高等工程数学试题
高等工程数学考试
e2 f (2) 2 (2) f (2) e f e2 (2) f f (2) f (2) 2 2! e2 f (2) f (2) f (2) f (2) 2! 3! 6 e 2t
k
PJ kP 1
(3)
f ( A) b0 E b1 A b2 A2 bm Am b0 E b1 PJP1 bm PJ m P 1 P b0 E b1 J b2 J 2 bm J m P 1 Pf ( J ) P 1
8、 设 A Cnn， f(λ)是 A 的任一零化多项式， m(λ)是 A 的最小多项式， 试证明： m(λ)| f(λ)。 证：用 m(λ)作除式，f(λ)作被除式，两多项式相除，设商式为 g(λ)，余式为 r(λ)， 则 f(λ)= m(λ)q(λ)+ r(λ) （这里 r(λ)≡0 或 r(λ)是一个次数比 m(λ)低的非零多项式） 下证：r(λ)≡0 反证，r(λ)是一个比 m(λ)次数低的非零多项式。 1 设 r(λ)的最高次项系数为 k(k≠0)，令 r1 ( ) r ( ) k 1 ∴r1(λ)是首一多项式，且 r1 ( A) r ( A) 0 k ∴r1(λ)是 A 的首一零化多项式，而且 r1(A)与 r(A)同次，均比 m(λ)次数低，这与 m(λ)为 A 的最小多项式矛盾！ ∴r(λ)≡0，m(λ)| f(λ)。
2 9、设 x 0 C 3 ，则 3 4i
x 1 2 0 3 4i 2 0 5 7 x 2 2 2 0 2 5 2 29 x
高等工程数学考研真题试卷
高等工程数学考研真题试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 设函数\( f(x) \)在点\( x_0 \)处可导，且\( f'(x_0) \neq 0 \)，则\( f(x) \)在\( x_0 \)处的切线斜率为：A. \( f(x_0) \)B. \( f'(x_0) \)C. \( x_0 \)D. \( 0 \)2. 线性代数中，若矩阵\( A \)可逆，则下列哪个说法是正确的？A. \( A \)是对称矩阵B. \( A \)是正交矩阵C. \( A \)的行列式不为零D. \( A \)是单位矩阵3. 根据概率论，若随机变量\( X \)服从正态分布\( N(\mu,\sigma^2) \)，则其期望值和方差分别是：A. \( \mu, \sigma \)B. \( \sigma, \mu \)C. \( \mu, \sigma^2 \)D. \( \sigma, \sigma^2 \)4. 常微分方程\( y'' - 2y' + y = 0 \)的特征方程是：A. \( r^2 - 2r + 1 = 0 \)B. \( r^2 - 2r + 2 = 0 \)C. \( r^2 + 2r + 1 = 0 \)D. \( r^2 - 2r - 1 = 0 \)5. 在多元函数极值问题中，若函数\( f(x, y) \)在点\( (x_0, y_0) \)处取得极小值，则下列说法正确的是：A. 在该点处，\( f(x, y) \)的一阶偏导数都为零B. 在该点处，\( f(x, y) \)的二阶偏导数都为正C. 在该点处，\( f(x, y) \)的Hessian矩阵是正定的D. 在该点处，\( f(x, y) \)的梯度向量为零二、填空题（每题4分，共20分）6. 若函数\( f(x) = 3x^3 - 2x^2 + x - 5 \)，则\( f''(x) \)的值为________。
高等工程数学训练题
《高等工程数学》训练题I 、矩阵论部分1、 在线性空间V=R 2×2中，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111,0111,0011,00014321ββββ是V 的一个基，则a b c d V α⎛⎫∀=∈⎪⎝⎭，α在{}4321,,,ββββ下的坐标为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---d dc c b b a 。
2、设α1=(1,1,-2,1),α2=(2,7,1,4), α3=(-3,2,11,-1), β1=(1,0,0,1), β2=(1,6,3,3)，令V 1=L(α1,α2, α3)，V 2=L(β1, β2)，(1)求dim(V 1+V 2)及V 1+V 2的一个基； (2)求)V dim (V 21I 。
解：(1)对下列矩阵施行如下初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==00000010*******113210100002000101101132151550525501011011321'20220525505155011321311413011126027111321)(21321TT T T T A ββααα∴r(A)=3∴r(α1, α2, α3, β1, β2)=3 ∴dim(V 1+V 2)=3可选{α1, α2, β1}为V 1+V 2的基(2)∵dim V 1=r{α1, α2, α3}=2,dimV 2=r{β1, β2}=2∴dim(V 1∩V 2)=dimV 1+dimV 2-dim(V 1+V 2)=2+2-3=1 。
3、设V 是数域F 上的n 维线性空间，T 是V 的一个线性变换，证明（1）dimT(V)+dimker(T)=n 。
（2）若T 在{}12,,,n αααL 下对应矩阵为A ，则rankT=dimT(V)=r(A)。
高等工程数学试题及参考答案-工程硕士
中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷考试日期：2010年 4 月 日 时间110分钟注：解答全部写在答题纸上一、填空题(本题24分，每小题3分) 1. 若方程0)(=x f 可表成)(x xϕ=，且在[,]a b 内有唯一根*x ，那么)(x ϕ满足，则由迭代公式)(1n n x x ϕ=+产生的序列{}n x 一定收敛于*x 。
（)(x ϕ满足：1()[,]x C a b ϕ∈,且[,]x a b ∀∈有()[,]x a b ϕ∈, '()1x L ϕ≤<；）2. 已知二元非线性函数221122120()24,(2,2)Tf x x x x x x x X =-++-=，该函数从X 0 出发的最速下降方向为 （最速下降方向为：()4,2Tp =-）； 3．已知二元非线性函数221122120()24,(2,2)Tf x x x x x x x X =-++-=，该函数从X 0 出发的Newton 方向为 （Newton 方向为： ()2,0Tp =-）； 4．已知)(x f y =在区间],[b a 上通过点(,),0,1,2,,i i x y i n =L ，则其三次样条插值函数)(x S 是满足 （（1）在每个小区间是次数不超过3次的多项式，（2）在区间[,]a b 上二阶导数连续，（3）满足插值条件(),0,1,2,,i i S x y i n ==L ）；5．设某个假设检验问题的拒绝域为W ，且当原假设H 0成立时，样本值12(,,,)n X X X L 落入W 的概率为0.15，则犯第一类错误的概率为________（0.15） ；6．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈 大 愈好，而置信区间的长度愈 短 愈好。
但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是 变长 ； 7．取步长2.0=h ，解]1,0[,1)0(2'∈⎩⎨⎧=-=x y yx y 的Euler 法公式为：（1(2)0.60.2,0,1,2,,5n n n n n n y y h x y y x n +=+-=+=L ）；8．对实际问题进行建模求解时可能出现的误差有： （模型误差，观测误差，方法误差，舍入误差。
南京航空航天大学-《高等工程数学》试卷
五（ 20 分）矩阵
，向量
，
1．求矩阵 的满秩分解，并计算 ；(10 分)
2．对于方程组
，用广义逆判断方程组是否相容，若相容，求其通解及极小范数解，若不相容，
求其通解及极小最小二乘解。(10 分)
，可验证
，故方程组相容
4. 令
，确定幂级数
；(6 分) 的收敛半径。令
论矩阵幂级数 的绝对收敛性（收敛圆边界上的情形除外）。(2 分)
，对上述 讨
特征多项式 特征值 不变因子 初等因子 最小多项式
时 绝对收敛
三（20 分）．1. 求矩阵
的奇异值分解. (10 分)
2. 已知矩阵 ，存在可逆矩阵
实数. (10 分)
，其中
，
，
，使得
共5页 第3页
，求 ，这里 是
共5页 第4页
四（20 分）1．当实数 满足什么条件时，
2．令 3． 令 若
为复矩阵，证明：
为复矩阵，
为
，则
. (3 分)
1. 所有主子式非负，
.
