开环幅相频率特性
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绘制开环幅相频率特性曲线的教学方法研究
绘制开环幅相频率特性曲线的教学方法研究郑长勇安徽建筑大学电子与信息工程学院安徽合肥230601摘要线性控制系统的频率分析法是自动控制原理学习中的一个重要部分而奈奎斯特稳定判据是其中的一个重点内容开环幅相频率特性曲线的绘制是奈奎斯特稳定判据的基础
２ ０ １ ３年 １ １ 月 第３ １ 卷 第 ６ 期
的交点 的确 定
特 性 曲线 与实轴 的交 点 ： 由 Ｑ（ 叫 ） 一０求 出对 应
的 ∞的值 ， 再将 叫值代入到 Ｐ（ ） 表达式 中， 得到的 值 即为频率 特性 曲线 与 实轴交 点 的坐 标 ；
同理 ， 特 性 曲线 与 虚 轴 的 交 点 ： 由 Ｐ（ ） ＝ ＝ ＝ ０求 出对 应 的 的值 ， 再将 ∞值代 入到 Ｑ（ ∞ ） 表达式中， 得 到 的值 即为频率 特性 曲线 与 虚轴 交点 的坐 标 。 注： 问断 点 的问题 。随 着 叫的值 从 ０开 始 不 断 增加 ， 系统 的频率 特 性 曲线 在 某一 点 或某 些 点 处 不 连续 ， 特 别要 注 意这些 不 连续 点 ， 参 看本 文 开环 幅相 频率 特 性 曲线绘 制举 例部 分 中 的例 ４ 。
和虚部 的值及正负性 ， 确定起点坐标及所处的象限。 步骤 二 开环 幅 相频 率特性 曲线 终 点 的确定 将∞ 一＋。 。 分别代入到系统频 率特性 表达式 中的 实部和虚部 ， 分别 求 出实部 及虚部 的值 。根 据 实部 和 虚部 的值 及正负性 ， 确定终点坐标及所处的象限 。 步 骤 三 开环 幅 相频 率 特 性 曲线 与 实轴 、 虚 轴
２ 开 环幅 相频 率特 性 曲线 绘制举 例 例 １ 某 ０型 单 位 反 馈 系 统 Ｇ（ Ｓ ）一
［ 收稿 日期］２ ｏ １ ３ 一Ｏ ６ —１ Ｏ ［ 基金项 目］安徽省 教 育厅 自然科 学 重点 科 研项 目 （ Ｋ Ｊ ２ Ｏ １ ３ Ａ Ｏ ７ １ ） ； 安 徽 省质 量工 程 项 目（ ２ ０ １ ０ ０ ７ ５ ７ ） ； 安 徽 建 筑 大学 教 学 研究 项 目
２ ０ １ ３年 １ １ 月 第３ １ 卷 第 ６ 期
的交点 的确 定
特 性 曲线 与实轴 的交 点 ： 由 Ｑ（ 叫 ） 一０求 出对 应
的 ∞的值 ， 再将 叫值代入到 Ｐ（ ） 表达式 中， 得到的 值 即为频率 特性 曲线 与 实轴交 点 的坐 标 ；
同理 ， 特 性 曲线 与 虚 轴 的 交 点 ： 由 Ｐ（ ） ＝ ＝ ＝ ０求 出对 应 的 的值 ， 再将 ∞值代 入到 Ｑ（ ∞ ） 表达式中， 得 到 的值 即为频率 特性 曲线 与 虚轴 交点 的坐 标 。 注： 问断 点 的问题 。随 着 叫的值 从 ０开 始 不 断 增加 ， 系统 的频率 特 性 曲线 在 某一 点 或某 些 点 处 不 连续 ， 特 别要 注 意这些 不 连续 点 ， 参 看本 文 开环 幅相 频率 特 性 曲线绘 制举 例部 分 中 的例 ４ 。
和虚部 的值及正负性 ， 确定起点坐标及所处的象限。 步骤 二 开环 幅 相频 率特性 曲线 终 点 的确定 将∞ 一＋。 。 分别代入到系统频 率特性 表达式 中的 实部和虚部 ， 分别 求 出实部 及虚部 的值 。根 据 实部 和 虚部 的值 及正负性 ， 确定终点坐标及所处的象限 。 步 骤 三 开环 幅 相频 率 特 性 曲线 与 实轴 、 虚 轴
２ 开 环幅 相频 率特 性 曲线 绘制举 例 例 １ 某 ０型 单 位 反 馈 系 统 Ｇ（ Ｓ ）一
［ 收稿 日期］２ ｏ １ ３ 一Ｏ ６ —１ Ｏ ［ 基金项 目］安徽省 教 育厅 自然科 学 重点 科 研项 目 （ Ｋ Ｊ ２ Ｏ １ ３ Ａ Ｏ ７ １ ） ； 安 徽 省质 量工 程 项 目（ ２ ０ １ ０ ０ ７ ５ ７ ） ； 安 徽 建 筑 大学 教 学 研究 项 目
4.2开环频率特性
Bode Diagram 100 System: G Frequency (rad/sec): 0.0998 Magnitude (dB): 51.9
Magnitude (dB)
50 System: G 0 Frequency (rad/sec): 0.496 Magnitude (dB): 35.4 -50
绘制L(ω)例题
L((s)H(s) s(2s 1)(s / 30 1) 的L(ω)曲线
[-20]
40 20 0dB -20 -40 [-40] [-20] 10 20 ω 100
0.1 0.2
1
2
[-40]
40 低频段： 0.1 时为52db 0.5 时为38db S 转折频率：0.5 2 30 斜率： -20 +20 -20
K G ( s) (1 T1s )(1 T2 s )
Q( )
A( ) K
1
1 T12 2
1
1 T22 2
( ) arctanT1 arctanT2
例
设某I型系统的开环频率特性为 绘制开环幅相频率特性。
K (T1 T2 ) P ( ) (1 T12 2 )(1 T22 2 ) K (1 T1T2 2 ) Q ( ) (1 T12 2 )(1 T22 2 )
j 1 l 1 i 1 n1 k 1 n2 m1 m2
K G ( j ) v ( j )
i 1 i
经过ωi后，斜率变化量为+20dB/dec。 经过ωk后，斜率变化量为+40dB/dec。 经过ωj后，斜率变化量为-20dB/dec。 经过ωl后，斜率变化量为-40dB/dec。
5.3.15.2.2开环幅相特性曲线学习资料
j
1)
2 (1
k
0.25 2 )(1 2 ) [(1
2.5 2 )
j(0.5 2 )]
Im[ GK ( j)] 0.5 2
0
，求得
2 x
0.5 ，因此求得幅相曲线与实轴得交点为：Re[GK ( jx )] 2.67k
概略幅相曲线见右图：
入坐标原点；
n m 2 时， G( j) 0 180 0 ，Nyquist图从负实轴的方向进
入坐标原点；
n m 3时， G( j) 0 270 0 ，Nyquist图从正虚轴的方向进
入坐标原点。
图2
3）穿越实轴的位置。
令频率特性 G( j) 的虚部为零，即 Im[G( j)] 0 ，并求得相应的频率 x ，然后将此频率 x 代入 频率特性G( j) 的实部，则 Re[G( jx )] 就是Nyquist图与实轴的交点。
图1
5.2.2 开环幅相特性曲线
三要素
2）终点确定。
Nyquist图的终点是 时 G( j) 在复平面上的位置。
G(
j)
b0 s m a0 s n
b1sm1 a1sn1
... ...
