西南石油大学数学物理方程习题解答案_课后习题答案
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代入边界条件得：
所以特征值为
特征函数为
再将特征值代入 得
通解：
所以 ，
③迭加 ，则
④确定系数 ，使上式满足初始条件，则
所以
（2）特征值为 ， ；
特征函数为
所以 l改为l/2，级数钱负号-
3,求解下述定解问题：
解：
其中 满足
满足
用分离变量法解得（1）得
4，求解定解问题
解：令特解 满足齐次方程和齐次边界条件，则
\
所以
因此
5，求解定解问题
解：因为 ， 是所对应的其次方程在其次边界条件下的特征函数系。
所以设定解问题有如下形式的解：
将上式代入方程和初始条件得：
于是，得到 的常微分方程的初值问题
解之得：
（1）当 时，通解 ，代入初值条件得
（2）当 ，通解 ，则
代入初值条件得：
所以 ， ；
综上： ，
所以
6，求解定解问题
11，设函数 和 分别是定解问题
（Ⅰ）和 （Ⅱ）
的解，试证明函数 是定解问题
（Ⅲ）
的解。
证明：利用叠加原理得 ，其中（Ⅰ）式 =0，（Ⅱ）式的 为 。
因为 是定解问题一得解， 是定解问题二的解。所以它们的线性组合 必满足方程 ，即 是方程 的解。
又因为对定解问题（Ⅰ）有 ， ；对定解问题（Ⅱ）有 ， 。所以 ，同理可得 与 的边界条件与初始条件累加均满足定解问题三。得证。
且合力的正向与坐标轴相同，设 为微元质心的坐标，则质心处的加速度为 ，
由牛顿第二定律有：
约去 ，并对右端应用中值定理，得
约去 ，并令 ，即得：
由于弹性杆是均匀的， （常数）， （常数）
从而 ，其中 （ 是杨氏模量， 是体密度）。
5，一均匀细杆直径为 ，假设它的同一横截面上温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从规律
解：类似第5题，可得方程 。其中
，
边界条件为:
初始条件为：
10，设函数 和 分别是定解问题
和
的解，试证明函数 是定解问题
的解。
证明：
利用叠加原理Ⅰ得 ，其中 。因为 是定解问题一得解， 是定解问题二的解。所以 必满足 。
又因为对定解问题一有 ，
对定解问题二有
所以 ；同理可得 与 的边界条件与初始条件累加均满足定解问题三。得证。
故 都是原方程的解， 为任意的二阶可微函数，根据迭加原理有
为通解。
4，试导出均匀等截面的弹性杆作微小纵振动的运动方程（略去空气的阻力和杆的重量）。
解：弹性杆的假设，垂直于杆的每一个截面上的每一点受力与位移的情形都是相同的，取杆的左端截面的形心为原点，杆轴为 轴。在杆上任意截取位于 的一段微元，杆的截面积为 ，由材料力学可知，微元两端处的相对伸长（应变）分别是 与 ，又由胡克定律，微元两端面受杆的截去部分的拉力分别为 与 ，因此微元受杆的截去部分的作用力的合力为：
，代入边界条件得 从而得到决定 的如下常微分方程边值问题
① ， ，通解 带入边界条件有
因为系数行列式 所以 即 ，无非零解。
② ，通解 带入边界条件有
即 ，无非零解。
③ ， ，通解
所以 带入边界条件有
所以
特征函数为
再代入初始条件得：
由正交性知
所以，得到 的常微分方程初值问题 解得
代入初始条件得
\\\\
解：由Nernst定律得
上式中 表示扩散物质浓度， 为在 时间内经过面 扩散物质的量， 为扩散系数。
在 时段内通过边界曲面S流入区域 的质量为
从时刻 到 ， 中该物质质量的增加为：
从而，由质量守恒定律有
交换积分次序可得：
由于 ， 在区域 都是任意的，可以得到
7,一根均匀杆原长 ，一段固定，另一端拉长 而静止，然后突然放手任其振动，试写出其定解问题。
所以
(2)特征值为
特征函数
确定系数 ， 。
（3）
2/l改为2/ka*pi
所以
2,用分离变量法求解下述热传导方程的混合问题：
解：（1）①分离变量，令形式特解 满足方程和齐次边界条件
代入边界条件得：
从而得决定 的如下常微分方程边值问题
②求解特征值问题
因为当 时，该问题只有零解，无非零解
只有当 时，方程有非零解：
记杆的体密度为 ，比热为 ,热传导系数为 .试导出此时温度 满足的微分方程。
解：取杆轴为 ，考察杆位于 段在 时间区间上的热平衡，在 时间内， 段的侧面流入的热量为：
在点 ， 处截面流入该段的热量为：
