2020届南通市海安高级中学高三下学期阶段考试数学试题

5．在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 x2 y2 1 的右焦点与抛物线 y2 2 px p 0 的焦点重合，则 p 的值为 _______.
【答案】 2 2
【解析】 求出双曲线的右焦点 【详解】
2,0
p
,令
2
2 即可求出 p 的值 .
解 :双曲线 c2 1 1 2 ,即右焦点为 2,0 .即抛物线 y2 2 px p 0 的焦点为
【解析】 (1)求出 | a |,| b | ,由 | a | | b | 可得 | sin x |
1 ,结合 x
[0,
] 可求出所求 .
2
rr (2) a b sin 2x
6
1 ,结合 x [0, ] 和正弦函数的图像 ,即可分析出最值及取得
解 : S6 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a1 a2 a3 a1q3 a2q3 a3 q3 S3 q3 1
Q S6 9S3 S3 q3 1 9S3 解得 , q = 2 .所以 a3 a1q 2 4 .
故答案为 :4.
【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式 ,考查了等比数列的前 n 项和 .等比数列问题 ,一般可采
x) ， x
5 ,t
t
5
既有最小值也有最大值，
则实数 t
6
6
3 13
5
【答案】
t
或t
2
6
2
3 【解析】由诱导公式可知 y cos
2
x sin x ,令 m
大值为
1
和 1 两种情况 ,进而求出
t
的取值范围
.
2
【详解】
x ,结合函数图像 ,讨论最
3 解 : y cos
2
x sin x 令 m
x .则由 x
求出球的半径 .对于球的问题 ,一般都要首先明确半径的大小 .
8．已知等比数列 an 的前 n 项的和为 Sn , a1 1 , S6 9S3 ,则 a3 的值为 _______.
【答案】 4
【解析】 由 S6 9S3 可得 S3 q3 1 9S3 ,进而可求出公比的值 ,即可求 a3 的值 .
【详解】
用基本量法进行求解 ,但是这种方法计算量比较大 .因此 ,对于等比数列的问题 ,一般首先
考虑利用性质简化计算 .
ur uur
r ur uur r ur uur
9．已知 e1 ， e2 是夹角为 60o 的两个单位向量， a 3e1 2e2 ， b 2e1 ke2 k R ，
r rr 且 a ( a b) 8 则 k 的值为 _______.
4．如图，是一个算法的流程图，则输出的 b 的值为 _______.
【答案】 4
【解析】 根据流程框图进行循环计算 ,跳出循环时 b 的值即为所求 .
【详解】
解 :第一次循环 : b 2, a 2 ;第二次循环 : b 4, a 3.此时 a 3 不成立
故答案为 :4. 【点睛】 本题考查了程序框图 .对于循环结构是常考的题型 ,一般做法为根据框图 ,计算每次循环 的结果 ,注意 ,临界即跳出循环时的计算结果 .通常循环框图常和数列求和综合到一块 .
BC BAC ,可得
6
6 BC
13 6
15 BC
,进而
1
13 15
【详解】
解 :由题意知 tan BAD
BC
BC tan DAC
AB CD 6
BAC
6 BC
BC 6
tan DAC tan BAC 1 tan DAC tan BAC
13 16
15 BC
,整理得
13 15
2BC 2
39BC
180
0 ,解得 BC 12 或 BC
2020 届江苏省南通市海安高级中学高三下学期阶段考试数学 试题
一、填空题
1．已知集合 A
1,0,3 ， B {1,2,3} ，则 A I B _________.
【答案】 {3}
【解析】 由交集的定义 A B {3} ，应填答案 {3} ．
2．已知复数 z 满足 1 i z 2 i ,则复数 z 的模为 _______.
14．已知函数 f1( x) x 1 ， fk 1 (x) f1 ( f k ( x)) ， k 5 ， k N .若函数
y fk ( x) ln x 恰有 3 个不同的零点，则 k 的取值集合为 _______.
【答案】 {3,5}
【解析】 由题意写出 f1 ( x), f 2( x), f3( x), f4 (x), f 5( x) 的解析式 ,根据图像的平移变换 , 分别画出它们的图像 ,判断哪个函数图像与 y ln x 图像有三个交点 ,即为所求 .
Q EA 与 CB 平行
EA ED EA r CE
即
EA CE r
CB CD
r
r
则 AEC 的周长 AC AE CE AC r 2 3 5 .