bm1s an1s
bm an
b0 a0
(
1 j)nm
b0 / a0 ( j)nm
(3)
n m 1时， G( j) 0 900 ，Nyquist图从负虚轴的方向进
1）起点确定。
Nyquist图的起点是 0 时 G( j0 ) 在复平面上
的位置。
G(
j0 )
(
K
j)
G0 (
j)
0
(
K
j)
(2)
4.7 用系统开环频率特性分析闭环系统性能
2
相位裕量为
c
arctg
2 c
在高频段有更大的斜率时，系统的稳定裕量将减小，其减 小的程度与 2 的值有关。
c 由图可知，ω2不会小于 ωc，因此相位裕量不会小于45°。 ω2离ωc越远，相位裕量越大。
4.7.4 结论
结论
一个设计合理的系统，其开环对数幅频特性在低频段要满足稳态 精度的要求；中频段要根据动态过程的要求来确定其形状。
低频段取决于开环增益和开环积分环节的数目，通常是指开环对数 幅频特性在第一个转折频率以前的区段。
中频段是指开环幅频特性曲线在幅值穿越频率ωc附近的区 段。
高频段是指开环幅频特性曲线在中频段以后的区段(ω>10ωc)，这部 分特性是由开环传递函数小时间常数环节决定的。
4.7.2 低频段
稳态位置误差系数KP、稳态速度误差系数Kv和稳态加速度 误差系数Ka，分别是0型系统、I型系统和Ⅱ型系统的开环 放大系数。
各频段的大致形状
中频段的斜率以-20dB/dec为宜。 低频段和高频段可以有更大的斜率。低频段斜率大，可以提高系
统的稳态性能；高频段斜率大，可以排除高频干扰，但中频段必 须有足够的带宽，以保证系统的相位裕量。中频段带宽越宽，相 位裕量越大。 中频段幅值穿越频率ωc的选择，取决于动态过程的速度要求。一 般来说，要求提高系统的响应速度，ωc应选大一些，但ωc过大又 会降低系统的抗干扰能力。
其幅值为
L lim 20lg G jH j 20lg KP
0
0
即低频渐进线是20lgKp分贝的水平线，如图所示。
此时，稳态位置误差系数KP= K0。
4.7.2 低频段
4.7.2 低频段
相位裕量为
c
arctg
2 c
在高频段有更大的斜率时，系统的稳定裕量将减小，其减 小的程度与 2 的值有关。
c 由图可知，ω2不会小于 ωc，因此相位裕量不会小于45°。 ω2离ωc越远，相位裕量越大。
4.7.4 结论
结论
一个设计合理的系统，其开环对数幅频特性在低频段要满足稳态 精度的要求；中频段要根据动态过程的要求来确定其形状。
低频段取决于开环增益和开环积分环节的数目，通常是指开环对数 幅频特性在第一个转折频率以前的区段。
中频段是指开环幅频特性曲线在幅值穿越频率ωc附近的区 段。
高频段是指开环幅频特性曲线在中频段以后的区段(ω>10ωc)，这部 分特性是由开环传递函数小时间常数环节决定的。
4.7.2 低频段
稳态位置误差系数KP、稳态速度误差系数Kv和稳态加速度 误差系数Ka，分别是0型系统、I型系统和Ⅱ型系统的开环 放大系数。
各频段的大致形状
中频段的斜率以-20dB/dec为宜。 低频段和高频段可以有更大的斜率。低频段斜率大，可以提高系
统的稳态性能；高频段斜率大，可以排除高频干扰，但中频段必 须有足够的带宽，以保证系统的相位裕量。中频段带宽越宽，相 位裕量越大。 中频段幅值穿越频率ωc的选择，取决于动态过程的速度要求。一 般来说，要求提高系统的响应速度，ωc应选大一些，但ωc过大又 会降低系统的抗干扰能力。
其幅值为
L lim 20lg G jH j 20lg KP
0
0
即低频渐进线是20lgKp分贝的水平线，如图所示。
此时，稳态位置误差系数KP= K0。
4.7.2 低频段
4.7.2 低频段
二阶开环的频率特性
同济大学电子与信息工程学院实验中心实验报告实验课程名称：自动控制原理任课教师：王中杰实验项目名称：二阶开环系统的频率特性曲线二阶开环系统的频率特性曲线一．实验要求1．研究表征系统稳定程度的相位裕度γ和幅值穿越频率c ω对系统的影响。
2．了解和掌握二阶开环系统中的对数幅频特性)(ωL 和相频特性)(ωϕ，实频特性)Re(ω和虚频特性)Im(ω的计算。
3．了解和掌握欠阻尼二阶开环系统中的相位裕度γ和幅值穿越频率c ω的计算。
4．观察和分析欠阻尼二阶开环系统波德图中的相位裕度γ和幅值穿越频率ωc ，与计算值作比对。
二．实验内容及步骤本实验用于观察和分析二阶开环系统的频率特性曲线。
由于Ⅰ型系统含有一个积分环节，它在开环时响应曲线是发散的，因此欲获得其开环频率特性时，还是需构建成闭环系统，测试其闭环频率特性，然后通过公式换算，获得其开环频率特性。
计算欠阻尼二阶闭环系统中的幅值穿越频率ωc 、相位裕度γ： 幅值穿越频率： 24241ξξωω-+⨯=n c （3-2-3）相位裕度：424122arctan)(180ξξξωϕγ++-=+=c （3-2-4）γ值越小，Mp%越大，振荡越厉害；γ值越大，Mp%小，调节时间ts 越长，因此为使二阶闭环系统不致于振荡太厉害及调节时间太长，一般希望：30°≤γ≤70° （3-2-5）本实验以第3.2.2节〈二阶闭环系统频率特性曲线〉为例，得：ωc =14.186 γ=34.93° 本实验所构成的二阶系统符合式（3-2-5）要求。
被测系统模拟电路图的构成如图3-2-2所示。
（同二阶闭环系统频率特性测试构成） 本实验将数/模转换器（B2）单元作为信号发生器，自动产生的超低频正弦信号的频率从低到高变化（0.5Hz~16Hz ），OUT2输出施加于被测系统的输入端r (t)，然后分别测量被测系统的输出信号的开环对数幅值和相位，数据经相关运算后在虚拟示波器中显示。
自动控制原理_卢京潮_利用开环频率特性分析系统的性能
5.6 利用开环频率特性分析系统的性能在频域中对系统进行分析、设计时，通常是以频域指标作为依据的，但是不如时域指标来得直接、准确。
因此，须进一步探讨频域指标与时域指标之间的关系。
