七年级数学下册《利用整体思想解题》讲义 (新版)苏科
苏科版数学七年级下册 解一元一次不等式易错题专讲、方法点拨(含解析)
解一元一次不等式易错题专讲知识点概述：解一元一次不等式属于初中基础知识点，中考所占分值3分（计算题），解法与一元一次方程类似，只有最后一步系数化为1时，注意当系数为负时，不等号注意变号一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1考点： 1.解一元一次不等式；2.数形结合（不等式与数轴相结合）3.整体思想的应用易错点： 1.系数为负时，要变号2.去分母时，常数项、整式项不要漏乘【典例演练】1.【答案】a＜1【解析】因为不等号的符号改变，所以x前系数为负，则a-1＜0，a＜1.思路点拨：本题考查不等式的变号问题，所有不等式求解的最后一步都会遇到，请时刻注意判断是否变号。
2.【答案】x＞2方法二：因为分母为正数，结果为正数，所以分子只能为正，所以直接列x-2＞0，解得x＞2.思路点拨：法二可以提升解题速度，对于计算薄弱的学生可以避免计算出错，同类型问题非正数，非负数等，都可用此方法进行解答3.【答案】 x≥-2【解析】（x＋2）-3×3x≤18x＋2-9x≤18-8x≤16x≥-2思路点拨：本类型一元一次不等式易错点在于不等号右侧的6，在去分母的时候需要同乘3 4.若不等式2x＜4的解都能使关于x的一次不等式（a-1）x＜a＋5成立，则a 的取值范围【答案】1＜a≤7【解析】∵2x＜4∴x＜2……①∵2x＜4的解都能使（a-1）x＜a＋5成立∴a+5≥2a-2-a≥-7a≤7∵a＞1，∴1＜a≤7思路点拨：1.一个不等式的解满足另一个不等式，注意哪个不等式的解的范围大2.不等式的系数有代数式时，注意通过题目先进行判断，不要盲目分类讨论3.已经得出的范围，在结果上不要忘了加上，如本题中a＞1，结果不要漏了5.【答案】6＜m≤7【解析】∵x-m＜0∴x ＜m ∵7-2x ≤1 ∴x ≥3 ∵整数解共有4个，为3，4,5,6∴结合数轴考虑如图，右侧空心点应该大于6，小于等于7则6＜m ≤7思路点拨：1.数形结合2.端点判断6. 当m 为何值时，关于x 的方程4152435-=-m m x 的解是非负数。
七年级数学下册 10.3 解二元一次方程组 用整体思想解二元一次方程组素材 (新版)苏科版
用整体思想解二元一次方程组解二元一次方程组主要是通过消元（代入消元法、加减消元法），化二元一次方程组为一元一次方程，然后求出二元一次方程组的解，在运用消元法解二元一次方程组时，还要注重整体思想的运用，以探求消元捷径，提高解题速度和准确性．一、代入消元法中的整体思想1、 直接整体代入例1 解方程组⎩⎨⎧=+=+531542153y x y x分析：方程组中的系数成倍数关系，适宜把①中的整体代入②，先求出x 的值，再求出y 的值．解：由①得5y=21-3x ③把③代入②，得4x+3（21-3x ）=534x+63-9x=53，-5x=-10 x=2把x=2代入③，得5y=21-6 y=3∴原方程组的解是⎩⎨⎧==32y x2、 变形后整体代入例2 解方程组⎩⎨⎧=+=+876254y x y x 分析：由①得4x=2-5y ，把4x 看成整体代入②，式较简捷，解：由①得4x=2-5 ③把③代入②得2x+2-5y+7y=8，化简得x=3-y ④，把④代入①得4（3-y ）+5y=2，解得y=-10，把y=-10代入①得4x-50=2，解得x=13 ∴原方程组的解是⎩⎨⎧-==1013y x二、加减消元法中的整体思想3、 直接整体加减例3 解方程组⎩⎨⎧=+=+11541378y x y x① ②① ② ① ②分析：方程组中x 、y 的系数和相等，可以把两式相加减解：①+②得12x+12y=24，即x+y=2 ③①-②得4x+2y=2，即2x+y=1 ④④-③得x=-1，把x=-1代入③得y=3∴原方程组的解是⎩⎨⎧=-=31y x 4、 变形后整体加减例4 解方程组⎩⎨⎧+=++=--+y x y x y x y x 3153)(43)(3)(2 分析：方程组中的系数成整数倍，②可以通过变形构造出x-y ，且x-y 的系数互为相反数，可以把两式相互加减解：由②得4（x+y ）+3（x-y ）=15 ③，①+③得x+y=3 ④，把④代入①，得x-y=1 ⑤④+⑤得x=2，④-⑤得y=1∴原方程组的解是⎩⎨⎧==12y x三、由整体思想构造方程组例5 如果2x+3y+z=130，3x+5y+z=180，求z y x yx +++2的值．解：将x+2y 、x+y+z 看作整体，已知条件变形为⎩⎨⎧=++++=++++180)()2(2130)()2(z y x y x z y x y x 解得⎩⎨⎧=++=+80502z y x y x 则z y x y x +++2=85①②。
七年级数学下册知识讲义-9完全平方公式-苏科版
【考点精讲】1. 完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2，a2－2ab＋b2＝（a－b）2，即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。
这两个等式是完全平方式，它们由左到右的变形是多项式的因式分解，我们可以运用这个公式对某些多项式进行因式分解，这种方法叫做运用完全平方公式法。
2. 完全平方公式的特点：等式的左边是三项式，其中有两项同号，且能写成两数平方和的形式，另一项是这两数乘积的2倍；等式右边是这两数和（或差）的平方。
其中三项式可用口诀来记忆：首平方尾平方，二数乘积在中央。
【典例精析】例题1 把下列各式因式分解：（1）9x2＋12xy＋4y2；（2）4a2－36ab＋81b2；（3）25x4＋10x2＋1；（4）4（m＋n）2－28（m＋n）＋49。
思路导航：本例中的四个题目直接按完全平方公式分解因式即可，但一定要分清公式中的a，b，并适当地改写成公式的形式。
答案：（1）原式＝（3x）2＋2·3x·2y＋（2y）2＝（3x＋2y）2；（2）原式＝（2a）2－2·2a·9b＋（9b）2＝（2a－9b）2；（3）原式＝（5x2）2＋2·5x2·1＋12＝（5x2＋1）2；（4）原式＝[2（m＋n）]2－2·2（m＋n）·7＋72＝[2（m＋n）－7]2＝（2m＋2n－7）2。
点评：通过本例，我们知道运用完全平方公式法因式分解的步骤：一变（将三项式转化成“首平方尾平方，乘积2倍在中央”的形式）、二套（直接套用完全平方公式进行分解因式分解）。
另外，第（4）题要利用整体思想，即公式中的a相当于2（m＋n），并注意结果的化简。
例题2 （1）简便计算：20132－4026×2014＋20142；（2）已知实数a、b、c满足a2＋b2＋c2＝6a＋8b＋12c－61，求（a＋b－c）2014的值。
七年级数学培优专题：整体思想
目 录
• 整体思想概述 • 整体思想的基本概念 • 整体思想在解题中的应用 • 整体思想的培养与提高 • 整体思想在数学竞赛中的应用 • 总结与展望
01
整体思想概述
整体思想的定义
01
整体思想是指从整体的角度出发 ，将多个部分或要素视为一个整 体，对其进行全面、系统的分析 和处理。
促进知识整合
整体思想有助于学生将所 学知识进行整合，形成完 整的知识体系，加深对数 学本质的理解。
整体思想在数学中的应用
代数问题
在代数问题中，整体思想常用于因式 分解、方程组的求解等，通过将问题 看作一个整体，简化计算过程。
几何问题
函数问题
在函数问题中，整体思想常用于分析 函数的性质和图像，通过从整体角度 把握函数的规律，更好地理解函数的 本质。
03
整体思想在解题中的应 用
代数题中的应用
代数方程组的求解
通过将方程组视为一个整 体，利用消元法或代入法 求解，避免了逐一解每个 方程的繁琐过程。
代数式的化简
将复杂的代数式视为一个 整体，运用合并同类项、 提取公因式等技巧进行化 简，简化了解题过程。
代数式的变形
通过观察代数式的整体结 构，运用整体代换、整体 约简等方法，快速找到解 题思路。
06
总结与展望
总结整体思想的内容与意义
整体思想概述
整体思想是一种重要的数学思维方式 ，它强调从整体的角度看待问题，通 过全面分析、综合运用知识点，寻找 解题的突破口。
整体思想的意义
整体思想有助于培养学生的逻辑思维 、创新思维和问题解决能力，对于提 高学生的数学素养和应对复杂问题的 能力具有重要意义。
对未来学习的展望
代数式的值与合并同类项(3种题型)-2023年新七年级数学(苏科版)(解析版)
代数式的值与合并同类项（3种题型）1.会求代数式的值，会利用求代数式的值解决较简单的实际问题。
2.掌握同类项及合并同类项的概念，并能熟练进行合并；3.掌握同类项的有关应用；4.体会整体思想即换元的思想的应用．一．代数式求值（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；二．同类项（1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．同类项中所含字母可以看成是数字、单项式、多项式等．（2）注意事项：①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可；②同类项与系数的大小无关；③同类项与它们所含的字母顺序无关；④所有常数项都是同类项．三．合并同类项（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．（3）合并同类项时要注意以下三点：①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．一．代数式求值（共8小题）1．（2022秋•连云港期末）当x＝﹣3时，代数式2x+5的值是（）A．﹣7B．﹣2C．﹣1D．11【分析】将x＝﹣3，代入2x+5进行计算即可．【解答】解：当x＝﹣3时，2x+5＝2×（﹣3）+5＝﹣1，故选：C．【点评】本题考查代数式求值．属于基础题型，正确的进行运算，是解题的关键．2．（2022秋•姑苏区校级期末）已知m，n满足3m﹣4n+1＝0，则代数式9m﹣12n﹣4的值为（）A．0B．﹣1C．﹣7D．﹣10【分析】将代数式适当变形后，利用整体代入的方法解答即可．【解答】解：∵3m﹣4n+1＝0，∴3m﹣4n＝﹣1．∴原式＝3（3m﹣4n）﹣4＝3×（﹣1）﹣4＝﹣3﹣4＝﹣7．故选：C．【点评】本题主要考查了求代数式的值，将代数式适当变形后，利用整体代入的方法解答是解题的关键．3．（2022秋•高邮市期末）如图，按图中的程序进行计算．（1）当输入的x＝30时，输出的数为；当输入的x＝﹣16时，输出的数为；（2）若输出的数为﹣52时，求输入的整数x的值．【分析】（1）根据图中的程进行列式计算，即可求解；（2）当输出的数为﹣52时，分两种情况进行讨论．【解答】解：（1）根据运算程序可知：当输入的x＝30时，得：|30|×（﹣2）＝﹣60＜﹣45，∴输入的x＝30时，输出的数为﹣60；根据运算程序可知：当输入的x＝﹣16时，得：|﹣16|×（﹣2）＝﹣32＞﹣45；再输入x＝﹣32，得：|﹣32|×（﹣2）＝﹣64＜﹣45，∴输入的x＝﹣32时，输出的数为﹣64；故答案为：﹣60，﹣64；（2）当输出的数为﹣52时，分两种情况：第一种情况：|x|×（﹣2）＝﹣52，解得：x＝±26；第二种情况：当第一次计算结果为﹣26时，再循环一次输入的结果为﹣52，则|x|×（﹣2）＝﹣26，解得：x＝±13，综上所述，输出的数为﹣52时，求输入的整数x的值为：x＝±26或±13．【点评】本题考查程序流程图与有理数的计算、绝对值，解题的关键是掌握有理数的运算法则和解绝对值方程．4．（2022秋•海安市期末）已知3x2﹣4xy+7y2＝2m﹣17，x2+5xy+6y2＝m+12，则式子x2﹣7xy﹣y2的值为（）A．﹣41B．﹣C．D．【分析】先利用等式的性质，再整体求解．【解答】解：第一个等式减去第二个等式的2倍，得x2﹣14xy﹣y2＝﹣41，∴x2﹣7xy﹣y2＝﹣，故选：B．【点评】本题考查了代数式求值，整体求解是解题的关键．