李雅普诺夫稳定性理论
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对于孤立的平衡状态，总可以经过适当的 坐标变换，把它变换到状态空间的原点。
二. 李雅普诺夫意义下的稳定
欧几里德范数 x x e ( x 1 x 1 e ) 2 ( x 2 x 2 e ) 2 ( x n x n ) 2 e
设 是包S(含 )使是包x 含 使xe xxe(t t0 的)所有的点所的有一点个的球一域个，球而域。S( )
❖非线性系统：稳定性与初始条件大小密切 相关,系统渐近稳定不一定是大范围渐近稳定。
三. 李雅普诺夫第一法（间接法）
利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。
1. 线性定常系统稳定性的特征值判据：
xAx x(0)x0 t 0
李氏稳定的充要条件：
Re(i ) 0 i1,2,n
即系统矩阵A的全部特征值位于复平面左半部。
也可为负，则称这类标量函数为不定。 V(x)x1x2 x22
2．二次型标量函数
p11 p12 p1n x1
V(x)xTPx x1
x2
xn
p21
p22
p2n x2
pn1 pn2 pnn xn
式中，P为实对称矩阵，即有 pij pji 。
P的符号性质定义如下
(1) 若V(x)正定,则称P为正定,记作P>0 (2) 若V(x)负定,则称P为负定,记作P<0 (3) 若V(x)半正定(非负定),则称P为半正定(非负定 ),
A非奇异： Aex0 xe0
A奇异：
Axe 0 有无穷多个 x e
b.非线性系统
x f(xe,t)0可能有多个 x e
例 x1 x1 x2 x1 x2 x23
令 x1 0 x2 0
0 x e1 0
0 xe2 1
0
x e3
1
4. 孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分 小的邻域内不存在别的平衡状态。
结论：
1) 若 Re(i) 0 i1,2,,n ，则非线
性系统在 x e 处是渐近稳定的，与 g ( x)
2) 无关。
2) 若 Re(i) 0 Re(j ) 0 ij1,,n
3) 则不稳定。
3) 若 Re(i ) 0，稳定性与 g (x)有关，
4)
g(x)50) 则是李雅普诺夫意义下的稳定性。
特征值 李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧
来构造李氏函数
一. 稳定性基本概念
1.自治系统：输入为0的系统 x=Ax+Bu(u=0)
2.初态 x=f(x,t)的解为 x(t; x0,t0 ) x(t0,x0,t0)x0初态
3.平衡状态：
x ef(xe,t)0 xe 系统的平衡状态
a.线性系统 xAx xRn
记作P≥0 (4)若V(x)半负定(非正定),则称P为半负定(非正定 ),
记作P≤0
3.希尔维斯特(Sylvester)判据
Δi (i=1,2,…n)为实对称矩阵P的各阶主子行列式
1 p11
2
p11 p21
p12, , p22
p11 p12 p1n
n
p21
p22
p2n
pn1 pn 2 pnn
2.非线性系统的稳定性分析：
假定非线性系统在平衡状态附近可展 开成泰勒级数，可用线性化系统的特征 值判据判断非线性系统的平衡状态处的 稳定性。
设非线性系统状态方程： x f (x)
f ( x) --非线性函数
在平衡状态 xe 0附近存在各阶偏导数，于是：
x& f(xe)xfT xxe (xxe)g(x)
四. 李雅普wk.baidu.com夫第二法(直接法)
不通过运动微分方程，也不通过特征值，就能直接判 定系统的稳定性。
这种方法具有下述的物理背景：如果系统在运动过 程中能量不断减小，则系统最终将到达稳定平衡位 置，系统应是稳定的。
如能找到系统的能量函数，只要能量函数对时间的 导数是负的，则系统的平衡状态就是渐近稳定的
(一).预备知识 1．标量函数的正定性与负定性
定义一 若系统 xf(x,t)对于任意选定的 0 ，
存在一个 (,t0)0，使得当 x0xe (tt0)时，
恒有 xx e (t0t )，则称系统的平衡状态是
稳定的。