故答案为 :5. 【点睛】 本题考查了直线过定点的问题 ,考查了圆的标准方程 .本题的关键在于 ,由平行得比例关 系 .若联立直线与圆的方程 ,求解各点的坐标 ,这种思路也可以求出最后答案 ,但计算量太 大.
【答案】 6 7
rrr 【解析】 由题意知 a a b
rr
rr rr
3e1 2 e2 3e1 2e2 2e1 ke2 8 ,进而可求 k 的
值.
【详解】
rrr 解:a a b
r r r r rr 3e1 2e2 3e1 2e2 2e1 ke2
rrr
r
3e1 2e2 e1 2 k e2
3er12
rr 3k 8 e1 e2
m＝ C32
C
2 2
＝
4
，
∴这 2 只球颜色相同的概率为 故答案为： 0.4．
p＝ m n
4
=0.4．
10
【点睛】
本题考查古典概型概率的求法 ,考查运算求解能力，是基础题．
7．现有一个橡皮泥制作的圆锥，底面半径为 的球，则该球的表面积为 _______.
1，高为 4.若将它制作成一个总体积不变
【答案】 4
计算 .
3．某人 5 次上班途中所用的时间（单位：分钟）分别为
12，8， 10，11，9.则这组数据
的平均数为 _______.
【答案】 10
【解析】 代入求解平均数的公式计算即可 .
【详解】
1
解 :平均数
12 8 10 11 9 10 .
5
故答案为 :10.
【点睛】 本题考查了平均数的计算 .易错点为计算出错 .
12．设曲线 y m m 0 在 x t ,t x+1
距离为 _______.
1处的切线为 l ，则点 P 2t, 1 到 l 的最大
【答案】 2
【解析】 求出切线方程为 mx
t
2
1y
2mt
m
0 ,从而则 P 2t, 1
到 l 的距离
可用 t 表示出来 ,结合基本不等式即可求解 .
【详解】
解: y'
m
2
kl
x1
m
m
t
2
1
则切线方程为
y
t
1
m 2x t
t1
2
整理得 mx t 1 y 2mt m 0 .则 P 2t, 1 到 l 的距离
2
2
2mt t 1 2mt m
d2
2
4
m t1
4
t1
m2
2m t
2
1
m2
4
t1
1
2m
2
t1
m2
2
t1
2
Qt 1
m2
2
t1
2
2m ,当且仅当 t 1
m2 2即t 1
t1
10．在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C : x2 y2 2 x 8 0 ,直线
l : y k x 1 , k R 过定点 A ，与圆 C 交于点 B, D ,过点 A 作 BC 的平行线交 CD 于
点 E ,则 AEC 的周长为 _______.
【答案】 5
【解析】由题意得 A(1,0 ) ,圆心为 C
m 时等号成立
d2 1 1 2 即 d 2.
故答案为 : 2 .
【点睛】
本题考查了切线的求解 ,考查了点到直线的距离 ,考查了基本不等式 .求最值常见的思路
有导数法、函数图像法、函数单调性法、基本不等式法
.本题的难点是对距离进行变形
整理 .
13．已知函数 y cos(3 2
的取值范围是 _______.
5
5
,t t
可得
6
6
5
m
,t
6
则 y sin m, m
5 ,t 6
.要使其既有最小值又有最大值
13
若最大值为
则
t
22
13
3 13
,解得 t
6
2
6
若最大值为 1,则 t
5
5
3 13
5
,解得 t .综上所述 :
t
或t .
2
2
2
6
2
3 13
5
故答案为 :
t
或t .
2
6
2
【点睛】 本题考查了诱导公式 ,考查了三角函数最值问题 .本题的易错点是漏解 ,只考虑了最大值 为 1 的情况 .本题的难点是分界点能否取得的判断 .
15 .Q BC
CD
9，
BC 12
2
故答案为 :12.
【点睛】
本题考查了三角恒等变换的应用 .难点在于已知正切值的使用 .有的同学可能由正切值求
出正弦和余弦 ,结合正弦定理和余弦定理列出方程进行求解 .由于本题所给的正切值求出
的正弦余弦值数比较大 ,因此这种思路计算量较大 ,效率不高而且容易做错 .