2. 根据定义证明即可.
3. 先证明
，再证明
.
半正定? (10 分)
为
半正定矩阵. (7 分)
正定矩阵，利用 2.中结论证明：
南京航空航天大学 2020 级硕士研究生
共5页 第1页
二 O 二 O～二 O 二一 学年 第 1 学期
《高等工程数学》课程 A 卷
考试日期: 2020 年 11 月 15 日
课程编号：
学院
学号
姓名
成绩
一（20 分）已知
，求 ，
，
，。
高等工程数学题
1高等工程数学题一、非空集合V 为数域P 上的线性空间，α∈V ，λ∈P ，θ为零元素，证明性质：1、0·α=θ 2、λ·θ=θ 3、（-1）α=-α 证明：1、∵α+0·α=（1+0）·α=α，由线性空间运算规则第3条规则 ∴0·α=θ 2、∵当λ≠0时，α+λ·θ=λ·（1/λ·α）+λ·θ=λ·(1/λ·α+θ) /由线性空间运算规则第3条规则λ·(1/λ·α+θ)= λ·(1/λ·α)= α /当λ=0时，α+λ·θ=α+0=α/由线性空间运算规则第3条规则 ∴λ·θ=θ3、∵α+（-1）α=（1+（-1））α=0·α=θ 由线性空间运算规则第4条规则 ∴（-1）α=-α二、在R 4中，有两组基：（1）α1=（1,0,0,0）；α2=（0,1,0,0）；α3=（0,0,1,0）；α4=（0,0,0,1）. （2）β1=（2,1,-1,1）；β2=（0,3,1,0）；β3=（5,3,2,1）；β4=（6,6,1,3）.求：1）从第（1）组到第（2）组基的过渡矩阵；2）向量χ=（ξ1，ξ2，ξ3，ξ4）对第（2）组基的坐标；3）对两组基有相同坐标的非零向量。
解：1）根据题意可得：β1=2α1+α2-α3+α4；β2=3α2+α3；β3=5α1+3α2+2α3+α4；β4=6α1+6α2+α3+3α 4由上式及（α1，α2，α3，α4）·A=（β1，β2，β3，β4）可得过渡矩阵A 为：A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-3111211633165022) 设χ´为χ对第(2)基的坐标,则χ´=A -1·χ,下面通过坐标变换求A -1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-10003101010012110010633100016502=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-10003101010012110001650200106331=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------10103230011075400021616000106331=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----10103230110043102001030000106331=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--43109700200103001100431010003101=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----3/26313/79003/2003/10100310140103/5003/13001=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------27/263/19/127/710003/2003/1010027/233/19/427/100109/1113/19/40001=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------27/263/19/127/710003/2003/1010027/233/19/427/100109/1113/19/40001 ∴A -1=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------27/263/19/127/73/2003/127/233/19/427/19/1113/19/4 ∴向量χ对第（2）组基的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++--=-=--+=--+=432144134321243211*27/263/1*9/1*27/7'*3/2*3/1'*27/23*3/1*9/4*27/1'*9/11*3/1*9/4'ξξξξξξξξξξξξξξξξξξ3)根据题意令χ´=χ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++--=-=--+=--+=432144134321243211*27/263/1*9/1*27/7*3/2*3/1*27/23*3/1*9/4*27/1*9/11*3/1*9/4ξξξξξξξξξξξξξξξξξξ 解方程组得ξ1=ξ2=ξ3=-ξ4,根据题意,存在任意非零向量(c,c,c,-c)(c ≠0)对两组基有相同坐标.三、设向量组1）α1=（1,0,2,1）；α2=（2,0,1,-1）；α3=（3,0,3,0），2）β1=（1,1,0,1）；β2=（4,1,3,1）. 若V 1=L(α1,α2,α3),V 2=L(β1,β2),求V 1+ V 2的维数及一组基。
工程数学试题及答案高级专
工程数学试题及答案高级专工程数学试题及答案（高级专科）一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 极限的定义中，当x趋近于a时，f(x)的极限为L，意味着（）。
A. f(x) = LB. |f(x) - L| < ε，对任意的ε > 0，存在δ > 0，使得0 < |x - a| < δ时成立C. |f(x) - L| = 0D. f(x) ≠ L答案：B2. 函数f(x) = x^2在x=0处的导数为（）。
A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B3. 以下哪个函数是奇函数？（）A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x答案：B4. 以下哪个函数是周期函数？（）A. f(x) = e^xB. f(x) = sin(x)C. f(x) = ln(x)D. f(x) = x^2答案：B5. 以下哪个积分是发散的？（）A. ∫(0, +∞) e^(-x) dxB. ∫(0, +∞) x^2 dxC. ∫(0, +∞) e^x dxD. ∫(0, +∞) 1/x dx答案：D6. 以下哪个是二阶常系数线性微分方程？（）A. y'' + 2y' + y = 0B. y'' + 2y' + 3y = 0C. y'' + y' + y = 0D. y'' + y' = 0答案：A7. 以下哪个是二阶偏导数？（）A. ∂^2f/∂x∂yB. ∂^2f/∂x^2C. ∂^2f/∂y^2D. ∂^2f/∂x∂y^2答案：A8. 以下哪个是线性方程组的解？（）A. {x=1, y=2}B. {x=0, y=0}C. {x=1, y=1}D. {x=2, y=3}答案：C9. 以下哪个是矩阵的特征值？（）A. λ = 1B. λ = 2C. λ = 3D. λ = 4答案：A10. 以下哪个是傅里叶级数的系数？（）A. a_nB. b_nC. c_nD. d_n答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x) = sin(x)在x=π/2处的导数为______。
高等工程数学 试题 答案
《高等工程数学》试题一、 设总体X 具有分布律其中(01)θθ<<为未知参数，已知取得了样本值1231,2,1x x x ===，求θ的矩估计和最大似然估计.解：（1）矩估计：2222(1)3(1)23EX θθθθθ=+⨯-+-=-+14(121)33X =++=令EX X =，得5ˆ6θ=. （2）最大似然估计：2256()2(1)22L θθθθθθθ=⋅⋅-=-45ln()10120d d θθθθ=-= 得5ˆ6θ= 二、（本题14分）某工厂正常生产时，排出的污水中动植物油的浓度)1,10(~N X ，今阶段性抽取10个水样，测得平均浓度为10.8（mg/L ），标准差为1.2（mg/L ），问该工厂生产是否正常？（220.0250.0250.9750.05,(9) 2.2622,(9)19.023,(9) 2.700t αχχ====）解：（1）检验假设H 0：σ2=1，H 1：σ2≠1； 取统计量：2022)1(σχs n -=；拒绝域为：χ2≤)9()1(2975.0221χχα=--n =2.70或χ2≥2025.022)1(χχα=-n =19.023， 经计算：96.1212.19)1(2222=⨯=-=σχs n ，由于)023.19,700.2(96.122∈=χ2，故接受H 0，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为σ2=1。