5．（2022秋•宝应县期末）“十一”期间，小明和父母一起开车到距家300千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油60升，当行驶100千米时，发现油箱余油量为50升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）．（1）该车平均每千米的耗油量是升，行驶x千米时的剩余油量是升（用含有x的代数式表示）；（2）当x＝260千米时，求剩余油量；（3）当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，试问汽车最多行驶多少千米就自动报警？请说明理由．【分析】（1）单位耗油量＝耗油量÷行驶里程，剩余油量＝油箱内油的升数﹣行驶路程的耗油量；（2）把x＝260千米代入剩余油量公式，计算即可；（3）把剩余油量3代入（2）中求出x即可．【解答】解：（1）（60﹣50）÷100＝0.1（升）．行驶路程与耗油量的关系为：（0.1x）升．故答案为：0.1，（60﹣0.1x）．（2）当x＝260千米时，60﹣0.1×260＝60﹣26＝34（升）．答：剩余油量为34升．（3）由题意可知：60﹣0.1x＜3，解得：x＞570．故行驶距离大于570千米时会自动报警．【点评】本题考查了列代数式、求代数式的值．题目难度不大，列出代数式是关键．6．（2022秋•苏州期末）我校七年级（3）班数学活动小组的同学用纸板制作长方体包装盒，其平面展开图和相关尺寸如下，其中阴影部分为内部粘贴角料（单位：毫米）．（1）此长方体包装盒的体积为立方毫米（用含x，y的式子表示）．（2）若内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的，则当x＝30，y＝52时，制作这样一个长方体共需要纸板多少平方毫米？【分析】（1）由长方体包装盒的平面展开图，可知该长方体的长为y毫米，宽为x毫米，高为65毫米，根据长方体的体积＝长×宽×高即可求解；（2）由于长方体的表面积＝2（长×宽+长×高+宽×高），又内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的，所以制作这样一个长方体共需要纸板的面积＝（1+）×长方体的表面积．【解答】解：（1）由题意，知该长方体的长为y毫米，宽为x毫米，高为65毫米，则长方体包装盒的体积为：65xy立方毫米．故答案为：65xy；（2）∵长方体的长为y毫米，宽为x毫米，高为65毫米，∴长方体的表面积＝2（xy+65y+65x）平方毫米，又∵内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的，∴制作这样一个长方体共需要纸板的面积S＝（1+）×2（xy+65y+65x）＝xy+143x+143y平方毫米，将x＝30，y＝52代入得：S＝15158平方毫米答：制作这样一个长方体共需要纸板15158平方毫米．【点评】本题考查了长方体的平面展开图，长方体的体积与表面积公式，解题关键是掌握立体图形与平面展开图之间的关系，从图中得到长方体的长、宽、高．7．（2022秋•鼓楼区期末）某校要在两块紧挨在一起的长方形荒地上修建一个半圆形花圃，尺寸如图所示．（1）求阴影部分的面积（用含a的代数式表示）．（2）当a＝20时，π取3时，求阴影部分的面积．【分析】（1）先求出两个长方形的面积，再减去半圆的面积，即可得出阴影部分的面积；（2）把x＝20，π取3代入（1）中的结论，即可得出答案．【解答】解：（1）由图可知上面的长方形的面积为6×（a﹣2﹣4）＝6a﹣36，下面的长方形的面积为4×（a﹣2）＝4a﹣8，∴两个长方形的面积之和为10a﹣44，∵半圆的直径为4+6＝10，∴半圆的面积为π•52÷2＝12.5π，∴阴影部分的面积为10a﹣44﹣12.5π；（2）当a＝20，π取3时，10a﹣44﹣12.5π＝10×20﹣44﹣12.5×3＝200﹣44﹣37.5＝118.5，∴阴影部分的面积为118.5．【点评】本题主要考查代数式求值，关键是要牢记长方形和圆的面积公式．8．（2022秋•海门市期末）如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为3，则第2023次输出的结果是（）A．﹣4B．﹣2C．﹣3D．﹣6【分析】按运算程序先计算，通过计算结果找出规律，利用规律得结论．【解答】解：输入x＝3，∵3是奇数，∴输出3﹣5＝﹣2．输入x＝﹣2，∵﹣2是偶数，∴输出﹣2×＝﹣1．输入x＝﹣1，∵﹣1是奇数，∴输出﹣1﹣5＝﹣6．输入x＝﹣6，∵﹣6是偶数，∴输出﹣6×＝﹣3．输入x＝﹣3，∵﹣3是奇数，∴输出﹣3﹣5＝﹣8．输入x＝﹣8，∵﹣8是偶数，∴输出﹣8×＝﹣4．输入x＝﹣4，∵﹣4是偶数，∴输出﹣4×＝﹣2．输入x＝﹣2，∵﹣2是偶数，∴输出﹣2×＝﹣1．输入x＝﹣1，∵﹣1是奇数，∴输出﹣1﹣5＝﹣6..．依次类推，除去第一次输入，输出分别以﹣2、﹣1、﹣6、﹣3、﹣8、﹣4循环．∴2023÷6＝337.....1．故第2023次输出的结果是﹣2．故选：B．【点评】本题主要考查了代数式的求值，通过输入输出的计算得到规律是解决本题的关键．二．同类项（共5小题）9．（2022秋•惠山区校级期末）请写出3ab2的一个同类项．【分析】根据题意，写出一个含有字母a，b且a的指数为1，b的指数为2的单项式即可求解．【解答】解：写出3ab2的一个同类项可以是ab2，故答案为：ab2（答案不唯一）．【点评】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键．所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．10．（2022秋•句容市校级期末）已知两个单项式a3b m与﹣3a n b2是同类项，则m﹣n＝．【分析】根据同类项的定义直接可得到m、n的值．【解答】解：因为两个单项式a3bm与﹣3anb2是同类项，可得：m＝2，n＝3，所以m﹣n＝2﹣3＝﹣1，故答案为：﹣1【点评】本题考查了同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫同类项．11．（2022秋•高邮市期末）下列两个单项式中，是同类项的是（）A．3与x B．2a2b与3ab2C．xy2与2xy D．3m2n与nm2【分析】根据同类项的定义，逐项判断即可求解．【解答】解：A、3与x不是同类项，故本选项不符合题意；B、2a2b与3ab2不是同类项，故本选项不符合题意；C、xy2与2xy不是同类项，故本选项不符合题意；D、3m2n与nm2是同类项，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了同类项的定义．熟练掌握所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项是解题的关键．12．（2022秋•秦淮区期末）若代数式﹣2x2y m与x n y3是同类项，则代数式m n＝．【解答】解：代数式﹣2x2ym与xny3是同类项，可得m＝3，n＝2，所以mn＝32＝9，故答案为：9．【点评】本题考查了同类县的定义，要注意同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．13．（2022秋•镇江期末）下列各组中，不是同类项的是（）A．2x与﹣x B．﹣5mn与nmC．0.2p2q与D．a3b5与7a5b3【分析】根据同类项的定义进行判断即可．【解答】解：根据“所含的字母相同，且相同字母的指数也相同的项是同类项”可知，a3b5与7a5b3不是同类项，因此选项D符合题意，故选：D．【点评】本题考查同类项，理解“所含的字母相同，且相同字母的指数也相同的项是同类项”是正确判断的前提．三．合并同类项（共12小题）14．（2022秋•泰兴市期末）多项式x2﹣2kxy﹣3y2+6xy﹣8化简后不含xy项，则k＝．【分析】根据合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变可得：﹣2k+6＝0，再解即可．【解答】解：由题意得：﹣2k+6＝0，解得：k＝3，故答案为：3．【点评】此题主要考查了合并同类项，关键是掌握合并同类项法则．15．（2022秋•广陵区校级期末）合并同类项：（1）5m+2n﹣m﹣3n（2）3a2﹣1﹣2a﹣5+3a﹣a2【分析】根据合并同类项法则解答即可．【解答】解：（1）原式＝（5﹣1）（2﹣3）n＝4m﹣n；（2）原式＝（3﹣1）a2+（3﹣2）a﹣（1+5）＝2a2+a﹣6．【点评】本题主要考查了合并同类项，合并同类项时，系数相加减，字母及其指数不变．16．（2022秋•江阴市期末）计算7a﹣3a等于（）A．4a B．a C．4D．10a【分析】合并同类项即可．【解答】解：7a﹣3a＝4a，故选：A．【点评】本题考查合并同类项，掌握合并同类项法则是正确解答的前提．17．（2022秋•徐州期末）下列运算正确的是（）A．2x+x＝2x2B．2x+3y＝5xy C．4x﹣2x＝2D．3x2﹣2x2＝x2【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，计算即可．【解答】解：2x+x＝3x，故A选项不符合题意；2x+3y不能合并同类项，故B选项不符合题意；4x﹣2x＝2x，故C选项不符合题意；3x2﹣2x2＝x2，故D选项符合题意，故选：D．【点评】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项的法则是解题的关键．18．（2022秋•邗江区期末）若﹣4x5y+4x2n+1y＝0，则常数n的值为．【分析】根据同类项“相同字母的指数相同”列式求解即可．【解答】解：根据题意可知，﹣4x5y与4x2n+1y是同类项，∴2n+1＝5，解得n＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了合并同类项的知识，熟练掌握同类项的定义是解题关键．19．（2022秋•江都区期末）若单项式与7a x+5b2与﹣a3b y﹣2的和是单项式，则x y＝．【分析】利用同类项的定义求得x，y的值，再代入运算即可．【解答】解：∵单项式与7ax+5b2与﹣a3by﹣2的和是单项式，∴单项式与7ax+5b2与﹣a3by﹣2是同类项，∴x+5＝3，y﹣2＝2，∴x＝﹣2，y＝4．∴xy＝（﹣2）4＝16．故答案为：16．【点评】本题主要考查了合并同类项，利用同类项的定义求得x，y的值是解题的关键．20．（2022秋•秦淮区期中）合并同类项：（1）2a﹣5b﹣3a+b；（2）3x2+6x+5﹣4x2+7x﹣6【分析】（1）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．【解答】解：（1）2a﹣5b﹣3a+b＝（2﹣3）a+（1﹣5）b＝﹣a﹣4b；（2）3x2+6x+5﹣4x2+7x﹣6＝（3﹣4）x2+（6+7）x+（5﹣6）＝﹣x2+13x﹣1．【点评】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解答本题的关键．21．（2022秋•射阳县校级期末）已知多项式﹣2x2+5kxy﹣3y2﹣15xy+10中不含xy项，则k＝【分析】先化简多项式，再根据“不含xy项”求k即可．【解答】解：﹣2x2+5kxy﹣3y2﹣15xy+10＝﹣2x2+（5k﹣15）xy﹣3y2+10，∵多项式﹣2x2+5kxy﹣3y2﹣15xy+10中不含xy项，∴5k﹣15＝0，∴k＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了整式加减运算，熟练掌握运算法则是关键．22．（2022秋•广陵区校级期末）多项式x2﹣3mxy﹣3y2+6xy﹣8中不含xy项，则常数m的值是．【分析】先去掉括号，再合并同类项，根据已知得出﹣3m+6＝0，再求出即可．