考虑到对数频率特性在控制工程中应用的广泛性，本节将以Bode 图为基点，首先讨论开环对数幅频特性)(ωL 的形状与性能指标的关系，然后根据频域指标与时域指标的关系估算出系统的时域响应性能。
实际系统的开环对数幅频特性)(ωL 一般都符合如图5-49所示的特征：左端（频率较低的部分）高；右端（频率较高的部分）低。
将)(ωL 人为地分为三个频段：低频段、中频段和高频段。
低频段主要指第一个转折点以前的频段；中频段是指穿越频率（或截止频率）c ω附近的频段；高频段指频率远大于c ω的频段。
这三个频段包含了闭环系统性能不同方面的信息，需要分别进行讨论。
需要指出，开环对数频率特性三频段的划分是相对的，各频段之间没有严格的界限。
一般控制系统的频段范围在Hz 100~01.0之间。
这里所述的“高频段”与无线电学科里的“超高频”、“甚高频”不是一个概念。
5.6.1 )(ωL 低频渐近线与系统稳态误差的关系系统开环传递函数中含积分环节的数目（系统型别）确定了开环对数幅频特性低频渐近线的斜率，而低频渐近线的高度则取决于开环增益的大小。
因此，)(ωL 低频段渐近线集中反映了系统跟踪控制信号的稳态精度信息。
根据)(ωL 低图5-49 对数频率特性三频段的划分频段可以确定系统型别υ和开环增益K ，利用第3章中介绍的静态误差系数法可以确定系统在给定输入下的稳态误差。
5.6.2 )(ωL 中频段特性与系统动态性能的关系开环对数幅频特性的中频段是指穿越（或截止）频率c ω附近的频段。
设开环部分纯粹由积分环节构成，图5-50（a ）所示的对数幅频特性对应一个积分环节，斜率为dec dB /20-，相角 90)(-=ωϕ，因而相角裕度 90=γ；图5-50（b ）的对数幅频特性对应两个积分环节，斜率为dec dB /40-，相角 180)(-=ωϕ，因而相角裕度 0=γ。
自动控制原理--幅相频率特性幅相频率特性(Nyquist图)相关知识
1
起点
Байду номын сангаас
终点
v 3 v 0
5.2.2 开环系统的幅相频率特性
例7
G1 ( s )
s2 (T1s
K 1)(T2s
1)
G1( j0) 180
G1 G1
G1( j) 0 360
G2 ( s)
K ( s 1)
s2 (T1s 1)(T2s 1)(T3s
1)
G2( j0) 180
G(
j )
1
2 n2
1
j2
n
n
n
1
G
[1
2
2 n
]2
[2
n
]2
2
G arctan
n 2
1 - n2
5.2.1 典型环节的幅相频率特性
谐振频率r 和谐振峰值Mr
G 1
[1
2 n2
]2
[2
n
]2
d G 0
d
d
d
[1
2 n2
]2
[2
n
]2
0
2[1
2 n2
][2(n2
)]
2
[ 2
W( j) K () 0
比例环节的幅相特性 是G平面实轴上的一 个点
5.2幅相频率特性曲线（Nyquist）
5.2.1典型环节的幅相特性曲线 微分环节的幅值与成正比，
2. 微分环节频率特性
相角恒为90度。频率从0→∞
（1）理想微分环节频率特性
幅相特性曲线由G平面原点趋 向虚轴的+j∞处。
① 传递函数 W (s) X c (s) s
n
2
](
关于绘制开环幅相频率特性曲线的方法研究
特性 曲线 的绘制则是利用乃奎斯特判据的基础 。针对许多学生对概念理解 不清的现状 ， 本文着 重介绍绘制一般线性 系统开环幅相频率特性 曲
线 的原理 。 并分析其起点和终点的幅值与相位 ， 详细阐述绘制步骤的推理过程 通过实例表 明， 该绘 制方法 简便 ， 并且在教学 实践 中收 到了 良
Ａｂ ｔａ ｔ Ｔｈ ｔ ｏ ｆｆｅ ｕ ｎ ｙａ ａ ｙ ｉ ｏ ｌ ｅ ｒｓ ｓ ｅ ｉ ａｖ ｒ ｓｒ ｃ ： ｅ ｍｅ ｈ ｄ ｏ ｒ ｑ ｅ ｃ ｎ ｌ ｓｓｔ ｉ ａ－ ｙ ｔｍ ｓ ｅ ｙｉ ｏ ｔ ｎ ｅｈ ｄｉ ｌｓ ｉａ ｕ ｏ — ｎ ｍｐ ｒａ ｔ ｔ ｏ ｃａ ｓｃ ｌ ｔ ｍａ ｍ ｎ ａ ｔ ｎ ｔ ｅ ｒ ，ａ ｄ ｔ ｅ Ｎｙ ｕ ｉ ｃｉｅ ｉｎ ｉ ｋ ｙ ｉ ｅ ｒ ｉ ｇ ａ ｄ ｔａ ｈ ｎ ． Ｄｒ ｗｉｇ ｔ ｅ ｃ ｒ ｅ ｏ ｇ ｉｕ ｅ ｉ ｈ ｏ ｙ ｎ ｈ ｑ ｓｔ ｒｔ ｒ ｓ ｅ ｎ ｌａｎ ｎ ｎ ｅ ｃ ｉ ｇ ｏ ｏ ａ ｎ ｈ ｕ ｖ ｆｍａ ｎ ｔ ｄ － ｐ ａ ｅ ｆｅ ｕ ｎ ｙ ｃ ａａ ｔｒｓ ｉ ｂ ｓ ｄ ｏ ｐ ｎ —ｌｏ ｓｆ ｕ ｄ ｔ ｎ ｏ ｓｎ ｙ ｕ ｉ ｃｉｅ ｉｎ ． Ｉ ｒ ｅ ｏ ｈ ｓ ｒｑ ｅ ｃ ｈ ｒ ｃｅ ｉｔ ａ ｅ ｎ ｏ ｅ ｃ ｏ ｐ ｉ ｏ ｎ ａ ｉ ｆｕ ｉｇ Ｎ ｑ ｓｔ ｒｔ ｒ ｏ ｏ ｎ ｏ ｄ ｒｔ ｉ ｒ ｖ ｈ ｔ ｄ ｎ ｓ ｎ ｅ ｓａ ｄｎ ｂ ｕ ｔ ｏ ｃ ｐ ，ｔ ｉ ｒｉｌ ｍ ｐ ａ ｉｅ ｒｎ ｉ ｌｓｏ ｒ ｗｉｇ ｃ ｒ ｅ ｍｐ ｏ ｅ ｔ ｅ ｓｕ ｅ ｔ ’ｕ ｄ ｒ ｔ ｎ ｉｇ ａ ｏ ｔｉ ｃ ｎ ｅ ｔ ｈ ｓａ ｔ ｅｅ ｈ ｓｚ ｓｐ ｉｃｐ ｅ ｆ ａ ｎ ｕ ｖ ｓ ｃ ｄ ａ ｏ ｔｇ ｎ ｒ ｌｌ ｅ ｒｓ ｓｅ ｍ ａ ｎｔ ｄ ｐ ａ ｅ ｆｅ ｕ ｎ ｙ ｃ ａ ａ ｔｒｓｉ ｎ ｏ ｅ －ｏ ｐ．ｔ ｅ ｎ ｌｚ ｓ ｍａ ｎ — ｂ ｕ ｅ ｅ ａ ｉ ａ－ ｙ ｔ ｍ ｇ ｉｕ ｅ ｈ ｓ ｒ ｑ ｅ ｃ ｈ ｒ ｃｅ ｉｔ ｏ ｐ ｎ ｌ ｏ ｎ － ｃ ｈ ｎ ａ ａｙ ｅ ｇ ｉ ｔ ｄ ｎ ｈ ｓ ｆｃ ｒ ｅ Ｓｐ ｉ ａ ｎ ｅ ｍ ｉａ．Ｓ ｍ ｅｅ ａ ｐ ｅ ｎ ｉａ ｅｔ ａ ｈｓｍ ｅ ｈ ｄ ｉ ｓ ｐ ｅａ ｄｃ ｎ ｕ ｅａ ｄｐ ａ ｅｏ ｕ ｖ ’ ｒ ｌａ ｄ ｔｒ ｎ １ ｏ ｘ ｍ ｌｓｉｄ ｃ ｔ ｈ ｔｔ ｉ ｔ ｏ ｓ ｉ ｌ ｎ ｏ — ｍ ｍ ｖ ｎ ｅ ｔ ｕ ｔ ｅｍ ｏ ｅ ｉ ｇ ｔ ｏ ｄ ｔａ ｈ ｎ ｆｅ ｔ ｅ ｉｎ ；ｆ ｒｈ ｒ ｒ ｅ ｓａ ｇ ｏ ｅ ｃ ｉ ｇｅ ｆｃ． ｔ Ｋｅ ｗ ｒ ｓ ｍ ａ ｎ ｆ ｄ ｐ ａ ｅｆｅ ｕ ｎ ｙ ｃ ａ ａ ｔｒｓｉ ｆ ｐ ｎ ｌｏ ； ｙ ｕ ｓ ｕ ｖ ；ｒ ｑ ｅ ｃ －ｉｌ ｎ ｌ ｓｓ ｙ ｏ ｄ ： ｇ ｉ ｅ — ｈ ｓ ｒ ｑ ｅ ｃ ｈ ｒ ｃ ｅｉｔ ｏ ｅ －ｏ ｐ Ｎ ｑ ｉｔｃ ｒ ｅ ｆｅ ｕ ｎ ｙ ｆ ｄ ａ ａｙ ｉ ｉ ｃ ｏ ｅ
