ∈时，()0g x ′<，当()1,x x ∈+∞时，()0g x ′>． ∴()()1min g x g x =，由已知函数()g x 有且只有一个零点0x ，则01x x =． ∴()()0000g x g x ′ = = ，即()0022001e 01e ln 120x x a x ax x a −− −−= − −−−+=， 消a 得，()000222000011e ln 1e 2e 011x x x x x x x −−−−−−−+−= −−， ()()0200013e ln 1101x x x x −−−−+−=−， 令()()()213e ln 111x t x x x x −−−−+−−（1x >）． 则()()()2212e 1x t x x x −′=−+−． ∴()1,2x ∈时，()0t x ′>，()2,x ∈+∞时，()0t x ′<． ∴()t x 在()2,+∞上单调递减． ∵()210t =>，()13ln 202t =−+<， ∴()t x 在()2,3上有一个零点，在()3,+∞上无零点． 若()t x 在()1,2上有一个零点，则该零点必小于3． 综上，03x <．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，考查了推理能力与计算能力，属于难题．【第17题】（2019•大庆二模）已知函数()22ln f x x a x =−（a ∈R ）． （1）当12a =时，点M 在函数()y f x =的图象上运动，直线2y x =−与函数()y f x =的图象不相交，求点M 到直线2y x =−距离的最小值； （2）讨论函数()f x 零点的个数，并说明理由．【分析】（1）首先写出函数的定义域，对函数求导，分析在什么情况下满足距离最小，构造等量关系式，求解，得到对应的点的坐标，之后应用点到直线的距离公式进行求解即可；（2）对函数求导，分情况讨论函数的单调性，依次得出函数零点的个数． 【解答】解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞， 12a =时，()2ln f x x x =−，()12f x x x ′=−，令()1f x ′=，解得：1x =或12x =−，又()11f =，故图像上的点到直线20x y −−=的距离的最小值即为点()1,1M 到直线20x y −−=的距离，其距离d（2）由()0f x =，得22ln x a x =（0x >且1x ≠），设()2ln x g x x=（0x >且1x ≠），2y a =， 问题转化为讨论()y g x =的图象和2y a =的图象的交点个数问题， ()()22ln 1ln x x g x x−′=，（0x >且1x ≠），令()0g x ′=，解得x ，当01x <<或1x <<时，()0g x ′<，当x 时，()0g x ′>，故()g x 在()0,1，(递减，在)+∞递增，故()2e g x g =极小值，又01x <<时，()0g x <，当1x >时，()0g x >，故当20a <或22e a =即0a <或e a =时，直线2y a =与函数()y g x =的图象有1个交点， 当22e a >即e a >时，有2个交点， 当0e a ≤<时没有交点，故函数()f x 当0a <或e a =时1个零点，当0a <或e a =时2个零点，0e a ≤<时没有零点．【点评】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有图象上的点到直线的距离的最小值的求解，导数的几何意义，应用导数研究函数的零点的问题，注意对分类讨论思想的应用，要做到不重不漏，属于较难题目．【第18题】（2018秋•周口期末）已知函数()22ln f x ax x =−（a ∈R ）． （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）当21e a =时，若函数()y f x =的两个零点分别为1x ，2x （12x x <），证明：()12ln ln 21x x +>+．【分析】（1）求函数的定义域和函数的导数，分0a ≤和0a >分类讨论函数的单调性即可；（2）欲证()12ln ln 21x x +>+，只需证122e x x +>，即证122e x x >−，只需证()()212e 0f x f x −>=，将()22e f x −表示出来化简整理并构造函数()()442ln 2ln 2e 1etg t t =−+−−，由函数()g t 的单调性即可证明． 【解答】解：（1）易知()f x 的定义域是()0,+∞，()()22122ax f x ax x x−′=−=， 当0a ≤时，()0f x ′<，()f x 在()0,+∞递减，当0a >时，令()0f x ′>，解得x >，故()f x 在 递减，在 +∞递增； （2）证明：当21ea =时，()222ln e x f x x =−，由（1）知()()min e 1f x f ==−，且()10,e x ∈，()2e,x ∈+∞，又由()2e 22ln 20f =−>知22e x <，即()2e,2e x ∈，故()22e 0,e x −∈，由()222222ln 0e x f x x =−=，得22222e ln x x =，故()()()()222222222e 42e 2ln 2e 42ln 2ln 2e eex x f x x x x −−=−−=−+−−，()2e,2e x ∈，令()()442ln 2ln 2e etg t t t =−+−−，()e,2e t ∈， 则()()()24e 0e 2e t g t t t −′=>−， 故()g t 在()e,2e 递增，故()()e 0g t g >=，即()()212e 0f x f x −>=， 又()f x 在()0,e 上单调递减，故212e x x −<，即()12ln ln 21x x +>+．【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想考查不等式的证明，是一道综合题．（2018秋•咸阳期末）已知函数()221ln 2f x x a x =−（0a >）． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 在[]1,e 上没有零点，求a 的取值范围．【分析】（1）求出()f x ′，解不等式()0f x ′>，()0f x ′<，即可求出()f x 的单调区间； （2）用导数求出函数()f x 在区间[]1,e 上没有零点，只需在[]1,e 上()min 0f x >或()max 0f x <，分类讨论，根据导数和函数的最值得关系即可求出．【解答】解：（1）()222a x a f x x x x −′=−=（0x >）， 令()0f x ′>，解得x a >；令()0f x ′<，解得0x a <<， ∴函数()f x 的单调增区间为(),a +∞，单调减区间为()0,a ．（2）要使()f x 在[]1,e 上没有零点，只需在[]1,e 上()min 0f x >或()max 0f x <， 又()1102f =>，只需在区间[]1,e 上，()min 0f x >． ①当e a ≥时，()f x 在区间[]1,e 上单调递减，则()()22min 1e e 02f x f a ==−>，解得0a <<与e a ≥矛盾． ②当1e a <<时，()f x 在区间[)1,a 上单调递减，在区间(],e a 上单调递增， ()()()2min 112ln 02f x f a a a ==−>，解得0a <1a <③当01a <≤时，()f x 在区间[]1,e 上单调递增，()()min 10f x f =>，满足题意， 综上所述，实数a 的取值范围是：0a <<【点评】本题是导数在函数中的综合运用，考查运用导数求单调区间，求极值，求最值，考查分类讨论的思想方法，同时应注意在闭区间内只有一个极值，则一定为最值的结论的运用．（2018秋•芜湖期末）已知函数()2ln 1f x x a x =−−（a ∈R ）． （1）求()f x 的极值点；（2）若函数()f x 在区间()0,1内无零点，求a 的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的极值点即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，从而确定是否存在零点，进而判断a 的范围．【解答】解：（1）()222a x a f x x x x −′=−=（0x >），当0a ≤时，()0f x ′>，()f x 在()0,+∞递增，当0a >时，令()0f x ′>，解得x >，故()f x 在 递减，在 +∞ 递增，故x =是极小值点，无极大值点； （2）()22x af x x −′=（01x <<）， ∵01x <<，∴2022x <<，当0a ≤时，()0f x ′>，()f x 在()0,1递增， 故()()10f x f <=，函数无零点，符合题意； 当2a ≥时，()0f x ′<，()f x 在()0,1递减， 故()()10f x f >=，函数无零点，符合题意；当02a <<时，存在()00,1x =，使得()00f x ′=，故()f x 在 递减，在递增，又10e1a−<<，1e 0a f −> ，()10f f <=， 故()f x 在()0,1有零点，不合题意；综上，若函数()f x 在区间()0,1内无零点，则2a ≥或0a ≤．【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及函数零点问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。
导数高中试题及解析答案
导数高中试题及解析答案1. 计算函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \) 在 \( x = 1 \) 处的导数。
解析：首先，我们需要找到函数 \( f(x) \) 的导数。
根据导数的定义，我们有：\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 2x) \]对每一项分别求导，我们得到：\[ f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \]现在，将 \( x = 1 \) 代入 \( f'(x) \) 得到：\[ f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 2 = 3 - 6 + 2 = -1 \]答案：函数 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的导数为 \( -1 \)。
2. 已知函数 \( g(x) = \sin(x) \)，求 \( g'(x) \)。
解析：根据三角函数的导数规则，我们知道 \( \sin(x) \) 的导数是\( \cos(x) \)。
因此，我们可以直接写出 \( g(x) \) 的导数：\[ g'(x) = \cos(x) \]答案：函数 \( g(x) \) 的导数是 \( \cos(x) \)。
3. 计算复合函数 \( h(x) = (x^2 - 1)^4 \) 的导数。
解析：这是一个复合函数，我们可以使用链式法则来求导。
首先，设\( u = x^2 - 1 \)，那么 \( h(x) = u^4 \)。
对 \( u \) 求导得到：\[ u' = \frac{d}{dx}(x^2 - 1) = 2x \]然后，对 \( h(x) \) 求导：\[ h'(x) = \frac{d}{dx}(u^4) = 4u^3 \cdot u' = 4(x^2 - 1)^3\cdot 2x \]答案：复合函数 \( h(x) \) 的导数是 \( 8x(x^2 - 1)^3 \)。
【高中数学】导数知识点梳理(附题型答题技巧)
高中数学导数知识点梳理一. 导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数y=f(x)在x=图片处的瞬时变化率是2. 导数的几何意义：曲线的切线，当点图片趋近于P时，直线 PT 与曲线相切。
容易知道，割线的斜率是当点图片趋近于 P 时，函数y=f(x)在x=图片处的导数就是切线PT的斜率k，即3. 导函数：当x变化时，图片便是x的一个函数，我们称它为f（x）的导函数. y=f（x）的导函数有时也记作图片，即二. 导数的计算基本初等函数的导数公式：导数的运算法则：复合函数求导：y=f(u)和u=g(x)，则称y可以表示成为x的函数，即y=f(g(x))为一个复合函数。
三、导数在研究函数中的应用1. 函数的单调性与导数：一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间（a,b）内(1) 如果＞0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递增；(2) 如果＜0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递减；2. 函数的极值与导数：极值反映的是函数在某一点附近的大小情况。
求函数y=f(x)的极值的方法有：（1）如果在附近的左侧＞0 ，右侧＜0，那么是极大值；（2）如果在附近的左侧＜0 ，右侧＞0，那么是极小值；3. 函数的最大(小)值与导数：求函数y=f(x)在［a,b］上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数y=f(x)在［a,b］内的极值；（2）将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值。
四.推理与证明（1）合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理。
根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理，叫做类比推理。
类比推理的一般步骤：(1)找出两类事物的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题（猜想）；(3)一般的，事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似，那么他们在另一些性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的；(4)一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题越可靠。
专题16 函数与导数常见经典压轴小题全归类(精讲精练)(原卷版)
专题16函数与导数常见经典压轴小题全归类【命题规律】1、导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小．2、应用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题．【核心考点目录】核心考点一：函数零点问题之分段分析法模型核心考点二：函数嵌套问题核心考点三：函数整数解问题核心考点四：唯一零点求值问题核心考点五：等高线问题核心考点六：分段函数零点问题核心考点七：函数对称问题核心考点八：零点嵌套问题核心考点九：函数零点问题之三变量问题核心考点十：倍值函数核心考点十一：函数不动点问题核心考点十二：函数的旋转问题核心考点十三：构造函数解不等式核心考点十四：导数中的距离问题核心考点十五：导数的同构思想核心考点十六：不等式恒成立之分离参数、分离函数、放缩法核心考点十七：三次函数问题核心考点十八：切线问题核心考点十九：任意存在性问题核心考点二十：双参数最值问题核心考点二十一：切线斜率与割线斜率核心考点二十二：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）核心考点二十三：两边夹问题和零点相同问题核心考点二十四：函数的伸缩变换问题【真题回归】1．（2022·全国·统考高考真题）当1x =时，函数()ln bf x a x x=+取得最大值2-，则(2)f '=（ ） A ．1-B ．12-C ．12D ．12．（2022·全国·统考高考真题）函数()()cos 1sin 1f x x x x =+++在区间[]0,2π的最小值、最大值分别为（ ）A ．ππ22-，B ．3ππ22-， C ．ππ222-+，D ．3ππ222-+， 3．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知函数3()1f x x x =-+，则（ ） A ．()f x 有两个极值点B ．()f x 有三个零点C ．点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线4．（2022·天津·统考高考真题）设a ∈R ，对任意实数x ，记(){}2min 2,35f x x x ax a =--+-．若()f x 至少有3个零点，则实数a 的取值范围为______.5．（2022·全国·统考高考真题）已知1x x =和2x x =分别是函数2()2e x f x a x =-（0a >且1a ≠）的极小值点和极大值点．若12x x <，则a 的取值范围是____________．6．（2022·全国·统考高考真题）若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________．7．（2022·浙江·统考高考真题）已知函数()22,1,11,1,x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________；若当[,]x a b ∈时，1()3f x ≤≤，则b a -的最大值是_________．8．（2022·全国·统考高考真题）曲线ln ||y x =过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________． 9．（2022·北京·统考高考真题）设函数()()21,,2,.ax x a f x x x a -+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩若()f x 存在最小值，则a 的一个取值为________；a 的最大值为___________．【方法技巧与总结】1、求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现()()f f a 的形式时，应从内到外依次求值；当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．2、含有抽象函数的分段函数，在处理时首先要明确目标，即让自变量向有具体解析式的部分靠拢，其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）．3、含分段函数的不等式在处理上通常有两种方法：一种是利用代数手段，通过对x 进行分类讨论将不等式转变为具体的不等式求解；另一种是通过作出分段函数的图象，数形结合，利用图象的特点解不等式．4、分段函数零点的求解与判断方法：（1）直接法：直接根据题设条件构造关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成球函数值域的问题加以解决；（3）数形结合法：先将解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．5、动态二次函数中静态的值：解决这类问题主要考虑二次函数的有关性质及式子变形，注意二次函数的系数、图象的开口、对称轴是否存在不变的性质，二次函数的图象是否过定点，从而简化解题．6、动态二次函数零点个数和分布问题：通常转化为相应二次函数的图象与x 轴交点的个数问题，结合二次函数的图象，通过对称轴，根的判别式，相应区间端点函数值等来考虑．7、求二次函数最值问题，应结合二次函数的图象求解，有三种常见类型： （1）对称轴变动，区间固定； （2）对称轴固定，区间变动； （3）对称轴变动，区间也变动．这时要讨论对称轴何时在区间之内，何时在区间之外．讨论的目的是确定对称轴和区间的关系，明确函数的单调情况，从而确定函数的最值．8、由于三次函数的导函数为我们最熟悉的二次函数，所以基本的研究思路是：借助导函数的图象来研究原函数的图象．如借助导函数的正负研究原函数的单调性；借助导函数的（变号）零点研究原函数的极值点（最值点）；综合借助导函数的图象画出原函数的图象并研究原函数的零点…具体来说，对于三次函数()()32 0f x ax bx cx d a =+++＞，其导函数为()()232 0f x ax bx c a '=++＞，根的判别式()243b ac ∆=-．增区间：(), x -∞，0∆≤恒成立，三次函数()f x 在R 上为增函数，没有极值点，有且只有一个零点；（2）当0∆≥时，()0f x '=有两根1x ，2x ，不妨设12x x ＜，则1223b x x a+=-，可得三次函数()f x 在()1, x -∞，()2, x +∞上为增函数，在()12, x x 上为减函数，则1x ，2x 分别为三次函数()32f x ax bx cx d=+++的两个不相等的极值点，那么：① 若()()120f x f x ⋅＞，则()f x 有且只有1个零点； ② 若()()120f x f x ⋅＜，则()f x 有3个零点； ③ 若()()120f x f x ⋅=，则()f x 有2个零点．特别地，若三次函数()()32 0f x ax bx cx d a =+++＞存在极值点0x ，且()00f x =，则()f x 地解析式为()()()20f x a x x x m =--．同理，对于三次函数()()32 0f x ax bx cx d a =+++＜，其性质也可类比得到．9、由于三次函数()()32 0f x ax bx cx d a =+++≠的导函数()232f x ax bx c '=++为二次函数，其图象变化规律具有对称性，所以三次函数图象也应当具有对称性，其图象对称中心应当为点, 33bb faa ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此结论可以由对称性的定义加以证明．事实上，该图象对称中心的横坐标正是三次函数导函数的极值点．10、对于三次函数图象的切线问题，和一般函数的研究方法相同．导数的几何意义就是求图象在该店处切线的斜率，利用导数研究函数的切线问题，要区分“在”与“过”的不同，如果是过某一点，一定要设切点坐标，然后根据具体的条件得到方程，然后解出参数即可．11、恒成立（或存在性）问题常常运用分离参数法，转化为求具体函数的最值问题．12、如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论，利用函数性质求解，常见的是利用函数单调性求解函数的最大、最小值．13、当不能用分离参数法或借助于分类讨论解决问题时，还可以考虑利用函数图象来求解，即利用数形结合思想解决恒成立（或存在性）问题，此时应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围．14、两类零点问题的不同处理方法利用零点存在性定理的条件为函数图象在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<．．①直接法：判断-一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明()()0f a f b ⋅<．②分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明()()0f a f b ⋅<．15、利用导数研究方程根（函数零点）的技巧（1）研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等． （2）根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极（最）值的位置．（3）利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现． 16、已知函数零点个数求参数的常用方法（1）分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．（2）分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．【核心考点】核心考点一：函数零点问题之分段分析法模型 【典型例题】例1．（2023·浙江奉化·高二期末）若函数322ln ()x ex mx xf x x -+-=至少存在一个零点，则m 的取值范围为（ ） A ．21,e e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B ．21,e e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭C ．1,e e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦D ．1,e e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭例2．（2023·天津·耀华中学高二期中）设函数()322ln f x x ex mx x =-+-，记()()f xg x x=，若函数()g x 至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是 A ．21,e e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B ．210,e e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦C ．21e ,e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭D ．2211e ,e e e ⎛⎤--+ ⎥⎝⎦例3．（2023·湖南·长沙一中高三月考（文））设函数()22x xf x x x a e=--+（其中e 为自然对数的底数），若函数()f x 至少存在一个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1(0,1]e+B ．1(0,]e e +C ．1[,)e e ++∞D ．1(,1]e-∞+核心考点二：函数嵌套问题 【典型例题】例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()(1)x f x x x e =--，设关于x 的方程25()()()f x mf x m R e-=∈有n 个不同的实数解，则n 的所有可能的值为A ．3B ．1或3C ．4或6D ．3或4或6例5．（2023·全国·高三专题练习（文））已知函数()||12x f x e =-，()()11,021ln ,0x x g x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩若关于x 的方程()()0g f x m -=有四个不同的解，则实数m 的取值集合为（ ） A ．ln 20,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．ln 2,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．ln 22⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．()0,1例6．（2023·河南·高三月考（文））已知函数()ln x f x x=，若关于x 的方程()()210f x af x a ++-=⎡⎤⎣⎦有且仅有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是( ) A ．()2e,1e --B ．()1e,0-C ．(),1e -∞-D ．()1e,2e -核心考点三：函数整数解问题 【典型例题】例7．（2023·福建宁德·高三）当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立，则整数k 的最大值为（ ） A ．2-B ．1-C ．0D ．1例8．（2023·江苏·苏州大学附属中学高三月考）已知a Z ∈，关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是（ ） A ．13B ．21C ．26D ．30例9．（2023·江苏宿迁·高一月考）用符号[x ]表示不超过x 的最大整数（称为x 的整数部分），如[﹣1.2]=﹣2，[0.2]=0，[1]=1，设函数f （x ）=（1﹣ln x ）（ln x ﹣ax ）有三个不同的零点x 1，x 2，x 3，若[x 1]+[x 2]+[x 3]=6，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．ln 31,3e ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．ln 21,2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．ln 2ln 3,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 核心考点四：唯一零点求值问题 【典型例题】例10．（2023·安徽蚌埠·模拟预测（理））已知函数()()()2ln 1ln f x x x a x =-+--有唯一零点，则a =（ ）A ．0B ．12-C ．1D ．2例11．（2023·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数()(),g x h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()x g x h x e x +=+，若函数()()12216x f x g x λλ-=+--有唯一零点，则正实数λ的值为（ ）A ．12B ．13C ．2D ．3例12．（2023·新疆·莎车县第一中学高三期中）已知函数()g x ，()h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()sin xg x h e x x x ++=-，若函数()()20202320202x f g x x λλ-=---有唯一零点，则实数λ的值为 A ．1-或12B ．1或12-C ．1-或2D ．2-或1核心考点五：等高线问题 【典型例题】例13．（2023·陕西·千阳县中学模拟预测（理））已知函数2()log 1f x x =-，若方程()f x a =(0)a >的4个不同实根从小到大依次为1x ，2x ，3x ，4x ，有以下三个结论：①142x x +=且232x x +=；②当1a =时，12111x x +=且34111x x +=；③21340x x x x +=．其中正确的结论个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3例14．（2023·江苏省天一中学高三月考）已知函数2()(2)x f x x x e =-，若方程()f x a =有3个不同的实根()123123x x x x x x <<，，，则22ax -的取值范围为（ ） A ．10e⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，B．1e⎡-⎢⎣⎭C．()D．(例15．（2023·浙江·高一单元测试）已知函数(){}2max ,32f x x x =-，其中{},max ,,p p q p q q p q ≥⎧=⎨<⎩，若方程()()302f x ax a =+>有四个不同的实根1x 、2x 、3x 、()41234x x x x x <<<，则1423x x x x ++的取值范围是（ ）A ．93,102⎫⎛-- ⎪⎝⎭B ．193,102⎫⎛-- ⎪⎝⎭C ．39,210⎫⎛- ⎪⎝⎭D ．319,210⎫⎛- ⎪⎝⎭核心考点六：分段函数零点问题 【典型例题】例16．（2023·山东青岛·高三期末）已知函数2|ln(1),1()(2),1x x f x x x ⎧+-=⎨+≤-⎩，若方程()0f x m -=有4个不相同的解，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(0,1]B ．[0,1)C ．(0,1)D ．[0,1]例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数2log ,1()11,14x x f x x x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，()()g x f x kx =-，若函数()g x 有两个零点，则k 的取值范围是（ ） A ．10,4⎛⎤⎥⎝⎦B ．10,ln 2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．11,42eln ⎡⎫⎪⎢⎣⎭例18．（2023·江苏·高三专题练习）已知函数22,0()log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，函数()()g x f x x m =++，若()g x 有两个零点，则m 的取值范围是（ ）． A ．[1,)-+∞B ．(,1]-∞-C ．[0,)+∞D ．[1,0)-核心考点七：函数对称问题 【典型例题】例19．（2023·安徽省滁州中学高三月考（文））已知函数()22ln ,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨--≤⎪⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =的对称点在10kx y +-=的图象上,则实数k 的取值范围是A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭例20．（2023·全国·高一课时练习）若直角坐标平面内的两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数()f x 的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称点对[],P Q 是函数()f x 的一个“友好点对”（注：点对[],P Q 与[],Q P 看作同一个“友好点对”）．已知函数()22log ,04,0x x f x x x x >⎧=⎨--≤⎩，则此函数的“友好点对”有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个例21．（2023·福建·厦门一中高一竞赛）若函数y ＝f (x )图象上存在不同的两点A ，B 关于y 轴对称，则称点对[A ，B ]是函数y ＝f (x )的一对“黄金点对”（注：点对[A ，B ]与[B ，A ]可看作同一对“黄金点对”）已知函数2229,0()4,041232,4x x f x x x x x x x +<⎧⎪=-+≤≤⎨⎪-+>⎩，则此函数的“黄金点对”有（ ）A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对核心考点八：零点嵌套问题 【典型例题】例22．（2023·湖北武汉·高三月考）已知函数2()()(1)()1x x f x xe a xe a =+-+-有三个不同的零点123,,x x x .其中123x x x <<，则3122123(1)(1)(1)x x x x e x e x e ---的值为（ ）A ．1B ．2(1)a -C ．1-D ．1a -例23．（2023·全国·模拟预测（理））已知函数2()e e x x x ax f x a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭有三个不同的零点123,,x x x （其中123x x x <<），则3122312111e e ex x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为 A ．1B ．1-C ．aD ．a -例24．（2023·浙江省杭州第二中学高三开学考试）已知函数()()()2ln ln f x ax x x x x =+--，有三个不同的零点，（其中123x x x <<），则2312123ln ln ln 111x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为 A ．1a - B ．1a - C ．-1 D ．1核心考点九：函数零点问题之三变量问题 【典型例题】例25．（2023·全国·高三）若存在两个正实数x 、y ，使得等式3(24)(ln ln )0x a y ex y x +--=成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．()0-∞，B ．3(0)[)2e-∞⋃+∞，， C ．3(0]2e，D ．3[)2e+∞， 例26．（2023·山东枣庄·高二期末）对于任意的实数[1,e]x ∈，总存在三个不同的实数y ，使得ln 0ye xy x ay y--=成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是A ．2(,)4e -∞-B ．2(,0)4e -C ．2[,)4e -+∞D ．2(,)4e -+∞例27．（2023·四川省新津中学高三月考（理））若存在两个正实数,x y ，使得等式330yx x e ay -=成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为A ．2[,)8e +∞B ．3(0,]27eC ．3[,)27e +∞D ．2(0,]8e核心考点十：倍值函数 【典型例题】例28．（河南省郑州市第一中学2022-2023学年高三上学期期中考试数学（理）试题）对于函数()y f x =，若存在区间[],a b ，当[],x a b ∈时的值域为[](),0ka kb k >，则称()y f x =为k 倍值函数.若()2xf x e x =+是k倍值函数，则实数k 的取值范围是（ ） A ．()1,e ++∞B ．()2,e ++∞C ．1,e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭D ．,e e 2⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭例29．（2023·四川·内江市教育科学研究所高二期末（文））对于函数()y f x =，若存在区间,a b ，当[],x a b ∈时，()f x 的值域为[],ka kb ，则称()y f x =为k 倍值函数.若()xf x e =是k 倍值函数，则k 的取值范围为（ ）A ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,eC ．(),e +∞D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭例30．（2023·吉林·长春十一高高二期中（理））对于函数()y f x =，若存在区间[],a b ，当[],x a b ∈时，()f x 的值域为[],ka kb ，则称()y f x =为k 倍值函数．若()ln f x x x =+是k 倍值函数，则k 的取值范围为（ ） A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．11,1e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．11,e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭核心考点十一：函数不动点问题 【典型例题】例31．（2023·广东海珠·高三期末）设函数()f x a R e ∈，为自然对数的底数），若曲线y x x =上存在点00()x y ，使得00()f y y =，则a 的取值范围是（ ） A ．1e[1]e-, B ．1e[e 1]e-+， C ．[1e 1]+， D ．[1,e]例32．（2023·山西省榆社中学高三月考（理））若存在一个实数t ，使得()F t t =成立，则称t 为函数()F x 的一个不动点.设函数()1(xg x e x a =+-(a R ∈，e 为自然对数的底数)，定义在R 上的连续函数()f x 满足()()2f x f x x -+=，且当0x ≤时，()f x x '<.若存在01|()(1)2x x f x f x x ⎧⎫∈+-+⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()g x 的一个不动点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭ B ．⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭ C ．⎛⎤⎥ ⎝⎦ D ．⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭例33．（2023·四川自贡·高二期末（文））设函数()()1ln 2=+-∈f x x x a a R ，若存在[]1,b e ∈(e 为自然对数的底数)，使得()()f f b b =，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,122⎡⎤--⎢⎥⎣⎦eB ．e 1,ln 212⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．1,ln 212⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦核心考点十二：函数的旋转问题 【典型例题】例34．（2023·上海市建平中学高三期末）双曲线2213x y -=绕坐标原点O 旋转适当角度可以成为函数f （x ）的图象，关于此函数f （x ）有如下四个命题，其中真命题的个数为（ ） ①f （x ）是奇函数；②f （x ）的图象过点32⎫⎪⎪⎝⎭或32⎫-⎪⎪⎝⎭； ③f （x ）的值域是33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；④函数y ＝f （x ）－x 有两个零点． A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个例35．（2023·山东青岛·高三开学考试）将函数2([3,3])y x =∈-的图象绕点(3,0)-逆时针旋转(0)ααθ≤≤，得到曲线C ，对于每一个旋转角α，曲线C 都是一个函数的图象，则θ最大时的正切值为（ ）A ．32B ．23C ．1D 例36．（2023·浙江·高三期末）将函数π2sin 0,22x y x ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图像绕着原点逆时针旋转角α得到曲线T ，当(]0,αθ∈时都能使T 成为某个函数的图像，则θ的最大值是（ ）A ．π6B ．π4C ．3π4D ．2π3核心考点十三：构造函数解不等式 【典型例题】例37．（2023·江西赣州·高三期中（文））已知函数()()f x x R ∈满足(1)1f =，且()f x 的导数1()2f x '>，则不等式||1(||)22x f x <+的解集为（ ） A ．(,1)-∞-B ．(1,)+∞C ．(1,1)-D ．(,1][1,)-∞-+∞例38．（2023·全国·高二课时练习）设定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ，若()()'2f x f x +<，()02021f =，则不等式()22019x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A ．()0+∞，B ．()2019+∞，C ．()0-∞，D ．()()02019-∞+∞，，例39．（2023·全国·高二课时练习）已知()f x 的定义域为0,，()'f x 为()f x 的导函数，且满足()()f x xf x '<-，则不等式()()()2111f x x f x +>--的解集是（ ）A ．0,1B ．2,C ．1,2D ．1,核心考点十四：导数中的距离问题 【典型例题】例40．（2023春•荔湾区期末）设函数22()()(22)f x x a lnx a =-+-，其中0x >，a R ∈，存在0x 使得04()5f x 成立，则实数a 的值是( ) A ．15B ．25C ．12D ．1例41．（2023•龙岩模拟）若对任意的正实数t ，函数33()()()3f x x t x lnt ax =-+--在R 上都是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．1(,]2-∞B ．(-∞C ．(-∞D ．(-∞，2]例42．（2023•淮北一模）若存在实数x 使得关于x 的不等式2221()22x e a x ax a -+-+成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．1{}2B ．1{}4C ．1[2，)+∞D ．1[4，)+∞核心考点十五：导数的同构思想 【典型例题】例43．（2023·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式ln ln(1)0x e mx x m ---+≥在(0,)+∞恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．(]1,1-B ．(]1,1e --C ．(]1,1e -D ．(]1,e例44．（2023·安徽·合肥一中高三月考（理））设实数0m ＞，若对任意的()1,x ∈+∞，不等式2ln 20mxxe m-≥恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)1,+∞D ．[),e +∞例45．（2023·宁夏·石嘴山市第一中学高二月考（理））若对任意()0,x ∈+∞，不等式ln 0ax ae x ->恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,D ．(),e +∞核心考点十六：不等式恒成立之分离参数、分离函数、放缩法 【典型例题】例46．（2023·浙江·高三月考）已知函数2()1x f x xe =-，不等式()ln f x mx x ≥+对任意(0,)x ∈+∞恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(,2]-∞B ．[0,2]C ．(2,e 1⎤-∞-⎦D ．20,1e ⎡⎤-⎣⎦例47．（2023·四川省资中县第二中学高二月考（理））关于x 的不等式()32ln 113x x a x xe x+++-≥对任意0x >恒成立，则a 的取值范围是（ ）． A ．(],1-∞-B ．(){},1e -∞⋃C ．[],1e --D ．(],0-∞例48．（2023·全国·高三专题练习）已知,a b ∈R ，若关于x 的不等式2ln 0x a x a b -+-≥恒成立，则ab 的最大值为_______．核心考点十七：三次函数问题 【典型例题】例49．（2023·全国·高三课时练习）设函数()y f x ''=是()y f x '=的导数，经过探究发现，任意一个三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠的图象都有对称中心()()00,x f x ，其中0x 满足()00f x ''=，已知函数()3272392f x x x x =-+-，则12320212022202220222022f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．2021 B ．20212C ．2022D ．40212例50．（2023·安徽·东至县第二中学高三月考（理））人们在研究学习过程中，发现：三次整式函数()f x 都有对称中心，其对称中心为00(,())x f x （其中0''()0f x =）.已知函数32()345f x x x x =-++.若()4,()10f m f n ==，则m n +=（ ） A ．1B ．32C ．2D ．3例51．（2023·全国·高三月考（文））已知m ，n ，p ∈R ，若三次函数()32f x x mx nx p =+++有三个零点a ，b ，c ，且满足()()3112f f -=<，()()022f f =>，则111a b c ++的取值范围是（ ）A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭核心考点十八：切线问题 【典型例题】例52．（2023·云南红河·高三月考（理））下列关于三次函数32()(0)()f x ax bx cx d a x R =+++≠∈叙述正确的是（ ）①函数()f x 的图象一定是中心对称图形； ②函数()f x 可能只有一个极值点； ③当03bx a≠-时，()f x 在0x x =处的切线与函数()y f x =的图象有且仅有两个交点； ④当03bx a≠-时，则过点()()00,x f x 的切线可能有一条或者三条． A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④例53．（2023·江西·南昌二中高三月考（文））若函数2()1f x x =+的图象与曲线C:()21(0)x g x a e a =⋅+>存在公共切线，则实数a 的取值范围为 A ．220,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．