【解答】解：x2﹣3mxy﹣3y2+6xy﹣8＝x2﹣3mxy+6xy﹣3y2﹣8＝x2+（﹣3m+6）xy﹣3y2﹣8，∵多项式中不含xy项，∴﹣3m+6＝0，解得：m＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了去括号法则，合并同类项法则，多项式等知识点，能根据题意得出﹣3m+6＝0是解此题的关键．23．（2021秋•滨湖区期末）定义：若x﹣y＝m，则称x与y是关于m的相关数．（1）若5与a是关于2的相关数，则a＝．（2）若A与B是关于m的相关数，A＝3mn﹣5m+n+6，B的值与m无关，求B的值．【分析】（1）根据相关数的定义得到5﹣a＝2，从而得到a的值；（2）根据相关数的定义得到A﹣B＝m，从而B＝（3n﹣6）m+n+6，根据B的值与m无关得到3n﹣6＝0，求出n的值，从而得到B的值．【解答】解：（1）∵5﹣a＝2，∴a＝3，故答案为：3；∴3mn﹣5m+n+6﹣B＝m，∴B＝3mn﹣5m+n+6﹣m＝3mn﹣6m+n+6＝（3n﹣6）m+n+6，∵B的值与m无关，∴3n﹣6＝0，∴n＝2，∴B＝2+6＝8．答：B的值为8．【点评】本题考查了合并同类项，新定义问题，掌握与m无关就合并同类项后让m前面的系数等于0是解题的关键．24．（2022秋•锡山区校级期中）已知整式﹣x2+2y﹣mx+5﹣nx2+6x﹣20y的值与字母x的取值无关．求m2﹣2mn﹣n3的值．【分析】代数式合并得到最简结果，令x的二次项与x的一次项系数为0，求出m与n的值，代入所求式子中计算即可得到结果．【解答】解：﹣x2+2y﹣mx+5﹣nx2+6x﹣20y＝（﹣1﹣n）x2+（6﹣m）x+5﹣18y，∵整式﹣x2+2y﹣mx+5﹣nx2+6x﹣20y的值与字母x的取值无关，∴﹣1﹣n＝0，6﹣m＝0，解得n＝﹣1，m＝6，∴m2﹣2mn﹣n3＝＝＝．【点评】本题考查了整式的混合运算，掌握合并同类项法则是解答本题的关键．25．（2022秋•仪征市校级月考）合并同类项（1）5m+2n﹣m﹣3n；（2）a2﹣b2﹣a2+4ab﹣4b2．【分析】（1）直接合并同类项进而得出答案；（2）直接合并同类项得出答案．【解答】解：（1）5m+2n﹣m﹣3n＝（5﹣1）m+（2﹣3）n＝4m﹣n；（2）a2﹣b2﹣a2+4ab﹣4b2＝a2﹣a2+4ab﹣b2﹣4b2＝（1﹣1）a2+4ab+（﹣1﹣4）b2＝﹣5b2+4ab．【点评】本题主要考查了合并同类项，合并同类项时，系数相加减，字母及其指数不变．一．选择题（共6小题）1．（2022秋•邗江区校级期末）下列各式中，与x2y是同类项的是（）A．xy2B．2xy C．﹣x2y D．3x2y2【分析】根据：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，结合选项进行判断即可．【解答】解：x2y与﹣x2y所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项．故选：C．【点评】本题考查了同类项，熟练掌握同类项的定义是解题的关键．2．（2022秋•苏州期末）按图示的程序计算，若开始输入的x为正整数，最后输出的结果为40，则x的值是（）A．1或4B．2或12C．1或4或13D．2或4或12【分析】根据运算程序列出方程求出x，然后把求出的x的值当作计算结果继续求解，直至x不是正整数为止．【解答】解：∵最后输出的结果为40，∴3x+1＝40，解得：x＝13，当3x+1＝13，解得：x＝4，当3x+1＝4，解得：x＝1，当3x+1＝1，解得：x＝0（舍去），综上，则x的值是1或4或13．故选：C．【点评】本题主要考查代数式求值，该题难点在于最后输出的结果40对应的x的值有可能不是第一次输入x的值．3．（2022秋•海门市期末）已知a﹣b＝2，则代数式2b﹣2a+3的值是（）【分析】先把2b﹣2a+3变形为﹣2（a﹣b）+3，然后把a﹣b＝2代入计算即可．【解答】解：当a﹣b＝2时，原式＝﹣2（a﹣b）+3＝﹣2×2+3＝﹣4+3＝﹣1，故选：A．【点评】本题考查了代数式求值：先根据已知条件把代数式进行变形，然后利用整体代入进行求值．4．（2022秋•惠山区校级期末）下列计算正确的是（）A．3a+2b＝5ab B．9a﹣3a＝6C．3a+a＝3a2D．3a2b+5a2b＝8a2b【分析】根据合并同类项的法则进行运算即可判断．【解答】解：A、3a与2b，不是同类项，不能进行加减运算，此选项错误，不符合题意；B、9a﹣3a＝6a，此选项错误，不符合题意；C、3a+a＝4a，此选项错误，不符合题意；D、3a2b+5a2b＝8a2b，此选项正确，符合题意；故选：D．【点评】本题考查合并同类项，解题的关键是掌握合并同类项的运算法则，合并同类项时，系数相加减，字母及其指数不变．5．（2022秋•南京期末）计算3a2﹣a2的结果是（）A．3B．2C．2a2D．4a2【分析】根据合并同类项法则解答即可．【解答】解：3a2﹣a2＝2a2．故选：C．【点评】本题考查合并同类项，掌握同类项的定义以及合并同类项法则是正确解答的前提．6．（2022秋•玄武区校级期末）如果|m|＝2，n2＝36，|m﹣n|＝n﹣m．那么代数式m+n的值是（）A．4，8B．﹣4，﹣8C．﹣4，8D．4，﹣8【分析】根据|m|＝2，|m﹣m|＝n﹣m，求出m，n的值计算即可．【解答】解：∵|m|＝2，n2＝36，|m﹣n|＝n﹣m，∴m＝±2，n＝6，当m＝2时，m+n＝8，当m＝﹣2时，m+n＝4，【点评】本题考查了绝对值的意义，掌握绝对值的意义是解题的关键．二．填空题（共7小题）7．（2022秋•鼓楼区校级期末）若单项式与2x3y n的和仍是单项式，则m+n＝．【分析】根据和是单项式，可得它们是同类项，在根据同类项，可得m、n的值，根据有理数的加法法则，可得答案．【解答】解：∵单项式与2x3yn的和仍是单项式，∴单项式与2x3yn是同类项，∴m＝3，n＝2，m+n＝3+2＝5，故答案为：5．【点评】本题考查了合并同类项，掌握同类项的定义是解答本题的关键．8．（2022秋•仪征市期末）若a2+3a＝﹣5，则2a2+6a﹣2的值为．【分析】先根据已知条件式得到2a2+6a＝﹣10，然后把2a2+6a＝﹣10整体代入所求式子中进行求解即可．【解答】解：∵a2+3a＝﹣5，∴2a2+6a﹣2＝2（a2+3a）﹣2＝﹣10﹣2＝﹣12，故答案为：﹣12．【点评】本题主要考查了代数式求值，利用整体代入的思想求解是解题的关键．9．（2022秋•兴化市期末）若3x m+1y3与﹣5x3y n是同类项，则﹣m n＝．【分析】根据同类项的定义得出m+1＝3，n＝3，求出m，n的值，再代入求出答案即可．【解答】解：∵3xm+1y3与﹣5x3yn是同类项，∴m+1＝3，n＝3，∴m＝2，∴﹣mn＝﹣23＝﹣8．故答案为：﹣8．【点评】本题考查了同类项的定义，能根据同类项的定义求出m、n的值是解此题的关键．10．（2022秋•姜堰区期末）如果代数式x2﹣2x﹣5的值等于5，那么代数式﹣2x2+4x﹣3的值是．【分析】根据代数式x2﹣2x﹣5的值等于5，求出x2﹣2x的值，利用整体思想，代入﹣2x2+4x﹣3中进行计算即可．∴x2﹣2x＝10，∴﹣2x2+4x﹣3＝﹣2（x2﹣2x）﹣3＝﹣2×10﹣3＝﹣23；故答案为：﹣23．【点评】本题考查代数式求值．解题的关键是利用整体思想，代入求值．11．（2022秋•常州期末）若3a m b2与﹣a2b n+3是同类项，则mn＝．【分析】根据同类项是所含字母相同且相同字母的指数也相同，可得答案．【解答】解：由3amb2与﹣a2bn+3是同类项是同类项可得：m＝2，n+3＝2，解得m＝2，n＝﹣1，所以mn＝2×（﹣1）＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了同类项，同类项定义中的两个“相同”：所含字母相同、相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．12．（2022秋•兴化市期末）如果x2﹣3x﹣3＝0，那么代数式2x2﹣6x﹣8的值是．【分析】由题意可知；x2﹣3x＝3，然后由等式的性质可知2x2﹣6x＝6，然后代入计算即可．【解答】解：∵x2﹣3x﹣3＝0，∴x2﹣3x＝3，∴2x2﹣6x＝6，∴2x2﹣6x﹣8＝6﹣8＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查的是求代数式的值，依据等式的性质求得2x2﹣6x＝6是解题的关键．13．（2022秋•玄武区校级期末）已知2a﹣3b＝﹣1，则1﹣4a+6b＝．【分析】根据2a﹣3b＝﹣﹣，求出4a﹣6b的值是多少，即可求出1﹣4a+6b的值．【解答】解：∵2a﹣3b＝﹣1，∴1﹣4a+6b＝1﹣2（2a﹣3b）＝1﹣2×（﹣1）＝1+2＝3故答案为：3．【点评】此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．三．解答题（共4小题）14．（2021秋•宜兴市期中）若多项式mx3﹣2x2+4x﹣3﹣3x3+6x2﹣nx+6化简后不含x的三次项和一次项，【分析】先将关于x的多项式合并同类项．由于其不含三次项及一次项，即系数为0，可以先求得m，n，再代入（m﹣n）2021进行计算，即可得出答案．【解答】解：mx3﹣2x2+4x﹣3﹣3x3+6x2﹣nx+6＝（m﹣3）x3+4x2+（4﹣n）x+3，∵该多项式化简后不含x的三次项和一次项，∴m﹣3＝0，4﹣n＝0，∴m＝3，n＝4，∴（m﹣n）2021＝﹣1．【点评】此题考查了多项式及代数式求值，解答本题必须先合并同类项，在多项式中不含哪项，即哪项的系数之和为0．15．（2021秋•泗阳县期中）合并同类项：（1）4m﹣7n﹣2m+3n；（2）3a2﹣1﹣2a﹣5+3a﹣a2．【分析】合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．【解答】解：（1）4m﹣7n﹣2m+3n＝（4m﹣2m）+（3n﹣7n）＝（4﹣2）m+（3﹣7）n＝2m﹣4n；（2）3a2﹣1﹣2a﹣5+3a﹣a2．＝（3a2﹣a2）+（3a﹣2a）+（﹣1﹣5）＝（3﹣1）a2+（3﹣2）a﹣（1+5）＝2a2+a﹣6．【点评】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解答本题的关键．16．（2021秋•丹阳市期中）阅读材料：我们知道，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x，类似地，我们把（a+b）看成一个整体，则4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b），“整体思想”是一种重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．（1）尝试应用：把（a﹣b）2看成一个整体，合并3（a﹣b）2﹣（a﹣b）2+7（a﹣b）2，其结果是；（2）已知x2﹣2y＝1，求﹣3x2+6y+5的值．【分析】（1）把（a﹣b）2看成一个整体，根据合并同类项的法则化简即可；（2）把x2﹣2y＝1看成一个整体，整体代入求值即可．故答案为：9（a ﹣b ）2；（2）∵x2﹣2y ＝1，∴原式＝﹣3（x2﹣2y ）+5＝﹣3+5＝2．【点评】本题考查了合并同类项，代数式求值，考查整体思想，把x2﹣2y ＝1看成一个整体，整体代入求值是解题的关键．17．（2021秋•广陵区校级月考）化简：（1）﹣3x 2y +3xy 2﹣2xy 2+2x 2y ；（2）2a 2﹣5a +a 2+6+4a ﹣3a 2．【分析】合并同类项时，把同类项的系数相加作为结果的系数，字母和字母的指数不变，据此计算即可．【解答】解：（1）﹣3x2y+3xy2﹣2xy2+2x2y ＝（﹣3x2y+2x2y ）+（3xy2﹣2xy2）＝﹣x2y+xy2；（2）2a2﹣5a+a2+6+4a ﹣3a2＝（2a2+a2﹣3a2）+（4a ﹣5a ）+6＝﹣a+6．