自动控制原理
L( ) L1 ( ) L2 ( ) Ln ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 n
可见，开环对数幅频特性等于各环节对数幅频特性 之和；系统开环相频等于各环节相频之和。 将各环节对数幅频特性用其渐近线代替，以及对数 运算的优点（乘除运算对数化后变为加减），可以 很容易绘制出开环对数频率特性。
图5-19
例 5-2的Bode图
例 已知系统的开环传递函数，试绘制系统的 开环Bode图。
系统开环包括了五个典型环节
ω2=2 rad/s
ω4=0.5 rad/s
ω5=10 rad/s
例 绘制开环传递函数
K G( s) (1 s)(1 10s)
的零型系统的Bode图。
解 系统开环对数幅频特性和相频特性分别
解 系统开环频率特性
10 G ( j ) H ( j ) (1 j )(1 j 0.1 ) 10(1 0.12 2 ) 10 1.1 j 2 2 2 (1 )(1 0.1 ) (1 2 )(1 0.1 2 )
ω 由0→∞变化时，找几个特殊点：
设反馈控制系统如图5-21所示，其开环传递 函数为: G(s)H(s) 开环频率特性为: G(jω)H(jω) 在绘制开环极坐标曲线时，可将G(jω)H(jω) 写成实频和虚频形式 G(jω)H(jω) = p(ω) + jθ(ω)
图5-21 反馈控制系统
或写成极坐标形式
G( j ) H ( j ) A( )e j ( )
2. 系统开环对数幅频特性有如下特点
①
低频段的斜率为－20νdB/dec，ν为开环系统中所包 含的串联积分环节的数目。
可见，开环对数幅频特性等于各环节对数幅频特性 之和；系统开环相频等于各环节相频之和。 将各环节对数幅频特性用其渐近线代替，以及对数 运算的优点（乘除运算对数化后变为加减），可以 很容易绘制出开环对数频率特性。
图5-19
例 5-2的Bode图
例 已知系统的开环传递函数，试绘制系统的 开环Bode图。
系统开环包括了五个典型环节
ω2=2 rad/s
ω4=0.5 rad/s
ω5=10 rad/s
例 绘制开环传递函数
K G( s) (1 s)(1 10s)
的零型系统的Bode图。
解 系统开环对数幅频特性和相频特性分别
解 系统开环频率特性
10 G ( j ) H ( j ) (1 j )(1 j 0.1 ) 10(1 0.12 2 ) 10 1.1 j 2 2 2 (1 )(1 0.1 ) (1 2 )(1 0.1 2 )
ω 由0→∞变化时，找几个特殊点：
设反馈控制系统如图5-21所示，其开环传递 函数为: G(s)H(s) 开环频率特性为: G(jω)H(jω) 在绘制开环极坐标曲线时，可将G(jω)H(jω) 写成实频和虚频形式 G(jω)H(jω) = p(ω) + jθ(ω)
图5-21 反馈控制系统
或写成极坐标形式
G( j ) H ( j ) A( )e j ( )
2. 系统开环对数幅频特性有如下特点
①
低频段的斜率为－20νdB/dec，ν为开环系统中所包 含的串联积分环节的数目。
自动控制原理
幅频特性和相频特性分别为
G( j )H ( j ) K
1
1
T12 2 1 T22 2 1
G(
j )H (
j )
arctgT1
arctgT2
arctg
(T1 T2 ) 1 T1T2 2
34
1 极坐标图
当 0 时，G( j)H ( j) K,G( j)H ( j) 00
当 1
时，G( j )H ( j ) K T1T2 ，G( j )H ( j ) 900
对数相频特性
ω
tg1
2ζ Tω 1 T2ω2
低频段，即ωT<<1时
Lω 20lg1＝0 dB
——低频渐近线为一条0dB的水平直线。
22
Lω 20lg 1 T2ω2 2 2ζ Tω 2
高频段，即ωT>>1时
L( ) 20 lg( 2T 2 ) 40 lg(T )
当ω增加10倍
部和虚部，求出渐近线;
5. 最后在G(jω)H(jω)平面上绘制出系统开环频率特性的
极坐标图。
2
绘制系统开环频率特性的极坐标图，需把系统所包含 的各个环节对应频率的幅值相乘，相角相加。
例5.2 ：求如下传递函数的极坐标图。
Gjω ejω T
1 jω T 解： G(jω)可写为：
Gjω e jω T 1
0.1
0.2 0.3
0.7 1
0.1
0.2 0.3 0.7
1
0.2
0.4 0.6 0.8 1
/n
2
4 6 8 10
24
可见：当频率接近 ω ωn 时，将产生谐振峰
值。阻尼比的大小决定了谐振峰值的幅值。
开环系统的频率特性绘制伯德图
1
s(1 s)(1 5s)
G(s)
10
s(1 s)(1 5s)
[具有积分环节的系统的频率特性的特点]：
m
频率特性可表示为：G(
j )
(
1
j )
i 1 n
(1 i s)
(1 Tj s)
j 1
m
其相角为： ( ) tg 1i
i 1
2
n j 1
tg 1Tj
当
0 时，(0)
,G(0)
比较开环系统极坐标方法，用伯德图表示的频率特性有如下优点： （1）把幅频特性的乘除运算转变为加减运算。
（2）在对系统作近似分析时，一般只需要画出对数幅频特性曲线的渐近线，从 而大大简化了图形的绘制。
（3）在采用实验方法时，可将测得系统（或环节）频率响应的数据画在半对 数坐标纸上。
开环系统频率特性为：
j )
K
1 1
jT2 jT1
两个系统的幅频特性完全相同。而它们的相频特性则有很大的区
别。由系统a、b的相频表达式：