240,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．23,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭例54．（2023·全国·高二单元测试）若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则( ) A ．e b a <B ．e b a >C ．0e b a <<D ．0e a b <<核心考点十九：任意存在性问题 【典型例题】例55．（2023·河南·郑州外国语中学高三月考（理））若不等式()()()221212log 1log 3,,13x xa x x ++-≥-∈-∞恒成立，则实数a 的范围是（ ） A ．[0,)+∞B ．[1,)+∞C ．(,0]-∞D ．(,1]-∞.例56．（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()=++f x x px q 对,∀∈p q R ，总有0[1,5]∃∈x ，使()0f x m≥成立，则m 的范围是（ ） A ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(,2]-∞C ．(,3]-∞D ．(,4]-∞例57．（2023·全国·高二课时练习）已知()()1ln f x x x =+，若k ∈Z ，且()()2k x f x -<对任意2x >恒成立，则k 的最大值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6核心考点二十：双参数最值问题 【典型例题】例58．（2023·浙江·宁波市北仑中学高三开学考试）已知,a b ∈R ，且0ab ≠，对任意0x >均有()()(ln )0x a b x a x b ----≥，则（ ） A ．0,0a b <<B ．0,0a b <>C ．0,0a b ><D ．0,0a b >>例59．（2023·山西运城·高三期中（理））已知在函数()()0,0f x ax b a b =+>>，()()ln 2g x x =+，若对2x ∀>-，()()f x g x ≥恒成立，则实数ba的取值范围为（ ）A ．[)0,+∞B ．[)1,+∞C ．[)2,+∞D ．[),e +∞例60．（2023·黑龙江·鹤岗一中高三月考（理））当(1,)x ∈+∞时，不等式ln(1)230(x ax b a --+，b R ∈，0)a ≠恒成立，则ba 的最大值为（ ）A ．1eB ．2C ．43D ．2e核心考点二十一：切线斜率与割线斜率 【典型例题】例61．（2023·广东·佛山一中高三月考）已知函数2()ln (1)1h x a x a x =+-+(0)a < ，在函数()h x 图象上任取两点,A B ，若直线AB 的斜率的绝对值都不小于5，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,0)-∞B ．⎛-∞ ⎝⎦C ．,⎛-∞ ⎝⎦D ．⎫⎪⎪⎝⎭例62．（2023·山西大同·高一期中）已知函数(),()f x g x 是定义在R 上的函数，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()()f x g x +=2x ax +，记2()()()g x h x xf x x =+，若对于任意的1212x x <<<，都有()()12120h x h x x x -<-，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．(0,)+∞C ．(,1]-∞-D ．(0,2]例63．（2023·全国·高一课时练习）已知函数(),142,12x a x f x a x x ⎧≥⎪=⎨⎛⎫-+< ⎪⎪⎝⎭⎩，若对任意的1x ，2x ，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．[)1,8C ．()4,8D ．[)4,8核心考点二十二：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离） 【典型例题】例64．设二次函数2()(2)32f x a x ax =-++在R 上有最大值，最大值为m （a ），当m （a ）取最小值时，(a =) A ．0B ．1C ．12D例65．（2023春•绍兴期末）已知函数2()||||f x x a x b =+++，[0x ∈，1]，设()f x 的最大值为M ，若M 的最小值为1时，则a 的值可以是( ) AB ．0 CD ．1例66．（2023•济南模拟）已知函数2()||2x f x ax b x -=--+，若对任意的实数a ，b ，总存在0[1x ∈-，2]，使得0()f x m 成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．1(,]4-∞B ．(-∞，1]2C ．(-∞，2]3D ．(-∞，1]核心考点二十三：两边夹问题和零点相同问题 【典型例题】例67．（2023春•湖州期末）若存在正实数x ，y 使得不等式22414lnx x lny ln y -++-成立，则(xy += ) ABCD 例68．（2023•上饶二模）已知实数x ，y 满足2(436)326x y ln x y e x y +-+--+-，则x y +的值为( ) A ．2B ．1C ．0D ．1-例69．（2023•崇明区期末）若不等式(||)sin()06x a b x ππ--+对[1x ∈-，1]恒成立，则a b +的值等于() A ．23B ．56C ．1D ．2核心考点二十四：函数的伸缩变换问题 【典型例题】例70．（2023·天津一中高三月考）定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[]0,2x 时，()[)[)232,0,11,1,22x x x x f x x -⎧-∈⎪⎪=⎨⎛⎫-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，若当[)4,2x ∈--时，不等式()2142m f x m ≥-+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[]2,3 B ．[]1,3 C ．[]1,4D ．[]2,4例71．（2023·浙江·杭州高级中学高三期中）定义域为R 的函数()f x 满足(2)3()f x f x +=，当[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-，若[4,2]x ∈--时，13()()18≥-f x t t恒成立，则实数t 的取值范围是( ) A ．(](],10,3-∞-B．((,0,3⎤-∞⎦C ．[)[)1,03,-+∞D ．))3,⎡⎡+∞⎣⎣例72．（2023届山西省榆林市高三二模理科数学试卷）定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[)0,2x ∈时，()[)[)2213,0,1{ln ,1,2x x x f x x x x -+∈=∈，若当[)4,2x ∈--时，函数()22f x t t ≥+恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A ．30t -≤≤B ．31t -≤≤C ．20t -≤≤D ．01t ≤≤【新题速递】一、单选题1．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）已知函数()2,01,011x x f x x x x ⎧≤⎪=-≤<⎨≥，若函数()()()22231g x m f x mf x =-+，存在5个零点，则m =（ ） A ．1B ．12C ．1或12D ．1-2．（2023春·陕西西安·高三统考期末）已知函数()e ,03,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩， 若函数()()()g x f x f x =--，则函数()g x 的零点个数为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．53．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知函数()11,041,0x xf x x x ⎧+<⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，若()()12f x f x =，则12x x -的最小值为（ ） A ．4B ．92C ．143D ．54．（2023春·内蒙古赤峰·高三统考阶段练习）已知实数0a >，0b >，1a b +=，则下列说法中，正确的是（ ）． A ．114a b+≤B ．存在a ，b ，使得223a b +≥C ．22log log 1a b ⋅≤D ．存在a ，b ，使得直线10ax by 与圆224x y +=相切5．（2023·全国·高三专题练习）已知()0,2A ，()(),00B t t <，动点C 在曲线T ：()2401y x x =≤≤上，若△ABC 面积的最小值为1，则t 不可能为（ ） A ．4-B ．3-C ．2-D ．1-6．（2023·浙江温州·统考模拟预测）已知P 为直线=1y x --上一动点，过点P 作抛物线2:2C x y =的两条切线，切点记为A ，B ，则原点到直线AB 距离的最大值为（ ） A ．1BCD ．27．（2023春·江西赣州·高三赣州市赣县第三中学校考期中）已知0a >，0b >，直线2e y x b -=+与曲线ln y x a =-相切，则11a b+的最小值是（ ） A ．16B ．12C ．8D ．48．（2023春·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）若关于x 的不等式(41ln )ln 3k x x x x --<-+对于任意(1,)x ∈+∞恒成立，则整数k 的最大值为（ ） A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．1二、多选题9．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知函数()e xf x x =-，()lng x x x =-，则下列说法正确的是（ ）A ．()e xg 在()0,∞+上是增函数B ．1x ∀>，不等式()()2ln f ax f x ≥恒成立，则正实数a 的最小值为2eC ．若()f x t =有两个零点12,x x ，则120x x +>D ．若()()()122f x g x t t ==>，且210x x >>，则21ln t x x -的最大值为1e10．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知函数32()e 3xf x ax =-有三个不同的极值点1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，则下列结论正确的是（ ）A ．2e 8a >B ．11x <-C ．2x 为函数()f x 的极大值点D ．()23e 3f x <11．（2023春·福建宁德·高三校考阶段练习）已知函数()3f x x ax b =++，其中a ，b 为实数，则下列条件能使函数()f x 仅有一个零点的是（ ） A ．3a =-，3b =-B ．3a =-，2b =C ．0a =，3b =-D ．1a =，2b =12．（2023春·山东潍坊·高三统考期中）定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，对于任意实数x ，都有2()e ()x f x f x -=，且满足22()()21e x f x f x x -'+=+-，则（ ）A ．函数()e ()x F x f x =为偶函数B ．(0)0f =C ．不等式e ()e e x xxf x +<的解集为(1,)+∞ D ．若方程2()()0f x x a x--=有两个根12,x x ，则122x x a +> 13．（2023·浙江温州·统考模拟预测）若函数()y f x =的图象上存在两个不同的点P ，Q ，使得()f x 在这两点处的切线重合，则称函数()y f x =为“切线重合函数”，下列函数中是“切线重合函数”的是（ ） A ．sin cos y x x =+ B ．(sin c s )o y x = C ．sin y x x =+D ．2sin y x x =+14．（2023春·江苏南京·高三统考阶段练习）已知双曲线C ：224x y -=，曲线E ：2y ax x b =++，记两条曲线过点()1,0的切线分别为1l ，2l ，且斜率均为正数，则（ ） A ．若=0a ，1b =，则C 与E 有一个交点 B ．若=1a ，=0b ，则C 与E 有一个交点C ．若0a b ，则1l 与E 夹角的正切值为7-D ．若==1a b ，则1l 与2l 三、填空题15．（2023·河南郑州·高三阶段练习）正实数a ，b 满足1e 4a a +=+，()ln 3b b +=，则b a -的值为____________． 16．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知函数()234202312342023x x x x f x x =+-+-++，()234202312342023x x x x g x x =-+-+--，设()()()53F x f x g x =+⋅-，且函数()F x 的零点均在区间[](a b a b <，，a ，)b Z ∈内，则b a -的最小值为__________．17．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）方程e 0x ax a -+=有唯一的实数解，实数a 的取值范围为__________．18．（2023春·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）已知函数()()23e ,? 0e ,? 0x x xf x x a x ⎧->=⎨-≤⎩，若()()12f x f x =，且12x x -的最大值为4，则实数a 的值为_______．19．（2023·全国·高三专题练习）若存在0a >，0b >，满足(2e )ln (2e )ln a t b a b t b a a +-=-，其中e 为自然对数的底数，则实数t 的取值范围是___________．20．（2023·四川资阳·统考模拟预测）若2224ln x ax a x ->，则a 的取值范围是______．。
专题12 导数与函数的单调性--《2023年高考数学命题热点聚焦与扩展》【解析版】
【热点聚焦】单调性是函数的一个重要性质，对函数作图起到决定性的作用，而导数是分析函数单调区间的一个便利工具.在高考导数的综合题中，所给函数往往是一个含参数的函数，且导函数含有参数，在分析函数单调性时面临分类讨论.从高考命题看，对函数单调性的考查主要有：利用导数求函数的单调区间、判断单调性、已知单调性，求参数等．【重点知识回眸】（一）函数的单调性与导数的关系 条件 结论函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上可导f ′(x )＞0 f (x )在(a ，b )内单调递增 f ′(x )＜0 f (x )在(a ，b )内单调递减 f ′(x )＝0f (x )在(a ，b )内是常数函数优先”原则． （二）常用结论1．在某区间内f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)是函数f (x )在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． 2．可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是对∀x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)且f ′(x )在(a ，b )上的任何子区间内都不恒为零． （三）常见问题解题方法1.导数求单调区间的步骤：利用导数求函数单调区间的方法，大致步骤可应用到解含参函数的单调区间.即确定定义域→求出导函数→令()'0f x >解不等式→得到递增区间后取定义域的补集（减区间）→单调性列出表格.2.求含参函数单调区间的实质——解含参不等式，而定义域对x 的限制有时会简化含参不等式的求解3.求单调区间首先确定定义域，并根据定义域将导数不等式中恒正恒负的项处理掉，以简化讨论的不等式4.含参数问题分类讨论的时机分类时机：并不是所有含参问题均需要分类讨论，当参数的不同取值对下一步的结果影响不相同时，就是分类讨论开始的时机.【典型考题解析】热点一 不含参数的函数的单调性【典例1】（2023·全国·高三专题练习）函数21()ln 2f x x x =-的单调递减区间为（ ） A ．(1,1)- B ．(0,1)C ．(1,)+∞D ．(0,2)【答案】B【分析】求导，解不等式()0f x '<可得. 【详解】()f x 的定义域为(0,)+∞ 解不等式1(1)(1)()0x x f x x x x-+'=-=<，可得01x <<， 故函数21()ln 2f x x x =-的递减区间为(0,1). 故选：B ．【典例2】（广东·高考真题（文））函数的单调递增区间是 （ ）A ．B ．(0,3)C ．(1,4)D ．【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由题意得，()()(3)(3)(2)x x x f x x e x e x e '=-+-=-''，令()0f x '>，解得2x >，所以函数()f x 的单调递增区间为，故选D ．【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知定义在区间(0，π)上的函数f (x )＝x ＋2cos x ，则f (x )的单调递增区间为________． 【答案】(0,)6π，5(,)6ππ【分析】对()f x 求导，令f ′(x )＝0，得x ＝6π或x ＝56π，求出()0f x '> 的解即可求出答案. 【详解】f ′(x )＝1－2sin x ，x ∈(0，π)．令f ′(x )＝0，得x ＝6π或x ＝56π， 当0<x <6π时，f ′(x )>0， 当6π<x <56π时，f ′(x )<0，当56π<x <π时，f ′(x )>0， ∴f (x )在(0,)6π和5(,)6ππ上单调递增，在5(,)66ππ上单调递减．故答案为：(0,)6π，5(,)6ππ.【典例4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数211,0()2,0x f x x x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+>⎩，则函数12()log g x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间为__． 【答案】20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，[1,)+∞ 【分析】先根据题意求出()g x 的解析式，然后在每一段上求出函数的增区间即可 【详解】由12log 0x ≤，得1≥x ，由12log 0x >，得01x <<，所以当1≥x 时，12log 1()112xg x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则()g x 在[1,)+∞上递增，当01x <<时，21122()loglog g x x x =-+，则121212log 11()2log 111lnlnln222x g x x x x x -'=-⋅+=，由()0g x '>，得1212log 0x -<，解得202x <<， 所以()g x 在20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上递增， 综上得函数()g x 的单调递增区间为20,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，[1,)+∞． 故答案为：20,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，[1,)+∞． (1)函数的一阶导数可以用来研究函数图象的上升与下降，函数的二阶导数可以用来研究函数图象的陡峭及平缓程度，也可用来研究导函数图象的上升与下降． (2)求函数的单调区间时，一定要先确定函数的定义域，否则极易出错． 热点二 含参数的函数的单调性【典例5】（2021·全国·高考真题（文））设函数22()3ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()y f x =的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭；（2）1a e >.【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.（2）根据()10f >及（1）的单调性性可得()min 0f x >，从而可求a 的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为()0,∞+， 又()23(1)()ax ax f x x+-'=，因为0,0a x >>，故230ax +>， 当10x a<<时，()0f x '<；当1x a >时，()0f x '>；所以()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭.（2）因为()2110f a a =++>且()y f x =的图与x 轴没有公共点，所以()y f x =的图象在x 轴的上方，由（1）中函数的单调性可得()min 1133ln 33ln f x f a a a ⎛⎫==-=+ ⎪⎝⎭，故33ln 0a +>即1a e>.【典例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()ln R kf x x k k x=--∈，，讨论函数()f x 在区间(1,e)内的单调性. 【答案】见解析 【分析】先求出2()x kf x x +'=-，然后分k -与(1,e)的关系进行分类讨论,从而得出答案. 【详解】由()ln kf x x k k R x=--∈，，(1,e)x ∈ 221()k x k f x x x x+'∴=--=- ①当1k -≤，即1k ≥-时，10x k x +≥->， ()0f x '∴< ，()f x ∴在(1,e)单调递减；②当e k -≥，即e k ≤-时，e 0x k x +≤-<， ()0f x '∴> ，()f x ∴在(1,e)单调递增；③当1e k <-<，即e 1k -<<-时，当1x k <<-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当e k x -<<时，()0f x '<，()f x 单调递减； 综上所述，当1k ≥-时，()f x 在(1,e)单调递减 当e k ≤-时，()f x 在(1,e)单调递增当e 1k -<<-时，()f x 在(1,)k -单调递增，在(,e)k -单调递减.【方法总结】解决含参数的函数的单调性问题应注意两点(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．热点三 已知函数的单调性求参数的取值范围【典例7】（全国·高考真题（文））若函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞上单调递增，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞- B ．(],1-∞- C ．[)2,+∞ D ．[)1,+∞【答案】D 【解析】 【详解】 试题分析：，∵函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞单调递增，∴在区间()1,+∞上恒成立．∴，而在区间()1,+∞上单调递减，∴．∴的取值范围是[)1,+∞．故选D ．【典例8】（全国·高考真题（理））若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ内是减函数，则实数a 的取值范围是_______. 