定义二 如果平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的，
且最后都能收敛到xe附近，即 lt i|m x(t,x0,t0)xe|，
其中：
g ( x) --级数展开式中二阶以上各项之和
f1
f xT
x1
fn
f1
x2 fn
f1
xn
fn
x1 x2
xn
上式为向量函数的雅可比矩阵。
ff1 f2 fnT
xx1 x2 xnT
令 x&x&f(xe) xxxe
f A xT xxe
则线性化系统方程为：
x&Ax
矩阵P(或V(x))定号性的充要条件是:
(1) 若Δi >0 (i=1,2,…n),则P为正定;
(2) 若
0 i0
ii为 为奇 偶数 数 ，则 P为负定
(3) 若
0 i 0
i1,2,,n1 in
，P 则 为半正定
0 i为偶数 (4) 若 i 0 i为奇数，则P为半负定
0 i n
(二)．李雅普诺夫稳定性定理
设 V(x)是向量x的标量函数,在x=0处有V(0)=0 (1)正定 :V(x)>0 例如，V(x)x12x22
(2)半正定: V(x)0 例如 V(x)(x1 x2)2
(3)负定 :V(x)<0 例如，V(x)(x12x22)
(4)半负定:V(x)0 例如 V(x)(x1 x2)2
(5)不定: 如果不论 域取多么小，V(x)既可为正，
8.6 李雅普诺夫稳定性理论
❖ 经典控制理论稳定性判别方法：代数判据， 奈魁斯特判据，对数判据，根轨迹判据
❖ 非线性系统：相平面法(适用于一，二阶非 线性系统)，描述函数法
❖ 俄国学者李雅普诺夫提出的稳定性定理采 用了状态向量来描述，适用于单变量，多 变量，线性，非线性，定常，时变等系统。
主要内容： 李氏第一法（间接法）：求解特征方程的
其中是任选的微量，则称系统的平衡状态xe是 渐近稳定的。
定义三 对所有的状态(状态空间的所有点)，如 果由这些状态出发的轨迹都具有渐近稳定性，则 称平衡状态xe为大范围渐近稳定。
定义四 :如果从球域 S( )出发的轨迹，无论球
域选得多么小，只要其中有一条轨迹脱离球域， 则称平衡状态xe为不稳定。
❖线性系统：如果它是渐近稳定的，必是有大 范围渐近稳定性(线性系统稳定性与初始条件的 大小无关)。
二. 李雅普诺夫意义下的稳定
欧几里德范数 x x e ( x 1 x 1 e ) 2 ( x 2 x 2 e ) 2 ( x n x n ) 2 e
设 是包S(含 )使是包x 含 使xe xxe(t t0 的)所有的点所的有一点个的球一域个，球而域。S( )
❖非线性系统：稳定性与初始条件大小密切 相关,系统渐近稳定不一定是大范围渐近稳定。
三. 李雅普诺夫第一法（间接法）
利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。
1. 线性定常系统稳定性的特征值判据：
xAx x(0)x0 t 0
李氏稳定的充要条件：
Re(i ) 0 i1,2,n
即系统矩阵A的全部特征值位于复平面左半部。
也可为负，则称这类标量函数为不定。 V(x)x1x2 x22
2．二次型标量函数
p11 p12 p1n x1
V(x)xTPx x1
x2
xn
p21
p22
p2n x2
pn1 pn2 pnn xn
式中，P为实对称矩阵，即有 pij pji 。
P的符号性质定义如下
(1) 若V(x)正定,则称P为正定,记作P>0 (2) 若V(x)负定,则称P为负定,记作P<0 (3) 若V(x)半正定(非负定),则称P为半正定(非负定 ),
A非奇异： Aex0 xe0
A奇异：
Axe 0 有无穷多个 x e
b.非线性系统
x f(xe,t)0可能有多个 x e
例 x1 x1 x2 x1 x2 x23
令 x1 0 x2 0
0 x e1 0
0 xe2 1
0
x e3
1
4. 孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分 小的邻域内不存在别的平衡状态。
结论：
1) 若 Re(i) 0 i1,2,,n ，则非线
性系统在 x e 处是渐近稳定的，与 g ( x)
2) 无关。
2) 若 Re(i) 0 Re(j ) 0 ij1,,n
3) 则不稳定。