（2）检验假设101010≠'='μμ：，：H H ； 取统计量：10/10S X t -=~ )9(2αt ；拒绝域为2622.2)9(025.0=≥t t ；1028.210/2.1108.10=-=t <2.2622 ，所以接受0H '， 即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是10（mg/L ）。
综上，认为工厂生产正常。
三、 在单因素方差分析中，因素A 有3个水平，每个水平各做4次重复实验，完成下列方差分析表，在显著水平0.05α=下对因素A 是否显著做检验。
高等工程数学练习题
1.有5面不同颜色的旗帜，20种不同的盆花，排成两端是两面旗帜，中间放3盆花的形式。
试问有多少种不同的方案数？2.有男运动员7名，女运动员3名，列队进场。
（1）若要求头尾两名运动员必须是男生，且女运动员不相邻，有多少种方案？（2）若女运动员排在一起，并且排在队的头尾两端，有多少种方案？（3）只要女运动员排在一起，又有多少种方案？3.求由1，3，5，7不重复出现的组成的整数之和。
4.有5个女生和7个男生要租一个5人小组。
（1）没有特殊要求，有多少种方案？（2）要求该小组不允许男生甲和女生乙同时参加，有多少种方案？（3）某男甲和某女乙两人中必须有一人参加，有多少种方案？（4）某男甲和某女乙必须同时参加，有多少种方案。
5.从1，2，3…1000中选出三个数，有多少种选法使得所选的三个整数的和能被3整除。
6.用字母A,B,C组成5个字母的符号。
要求每个符号里，A之多出现2次，B至多出现1次，C至多出现3次。
求此类符号的个数。
7.共5对夫妇出席一个宴会，围一圆桌坐下，试问有几种不同的坐法？要求每对夫妇相邻又如何？8.求解特征方程：9.求解特征方程：10.S={1，2，3…600}，求其中能被2，3，5整除的数的集合。
11.设a1,a2,…,a100是由1和2组成的序列。
已知从其中任意一个数开始的顺序中连续10个数的和不超过16，即1≤i≤91恒有a i,a i+2,…,a i+9≤16。
证明：至少存在h和k（h＜k），使得a h+a h+1+a k=39。
12.在整数集Z上，定义运算○：任意a,b属于Z。
a○b=a+b+4。
证明：Z关于○运算时群。
13.求最小生成树：答题纸：（1）（2）（3）（5）（7）（8）（9）（11）（13）。
《高等工程数学》试卷
《高等工程数学》试题注意：1. 考试时间2.5小时，答案一律写在本试题纸上，写在草稿纸上的一律无效； 2. 请先填好密封线左边的各项内容，不得在其它任何地方作标记；3. 可能需要的常数：0.900.950.9951.282, 1.645, 2.576u u u ===一、填空题(本题共10空，每空3分，满分30分.把答案填在题中的横线上) 1. 给定线性空间22R ⨯的基：1001000000001001⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭，，，B 及线性变换Tx Px =，其中220110P x R ⨯⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，.则T 在基B 下的矩阵为A =.2. 设123{}e e e =，，B 是欧氏空间3V 的标准正交基，令112213.y e e y e e =+=-，则由B 出发，通过Schmidt 标准正交化方法可求得12span{}y y ，的标准正交基为 (用123e e e ，，表示）． 3．设21111301021i 0A x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦，，其中i =. 则2|||||||| A Ax ∞⋅=. 4．当实常数c 满足条件 时，幂级数1116kk kc kc ∞=⎡⎤⎢⎥-⎣⎦∑收敛. 5．对称阵321220103A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦的Cholesky 分解为A =.6．设12101210()()X X X Y Y Y ，，，，，，，是来自正态总体2~()X N μσ，的两个独立样本，则当常数 c =时，统计量4211025()()i i i i i i X Y c X Y ==-⋅-∑∑服从F 分布．7．袋中装有编号为1~N 的N 个球(N 未知)，现从袋中有放回地任取n 个球，依次记录下球的编号为12.n X X X ，，，则袋中球的个数N 的矩估计量为ˆ N=. 8．设12n X X X ，，，为来自总体~(1)X N μ，的样本.为得到未知参数μ的长度不超过0.2、置信度为0.99的双侧置信区间，其样本容量至少应满足 n ≥.学院（部） 修读类别（学位/进修） 姓名 学号（编号）（ 密 封 线 内 请 勿 答 题 ）……………………………………密………………………………………封………………………………………线……………………………………9．某城市在一项有关医疗保健的社会调查中，为了了解喜欢吃甜食的人群是否与性别有关， 随机访问了1179位人，调查结果如下表所示若检验假设0:H 喜欢吃甜食与性别无关， 1:H 喜欢吃甜食与性别有关则依据所给数据，算得皮尔逊2χ统计检验量观察值2ˆ χ=. 10.为了分析学生的学习情况，考察了某班级全部学生数学1x 与英语2x 两门课程的考试成 绩，算得样本相关矩阵为10.36.0.361R ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则第一样本主成分1y 的贡献率为 .二、(10分) 利用Householder 变换求方阵212204031A ⎡⎤-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的QR 分解.解三、(10分) 设00ξη，是欧氏空间n V 的两个非零向量，12c c ，是两个常数. n V α∀∈定义变换T ：100200.T c c ααξξαηη=〈〉+〈〉，，(1) 证明T 是线性变换；(2) 设12{}n εεεε=，，，B 是n V 的标准正交基，且00ξη，在εB 下的坐标分别为00x y ，，即有0000 (x y εεηξ==，B B 其中010*********).n n n x y x y x y R x y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，试求T 在基εB 下的矩阵A ； (3) 证明T 是对称变换.解学院（部） 修读类别（学位/进修） 姓名 学号（编号）（ 密 封 线 内 请 勿 答 题 ）……………………………………密…………………………………封………………………………………线……………………………………四、(10分) 设矩阵2010201202A⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.(1)求A的最小多项式()Amλ和Jordan标准形；(2)计算方阵函数 ((,)).e At t∈-∞+∞解五、(10分) 设4111101234001231A b x R ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，． (1) 求A 的极大线性无关列及A 的满秩分解；(2) 证明方程组Ax b =不相容，并求Ax b =的极小范数最小二乘解．解学院（部） 修读类别（学位/进修） 姓名 学号（编号）（ 密 封 线 内 请 勿 答 题 ）…………………………………………密………………………………………封………………………………………线…………………………………………六、(10分) 设总体X 的密度函数为| |1()e ()2x f x x σσσ-=-∞<<∞;，其中0>σ为未知参数．12n X X X ，，，是来自总体X 的样本．(1) 试求σ的极大似然估计量σˆ； (2) 证明σˆ为σ的最小方差无偏估计量． 解七、(10分) )研究所从某厂定购了一批原料,已知该原料每瓶的杂质含量2~()X N μσ，(单位：毫克)，已知02σ=(毫克).若整批原料每瓶杂质的平均含量低于20(毫克)则视为合格，现从该批原料中随机抽取了25瓶进行检测，计算得18.8x =(毫克).(1) 问在显著性水平0.01α=下，能否认为该批原料是合格的？(2) 若厂方要求：当每瓶杂质平均含量低于19(毫克)时，II 类风险不超过0.1β=，试问至少要抽样多少瓶？ 解学院（部） 修读类别（学位/进修） 姓名 学号（编号）（ 密 封 线 内 请 勿 答 题 ）…………………………………………密………………………………………封………………………………………线…………………………………………八、(10分) 设有线性线性回归模型20122123451(2)12345~(0).i i i iy x x i N βββεεεεεεεσ⎧=++-+⎪=⎨⎪⎩，，，，，，，，，独立同分布， 其中1234521012x x x x x =-=-===，，，，是已知的观测值． 1）求参数012βββ，，的最小二乘估计012ˆˆˆβββ，，； 2）并判别012ˆˆˆβββ，，是否独立，为什么？。
大学工程数学试题及答案