【答案】2a ≤ 【解析】 【详解】试题分析：()()2sin 2cos 4sin cos cos cos 4sin .,62f x x a x x x a x x x a x ππ⎛⎫=-+=-+=-+∈ ⎪⎝'⎭时，()f x 是减函数，又cos 0x >，∴由()0f x '≤得4sin 0,4sin x a a x -+≤∴≤在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，()min 4sin ,,262a x x a ππ⎛⎫⎛⎫∴≤∈∴≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【典例9】（2019·北京·高考真题（理））设函数f （x ）=e x +a e −x （a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________． 【答案】 -1; (],0-∞. 【解析】 【分析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用导函数的解析式可得a 的取值范围. 【详解】若函数()x xf x e ae -=+为奇函数,则()()(),x x x x f x f x e ae e ae ---=-+=-+，()()1 0x x a e e -++=对任意的x 恒成立.若函数()x x f x e ae -=+是R 上的增函数,则()' 0x xf x e ae -=-≥恒成立,2,0x a e a ≤≤.即实数a 的取值范围是(],0-∞ 【规律方法】由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)可导函数在区间D 上单调，实际上就是在该区间上f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立，从而构建不等式，求出参数的取值范围，要注意“＝”是否可以取到．(2)可导函数在区间D 上存在单调区间，实际上就是f ′(x )＞0(或f ′(x )＜0)在该区间上存在解集，即f ′(x )max ＞0(或f ′(x )min ＜0)在该区间上有解，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围．(3)若已知f (x )在区间D 上的单调性，区间端点含有参数时，可先求出f (x )的单调区间，令D 是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围． 热点四 函数单调性与函数图像【典例10】（2018·全国·高考真题（文））函数()2e e x xf x x --=的图像大致为 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【详解】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴为奇函数，舍去A,1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x ---+---++=='∴>'>，所以舍去C ；因此选B.【典例11】（2023·全国·高三专题练习）函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数y=f (x )的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据导函数的图象判断原函数的单调性，即可判断选项.【详解】原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内.符合条件的只有D. 故选：D【典例12】（2021·浙江·高考真题）已知函数21(),()sin 4f x xg x x =+=，则图象为如图的函数可能是（ ）A ．1()()4y f x g x =+-B ．1()()4y f x g x =--C ．()()y f x g x =D ．()()g x y f x =【答案】D 【解析】 【分析】由函数的奇偶性可排除A 、B ，结合导数判断函数的单调性可判断C ，即可得解. 【详解】对于A ，()()21sin 4y f x g x x x =+-=+，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A ； 对于B ，()()21sin 4y f x g x x x =--=-，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B ； 对于C ，()()21sin 4y f x g x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，则212sin cos 4y x x x x ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭，当4x π=时，221202164y ππ⎛⎫'=+> ⎪⎝⎭，与图象不符，排除C. 故选：D. 【规律方法】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 热点五 函数单调性与比较大小、解不等式 【典例13】（2022·全国·高考真题（理））已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（ ） A ．c b a >> B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >>【答案】A 【解析】 【分析】由14tan 4c b =结合三角函数的性质可得c b >；构造函数21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞，利用导数可得b a >，即可得解. 【详解】 因为14tan 4c b =,因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭ 所以11tan44>,即1cb >,所以c b >；设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞， ()sin 0f x x x '=-+>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，则1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,所以131cos 0432->， 所以b a >,所以c b a >>， 故选：A【典例14】（2022·全国·高考真题）设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b <<【答案】C 【解析】 【分析】构造函数()ln(1)f x x x =+-， 导数判断其单调性，由此确定,,a b c 的大小. 【详解】设()ln(1)(1)f x x x x =+->-，因为1()111x f x x x'=-=-++， 当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，当,()0x ∈+∞时()0f x '<，所以函数()ln(1)f x x x =+-在(0,)+∞单调递减，在(1,0)-上单调递增， 所以1()(0)09f f <=，所以101ln 099-<，故110ln ln 0.999>=-，即b c >，所以1()(0)010f f -<=，所以91ln +01010<，故1109e 10-<，所以11011e 109<，故a b <，设()e ln(1)(01)xg x x x x =+-<<，则()()21e 11()+1e 11x xx g x x x x -+'=+=--, 令2()e (1)+1x h x x =-，2()e (21)x h x x x '=+-，当021x <<时，()0h x '<，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递减，211x <<时，()0h x '>，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递增， 又(0)0h =，所以当021x <<时，()0h x <，所以当021x <<时，()0g x '>，函数()e ln(1)x g x x x =+-单调递增， 所以(0.1)(0)0g g >=，即0.10.1e ln 0.9>-，所以a c > 故选：C.【典例15】（2022·重庆南开中学高三阶段练习）已知函数()()3log 912xf x x =+-+，则不等式()()21f x f x -<的解集为（ ） A ．()1,3 B ．(),1-∞ C ．[)1,+∞D ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据导数判断出函数的单调性，根据解析式可判断函数为偶函数，从而可求不等式的解.【详解】函数的定义域为R ，()()()9ln 92991119191ln 391x x x x x x f x ⋅-'=-=-=+++，当0x <时，0f x ；当0x >时，0f x ，故()f x 在(),0-∞上为减函数，在()0,+∞上为增函数. 又()()3391log 912log 29x xx f x x x -+-=+++=++()()3log 9122x x x f x =+-++=，故()f x 为R 上的偶函数，故()()21f x f x -<等价于()()21f x f x -<， 即21x x -<，两边平方得23410x x -+<，故1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故选：D.'()f x 当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是( ) A ．(,1)(0,1)-∞- B ．(1,0)(1,)C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)⋃+∞【答案】A 【解析】 【详解】构造新函数()()f x g x x=,()()()2'xf x f x g x x -='，当0x >时()'0g x <. 所以在()0,∞+上()()f xg x x=单减，又()10f =，即()10g =. 所以()()0f x g x x=>可得01x <<,此时()0f x >， 又()f x 为奇函数，所以()0f x >在()(),00,-∞⋃+∞上的解集为：()(),10,1-∞-⋃. 故选A.【典例17】（2021·山东·临沂市兰山区教学研究室高三开学考试）已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x >时，有()()20f x x xf '+>，则不等式()()()220212021420x f x f +++-<的解集为（ ）A ．()2019,+∞B ．()2021,2019--C ．(),2019-∞-D ．()2019,0-【答案】C【分析】根据已知条件构造函数2()()g x x f x =，可得()g x 在(0,)+∞上为增函数，且()g x 为奇函数，然后将()()()220212021420x f x f +++-<可转化为(2021)(2)g x g +<，从而可求出不等式的解集.【详解】令2()()g x x f x =，则2()2()()[2()()]g x xf x x f x x f x xf x '=+''=+， 因为当0x >时，有()()20f x x xf '+>， 所以当0x >时，()0g x '>， 所以()g x 在(0,)+∞上为增函数，因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-， 所以22()()()()()g x x f x x f x g x -=--=-=-， 所以()g x 为R 上的奇函数， 所以()g x 在R 上为增函数，由()()()220212021420x f x f +++-<，得()()()22021202142x f x f ++<--， ()()()2220212021(2)2x f x f ++<---，所以(2021)(2)g x g +<--，因为()g x 为奇函数，所以(2021)(2)g x g +<， 所以20212x +<，得2019x <-，所以不等式的解集为(),2019-∞-， 故选：C【典例18】（2022·湖北·襄阳五中高三阶段练习）设11166,2ln sin cos ,ln 5101055a b c ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是___________. 【答案】.b a c <<【分析】利用导数研究函数()sin f x x x =-，()ln(1)g x x x =-+，6()ln(1)5h x x x =-+在(0,1)上的单调性，利用函数的单调性可比较,,a b c 的大小.【详解】由已知可得2111112ln sin cos ln sin cos ln(1sin )101010105b ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()sin f x x x =-，(0,1)x ∈，则()1cos 0f x x '=->， 所以()sin f x x x =-在(0,1)上单调递增，所以1(0)05f f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即11sin 55>，所以11ln 1sin ln 155b ⎛⎫⎛⎫=+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()ln(1)g x x x =-+，(0,1)x ∈，则1()1011x g x x x '=-=>++， 所以()ln(1)g x x x =-+在(0,1)上单调递增，所以1(0)05g g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即111ln 1ln 1sin 555⎛⎫⎛⎫>+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a b >，设6()ln(1)5h x x x =-+，(0,1)x ∈，则651()1551x h x x x -'=-=++，当105x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0h x '<，当1,15x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，所以6()ln(1)5h x x x =-+在105⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，在1,15⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以1(0)05h h ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即16166ln 1ln 55555⎛⎫<+= ⎪⎝⎭，所以a c <，所以.b a c << 故答案为：.b a c <<. 构造函数解不等式或比较大小一般地，在不等式中若同时含有f (x )与f ′(x )，常需要通过构造含f (x )与另一函数的和、差、积、商的新函数，再借助导数探索新函数的性质，进而求出结果． 常见构造的辅助函数形式有： (1)f (x )＞g (x )→F (x )＝f (x )－g (x )；(2)xf ′(x )＋f (x )→[xf (x )]′； (3)xf ′(x )－f (x )→()[]'f x x； (4)f ′(x )＋f (x )→[e x f (x )]′；(5)f ′(x )－f (x )→()[]'x f x e′.（6）()()f x f x '<→()()x f x g x e = （7）()()xf x f x '<→()()f x g x x=（8）()()0xf x f x '+<→()()g x xf x =.【精选精练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）函数()y f x =在定义域3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭内可导，图像如图所示，记()y f x =的导函数为()y f x '=，则不等式()0f x '≥的解集为（ ）A ．[)1,12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1481,,233⎡⎤⎡⎤-⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C ．[]31,1,223⎛⎤--⋃ ⎥⎝⎦D ．3148,,2333⎛⎤⎡⎤--⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【答案】C【分析】()0f x '≥的解集即为()y f x =单调递增区间，结合图像理解判断． 【详解】()0f x '≥的解集即为()y f x =单调递增区间 结合图像可得()y f x =单调递增区间为[]31,,1,223⎛⎤-- ⎥⎝⎦则()0f x '≥的解集为[]31,1,223⎛⎤--⋃ ⎥⎝⎦故选：C ．2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的导函数()f x '的图像如图所示，则下列判断正确的是（ ）A ．在区间()1,1-上，()f x 是增函数B ．在区间()3,2--上，()f x 是减函数C ．2-为()f x 的极小值点D ．2为()f x 的极大值点【答案】D【分析】利用函数与导函数的关系及其极值的定义即可求解. 【详解】由导函数()f x '的图像可知，在区间()1,0-上为单调递减，在区间()0,1上为单调递增，则选项A 不正确； 在区间()3,2--上，()0f x '>，则()f x 是增函数，则选项B 不正确；由图像可知()20f '-=，且()3,2--为单调递增区间，()2,0-为单调递减区间，则2-为()f x 的极大值点，则选项C 不正确；由图像可知()20f '=，且()1,2为单调递增区间，()2,3为单调递减区间，则2为()f x 的极大值点，则选项D 正确； 故选：D.3．（2023·全国·高三专题练习）函数()3221343f x x ax a x =---在()3,+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．0a ≥ B ．1a ≥ C ．3a ≤-或1a ≥ D ．31a -≤≤【答案】D【分析】结合函数单调性得到()22230f x x ax a -'=-≥在()3,+∞上恒成立，分0a =，0a >和0a <三种情况，数形结合列出不等式，求出实数a 的取值范围. 【详解】∵函数()3221343f x x ax a x =---在()3,+∞上是增函数，∴()22230f x x ax a -'=-≥在()3,+∞上恒成立， ∵()()()22233f x x ax a x a x a =--=-+'，∴当0a =时，()20f x x '=≥恒成立，满足题意；当0a >时，()0f x '>在()(),3,a a ∞∞--⋃+上恒成立，()0f x '<在(),3a a -上恒成立，故只需33a ≤，解得：1a ≤，故可得：(]0,1a ∈ 当0a <时，()0f x '>在()(),3,a a ∞∞-⋃-+上恒成立，()0f x '<在()3,a a -上恒成立，故只需3a -≤，解得：3a ≥-，故可得：[)3,0a ∈- 综上可得：实数a 的取值范围是[]3,1-， 故选：D ．4．（2022·全国·长垣市第一中学高三开学考试（理））已知函数()12ln f x x x x=+-，则不等式()()211f x f x -<-的解集为（ ） A ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】利用导数说明函数的单调性，再根据函数的单调性及定义域将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.【详解】解：由题意可知，函数()12ln f x x x x=+-的定义域为()0,∞+. 因为()22211110f x x x x ⎛⎫'=--=--≤ ⎪⎝⎭恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递减.则由()()211f x f x -<-可得21010211x x x x->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解得213x <<，即原不等式的解集为2,13⎛⎫⎪⎝⎭.故选：B.a A ．ln ln ab a b -<-e e B ．ln ln b a a b < C ．e a b ba-> D ．sin sin 1a ba b-<-【答案】D【分析】由题设有0a b >>，分别构造e ln x y x =-、ln xy x=、e x y x =、sin y x x =-，利用导数研究在,()0x ∈+∞上的单调性，进而判断各项的正误. 【详解】由221a b >>，即0a b >>，A ：若e ln x y x =-且,()0x ∈+∞，则1e x y x'=-，故12|e 20x y ='=-<，1|e 10x y ='=->，即y '在1(,1)2上存在零点且y '在(0,)+∞上递增，所以y 在(0,)+∞上不单调，则e ln e ln a b a b -<-不一定成立，排除； B ：若ln x y x =且,()0x ∈+∞，则21ln xy x -'=， 所以(0,e)上0y '>，y 递增；(e,)+∞上0y '<，y 递减； 故y 在(0,)+∞上不单调，则ln ln a ba b<不一定成立，排除； C ：若e x y x =且,()0x ∈+∞，则e (1)0x y x '=+>，即y 在(0,)+∞上递增， 所以e e a b a b >，即e a b ba-<，排除； D ：若sin y x x =-且,()0x ∈+∞，则1cos 0y x '=-≥，即y 在(0,)+∞上递增， 所以sin sin a a b b ->-，即sin sin 1a ba b-<-，正确.故选：D6．（2022·四川成都·高三期末（理））若函数()在区间()上单调递增，则实数k 的取值范围是（ ） A ．[)1,+∞ B ．[)2,+∞ C ．(]0,1 D ．(]0,2【答案】B【分析】根据已知条件等价为()20f x k x =-≥'在()1,+∞上恒成立，即2k x≥在()1,+∞上恒成立，求解()()21g x x x=>的取值情况即可得出结果. 【详解】()2ln f x kx x =-由题意，已知条件等价为()20f x k x=-≥'在()1,+∞上恒成立， 即2k x≥在()1,+∞上恒成立， 令()()21g x x x=>， ()g x 在()1,+∞上单调递减，()2g x ∴<，2k ∴≥，k ∴的取值范围是[)2,+∞.故选：B.7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()3ln 3f x x x ax =--在()2,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）A ．72a >-B ．72a ≥-C ．72a <D ．72a ≤【答案】D【分析】由已知可得()210f x x a x '=--≥在()2,+∞恒成立，从而进行参变分离求最值即可.【详解】解：()210f x x a x'=--≥，因为函数()31ln 3f x x x ax =--在()2,+∞上单调递增，所以()210f x x a x '=--≥在()2,+∞恒成立，即21a x x≤-在()2,+∞恒成立，令()()212g x x x x =->，则()2120g x x x '=+>在()2,+∞恒成立， 故()g x 在()2,+∞单调递增，所以()()722g x g >=， 故a 的取值范围是72⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，，故选：D ．8．（2023·全国·高三专题练习）已知R α∈，则函数()ex x f x =的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】令12α=、2α=、1α=-，结合导数研究()f x 的单调性及值域判断可能的图象，即可得答案.