常微分方程应用题和答案
常微分方程习题与答案
第十二章常微分方程(A)、是非题1.任意微分方程都有通解。
（）2 •微分方程的通解中包含了它所有的解。
（）3. 函数y =3si nx-4cosx是微分方程y，y=0的解。
（）4. 函数y = x2・e x是微分方程y'；"-2y ' y = 0的解。
（）5. 微分方程xy"T nx=0的通解是y =丄（1 nx）2+C （C为任意常数）。
（）26. y"=siny是一阶线性微分方程。
（）7. / = x3y3 xy不是一阶线性微分方程。
（）8 . /-2/ 5^0的特征方程为『-2—5=0。
（）9. dy = 1 x y2 xy2是可分离变量的微分方程。
（）dx、填空题1 .在横线上填上方程的名称①y _ 3 ln xdx _ xdy 二0 是__________________________ 。
②xy2 x dx y _ x2 y dy = 0 是__________________________ 。
③x-d^ = y l n 丫是。
dx x④xy ：= y x2 sin x 是__________________ 。
⑤y y -2y =0是________________________ 。
2 . y si nxy"-x=cosx的通解中应含____________ 个独立常数。
3. _____________________________________ y “ = e Qx的通解是。
4. ______________________________________ y = sin 2x - cos x 的通解是。
5. _______________________________ x^ 2x2y 2，x3y=x4，1是阶微分方程。
6•微分方程y y - y Q =0是________________ 阶微分方程。
i7. y-丄所满足的微分方程是。
常微分方程试题及答案
常微分方程试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪一项不是常微分方程的特点？A. 未知函数是连续的B. 未知函数是可微的C. 未知函数的导数是未知的D. 方程中包含未知函数的导数答案：A2. 常微分方程的解是指满足方程的函数，下列哪一项不是解的性质？A. 唯一性B. 存在性C. 可微性D. 可积性答案：D3. 一阶线性微分方程的一般形式是：A. \( y' + p(x)y = q(x) \)B. \( y' = p(x)y + q(x) \)C. \( y' - p(x)y = q(x) \)D. \( y' + p(x)y = q(x) \) 或 \( y' - p(x)y = q(x) \)答案：A4. 已知微分方程 \( y'' - y = 0 \) 的一个特解是 \( y = e^x \)，那么它的通解是：A. \( y = C_1e^x + C_2e^{-x} \)B. \( y = C_1e^x + C_2 \)C. \( y = C_1e^x + C_2e^x \)D. \( y = C_1 + C_2e^{-x} \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 微分方程 \( y'' + y' + y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1e^{-x}+ C_2e^{-\frac{1}{2}x} \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
2. 微分方程 \( y'' - 4y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
3. 微分方程 \( y'' + 4y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
数学必修二：常微分方程的应用习题答案
数学必修二：常微分方程的应用习题答案一、填空题1. 解微分方程 $\frac{dy}{dx}=\frac{x-y}{x+y}$，得到的特解为$y=$_____。
解答：首先，观察到该方程是一阶线性齐次方程的形式，所以我们假设解为 $y=ux$，代入原方程，得到 $\frac{du}{dx}=-\frac{1+u}{1-u}$。
化简后得到 $\frac{1+u}{u(1-u)}du=-dx$。
