画法几何 曲面

画法几何及土木工程制图

（第四版）

第六章曲线和曲面

目录

§6-1 曲线

§6-2 曲面概述

§6-3 直纹面

§6-4 曲线面

一、曲线的形成和分类

曲线可以看作是由以下三种方式形成的：

(1)不断改变方向的点连续运动的轨迹。

(2)曲面与曲面或曲面与平面相交的交线。

(3)直线族或曲线族的包络。

点的运动轨迹曲表面的交线包络曲线

曲线的分类：

曲线可分为规则曲线与不规则曲线，例如圆是规则曲线，地面等高线是不规则曲线；

曲线又可分为平面曲线和空间曲线，曲线上所有的点都位于一个平面上，这样的曲线叫平面曲线；连续四个点不在同一平面上的曲线叫空间曲线。

圆柱螺旋线就是空间曲线

的例子。

§6-1 曲线

二、曲线的投影

画出曲线上一系列点的投影，可得到曲线的投影。为了准确地表示曲线，一般应画出曲线上特殊点的投影，以便控制好曲线的形状。

曲线的投影性质：

(1)曲线的投影一般仍为曲线，特殊情形下平面曲线的投影可能退化成直线。

§6-1 曲线

(2)曲线的切线在某投影面上的投影仍与曲线在该投影面上的投影相切，而且切点的投影仍为切点。

(3)二次曲线的投影一般仍为二次曲线，例如圆的投影一般为椭圆。

平面曲线的投影，其形状

视平面与投影面的倾斜状态而

反映实形重合成直线定。当平面平行于投影面时，

曲线的投影反映曲线的实形；

当平面垂直于投影面时，曲线

的投影重合为直线；当平面倾

斜于投影面时，曲线的投影为

变了形的曲线。

变了形的曲线

三、圆的投影

1. 投影面垂直面上的圆

圆在所垂直的那个投影面上的投影为直线段，线段的长度等于圆的直径，圆的另外两投影为椭圆，椭圆的长轴长度等于圆的直径。

例6-1已知直径为d的圆位于铅垂面内，并知圆心O 和P H 的位置，试作出其投影。

解：圆的水平投影为线段，长度等

于d，重合在P H上；正面投影和侧面投

影为椭圆，长轴竖直，长度等于d，短

轴水平，长度根据水平投影作出。利

用圆的辅助投影可作出椭圆上的一些

中间点。

§6-1 曲线作图过程演播

§6-1 曲线作图过程演播

2.一般斜平面上的圆

圆所在的平面倾斜于三个投影面时，圆的任一投影都是椭圆，椭圆长轴的长度总是等于圆的直径d。

例6-2半径为r 的圆位于一般倾斜平面□ABCD上，并知圆心O 的位置，试作出其投影。

解：首先，在水平投影中

作椭圆的长短轴：长轴的方向

为面内水平线的水平投影的方

向，长度等于圆的直径2r。短

轴垂直于长轴，长度利用直角

三角形法求出。

§6-1 曲线

其次，求出水平投影中长短轴在正面投影中的投影，它们是一对共轭直径1'2'、3'4'。根据共轭直径可求出椭圆上的其余四个点5'、6'、7'、8'，用八点法

画出正面投影椭圆。

§6-1 曲线

最后，利用平面上定点

的方法求出水平投影中的5、

6、7、8 四点，从而画出水

平投影椭圆。

§6-1 曲线

四、螺旋线的投影

1.圆柱螺旋线的形成

点P 沿圆柱面上的一条直母线作等速移动，该母线又绕柱轴作等速转动，点P 的轨迹为圆柱螺旋线。

动画

§6-1 曲线

2. 螺旋线的投影

螺旋线轴线为铅垂线时，螺

旋线的水平投影为圆。把圆周

等分（例如12等分），分点按

旋向依次编号为0、1、2…；在

正面投影中把导程也作相同的

等分，过各分点作水平线；由

水平投影中的各分点作竖直线

与正面投影上的对应水平线相

交，得0'、1'、2'…,把这些点连

成光滑曲线，即为螺旋线的正

面投影。

螺旋线投影图作图过程演播

h

p

螺旋线投影图作图过程演播

h

p

§6-2 曲面概述

一、曲面的形成和分类

曲面分为规则曲面和不规则曲面。规则曲面可以看成是运动的线按照一定的规则或受某种控制运动的轨迹。运动的线称为母线，曲面上任意位置的母线称为素线。控制母线运动的线或面，分别称为导线或导面。

由直母线运动生成的曲面称为直纹面，例如圆柱面、圆锥面；只能由曲母线运动生成的曲面称为曲线面，例如球面。

根据母线运动时有无旋转轴，曲面可以分为旋转面和非旋转面。在旋转面中，由直母线旋转生成的叫旋转直纹面；由曲母线旋转生成的叫旋转曲线面。

动画动画

二、曲面的投影

平行于某个投射方向且与曲面相切的投射线形成投射平面或柱面，它们与曲面相切的切线称为该投射方向的曲面外形轮廓线，简称外形线。曲面在某个投影面上的投影，可以用该投射方向上外形线的投影来表示。此外，有时还需同时画出曲面上若干条素线。

外形线通常还同时是曲面在该投射方向下可见与不可见部分的分界线。

§6-2 曲面概述

三、曲面上点的投影

曲面上点的投影在曲面的同面投影上。

这里讨论的问题是，已知曲面的投影，根据曲面上点的一个投影如何求出它的其余投影。与平面上定点类似，这里也要借助于辅助线。曲面上选用的辅助线，其投影应为直线或圆。对于直纹面，可选用其直的素线为辅助线，用这种方法求点的投影称为素线法。对于旋转面，可以选用纬圆作为辅助线，用这种方法求点的投影称为纬圆法。