【详解】当12α=时，()e x xf x =且0x ≥，则12()e x x f x x-'=，所以1(0,)2上 ()0f x '>，()f x 递增；1(,)2+∞上 ()0f x '<，()f x 递减，且(0)0f =，所以A 图象可能；当2α=时，2()0ex x f x =≥且R x ∈，则(2)()e x x x f x '-=，所以(,0)-∞上()0f x '<，()f x 递减，(0,2)上 ()0f x '>，()f x 递增，(2,)+∞上 ()0f x '<，()f x 递减，所以B 图象可能； 当1α=-时，1()e x f x x =且0x ≠，则21()e xxf x x +'=-，所以(,1)-∞-上()0f x '>，()f x 递增，(1,0)-上 ()0f x '<，()f x 递减，(0,)+∞上 ()0f x '>，()f x 递增，又0x <时()0f x <，而0x >时()0f x >， 所以D 图象可能； 综上，排除A 、B 、D. 故选：C3232b b =，03c <<且33c c =，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．a c b <<【答案】A【分析】构造函数()ln xf x x=，求导，根据函数的单调性比大小即可. 【详解】由88a a =，两边同时以e 为底取对数得ln ln 88a a =， 同理可得ln ln 3232b b =，ln ln33c c =， 设()ln xf x x=，0x >，则()()8f a f =，()()32f b f =，()()3f c f =， ()21ln xf x x -'=，令()0f x '=，解得e x =，当()0,e x ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 当()e,x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 则(),,0,e a b c ∈，且()()()3832f f f >>， 所以()()()f c f a f b >>， 故c a b >>， 故选：A.10．（2022·江苏·扬中市第二高级中学高三开学考试）已知()f x '是函数()f x 的导数，且()()f x f x -=，当0x ≥时，()3f x x '>，则不等式3()(1)32f x f x x --<-的解集是（ ） A ．1(,0)2-B ．1(,)2-∞-C ．1(,)2+∞D ．1(,)2-∞【答案】D【分析】构造函数23()()2g x f x x =-，根据导数判断单调性，再利用奇偶性求出解集.【详解】设23()()2g x f x x =-，则()()3g x f x x '='-，因为当0x ≥时，()3f x x '>，所以当0x ≥时，()0g x '>， 即()g x 在[0,)+∞上单调递增，因为()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，则()g x 也是偶函数,所以()g x 在(,0]-∞上单调递减. 因为3()(1)32f x f x x --<-,所以2233()(1)(1)22f x x f x x -<---, 即()(1)g x g x <-, 则1x x <-，解得12x <， 故选：D.b a b =下列正确的是（ ） A ．1ab >B ．1(1)b a a b +<+C ．11a b a b a a b b ++->-D ．52+>a b 【答案】B【分析】利用指对数互化及对数的运算性质可得1b a =，进而可得1121a b b<=<<+，然后构造函数，利用函数的单调性即得. 【详解】由log b a a b =，可得1log log log b a b a b a==，所以log 1b a =，或log 1b a =-， ∴b a =(舍去)，或1b a=，即1ab =，故A 错误； 又02b a b <<<，故120a a a<<<， ∴12a <<，对于函数()112y x x x=+<<， 则2221110x y x x-'=-=>，函数()112y x x x =+<<单调递增，∴1322,2a b a a ⎛⎫+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭，故D 错误； ∵02b a b <<<，112a b<=<， ∴1212a b b <<<+<， 令()()ln 12x g x x x=<<，则()21ln 0xg x x -'=>，∴函数()()ln 12xg x x x=<<单调递增， ∴()ln 1ln 1b a a b +<+，即()()1ln ln 1b a a b +<+， ∴()1ln ln 1ab a b +<+，即1(1)b a a b +<+，故B 正确； ∵011b a b <<<<+，∴函数,x x y a y b ==-单调递增，故函数x x y a b =-单调递增， ∴11a a b b a b a b ++-<-，即11a b a b a a b b ++-<-，故C 错误. 故选：B. 12．（2023·全国·高三专题练习）已知0a <，函数322()2f x x ax a x =+-+的单调递减区间是________ ． 【答案】,3a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】求出函数导数，由()0f x '<即可求出单调递减区间. 【详解】22()32(3)()f x x ax a x a x a '=+-=-+，令()0f x '<，解得3ax a <<- ， 所以()f x 的单调递减区间为,3a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：,3a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.13．（2021·河南宋基信阳实验中学高三开学考试（文））若函数4y x x=+在()0,a 上为单调减函数，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】(]0,2【分析】由题可得函数4y x x=+在区间(0,2]上是减函数，结合条件即得. 【详解】对于函数4y x x=+，0x >， ∴()()222222441x x x y x x x+--'=-==，0x >， 由0y '<，可得02x <<， 因为函数4y x x=+在()0,a 上为单调减函数， 所以02a <≤，即实数a 的取值范围是(]0,2. 故答案为：(]0,2.14．（2022·江苏·扬中市第二高级中学高三开学考试）函数()2x x f x =的单调递增区间为__________. 【答案】2(0,)ln 2【分析】先求得导函数，并令'0f x ，再判断导函数的符号，由此可得函数的单调递增区间.【详解】函数2()2x xf x =，则()()()2'22ln 2ln 222222x x xxx fx x x x -⋅-⋅⋅⋅==，令()0f x '=解得20,ln 2x x ==， 当(),0x ∈-∞时,()0f x '<,函数()f x 单调递减，当20,ln 2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x '>,函数()f x 单调递增，当2,ln 2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时,()0f x '<,函数()f x 单调递减， 故答案为：2(0,)ln 2. 15．（2023·全国·高三专题练习）()3211232f x x x ax =-++，若()f x 在,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上存在单调递增区间，则a 的取值范围是_______【答案】1,9⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【分析】分析可知，2,+3x ⎛⎫∃∈∞ ⎪⎝⎭，使得()212a x x >-，求出函数()212y x x =-在2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上的值域，可得出实数a 的取值范围.【详解】因为()3211232f x x x ax =-++，则()22f x x x a '=-++，有已知条件可得：2,+3x ⎛⎫∃∈∞ ⎪⎝⎭，使得()0f x '>，即()212a x x >-，当()221122122339y x x ⎡⎤⎛⎫=->-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以19a >-.故答案为：1,9⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.16．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知奇函数()的定义域为R ，当0x >讨，()()20f x f x '+>，且()20f =，则不等式()0f x >的解集为___________.【答案】()(2,02,)-⋃+∞【分析】构造函数2()e ()=x g x f x ,利用导函数判断出当x >0时, ()g x 单调递增，得到当x >2时()0g x >，从而()0f x >；当02x <<时，()0g x <，从而()0f x <.由()f x 为奇函数得到不等式()0f x >的解集.【详解】构造函数2()e ()=x g x f x ，则当0x >时，[]2()e 2()()0xg x f x f x ''=+>，所以当x >0时()g x 单调递增.因为f (2)=0，所以()()42e 20g f ==，所以当x >2时()0g x >，从而()0f x >.当02x <<时，()0g x <，从而()0f x <.又奇函数()f x 的图像关于原点中心对称，所以()0f x >的解集为()(2,02,)-⋃+∞. 故答案为: ()(2,02,)-⋃+∞. 三、解答题17．（2022·四川成都·高三期末（理））设函数()()321113f x x x a x =-++--，其中a ∈R ．若函数()f x 的图象在0x =处的切线与x 轴平行． (1)求a 的值；(2)求函数()f x 的单调区间． 【答案】(1)1a =(2)单调递增区间为()0,2；单调递减区间为(),0∞-，()2,+∞【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）由（1）得()32113f x x x =-+-，再求导分析函数的单调区间即可(1)()221f x x x a '=-++-．∵函数()f x 的图象在0x =处的切线与x 轴平行，∴()010f a =-='，解得1a =．此时()010f =-≠，满足题意．∴1a =． (2)由（1）得()32113f x x x =-+-，故()()222f x x x x x '=-+=--．令()0f x '=，解得0x =或2x =．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：x(),0∞-0 ()0,22 ()2,+∞()f x ' - 0 +0 -()f x单调递减1- 单调递增13单调递减∴函数()的单调递增区间为()；单调递减区间为()，()．18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()22ln x f x x a =-（a ∈R 且0a ≠）．(1)2a =，求函数()f x 在()()22f ,处的切线方程． (2)讨论函数()f x 的单调性； 【答案】(1)2ln 2y x =- (2)答案见解析【分析】（1）求得函数的导数，根据导数的几何意义即可求得切线方程；（2）求出函数的导数，分类讨论a 的取值，判断导数的正负，从而确定函数的单调性. (1)当2a =时，()22ln 2x f x x =-，所以()22n2l 2f =-,()2f x x x'=-，所以()22212f '=-=,所以函数()f x 在()()22f ,处的切线方程为()22ln 22y x --=-，即2ln 2y x =-. (2)()f x 的定义域为(0)+∞，， 22()x f x a x'=-,当0a <时， ()0f x '<恒成立，所以()f x 在(0)+∞，上单调递减； 当0a > 时， ()()222()x f x x a x a a x ax'=-=+-,在()0,a 上，()0f x '<，所以()f x 单调递减；在(),a +∞上，()0f x '>，所以()f x 单调递增.。
导数的基本公式14个例题
导数的基本公式14个例题一、导数的基本公式。
1. 常数函数的导数：若y = C（C为常数），则y^′=0。
- 例如：y = 5，求y^′。
- 解析：根据常数函数导数公式，y^′ = 0。
2. 幂函数的导数：若y=x^n，则y^′ = nx^n - 1。
- 例如：y=x^3，求y^′。
- 解析：根据幂函数导数公式，n = 3，所以y^′=3x^2。
- 例如：y = x^(1)/(2)，求y^′。
- 解析：n=(1)/(2)，根据公式y^′=(1)/(2)x^(1)/(2)-1=(1)/(2)x^-(1)/(2)=(1)/(2√(x))。
3. 正弦函数的导数：若y = sin x，则y^′=cos x。
- 例如：y=sin x，求y^′。
- 解析：根据正弦函数导数公式，y^′=cos x。
4. 余弦函数的导数：若y=cos x，则y^′ =-sin x。
- 例如：y = cos x，求y^′。
- 解析：根据余弦函数导数公式，y^′=-sin x。
5. 指数函数y = a^x的导数（a>0,a≠1）：y^′=a^xln a。
- 例如：y = 2^x，求y^′。
- 解析：根据指数函数导数公式，a = 2，所以y^′=2^xln2。
6. 对数函数y=log_ax的导数（a>0,a≠1,x>0）：y^′=(1)/(xln a)。
- 例如：y=log_2x，求y^′。
- 解析：根据对数函数导数公式，a = 2，所以y^′=(1)/(xln2)。
- 特别地，当a = e时，y=ln x，y^′=(1)/(x)。
- 例如：y=ln x，求y^′。
- 解析：根据自然对数函数导数公式，y^′=(1)/(x)。
7. 正切函数的导数：若y=tan x=(sin x)/(cos x)，则y^′=sec^2x=(1)/(cos^2)x。
- 例如：y = tan x，求y^′。
- 解析：根据正切函数导数公式，y^′=sec^2x=(1)/(cos^2)x。
导数专题的题型总结
导数专题的题型总结一、导数的概念与运算题型1. 求函数的导数- 题目：求函数y = x^3+2x - 1的导数。
- 解析：- 根据求导公式(x^n)^′=nx^n - 1，对于y = x^3+2x - 1。
- 对于y = x^3，其导数y^′=(x^3)^′ = 3x^2；对于y = 2x，其导数y^′=(2x)^′=2；对于y=-1，因为常数的导数为0，所以y^′ = 0。
- 综上，函数y = x^3+2x - 1的导数y^′=3x^2+2。
2. 复合函数求导- 题目：求函数y=(2x + 1)^5的导数。
- 解析：- 设u = 2x+1，则y = u^5。
- 根据复合函数求导公式y^′_x=y^′_u· u^′_x。
- 先对y = u^5求导，y^′_u = 5u^4；再对u = 2x + 1求导，u^′_x=2。
- 所以y^′ = 5u^4·2=10(2x + 1)^4。
二、导数的几何意义题型1. 求切线方程- 题目：求曲线y = x^2在点(1,1)处的切线方程。
- 解析：- 对y = x^2求导，根据求导公式(x^n)^′=nx^n - 1，可得y^′ = 2x。
- 把x = 1代入导数y^′中，得到切线的斜率k = 2×1=2。
- 由点斜式方程y - y_0=k(x - x_0)（其中(x_0,y_0)=(1,1)，k = 2），可得切线方程为y - 1=2(x - 1)，即y = 2x-1。
2. 已知切线方程求参数- 题目：已知曲线y = ax^2+3x - 1在点(1,a + 2)处的切线方程为y = 7x + b，求a和b的值。
- 解析：- 先对y = ax^2+3x - 1求导，y^′=2ax + 3。
- 把x = 1代入导数y^′中，得到切线的斜率k = 2a+3。
- 因为切线方程为y = 7x + b，所以切线斜率为7，即2a + 3=7，解得a = 2。
(完整版)高中导数经典知识点及例题讲解
§ 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题自学引导1.通过实例分析，了解平均变化率的实际意义．2．会求给定函数在某个区间上的平均变化率. 课前热身1.函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为ΔyΔx＝________. 2．平均变化率另一种表示形式：设Δx ＝x －x 0，则ΔyΔx＝________，表示函数y ＝f (x )从x 0到x 的平均变化率.1.f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1答 案2.f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx名师讲解1.如何理解Δx ，Δy 的含义Δx 表示自变量x 的改变量，即Δx ＝x 2－x 1；Δy 表示函数值的改变量，即Δy ＝f (x 2)－f (x 1)．2．求平均变化率的步骤求函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]内的平均变化率． (1)先计算函数的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)计算自变量的增量Δx ＝x 2－x 1.(3)得平均变化率Δy Δx ＝f x 2－f x 1x 2－x 1.对平均变化率的认识函数的平均变化率可以表现出函数在某段区间上的变化趋势，且区间长度越小，表现得越精确．如函数y ＝sin x 在区间[0，π]上的平均变化率为0，而在[0，π2]上的平均变化率为sin π2－sin0π2－0＝2π.在平均变化率的意义中，f (x 2)－f (x 1)的值可正、可负，也可以为零．但Δx ＝x 2－x 1≠0.典例剖析题型一求函数的平均变化率例1 一物体做直线运动，其路程与时间t的关系是S＝3t－t2.(1)求此物体的初速度；(2)求t＝0到t＝1的平均速度．分析t＝0时的速度即为初速度，求平均速度先求路程的改变量ΔS＝S(1)－S(0)，再求时间改变量Δt＝1－0＝1.求商ΔSΔt就可以得到平均速度．解(1)由于v＝St＝3t－t2t＝3－t.∴当t＝0时，v0＝3，即为初速度．(2)ΔS＝S(1)－S(0)＝3×1－12－0＝2 Δt＝1－0＝1∴v＝ΔSΔt＝21＝2.∴从t＝0到t＝1的平均速度为2.误区警示本题1不要认为t＝0时，S＝0.所以初速度是零.变式训练1 已知函数f(x)＝－x2＋x的图像上一点(－1，－2)及邻近一点(－1＋Δx，－2＋Δy)，则ΔyΔx＝( )A．3 B．3Δx－(Δx)2 C．3－(Δx)2D．3－Δx 解析Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－(－2)＝－(Δx)2＋3Δx.∴ΔyΔx＝－Δx2＋3ΔxΔx＝－Δx＋3答案D题型二平均变化率的快慢比较例2 求正弦函数y＝sin x在0到π6之间及π3到π2之间的平均变化率．并比较大小．分析用平均变化率的定义求出两个区间上的平均变化率，再比较大小．解设y＝sin x在0到π6之间的变化率为k1，则k 1＝sinπ6－sin0π6－0＝3π.y ＝sin x 在π3到π2之间的平均变化率为k 2，则k 2＝sin π2－sin π3π2－π3＝1－32π6＝32－3π.∵k 1－k 2＝3π－32－3π＝33－1π>0，∴k 1>k 2.答：函数y ＝sin x 在0到π6之间的平均变化率为3π，在π3到π2之间的平均变化率为32－3π，且3π>32－3π.变式训练2 试比较余弦函数y ＝cos x 在0到π3之间和π3到π2之间的平均变化率的大小．解 设函数y ＝cos x 在0到π3之间的平均变化率是k 1，则k 1＝cos π3－cos0π3－0＝－32π.函数y ＝cos x 在π3到π2之间的平均变化率是k 2，则k 2＝cosπ2－cos π3π2－π3＝－3π.∵k 1－k 2＝－32π－(－3π)＝32π>0，∴k 1>k 2.∴函数y ＝cos x 在0到π3之间的平均变化率大于在π3到π2之间的平均变化率．题型三 平均变化率的应用例3 已知一物体的运动方程为s (t )＝t 2＋2t ＋3，求物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的平均速度．分析 由物体运动方程―→写出位移变化量Δs ―→ΔsΔt解 物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的位移增量 Δs ＝s (1＋Δt )－s (1)＝[(1＋Δt )2＋2(1＋Δt )＋3]－(12＋2×1＋3) ＝(Δt )2＋4Δt .物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝(Δt )2＋4ΔtΔt＝4＋Δt .变式训练3 一质点作匀速直线运动，其位移s 与时间t 的关系为s (t )＝t 2＋1，该质点在[2,2＋Δt ](Δt >0)上的平均速度不大于5，求Δt 的取值范围．解 质点在[2,2＋Δt ]上的平均速度为v －＝s 2＋Δt －s 2Δt＝[2＋Δt 2＋1]－22＋1Δt＝4Δt ＋Δt2Δt＝4＋Δt .又v －≤5，∴4＋Δt ≤5. ∴Δt ≤1，又Δt >0，∴Δt 的取值范围为(0,1]. § 1.1 函数的单调性与极值 1.1.2 导数的概念自学引导1.经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念建立的一些实际背景．2．了解瞬时变化率的含义，知道瞬时变化率就是导数．3．掌握函数f (x )在某一点x 0处的导数定义，并且会用导数的定义求一些简单函数在某一点x 0处的导数.课前热身1.瞬时速度．设物体的运动方程为S ＝S (t )，如果一个物体在时刻t 0时位于S (t 0)，在时刻t 0＋Δt 这段时间内，物体的位置增量是ΔS ＝S (t 0＋Δt )－S (t 0)．那么位置增量ΔS 与时间增量Δt 的比，就是这段时间内物体的________，即v ＝S t 0＋Δt －S t 0Δt.当这段时间很短，即Δt 很小时，这个平均速度就接近时刻t 0的速度．Δt 越小，v 就越接近于时刻t 0的速度，当Δt →0时，这个平均速度的极限v ＝lim Δt →0ΔS Δt ＝lim Δt →0S t 0＋Δt －S t 0Δt就是物体在时刻t 0的速度即为________． 2．导数的概念．设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，当Δx 无限趋近0时，比值Δy Δx ＝f x 0＋Δx －f x 0Δx无限趋近于一个常数A ，这个常数A 就是函数f (x )在点x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0.用符号语言表达为f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx＝________1.平均速度 瞬时速度 答 案2.lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx名师讲解1.求瞬时速度的步骤(1)求位移增量ΔS ＝S (t ＋Δt )－S (t )；(2)求平均速度v ＝ΔS Δt；(3)求极限limΔt→0ΔSΔt＝limΔt→0S t ＋Δt－S tΔt；(4)若极限存在，则瞬时速度v＝limΔt→0ΔS Δt.2．导数还可以如下定义一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是limΔx→0f x＋Δx－f x0Δx＝limΔx→0ΔyΔx.我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数．记作f′(x0)或y′|x＝x，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f x＋Δx－f x0Δx.3．对导数概念的理解(1)“导数”是从现实生活中大量类似问题里，撇开一些量的具体意义，单纯地抓住它们数量上的共性而提取出来的一个概念，所以我们应很自然的理解这个概念的提出与其实际意义．(2)某点导数即为函数在这点的变化率．某点导数概念包含着两层含义：①limΔx→0ΔyΔx存在，则称f(x)在x＝x0处可导并且导数即为极限值；②limΔx→0ΔyΔx不存在，则称f(x)在x＝x0处不可导．(3)Δx称为自变量x的增量，Δx可取正值也可取负值，但不可以为0.(4)令x＝x0＋Δx，得Δx＝x－x0，于是f′(x)＝limx→x0f x－f xx－x与定义中的f′(x0)＝limΔx→0f x＋Δx－f x0Δx意义相同．4．求函数y＝f(x)在点x0处的导数的步骤(1)求函数的增量：Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率：ΔyΔx＝f x＋Δx－f x0Δx；(3)取极限，得导数：f′(x0)＝limΔx→0Δy Δx.典例剖析题型一物体运动的瞬时速度例1 以初速度v0(v0>0)竖直上抛的物体，t秒时高度为s(t)＝v0t－12gt2，求物体在时刻t0处的瞬时速度．分析先求出Δs，再用定义求ΔsΔt，当Δt→0时的极限值．解∵Δs＝v0(t0＋Δt)－12g(t＋Δt)2－(v0t0－12gt2)＝(v0－gt0)Δt－12g(Δt)2，∴ΔsΔt＝v0－gt0－12g·Δt.∴当Δt→0时，ΔsΔt→v0－gt0.故物体在时刻t0处的瞬时速度为v0－gt0.规律技巧瞬时速度v是平均速度v在Δt→0时的极限.因此，v＝limΔt→0v＝limΔt→0ΔsΔt.变式训练1 一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝5t－t2，求此物体在t＝2时的瞬时速度。