所以
温度升高所吸收的热量：
由能量守恒定律得：
由 的任意性，有
。
6,设某溶质在溶液中扩散，它在时刻 溶液中点 处的浓度用函数 表示，试导出 所满足的微分方程。
数学物理方程习题解
习题一
1，验证下面两个函数：
都是方程
的解。
证明：（1）
因为
所以 是方程 的解。
（2）
因为
所以
是方程 的解。
2，证明： 满足方程
其中 和 都是任意的二次可微函数。
证明：因为
所以
得证。
3，已知解的形式为 ，其中 是一个待定的常数，求方程
的通解。
解：令 则
所以
将上式带入原方程得
因为 是一个具有二阶连续可导的任意函数，所以 从而 ，
解：因为 是所对应的齐次方程在齐次边界条件的特征函数系，所以定解问题有如下形式的解：
代入方程有：
所以
代入初始条件有：
用比较系数法得
从而
7，求解定解问题
解：设点在 处固定，在 处拉长 而静止，然后突然放手任其振动，则方程为 。
边界条件为： ；
初始条件为： 。
8，长为 的均匀杆，侧面绝热，一端温度为0度，另一端有已知的恒定热流进入，设单位时间流入单位截面积的热量为 ，杆的初始温度分布是 ，试写出其定解问题。
解：侧面绝热，方程为
边界条件为
初始条件为
9，长度为 的均匀细杆，初始温度为0℃，端点 处保持常温 ，而在 处和杆的侧面热量可以散发到周围介质中去，设周围介质的温度为0℃。试列出杆上的温度分布函数 所满足的定解问题。
习题二
1，用分离变量法解齐次弦振动方程
， ，
的下述混合问题：
（1）
（2）
（3）
解：（1）第一，求 与 所满足的常微分方程
设满足方程和齐次边界条件的特解形式为 ，代入方程得
即百度文库
所以得到 与 所满足的两个常微分方程：
第二，解特征值问题
为了要特解形式满足边界条件，必须有
因为 不能恒为零，所以
这样就得到决定 的如下常微分方程边值问题：
通解为
满足边界条件： 即
（关于 ， 的齐次线性方程组）
因为系数行列式
所以 ,即 ，无非零解。
② ，通解 ，带入边界条件得
即 ，无非零解。
③ ,通解 ，代入边界条件得
所以 特征函数为
再将 代入方程 得
特征方程：
通解：
综上：
第三：迭加
第四：确定系数 ， 使上式满足初始条件。
因为
由正交性：
在 上积分
从而
同理
所以特征值为
特征函数为
再将特征值代入 得
通解：
所以 ，
③迭加 ，则
④确定系数 ，使上式满足初始条件，则
所以
（2）特征值为 ， ；
特征函数为
所以 l改为l/2，级数钱负号-
3,求解下述定解问题：
解：
其中 满足
满足
用分离变量法解得（1）得
4，求解定解问题
解：令特解 满足齐次方程和齐次边界条件，则
\
所以
因此
5，求解定解问题
解：因为 ， 是所对应的其次方程在其次边界条件下的特征函数系。
所以设定解问题有如下形式的解：
将上式代入方程和初始条件得：
于是，得到 的常微分方程的初值问题
解之得：
（1）当 时，通解 ，代入初值条件得
（2）当 ，通解 ，则
代入初值条件得：
所以 ， ；
综上： ，
所以
6，求解定解问题
11，设函数 和 分别是定解问题
（Ⅰ）和 （Ⅱ）
的解，试证明函数 是定解问题
（Ⅲ）
的解。
证明：利用叠加原理得 ，其中（Ⅰ）式 =0，（Ⅱ）式的 为 。
因为 是定解问题一得解， 是定解问题二的解。所以它们的线性组合 必满足方程 ，即 是方程 的解。
又因为对定解问题（Ⅰ）有 ， ；对定解问题（Ⅱ）有 ， 。所以 ，同理可得 与 的边界条件与初始条件累加均满足定解问题三。得证。
且合力的正向与坐标轴相同，设 为微元质心的坐标，则质心处的加速度为 ，
由牛顿第二定律有：
约去 ，并对右端应用中值定理，得
约去 ，并令 ，即得：
由于弹性杆是均匀的， （常数）， （常数）
从而 ，其中 （ 是杨氏模量， 是体密度）。
5，一均匀细杆直径为 ，假设它的同一横截面上温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从规律
解：类似第5题，可得方程 。其中
，
边界条件为:
初始条件为：
10，设函数 和 分别是定解问题
和
的解，试证明函数 是定解问题
的解。
证明：
利用叠加原理Ⅰ得 ，其中 。因为 是定解问题一得解， 是定解问题二的解。所以 必满足 。
又因为对定解问题一有 ，
对定解问题二有