大学工程数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 以下哪个选项是微分方程的解？A. \( y = e^x \)B. \( y = e^{-x} \)C. \( y = x^2 \)D. \( y = \ln(x) \)答案：A2. 矩阵的行列式值表示了什么？A. 矩阵的面积B. 矩阵的体积C. 矩阵的旋转角度D. 矩阵的缩放因子答案：D3. 以下哪个是线性代数中的基本概念？A. 微分B. 积分C. 向量空间D. 极限答案：C4. 傅里叶变换用于解决什么问题？A. 微分方程B. 积分方程C. 信号处理D. 线性代数答案：C5. 欧拉公式 \( e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) \) 中，\( i \) 代表什么？A. 虚数单位B. 矩阵C. 行列式D. 向量答案：A6. 以下哪一项是拉普拉斯变换的基本性质？A. 线性性质B. 微分性质C. 积分性质D. 反演性质答案：A7. 泰勒级数展开是用于什么目的？A. 近似计算B. 精确计算C. 矩阵计算D. 向量计算答案：A8. 以下哪个函数是周期函数？A. \( y = x^2 \)B. \( y = e^x \)C. \( y = \sin(x) \)D. \( y = \ln(x) \)答案：C9. 以下哪一项是偏微分方程的解？A. \( u(x, y) = x^2 + y^2 \)B. \( u(x, y) = e^{x+y} \)C. \( u(x, y) = \ln(x+y) \)D. \( u(x, y) = \sin(x)\cos(y) \)答案：D10. 以下哪个选项是复数的性质？A. 可加性B. 可乘性C. 可除性D. 所有选项答案：D二、填空题（每题4分，共20分）1. 如果 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)，则 \( f'(x) \) 等于 _______。
答案：\( 3x^2 - 12x + 11 \)2. 矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \) 的行列式 \( \det(A) \) 等于 _______。
南京理工大学工程硕士高等工程数学题
南京理工大学工程硕士学位课程考试高等工程数学试题注意：每位考生只要选做以下两部分试题，答案必须写在答题纸上矩阵分析部分一．（6分）设，其中1,121,312243122-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+-=i X i i i i A 求21,,AX A A ∞值。
解：A ∞=max{|2|+|-1|+|3+4i|,|-2|+|2i|+|-1|,|-i|+|-3|+|i|}=max{8,5,5}=8 1A =max{|2|+|-2|+|-i|,|-1|+|2i|+|-3|,|3+4i|+|-1|+|i|}=max{5,6,7}=734i AX 34i 6+⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭2AX二．（8分） 已知函数矩阵：22222222222223332t tt t t t Att t t t t t t t t tt t e e e e e e e e ee e e e e e e e e e ⎛⎫--- ⎪=--- ⎪ ⎪---⎝⎭， 求矩阵.A 解：∵()AtAte Ae'=又 ()2t t2t t t 2t At 2t t 2t t t 2t 2t t 2t tt 2t 4e e 2e e e 2e e 2e e 4e e 2e 4e 6e 3e 2e e 3e 4e ⎛⎫--- ⎪'=--- ⎪ ⎪---⎝⎭∴ A=AE=Ae 0=Ae At |t=0=(e At )’|t=0=311132311-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭三．（10分）设向量)5,1,2,3(),4,1,1,2(),1,0,1,1(321---=-=-=ααα与)3,1,1,2(),1,1,0,1(21-==ββ，令),,,(3211αααL V =),(212ββL V =，（1）求21V V +的一组基和维数； （2）求维数)dim(21V V 。
解：(1) 对下列矩阵施行如下初等行变换()TT TT T 12312A =αααββ1231212312112010111101111011111451302201--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪=→⎪ ⎪-- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭1231212312011110111100000000210002100000--⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭∴ r(A)=3 ∴ r(α1,α2,α3,β1,β2)=3 ∴ dim(V 1+V 2)=3可选{α1,α2,β1}为V 1+V 2的一组基(2) ∵ dimV 1=r{α1,α2,α3}=2 dimV2=r{β1,β2}=2∴ dim(V 1∩V 2)=dimV 1+dimV 2-dim(V 1+V 2)=2+2-3=1四．（10分）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=411301621A ，1． 求A 的Jordan 标准形J 及最小多项式)(λm ；2． 求解初值问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==114)0(X AX dt dX解： 1.12613E A 131********λ+-λ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪λ-=λ-→λ+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪λ-λ-⎝⎭⎝⎭210010012330(1)(2)3(1)111011⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→λ+-λ-λλ-→λ-λ+λ- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-λλ-λ-λ-⎝⎭⎝⎭21001000110100(1)(2)3(1)0(1)(2)(1)⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→λ-λ-→λ- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪λ-λ+λ-λ-λ+-λ-⎝⎭⎝⎭210001000(1)⎛⎫ ⎪→λ- ⎪ ⎪λ-⎝⎭∴ d 1(λ)=1 d 2(λ)=λ-1 d 3(λ)=(λ-1)2∴ A 的初等因子为： λ-1，(λ-1)2∴12100100J A J 010J 110J 011001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或 m(λ)=d 3(λ)=(λ-1)22. 设f(z)=e zt （z 为自变量，t 为固定字母），T(λ)=a+b λ 则 f ’(z)=te zt ，T ’(λ)=b令T(1)f (1)T (1)f (1)=⎧⎨''=⎩得t te a b e b ⎧=+⎨=⎩ 解得t a 0b e =⎧⎨=⎩∴ T(λ)=a+b λ=e t λ∴ e At =f(A)=T(A)=aE+bA=t 126e 103114--⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭∴ X=X(t)=e At X(0)=tt t t t 126444e e 1031e 1e 11411e ⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪--=-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭五．（8分） 设},{21αα与},{21ββ是线性空间V 的两个基，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2111P 为从基},{21αα到},{21ββ的过渡矩阵，T 为V 的一个线性变换，T 在基},{21ββ下的矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1011A ，求线性变换T 在基},{21αα下的矩阵B 。
高等工程数学复习题
x - 2 x + xk xk xk +1 = xk - 2 ´ k 2 k =2 2 xk - 4 xk + 1 2 x k - 4 xk + 1
（2） 在 [a, b] 上， 设 f ( x) = 0 与 x 敛于方程 x = j ( x) 的根； 时，有φ(x)∈[a,b] 和 |g＇(x)|≤L≤1，" x∈[a,b]时，由 xk +1 = j ( xk ) （ k = 0,1,2, L ）产生的序列 {xk }收 则当 j ( x) 满足 = j ( x ) 等价， φ(x)于[a,b]一阶导数存在， 当 x∈[a,b]
max{4 6 5} =6 ； A 1 =
é ê1 ê1 21 u33 = a33 - l31u13 - l32 u23 = L = ê 20 ,因此 ê2 ê1 ê ë2