导数的极值与最值题型总结(解析版)--2024高考数学常考题型精华版
第6讲导数的极值与最值题型总结【考点分析】考点一：函数的驻点若()00='x f ，我们把0x 叫做函数的驻点．考点二：函数的极值点与极值①极大值点与极大值：函数()f x 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有点都有0()()f x f x <，则称0()f x 是函数的一个极大值，记作0()y f x =极大值，其中0x 叫做函数的极大值点②极小值点与极小值：函数()f x 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有点都有0()()f x f x >，则称0()f x 是函数的一个极小值，记作0()y f x =极小值，其中0x 叫做函数的极小值点考点三：求可导函数()f x 极值的步骤①先确定函数()f x 的定义域；②求导数()f x '；③求方程()0f x '=的根；④检验()f x '在方程()0f x '=的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数()y f x =在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数()y f x =在这个根处取得极小值.注意：可导函数()x f 在0x x =满足0()0f x '=是()x f 在0x 取得极值的必要不充分条件，如3()f x x =，(0)0f '=，但00x =不是极值点.考点四：函数的最值一个连续函数在闭区间[]b a ,上一定有最值，最值要么在极值点处取得，要么在断点处取得。
求函数最值的步骤为：①求()y f x =在[]b a ,内的极值（极大值或极小值）；②将()y f x =的各极值与()a f 和()b f 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．【题型目录】题型一：求函数的极值与极值点题型二：根据极值、极值点求参数的值题型三：根据极值、极值点求参数的范围题型四：利用导数求函数的最值（不含参）题型五：根据最值求参数题型六：根据最值求参数范围【典例例题】题型一：求函数的极值与极值点【方法总结】利用导数求函数极值的步骤如下：（1）求函数()f x 的定义域；（2）求导；（3）解方程()00f x '=，当()00f x '=；（4）列表，分析函数的单调性，求极值：①如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值；【例1】(2022石泉县石泉中学)函数()2x x f x e=的极小值为()A ．0B ．1eC ．2D ．24e 【答案】A【解析】由()2x xf x e=，得()()()2222x xxx x x xe x e f x e e ---'==，当02x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增；当0x <或2x >时，()0f x '<，()f x 单调递减；所以当0x =时，函数()2x x f x e=取得极小值，极小值为()000f e ==.故选：A.【例2】(2021·河南新乡市)已知函数()ln f x x ax =-的图象在1x =处的切线方程为0x y b ++=，则()f x 的极大值为()A ．ln 21--B ．ln 21-+C ．1-D ．1【答案】A【解析】因为()ln f x x ax =-，所以1()f x a x'=-，又因为函数()f x 在图象在1x =处的切线方程为0x y b ++=，所以(1)1f a b =-=--，(1)11f a ='-=-，解得2a =，1b =.由112()2x f x x x-'=-=，102x <<，()0f x '>，12x >，()0f x '<，知()f x 在12x =处取得极大值，11ln 1ln 2122f ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭.故选：A.【例3】若函数2()x f x e ax a =--在R 上有小于0的极值点，则实数a 的取值范围是（）A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(,1)-∞-D ．(1,)+∞【答案】B【解析】由()2()x xf x e ax a f x e a'=--⇒=-因为2()x f x e ax a =--在R 上有小于0的极值点，所以()0xf x e a ='-=有小于0的根，由x y e =的图像如图：可知()0xf x e a ='-=有小于0的根需要01a <<，所以选择B【例4】（2022·江西师大附中三模（理））已知函数()sin ,()e xxf x xg x =-为()f x 的导函数．(1)判断函数()g x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由；【答案】(1)存在；极小值【分析】（1）转化为判断导函数是否存在变号零点，对()g x '求导后，判断()g x '的单调性，结合零点存在性定理可得结果；【解析】(1)由()sin ex x f x x =-，可得2e e 1()cos cos (e )e x x x x x xg x x x --=-=-，则2e (1)e 2π()sin sin ,0,(e )e 2x x x x x x g x x x x ----⎛⎫'=+=+∈ ⎪⎝⎭，令2()sin e x x h x x -=+，其中π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得2e (2)e 3()cos cos 0(e )e x x x x x x h x x x ---'=+=+>，所以()h x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，即()g x '在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，因为π2π2π2(0)20,102eg g -⎛⎫''=-<=+> ⎪⎝⎭，所以存在0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，当()00,x x ∈时，()0,()g x g x '<单调递减；当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0,()g x g x '>单调递增，所以当0x x =时，函数()g x 取得极小值．【例5】（2022·江苏苏州·模拟预测）函数()sin cos f x x x x =--．(1)求函数()f x 在(),2ππ-上的极值；【答案】(1)极大值，12π-；极小值，1-；【分析】（1）由题可得()14f x x π⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，进而可得；【解析】(1)∵()sin cos f x x x x =--，∴()1cos sin 1cos 4f x x x x π⎛⎫=-+=+' ⎪⎝⎭，,2x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，由()0f x '=，可得2x π=-，或0x =，∴,2x ππ⎛⎫∈-- ⎝⎭，()()0,f x f x '>单调递增，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()()0,f x f x '<单调递减，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()0,f x f x '>单调递增，∴2x π=-时，函数()f x 有极大值(122f ππ-=-，0x =时，函数()f x 有极小值(0)1f =-；【题型专练】1.已知e 为自然对数的底数，设函数()x xe x f =，则A ．1是()x f 的极小值点B ．﹣1是()x f 的极小值点C ．1是()x f 的极大值点D ．﹣1是()x f 的极大值点【答案】B 【解析】【详解】试题分析：，当时，，当时，，当时，，所以当时，函数取得极小值，是函数的极小值点，故选B.考点：导数与极值2.（2022福建省福建师大附中高二期末多选）定义在R 的函数()f x ，已知()000x x ≠是它的极大值点，则以下结论正确的是（）A ．0x -是()f x -的一个极大值点B ．0x -是()f x -的一个极小值点C ．0x 是()f x -的一个极大值点D ．0x -是()f x --的一个极小值点【答案】AD【解析】()000x x ≠是()f x 的极大值点，就是存在正数m ，使得在00(,)x m x -上，()0f x '>，在00(,)x x m +上，()0f x '<．设()()g x f x =-，()()g x f x ''=--，当00x x x m -<<-+时，00x m x x -<-<，()0f x '->，()0g x '<，同理00x m x x --<<-时，()0g x '>，∴0x -是()f x -的一个极大值点，从而0x -是()f x --的一个极小值点，0x 是()f x -的一个极小值点．不能判定0x -是不是()f x -的极值点．故选：AD.3.（2022江西高三期中（文））已知函数()ln f x a x ax =+，2()2g x x x =+，其中a R ∈.（1）求函数()()()h x f x g x =+的极值；（2）若()g x 的图像在()()11,A x g x ，()()()2212,0B x g x xx <<处的切线互相垂直，求21x x -的最小值.【答案】（1）答案见解析；（2）1.【解析】（1）函数2()ln (2)h x a x x a x =+++的定义或为(0,)+∞，2(1)2()2(2)a x x a h x x a x x⎛⎫++ ⎪⎝⎭'=+++=，若0a ≥，()0h x '>恒成立，此时()h x 在(0,)+∞上单调递增，无极值；若0a <时，()0h x '=，解得2a x =-，当02ax <<-时，()0h x '<，()h x 单调递减；当2ax >-时，()0h x '>，()h x 单调递增.∴当2a x =-时，()h x 有极小值2ln 224a a ah a a ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，无极大值.（2）()22g x x '=+，则()()1222221x x ++=-，其中，120x x <<，1222022x x ∴+<<+，且()121141x x =--+，210x -<<，()212211141x x x x ∴-=++≥+，当且仅当21(1,0)2x =-∈-时取等号，∴当212x =-，132x =-时，21x x -取最小值1.题型二：根据极值、极值点求参数的值【方法总结】解含参数的极值问题要注意：①()00f x '=是0x 为函数极值点的必要不充分条件，故而要注意检验；②若函数()y f x =在区间(,)a b 内有极值，那么()y f x =在(,)a b 内绝不是单调函数，即在某区间上的单调函数没有极值．【例1】(2022全国课时练习)若函数()2()1xf x x ax e =--的极小值点是1x =，则()f x 的极大值为()A ．e -B ．22e -C ．25e -D ．2-【答案】C【解析】由题意，函数()2()1x f x x ax e =--，可得2()(2)1x f x e x a x a '⎡⎤=+---⎣⎦，所以(1)(22)0f a e '=-=，解得1a =，故()2()1x f x x x e =--，可得()())1(2xf x ex x '=+-，则()f x 在(,2)-∞-上单调递增，在()2,1-上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以()f x 的极大值为2(2)5f e --=．故选：C.【例2】(2021·全国课时练习)若函数2()()f x x x a =-在2x =处取得极小值，则a=__________．【答案】2【解析】由2322()()2f x x x a x ax a x ==--+可得22()34f x x ax a '=-+，因为函数2()()f x x x a =-在2x =处取得极小值，所以2(2)1280f a a '=-+=，解得2a =或6a =，若2a =，则2()384(2)(32)f x x x x x '=-+=--，当2,3x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，则()f x 单调递增；当2,23x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，则()f x 单调递减；当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，则()f x 单调递增；所以函数()f x 在2x =处取得极小值，符合题意；当6a =时，2()324363(2)(6)f x x x x x '=-+=--，当(),2x ∈-∞时，()0f x '>，则()f x 单调递增；当()2,6x ∈时，()0f x '<，则()f x 单调递减；当()6,x ∈+∞时，()0f x '>，则()f x 单调递增；所以函数在2x =处取得极大值，不符合题意；综上：2a =.故答案为：2.【例3】（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数()()()e xf x x a x b =--在x a =处取极小值，且()f x 的极大值为4，则b =（）A ．-1B ．2C ．-3D ．4【答案】B 【解析】【分析】对()f x 求导，由函数()()()e xf x x a x b =--在x a =处取极小值，所以()0f a ¢=，所以a b =，()()2e xf x x a ∴=-，对()f x 求导，求单调区间及极大值，由()f x 的极大值为4，列方程得解.【详解】解：()()()e xf x x a x b =--()2e x x ax bx ab =--+，所以()()()22e e x x f x x a b x ax bx ab '=--+--+()2e 2x x a b x ab a b ⎡⎤=+--+--⎣⎦因为函数()()()e xf x x a x b =--在x a =处取极小值，所以()()()2e 2e 0a af a a a b a ab a b a b '⎡⎤=+--+--=-=⎣⎦，所以a b =，()()2e x f x x a ∴=-，()()()()22e 222=e 2x x f x x a x a a x ax a '⎡⎤=+-+----⎡⎤⎣⎦⎣⎦，令()0f x '=，得=x a 或=2x a -，当()2x a ∈-∞-，时，()0f x '>，所以()f x 在()2a -∞-，单调递增，当()2x a a ∈-，时，()0f x '<，所以()f x 在()2a a -，单调递增，当()x a ∈∞，+时，()0f x '>，所以()f x 在()a ∞+，单调递增，所以()f x 在=2x a -处有极大值为()22e ==44a f a --，解得=2a ，所以=2b .故选：B 【题型专练】1．设函数()23ln 2f x x ax x =+-，若1x =是函数()f x 是极大值点，则函数()f x 的极小值为________【答案】ln 22-【解析】函数()2313ln '()222f x x ax x f x ax x =+-⇒=+-1x =是函数()f x 是极大值点则131'(1)20124f a a =+-=⇒=()213113ln '()04222f x x x x f x x x =+-⇒=+-=1x =或2x =当2x =时()f x 的极小值为ln 22-故答案为：ln 22-2．（2023全国高三专题练习）已知函数()ln 1xf x ae x =--，设1=x 是()f x 的极值点，则a =___，()f x 的单调增区间为___.【答案】1e()1,+∞【解析】由题意可得：()1xf x ae x'=-1x = 是()f x 的极值点()110f ae ∴=-='1a e⇒=即()1ln 1x f x ex -=--()11x f x e x-⇒-'=令()0f x '>，可得1x >()f x ∴的单调递增区间为()1,+∞3．（2023河南省实验中学高二月考）函数1sin sin 33y a x x =+在3x π=处有极值，则a 的值为（）A ．6-B ．6C ．2-D ．2【答案】D【解析】cos cos3,y a x x +'=由3|0x y π=='得，cos cos 0,2,3a a ππ+==选D.点睛：函数()f x 在点3x π=处由极值，则必有()0,3f π'=但要注意()0,3f π'=3x π=不一定是()f x 的极值点.题型三：根据极值、极值点求参数的范围【例1】（2022·四川绵阳·二模（文））若2x =是函数()()2224ln f x x a x a x =+--的极大值点，则实数a 的取值范围是（）A ．(),2-∞-B ．()2,-+∞C ．()2,+∞D ．()2,2-【答案】A 【解析】【分析】求出()f x '，分0a ≥，2a <-，20a -<<，2a =-分别讨论出函数的单调区间，从而可得其极值情况，从而得出答案.【详解】()()()()()22224224222x a x a x x a a f x x a x x x+---+'=+--==，()0x >若0a ≥时，当2x >时，()0f x '>；当02x <<时，()0f x '<；则()f x 在()0,2上单调递减；在()2,+∞上单调递增.所以当2x =时，()f x 取得极小值，与条件不符合,故满足题意.当2a <-时，由()0f x '>可得02x <<或x a >-；由()0f x '<可得2x a <<-所以在()0,2上单调递增；在()2,a -上单调递减，在(),a -+∞上单调递增.所以当2x =时，()f x 取得极大值，满足条件.当20a -<<时，由()0f x '>可得0x a <<-或2x >；由()0f x '<可得2a x -<<所以在()0,a -上单调递增；在(),2a -上单调递减，在()2,+∞上单调递增.所以当2x =时，()f x 取得极小值，不满足条件.当2a =-时，()0f x '≥在()0,∞+上恒成立，即()f x 在()0,∞+上单调递增.此时()f x 无极值.综上所述：2a <-满足条件故选：A【例2】（2022·河南·高三阶段练习（文））若函数()()22e xx a f x x =++⋅在R 上无极值，则实数a 的取值范围（）A ．()2,2-B ．(-C ．⎡-⎣D ．[]22-,【答案】D 【解析】【分析】求()()222e x x a f x x a ⎡⎤++++⋅⎣⎦'=，由分析可得()2220y x a x a =++++≥恒成立，利用0∆≤即可求得实数a 的取值范围.【详解】由()()22e xx a f x x =++⋅可得()()()()222e 2e 22e x x xx a x ax x a x f a x ⎡⎤=+⋅+++⋅=++++⋅⎣⎦'，e 0x >恒成立，()222y x a x a =++++为开口向上的抛物线，若函数()()22e xx a f x x =++⋅在R 上无极值，则()2220y x a x a =++++≥恒成立，所以()()22420a a ∆=+-+≤，解得：22a -≤≤，所以实数a 的取值范围为[]22-,，故选：D.【例3】（2022·全国·高三专题练习）函数()(ln )xe f x a x x x=--在(0,1)内有极值，则实数a 的取值范围是（）A ．(,)e -∞B ．(0,)eC ．(,)e +∞D ．[),e +∞【答案】C 【解析】【分析】由可导函数在开区间内有极值的充要条件即可作答.【详解】由()(ln )x e f x a x x x=--得，21111()()(1)(1)()x x e f x e a a x x x x x '=---=--，因函数()(ln )x e f x a x x x=--在(0,1)内有极值，则(0,1)x ∈时，()0xef x a x '=⇔=有解，即在(0,1)x ∈时，函数()xe g x x=与直线y=a 有公共点，而1()(10x e g x x x'=-<，即()g x 在(0,1)上单调递减，(0,1),()(1)x g x g e ∀∈>=，则a e >，显然在x e a x =零点左右两侧()'f x 异号，所以实数a 的取值范围是(,)e +∞.故选：C 【点睛】结论点睛：可导函数y ＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．【例4】（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知函数()()24143e xf x ax a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦，若2x =是()f x 的极小值点，则实数a 的取值范围是（）A ．2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(),0-∞D ．()1,-+∞【答案】B 【解析】【分析】根据导函数的正负，对a 分类讨论，判断极值点，即可求解.【详解】由()()24143e xf x ax a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦得()()()12e x f x ax x '=--，令()()()()()12e 0120x f x ax x ax x '=-->⇒-->，若0a <，则()()11202ax x x a -->⇒<<，此时在12x a <<单调递增，在12,x x a><单调递减，这与2x =是()f x 的极小值点矛盾，故舍去.若0a =，可知2x =是()f x 的极大值点，故不符合题意.若102a >>，()()11202,ax x x x a -->⇒<>，此时()f x 在12,x x a <>单调递增，在12x a<<单调递减，可知2x =是()f x 的极大值点，故不符合题意.当12a >，，()()11202,ax x x x a -->⇒><，此时()f x 在12,x x a ><单调递增，在12x a>>单调递减，可知2x =是()f x 的极小值点，符合题意.若12a =，()f x 在定义域内单调递增，无极值，不符合题意，舍去.综上可知：12a >故选：B【例5】（2022·吉林长春·模拟预测（文））已知函数()sin f x ax x =+，()0,πx ∈．(1)当1a =时，过()0,1做函数()f x 的切线，求切线方程；(2)若函数()f x 存在极值，求极值的取值范围．【答案】(1)1y x =+，(2)()0,π【解析】【分析】（1）设切点，再根据导数的几何意义求解即可；（2）求导分析导函数为0时的情况，设极值点为0x 得到0cos a x =-，代入极值再构造函数()cos sin h x x x x =-+，求导分析单调性与取值范围即可(1)由题，当1a =时，()sin f x x x =+，()1cos f x x '=+，设切点为()000,sin x x x +，则()001cos f x x '=+，故切线方程为()()0000sin 1cos y x x x x x --=+-，又切线过()0,1，故()00001sin 1cos x x x x --=-+，即000sin cos 10x x x --=，设()sin cos 1g x x x x =--，()0,πx ∈，则()sin 0g x x x '=>，故()g x 为增函数.