【点评】本题考查了合并同类项法则的应用，熟记合并同类项法则是解答本题的关键．一、单选题【分析】根据同类项的定义，逐项判断即可求解．【详解】解：A 、3与x 不是同类项，故本选项不符合题意；B 、22a b 与23ab 不是同类项，故本选项不符合题意；C 、2xy 与2xy 不是同类项，故本选项不符合题意；D 、23m n 与2nm 是同类项，故本选项符合题意； 故选：D【点睛】本题考查了同类项的定义．熟练掌握所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项是解题的关键． 2．（2023秋·江苏无锡·七年级统考期末）计算73a a −等于（ ）【答案】A【分析】合并同类项即可得出结果．【详解】解：734−=a a a ；故选A ．【点睛】本题考查合并同类项．熟练掌握合并同类项法则，是解题的关键． 3．（2023秋·江苏无锡·七年级校联考期末）下列计算正确的是（ ）A ．2527a a a +=B ．22287x y yx x y −=C ．32y y −=D ．235a b ab +=【答案】B【分析】结合选项进行合并同类项，然后选择正确选项．【详解】解：A 、527a a a +=，原式计算错误，故本选项错误；B 、22287x y yx x y −=，计算正确，故本选项正确；C 、32y y y −=，计算错误，故本选项错误；D 、2a 和3b 不是同类项，不能合并，故本选项错误．故选B ．【点睛】本题考查了合并同类项的知识，解答本题的关键是掌握合并同类项的法则．【答案】A【分析】先把方程233a b c +−=的左右两边同乘以3得到3699a b c +−=，然后再同方程5675a b c −+=相减即可得到答案．【详解】解：∵233a b c +−=，∴3699a b c +−=①，又∵5675a b c −+=②，∴②-①得：212164a b c −+=−，∴682a b c −+=−，【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是运用所给的代数式变换并进行四则运算得出所求的代数式．二、填空题【答案】5【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的两个单项式是同类项，求出,a b 的值，代入计算即可．【详解】解：∵2a x y −与312b x y 的和是单项式，∴2a x y −与312b x y 是同类项， ∴32a b ==，，∴325a b +=+=．故答案为：5．【点睛】本题考查了同类项的定义，出,a b 的值是解题的关键．【答案】4【分析】根据单项式223m x y 与322n x y 的差仍是单项式，可知223m x y 与322n x y 是同类项，由此确定m ，n 的值，即可求解．【详解】解：由题意知223m x y 与322n x y 是同类项， 由同类项相同字母的指数相同可得3m =，22n =，即3m =，1n =，所以314m n +=+=，故答案为：4．【点睛】本题考查单项式、同类项、代数式求值等，解题的关键判断出223m x y 与322n x y 是同类项．7．（2023秋·江苏无锡·七年级校联考期末）若224m x y −与32n x y −是同类项，则m n −=_____．【分析】根据同类项定义得到3m =，2n =，代入计算可得．【详解】解：∵224m x y −与32n x y −是同类项， ∴23m −=，2n =，∴5m =，∴523m n −=−=，故答案为：3．【点睛】此题考查了同类项的定义：含有相同的字母，且相同字母的指数也分别相等的项是同类项，熟记同类项的定义是解题的关键．8．（2023秋·江苏无锡·七年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期末）请写出23ab 的一个同类项______．【答案】2ab （答案不唯一）【分析】根据题意，写出一个含有字母,a b 且a 的指数为1，b 的指数为2的单项式即可求解．【详解】解：写出23ab 的一个同类项可以是2ab ，故答案为：2ab （答案不唯一）．【点睛】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键．所含字母相同，并且相同字母的指9．（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）若23x y −=，则代数式249x y −−的值等于______．【答案】3−【分析】将代数式249x y −−整理为2(2)9x y −−，然后代入求值即可．【详解】解：∵23x y −=，∴2492(2)92393x y x y −−=−−=⨯−=−．故答案为：3−．【点睛】本题主要考查了代数式求值，将代数式249x y −−整理为2(2)9x y −−是解题关键． 10．（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）若关于x 的多项式223247x mx x +−+与多项式32351x x x −+−相加后不含x 的二次项，则m 的值为______．【答案】１【分析】将两个多项式相加后，然后合并同类项，令含2x 的项的系数化为0即可．【详解】223247x mx x +−++32351x x x −+− =−+−+32232236x x m x x()=−−−+3232236x x m x令220m −=，解得：1m =故答案为：1．【点睛】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项的方法进行求解是解题的关键． 11．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知关于x 的整系数二次三项式2ax bx c ++，当x 取1、6、8、12时，某同学算得这个二次三项式的值分别是0、15、35、100．经验算，只有一个是错误的，这个错误的结果是____________．【答案】15【分析】根据所给的值，6x =和12x =具有倍数关系，由此可知，这两个结果是解题的突破，因此6x =和12x =的结果中必有一个是错误的，假设当6x =的结果是正确的，36615a b c ++=①，1a b c ++=②，可得1475a b +=，不符合题意，由此即可求解．【详解】∵6x =时215ax bx c ++=，12x =时2100ax bx c ++=，∴36615a b c ++=，14412100a b c ++=，∴4(366)460a b c ++=，∴4043b c +=−，∵二次三项式2ax bx c ++的系数是整数，∴6x =和12x =的结果中必有一个是错误的，当6x =时，215ax bx c ++=，∴36615a b c ++=①，当1x =时，21ax bx c ++=时，∴1a b c ++=②，−①②得，35514a b +=， ∴1475a b +=，∵二次三项式2ax bx c ++的系数是整数，∴6x =时，215ax bx c ++=的结果是错误的．故答案为：15【点睛】本题考查整数的运算，熟练掌握代数式求值的方法，观察所给的数可知6x =和12x =的结果是解题的关键．三、解答题 12．（2023秋·江苏扬州·七年级校考期末）合并同类项：（1）523m n m n +−−（2）2231253a a a a −−−+−【答案】(1)4m-n;(2) 226a a +−【分析】（1）合并同类项即可得到答案；（2）将多项式合并同类项.【详解】（1）5234m n m n m n +--=，（2）2223125326a a a a a a ---+-=+-.【点睛】此题考查整式的加减法计算，将多项式中的同类项合并. 13．（2023秋·七年级单元测试）如图，一块长方形铁片，从中挖去直径分别为x cm ，y cm 的四个半圆．(1)用含x 、y 的式子表示剩下的面积．(2)当x ＝6，y ＝2时，剩下铁片的面积是多少平方厘米？（结果保留π）。
初中奥数精讲——第29讲用整体思想解题-答案精讲
初中奥数精讲——第29讲用整体思想解题-答案精讲一、知识点解析1. 解数学问题时，一般情况下，为了弄清整体，常把它分成若干个简单问题和不同的情形，分类讨论，各个击破。
与分解、分类处理问题相反，整体思想是将问题看成一个完整的整体，从大处着眼，由整体入手，突出对问题的整体结构的分析和改造，把一些彼此孤立实质上紧密联系的量作为整体考虑，从整体上把握方向，找出解题思路。
2. 运用整体思想常用手段与技巧（1）整体观察；（2）整体代入；（3）整体换元；（4）整体求和；（5）整体求积等等。
这部分主要考察学生的对计数方法的了解及掌握，用整体思想解题是很有意思的一类奥数题，很有技巧性。
这部分题型多样，种类繁多，要学好基础知识，才能保证在用整体思想解题的学习上超过别人，让我们在例题和解答中一起学习吧。
二、例题例1 （全国初中数学联赛试题）设a、b、c是不全相等的任意数，若，则x、y、z中（）。
A. 都不小于零B. 都不大于零C. 至少有一个小于零D. 至少有一个大于零由于a、b、c的任意性，若孤立地考虑x、y、z，则很难把握x、y、z的正负性，考虑整体x+y+z的值。
解答：例22004名乒乓球选手，用淘汰制争夺单打冠军，问应进行多少场比赛？为什么？若考虑每场比赛的可能情形逐步分解过程较繁，从整体上看淘汰制，每场比赛总要淘汰一名选手，则简洁明快。
解答：因为每场比赛总要淘汰一名选手，现在2004名选手要决出冠军，需淘汰2003名选手，所以需要2003场比赛。
例3 （天津市竞赛题）利用初一的知识还不能求出a，即使求出来再带入计算也很繁，寻求待求式分子分母与条件等式的联系，然后把条件等式整体带入求值。
解答：例4已知4×4的数表（如下），如果把它的任一行（横行）或一列（竖列）中的所有数同时变号，称为一次变换。
试问能否经过有限次变换，使表中的数全变为正数？若着眼于局部看每一行或每一列数的正负变化很难把握规律，若从整体出发看所有16个数的乘积与变换后每行或每列四个数的乘积之间的关系就出现规律，即变化过程中存在的不变性质是解决问题的关键。
七年级数学下册《利用整体思想解题》讲义 (新版)苏科