1 5 2
（ 4 ） 已 知
é2 1 1 ù é4ù ê ú ú A = ê 1 -3 2 ú , x = ê ê -6 ú ， 则 ： A ¥ = ê ê ë1 2 2 ú û ë5ú û
s.t
（2）因目标函数为最大值，而线性规划方程符合要求，故不需转换形式，由此得：
min 6000 y1 + 10000 y2 + 4000 y3 + 7000 y4 + 4000 y5 ì5 y1 + y6 ³ 0.75 ï ï7 y2 + y6 ³ 0.79 ï ï10 y1 + y7 ³ 1.15 ï ï9 y2 + y7 ³ 1.38 ï ï12 y + y ³ 1.94 8 ï 2 ï í6 y3 - y6 ³ -0.36 ï ï8 y3 - y7 ³ -0.48 ï ï4 y4 - y6 ³ -0.44 ï ï11y4 - y8 ³ -1.21 ï ï7 y - y ³ -0.05 6 ï 5 ï y ³ 0(i = 1,2L 8) î i
中南大学高等工程数学试卷超全整理(免费提供)
祝大伙儿考试顺利！中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷（开卷）一考试日期：2020年 4 月 日 时刻110分钟注：解答全数写在答题纸上一、填空题(此题24分，每题3分)1. 假设函数1()[,]x C a b ϕ∈,且[,]x a b ∀∈有()[,]x a b ϕ∈和1)('<≤L x ϕ, 那么方程()x x ϕ=在[,]a b 上的解存在唯一，对 任意[]b a x ,0∈为初值由迭代公式)(1n n x x ϕ=+产生的序列{}n x 必然收敛于方程()x x ϕ=在[,]a b 上的解*x ，且有误差估量式*x x k-≤L -1ε； 2. 成立最优化问题数学模型的三要素是： 确信决策变量 、 成立适当的约束条件 、 成立目标函数 ；3．求解无约束非线性最优化问题的最速下降法会产生“锯齿现象”，其缘故是： 最速下降法前后两个搜索方向老是垂直的 ； 4．已知函数)(x f y =过点(,),0,1,2,,i i x y i n =，[,]i x a b ∈，设函数)(x S 是()f x 的三次样条插值函数，那么)(x S 知足的三个条件（1）在每一个子区间[]i i x x ,1-（i=1，2，…，n ）上是不高于三次的多项式；（2）S （x ），S ’（x ），S ’’（x ）在[]b a ,上持续；（3）知足插值条件S （x i ）=y i （i=1，2，…，n ）； 5．随机变量1210~(3,4),(,,,)X N X X X 为样本，X 是样本均值，则~X N （3，0.4）；6．正交表()p q N L n m ⨯中各字母代表的含义为 L 表示正交表，N 表示实验次数，n 、m 表示因子水平数，p 、q 表示实验最多能够安排因素的个数 ；7．线性方程组Ax b =其系数矩阵知足 A=LU ，且分解唯一 时，可对A 进行LU 解，选主元素的Gauss 消元法是为了幸免 采纳绝对值很小的主元素 致使误差传播大，按列选取主元素时第k 步消元的主元a kk 为)1,2,......,1(1-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑+=n i a y a b y iin i j i ij i i 8．取步长0.01h =，用Euler法解'3,[0,1](0)1y x yx y ⎧=-∈⎨=⎩的公式为 。
高等工程数学I 试题(A)(2020秋第二批)
1 a b 0
二、(10 分)
设
A
=
0
1
c
0
，其中
a,b,c
ห้องสมุดไป่ตู้
是实数。
0 0 2 0
0
0
0
1
(1) 求 A 的所有可能 Jordan 标准型；
(2) 给出 A 可对角化条件。
9 i −1
三、(10
分)用盖尔圆定理证明矩阵
A
=
1
i
1
有互异特征值。
i 1 3
四、（10 分）求下列矩阵 A 的 Doolittle 分解 A=LU, 并用 LU 分解法求解方程组 Ax = b ,其中
八、(10 分) 考虑非线性优化问题
min
s.t.
(x1 −1)(x2 +1) x1 − x2 0
。
x2 0
(1) 求 KKT 点；
(2) 判断 KKT 点是否是局部最优解。
=
−1 0
2 −1
a 2
，找出实数
a
的最大范围使得
Gauss-Seidel
迭
代法和 Jacobi 迭代法求解以 A 为系数的方程组同时收敛。
七、(10 分) 用单纯形法求解问题
min 3x1 − 2x2 + x3 s.t. 2x1 − 3x2 + x3 = 1
2x1 + 3x2 8 x1, x2 , x3 0
2 −1 0
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A
=
−1
2
a
0 南−1京2理工大学博士、硕士研究生考试
高等工程数学 I 试题 时间： 120 分钟
姓名
高等工程数学I 试题(A)与答案(2019.11.23)
2019年高等工程数学试题答案一、（15分）设210120003⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，计算()ρA 、225max =x Ax 及()2cond A 。
解：12321012001;3003λλλλλλλ---=--=⇒===-I A ()3ρ=A 2||||()3是正规矩阵ρ∴== A A A 2222515max 5max 5155==∞===x x xAx AA ()2331是正规矩阵∴== A cond A 二、（10分）讲述一下求解矩阵A 的最靠近*λ的特征值的思路、步骤。
答：**对使用逆幂法，求出其按模最小的特征值再加上。
λλ-A I 000u v =≠任取*11()max()k k k k k u A I v u v u λ--⎧=-⎪⎨=⎪⎩*1()max()k k kk k A I u v u v u λ-⎧-=⎪⎨=⎪⎩即**()A I P A I LUλλ--=对进行选列主元的三角分解有1max()k k k kk k k Ly PvUu y u v u -⎧⎪=⎪⎪∴=⎨⎪⎪=⎪⎩1max()max()k ik i u x v x λλ*⎧→⎪⎪⎨⎪→⎪⎩－有三、（18分）已知矩阵200226044-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，求P 使得1-P AP 为A 的Jordan 标准型，同时需要求出A 的Jordan 标准型。
解：200226044λλλλ+-=-----I A ()()23+28λλ=-D 211D D ==()()23+28λλ=-d 211d d ==初等因子：()()2+2 8，λλ-Jordan 标准形：2128-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭J 1123212,[]8令--⎛⎫⎪==-= ⎪ ⎪⎝⎭P AP J P p p p 11121223332[032]512[0]228[011]∴=-∴=-=-=-==TT TAp p p Ap p p p Ap p p 15002131,2201使得-⎛⎫⎪ ⎪⎪∴=-= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭P P AP J四、(20分)已知241111212,212211⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭A b ，（1）求A 的满秩分解；（2）求A +；（3）判断Ax b =是否有解，有解时求极小范数解，无解时求极小范数最小二乘解。
《高等工程数学》12级硕士研究生
国防科技大学12级硕士研究生高等工程数学试题一、填空题（本题共10小题，每小题3分，满分30分. 把答案填在题中的横线上）1． 设1234A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则A 在基： 1011000000001011⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭，，， 下的坐标为________．2． 设12αα，是欧氏空间n V 中两个线性无关向量，记{|,0,1,2}i W i ξαξ=<>==．则dim() W =3． 若矩阵T A =⋅11，其中[1,1,,1]T n =∈1 ，则+=A ．4． 设10i 012i 25A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，则12||||||||A A ⋅= ． 5． 将[2,1,2]T x =变换为[3,0,0]T y =的Householder 矩阵H = ．6． 设1210,,,X X X 是来自总体总体(10,10)N 的样本，样本均值101110i i X X ==∑，则1~X X - ． 7． 设总体X 的概率密度函数为0.75, 1,()0.25, 1,0, x f x x others θθθθ<≤+⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩1210,,,X X X 是来自该总体的样本，则未知参数θ的矩估计量ˆθ= ．8． 