又sin cos 102222g ππππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，故000sin cos 10x x x --=有唯一解02=x π，故切点为,122ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，斜率为1，故切线方程为122y x ππ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，即1y x =+；(2)因为()cos f x a x '=+，()0,πx ∈为减函数，故若函数()f x 存在极值，则()0f x ¢=在区间()0,πx ∈上有唯一零点设为0x ，则0cos 0a x +=，即0cos a x =-，故极值()000000sin cos sin f x ax x x x x =+=-+，设()cos sin h x x x x =-+，()0,πx ∈，则()sin 0h x x x '=>，故()h x 为增函数，故()()()0h h x h π<<，故()0h x π<<，即()()00,f x π∈，故极值的取值范围()0,π【点睛】本题主要考查了过点的切线问题，同时也考查了利用导数研究函数的极值问题，需要根据题意设极值点，得到极值点满足的关系，再代入极值构造函数分析，属于难题【例6】（2022·天津·耀华中学二模）已知函数()ln (0)xae f x x x a x=+->.(1)若1a =，求函数()f x 的单调区间；(2)若()f x 存在两个极小值点12,x x ，求实数a 的取值范围.【答案】(1)递减区间为(0,1)，递增区间为(1,)+∞，(2)1(0,)e【解析】【分析】（1）当1a =时，求得2(1)(e )()x x x f x x '--=，令()e xm x x =-，利用导数求得()0m x >，进而求得函数的单调区间；（2）求得2(1)(())x x xx a e ef x x -'=-，令()e x x u x =，结合单调性得到()e 1u x ≤，进而得到10e ex x <≤，分1e a ≥和10ea <<，两种情况分类讨论，结合单调性与极值点的概念，即可求解.(1)解：当1a =时，函数e ()ln xf x x x x =+-，可得221(1)(1)()()1x x e e f x x x x x x x -'+--=-=，令,())(0,x m x e x x -∈=+∞，可得()e 10x m x '=->，所以函数()m x 单调递增，因为()(0)1m x m >=，所以()0m x >，当(0,1)x ∈时，()0f x ¢<，()f x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，即函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞.(2)解：由函数()ln ,(0,)xae f x x x x x =+-∈+∞，可得22(()(1)())1(),0x x xe ae x x ef x x x x x a x --'==->-，令()e xx u x =，可得()1e x u x x='-，所以函数()u x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以()e1u x ≤，当0x >时，可得e 1x >，所以10e ex x <≤，①当1ea ≥时，0e x xa -≥，此时当(0,1)x ∈时，()0f x ¢<，()f x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，所以函数()f x 的极小值为()1e 1f a =-，无极大值；②当10e a <<时，()()0e e e1,1a a a u a a u a =<==>，又由()u x 在(),1a 上单调递增，所以()f x ¢在(),1a 上有唯一的零点1x ，且11e x xa =，因为当e x >时，令()2ln g x x x =-，可得()2210x g x x x-'=-=<，又因为()0e e 2g =-<，所以()0g x <，即2ln x x <，所以112ln a a<，所以2212ln 11ln2ln 1(ln )1aa a u a a a ea==⋅<，e 1(1)u a =>，因为()u x 在(1,)+∞上单调递减，所以()f x ¢在21(0,ln )a 上有唯一的零点2x ，且22e x x a =，所以当1(0,)x x ∈时，()0f x ¢<，()f x 单调递减；当1(,1)x x ∈时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当2(1,)∈x x 时，()0f x ¢<，()f x 单调递减；当2(,)x x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，所以函数()f x 有两个极小值点，故实数a 的取值范围为1(0,)e.【题型专练】1．（2022贵州遵义·高三）若函数321()53f x x ax x =-+-无极值点则实数a 的取值范围是（）A ．(1,1)-B ．[1,1]-C ．(,1)(1,)-∞-+∞ D ．(,1][1,)-∞-+∞ 【答案】B 【解析】321()53f x x ax x =-+- ,2()21f x x ax '∴=-+，由函数321()53f x x ax x =-+-无极值点知，()0f x '=至多1个实数根，2(2)40a ∴∆=--≤，解得11a -≤≤，实数a 的取值范围是[1,1]-，故选：B2.（2022湖南湘潭·高三月考（理））已知函数2()e 2x f x ax ax =-+有两个极值点，则a 的取值范围是（）A ．(,)e +∞B ．,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()2,e +∞D ．2,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】因为2()e 2x f x ax ax =-+有两个极值点，所以()0f x '=有两个不同实数根，所以220x e ax a -+=有两个不同实数根，所以()21xe a x =-有两个不同实数根，显然0a ≠，所以112x x a e -=有两个不同实数根，记()1xx g x e -=，()2x x g x e -'=，当(),2x ∈-∞时()0g x '>，当()2,x ∈+∞时()0g x '<，所以()g x 在(),2-∞上单调递增，在()2,+∞上单调递减，所以()()2max 12g x g e==，又因为(],1x ∈-∞时，()0g x ≤；当()0,2x ∈时，()210,g x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；当[)2,x ∈+∞时，()210,g x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以当112x x a e-=有两个不同实数根时2110,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以22a e >，所以22e a >，故选：D.3.若函数2()2ln f x x x a x =-+有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围是（）A ．12a >B ．102a -<<C ．12a <D ．102a <<【答案】D 【解析】【分析】求出函数的导数，由导函数有两个零点可得实数a 的取值范围.【详解】∵2()2ln f x x x a x =-+有两个不同的极值点，∴222()2202a x x af x x x-+'=-+==在(0,)+∞有2个不同的零点，∴2220x x a -+=在(0,)+∞有2个不同的零点，∴Δ4800a a =->⎧⎨>⎩，解得102a <<．故选：D.4.（2020·辽宁高三月考）已知函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，则a 的取值范围___________；且不等式()()1212f x f x x x t +<++恒成立，则实数t 的取值范围___________.【答案】10,2⎛⎫⎪⎝⎭[)5,-+∞【解析】2221()(0)ax x f x x x'-+=>，因为函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点12,x x ,所以方程22210ax x -+=有两个不相等的正实数根，于是有：121248010102a x x a x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩，解得102a <<.()()221112221212122ln 2ln f x f x x x x ax x x ax x x x +--+--++=--()()212121212()23ln a x x x x x x x x ⎡⎤=+--++⎣⎦21ln 2a a=---,设21()1ln 2,02h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭,22()0a h a a'-=>，故()h a 在102a <<上单调递增，故1()52h a h ⎛⎫<=-⎪⎝⎭，所以5t ≥-.因此t 的取值范围是[)5,-+∞故答案为：10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；[)5,-+∞5.（2022·江苏南通·高二期末）若x ＝a 是函数2()()(1)f x x a x =--的极大值点，则a 的取值范围是（）A ．1a <B ．1a ≤C ．1a >D ．1a ≥【答案】A 【解析】【分析】求导后，得导函数的零点2,3a a +，比较两数的大小，分别判断在x a =两侧的导数符号，确定函数单调性，从而确定是否在x a =处取到极大值，即可求得a 的范围．【详解】解：2()()(1)f x x a x =--，Rx ∈()()(32)f x x a x a '∴=---令()()(32)0f x x a x a '=---=，得：2,3a x a x +==当23a a +<，即1a <此时()f x 在区间(,)a -∞单调递增，2(,)3a a +上单调递减，2(,)3a ++∞上单调递增，符合x ＝a 是函数()f x 的极大值点，反之，当23a a +>，即1a >，此时()f x 在区间2(,3a +-∞单调递增，2(,)3a a +上单调递减，(,)a +∞上单调递增，x ＝a 是函数()f x 的极小值点，不符合题意；当23a a +=，即1a =，()0f x '≥恒成立，函数()f x 在R x ∈上单调递增，无极值点.综上得：1a <.故选：A.6.（2020·江苏盐城·高三期中）若函数()21ln 2f x x b x ax =++在()1,2上存在两个极值点，则()39b a b ++的取值范围是_______.【答案】814,16⎛⎫⎪⎝⎭【解析】因为()()21ln 02f x x b x ax x =++>，所以()2b x ax bf x x a x x++'=++=，设()2g x x ax b =++，因为函数()f x 在()1,2上存在两个极值点，所以()f x '在()1,2上存在两个零点，所以()g x 在()1,2上存在两个零点，设为12,x x 且12x x ≠，所以根据韦达定理有：1212x x ax x b+=-⎧⎨⋅=⎩，故()23939b a b b ab b++=++()()21212121239x x x x x x x x =⋅-⋅++⋅()()22112233x x x x =--，因为()11,2x ∈，所以221113993,2244x x x ⎛⎫⎡⎫-=--∈-- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，222223993,2244x x x ⎛⎫⎡⎫-=--∈-- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，由于12x x ≠，所以()()22112281334,16x x x x ⎛⎫--∈⎪⎝⎭.故答案为：814,16⎛⎫⎪⎝⎭.7.(2018年北京高考题)设函数()()23132e xf x ax a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦。
导数知识梳理
导数知识梳理（一） 基本知识1、 导数定义2、 导数的几何意义已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是 ．3、 导数运算及运算法则求y=xx sin 2的导数； 4、 单调区间、极值、最值的步骤与方法（1）函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是 ( )A. )2,(-∞B.(0,3)C.(1,4)D. ),2(+∞（2）已知某质点的运动方程为32(),s t t bt ct d =+++下图是其运动轨迹的一部分，若1,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2()3s t d <恒成立，求d 的取值范围. 5、定积分 函数1,(10)()cos ,(0)2x x f x x x π+-≤<⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为 A.32 B. 1 C. 2 D.12（二） 典型例题导数作为工具来研究三次函数、指数函数、对数函数的单调性，极值、最值时，具有其独特的优越性，要理解导数的几何意义，熟练导数的运算公式，善于借助导数解决有关的问题．例1．已知函数321()33f x ax bx x =+++，其中0a ≠． （1）当b a ,满足什么条件时，)(x f 取得极值?（2）已知0>a ，且)(x f 在区间(0,1]上单调递增，试用a 表示出b 的取值范围．例2. 已知函数321(),3f x x ax bx =++且'(1)0f -= （I ）试用含a 的代数式表示b ；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）令1a =-，设函数()f x 在1212,()x x x x <处取得极值，记点1122(,()),(,())M x f x N x f x ，证明：线段MN 与曲线()f x 存在异于M 、N 的公共点． 例3．已知函数32()22f x x bx cx =++-的图象在与x 轴交点处的切线方程是510y x =-．（I ）求函数()f x 的解析式；（II ）设函数1()()3g x f x mx =+，若()g x 的极值存在，求实数m 的取值范围以及函数()g x 取得极值时对应的自变量x 的值．（三） 习题训练1、设()323()1312f x x a x ax =-+++． ⑴若函数()f x 在区间()1,4内单调递减，求a 的取值范围； ⑵若函数()f x x a =在处取得极小值是1，求a 的值，并说明在区间()1,4内函数()f x 的单调性2、已知函数()ln a f x x x=+． ⑴当0a <时，求函数()f x 的单调区间；⑵若函数()f x 在[]1,e 上的最小值是3,2求a 的值． 3、已知函数2()1f x x =-与函数()ln (0)g x a x a =≠． ⑴若()f x ，()g x 的图象在点()1,0处有公共的切线，求实数a 的值；⑵设()()2()F x f x g x =-，求函数()F x 的极值．4、已知函数()ln f x x a x =+，其中a 为常数，且1a -≤．⑴当1a =-时，求()f x 在2[e ,e ]（e 2.71828=）上的值域；⑵若()e 1f x -≤对任意2[e ,e ]x ∈恒成立，求实数a 的取值范围5、已知函数1()ln f x a x x=-，a ∈R ． ⑴若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y +=垂直，求a 的值；⑵求函数()f x 的单调区间；⑶当1a =，且2x ≥时，证明：(1)25f x x --≤．6、已知函数()1e x a f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中0a >． ⑴求函数()f x 的零点；⑵讨论()y f x =在区间(,0)-∞上的单调性；⑶在区间,2a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上，()f x 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．（四） 函数选择训练1、设a=0.32，b=20.3，c=log 20.3则它们的大小关系为（ ）A.c<a<bB.a<c<bC.a<b<cD.b<c<a2、如果一个点是一个指数函数和一个对数函数的图像的交点，那么称这个点为"好点".下列四个点)2,2(),21,21(),2,1(),1,1(4321P P P P 中，"好点"有（ ）个A. 1B.2C.3D.43、已知函数[]2,1,log 2)(2∈+=x x x f ，则函数)()(2x f x f y +=的值域为（ ） A.[]5,4 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡211,4 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡213,4 D.[]7,4 4、下面的说法正确的是（ ）A.若)(0'x f 不存在，则曲线)(x f y =在点()()00,x f x 处没有切线.B.若曲线)(x f y =在点()()00,x f x 处有切线，则)(0'x f 必存在.C.若)(0'x f 不存在，则曲线)(x f y =在点()()00,x f x 处的切线斜率不存在.D.若曲线)(x f y =在点()()00,x f x 处没有切线，则)(0'x f 有可能存在.5、在函数x x y 4613-=的图像上，其切线的倾斜角小于4π的点中，横坐标为整数的点有（ ）A.7B.5C.4D.26、若函数f(x)的反函数为f )(1x -,则函数f(x-1)与f )1(1--x 的图象可能是 （ ）7、方程322670(0,2)x x -+=在内根的个数为( )A 、0B 、-1C 、1D 、38、定义在R 上的函数的图像关于点（-34，0）成中心对称且对任意的实数x 都有f （x ）=-f （x+32）且f （-1）=1，f （0）=-2，则f （1）+f （2）+……+f （2010）=（ ） A ．0 B ．-2 C ．-1 D ．-49、（理）设f (x )=|2－x 2|，若0＜a ＜b 且f (a )=f (b )，则a +b 的取值范围是（ ）A ．(0，2)B ．(0,2)C ．(0,4)D ．(0，22)10、（理）如果函数f （x ）= 13x 3+12ax 2+284a -x 在x=1处的切线恰好在此处穿过函数图像则a=（ ）A ．3B ．-1C ．-2D ．0【答案与解析】1、A 本题考查中介法和单调性法比较大小，log 20.3<0，而其他两个都大于零，至于a 和b ，构造中介0.30.3或22，然后分别利用指数函数和幂函数的单调性比较，例如20.3>0.30.3>0.322、B 设指数函数和对数函数分别为)1,0(log ),1,0(≠>=≠>=b b x y a a a y b x .若为"好点"，则)1,1(1P 在x a y =上，得1=a 与1,0≠>a a 矛盾；)2,1(2P 显然不在x y b log =；)21,21(3P 在x y a y b x log ,==上时41,41==b a ，易得)2,2(4P 也为"好点" 3、B 由x x x x f x f y 22222log 34log 2log 2)()(+=+++=+=，注意到为使得)()(2x f x f y +=有意义必有212≤≤x 得21≤≤x ，从而2114≤≤y . 4、C （理）曲线在()()00,x f x 处有导数，则切线一定存在，但有切线，切线的斜率可能不存在，即导数不存在.5、D 由x x y 4613-=得4212'-=x y ，切线的倾斜角小于4π，则142102<-≤x ，所以3,1082±=<≤x x ，即点⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-215,3,215,3两点的切线倾斜角小于4π. 6、C 函数 f(x-1)是由f （x ）向右平移一个单位得到，f )1(1--x 由f 1()x - 向右平移一个单位得到，而f （x ）和f 1()x -关于y=x 对称，从而f(x-1)与f )1(1--x 的对称轴也是由原对称轴向右平移一个单位得到即y=x-1 7、C （理）令32/2()267 ()612f x x x f x x x =-+=-，则＝)2(6-x x由//()020 ()002f x x x f x x 得或由得，又(0)70 (2)10f f ==-，8、A 由f （x ）=-f （x+32）得f （x ）＝f （x ＋3）即周期为3，由图像关于点（-34，0）成中心对称得f （x ）+f （-x-32）=0，从而-f （x+32）=- f （-x-32），所以f （x ）= f （-x ）。