分离变量并两边积分，得到 $\ln\left|\frac{1+u}{u(1-u)}\right|=-x+c$，其中 $c$ 为常数。
进一步化简，得到 $\frac{1+u}{u(1-u)}=k\cdot e^{-x}$，其中 $k=\pm e^c$。
将$y=ux$ 代入，得到 $\frac{1+\frac{y}{x}}{\frac{y}{x}(1-\frac{y}{x})}=k\cdot e^{-x}$，整理后得到 $y=\frac{k\cdot x}{1-k\cdotx}$。
所以解为 $y=\frac{k\cdot x}{1-k\cdot x}$。
2. 解微分方程 $\frac{dy}{dx}=\frac{x^2+y^2}{2x+y}$，得到的特解为 $y=$_____。
解答：我们先观察到该方程是一个齐次方程的形式，所以我们可以做变换 $y=vx$，得到 $\frac{dv}{dx}=\frac{1+v^2}{2+v}$。
将分子移到右边并分离变量，得到 $\frac{dv}{1+v^2}=\frac{dx}{2+x}$。
对左边积分，得到$\arctan(v)=\ln|2+x|+c$，其中$c$ 为常数。
再次代入$y=vx$，得到 $\arctan\left(\frac{y}{x}\right)=\ln|2+x|+c$。
整理之后，得到$y=x\tan(\ln|2+x|+c)$。
所以解为 $y=x\tan(\ln|2+x|+c)$。
《常微分方程》题库及答案
《常微分方程》题库及答案一．求解下列方程1．求方程0sin cos =+x y dxdyx之通解; 2．求方程xx y ax dy cos 1tan =+之通解； 3．解初值问题2(1)20(0)1dy x xy dx y ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩； 4．求方程()lndy x yxy x y dx x+-=+ 之通解； 5．求方程 yx xy y dx dy 321++= 的通解； 6. 求方程 0)3()3(2323=-+-dy y x y dx xy x 的通解； 7．求由以xxx x cos ,sin 为基本解组的线性齐次方程； 8．求方程 2)(22x dx dy xdx dy y +-=的通解及奇解； 9．求方程⎰+=+xx y x dt dtt dy 02)(2))((1 的通解； 10. 求方程 0)sin ()2sin (22=-++dy y xy dx x y x 的通解； 11．求由以 x x x ln , 为基本解组的线性齐次方程； 12．求方程 2222)(12dxdy y y dx y d += 的通解. 13.求方程y y dxdyln =之通解。
14.求方程xy dxdyy x 2)(22=+之通解。
15.求方程0)(222=-+dy y x xydx 之通解。
16. 求方程y x e dxdy-=之通解。
17. 求方程0)2(=+---dy xe y dx e yy 之通解。
18. 求方程x x y y sec tan '=+之通解。
二．1．解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧-==y x e axdyy 20)1(2.求如下微分方程组之通解：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=++-=--=z x dtdz z y x dtdyz y x dt dx2. 3.求出初值问题的逐次近似解21,0y y y ：2(0)0dyx y dxy =+=⎧⎪⎨⎪⎩. 4. 求出微分方程0).().(=+dy y x N dx y x M 有形如)(22y x +=ϕυ的积分因子的充要条件。
常微分方程课后习题答案
常微分方程课后习题答案常微分方程课后习题答案在学习常微分方程的过程中，课后习题是巩固知识和提高能力的重要环节。
通过解答习题，我们可以更好地理解和应用所学的概念和方法。
下面是一些常见的常微分方程习题及其答案，供大家参考。
一、一阶常微分方程1. 求解方程：dy/dx = 2x。
解：对方程两边同时积分，得到y = x^2 + C，其中C为常数。
2. 求解方程：dy/dx = x^2 - 1。
解：对方程两边同时积分，得到y = (1/3)x^3 - x + C，其中C为常数。
3. 求解方程：dy/dx = 3x^2 + 2。
解：对方程两边同时积分，得到y = x^3 + 2x + C，其中C为常数。