利用整体思想解题一、整体代入一类求代数式值的问题，若利用常规方法计算往往很复杂，甚至有时求不出具体的数值，这时若将条件和结论从一个整体的角度去分析，挖掘已知式子和待求式子的整体结构特征，将已知条件进行适当的变形，或把已知关系式作为整体代入，便可能使得求值问题变得“柳暗花明”．例1 已知a 是方程x 2－2014x ＋1＝0的一个根，试求a 2－2013a ＋220141a +的值． 解 由已知得a 2－2014a ＋1＝0．则得a 2－2013a ＝a －1，a 2＋1＝2014a ．显然a ≠0，所以两边同除以d ，得 a ＋12014a=， ∴a 2－2013a ＋220141a + ＝a －1＋20142014a＝a ＋1120141a-=-， ＝2013．评析 当已知方程的解时，通常把解代入方程，然后再对等式进行移项、因式分解、配方等变形，构造出待求式子的部分或整体．二、整体约减整体约减思想包含整体相减和整体约分两种，在利用整体思想变形时，须掌握一些变形公式．例2 观察下列等式： 第1个等式：111111323a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭； 第2个等式：2111135235a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭； 第3个等式：3111157257a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭； 第4个等式：4111179279a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭；……请回答下列问题：(1)按以上规律列出第5个等式：a 5＝_______；(2)用含n 的代数式表示第n 个等式：a n ＝_______＝_______；(3)求a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100的值．评析 本题是一道规律探究题，考查学生的观察能力、计算能力、由特殊到一般的数学思想等，解决问题的关键是发现等式中变化的数与序数的对应规律．三、整体换元整体换元思想是指将题目中的条件或结论看作一个整体，并用一个新量去替代，使问题转化为对这个新量的研究，从而起到化繁为简、化难为易的作用．例3 计算： 11111111111232014232013232014⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⨯++++-++++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L 111232013⎛⎫+++ ⎪⎝⎭L ． 解 仔细观察式子，发现四个括号中的式子都含有式子111232013+++L ． 不妨令a ＝111232013+++L ，则评析把111232013+++L看成一个整体，并用一个新字母a来代替，使待求的式子变成一个含有字母a的代数式，大大地简化了运算，起到了化繁为简的作用．四、整体补形整体补形思想是指根据已知图形的特点，将不规则或不完整的图形，通过简单的拼接，补充成规则的或完整的图形，再进行求解．例4 如图1，六边形ABCDEF的六个角都相等，若AB＝1，BC＝CD＝3，DE＝2，则这个六边形的周长等于_______．解分别作线段AB、CD、EF的延长线和反向延长线，使它们交于点G、H、P，如图2．∵六边形ABCDEF的六个角都等于120°，∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°，∴△AHF、△BGC、△DPE、△GHP都是等边三角形．∴GC＝BC＝3，DP＝DE＝2，GH＝GP＝GC＋CD＋DP＝3＋3＋2＝8．FA＝HA＝GH－AB－BG＝8－1－3＝4．EF＝PH－HF－EP＝8－4－2＝2．所以，六边形的周长为：1＋3＋3＋2＋2＋4＝15．评析对于不规则的图形，我们常用割补法，将其转化为规则图形加以解决．五、整体改造当所求的式子不易入手时，可对已知或结论进行整体改造（如因式分解、配方等），寻求它们之间的联系，当图形比较复杂时，可对图形进行分解、平移、旋转、翻折、相似变换等．利用整体改造思想时，常用的改造途径有：数向形的改造，代数式结构的改造，条件和结论的改造，特殊和一般的改造，动和静、正和反的改造等．例5 如图3，AB⊥BC，AB＝BC＝2cm，弧OA与弧OC关于点O成中心对称，则AB、BC、弧CO、弧OA所围成的面积是_______cm2．解连结AC，因为弧OA与弧OC关于点O成中心对称，所以点O为AC的中点．所以，AB、BC、弧CO、弧OA所围成的面积为S△ABC＝12×2×2＝2(cm2)．评析本题根据中心对称的性质，把所求的不规则图形通过中心对称变换改造为规则图形，即△ABC的面积，这是问题解决的关键．六、整体合并解答代数问题时，有时代数式、方程或不等式进行合并，合并之后往往能凑整、消元等，这样的解题思想叫整体合并．应用整体合并思想应根据题目的特征，合理地进行合并，常用的合并方法有首尾合并、错位合并、配方合并、根据数字特征合并等．例6 已知x，y满足方程组2100821005x yx y+=⎧⎨+=-⎩，则x2－y2的值为_______．解由于x2－y2＝（x＋y）(x－y)，因此只要求出x＋y、x－y这两个整体的值即可．将两个方程相减，得x－y＝2013；将两个方程相加整理，得3x＋3y＝3，化简得x＋y＝1．∴x2－y2＝（x＋y）（x－y）＝2013．评析若直接解方程组求出x，y的值，再代入代数式进行计算，则计算量很大．这里采用整体合并的思想，取得了事半功倍的效果．七、整体操作整体操作是指从操作性问题的整体性质出发，注重对问题整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，把某些对象看做一个整体，从而有慝的地整体处理．解答操作性问题，关键是要善于运用“集成”的眼光，进行有意识的整体操作，解决这类问题一般要经历观察、思考、想象、交流、推理、操作、反思等活动过程，需要利用已有的生活经验和感知发现结论，从而解决问题．例7 有七只茶杯，杯口朝上放在桌子上，请你把它们全部转成杯口朝下，现在要求每一次同时翻转四只茶杯，使得杯口与杯底相反．问能否经过有限次翻转后，使得所有茶杯的杯口向下？给出你的结论并加以证明．解这是不可能做到的，我们用赋值法加以证明．把杯口朝上的茶杯记为＋1，把杯口朝下的茶杯记为－1．这样，问题就变为＋1，＋1，＋1，＋1，＋1，＋1，＋1七个数，每次翻动，就是改变其中四个数的符号，看能否经过有限次的翻动，把它们全部改为－1．改变一个数的符号，也就是把这个数乘以－1．在一次翻动中，有四个数乘以－1，七个数的乘积经过一次翻动后，应当乘以(－1)4．所以七个数的乘积经过翻动，仍然保持不变，原来的七个数的乘积是＋1，不管经过多少次翻动，七个数的乘积始终是＋1，而七个－1的乘积是－1，不可能把七个数都变成－1．评析此题若进行逐一尝试，是难以完成的，采用了赋值法——把杯口朝上的茶杯记为＋1，把杯口朝下的茶杯记为－1，从奇偶性方面做出判断，便能使问题快速得到解决．本题如果把杯子的个数改为偶数，或者每次翻动奇数个杯子，也可以用这种方法加以解决．整体化思想是解决数学问题的一种思维方法，掌握整体化思想方法有利于培养学生的直觉思维能力和发展学生的思维品质，在教学过程中，教师应该培养学生的整体化思想，寻求潜在规律，用整体化思想去解决数学问题．。
初中数学解题方法第章整体思想PPT教学课件(推荐)
第八章 整体思想
所谓整体思想，就是从全局入手，找出问题的 共同特征，聚零为整，把握问题的共性联系或结构 的思想方法。
把注意力和着眼点放在问题的整体结构改造 上，从整体上把握问题的内容和解决的方向和策略， 这样往往能使问题的解答简洁、明快，运用整体思 想解题，能使不少复杂的问题简单化，抽象的问题 具体化。
第一节 整体代入法
例题 1
例题 2
例题 3
例题 4
例题 5
第二节 方程中的整体思想
例题1
例题 2
例题 3
例题 4
例题 5
例题 6第三节 几何ຫໍສະໝຸດ 的整体思想例题1例题2
例题3
例题4
例题 5
例题 6
2
1、考前物质准备 考试前一天要整理好学习生活用具。首 先是准 考证； 其次是 钢笔、 铅笔、 圆规、 直尺、 量角器 、三角 板、橡 皮等； 再次是 必要的 如手绢 、清凉 油和生 活用品 。 2、考前心理准备 成绩优秀的考生应记住：“没有常胜 将军”、 “不以 一次成 败论英 雄”；成 绩不太 好的考 生要有 “破釜 沉舟”的 决心。 3、高考当天早晨，应有良好的心理暗示 如“我很放松，今天一定能正常发挥”、“ 今天我 很冷静 ，会考 好的”等 。 4、注意早餐 早晨一定要吃丰盛的早饭，但不能过于 油腻。 5、浏览笔记、公式、定理和知识结构 主要是浏览一下重要的概念、公式 和定理 ，或记 一些必 须强记 的数据 。 6、进考室前10分钟 在考室外最好是一人平静地度过，可 就近找 个地方 坐一会 儿，或 看一下 笔记， 再次浏 览知识 结构。设 法 避 开 聊 天 。
苏科版数学七年级下册多项式乘多项式
辨一辨
判别下列解法是否正确，若
错请说出理由，并改正。
(2x-3)(x-2)-(x-1)2 =2x2-4x-3x+6-(x2-12) =2x2-7x+6-x2+1 =x2-7x+7
原式=2x2-4x-3x+6-(x-1)(x-1) =2x2-7x+6-(x2-x-x+1) =2x2-7x+6-x2+2x-1 =x2-5x+5
4 31
小试牛刀
1、如果(x+m)(x+n)展开后不含有x的一次项，
那么m、n的关系是_互_为__相__反__数__ x2+(m+n)x+mn
2、在多项式(x2-8x+7)(x2-x)中，三次项的系数为__-_9__
3、三若次(y-项a)为(3y-x+34-8)的x3=计-9算x3结果中一次项系数为-1，则a=__—53___
2、若(x+_7__)(x-_5__)=x2+2x-35 3、若(x+3)(x+m)=x2+kx-15，则k=_-_2__ ，m=_-_5__ 4、(x-5)2=_(_x-_5_)_(x_-_5_)_=_x_2-_1_0_x_+_2_5__
5、(x-2y)(x-3y)=_x_2_-_5_xy_+_6_y_2_
（3）n(n+1)(n+2) 解：原式= n (n2+2n+n+2)
= n (n2+3n+2)
=n3+3n2+2n
结果一般按照某 一个字母的降幂 情势排列
注意：
（4）(x-y)(x2+xy+y2) 解：原式= x·x2+x·xy+x·y2-y·x2-y·xy-y·y2
七年级数学下册提练第9招整体思想在解题中的四种应用习题新版苏科版
− − = ,
①
＋
【解】ቐ
−+
＋
= . ②
由①，得4x－5y＝7.③
将③代入②，得4y＋2＝6，解得y＝1.把y＝1代入③，
得x＝3.
= ，
所以原方程组的解为ቊ
= .
所以a－c＝(a－b)＋(b－c)拨】
本题的解题关键是根据已有的a－b，b－c的值得出a－c的
值，然后将待求式子转化为含已知条件的式子，最后 整体
代入 求值.
2 整体代换在求角度中的应用
2.如图①，CE∥AB，所以∠ACE＝∠A，∠DCE＝∠B，所
以∠ACD＝∠ACE＋∠DCE＝∠A＋∠B.这是一个有用的
第9招
整体思想在解题中的
四种应用
1 整体变形在求值中的应用
1.若a－b＝3，b－c＝1，求2a 2 ＋2b 2 ＋2c 2 －2ab－2bc－
2ac的值.
【解】原式＝(a2＋b2－2ab)＋(b2＋c2－2bc)＋(a2＋c2－2ac)
＝(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2.
因为a－b＝3，b－c＝1，
结论，借用这个结论，在如图②所示的四边形ABCD内，
过D引一条和AB边平行的直线，求∠A＋∠B＋∠C＋
∠ADC的度数.
【解】过点D作DE∥AB，交BC于点E，则由题目中得到的
结论，有∠BED＝∠C＋∠CDE.
因为DE∥AB，
所以∠B＋∠BED＝180°，∠A＋∠ADE＝180°，
所以∠B＋∠BED＋∠A＋∠ADE＝360°，
即∠B＋∠C＋∠CDE＋∠ADE＋∠A＝360°，
所以∠A＋∠B＋∠C＋∠ADC＝360°.
【点拨】
本题运用了 整体代换 的思想，将要求的四个角的度数和
2024年北师大版七年级下册数学期末提分复习第17招运用整体思想解题的六种技巧
(1)将x 2 ＋y 2 变形为(x＋y) 2 －2xy，再代入已知条件
计算即可；(2)将x 2 ＋y 2 变形为(x＋y) 2 －2xy，再代入已
知条件，即可求出xy的值，将(x－y) 2 变形为(x＋y) 2 －
4xy，代入即可求解.(3)将(x－2 022) 2 ＋(2 024－x) 2 ＝12
CA组成的平面图形中，∠D＝28°，则∠A＋∠B＋∠C＋
∠F的度数为( C )
A.62°
B.152°
C.208°
D.236°
分类训练
【点拨】
整体联想待求式与已知条件之间的关系并正确应用相关
性质定理是解题的关键.
分类训练
整体代换在比较线段大小中的应用
3.[新考法 截长补短法]如图，在正方形ABCD中，E为BC边
所以GB＝AB＝5 cm，CH＝CD＝10 cm.
则GH＝GB＋BC＋CH＝23 cm.
所以ME＝MH－DH－DE＝GH－CD－DE
＝23－10－6＝7(cm).故EF＝7 cm.
所以AF＝GM－GA－MF＝GH－AB－EF＝
23－5－7＝11(cm).
所以这个六边形的周长为5＋8＋10＋6＋7＋11＝47(cm).
个
＝1 … .
个
分类训练
整体设元在求值中的应用
5.计算： − − − ⋯ −
－ －…－
( ＋ ＋ ＋…＋
)－(1－
)( ＋ ＋ ＋…＋
).