a ( ) tan 1 T2 tan 1 T1 b ( ) tan 1 T2 tan 1 T1
40 35 30 25 20
0
a
-90
b
180
10-1
100
101
(K=100,T1=1,T2=0.1)
且有： (0)
2
, ()
(n
m)
2
。n
n1
2n2 ,
m
m1
2m2
由以上的分析可得到开环系统对数频率特性曲线的绘制方 法：先画出每一个典型环节的波德图，然后相加。
[例]：开环系统传递函数为：G(s) 画出该系统的波德图。
自动控制原理 第五章 第一讲 典型环节和开环频率特性
对数幅相曲线（又称尼柯尔斯曲线）：对数幅相图的横坐标表示对数相频 对数幅相曲线（又称尼柯尔斯曲线）：对数幅相图的横坐标表示对数相频 尼柯尔斯曲线）： 特性的相角，纵坐标表示对数幅频特性的幅值的分贝数。 特性的相角，纵坐标表示对数幅频特性的幅值的分贝数。
5.2 典型环节和开环频率特性
• 典型环节 • 典型环节的频率特性 • 最小相角系统和非最小相角系统
L(ω ) = −20 lg 1 + ω 2T 2
ω<<1/T, L(ω)≈-20lg1=0 ω>>1/T, L(ω)≈-20lgωT =-20(lgω-lg1/T)
(dB) 20 0 0.1 1/T -20 (o) 90 0 0.1 -90 1 10 ω 1 20dB/dec 10 ω -20dB/dec
幅频特性相同， 幅频特性相同，但相频特性符号相反 。 •最小相角系统的幅频特性和相频特性一一对应，只要根据其对 最小相角系统的幅频特性和相频特性一一对应， 数幅频曲线就能写出系统的传递函数 。 L(dB)
L(dB) 20 10 -20 ω L(dB) -20 100 50 -40 ω -40 -20 ω 2 ω1 ωc ω -40
典型环节
•比例环节：G（s）= K 比例环节： （ ） •惯性环节： G（s）= 1/(Ts+1)，式中T>0 惯性环节： （ ） ，式中 •一阶微分环节： G（s）= (Ts+1)，式中 一阶微分环节： （ ） ，式中T>0 •积分环节： G（s）= 1/s 积分环节： （ ） 微分环节： （ ） •微分环节： G（s）= s •振荡环节： G（s）= 1/[(s/ωn)2+2ζs/ωn+1]; 振荡环节： （ ） 式中ω ， 式中 n>0，0<ζ<1 二阶微分环节： （ ） •二阶微分环节： G（s）= (s/ωn)2+2ζs/ωn+1; 式中ω ， 式中 n>0，0<ζ<1
第四章 频域分析(第三节)1
v
G (s) =
jt m w )
? ( j w ) (1 + jT1 w )(1 + jT 2 w ) 鬃 (1 + jT n - v w )
(n
m)
其分母阶次为n-m，分子阶次为m，v=0，1，2…， 乃奎斯特图具有以下特点： (1) 当ω=0时，乃奎斯特图的起点取决于系统的型次：
0型系统(v=0) 起始于正实轴上某一有限点；
由系统的频率特性
G ( jw ) = = K j w (1 + jT w ) - KT 1+ T w
2 2
= - K
K j w (1 - jT w )
( j w ) (1 + jT w )(1 - jT w )
w (1 + T w
2 2
2
+ j
)
- KT
则系统的实频特性为
U (w ) = R e 轾 ( jw ) = G 2 2 臌 1+ T w
ω=0
Im
K (T1T2 ) T1 T2
3 2
[G ( j )]
O ω=∞
Re
例 4-6 已 知 系 统 的 开 环 传 递 函 数 G (s) =
K (1 + T1 s ) s (1 + T 2 s )
(T1＞ T 2 ) , 试 绘 制 其 N y q u i s t 图 。
解 系统是由一个比例环节﹑一个积分环节﹑ 一个一阶微分环节和一个惯性环节串联组成， 其频率特性为 K (1 + jT1 w ) G ( jw ) = ( j w )(1 + jT 2 w ) = K (T1 - T 2 )
(1 + T 2 w
G (s) =
jt m w )
? ( j w ) (1 + jT1 w )(1 + jT 2 w ) 鬃 (1 + jT n - v w )
(n
m)
其分母阶次为n-m，分子阶次为m，v=0，1，2…， 乃奎斯特图具有以下特点： (1) 当ω=0时，乃奎斯特图的起点取决于系统的型次：
0型系统(v=0) 起始于正实轴上某一有限点；
由系统的频率特性
G ( jw ) = = K j w (1 + jT w ) - KT 1+ T w
2 2
= - K
K j w (1 - jT w )
( j w ) (1 + jT w )(1 - jT w )
w (1 + T w
2 2
2
+ j
)
- KT
则系统的实频特性为
U (w ) = R e 轾 ( jw ) = G 2 2 臌 1+ T w
ω=0
Im
K (T1T2 ) T1 T2
3 2
[G ( j )]
O ω=∞
Re
例 4-6 已 知 系 统 的 开 环 传 递 函 数 G (s) =
K (1 + T1 s ) s (1 + T 2 s )
(T1＞ T 2 ) , 试 绘 制 其 N y q u i s t 图 。
解 系统是由一个比例环节﹑一个积分环节﹑ 一个一阶微分环节和一个惯性环节串联组成， 其频率特性为 K (1 + jT1 w ) G ( jw ) = ( j w )(1 + jT 2 w ) = K (T1 - T 2 )
(1 + T 2 w
5-3典型环节开环频率特性
2 T arctan 1 T 2 2 G ( j ) 2 T 180 arctan 2 2 T 1 2 T arctan 1 T 2 2 GF ( j ) 2 T 180 arctan 2 2 T 1 1 T ； 1 T 1 T ； 1 T
ω 0 1/T |GF(jω)| 1 0.707 ∠GF(jω) -180o -135o jω 0 σ -1 0 1/T