二、二阶常微分方程1. 求解方程：d^2y/dx^2 + 4dy/dx + 4y = 0。
解：首先求解特征方程：r^2 + 4r + 4 = 0，解得r = -2。
因此，方程的通解为y = (C1 + C2x)e^(-2x)，其中C1和C2为常数。
2. 求解方程：d^2y/dx^2 + 2dy/dx + y = x^2。
解：首先求解特征方程：r^2 + 2r + 1 = 0，解得r = -1。
因此，方程的通解为y = (C1 + C2x)e^(-x) + (1/6)x^2 - (1/2)x + (1/2)，其中C1和C2为常数。
3. 求解方程：d^2y/dx^2 + 3dy/dx + 2y = e^(-x)。
解：首先求解特征方程：r^2 + 3r + 2 = 0，解得r = -1和r = -2。
因此，方程的通解为y = (C1e^(-x) + C2e^(-2x)) + (1/3)e^(-x)，其中C1和C2为常数。
三、应用题1. 一个物体在空气中的速度满足以下方程：dv/dt = -9.8 - 0.1v，其中v为速度，t为时间。
求物体的速度随时间的变化情况。
解：这是一个一阶线性常微分方程。
将方程改写为dv/(9.8 + 0.1v) = -dt，再两边同时积分，得到ln|9.8 + 0.1v| = -t + C，其中C为常数。
(完整版)常微分方程习题及解答
常微分方程习题及解答一、问答题：1．常微分方程和偏微分方程有什么区别？微分方程的通解是什么含义?答：微分方程就是联系着自变量，未知函数及其导数的关系式。
常微分方程，自变量的个数只有一个。
偏微分方程，自变量的个数为两个或两个以上。
常微分方程解的表达式中，可能包含一个或几个任意常数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，这样的解为该微分方程的通解。
2．举例阐述常数变易法的基本思想。
答：常数变易法用来求线性非齐次方程的通解，是将线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数来求线性非齐次方程的通解。
例：求()()dyP x y Q x dx=+的通解。
首先利用变量分离法可求得其对应的线性齐次方程的通解为()P x dxy c ⎰=l ，然后将常数c 变易为x 的待定函数()c x ，令()()P x dxy c x ⎰=l ，微分之，得到()()()()()P x dxP x dx dy dc x c x P x dx dx⎰⎰=+l l ，将上述两式代入方程中，得到 ()()()()()()()()()P x dxP x dx P x dxdc x c x P x dx c x P x Q x ⎰⎰+⎰=+l l l即()()()P x dx dc x Q x dx-⎰=l 积分后得到()()()P x dxc x Q x dx c -⎰=+⎰%l 进而得到方程的通解()()(())P x dxP x dxy Q x dx c -⎰⎰=+⎰%l l3．高阶线性微分方程和线性方程组之间的联系如何？答：n 阶线性微分方程的初值问题()(1)11(1)01020()...()()()(),(),....()n n n n n nx a t xa t x a t x f t x t x t x t ηηη---'⎧++++=⎪⎨'===⎪⎩ 其中12()(),...(),()n a t a t a t f t ，是区间a tb ≤≤上的已知连续函数，[]0,t a b ∈，12,,...,n ηηη是已知常数。
微分方程相关习题和答案
微分方程相关习题和答案微分方程是数学中的一个重要分支，它研究的是函数与其导数之间的关系。
微分方程广泛应用于物理、工程、经济等领域，是解决实际问题的有力工具。
在学习微分方程的过程中，习题是不可或缺的一部分，通过解习题可以加深对微分方程理论的理解和掌握。
下面我将给大家介绍几个微分方程相关的习题和答案。
1. 题目：求解一阶线性微分方程y' + 2xy = 3x。
解答：这是一个一阶线性常微分方程，可以使用常数变易法求解。
首先，将方程改写成标准形式y' + p(x)y = q(x)，其中p(x) = 2x，q(x) = 3x。
然后，求出齐次线性微分方程y' + 2xy = 0的通解y_h(x)。
通过分离变量法可得y_h(x) =Ce^{-x^2}，其中C为常数。
接下来，我们猜测特解y_p(x)为形如y_p(x) = Ax + B的一次多项式。