【点睛】
本题考查了函数的图像变换 ,考查了函数的零点 .若函数 f ( x) g( x) h(x) ,则函数 f ( x) 的零点个数就等同于函数 g( x), h( x) 图像的交点个数 .本题的难点是画含绝对值 的函数图像 .对于 y f ( x) ,首先画出 y f ( x) 的图像 ,然后将 x 轴下方的图像向上翻 折即可 ;对于 y f ( x ) 的图像 ,首先画出 y f ( x) 的图像 ,然后将 y 轴右侧向左翻折 .
1,0 ,半径为 r
Fra Baidu bibliotek
3 ,由平行可知 EA
ED
,化简后
CB CD
可得 EA CE r ,进而可求三角形的周长 .
【详解】
解 :当 x 1 时 , y 0 与 k 无关 ,则 A(1,0 ) .圆 C : x2 y2 2 x 8
2
x1
y2
9
所以 ,圆的圆心为 C 1,0 ,半径为 r 3 .则由题意知 , ED r CE
【详解】
解 :由题意知 f1 (x) x 1 , f 2( x) x 1 1 , f3 (x) x 1 1 1 , f4( x) x 1 1 1 1 , f5( x) x 1 1 1 1 1 .则其函数图像为
由图像可知 ,当 k 3或 5 时, 函数 y f k ( x) ln x 恰有 3 个不同的零点 . 故答案为 : {3,5} .
2 2+k er22
3
3k 8 cos60o 2 2 k
7 k 11 8 .
2
解得 k
6
.
7
故答案为 :
6
.
7
【点睛】
本题考查了平面向量的数量积 .对于向量的数量积问题 ,若题目中无向量的坐标 ,则在求
数量积时 ,一般套用定义求解 ; 若题目中已知了向量的坐标 ,求数量积时一般代入数量积
的坐标公式 .
【解析】 求出圆锥的体积 ,则由题意 ,设球的半径为 r ,可得 4 r 3 3
而可求球的表面积 .
4
,求出球的半径 ,进
3
【详解】
1
解 :由题意知 ,圆锥的体积为
3
12
4
4 .设球的半径为 r
3
4
则
r3
4
,解得 r 1 .所以表面积为 4 r 2 4 .
3
3
故答案为 : 4 .
【点睛】
本题考查了圆锥的体积 ,考查了球的体积 ,考查了球的表面积 .结合方程的思想 ,根据题意
2,0
p
所以
2
2 ,解得 p 2 2 .
故答案为 : 2 2 .
【点睛】 本题考查了双曲线的标准方程 ,考查了抛物线的方程 .易错点是误把 p 当做了抛物线焦 点的横坐标 .
6．已知一个口袋中有形状、大小都相同的
5 只球，其中 3 只白球， 2 只红球．从
中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色相同的概率为 ____ ．
【答案】 10 2
【解析】 由已知得 z
2i ,将其整理成 z
1
3 i ,即可求出模 .
1i
22
【详解】
解 :由题意知 , z 2 i 1i
2i 1i 1i 1i
1 3i 1 3 i 2 22
所以 z
2
2
1
3
10
.
2
2
2
故答案为 : 10 . 2
【点睛】
本题考查了复数的运算 ,考查了复数的模 .本题的易错点在于化简时 ,错把 i2 当成了 1 来
【答案】 0.4 【解析】 从中一次随机摸 2 只球， 写出基本事件总数 n 和这 2 只球颜色相同包含的基本
事件数 m，由古典概型概率公式计算即可．
【详解】
一个口袋中有形状、大小都相同的 5 只球，其中 3 只白球， 2 只红球．
从中一次随机摸出
2 只球，基本事件总数
n＝
C
2 5
＝ 10 ，
这 2 只球颜色相同包含的基本事件个数
二、解答题
15．在平面直角坐标系 xOy 中，设向量
r
r
a 3sin x,sin x , b cos x,sin x , x 0, .
rr （ 1）若 a b ，求 x 的值；
rr （ 2）求 a b 的最大值及取得最大值时 x 的值 .
【答案】 (1)
5
3
或 ;(2)最大值 , x
.
66
2
3
rr
rr
11．如图，已知两座建筑物 AB, CD 的高度分别为 15m 和 9m，且 AB BC CD ，从
6
建筑物 AB 的顶部 A 看建筑物 CD 的张角为 CAD ，测得 tan CAD
，则 B,C 间
13
的距离 _______m.
【答案】 12
BC
【解析】 由 tan BAD
tan DAC
6
可求 B,C 间的距离 .