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导数专题一、导数的基本应用（一）研究含参数的函数的单调性、极值和最值基本思路：定义域 →→ 疑似极值点 →→ 单调区间 →→ 极值 →→ 最值 基本方法：一般通法：利用导函数研究法 特殊方法：（1）二次函数分析法；（2）单调性定义法【例题1】已知函数22()(1)x bf x x -=-，求导函数()f x '，并确定()f x 的单调区间．解：242(1)(2)2(1)()(1)x x b x f x x ----'=-3222(1)x b x -+-=-32[(1)](1)x b x --=--．令()0f x '=，得1x b =-． 当11b -=，即2b =时，2()1f x x =-，所以函数()f x 在(1)-∞，和(1)+∞，上单调递减． 当11b -<，即2b <时，()f x '的变化情况如下表：当11b ->，即2b >时，()f x '的变化情况如下表：所以，2b <时，函数()f x 在(1)b -∞-，和(1)+∞，上单调递减，在(11)b -，上单调递增，2b =时，函数()f x 在(1)-∞，和(1)+∞，上单调递减． 2b >时，函数()f x 在(1)-∞，和(1)b -+∞，上单调递减，在(11)b -，上单调递增．【例题2】已知函数32()2f x x mx nx =++-的图象过点(1,6)--，且函数()()6g x f x x '=+的图象关于y 轴对称.（Ⅰ）求m n 、的值及函数()y f x =的单调区间；（Ⅱ）若0a >，求函数()y f x =在区间(1,1)a a -+的极值. 解：（Ⅰ）由函数()f x 图象过点(1,6)--，得3m n -=-，………①由32()2f x x mx nx =++-，得2()32f x x mx n '=++，则2()()63(26)g x f x x x m x n '=+=+++； 而()g x 图象关于y 轴对称，所以－26023m +=⨯，所以3m =-， 代入①得 0n =.于是2()363(2)f x x x x x '=-=-.由()0f x '>得2x >或0x <，故()f x 的单调递增区间是(,0)-∞，(2,)+∞； 由()0f x '<得02x <<，故()f x 的单调递减区间是(0,2). （Ⅱ）由（Ⅰ）得()3(2)f x x x '=-，令()0f x '=得0x =或2x =. 当x 变化时，()f x '、()f x 的变化情况如下表：由此可得：当01a <<时，()f x 在(1,1)a a -+有极大值(0)2f =-，无极小值；当1a =时，()f x 在(1,1)a a -+无极值；当13a <<时，()f x 在(1,1)a a -+有极小值(2)6f =-，无极大值； 当3a ≥时，()f x 在(1,1)a a -+无极值.综上所述，当01a <<时，()f x 有极大值2-，无极小值；当13a <<时，()f x 有极小值6-，无极大值；当1a =或3a ≥时，()f x 无极值.点评：本题是前面两个例题的变式，同样考查了对导函数零点的分类讨论，但讨论的直接对象变为了函数自变量的研究围，故此题思路不难，旨在帮助学生加深对此类问题本质的认识，并提升其详尽分类，正确计算的水平. 【例题3】已知函数2()1ln f x x a x x=-+-，a ＞0， (I)讨论()f x 的单调性;(II)设a=3，求()f x 在区间[1，2e ]上值域.其中e=2.71828…是自然对数的底数.解：（Ⅰ）由于/22()1a f x x x =+-,令1t x=得/2()21(0)f x t at t =-+≠① 当280a ∆=-≤，即0a <≤/()0f x ≥恒成立，∴()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上都是增函数.② 当280a ∆=->，即a >由2210t at -+>得t <或t >∴0x <或x >0x <<又由2210t at -+<t <<x <<综上,当0a <≤()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上都是增函数；当a >()f x 在(-∞及)+∞上都是增函数，在(,22a a -+是减函数. （2）当3a =时，由（1）知，()f x 在[1，2]上是减函数，在[22,]e 上是增函数.又2222(1)0,(2)23ln 20,()50f f f e e e==-<=--> ∴函数()f x 在区间[1，2e ]上的值域为222[23ln 2, e 5]e---.点评：（1）第一问在前面例题的理论基础上，进一步加大了运算的难度，涉及到了换元法，分母有理化等代数技巧； （2）第二问将问题延伸到了函数值域上，过程比较简单，是一个承上启下的过渡性问题. （二）利用函数的单调性、极值、最值，求参数取值围基本思路：定义域 →→ 单调区间、极值、最值 →→ 不等关系式 →→ 参数取值围 基本工具：导数、含参不等式解法、均值定理等【例题4】已知函数32()22f x x bx cx =++-的图象在与x 轴交点处的切线方程是510y x =-. （I ）求函数()f x 的解析式； （II ）设函数1()()3g x f x mx =+，若．()g x 的极值存在．．．．．，数m 的取值围以及函数()g x 取得极值时对应的自变量x 的值. 解：（I ）由已知,切点为(2,0),故有(2)0f =,即430b c ++=……①又2()34f x x bx c '=++，由已知(2)1285f b c '=++=得870b c ++=……② 联立①②，解得1,1b c =-=.所以函数的解析式为32()22f x x x x =-+-（II ）因为321()223g x x x x mx =-+-+令21()34103g x x x m '=-++=当函数有极值时，方程．．．．．．．．．．2134103x x m -++=有实数解．．．．.则4(1)0m ∆=-≥，得1m ≤. ①当1m =时，()0g x '=有实数23x =，在23x =左右两侧均有()0g x '>，故()g x 无极值②当1m <时，()0g x '=有两个实数根1211(2(2x x ==(),()g x g x '情况如下表：所以在(,1)∈-∞m 时，函数()g x 有极值；当1(23=x 时，()g x 有极大值；当1(23=+x 时，()g x 有极小值； 点评：（1） 本题第一问是求曲线切线的逆向设问，解题过程进一步强化了对切点的需求.（2） 本题第二问是函数求极值的逆向设问，解题方法本质仍然是求含参数的函数的极值，难度不大. 【例题5】 设a ∈R ，函数233)(x ax x f -=．（Ⅰ）若2=x 是函数)(x f y =的极值点，求a 的值；（Ⅱ）若函数()()()[02]g x f x f x x '=+∈，，，在0=x 处取得最大值，求a 的取值围．解：（Ⅰ）2()363(2)f x ax x x ax '=-=-．因为2x =是函数()y f x =的极值点，所以(2)0f '=，即6(22)0a -=，因此1a =．经验证，当1a =时，2x =是函数()y f x =的极值点．（Ⅱ）由题设，3222()336(3)3(2)g x ax x ax x ax x x x =-+-=+-+． 当()g x 在区间[02]，上的最大值为(0)g 时， (0)(2)g g ≥，即02024a -≥．故得65a ≤反之，当65a ≤时，对任意[02]x ∈，， 26()(3)3(2)5g x x x x x +-+≤23(210)5x x x =+-3(25)(2)5xx x =+-0≤， 而(0)0g =，故()g x 在区间[02]，上的最大值为(0)g ．综上，a 的取值围为65⎛⎤-∞⎥⎝⎦，． 点评：（1） 本题是求函数最值的逆向问题，答案所用的解法是一种比较特殊的方法，具有一定的思维难度. （2） 本题若用一般方法，则可求出g(0)=0，将问题转化为g(x)≤0的恒成立问题，此种解法的计算量将有所加大. （三）导数的几何意义 【例题6】设函数()bf x ax x=-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --=. （Ⅰ）求()y f x =的解析式；（Ⅱ）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值.解：（Ⅰ）方程74120x y --=可化为734y x =-，当2x =时，12y =； 又()'2b f x a x =+，于是1222744b a b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得13a b =⎧⎨=⎩， 故()3f x x x =-（Ⅱ）设()00,P x y 为曲线上任一点，由'231y x =+知曲线在点()00,P x y 处的切线方程为 ()002031y y x x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，即()00200331y x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令0x =，得06y x =-，从而得切线与直线0x =的交点坐标为060,x ⎛⎫- ⎪⎝⎭； 令y x =，得02y x x ==，从而得切线与直线y x =的交点坐标为()002,2x x ； 所以点()00,P x y 处的切线与直线0,x y x ==所围成的三角形面积为0016262x x -=； 故曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0,x y x ==所围成的三角形面积为定值6. 二、导数应用的变式与转化（一）函数的零点存在与分布问题问题设置：根据函数零点或方程实数根的个数求参数取值围 基本方法： 通性通法：函数最值控制法特殊方法：（1）二次函数判别式法；（2）零点存在性定理二次函数（1） 本组题旨在加深对二次函数零点存在性与分布问题的认识；（2） 本题旨在提升对函数与方程关系问题的认识水平； （3） 研究二次函数零点分布问题时，除了判别式法以外，应补充极值（最值）控制法，为三次函数零点分布研究做方法上的铺垫.【例题7】设函数329()62f x x x x a =-+-． （1）略；（2）若方程()0f x =有且仅有一个实根，求a 的取值围.解：因为 当1x <时, '()0f x >;当12x <<时, '()0f x <;当2x >时, '()0f x >;所以 当1x =时,()f x 取极大值 5(1)2f a =-; 当2x =时,()f x 取极小值 (2)2f a =-;故当(2)0f > 或(1)0f <时, 方程()0f x =仅有一个实根. 解得 2a <或52a >. 点评：本题是零点问题的方程形式，用函数最值控制法解答，属于本类问题的原型题.【例题8】已知二次函数)(x g y =的导函数的图像与直线2y x =平行，且)(x g y =在x =－1处取得最小值m －1(m 0≠).设函数xx g x f )()(=（1）若曲线)(x f y =上的点P 到点Q(0,2)的距离的最小值为2,求m 的值； （2）)(R k k ∈如何取值时,函数kx x f y -=)(存在零点．．．．,并求出零点. 解：（1）设()2g x ax bx c =++，则()2g x ax b '=+；又()g x '的图像与直线2y x =平行 22a ∴=，解得1a = 又()g x 在1x =-取极小值，∴12b-=-，解得2b = ()1121g a b c c m ∴-=-+=-+=-，解得c m =；所以()()2g x mf x x x x==++， 设(),o oP x y ，则()22222000002m PQx y x x x ⎛⎫=+-=++ ⎪⎝⎭22020222m x x =++≥24∴=,解得2m =±；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）由()()120my f x kx k x x =-=-++=，得()2120k x x m -++=()* 当1k =时，方程()*有一解2m x =-，函数()y f x kx =-有一零点2mx =-；当1k ≠时，方程()*有二解()4410m k ⇔∆=-->，若0m >，11k m >-，()y f x kx =-有两个零点x若0m <，11k m <-，()y f x kx =-有两个零点x ； 当1k ≠时，方程()*有一解()4410m k ⇔∆=--=，即11k m =-,()y f x kx =-有一零点11x k =-点评：（1） 本题第一问是涉及均值定理的最值问题，题目计算量中等，思维难度不大；（2） 第二问涉及到的函数为二次函数，故而用含参二次方程的根系关系研究根的分布问题，是本部分的原型问题和重点问题. 【例题9】已知a 是实数，函数()a x ax x f --+=3222，如果函数()x f y =在区间．．．[]1,1-上有零点．．．．，求a 的取值围. 解：若0a = , ()23f x x =- ,显然函数在[]1,1-上没有零点.若0a ≠，令 ()248382440a a a a ∆=++=++=, 解得 32a-±=①当 32a -±=时, ()y f x =恰有一个零点在[]1,1-上; ②当()()()()05111<--=⋅-a a f f ，即15a <<时，()y f x =在[]1,1-上也恰有一个零点. ③当()y f x =在[]1,1-上有两个零点时, 则()()208244011121010a a a a f f >⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≥⎪⎪-≥⎩或 ()()208244011121010a a a a f f <⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≤⎪⎪-≤⎩解得5a ≥或a <，综上，所数a的取值围是1a >或a ≤点评：本题以二次函数为载体，设定在区间围上的零点存在性问题，解答时依零点个数进行分类讨论，涉及到含参二次方程根的分布研究、零点存在性定理. 是原型问题和重点题. 【例题10】已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++(,)a b ∈R ． （II ）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调．．．，求a 的取值围． 解：（Ⅱ）函数)(x f 在区间)1,1(-不单调，等价于 导函数)(x f '在)1,1(-既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数即函数)(x f '在)1,1(-上存在零点，根据零点存在定理，有0)1()1(<'-'f f ，即：0)]2()1(23)][2()1(23[<+---+--+a a a a a a整理得：0)1)(1)(5(2<-++a a a ，解得15-<<-a三次函数（1） 本组题旨在加深对二次函数零点存在性与分布问题的认识； （2） 本题旨在提升对函数与方程关系问题的认识水平；（3） 本组题旨在加深对二次函数、三次函数零点分布问题的认识，进而深化对导数方法、极值、最值的理解. 【例题11】已知函数3()31,0f x x ax a =--≠ （I ）求()f x 的单调区间；（II ）若()f x 在1x =-处取得极值，直线y=m 与()y f x =的图象有三个不同的交点．．．．．．．．．．， 求m 的取值围.解：（1）'22()333(),f x x a x a =-=-当0a <时，对x R ∈，有'()0,f x >所以()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞当0a >时，由'()0f x >解得x <x >'()0f x <解得x <<所以()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞，单调减区间为(.（2）因为()f x 在1x =-处取得极大值， 所以'2(1)3(1)30, 1.f a a -=⨯--=∴= 所以3'2()31,()33,f x x x f x x =--=-由'()0f x =解得121,1x x =-=.由（1）中()f x 的单调性可知，()f x 在1x =-处取得极大值1，在1x =处取得极小值-3.因为直线y m =与函数()y f x =的图象有三个不同的交点， 所以m 的取值围是(3,1)-.点评： （1） 本题是三次函数零点存在性问题的典型变式题，涉及图象交点向函数零点的转化关系； （2） 本题最终将问题转化为研究三次函数根的分布，采用极值（最值）控制法； （3） 在这里应结合上面例题进一步揭示研究二次方程与三次方程实根分布问题在方法上的本质关系，以便进一步加深对函数极值（最值）的认识和对利用导数研究函数性质.（二）不等式恒成立与存在解问题问题设置：当不等关系在某个区间围恒成立或存在解为条件，求参数的取值围 基本思路：转化为函数最值与参数之间的不等关系问题 基本方法：通性通法：变量分离法、变量转换、最值控制法特殊方法：二次函数判别式法、二次函数根的分布研究 【例题12】设函数323()(1)1,32a f x x x a x a =-+++其中为实数.（Ⅱ）若'2()1f x x x a >--+对任意(0,)a ∈+∞都成立，数x 的取值围.解：法一（变量转换，最值控制法）：223(1)1ax x a x x a -++>--+对任意(0,)a ∈+∞都成立.即22(2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立设22()(2)2()g a a x x x a R =+--∈，则对任意x R ∈，()g a 为单调递增函数()a R ∈ 所以对任意(0,)a ∈+∞，()0g a >恒成立的充分必要条件是(0)0g ≥. 即 220x x --≥，20x -≤≤∴， 于是x 的取值围是}{|20x x -≤≤法二（变量分离法）：由题设知：223(1)1ax x a x x a -++>--+对任意(0,)a ∈+∞都成立，即22(2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立.于是2222x x a x +>+对任意(0,)a ∈+∞都成立，即22202x xx +≤+.解得x 的取值围是}{|20x x -≤≤. 点评：变量分离法可以任何一个变量分离出来，例如本题也可以求出二次方程的根，这样就是将变量x 分离出来了，但过程较复杂，不宜在此处选用. 【例题13】已知定义在正实数集上的函数21()22f x x ax =+，2()3ln g x a x b =+，其中0a >．设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，且在该点处的切线相同．（I ）用a 表示b ，并求b 的最大值；（II ）求证：．．．f(x )．．．．≥．g(x)．．．．，其中x > 0． 解：（Ⅰ）设()y f x =与()(0)y g x x =>在公共点00()x y ，处的切线相同．()2f x x a '=+∵，23()a g x x'=，由题意00()()f x g x =，00()()f x g x ''=． 即22000200123ln 232x ax a x b a x a x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，由20032a x a x +=得：0x a =，或03x a =-（舍去）． 即有222221523ln 3ln 22b a a a a a a a =+-=-． 令225()3ln (0)2h t t t t t =->，则()2(13ln )h t t t '=-．于是当(13ln )0t t ->，即130t e <<时，()0h t '>；当(13ln )0t t -<，即13t e >时，()0h t '<．故()h t 在130e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，为增函数，在13e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∞为减函数，于是()h t 在(0)+，∞的最大值为123332h e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭．（Ⅱ）设221()()()23ln (0)2F x f x g x x ax a x b x =-=+-->， 则()F x '23()(3)2(0)a x a x a x a x x x-+=+-=>． 故()F x 在(0)a ，为减函数，在()a +，∞为增函数，于是函数()F x 在(0)+，∞上的最小值是000()()()()0F a F x f x g x ==-=． 故当0x >时，有()()0f x g x -≥，即当0x >时，()()f x g x ≥．点评：（1） 本题以曲线的切线问题的载体，在第一问中考查了函数最值的求法； （2） 第二问是恒成立问题的应用.两函数比较大小通过相减构造新函数运用导数知识 （三）“零点存在与分布问题”与“恒成立、存在解问题”之间的关系（1） 研究对象的本质相同，因此解题方向一致：函数的极值或最值控制是解决这两类问题的通性通法，针对特殊类型的函数，如二次函数，又都可以用相应的函数性质进行研究； （2） 研究对象的载体不同，因此解题方法不同：前者是函数与其所对应的方程之间关系的问题，后者是函数与其所对应的不等式之间关系的问题；（3）原型问题是根本，转化命题是关键：二者都可以进一步衍生出其他形式的问题，因此往往需要先将题目所涉及的问题转化为原型问题，然后利用通性通法加以解决，在转化过程中应注意命题的等价性. 【例题14】设函数0),(,)1(31)(223>∈-++-=m R x x m x x x f 其中 （Ⅰ）略；（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；（Ⅲ）已知函数)(x f 有三个互不相同的零点0，21,x x ，且21x x <.若对任意的],[21x x x ∈，)1()(f x f >恒成立，求m 的取值围.解：（2）12)(22'-++-=m x x x f ，令0)('=x f ，得到m x m x +=-=1,1因为m m m ->+>11,0所以，当x 变化时，)(),('x f x f 的变化情况如下表：x )1,(m --∞m -1)1,1(m m +-m +1),1(+∞+m)('x f+0 - 0 +)(x f极小值极大值)(x f 在)1,(m --∞和),1(+∞+m 减函数，在)1,1(m m +-增函数.函数)(x f 在m x +=1处取得极大值)1(m f +，且)1(m f +=313223-+m m函数)(x f 在m x -=1处取得极小值)1(m f -，且)1(m f -=313223-+-m m （3）解：由题设， ))((31)131()(2122x x x x x m x x x x f ---=-++-= 所以方程13122-++-m x x =0由两个相异的实根21,x x ，故321=+x x ， 且0)1(3412>-+=∆m ，解得21)(21>-<m m ，舍 因为123,32,221221>>=+><x x x x x x 故所以 若0)1)(1(31)1(,12121≥---=<≤x x f x x 则，而0)(1=x f ，不合题意 若,121x x <<则对任意的],[21x x x ∈有,0,021≤-≥-x x x x则0))((31)(21≥---==x x x x x x f 又0)(1=x f ，所以函数)(x f 在],[21x x x ∈的最小值为0，于是对任意的],[21x x x ∈，)1()(f x f >恒成立的充要条件是031)1(2<-=m f ,解得3333<<-m w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 综上，m 的取值围是)33,21( 四、其它形式的问题【例题15】设函数3222()1,()21,f x x ax a x g x ax x =+-+=-+其中实数0a ≠．（Ⅰ）若0a >，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当函数()y f x =与()y g x =的图象只有一个公共点且()g x 存在最小值时，记()g x 的最小值为()h a ，求()h a 的值域；（Ⅲ）若()f x 与()g x 在区间(,2)a a +均为增函数，求a 的取值围．解：（Ⅰ）22()323()()3a f x x ax a x x a '=+-=-+，又0a >， ∴ 当3a x a x <->或时，()0f x '>；当3a a x -<<时，()0f x '<， ∴()f x 在(,)a -∞-和(,)3a +∞是增函数，在(,)3a a -是减函数． （Ⅱ）由题意知 3222121x ax a x ax x +-+=-+，即22[(2)]0x x a --=恰有一根（含重根）．∴22a -≤0，即2-≤a 2，又0a ≠，∴[2,0)(0,2]a ∈．当0a >时，()g x 才存在最小值，∴2]a ∈．211()()g x a x a a a=-+-，∴1(),h a a a a =-∈.∴()h a的值域为(,1-∞． （Ⅲ）当0a >时，()f x 在(,)a -∞-和(,)3a+∞是增函数，()g x 在1(,)a+∞是增函数． 由题意得031a a a a a ⎧⎪>⎪⎪≥⎨⎪⎪≥⎪⎩，解得a ≥1； 当0a <时，()f x 在(,)3a-∞和(,)a -+∞是增函数，()g x 在1(,)a-∞是增函数． 由题意得02312a a a a a⎧⎪<⎪⎪+≤⎨⎪⎪+≤⎪⎩，解得a ≤3-； 综上可知，实数a 的取值围为(,3][1,)-∞-+∞．【例题16】已知函数43219()42f x x x x cx =+-+有三个极值点. （I ）证明：275c -<<；（II ）若存在实数c ，使函数)(x f 在区间[],2a a +上单调递减，求a 的取值围.解：（I ）因为函数43219()42f x x x x cx =+-+有三个极值点， 所以32()390f x x x x c '=+-+=有三个互异的实根.设32()39,g x x x x c =+-+则2()3693(3)(1),g x x x x x '=+-=+-当3x <-时，()0,g x '>()g x 在(,3)-∞-上为增函数；当31x -<<时，()0,g x '<()g x 在(3,1)-上为减函数；当1x >时，()0,g x '>()g x 在(1,)+∞上为增函数；所以函数()g x 在3x =-时取极大值，在1x =时取极小值.当(3)0g -≤或(1)0g ≥时，()0g x =最多只有两个不同实根.因为()0g x =有三个不同实根，所以(3)0g ->且(1)0g <.即2727270c -+++>，且1390c +-+<，解得27,c >-且5,c <故275c -<<.（II ）由（I ）的证明可知，当275c -<<时, ()f x 有三个极值点.不妨设为123x x x ，，（123x x x <<），则123()()()().f x x x x x x x '=---所以()f x 的单调递减区间是1(]x -∞，,23[,]x x .若)(x f 在区间[],2a a +上单调递减，则[],2a a +⊂1(]x -∞，, 或[],2a a +⊂23[,]x x ,若[],2a a +⊂1(]x -∞，，则12a x +≤.由（I ）知，13x <-,于是 5.a <-若[],2a a +⊂23[,]x x ,则2a x ≥且32a x +≤.由（I ）知，23 1.x -<<又32()39,f x x x x c '=+-+当27c =-时，2()(3)(3)f x x x '=-+；当5c =时，2()(5)(1)f x x x '=+-. 因此，当275c -<<时，31 3.x << 所以3,a >-且2 3.a +≤即3 1.a -<<故5,a <-或3 1.a -<<反之, 当5,a <-或31a -<<时，总可找到(27,5),c ∈-使函数)(x f 在区间[],2a a +上单调递减. 综上所述，a 的取值围是(5)(3,1)-∞--，。