所以 ；同理可得 与 的边界条件与初始条件累加均满足定解问题三。得证。
故 都是原方程的解， 为任意的二阶可微函数，根据迭加原理有
为通解。
4，试导出均匀等截面的弹性杆作微小纵振动的运动方程（略去空气的阻力和杆的重量）。
解：弹性杆的假设，垂直于杆的每一个截面上的每一点受力与位移的情形都是相同的，取杆的左端截面的形心为原点，杆轴为 轴。在杆上任意截取位于 的一段微元，杆的截面积为 ，由材料力学可知，微元两端处的相对伸长（应变）分别是 与 ，又由胡克定律，微元两端面受杆的截去部分的拉力分别为 与 ，因此微元受杆的截去部分的作用力的合力为：
，代入边界条件得 从而得到决定 的如下常微分方程边值问题
① ， ，通解 带入边界条件有
因为系数行列式 所以 即 ，无非零解。
② ，通解 带入边界条件有
即 ，无非零解。
③ ， ，通解
所以 带入边界条件有
所以
特征函数为
再代入初始条件得：
由正交性知
所以，得到 的常微分方程初值问题 解得
代入初始条件得
\\\\
解：由Nernst定律得
上式中 表示扩散物质浓度， 为在 时间内经过面 扩散物质的量， 为扩散系数。
在 时段内通过边界曲面S流入区域 的质量为
从时刻 到 ， 中该物质质量的增加为：
从而，由质量守恒定律有
交换积分次序可得：
由于 ， 在区域 都是任意的，可以得到
7,一根均匀杆原长 ，一段固定，另一端拉长 而静止，然后突然放手任其振动，试写出其定解问题。
所以
(2)特征值为
特征函数
确定系数 ， 。
（3）
2/l改为2/ka*pi
所以
2,用分离变量法求解下述热传导方程的混合问题：
解：（1）①分离变量，令形式特解 满足方程和齐次边界条件
代入边界条件得：
从而得决定 的如下常微分方程边值问题
②求解特征值问题
因为当 时，该问题只有零解，无非零解
只有当 时，方程有非零解：
记杆的体密度为 ，比热为 ,热传导系数为 .试导出此时温度 满足的微分方程。
解：取杆轴为 ，考察杆位于 段在 时间区间上的热平衡，在 时间内， 段的侧面流入的热量为：
在点 ， 处截面流入该段的热量为：
所以
温度升高所吸收的热量：
由能量守恒定律得：
由 的任意性，有
。
6,设某溶质在溶液中扩散，它在时刻 溶液中点 处的浓度用函数 表示，试导出 所满足的微分方程。
数学物理方程习题解
习题一
1，验证下面两个函数：
都是方程
的解。
证明：（1）
因为
所以 是方程 的解。
（2）
因为
所以
是方程 的解。
2，证明： 满足方程
其中 和 都是任意的二次可微函数。
证明：因为
所以
得证。
3，已知解的形式为 ，其中 是一个待定的常数，求方程
的通解。
解：令 则
所以
将上式带入原方程得
因为 是一个具有二阶连续可导的任意函数，所以 从而 ，
解：因为 是所对应的齐次方程在齐次边界条件的特征函数系，所以定解问题有如下形式的解：
代入方程有：
所以
代入初始条件有：
用比较系数法得
从而
7，求解定解问题
解：设点在 处固定，在 处拉长 而静止，然后突然放手任其振动，则方程为 。
边界条件为： ；
初始条件为： 。
8，长为 的均匀杆，侧面绝热，一端温度为0度，另一端有已知的恒定热流进入，设单位时间流入单位截面积的热量为 ，杆的初始温度分布是 ，试写出其定解问题。
解：侧面绝热，方程为
边界条件为
初始条件为
9，长度为 的均匀细杆，初始温度为0℃，端点 处保持常温 ，而在 处和杆的侧面热量可以散发到周围介质中去，设周围介质的温度为0℃。试列出杆上的温度分布函数 所满足的定解问题。
习题二
1，用分离变量法解齐次弦振动方程
， ，
的下述混合问题：
（1）
（2）
（3）
解：（1）第一，求 与 所满足的常微分方程
设满足方程和齐次边界条件的特解形式为 ，代入方程得
即百度文库
所以得到 与 所满足的两个常微分方程：
第二，解特征值问题
为了要特解形式满足边界条件，必须有
因为 不能恒为零，所以
这样就得到决定 的如下常微分方程边值问题：
通解为
满足边界条件： 即
（关于 ， 的齐次线性方程组）
因为系数行列式
所以 ,即 ，无非零解。
② ，通解 ，带入边界条件得
即 ，无非零解。
③ ,通解 ，代入边界条件得
所以 特征函数为
再将 代入方程 得
特征方程：
通解：
综上：
第三：迭加
第四：确定系数 ， 使上式满足初始条件。
因为
由正交性：
在 上积分
从而
同理