将y_p(x)代入原方程，整理得到2Ax + 2(Ax + B)x = 3x，比较系数可得A = 3/2，B = -1/4。
因此，特解为y_p(x) = (3/2)x - 1/4。
最后，将通解和特解相加，得到原方程的通解为y(x) = Ce^{-x^2} + (3/2)x - 1/4，其中C为常数。
2. 题目：求解二阶常系数齐次线性微分方程y'' - 4y' + 4y = 0。
解答：这是一个二阶常系数齐次线性微分方程，可以使用特征方程法求解。
首先，写出特征方程r^2 - 4r + 4 = 0，并求出其特征根r_1 = r_2 = 2。
由于特征根相等，所以通解形式为y(x) = (C_1 + C_2x)e^{2x}，其中C_1和C_2为常数。
如果题目给出了初始条件，可以利用初始条件求解出具体的解。
例如，若已知y(0) = 1和y'(0) = 2，代入通解中的x = 0和x = 0的导数，得到C_1 = 1和C_2 = 1。
(完整版)〈常微分方程》应用题及答案
应 用 题（每题10分）1、设在上有定义且不恒为零，又存在并对任意恒有()f x (,)-∞∞()f x ',x y ，求。
()()()f x y f x f y +=()f x 2、设，其中函数在内满足以下条件()()()F x fx g x =(),()f x g x (,)-∞∞()(),()(),(0)0,()()2xf xg x g x f x f f x g x e ''===+=（1）求所满足的一阶微分方程；()F x （2）求出的表达式。
()F x 3、已知连续函数满足条件，求。
()f x 320()3x xt f x f dt e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰()f x 4、已知函数在内可导，，且满足()f x (0,)+∞()0,lim ()1x f x f x →+∞>=，求。
110()lim ()h x h f x hx e f x →⎛⎫+ ⎪= ⎪⎪⎝⎭()f x 5、设函数在内连续，，且对所有，满足条件()f x (0,)+∞5(1)2f =,(0,)x t ∈+∞，求。
111()()()xt x tf u du t f u du x f u du =+⎰⎰⎰()f x 6、求连续函数，使它满足。
()f x 1()()sin f tx dt f x x x =+⋅⎰7、已知可微函数满足，试求。
()f t 31()()1()xf t dt f x t f t t =-+⎰()f x 8、设有微分方程 ， 其中。
试求在内的连续函'2()y y x ϕ-=21()01x x x ϕ<⎧=⎨>⎩(,)-∞∞数使之在和内部满足所给方程，且满足条件。
()y y x =(,1)-∞()1,+∞(0)0y =9、设位于第一象限的曲线过点，其上任一点处的法线与轴()y f x =12⎫⎪⎪⎭(,)P x y y 的交点为Q ，且线段PQ 被轴平分。
常微分方程试题及参考答案
常微分方程试题一、填空题(每小题3分，共39分)1.常微分方程中的自变量个数是________.2.路程函数S(t)的加速度是常数a，则此路程函数S(t)的一般形式是________.3.微分方程=g( )中g(u)为u的连续函数，作变量变换________，方程可化为变量分离方程.4.微分方程F(x,y′)=0中令P=y′,若x、P平面上的曲线F(x,P)=0的参数形式为x= (t),P=ψ(t),t为参数，则方程参数形式的通解为________.5.方程=(x+1)3的通解为________.6.如果函数f(x,y)连续，y= (x)是方程=f(x,y)的定义于区间x0≤x≤x0+h上，满足初始条件 (x0)=y0的解.则y= (x)是积分方程________定义于x0≤x≤x0+h 上的连续解.7.方程=x2+xy，满足初始条件y(0)=0的第二次近似解是________.8.方程+a1(t) +…+a n-1(t) +a n(t)x=0中a i(t) i=1,2,…，n是〔a,b〕上的连续函数，又x1(t),x2(t),…，x n(t)为方程n 个线性无关的解，则其伏朗斯基行列式W(t) 应具有的性质是：________.9.常系数线性方程x(4)(t)-2x″(t)+x(t)=0的通解为________.10.设A(t)是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵，x1(t),x2(t),…，x n(t)是方程组x′=A(t)x的n个线性无关的解向量.