数学人教版七年级下册三元一次方程组解决实际问题(整体思想)
学生先独立分析， 可 能想到用表格整理 数据, 分析等量关系， 设未 知数， 并列出相应的 方程组。 其实这题要完全 解出 x、y、z 的 值是不可能的， 因为三元一次方 程肯定需要三个 方程才能完全解 出，此题只有 2 个条件，所以只 能列出 2 个方程。 所以此题的思路 就是需要整体考 虑。
解：设甲、乙、丙三种造型各有 x、y、 z 个，根据题意得 15x+10y+10z=2900 25x+25z=3750
板 书 设 计
三元一次方程组解决实际问题（整体思想） 1.示范完整解题过程 2.总结解题步骤
教 学 反 思
本节课让学生体验运用三元一次方程组解决实际问题（整体思想）解决实 际问题的优越性，化难为易，化繁为简的功效，在此过程中，学生产生对学习 整体思想的浓厚兴趣，迸出思维的火花，但学生们对数字之间的数量关系不熟 练，需多练习。
课
题
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
三元一次方程组解决实 际问题（整体思想）
课
时
第 2 课时
教学目标
1. 通过实际问题使学生感受三元一次方程组的广泛应用， 体会列三元一次方 程组是解决某些实际问题的一种有效的数学模型，增强应用意识。 2. 能够由题意找出等量关系， 列出三元一次方程组， 借助整体思想解决实际 问题，并检验是否符合实际意义。 以三元一次方程组为工具，分析解决含有多个未知数的实际问题。 整体思想在三元一次方程中的应用。 教 学 过 程 学生活动 活动评价
{
化简，得 :
{ x+z=150
3x+2y+2z=580
小组讨论， 组内发言 24x+12y+18z = 6(4x+2y+3z) = 6[(3x+2y+2z)+(x+z)] = 6×（580+150） = 4380 答：黄花一共用了 4380 朵。 人做好记录再在班 内交流，派代表作 答，老师补充完善。
七年级数学下册知识讲义-9综合应用三种方法分解因式-苏科版
【考点精讲】1. 因式分解知识梳理：（1）因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式因式分解。
（2）因式分解的常用方法：提公因式法，运算公式法。
另外，还有十字相乘法、分组分解法，配方法、换元法、待定系数法、拆项添项法等。
（3）特别提醒：多项式的因式分解，要根据多项式的特点，选择使用恰当的方法来分解，对于有些多项式，有时需要同时用到几种不同的方法，才能分解完全。
2. 因式分解的要求：（1）相同的因式应写成幂的形式，如分解到3（x＋2）（x＋2）不行，必须写成3（x＋2）2；（2）最终的结果一定是积的形式，如多项式x2＋4x＋3分解成x（x ＋4）＋3不行，因为结果还是和的形式，只是局部是积的形式了，整体上不是，应该分解成（x＋3）（x＋1）；（3）因式分解必须进行到每一个多项式的因式都不能再分解为止，如分解成（3x＋6）（x2－1）不行，因为前一个因式还有公因式3没有提，后一个因式还能用平方差公式继续分解，应分解成3（x＋2）（x＋1）（x－1）。
【典例精析】例题1 因式分解：（1）36x2－100；（2）2a2b－8ab＋8b；（3）m2（2a＋b）－n2（2a＋b）。
思路导航：本题的多项式都需要先提出公因式后，再进一步运用公式法来分解。
答案：（1）原式＝4（9x2－25）＝4[（3x）2－52]＝4（3x＋5）（3x－5）。
（2）原式＝2b（a2－4a＋4）＝2b（a－2）2。
（3）原式＝（2a＋b）（m2－n2）＝（2a＋b）（m＋n）（m－n）。
点评：将一个多项式因式分解时，首先要观察该多项式是否有公因式，若有，就要先提公因式，再观察另一个因式的特点，进而发现其能否用公式法继续分解。
另，解答本题的步骤为一提、二套（套用公式继续分解）、三查（分解的结果是否符合要求）。
例题2 因式分解：（1）x4－81；（2）81a4－72a2b2＋16b4；（3）（y2－2y）2＋2（y2－2y）＋1；（4）（m2－6）（m2－2）＋4。
初中生数学整体思维教案
初中生数学整体思维教案课时安排：2课时教学目标：1. 让学生理解数学整体思维的概念和重要性。
2. 培养学生从整体角度去分析和解决问题的能力。
3. 引导学生运用数学整体思维解决实际问题。
教学内容：1. 数学整体思维的概念和特点2. 数学整体思维的训练方法3. 数学整体思维在实际问题中的应用教学过程：第一课时：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾已学的数学知识，总结解题方法。
2. 提问：你们认为什么是数学整体思维？二、讲解数学整体思维（15分钟）1. 讲解数学整体思维的概念：数学整体思维是指从整体角度去分析和解决问题的思维方式，它强调对问题的整体认识和把握，注重事物之间的联系和整体结构。
2. 讲解数学整体思维的特点：整体性、联系性、结构性。
三、训练数学整体思维（15分钟）1. 举例讲解数学整体思维的训练方法：a. 从整体出发，把握问题实质b. 寻找事物之间的联系，构建数学模型c. 注重数学知识体系的结构，提高解决问题的能力2. 学生分组讨论，分享各自的学习心得和经验。
第二课时：一、复习导入（5分钟）1. 复习上节课的内容，提问：什么是数学整体思维？2. 引导学生分享自己在生活中运用数学整体思维解决问题的例子。
二、讲解数学整体思维在实际问题中的应用（15分钟）1. 讲解数学整体思维在实际问题中的应用方法：a. 从整体出发，分析问题的本质b. 寻找事物之间的联系，构建数学模型c. 注重数学知识体系的结构，提出解决方案2. 举例讲解数学整体思维在实际问题中的应用。
三、课堂练习（15分钟）1. 布置练习题，要求学生运用数学整体思维解决问题。
2. 学生独立完成练习题，老师进行点评和指导。
四、总结（5分钟）1. 总结本节课的学习内容，强调数学整体思维的重要性。
2. 鼓励学生在日常生活中积极运用数学整体思维，提高自己的解决问题的能力。
教学评价：1. 课后收集学生的课堂练习，评估其运用数学整体思维解决问题的能力。
2. 在下一节课开始时，让学生分享自己在生活中运用数学整体思维解决问题的例子，评估其运用效果。
2024七年级数学下册提练第5招整体思想在整式化简中的应用类型习题课件新版苏科版
(1)当a＝－3，b＝－2时，分别求M，N的值；
【解】因为M＝a2b，N＝2a2＋3ab，a＝－3，b＝－2，
所以M＝(－3)2×(－2)＝－18，N＝2×(－3)2＋3×
(－3)×(－2)＝18＋18＝36，即M的值是－18，N的值是36.
＋
(2)若
＝b，则(a＋2)(b＋2)＝
4
.
【点拨】
(a1＋a2＋…＋a2024)(a2＋a3＋…＋a2025)，N＝(a1＋a2＋…＋
a2025)(a2＋a3＋…＋a2024)，比较M与N的大小.
【解】设a2＋a3＋…＋a2024＝m，
则M＝(a1＋m)(m＋a2025)＝a1m＋m2＋a2025m＋a1a2025，
N＝(a1＋m＋a2025)m＝a1m＋m2＋a2025m.
所以M－N＝a1m＋m2＋a2025m＋a1a2025－(a1m＋m2＋a2025m)
＝a1a2025.
因为a1，a2，a3，…，a2025是彼此互不相等的负数，所以
a1a2025＞0，所以M＞N.
第5招
整体思想在整式化简中的
应用类型
1 化繁为简法在整体思想中的应用
1.已知a＝ x－20，b＝ x－18，c＝ x－16，求式子a2＋b2＋
c2－ab－ac－bc的值.
【解】由a＝ x－20，b＝ x－18，c＝ x－16，得a－b＝
－2，b－c＝－2，c－a＝4，所以a2＋b2＋c2－ab－ac－bc
2பைடு நூலகம்
2
2
＝ [(a－b) ＋(b－c) ＋(c－a) ]＝ ×[(－2)2＋(－2)2＋42]＝
人教版初中数学同步讲义七年级下册第07讲 专题3 一次方程(组)中整体思想的应用(解析版)
第07讲专题3一次方程（组）中整体思想的应用类型一：不解方程（组）求式子的值类型二：利用整体代入法求方程组的解类型三：整体换元法求未知数的值类型一：不解方程（组）求式子的值1．已知x，y为二元一次方程组的解，则x﹣y＝1．【分析】两式相减即可得出答案．【解答】解：，②﹣①，得2x﹣2y＝2，则x﹣y＝1．故答案为：1．2．若，是关于x和y的二元一次方程mx+ny＝3的解，则2m﹣4n的值等于（）A．3B．6C．﹣1D．﹣2【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出m﹣2n＝3，把所求式子因式分解后代入计算即可．【解答】解：将代入方程mx+ny＝3得：m﹣2n＝3，∴2m﹣4n＝2（m﹣2n）＝2×3＝6．故选：B．3．若是二元一次方程ax+by＝﹣1的一个解，则3a﹣2b+2025的值为2024．【分析】先将方程的解代入方程ax+by＝﹣1，求出3a﹣2b＝﹣1，再整体代入求值即可．【解答】解：将代入方程ax+by＝﹣1可得，3a﹣2b＝﹣1，∴原式＝﹣1+2025＝2024；故答案为：2024．4．已知是方程mx+ny＝5的解，则代数式4m+6n﹣1的值为9．【分析】把代入方程mx+ny＝5得出2m+3n＝5，变形后代入，即可求出答案．【解答】解：把代入方程mx+ny＝5得：2m+3n＝5，所以4m+6n﹣1＝2（2m+3n）﹣1＝2×5﹣1＝9．故答案为：9．5．如果是方程2x﹣3y＝2020的一组解，那么代数式2024﹣2m+3n＝4．【分析】先根据方程解的定义求出2m﹣3n的值，再整体代入求值．【解答】解：∵是方程2x﹣3y＝2020的一组解，∴2m﹣3n＝2020．∴代数式2024﹣2m+3n＝2024﹣（2m﹣3n）＝2024﹣2020＝4．故答案为：4．6．若是二元一次方程ax+by＝﹣1的一个解，则3a﹣2b的值为﹣1．【分析】把解代入二元一次方程中，可得结论．【解答】解：∵是二元一次方程ax+by＝﹣1的一个解，∴3a﹣2b＝﹣1．故答案为：﹣1．7．已知x、y是二元一次方程组的解，那么x﹣y的值是（）A．2B．﹣2C．3D．﹣3【分析】将方程两式相加得，4x﹣4y＝8，即可求出答案．【解答】解：将方程两式相加得，4x﹣4y＝8，∴x﹣y＝2，故选：A．8．已知x、y满足方程组，则x+y的值为（）A．﹣4B．4C．﹣2D．2【分析】直接把两式相加即可得出结论．【解答】解：，①+②得，4x+4y＝16，解得x+y＝4．故选：B．9．已知二元一次方程组，则m+n的值是（）A．9B．3C．﹣3D．﹣9【分析】②﹣①得：m+n＝3．【解答】解：，②﹣①得：m+n＝3．故选：B．10．如果关于x，y的方程组与的解相同，则a+b的值为（）A．1B．2C．﹣1D．0【分析】把代入方程组，得到一个关于a，b的方程组，将方程组的两个方程左右两边分别相加，整理即可得出a+b的值．【解答】解：把代入方程组，得：，①+②，得：7（a+b）＝7，则a+b＝1．故选：A．类型二：利用整体代入法求方程组的解11．解方程组：．【分析】方程组利用代入消元法求解即可．【解答】解：，由①得x＝3y﹣1③，把③代入②，得6y﹣y＝10，解得y＝2，把y＝2代入③，解得x＝5，∴．12．解方程组时，可把①代入②得：3×8+4y＝20，求得y＝﹣1，从而进一步求得这种解法为“整体代入法“，请用这样的方法解下列方程组．【分析】利用整体代入法的求解方法进行解答即可．【解答】解：，把①代入②得：3×12+5y＝26，解得y＝﹣2，把y＝﹣2代入①得：2x+6＝12，解得x＝3，故原方程组的解是：．13．阅读以下材料：解方程组：；小亮在解决这个问题时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫做“整体代入法”，解题过程如下：解：由①得x﹣y＝1③，将③代入②得：（1）请你替小亮补全完整的解题过程；（2）请你用这种方法解方程组：．【分析】（1）利用整体代入法进行求解即可；（2）利用整体代入法进行求解即可．【解答】解：（1）由①得x﹣y＝1③，将③代入②得：4×1﹣y＝0，解得y＝4，把y＝4代入①得：x﹣4﹣1＝0，解得x＝5，故原方程组的解是：；（2），整理得：，把③代入④得：2×2+1+15y＝50，解得y＝3，把y＝3代入①得：3x﹣3﹣2＝0，解得x＝，故原方程组的解是：．14．先阅读材料，然后解方程组：材料：解方程组在本题中，先将x+y看作一个整体，将①整体代入②，得3×4+y＝14，解得y＝2．把y＝2代入①得x＝2，所以这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此法解答，请用这种方法解方程组．【分析】根据阅读材料中的方法求出方程组的解即可．【解答】解：由①得：x﹣y＝1③，把③代入②得：4﹣y＝5，即y＝﹣1，把y＝﹣1代入③得：x＝0，则方程组的解为．15．整体代入就是把某些部分看成一个整体，则能使复杂的问题简单化．