七年级数学下册《利用整体思想解题》讲义 (新版)苏科

利用整体思想解题

一、整体代入

一类求代数式值的问题，若利用常规方法计算往往很复杂，甚至有时求不出具体的数值，这时若将条件和结论从一个整体的角度去分析，挖掘已知式子和待求式子的整体结构特征，将已知条件进行适当的变形，或把已知关系式作为整体代入，便可能使得求值问题变得“柳暗花明”．

例1 已知a 是方程x 2－2014x ＋1＝0的一个根，试求a 2－2013a ＋

220141

a +的值． 解 由已知得a 2－2014a ＋1＝0．

则得a 2－2013a ＝a －1，a 2＋1＝2014a ．

显然a ≠0，所以两边同除以d ，得 a ＋

12014a

=， ∴a 2－2013a ＋220141

a + ＝a －1＋20142014a

＝a ＋1120141a

-=-， ＝2013．

评析 当已知方程的解时，通常把解代入方程，然后再对等式进行移项、因式分解、配方等变形，构造出待求式子的部分或整体．

二、整体约减

整体约减思想包含整体相减和整体约分两种，在利用整体思想变形时，须掌握一些变形公式．

例2 观察下列等式： 第1个等式：111111323a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭

； 第2个等式：2111135235a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭

； 第3个等式：3111157257a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭

； 第4个等式：4111179279a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭

；

……

请回答下列问题：

(1)按以上规律列出第5个等式：a 5＝_______；

(2)用含n 的代数式表示第n 个等式：a n ＝_______＝_______；

(3)求a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100的值．

评析 本题是一道规律探究题，考查学生的观察能力、计算能力、由特殊到一般的数学思想等，解决问题的关键是发现等式中变化的数与序数的对应规律．

三、整体换元

整体换元思想是指将题目中的条件或结论看作一个整体，并用一个新量去替代，使问题转化为对这个新量的研究，从而起到化繁为简、化难为易的作用．

例3 计算： 11111111111232014232013232014⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⨯++++-++++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

L L L 11123

2013⎛⎫+++ ⎪⎝⎭L ． 解 仔细观察式子，发现四个括号中的式子都含有式子

111232013+++L ． 不妨令a ＝111232013

+++L ，则

评析把111

232013

+++

L看成一个整体，并用一个新字母a来代替，使待求的式子

变成一个含有字母a的代数式，大大地简化了运算，起到了化繁为简的作用．

四、整体补形

整体补形思想是指根据已知图形的特点，将不规则或不完整的图形，通过简单的拼接，补充成规则的或完整的图形，再进行求解．

例4 如图1，六边形ABCDEF的六个角都相等，若AB＝1，BC＝CD＝3，DE＝2，则这个六边形的周长等于_______．

解分别作线段AB、CD、EF的延长线和反向延长线，使它们交于点G、H、P，如图2．∵六边形ABCDEF的六个角都等于120°，

∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°，

∴△AHF、△BGC、△DPE、△GHP都是等边三角形．

∴GC＝BC＝3，DP＝DE＝2，

GH＝GP＝GC＋CD＋DP

＝3＋3＋2＝8．

FA＝HA＝GH－AB－BG

＝8－1－3＝4．

EF＝PH－HF－EP

＝8－4－2＝2．

所以，六边形的周长为：

1＋3＋3＋2＋2＋4＝15．

评析对于不规则的图形，我们常用割补法，将其转化为规则图形加以解决．

五、整体改造

当所求的式子不易入手时，可对已知或结论进行整体改造（如因式分解、配方等），寻求它们之间的联系，当图形比较复杂时，可对图形进行分解、平移、旋转、翻折、相似变换等．

利用整体改造思想时，常用的改造途径有：数向形的改造，代数式结构的改造，条件和结论的改造，特殊和一般的改造，动和静、正和反的改造等．

例5 如图3，AB⊥BC，AB＝BC＝2cm，弧OA与弧OC关于点O成中心对称，则AB、BC、弧CO、弧OA所围成的面积是_______cm2．

解连结AC，因为弧OA与弧OC关于点O成中心对称，所以点O为AC的中点．

所以，AB、BC、弧CO、弧OA所围成的面积为

S△ABC＝1

2

×2×2＝2(cm2)．

评析本题根据中心对称的性质，把所求的不规则图形通过中心对称变换改造为规则图形，即△ABC的面积，这是问题解决的关键．

六、整体合并

解答代数问题时，有时代数式、方程或不等式进行合并，合并之后往往能凑整、消元等，这样的解题思想叫整体合并．应用整体合并思想应根据题目的特征，合理地进行合并，常用的合并方法有首尾合并、错位合并、配方合并、根据数字特征合并等．

例6 已知x，y满足方程组

21008

21005

x y

x y

+=

⎧

⎨

+=-

⎩

，则x2－y2的值为_______．

解由于x2－y2＝（x＋y）(x－y)，因此只要求出x＋y、x－y这两个整体的值即可．将两个方程相减，得

x－y＝2013；

将两个方程相加整理，得

3x＋3y＝3，

化简得x＋y＝1．

∴x2－y2＝（x＋y）（x－y）

＝2013．

评析若直接解方程组求出x，y的值，再代入代数式进行计算，则计算量很大．这里采用整体合并的思想，取得了事半功倍的效果．

七、整体操作

整体操作是指从操作性问题的整体性质出发，注重对问题整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，把某些对象看做一个整体，从而有慝的地整体处理．解答操作性问题，关键是要善于运用“集成”的眼光，进行有意识的整体操作，解决这类问题一般要经历观察、思考、想象、交流、推理、操作、反思等活动过程，需要利用已有的生活经验和感知发现结论，从而解决问题．

例7 有七只茶杯，杯口朝上放在桌子上，请你把它们全部转成杯口朝下，现在要求每一次同时翻转四只茶杯，使得杯口与杯底相反．问能否经过有限次翻转后，使得所有茶杯的杯口向下？给出你的结论并加以证明．

解这是不可能做到的，我们用赋值法加以证明．

把杯口朝上的茶杯记为＋1，把杯口朝下的茶杯记为－1．这样，问题就变为＋1，＋1，＋1，＋1，＋1，＋1，＋1七个数，每次翻动，就是改变其中四个数的符号，看能否经过