则方程组的任一解向量x(t)均可表示为：x(t)=________的形式.11.初值问题(t)+2x″(t)-tx′(t)+3x(t)=e-t,x(1)=1,x′(1)=2,x″(1)=3 可化为与之等价的一阶方程组________.12.如果A是3×3的常数矩阵，-2为A的三重特征值，则方程组x′=Ax的基解矩阵exp A t=________.13.方程组的奇点类型是________.二、计算题(共45分)1.(6分)解方程= .2.(6分)解方程x″(t)+ =0.3.(6分)解方程(y-1-xy)dx+xdy=0.4.(6分)解方程5.(7分)求方程：S″(t)-S(t)=t+1满足S(0)=1, (0)=2的解.6.(7分)求方程组的基解矩阵Φ(t).7.(7分)验证方程：有奇点x1=1, x2=0,并讨论相应驻定方程的解的稳定性.三、证明题(每小题8分，共16分)1.设f(x,y)及连续，试证方程dy-f(x,y)dx=0为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x的积分因子.2.函数f(x)定义于-∞<x<+∞，且满足条件|f(x1)-f(x2)|≤N|x1-x2|,其中0<N<1,证明方程x=f(x)存在唯一的一个解.常微分方程试题参考答案一、填空题(每小题3分，共39分)1.12. 2+c1t+c23.u=4. c为任意常数5.y= (x+1)4+c(x+1)26.y=y0+7. (x)=8.对任意t9.x(t)=c1e t+c2te t+c3e-t+c4te-t10.x(t)=c1x1(t)+c2x2(t) +c n x n(t)11. x1(1)=1,x2(1)=2, x3(1)=312.expAt=e-2t[E+t(A+2E)+ ]13.焦点二、计算题（共45分）1.解：将方程分离变量为改写为等式两边积分得y-ln|1+y|=ln|x|-即y=ln 或e y=2.解：令则得=0当0时-arc cosy=t+c1y=cos(t+c1) 即则x=sin(t+c1)+c2当=0时y= 即x3.解：这里M=y-1-xy, N=x令u=xye-xu关于x求偏导数得与Me-x=ye-x-e-x-xye-x 相比有则因此u=xye-x+e-x方程的解为xye-x+e-x=c4.解：方程改写为这是伯努利方程，令z=y1-2=y-1 代入方程得解方程z==于是有或5.特征方程为特征根为对应齐线性方程的通解为s(t)=c1e t+c2e-tf(t)=t+1, 不是特征方程的根从而方程有特解=（At+B）,代入方程得-(At+B)=t+1两边比较同次幂系数得A=B=-1故通解为S(t)=c1e t+c2e-t-(t+1)据初始条件得c1=因此所求解为：S(t)=6.解：系数矩阵A=则，而det特征方程det( )=0, 有特征根对对对因此基解矩阵7.解：因故x1=1，x2=0是方程组奇点令X1=x1-1, X2=x2, 即x1=X1+1,x2=X2代入原方程，得化简得*这里R(X)= , 显然（当时）方程组*中，线性部分矩阵det(A- )=由det(A- )=0 得可见相应驻定解渐近稳定三、证明题（每小题8分，共16分）1.证明：若dy-f(x,y)dx=0为线性方程则f(x,y)=因此仅有依赖于x的积分因子反之，若仅有依赖于x的积分因子。
常微分方程2.2习题参考解答
习题2.2求下列方程的解1．dxdy =x y sin +解：y=e ⎰dx (⎰x sin e ⎰-dx c dx +)=e x [-21e x -(x x cos sin +)+c]=c e x -21(x x cos sin +)是原方程的解。
2．dt dx +3x=e t2解：原方程可化为：dt dx =-3x+e t 2所以：x=e ⎰-dt 3(⎰e t 2e -⎰-dt 3c dt +)=e t 3-(51e t 5+c)=c e t 3-+51e t 2是原方程的解。
3．dt ds =-s t cos +21t 2sin 解：s=e ⎰-tdt cos (t 2sin 21⎰e dt dt ⎰3c +)=e t sin -(⎰+c dt te t t sin cos sin )=e t sin -(c e te t t +-sin sin sin )=1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。