例如在解方程组时，把①变形：x﹣y＝1③，把③代入②中，求得x＝0，y＝1；利用整体代入思想，已知，则x2+4y2＝17．【分析】将x﹣y＝1代入4（x﹣y）﹣y＝5即可求得x，y的值；给2x2+xy+8y2＝36两边同乘以2得到方程③4x2+2xy+16y2＝72，然后方程①3x2﹣2xy+12y2＝47加方程③4x2+2xy+16y2＝72即可解答．【解答】解：把x﹣y＝1代入4（x﹣y）﹣y＝5，解得y＝﹣1，∴x＝0，故答案为：0，1；，②×2得：4x2+2xy+16y2＝72③，③+①得：4x2+2xy+16y2+3x2﹣2xy+12y2＝47+72，∴7x2+28y2＝119，∴7（x2+4y2）＝119，∴x2+4y2＝17，故答案为：17．16．阅读材料：小强同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”解法：解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5…③，把方程①代入③得：2×3+y＝5即y＝﹣1，把y＝﹣1代入方程①，得x＝4，所以方程组的解为．请你解决以下问题（1）模仿小强同学的“整体代换”法解方程组；（2）已知x，y满足方程组；（i）求xy的值；（ii）求出这个方程组的所有整数解．【分析】（1）把3x+5y看做一个整体，求出3x+5y的值，进而可得出结论；（2）将①代入方程②求出xy的值，再由x与y是整数求出符合条件的x，y的对应值即可．【解答】解：（1），将方程②变形：6x+10y+y＝35，即2（3x+5y）+y＝35③，把方程①代入③得：2×16+y＝35，解得y＝3，把y＝3代入方程①，得，所以方程组的解为；（2）（i）原方程组化为，将①代入方程②得：72+7xy＝51，∴xy＝﹣3；（ii）由（i）得xy＝﹣3，∵x与y是整数，∴或或或，由（i）可求得2x2+3y2＝21，∴和符合题意，故原方程组的所有整数解是或．类型三：整体换元法求未知数的值17．用换元法解方程组，如果，那么原方程组化为关于u、v的方程组是．【分析】结合已知条件，利用换元法将原二元一次方程组进行换元即可．【解答】解：已知，设＝u，＝v，那么原方程组化为：，故答案为：．18．解方程组．【分析】先把方程组化简后，再用适当的方法进行求解．【解答】解：原方程组可化为：，（2）×5+（1）得：46y＝46，y＝1，把y＝1代入（1）得：x＝7．∴．19．关于x，y的方程组（其中a，b是常数）的解为，则方程组的解为（）A．B．C．D．【分析】由原方程组的解及两方程组的特点知，x+y、x﹣y分别相当于原方程组中的x、y，据此列出方程组，解之可得．【解答】解：由题意知，，①+②，得：2x＝7，x＝3.5，①﹣②，得：2y＝﹣1，y＝﹣0.5，所以方程组的解为，故选：C．20．阅读材料，解答问题：材料：解方程组，我们可以设x+y＝a，x﹣y＝b，则原方程组可以变形为，解得，将a、b转化为，再解这个方程组得．这种解方程的过程，就是把某个式子看作一个整体，用一个字母代替他，这种解方程组得方法叫做换元法．请用换元法解方程组：．【分析】设x+y＝a，x﹣y＝b，则原方程组可以变形为，用加减消元法解得，再解方程组即可求解．【解答】解：设x+y＝a，x﹣y＝b，则原方程组可以变形为，用加减消元法解得，再将a、b转化为，解得．21．阅读下列材料，解答问题：材料：解方程组，若设x+y＝m，x﹣y＝n，则原方程组可变形为，用加减消元法得，所以，在解这个方程组得，由此可以看出，上述解方程组过程中，把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，我们把解这个方程组的方法叫换元法．问题：请你用上述方法解方程组．【分析】设x+y＝A，x﹣y＝B，方程变形后，利用加减消元法求出A与B的值，进而确定出x与y的值即可．【解答】解：设x+y＝A，x﹣y＝B，方程组变形得：，整理得：，①×3﹣②×2得：5A＝﹣50，即A＝﹣10，把A＝﹣10代入①得：B＝﹣15，∴，解得：．22．阅读探索：材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下：解：设a﹣1＝x，b+2＝y，原方程组可化为，解得，即，解得．材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：解：将方程②8x+20y+2y＝10，变形为2（4x+10y）+2y＝10③，把方程①代入③得，2×6+2y＝10，则y＝﹣1；把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程组的解为：．根据上述材料，解决下列问题：（1）运用换元法解求关于a，b的方程组：的解；（2）若关于x，y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解．（3）已知x、y、z，满足，试求z的值．【分析】（1）用换元法替换和，解方程组即可；（2）用换元法替换5（m﹣3）和3（n+2），根据已知条件解方程组即可；（3）仿照题意将方程①变形为，然后把将方程②代入③得到关于z的方程，解方程即可．【解答】解：（1）设，，∴原方程可以化为，用②﹣①×2得：﹣3y＝﹣3，解得y＝1，把y＝1代入到①得：x+2＝4，解得x＝2，∴方程组的解为，即，解得，∴原方程组的解为；（2）解：设，则方程化为：，即，解得；（3）解：将方程①3x﹣2z+12y＝47，变形为，将方程②代入③得：，解得z＝2．。
七年级数学下册 第9章 整式乘法与因式分解 05 因式分解中的数学思想知识拓展 (新版)苏科版 (2)(1)
因式分解中的数学思想一、整体思想所谓用整体思想来分解因式，就是将要分解的多项式中的某些项看成一个整体而加以分解．例1 把多项式（x2－1）2＋6（1－x2）＋9分解因式．分析：把（x2－1）看成一个整体利用完全平方公式进行分解，最后再利用平方差公式达到分解彻底的目的．解：（x2－1）2＋6（1－x2）＋9＝（x2－1）2－6（x2－1）＋9＝[（x2－1）－3]2＝（x2－4）2＝[（x＋2）（x－2）]2＝（x＋2）2（x－2）2．例2 把多项式（a＋b）2－4（a＋b－1）分解因式．分析原式两项既无公因式可提，又无公式可套用，但由此结构特点可采取视a＋b为一个整体，局部展开后或许能运用完全平方公式．解：（a＋b）2－4（a＋b－1）＝（a＋b）2－4（a＋b）＋4＝（a＋b－2）2．二、类比思想类比思想在因式分解中的运用很广泛，具体地表现在：一是因式分解与整式乘法的对比；二是因式分解与乘法的分配律的对比；三是因式分解与乘法公式的对比．例3 把多项式6x3y 2＋12x2y3－6x2y2分解因式．分析：对比整式的乘法和乘法的分配律可知，6、12、6的最大公约数是6，字母x、y 的最低指数均为2，所以多项式6x3y2＋12x2y3－6x2y2的公因式是6x2y2．解6x3y2＋12x2y3－6x2y2＝6x2y2（x＋y－1）．例4 分解因式：（1）x3y－xy3；（2）abx2－2abxy＋aby 2．分析：（1）对比平方差公式可先提取xy．（2）对比完全平方公式可先提取ab．解：（1）x 3y－xy3＝xy（x 2－y 2）＝x y（x＋y）（x－y）；（2）abx 2－2abxy＋aby2＝ab（x2－2xy＋y2）＝a b（x－y）2.三、转化思想转化思想就是对于某些多项式从表面是无法利用因式分解的一般步骤进行的，必须通过适当的转化，如经过添项、拆项等变形，才能利用因式分解的有关方法进行．例5 把多项式6x（x－y）2＋3（y－x）3分解因式．分析考虑到（y－x）3＝－（x－y）3，则多项式转化为6x（x－y）2＋3（y－x）3，因此公因式是3（x－y）2．解：6x（x－y）2＋3（y－x）3＝6 x（x－y）2－3（x－y）3＝3（x－y）2[2 x－（x－y）]＝3（x－y）2（x＋y）．例6 把多项式x4＋x2y2＋y4分解因式．分析：从表面上看此题不能直接分解因式，但仔细观察发现若x2y2转化成2x2y2，即可先运用完全平方公式，再利用平方差公式．解：x4＋x2y2＋y4＝x4＋2x2y2＋y4－x2y2＝（x2＋y2）2－x2y2＝（x2＋y2＋xy）（ x2＋y2－xy）＝（x2＋xy＋y2）（ x2－xy＋y2）．四、换元思想所谓的换元就是将多项式的某些项用另一个新的字母去代换，通过换元可以将复杂的多项式转变成简单的，将陌生的转换成熟悉的，使之得以顺利地分解因式．例7 把多项式（x＋y）（x＋y＋2xy）＋（xy＋1）（xy－1）分解因式．分析：这个多项式形式上比较复杂，但考虑x＋y与xy重复出现，利用这一特点，可以这两个因式通过换元后再分解因式．解：设x＋y＝a，xy＝b，则（x＋y）（x＋y＋2xy）＋（xy＋1）（xy－1）＝a（a＋2b）＋（b＋1）（b－1）＝（a2＋2ab＋b2）－1＝（a＋b）2－1＝（a＋b＋1）（a＋b－1）＝（x＋y＋xy＋1）（x＋y＋xy－1）＝（x＋1）（ y＋1）（x＋y＋xy－1）．。
走进重高 培优讲义七下 第十六讲 整体思想
第十六讲 整体思想例1 对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易．在解二元一次方程组时，就可以运用整体代入法，如解方程组：⎩⎨⎧=+=++.1,3)(2②①y x y x x解：把②代入①得x+2×l=3，解得.1=x 把x=l 代入②得∴=.0y 方程组的解为⎩⎨⎧==.0,1y x请用同样的方法解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+-.72352,022②①n n m n m例2 已知,1,4==+xy y x 求代数式)1)(1(22++y x 的值.例3 阅读下面的材料：材料：因式分解：.1)(2)(2++++y x y x解：将“x +y”看成整体，令x+y=A ，则原式.)1(1222+=++=A A A 再将“A”还原，得：原式.)1(2++=y x上述解题中用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：(1)因式分解：=-+-+2)()(21y x y x __________. (2)因式分解：.4)4)((+-++b a b a(3)证明：若n 为正整数，则代数式1)3)(2)(1(++++n n n n 的值一定是某—个整数的平方．例4 阅读下列材料：已知,032=-+a a 求)4(2+a a 的值.解：.124123)4)(3()4(,32222+--=--+=+-=+∴-=a a a a a a a a a a a.9)4(.912312)(,3222=+∴=+-=++-∴=+a a a a a a(1)已知,0102=--a a 求)5)(4(2-+a a 的值． (2)已知12,0132+-=--x Rx x x 的值．(3)已知22)998()999(,1999)998)(999(a a x a a -+-=--的值． (4)已知18482,0142342+--+=-+x x x x R x x 的值.例5 已知,2009,2008,2007222=+=+=+d c d b d a 且,24=abc 求cb a abc ca b bc a 111---++ 的值.A 组1．已知代数式6432+-x x 的值为9，则6342+-x x 的值为( )． 18.A 12.B 9.C 7.D2．因式分解9)1(6)1(222+-+-x x 的结果是( )．22)2.(+x A 4)2.(-x B 22)2()2.(-+x x C 4)2.(+x D 3．若方程组⎩⎨⎧=++=+33,13y x k y x 的解x ，y 满足,10<+<y x 则k 的取值范围是( )．04.<<-k A 01.<<-k B 80.<<k c 4.->k D4．如图，OA ，OB ，OC 两两不相交，且半径都是0.5，则图中的阴影部分的面积是( )．12.πA 8.πB 4.πc 6.πD（第4题）5．已知,123456787123456788,123456786123456789⨯=⨯=y x 则x ，y 的大小关系是( )． y x A >. y x B =. y x C <. D ．不能确定6．已知311=-yx ，则代数式y xy x yxy x ----22142的值为_________.7．代数式求值时我们常常会用到整体思想，简单地讲就是把一个代数式看作一个整体，进行适当的变形后代入求值，例如：已知b a b a 2122--=+，求的值，我们可以把a+2b 看成一个整体，则,22)2(-=--=+-b a b a 所以.12121-=-=--b a 请你仿照上面的例子解决下面的问题：若 ,0222=--a a 则=-+2215a a ________.8．若买铅笔4支、日记本3本、圆珠笔2支共需10元；买铅笔9支、日记本7本、圆珠笔5支共需25元，则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需________元． 