对一批电子元件随机抽取5只进行寿命试验，测得寿命的样本平均值116()x h =，样本标准差10()s h =.设寿命服从正态分布2(,)N μσ，则该批电子元件寿命均值μ的置信度为95%的单侧置信区间下限为________. 9． 已知随机向量123[,,]T X x x x =的协方差矩阵为5353225210V -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦且1233)y x x x =+-是X 的一个主成分，则主成分y 的贡献率为 . 10．今有某型号的电池3批，它们分别是A 、B 、C 三个工厂所生产，为了考察其质量，分别从3批电池中各抽取5个测量其寿命值，从3组样本观测值算得方差分析表的部分数据如下：在显著性水平0.05下，因为 ，故可认为三批电池存在显著差异.二（10分）设矩阵311221220A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，问A 是否可以对角化？请说明理由，并写出A 的相似标准形.三（10分）定义2222⨯⨯→ 的线性变换如下：2211, 11TA A A ⨯-⎡⎤=∈⎢⎥-⎣⎦（1） 求T 在基123410010000,,,00001001E E E E ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦下的矩阵； （2） 求值空间()R T 的一个基.四（10分）已知5117A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求k A (k 为正整数)，并计算A e .五（10分）已知矩阵110111002A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦. （1） 求矩阵A 的三角分解； （2） 求矩阵A 的正交三角分解.六（10分）设总体X 服从几何分布，其分布律：1{}(1), 1,2,3,k P X k p p k -==-=其中 (01)p p <<为未知参数，12,,,n X X X 是来自总体X 的样本. （1） 求未知参数1p θ- 的极大似然估计量ˆθ； （2） 证明ˆθ是θ的最小方差无偏估计.七（10分）从城市的A 区中抽取16名小学生测试器智商，平均值为112，修正的样本方差为100，而该城市的B 区中抽取的16名小学生的智商平均值为107，修正的样本方差为64，在显著性水平0.10α=下，可否认为这两组学生来自同一个总体？假设学生的智商服从正态分布.八（10分）设有正态线性回归模型：11234121232312434124222222~(0,),cov(,),,1,2,3,4i i j ij y y y y N i j ββββεβββεβββεββεεσεεδσ=++++⎧⎪=+-+⎪⎪=+-+⎨⎪=-+⎪⎪==⎩其中1234,,,y y y y 是已知的观测值.（1） 求参数1234,,,ββββ的最小二乘估计1234ˆˆˆˆ,,,ββββ； （2） 12ˆˆ(,)ββ与34ˆˆ(,)ββ是否独立？为什么？。
高等工程数学考试题及参考解答(仅供参考)
考试题及参考解答(参考)一、填空题（每小题3分，共15分） 1，设总体X 服从正态分布(0,4)N ，而1215(,,)X X X 是来自X 的样本，则221102211152()X X U X X ++=++服从的分布是_______ .解：(10,5)F ．2，ˆnθ是总体未知参数θ的相合估计量的一个充分条件是_______ . 解：ˆˆlim (), lim Var()0n nn n E θθθ→∞→∞==． 3，分布拟合检验方法有_______ 与____ ___. 解：2χ检验、柯尔莫哥洛夫检验． 4，方差分析的目的是_______ .解：推断各因素对试验结果影响是否显著．5，多元线性回归模型=+Y βX ε中，β的最小二乘估计ˆβ的协方差矩阵ˆβCov()=_______ . 解：1ˆσ-'2Cov(β)=()X X ． 二、单项选择题（每小题3分，共15分）1，设总体~(1,9)X N ，129(,,,)X X X 是X 的样本，则___B___ .（A ）1~(0,1)3X N -； （B ）1~(0,1)1X N -； （C ）1~(0,1)9X N -； （D ~(0,1)N ． 2，若总体2(,)XN μσ，其中2σ已知，当样本容量n 保持不变时，如果置信度1α-减小，则μ的置信区间____B___ .（A ）长度变大； （B ）长度变小； （C ）长度不变； （D ）前述都有可能.3，在假设检验中，就检验结果而言，以下说法正确的是____B___ . （A ）拒绝和接受原假设的理由都是充分的；（B ）拒绝原假设的理由是充分的，接受原假设的理由是不充分的； （C ）拒绝原假设的理由是不充分的，接受原假设的理由是充分的； （D ）拒绝和接受原假设的理由都是不充分的.4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设T S 为总离差平方和，e S 为误差平方和，A S 为效应平方和，则总有___A___ .（A ）T e A S S S =+； （B ）22(1)AS r χσ-；（C ）/(1)(1,)/()A e S r F r n r S n r ----； （D ）A S 与e S 相互独立.5，在多元线性回归分析中，设ˆβ是β的最小二乘估计，ˆˆ=-εY βX 是残差向量，则___B____ . （A ）ˆn E ()=0ε； （B ）1ˆ]σ-''-εX X 2n Cov()=[()I X X ； （C ）ˆˆ1n p '--εε是2σ的无偏估计； （D ）（A ）、（B ）、（C ）都对.三、（本题10分）设总体21(,)XN μσ、22(,)Y N μσ，112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，且两个样本相互独立，X Y 、和22X Y S S 、分别是它们的样本均值和样本方差，证明12(2)X Y t n n +-，其中2221212(1)(1)2X Yn S n S S n n ω-+-=+-.证明：易知221212(,)X YN n n σσμμ--+，(0,1)X Y U N =．由定理可知22112(1)(1)Xn S n χσ--，22222(1)(1)Yn S n χσ--．由独立性和2χ分布的可加性可得222121222(1)(1)(2)XYn S n S V n n χσσ--=++-．由U 与V 得独立性和t 分布的定义可得12(2)X Y t n n =+-．四、（本题10分）设总体X 的概率密度为1, 0,21(;), 1,2(1)0, x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他，其中参数01)θθ<<（ 未知，12()n X X X ，，，是来自总体的一个样本，X 是样本均值，（1）求参数；的矩估计量θθˆ（2）证明24X 不是2θ的无偏估计量．解：（1）101()(,)22(1)42x x E X xf x dx dx dx θθθθθθ+∞-∞==+=+-⎰⎰⎰，令()X E X =，代入上式得到θ的矩估计量为1ˆ22X θ=-． （2）222211141 (4)44[()]4()424E X EX DX EX DX DX n nθθθ⎡⎤==+=++=+++⎢⎥⎣⎦，因为()00D X θ≥>，，所以22(4)E X θ>．故24X 不是2θ的无偏估计量．五、（本题10分）设总体X 服从[0,](0)θθ>上的均匀分布，12(,,)n X X X 是来自总体X 的一个样本，试求参数θ的极大似然估计． 解：X 的密度函数为1,0;(,)0,x f x θθθ≤≤⎧=⎨⎩其他, 似然函数为1,0,1,2,,,()0,n i x i n L θθθ<<=⎧⎪=⎨⎪⎩其它显然0θ>时，()L θ是单调减函数，而{}12max ,,,n x x x θ≥，所以{}12ˆmax ,,,n X X X θ=是θ的极大似然估计．六、（本题10分）设总体X 服从(1,)B p 分布，12(,,)n X X X 为总体的样本，证明X 是参数p 的一个UMVUE ．证明：X 的分布律为1(;)(1),0,1x x f x p p p x -=-=．容易验证(;)f x p 满足正则条件，于是21()ln (;)(1)I p E f x p p p p ⎡⎤∂==⎢⎥∂-⎣⎦．另一方面1(1)1Var()Var()()p p X X n n nI p -===， 即X 得方差达到C-R 下界的无偏估计量，故X 是p 的一个UMVUE ．七、（本题10分）某异常区的磁场强度服从正态分布20(,)N μσ，由以前的观测可知056μ=．现有一台新仪器, 用它对该区进行磁测, 抽测了16个点, 得261, 400x s ==, 问此仪器测出的结果与以往相比是否有明显的差异(α=0.05)．附表如下：t 分布表 χ2分布表解：设0H ：560==μμ．构造检验统计量)15(~0t ns X t μ-=， 确定拒绝域的形式2t t α⎧⎫>⎨⎬⎩⎭．由05.0=α，定出临界值1315.2025.02/==t t α，从而求出拒绝域{}1315.2>t ．而60,16==x n ，从而 ||0.8 2.1315t ===<，接受假设0H ，即认为此仪器测出的结果与以往相比无明显的差异．八、（本题10分）已知两个总体X 与Y 独立，211~(,)X μσ，222~(,)Y μσ，221212, , , μμσσ未知，112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，求2122σσ的置信度为1α-的置信区间.解：设布定理知的样本方差，由抽样分，分别表示总体Y X S S 2221 , []/2121/212(1,1)(1,1)1P F n n F F n n ααα---<<--=-， 则222221211221/2122/212//1(1,1)(1,1)S S S S P F n n F n n αασασ-⎛⎫<<=- ⎪----⎝⎭，所求2221σσ的置信度为α-1的置信区间为 222212121/212/212//, (1,1)(1,1)S S S S F n n F n n αα-⎛⎫ ⎪----⎝⎭． 九、(本题10分)试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤．答：建立模型、参数估计、回归方程检验、回归系数检验、变量剔除、预测。