2 2
∞ 0 -90o
∞
2.4 振荡环节G(s)和不稳定振荡环节GF(s)
G(s) 1 /(T s 2 Ts 1) ； GF (s) 1 /(T s 2 Ts 1) ； 1 1 G ( j ) ； G F ( j ) ； 2 2 2 2 1 T j 2 T 1 T j 2 T
Im ω= 0 0.6 0.5 0.4
ζ=0.8
1
2.5 一阶微分环节G(s)和不稳定一阶微分环节GF(s)
GF (s) Ts 1； G( s) Ts 1； G( j ) 1 j T ； GF ( j) 1 j T ； | G( j ) || GF ( j ) | (1 T 2 2 )1/ 2； G( j ) arctan T ； GF ( j) 180 arctan T ；
非最小相位环节 环节有零点或极点在S平 的面右半部。 ( K 0，T 0，0 1) 1.1 反向环节 K ； 1.2 惯性环节 1 /(Ts 1) ； 1.3 一阶微分环节 Ts 1； 1.4 振荡环节 1.5 二阶微分环节 2 2 2 2 T s 2 Ts 1； 1 /(T s 2 Ts 1) ； 2. 典型环节的频率特性及幅相曲线： 2.1 放大环节 G(s)=K 和反向环节 GF(s)=-K | G( j) || GF ( j) | K ； j G( j ) 0； -K K GF ( j) 180；
ω 0 1/T |GF(jω)| 1 0.707 ∠GF(jω) -180o -135o jω 0 σ -1 0 1/T
2 2
∞ 0 -90o
∞
2.4 振荡环节G(s)和不稳定振荡环节GF(s)
G(s) 1 /(T s 2 Ts 1) ； GF (s) 1 /(T s 2 Ts 1) ； 1 1 G ( j ) ； G F ( j ) ； 2 2 2 2 1 T j 2 T 1 T j 2 T
Im ω= 0 0.6 0.5 0.4
ζ=0.8
1
2.5 一阶微分环节G(s)和不稳定一阶微分环节GF(s)
GF (s) Ts 1； G( s) Ts 1； G( j ) 1 j T ； GF ( j) 1 j T ； | G( j ) || GF ( j ) | (1 T 2 2 )1/ 2； G( j ) arctan T ； GF ( j) 180 arctan T ；
非最小相位环节 环节有零点或极点在S平 的面右半部。 ( K 0，T 0，0 1) 1.1 反向环节 K ； 1.2 惯性环节 1 /(Ts 1) ； 1.3 一阶微分环节 Ts 1； 1.4 振荡环节 1.5 二阶微分环节 2 2 2 2 T s 2 Ts 1； 1 /(T s 2 Ts 1) ； 2. 典型环节的频率特性及幅相曲线： 2.1 放大环节 G(s)=K 和反向环节 GF(s)=-K | G( j) || GF ( j) | K ； j G( j ) 0； -K K GF ( j) 180；
自动控制原理 第5章
2 2
⇒
X 2 − X +Y 2 = 0
（下半圆） 下半圆）
Y = −ω T X
§5.2 典型环节与开环系统的频率特性
1 G( s) = 不稳定惯性环节 Ts − 1 1 G ( jω ) = − 1 + jω T 1 G = 1 + ω 2T 2 ωT ∠ G = − arctan = − ( 180° − arctan ω T ) = −180° + arctan ω T -1
ω ω ⑹ G ( jω ) = 1 1 − 2 + j 2ξ ωn 2 ωn ω ω ⑺ G ( jω ) = 1 − 2 + j 2ξ ωn ωn ω2 ω 1 − 2 − j 2ξ ωn ωn ⑻ G ( jω ) = e − jτ ω
2
jω
ω ω2 1 − 2 + j 2ξ ωn ωn
建 模
§5.1
频率特性
cs (t ) = A
2
r ( t ) = A sin ω t
1+ω T
2
§5.1.2 频率特性 G(jω) 的定义 ω 定义一： 定义一： G ( jω ) = G ( jω ) ∠G ( jω )
G ( jω ) = cs (t ) 1 = r (t ) 1 + ω 2T 2
∠ c s (t ) = − 63.4° + 30° = − 33.4°
ω =2
cs (t ) =
3 sin( 2t − 33.4° ) 5
s Φ e ( s) = s+1
ω =2 2 es (t ) ω jω Φ e ( jω ) = = = = 2 1 + jω 3 5 1+ω
⇒
X 2 − X +Y 2 = 0
（下半圆） 下半圆）
Y = −ω T X
§5.2 典型环节与开环系统的频率特性
1 G( s) = 不稳定惯性环节 Ts − 1 1 G ( jω ) = − 1 + jω T 1 G = 1 + ω 2T 2 ωT ∠ G = − arctan = − ( 180° − arctan ω T ) = −180° + arctan ω T -1
ω ω ⑹ G ( jω ) = 1 1 − 2 + j 2ξ ωn 2 ωn ω ω ⑺ G ( jω ) = 1 − 2 + j 2ξ ωn ωn ω2 ω 1 − 2 − j 2ξ ωn ωn ⑻ G ( jω ) = e − jτ ω
2
jω
ω ω2 1 − 2 + j 2ξ ωn ωn
建 模
§5.1
频率特性
cs (t ) = A
2
r ( t ) = A sin ω t
1+ω T
2
§5.1.2 频率特性 G(jω) 的定义 ω 定义一： 定义一： G ( jω ) = G ( jω ) ∠G ( jω )
G ( jω ) = cs (t ) 1 = r (t ) 1 + ω 2T 2
∠ c s (t ) = − 63.4° + 30° = − 33.4°
ω =2
cs (t ) =
3 sin( 2t − 33.4° ) 5
s Φ e ( s) = s+1