4．dx dy nx x e y n x =-，n 为常数.解：原方程可化为：dx dy nx x e y nx +=)(c dx e x e e y dx x n n x x n +⎰⎰=⎰-)(c e x x n +=是原方程的解.5．dx dy +1212--y x x =0解：原方程可化为：dx dy =-1212+-y x x ⎰=-dx x x e y 212(c dx e x x+⎰-221))21(ln 2+=x e )(1ln 2⎰+--c dx ex x =)1(12x ce x +是原方程的解.6．dx dy 234xy x x +=解：dx dy 234xy x x +==23y x +x y 令x y u =则uxy =dx dy =u dx du x +因此：dx du x u +=2u x 21udx du =dxdu u =2c x u +=331c x x u +=-33（*）将x y u =带入（*）中得：3433cx x y =-是原方程的解.3332()21()227.(1)12(1)12(),()(1)1(1)(())1(1)dx P x dx x P x dx dy y x dx x dy y x dx x P x Q x x x e e x e Q x dx c x +--=++=+++==++⎰⎰==+⎰⎰++⎰⎰P(x)dx 232解：方程的通解为： y=e =(x+1)(*(x+1)dx+c) =(x+1)((x+23221(1)()211,()(())dy y x c dy y dx x y dx x y dy y yQ y y ye yQ y dy c -+++==+=⎰⎰==⎰⎰+⎰⎰2243P(y)dy P(y)dy P(y)dy 1)dx+c)=(x+1) 即：2y=c(x+1)+(x+1)为方程的通解。
常微分方程课后练习题含答案
常微分方程课后练习题含答案练习1：考虑动力学方程组：$$ \\begin{align} \\frac{dx}{dt}&=x(1-y)\\\\ \\frac{dy}{dt}&=y(1-x)\\end{align} $$a)画出相图b)确定方程组的固定点及其稳定性c)求出轨道在极限$\\lim\\limits_{t\\to\\infty}$时的行为答案1：a)相图如下所示：image-1b)如果(x,y)是方程组的一个固定点，则：$$ \\begin{aligned} \\frac{dx}{dt}&=0 \\\\ \\frac{dy}{dt}&=0\\end{aligned} $$由$\\frac{dx}{dt}=x(1-y)$得，固定点必须是x=0或y=1•当x=0时，$\\frac{dy}{dt}=y$，因此固定点为(0,0)，是不稳定的。
•当y=1时，$\\frac{dx}{dt}=0$，因此固定点为(1,1)，是稳定的。
综上，方程组的固定点为(0,0)和(1,1)，其中(1,1)是稳定的。
c)当$t\\to\\infty$时，我们需要检查轨道的极限行为。
假设(x(t),y(t))是由方程组确定的轨迹，x0=x(0)和y0=y(0)是轨迹的起点。
轨迹的限制曲线由y(1−x)=x(1−y)确定，展开可得y=x或xy=0.5。
将方程组改写为$$ \\frac{dy}{dx}=\\frac{y(1-x)}{x(1-y)} $$则在y=x处，$$ \\frac{dy}{dx}=1 $$这意味着沿着这个轨道移动的速度是恒定的，因此轨迹沿着一条直线移动。
由$\\frac{dy}{dx}=\\frac{y(1-x)}{x(1-y)}$可知，在非负轴上，当y>1−x时$\\frac{dy}{dx}>0$，当y<1−x时$\\frac{dy}{dx}<0$。
数学必修二：常微分方程习题答案
数学必修二：常微分方程习题答案1. 问题1已知常微分方程dy/dx = x + y，求解该微分方程。
解答：将该微分方程重新整理，得到(dy/dx) - y = x。
这是一个一阶线性常微分方程。
首先求解其齐次方程(dy/dx) = y。
解齐次方程得到y = ce^x，其中c为任意常数。
然后我们利用常数变易法，假设原方程的特解形式为y = u(x)e^x，其中u(x)是待定函数。
将y代入原方程得到(u'e^x + u)e^x - u(x)e^x = x，化简可得u'e^x = x，解这个常微分方程得到u(x) = (1/2)x^2 + C1，其中C1为常数。
因此，原方程的通解为y = ce^x + (1/2)x^2 + C1e^x，其中c和C1为任意常数。
2. 问题2已知常微分方程 dy/dx = 2xy，求解该微分方程。