《高等工程数学》试题+解答
《高等工程数学》试题解答 （工程硕士及进修生用 2003.1）考生注意：1、可不抄题,答案必须写在统一配发的专用答题纸上； 2、本试题可能用到的常数：5752961 64199509750950 . ,. ,....===u u u . 一、填空题 (每空3分,共30分)。
(1) ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=010100001H ；(2) 1)(Cond 2=U ；(3) 7 3 , ；(4) )1 1 (~)()(221221,F X X X X -+；(5) X 2ˆ=θ； (6) 664≥n ；(7) e A SS SS SS +=.二、(10分)[解] 记)(21A A diag A ,=，则21A A ,的特征多项式为2)1()()(21-==λλλA A f f ， ∵ O I A ≠21 -，O I A ≠22 -，∴ 2)1()()(21-==λλλA A m m ， 取)( )(21λλA A m m ,的最小公倍式，得 2)1()(-=λλA m ，故A 的Jordan 标准形为⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 111111 , diag . 三、(10分)[解一] 记⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=πππ021 A ,其特征值为πλ-=1 (二重根),记 则令 ⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=-=-⇒⎩⎨⎧'='=t t a t t t a t t a t a a g f g f 1 0 1 101 1 1 1 c o s sin cos cos sin )()()()(πππππππλλλλ ∴ . ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==t t t t t A f g A g g A g At sin 00cos sin 000sin )()()()()(sin 2 11πππππππ[解二] ∵ J A 2 2001200022ππ∆⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--= ∴ . ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---==t t t t t t t t t t J t At sin 00cos 2sin 000sin )2(2sin 00)2(2cos 2)2(2sin 00022sin )2sin(sin πππππππππππ 四、(10分)[解] 对A 进行行初等变换故⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-==--21 12 121 1 211 121)(11 R L L , 从而A 有Doolittle 分解：五、(10分)[证] 将ω扩充为nV 的一个标准正交基 B } {n ααω,,,2 =则∴ T B =-==} {} {n n T T T ααααωω,,,,,,22 B P 其中} 1 1 1 {,,, -=diagP 为对称和正交矩阵，故T 是对称变换和正交变换。
高等工程数学练习题
1． 设3α,α,α21是三维欧氏空间V 的一组标准正交基，求V 的一个正交变换T ，使得⎪⎩⎪⎨⎧+-=-+=32123211323132313232ααααααααT T 。
2．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=201034011A ，求A 的约当标准形和E A λ-的史密斯标准形。
3．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=3210A ，求A e ，A t e 。
4．利用直接三角分解法解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=++135346523321321321x x x x x x x x x 。
5．设有求积公式⎰++≈20210)2()1()0()(f A f A f A dx x f 试确定系数210,,A A A ，使上述求积公式的代数精度尽量高，并指出该求积公式所具有的代数精度。
6．给定方程(2)1xx e -=，试证明该方程在[2，3]内有且仅有一根，构造一个不动点迭代格式，并证明对任意初值[]02,3x ∈此迭代格式收敛。
7． 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=5211A ，证明：E A A A A B 372919122234+-+-=为可逆矩阵，并把1-B 表示成A 的多项式。
8.已知某种快艇的最大速度2~(,)X N μσ，通过试验得到10个样本，测得其样本平均31=x （单位：m/s ），修正的样本标准差为3*=s 。
（1）求未知参数2,μσ极大似然估计值；（2）求参数2,μσ的置信水平为0.95的置信区间。
注:2622.2)9(975.0=t ，700.2)9(2025.0=χ，023.19)9(2975.0=χ。
9. 已知某批矿砂中的金属含量服从正态分布，进行5次试验，测得金属含量为（%）如下：3.25 3.27 3.24 3.26 3.24在显著性水平0.01α=下，是否可以认为金属含量显著高于3.25%。
注： 0.990.990.9950.995(4) 3.75,(5) 3.36,(4) 4.60,(5) 4.03t t t t ====10．为研究重量x (单位：g)对弹簧长度y （单位：cm ）的影响，对不同重量的６根弹簧进（2）求当8=x 时，Y 的预测值ˆy。
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中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷考试日期：2011年 月 日 时间110分钟注：解答全部写在答题纸上一、填空题(本题24分，每小题3分)（1） 对方程32()2f x x x x =-+，写出其Newton 迭代公式 【注意重根】 ，使得由迭代公式产生的序列{}n x 可以2阶收敛于方程的唯一正根*x ；（2）在[,]a b 上，设0)(=x f 与)(x x ϕ=等价，则当)(x ϕ满足 ， 和 时，由)(1k k x x ϕ=+（L ,2,1,0=k ）产生的序列{}k x 收敛于方程)(x x ϕ=的根；（3）用Doolittle 分解法求方程：123211413261225x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦则：L = ，U = ，解x = ；（4）已知 2114132,61225A x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 则：A ∞= ；1A = ；1x = 。
（5）已知)(x f y =在区间],[b a 上通过点(,),0,1,2,,i i x y i n =，则其三次样条插值函数)(x S 是满足 ， ， ；（6）设有线性回归模型1112122312322y y y βεββεββε=+⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩，其中2~(0,)(1,2,3)i N i εσ= 且相互独立，写出参数12,ββ的最小二乘估计 。
（7）在多元线性回归建模过程中，需要考虑自变量的选择问题。
写出三种常用的自变量的选取方法 。
（8）影响数学模型数值求解结果的误差有： ， ， 。
二、（本题8分）已知)(x f 的数据如表：试求三次Newton 插值多项式3()N x ，求(5)f 的近似值，并给出相应的误差估计式。
