常微分方程应用题和答案

应 用 题（每题10分）

1、设()f x 在(,)-∞∞上有定义且不恒为零，又()f x '存在并对任意,x y 恒有

()()()f x y f x f y +=，求()f x 。

2、设()()()F x f x g x =，其中函数(),()f x g x 在(,)-∞∞内满足以下条件

()(),()(),(0)0,()()2x f x g x g x f x f f x g x e ''===+=

（1）求()F x 所满足的一阶微分方程； （2）求出()F x 的表达式。

3、已知连续函数()f x 满足条件320

()3x x

t f x f dt e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭

⎰，求()f x 。

4、已知函数()f x 在(0,)+∞内可导，()0,lim ()1x f x f x →+∞

>=，且满足

1

1

0()lim ()h x h f x hx e f x →⎛

⎫+ ⎪= ⎪

⎪⎝

⎭

，求()f x 。 5、设函数()f x 在(0,)+∞内连续，5

(1)2

f =，且对所有,(0,)x t ∈+∞，满足条件

1

1

1

()()()xt x t

f u du t f u du x f u du =+⎰

⎰⎰，求()f x 。

6、求连续函数()f x ，使它满足10

()()sin f tx dt f x x x =+⋅⎰

。

7、已知可微函数()f t 满足

31()

()1()x

f t dt f x t f t t =-+⎰，试求()f x 。

8、设有微分方程 '2()y y x ϕ-=， 其中21

()01x x x ϕ<⎧=⎨>⎩

。试求在(,)-∞∞内的连续函

数()y y x =使之在(,1)-∞和()1,+∞内部满足所给方程，且满足条件(0)0y =。

9、设位于第一象限的曲线()y f x =

过点122⎛⎫

⎪ ⎪

⎝⎭

，其上任一点(,)P x y 处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分。 （1）求曲线()y f x =的方程；

（2）已知曲线sin y x =在[0,]π上的弧长为l ，试用l 表示曲线()y f x =的弧长s 。

10、求微分方程(2)0xdy x y dx +-=的一个解()y y x =，使得由曲线()y y x =与直线

1,2x x ==以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小。

11、设曲线L 位于xOy 平面的第一象限内，L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交，交点记为

A ，已知||||MA OA =，且L 过点33,22⎛⎫

⎪⎝⎭

，求L 的方程。 12、设曲线L 的极坐标方程为(),(,)r r M r θθ=为L 上任一点，0(2,0)M 为L 上一定点，若极径0,OM OM 与曲线L 所围成的曲边扇形面积值等于L 上0,M M 两点间弧长值的

一半，求曲线L 的方程。

13、设1y x =和2ln y x x =是二阶齐次线性方程 "()'()0y p x y q x y ++= 的两个解，求

(),()p x q x 以及该方程的通解。

14、设对任意0x >，曲线()y f x =上点(,())x f x 处的切线在y 轴上的截距等于

01()x

f t dt x

⎰，求()f x 的一般表达式。

15、设函数(),()f x g x 满足'()(),'()2()x

f x

g x g x e f x ==-，且(0)0,(0)2f g ==，求

20

()()1(1)g x f x dx x x π

⎡⎤

-⎢⎥++⎣⎦

⎰

。

16、设函数()y y x =在(,)-∞+∞内具有二阶导数，且'0y ≠，()x x y = 是()y y x =的反

函数。（1）试将()x x y =满足的微分方程 3

22(sin )0d x

dx y x dy dy ⎛⎫++= ⎪⎝⎭

，

变换为()y y x =所满足的微分方程；

（2）求变换后的微分方程满足初始条件3

(0)0,

'(0)2

y y ==

的解。 17、已知连续函数f x ()满足f tx dt x f x x f t dt x

()()()01

2

01⎰⎰=+-，求f x ().

解：设u=tx ，则原式化为1102

x f u du x f x x f t dt x x ()()()=+-⎰⎰

即20

3

f t dt x xf x x

()()⎰

=+ 由f (x)连续知上式右端可导 即f (x)可导

对上式两端关于x 求导，得一阶线性方程f x x

f x x '()()-

=-1

3 所求函数为f x e

xe

dx c cx x dx

x dx

()()=⎰-⎰+=-⎰1

1

33x 2 c 为任意常数

18、.对于任意简单闭曲线L ，恒有

20224xyf x dx f x x dy L

()[()]+-=⎰

其中 f (x)在（）-∞+∞,有连续的导数，且f (0)=2.求f x ().

19、设f (x)满足)(x f '=f (1-x),求f x ()