ω =2 2 es (t ) ω jω Φ e ( jω ) = = = = 2 1 + jω 3 5 1+ω
自动控制原理--奈奎斯特稳定判据及应用
Ⅱ
F( j)
Ⅲ Ⅰ
F(s)与Gk (s) 的关系图。
11
若奈氏曲线G( jω )H( jω )逆时针包围(−1, j0)点的次数R等于位于右半平面上开环极 点数P。则闭环系统稳定，否则闭环系统不
稳定。
约束条件：在原点和虚轴上无零极点。奈氏轨迹不 能穿过零极点。
讨论：当奈氏曲线通过(−1,j0)点，则表示闭环系 统
。式中， zi , p j
(s pj)
为F(s)的零、极点。
j 1
结论：F(s)的极点为开环传递函数的极点；
F(s)的零点为闭环传递函数的极点；
F(S)平面的坐标原点就是G(S)H(S)平面的
点（-1，0j）
3
F(s)是复变量s的单值有理函数。如果函数F(s)在s平面上指
定的区域内是解析的，则对于此区域内的任何一点 d s都可以在 F(s)平面上找到一个相应的点d f ，d f 称为 ds 在F(s)平面上的映射。
若考虑平面G( jω )H( jω )，则相当于曲线F( jω )左
移一个单位的奈氏图，即开环幅相频率特性，原F平面
原点对应于GH平面(−1, j0)点
G( jω )H( jω ) = F( jω ) −1
∴若要系统稳定，则Z=P−R=0，R为GH 映射曲线绕
(−1,j0)点次数
10
Gk ( j )
P：s平面上被封闭曲线 s 包围的F(S)的极点 Z： s平面上被封闭曲线 s 包围的F(S)的零点 R： F平面上被封闭曲线 f 包围的原点的次数
若R为正，表示 f 逆时针运动，包围原点圈数； 若R为0，表示 f 逆时针运动，不包围原点圈数； 若R为负，表示 f 顺时针运动，包围原点圈数。
6
F( j)
Ⅲ Ⅰ
F(s)与Gk (s) 的关系图。
11
若奈氏曲线G( jω )H( jω )逆时针包围(−1, j0)点的次数R等于位于右半平面上开环极 点数P。则闭环系统稳定，否则闭环系统不
稳定。
约束条件：在原点和虚轴上无零极点。奈氏轨迹不 能穿过零极点。
讨论：当奈氏曲线通过(−1,j0)点，则表示闭环系 统
。式中， zi , p j
(s pj)
为F(s)的零、极点。
j 1
结论：F(s)的极点为开环传递函数的极点；
F(s)的零点为闭环传递函数的极点；
F(S)平面的坐标原点就是G(S)H(S)平面的
点（-1，0j）
3
F(s)是复变量s的单值有理函数。如果函数F(s)在s平面上指
定的区域内是解析的，则对于此区域内的任何一点 d s都可以在 F(s)平面上找到一个相应的点d f ，d f 称为 ds 在F(s)平面上的映射。
若考虑平面G( jω )H( jω )，则相当于曲线F( jω )左
移一个单位的奈氏图，即开环幅相频率特性，原F平面
原点对应于GH平面(−1, j0)点
G( jω )H( jω ) = F( jω ) −1
∴若要系统稳定，则Z=P−R=0，R为GH 映射曲线绕
(−1,j0)点次数
10
Gk ( j )
P：s平面上被封闭曲线 s 包围的F(S)的极点 Z： s平面上被封闭曲线 s 包围的F(S)的零点 R： F平面上被封闭曲线 f 包围的原点的次数
若R为正，表示 f 逆时针运动，包围原点圈数； 若R为0，表示 f 逆时针运动，不包围原点圈数； 若R为负，表示 f 顺时针运动，包围原点圈数。
6
4.4.2 开环频率和奈奎斯特图
3. 如果Nyquist图经过(-1,j0)，则系统临界稳定。
4. 如果Nyquist图的的变化范围为0到＋∞， 那么Z＝P－2N
推论：若Nyquist图顺时针包围(-1,j0)点，则系统一定不稳定。
(N = P － Z , 若N<0，P不会为负值，则必有Z ≥1)
k 例4-6 已知开环传递函数 G0 ( j ) ( T1 j 1 )( T2 j 1 ) 判断系统稳定性
C'
s 的第（4）部分无穷小半圆弧在 GH平面上的映射为顺时针旋转 的无穷大圆弧，旋转的弧度为 弧度。图 4-9（a）、（b）分别表 示当 v=1和v=2时系统的奈氏曲线，其中虚线部分是s 的无穷小半圆 弧在GH平面上的映射。
( 2)
j
S
R
0 I m
GH
k , k 100 例4-7 G0 ( j ) ( j 1)(0.5 j 1)(0.2 j 1)
画Nyquist图：
1
0
G0 ( j 0 ) 10000 G ( j ) 0 2700
2
0 单调变化
与实轴有交点，为－7.9
(分母有理化，按虚实部讨论)
j S 平面 j
2 1 - j D形围线 3
s
半径无限大
j j
S平面
Im G 平面 0
j
-1
Re
N= -2
Im G 平面 0
N= 0 • 注意域的映射关系
-1
Re
Nyquist稳定判据(在G0 (s)平面上) : 必须使得Z=0(Z为不稳定闭环特征根的个数)。 1. 若系统开环稳定，则闭环系统稳定的条件是Nyquist图不包 围(-1,j0)点。 （N = P － Z = 0－0 ＝ 0) 2. 闭环系统稳定的充要条件是 N = P ( N = P － Z = P 所以 Z = 0 )
开环幅相特性曲线
开环幅相特性曲线
如果是0型系统，幅相曲线就是奈奎斯特曲线，但如果它不是0型系统就要在幅相曲线补齐虚线才是奈奎斯特曲线。
幅频特性就是指系统频率响应的幅度随频率变化的曲线,幅度大的地方对应通带,也就是对应频率成分通过系统有较小衰减,幅度小的地方对应阻带,也就是对应频率成分通过系统有较大衰减，根据这个特性，可以用来观测比较滤波器的情况，观察其是否符合要求也就是作为滤波器的技术指标。
理想滤波器是分段常数型的,对应的脉冲响应是无限长的sinc函数,实际系统不可能实现,因此要对脉冲响应进行截断处理,这就在频域产生吉布斯效应,也就是在通带和阻带内形成波动,并且不再尖锐截止,产生过度带。
同时可以画幅频特性曲线。
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Q()