3) 若 Re(i ) 0，稳定性与 g (x)有关，
4)
g(x)50) 则是李雅普诺夫意义下的稳定性。
特征值 李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧
来构造李氏函数
一. 稳定性基本概念
1.自治系统：输入为0的系统 x=Ax+Bu(u=0)
2.初态 x=f(x,t)的解为 x(t; x0,t0 ) x(t0,x0,t0)x0初态
3.平衡状态：
x ef(xe,t)0 xe 系统的平衡状态
a.线性系统 xAx xRn
记作P≥0 (4)若V(x)半负定(非正定),则称P为半负定(非正定 ),
记作P≤0
3.希尔维斯特(Sylvester)判据
Δi (i=1,2,…n)为实对称矩阵P的各阶主子行列式
1 p11
2
p11 p21
p12, , p22
p11 p12 p1n
n
p21
p22
p2n
pn1 pn 2 pnn
2.非线性系统的稳定性分析：
假定非线性系统在平衡状态附近可展 开成泰勒级数，可用线性化系统的特征 值判据判断非线性系统的平衡状态处的 稳定性。
设非线性系统状态方程： x f (x)
f ( x) --非线性函数
在平衡状态 xe 0附近存在各阶偏导数，于是：
x& f(xe)xfT xxe (xxe)g(x)
四. 李雅普wk.baidu.com夫第二法(直接法)
不通过运动微分方程，也不通过特征值，就能直接判 定系统的稳定性。
这种方法具有下述的物理背景：如果系统在运动过 程中能量不断减小，则系统最终将到达稳定平衡位 置，系统应是稳定的。
如能找到系统的能量函数，只要能量函数对时间的 导数是负的，则系统的平衡状态就是渐近稳定的
(一).预备知识 1．标量函数的正定性与负定性
定义一 若系统 xf(x,t)对于任意选定的 0 ，
存在一个 (,t0)0，使得当 x0xe (tt0)时，
恒有 xx e (t0t )，则称系统的平衡状态是
稳定的。
定义二 如果平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的，
且最后都能收敛到xe附近，即 lt i|m x(t,x0,t0)xe|，
其中：
g ( x) --级数展开式中二阶以上各项之和
f1
f xT
x1
fn
f1
x2 fn
f1
xn
fn
x1 x2
xn
上式为向量函数的雅可比矩阵。
ff1 f2 fnT
xx1 x2 xnT
令 x&x&f(xe) xxxe
f A xT xxe
则线性化系统方程为：
x&Ax
矩阵P(或V(x))定号性的充要条件是:
(1) 若Δi >0 (i=1,2,…n),则P为正定;
(2) 若
0 i0
ii为 为奇 偶数 数 ，则 P为负定
(3) 若
0 i 0
i1,2,,n1 in
，P 则 为半正定
0 i为偶数 (4) 若 i 0 i为奇数，则P为半负定
0 i n
(二)．李雅普诺夫稳定性定理
设 V(x)是向量x的标量函数,在x=0处有V(0)=0 (1)正定 :V(x)>0 例如，V(x)x12x22
(2)半正定: V(x)0 例如 V(x)(x1 x2)2
(3)负定 :V(x)<0 例如，V(x)(x12x22)
(4)半负定:V(x)0 例如 V(x)(x1 x2)2
(5)不定: 如果不论 域取多么小，V(x)既可为正，
8.6 李雅普诺夫稳定性理论
❖ 经典控制理论稳定性判别方法：代数判据， 奈魁斯特判据，对数判据，根轨迹判据
❖ 非线性系统：相平面法(适用于一，二阶非 线性系统)，描述函数法
❖ 俄国学者李雅普诺夫提出的稳定性定理采 用了状态向量来描述，适用于单变量，多 变量，线性，非线性，定常，时变等系统。
主要内容： 李氏第一法（间接法）：求解特征方程的
其中是任选的微量，则称系统的平衡状态xe是 渐近稳定的。
定义三 对所有的状态(状态空间的所有点)，如 果由这些状态出发的轨迹都具有渐近稳定性，则 称平衡状态xe为大范围渐近稳定。
定义四 :如果从球域 S( )出发的轨迹，无论球
域选得多么小，只要其中有一条轨迹脱离球域， 则称平衡状态xe为不稳定。
❖线性系统：如果它是渐近稳定的，必是有大 范围渐近稳定性(线性系统稳定性与初始条件的 大小无关)。