三、（本题10分）引入人工变量利用大M 法求解下面的线性规划（要求写出计算过程）：12121212max 34..240.510,Z x x s tx x x x x x =++≤-≥≥≥四、（本题8分）某厂生产甲、乙、丙三种产品，都分别经A,B 两道工序加工，A 工序在设备1A 或2A 上完成，B 工序在1B ，2B ，3B 三种设备上完成。
已知产品甲可在A ，B 任何一种设备上加工；产品乙可在任何规格的A 设备上加工，但完成B 工序时，只能在1B 设备上加工；产品丙只能在2A 与2B 设备上加工。
加工单位产品所需要工序时间及其他数据见下表。
（1）建立线性优化模型，安排使该厂获利最大的最优生产计划（不要求计算出结果）； （2）写出所建立的模型的对偶形式。
五、（本题12分）一种生产降血压药品的生产厂家声称，他们生产的一种降压药服用一周后能使血压明显降低的效率可以达到80%，今在高血压的人群中随机抽取了200人服用此药品，一周后有148人血压有明显降低，试问生产厂家的说法是否真实)01.0(=α？ 六、（本题10分）设有数值求积公式3012 3()(2)(0)(2)f x dx A f A f A f -=-++⎰，试确定012,,A A A ，使该数值积分公式有尽量高的代数精度，并确定其代数精度为多少。
七、（本题12分）影响水稻产量的因素有秧龄、每亩基本苗数和氮肥，其水平如下表若考虑之间的交互作用，采用)2(8L 安排试验，并按秧龄、每亩基本苗数、氮肥分别放在表的第一、二、四列，解答下列问题：（1）它们的交互作用分别位于哪一列？（2）若按这种表头作试验并测得产量为83.4, 84.0, 87.3, 84.8, 87.3, 88.0, 92.3, 90.4，试寻找较好的生产条件。
八、（本题16分）设方程组为12329112125883213x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（1）对方程组进行适当调整，使得用雅可比迭代方法和高斯—塞德尔迭代法求解时都收敛； （2）写出对应的高斯－塞德尔迭代格式的分量形式； （3）取初始向量(0)(0,0,0)T x=，用雅可比迭代方法求准确解*x 的近似解)1(+k x，使(1)*310k x x +-∞-≤ 至少需要迭代多少次？中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷（开卷）考试日期：2010年 月 日 时间110分钟注：解答全部写在答题纸上一、填空题(本题24分，每小题3分) 1. 若方程0)(=x f ，可以表成)(x x ϕ=，那么)(x ϕ满足 ；则由迭代公式)(1n n x x ϕ=+产生的序列{}n x 一定收敛于方程0)(=x f 的根。
2. 已知二元非线性函数221122120()24,(2,2)Tf x x x x x x x X =-++-=，该函数从X 0 出发的最速下降方向为 ；3．已知二元非线性函数221122120()24,(2,2)Tf x x x x x x x X =-++-=，该函数从X 0 出发的Newton方向为 ； 4．已知)(x f y =在区间],[b a 上通过点(,),0,1,2,,i i x y i n =，则其三次样条插值函数)(x S 是满足 ； 5．设某个假设检验问题的拒绝域为W ，且当原假设H 0成立时，样本值12(,,,)n X X X 落入W 的概率为0.15，则犯第一类错误的概率为_________ ______；6．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈 愈好，而置信区间的长度愈 愈好。
但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是 ；7．取步长2.0=h ，解]1,0[,1)0(2'∈⎩⎨⎧=-=x y yx y 的Euler 法公式为： ；8．对实际问题进行建模求解时可能出现的误差有： 。
二、（本题8分）某钢铁公司生产一种合金，要求的成分是：锡不少于28%，锌不多于15%，铅恰好10%，镍介于35%到55%之间，不允许有其他成分。
钢铁公司拟从五种不同级别的矿石中进行冶炼，每种矿物的成分含量和价格如下表。
矿石杂质在冶炼中废弃，并假设矿石在冶炼过程中金属含量没有发生变化。
（1）建立线性优化模型，安排最优矿物冶炼方案，使每吨合金产品成本最低。
（不要求计算出结果）； （2）写出所建立的模型的对偶形式。
三、（本题8分）已知)(x f 的数据如表：试求三次插值多项式P(x)，给出相应的误差估计式，并求f (2)的估计值。
四、（本题12分）为了考察硝酸钠NaNO 3的可容性温度之间的关系，对一系列不同的温度（C 0），观察它在100的水中溶解的NaNO 3的重量（g ），得观察结果如下：温度x 20 30 33 40 15 13 26 38 35 43 重量y 7 9 8 11 5 4 8 10 9 10（1） 求Y 对X 的线性回归方程。
（结果保留小数点后两位。
）293101=∑=i ix,81101=∑=i i y ,∑==1012574i i i y x ,95771012=∑=i ix,7011012=∑=i i y（2）对回归方程的显著性进行检验。
（取显著水平为0.05，0.01），0.05(1,8)=5.32F 0.01(1,8)11.26F =，0.050.01(8) 1.8595(8) 2.8965t t ==。
五、（本题10分）利用单纯形方法求解下面的线性规划（要求写出计算过程）：12121212max 300400..2401.5300,Z x x s tx x x x x x =++≤+≤≥≥六、（本题10分）试确定求积公式⎰--++-≈h h h f A f A h f A dx x f 101)()0()()(中的待定系数，使其代数精度尽量高。
七、（本题12分）设有4种治疗荨麻疹的药，要比较它们的疗效。
假定将24个病人分成4组，每组6人，令同组病人使用一种药，并记录病人从使用药物开始到痊愈所需时间，得到下面的记录：试检验不同药物对病人的痊愈时间有无差别？（05.0=α，0.05(3,20) 3.10F =） 八、（本题16分）设方程组为⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-=+-7989783213121x x x x x x x（1）对方程组进行适当调整，使得用高斯—塞德尔迭代法求解时收敛；（2）写出对应的高斯－塞德尔迭代格式； （3）取初始向量T x )0,0,0()0(=，求k 次迭代近似解()k x ，使3)()1(10-∞+≤-k k x x 。
中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷（开卷）考试日期：2010年 4 月 日 时间110分钟注：解答全部写在答题纸上一、填空题(本题24分，每小题3分)1. 若函数1()[,]x C a b ϕ∈,且[,]x a b ∀∈有()[,]x a b ϕ∈和 , 则方程()x x ϕ=在[,]a b 上的解存在唯一，对 为初值由迭代公式)(1n n x x ϕ=+产生的序列{}n x 一定收敛于方程()x x ϕ=在[,]a b 上的解*x ，且有误差估计式*x x k-≤ ； 2. 建立最优化问题数学模型的三要素是： 、 、 ； 3．求解无约束非线性最优化问题的最速下降法会产生“锯齿现象”，其原因是：； 4．已知函数)(x f y =过点(,),0,1,2,,i i x y i n =，[,]i x a b ∈，设函数)(x S 是()f x 的三次样条插值函数，则)(x S 满足的三个条件是 ；5．随机变量1210~(3,4),(,,,)X N X X X 为样本，X 是样本均值，则~X ；6．正交表()p q N L n m ⨯中各字母代表的含义为 ；7．线性方程组Ax b =其系数矩阵满足 时，可对A 进行LU 解，选主元素的Gauss 消元法是为了避免 导致误差传播大，按列选取主元素时第k 步消元的主元kk a 为 ；8．取步长0.01h =，用Euler 法解'3,[0,1](0)1y x yx y ⎧=-∈⎨=⎩的公式为 。
二、（本题6分）某汽车厂三种汽车：微型轿车、中级轿车和高级轿车。
每种轿车需要的资源和销售的利润如下表。
为达到经济规模，每种汽车的月产量必须达到一定数量时才可进行生产。
工厂规定的经济规模为微型车1500辆，中级车1200辆，高级车1000辆，请建立使该厂的利润最大的生产计划数学模型。
三、（本题10分）已知)(x f 的数据如表：用Newton 插值法求)(x f 的三次插值多项式3()N x ，计算(6)f 的近似值，给出误差估计式。
四、（本题12分）为了研究小白鼠在接种不同菌型伤寒杆菌后的存活日数有没有差异，现试验了在接种三种不同菌型伤寒杆菌（记为123,,A A A 并假设2~(,)i i A Nμσ，1,2,3i =，）后的存活日数，得到的数据(1) 试把上述方差分析表补充完整（请在答卷上画表填上你的答案）(2) 小白鼠在接种不同菌型伤寒杆菌后的存活日数有无显著差异？（取0.05α=，0.05(2,12) 3.89F =）五、（本题12分）用表格形式单纯形法求解1231231213132max 2086832250250..43150,0,Z s t x x x x x x x x x x x x x =++++≤⎧⎪+≤⎪⎪⎨+≤⎪⎪≥⎪⎩ 六、（本题10分）试确定求积公式1012 1()(1)(0)(1)f x dx A f A f Af -≈-++⎰中的待定系数，使其代数精度尽量高。