K (1 T1T2 2 ) (1 2T12 )(1 2T22
)
幅频特性和相频特性为
A()
K
1 2T12 1 2T22
() 90 tan 1 T1 tan 1 T2
这是Ⅰ
1、起点
当ω ＝0时，可计算出P(0) K(T1 T2 ) Q，(0)
A(0，)
实频特性
P()
K (1 T1T2 2 ) (1 2T12 )(1 2T22
)
虚频特性
Q()
K (T1 T2 )
(1 2T12 )(1 2T22 )
幅频特性
A()
K
1 2T12 1 2T22
相频特性 φ(ω) tan1 ωT1 tan1 ωT2
1、起点
当 0 时，P(0) 0 Q，(0) 0 ，A(0) K ，(0) 0
2
2
即特性总是以顺时针方向趋于原点，
并以 示。
的角度终n止 于m 原π 点，如下图所 2
3、幅相特性与负实轴和虚轴的交点。
特性与负实轴的交点的频率由下式求出
Im[GK ( jω)] Q(ω) 0
特性与虚轴的交点的频率由下式求出
Re[GK ( jω)] P(ω) 0
如果在传递函数的分子中没有时间常数，则当ω由0增大 到∞过程中，特性的相位角连续减小，特性平滑地变化。如 果在分子中有时间常数，则视这些时间常数的数值大小不同， 特性的相位角可能不是以同一方向连续地变化，这时，特性 可能出现凹部。
P
0
例3.
G(S) K S2 (1T1S)(1T2S)
解:
G(j )
K
(j ) 2 (1 jT1 )(1 jT2 )
| G(j ) |
K
2 1 T12 2 1 T2 2 2
G(j ) -180 arctgT1 arctgT2
0 | G(j ) |
G(j ) -180
| G(j ) | 0
(0,)
2
显然当ω→0时，G(jω) 的渐近线是一条过实轴上 K (T1 T2 ) 点，且平行于虚轴
的直线，即幅相曲线起始于负虚轴方向的无穷远处，它的渐近线是P(0) K(T1 T2 )
2. 终点
当ω→∞ 时，P() 0 ，Q() 0
A，() 0
，()
3
2
。
该系统 m=0，n=3 ，故特性曲线的高频部分沿正虚轴方向趋于原点。
G(j ) -360
G(j ) Re[G(j )] Im[G(j )]
令 Re[G(j )] 0 得 1
T1T2
这 时 Im[G(j )] K(T1T2 ) 32
T1 T2 由 此 得 出Nyquist图 与 虚 轴 的 交 点
例4.
G(S)
K(T1S1) S (T2S 1)
(T2 T1)
ω | G(jω) | 0 G(jω) -90
Im
K(T1-T2)
Re
二、Nyquist稳定判据
1. 辅 助 函 数
右 图 所 示 系 统 的 闭 环 传函 为
G
B
(S)
1
G(S) G(S)H(S)
R(s)
C(s)
G(s)
开环传函为
Gk (S)
G(S)H(S)
bmsm bm-1sm-1 sv (s p1)(s p2 )
jQ()
10 P()
。0 。。。。 来自0.100.2
例2: 设开环系统的传递函数为
G(s) ,试绘K出幅相曲线。 s(1 T1s)(1 T2 s)
解解：: G( j)
K
j(1 jT1 )(1 jT2 )
经分母有理化可得
P()
(1
K (T1 T2 )
2T12 )(1 2T22 )
例1：设开环系统的传递函数为 G(s)
K
，试绘出
系统的开环幅相曲线。
(1 T1s)(1 T2 s)
解： G( j)
K
(1 jT1 )(1 jT2 )
分母有理化并整理得
G( j) K(1 T1T2 2 ) j
K(T1 T2 )
(1 2T12 )(1 2T22 ) (1 2T12 )(1 2T22 )
§5-3 开环系统幅相频率特性的绘制及
奈氏判据
一、开环幅相频率特性（奈氏图）的绘制
开环系统频率特性的一般形式为
1、起点：
m
K ( jTiω 1)
GK ( jω)
i 1 n
( jω)v ( jT jω 1)
＝0
j 1
v 0(0型系统)，
A(ω) K G( jω) , φ(ω) φ(0) 0 v 1(型系统)，
。
2、终点
当 时，P() 0 Q，() 0 A，() 0 (，) 180 。
3、与虚轴的交点
令 P() 0 ，即 K (1 T1T2 2 ) 0
得， 1
1 T1T2
，代入Q() 中得
Q(1 )
K T1
T1T2 T2
设K＝10，T1＝1，T2＝5时 ，分别代入P() ，Q() 中得不同值时P() Q和()
3.
幅相曲线令与Q(实)轴 的0 交，点可为得T1K1T1TTT2211T2
，将此ω1值代入式P(ω)表达式中，可得
1 ，交点对应的频率为 T1T2 ，可以证明
KT1T2 T1 T2
K (T1 T2 )
幅相曲线如下图所示。
K (T1 T2 )
KT1T2 T1 T2
jQ G(s)平面
0
的结果如下：
0 0.1
P() 1.00 7.5
0.2
0.3 0.4 0.6
0.8 1.0 2.0
3.85 1.55 0.34 －0.59 －0.79 －0.77 －0.38 0
Q() 0 －4.75 －5.77 －5.08 －4.14 －2.65 －1.72 －1.15 －0.24 0
在G（s）平面上绘出幅相频率特性曲线如下图所示：
解 : G(jω) k(T1 T2 ) j K (1 T1T2ω2 )
1 T2ω2
ω(1 T2ω2 )
K | G(jω) |
1 T12ω2
ω 1 T22ω2
G(jω) -90 arctgT1ω arctgT2ω P(ω) K (T1 T2 ) Q(ω)
ω 0 | G(jω) | G(jω) -90
A(ω) , (ω) 90 1 90
v 2, A(ω) , (ω) 180 290
v 0, A(ω) , (ω) v 90
2、终点：
m
K Ti
n m,
A
i 1 n
, 0
Tj
j 1
一般实际系统
n m, A() 0
φ(ω) (m n) π (n m) π