9．计算)14()14)(14)(14(3409642++++ 的值.10.用整体思想解题：为了简化问题，我们往往把一个式子看成一个整体．试按提示解答下面的问题．(1)已知,532,15322-+-=-+-=+x x C A x x B A 求2=x 时，B+C 的值．[提示：C B +]()(>--+=C A B A(2)若代数式7322++y x 的值为8，求代数式8962++y x 的值．[提示：把8962++y x 变形为含有7322++y x 的形式](3)已知,2=+y x xy 求代数式yxy x yxy x -+-+-3353的值．[提示：把xy 和x+y 当作一个整体，由已知得 ),(2y x xy +=代入]3353yxy x yxy x -+-+-11．已知20184321,,,,,a a a a a 都是正数，设N a a a a a a a M ),)((2018322017321+++++++=)(2018321a a a a ++++= ).(201732a a a +++ 试比较M ，N 的大小．12.已知,1,1-==+ab b a 设.,,,,3332221n n n b a S b a S b a S b a s +=+=+=+= (1)计算2s 的值．(2)请阅读下面计算3s 的过程：)()(22223333b a b a a b a b b a b a -+-++=+ )()()(222323b a a b b a b a b a +-+++= )()()(2222a b ab b b a a b a +-+++= ).())((22b a ab b a b a +-++=,1,1-==+ab b a=+=--⨯=+-++=+=∴1)1(1)())((2222333s s b a ab b a b a b a s _________.你读懂了吗？请你先填空完成(2)中3s 的计算结果，再用你学到的方法计算⋅4S数量关系计算⋅7sB 组13.已知代数式,)(24352dxx cx bx ax x +++当1=x 时，其值为1，那么当1-=x 时，该代数式的值为( )． 1.A 1.-B 0.C 2.D14．若,28,1422=++=++x xy y y xy x 则y x +的值为( )．7.-A 6.B 67.或-C 76.或-D15.已知⎩⎨⎧+=++=+,22,142k y x k y x 且,30<+<y x 则k 的取值范围是__________．16.已知关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-11,53by x ay x 的解为⎩⎨⎧==,6,5y x 那么关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=-++=--+11)(,5)()(3y x b y x y x a y x 的解为_________. 17. -个六位数，abcde 2的3倍等于,9abcde 则这个六位数是___________.18.已知,13-=x 那么=-+--1242322x x xx _________. 19.已知实数a ，b ，c 满足,94131313,4,1222=--+--+--=++-=c c c b b b a a a c b a abc 则2a=++22c b __________.20．分解因式：.12)2)(1(22-++++x x x x21．已知,0142=-+x x 求代数式18482234+--+x x x x 的值．22.善于思考的小明在解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=++-②①5732623,1732623y x y x yx y x 时，采用了一种“整体思想”的解法，把;732623yx y x +-和各看作一个整体，先求出它们的值，再进一步求解z ，y ． 解：由①+②得,6323=-yx 即.1823③=-y x 由①一②得,47322-=+⨯yx 即.1432④-=+y x 继续求解这个由③④构成的方程组，解得⎩⎨⎧-==.6,2y x根据以上提示，请你解决以下问题：(1)已知x ，y 满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-,3282,8220252222②①y xy x y xy x 求224y x +的值． (2)已知正数a ，b ，c 满足⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++++=+++=+++,43)2)(1(,32)2(,21)1(③②①c b c b c a c a b a ab 求a 的值．23.已知,0=++c b a 求222222222111cb a b a C ac b -++-++-+的值．答案。
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利用整体思想解题
一、整体代入
一类求代数式值的问题，若利用常规方法计算往往很复杂，甚至有时求不出具体的数值，这时若将条件和结论从一个整体的角度去分析，挖掘已知式子和待求式子的整体结构特征，将已知条件进行适当的变形，或把已知关系式作为整体代入，便可能使得求值问题变得“柳暗花明”．
例1 已知a 是方程x 2－2014x ＋1＝0的一个根，试求a 2－2013a ＋
220141
a +的值． 解 由已知得a 2－2014a ＋1＝0．
则得a 2－2013a ＝a －1，a 2＋1＝2014a ．
显然a ≠0，所以两边同除以d ，得 a ＋
12014a
=， ∴a 2－2013a ＋220141
a + ＝a －1＋20142014a
＝a ＋1120141a
-=-， ＝2013．
评析 当已知方程的解时，通常把解代入方程，然后再对等式进行移项、因式分解、配方等变形，构造出待求式子的部分或整体．
二、整体约减
整体约减思想包含整体相减和整体约分两种，在利用整体思想变形时，须掌握一些变形公式．
例2 观察下列等式： 第1个等式：111111323a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭
； 第2个等式：2111135235a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭
； 第3个等式：3111157257a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭
； 第4个等式：4111179279a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭
；
……
请回答下列问题：
(1)按以上规律列出第5个等式：a 5＝_______；
(2)用含n 的代数式表示第n 个等式：a n ＝_______＝_______；
(3)求a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100的值．
评析 本题是一道规律探究题，考查学生的观察能力、计算能力、由特殊到一般的数学思想等，解决问题的关键是发现等式中变化的数与序数的对应规律．
三、整体换元
整体换元思想是指将题目中的条件或结论看作一个整体，并用一个新量去替代，使问题转化为对这个新量的研究，从而起到化繁为简、化难为易的作用．
例3 计算： 11111111111232014232013232014⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⨯++++-++++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L L L 11123
2013⎛⎫+++ ⎪⎝⎭L ． 解 仔细观察式子，发现四个括号中的式子都含有式子
111232013+++L ． 不妨令a ＝111232013
+++L ，则
评析把111
232013
+++
L看成一个整体，并用一个新字母a来代替，使待求的式子
变成一个含有字母a的代数式，大大地简化了运算，起到了化繁为简的作用．
四、整体补形
整体补形思想是指根据已知图形的特点，将不规则或不完整的图形，通过简单的拼接，补充成规则的或完整的图形，再进行求解．
例4 如图1，六边形ABCDEF的六个角都相等，若AB＝1，BC＝CD＝3，DE＝2，则这个六边形的周长等于_______．
解分别作线段AB、CD、EF的延长线和反向延长线，使它们交于点G、H、P，如图2．∵六边形ABCDEF的六个角都等于120°，
∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°，
∴△AHF、△BGC、△DPE、△GHP都是等边三角形．
∴GC＝BC＝3，DP＝DE＝2，
GH＝GP＝GC＋CD＋DP
＝3＋3＋2＝8．
FA＝HA＝GH－AB－BG
＝8－1－3＝4．
EF＝PH－HF－EP
＝8－4－2＝2．
所以，六边形的周长为：
1＋3＋3＋2＋2＋4＝15．
评析对于不规则的图形，我们常用割补法，将其转化为规则图形加以解决．
五、整体改造
当所求的式子不易入手时，可对已知或结论进行整体改造（如因式分解、配方等），寻求它们之间的联系，当图形比较复杂时，可对图形进行分解、平移、旋转、翻折、相似变换等．
利用整体改造思想时，常用的改造途径有：数向形的改造，代数式结构的改造，条件和结论的改造，特殊和一般的改造，动和静、正和反的改造等．
例5 如图3，AB⊥BC，AB＝BC＝2cm，弧OA与弧OC关于点O成中心对称，则AB、BC、弧CO、弧OA所围成的面积是_______cm2．
解连结AC，因为弧OA与弧OC关于点O成中心对称，所以点O为AC的中点．
所以，AB、BC、弧CO、弧OA所围成的面积为
S△ABC＝1
2
×2×2＝2(cm2)．
评析本题根据中心对称的性质，把所求的不规则图形通过中心对称变换改造为规则图形，即△ABC的面积，这是问题解决的关键．
六、整体合并
解答代数问题时，有时代数式、方程或不等式进行合并，合并之后往往能凑整、消元等，这样的解题思想叫整体合并．应用整体合并思想应根据题目的特征，合理地进行合并，常用的合并方法有首尾合并、错位合并、配方合并、根据数字特征合并等．
例6 已知x，y满足方程组
21008
21005
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=-
⎩
，则x2－y2的值为_______．
解由于x2－y2＝（x＋y）(x－y)，因此只要求出x＋y、x－y这两个整体的值即可．将两个方程相减，得
x－y＝2013；
将两个方程相加整理，得
3x＋3y＝3，
化简得x＋y＝1．
∴x2－y2＝（x＋y）（x－y）
＝2013．
评析若直接解方程组求出x，y的值，再代入代数式进行计算，则计算量很大．这里采用整体合并的思想，取得了事半功倍的效果．
七、整体操作
整体操作是指从操作性问题的整体性质出发，注重对问题整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，把某些对象看做一个整体，从而有慝的地整体处理．解答操作性问题，关键是要善于运用“集成”的眼光，进行有意识的整体操作，解决这类问题一般要经历观察、思考、想象、交流、推理、操作、反思等活动过程，需要利用已有的生活经验和感知发现结论，从而解决问题．
例7 有七只茶杯，杯口朝上放在桌子上，请你把它们全部转成杯口朝下，现在要求每一次同时翻转四只茶杯，使得杯口与杯底相反．问能否经过有限次翻转后，使得所有茶杯的杯口向下？给出你的结论并加以证明．
解这是不可能做到的，我们用赋值法加以证明．
把杯口朝上的茶杯记为＋1，把杯口朝下的茶杯记为－1．这样，问题就变为＋1，＋1，＋1，＋1，＋1，＋1，＋1七个数，每次翻动，就是改变其中四个数的符号，看能否经过
有限次的翻动，把它们全部改为－1．
改变一个数的符号，也就是把这个数乘以－1．在一次翻动中，有四个数乘以－1，七个数的乘积经过一次翻动后，应当乘以(－1)4．所以七个数的乘积经过翻动，仍然保持不变，原来的七个数的乘积是＋1，不管经过多少次翻动，七个数的乘积始终是＋1，而七个－1的乘积是－1，不可能把七个数都变成－1．
评析此题若进行逐一尝试，是难以完成的，采用了赋值法——把杯口朝上的茶杯记为＋1，把杯口朝下的茶杯记为－1，从奇偶性方面做出判断，便能使问题快速得到解决．本题如果把杯子的个数改为偶数，或者每次翻动奇数个杯子，也可以用这种方法加以解决．整体化思想是解决数学问题的一种思维方法，掌握整体化思想方法有利于培养学生的直觉思维能力和发展学生的思维品质，在教学过程中，教师应该培养学生的整体化思想，寻求潜在规律，用整体化思想去解决数学问题．。