解答：将该微分方程进行整理，得到 dy/dx - 2xy = 0。
这是一个一阶线性齐次微分方程。
首先求解其齐次方程 dy/dx = 2xy，将其变形为 dy/y = 2x dx，并对两边同时积分，得到 ln|y| = x^2 + C，其中C为常数。
解出y为 y = Ce^(x^2)，其中C为常数。
3. 问题3已知常微分方程 dy/dx + y = 3e^(-x)，求解该微分方程。
解答：将该微分方程进行整理，得到 dy/dx = 3e^(-x) - y。
这是一个一阶非齐次线性微分方程。
首先求解其齐次方程dy/dx = -y，得到y = Ce^(-x)，其中C为常数。
然后我们利用常数变易法，假设原方程的特解形式为y = u(x)e^(-x)，其中u(x)是待定函数。
将y代入原方程得到 (u'e^(-x) - u)e^(-x) = 3e^(-x)，化简可得 u' = 3，解这个常微分方程得到u(x) = 3x + C1，其中C1为常数。
因此，原方程的通解为 y = ce^(-x) + (3x + C1)e^(-x)，其中c和C1为任意常数。
(完整版)常微分方程试题及答案2023年修改整理
第十二章 常微分方程(A)一、是非题1．任意微分方程都有通解。
( X )2．微分方程的通解中包含了它所有的解。
( X )3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。
( O ) 4．函数x e x y ⋅=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。
( X )5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y +=2ln 21 (C 为任意常数)。
( O )6．y y sin ='是一阶线性微分方程。
( X ) 7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。
( O ) 8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。
( O )9．221xy y x dxdy +++=是可分离变量的微分方程。
( O )二、填空题1．在横线上填上方程的名称①()0ln 3=-⋅-xdy xdx y 是可分离变量微分方程。
②()()022=-++dy y x y dx x xy 是可分离变量微分方程。
③xy y dx dy x ln ⋅=是齐次方程。
④x x y y x sin 2+='是一阶线性微分方程。
⑤02=-'+''y y y 是二阶常系数齐次线性微分方程。
2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 3 个独立常数。
3．x e y 2-=''的通解是21241C x C e x ++-。
4．x x y cos 2sin -=''的通解是21cos 2sin 41C x C x x +++-。
5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是 3 阶微分方程。
6．微分方程()06='-''⋅y y y 是 2 阶微分方程。
《常微分方程》作业参考答案
《常微分方程》作业参考答案一．求解下列方程1．x c y cos =2．通解为：x x c y sin cos +=3．dx x x dy 122-= ⎰⎰--=122)1(xx d dy 2ln 1y x c =-+ 1)0(==c y 2ln |1|1y x ∴=-+4．'(1)ln(1)y yyy x x x -=++ 令 xuy x yu =⇔= (1)ln(1)dyduu x u u u dx dx ∴=+=+++故 (1)ln(1)dux u u dx =++(1)ln(1)du dx u u x =++ ln(1)ln(1)d u dxu x +=+ln ln(1)ln ln u x c ∴+=+ ln(1)u cx +=cx e u =+1 cx e x y=+∴1 )1(-=cx e x y5. 可分离变量方程，通解为.)1)(1(222cx y x =++6．齐次方程，通解为 c x x yx y =++ln 422sin .7．全微分方程，通解为 .64224c y y x x =+-8．.0222=++y dx dyx dx y d9. 解为 .)3(3x x y -=10. 通解为 .2sin 222c y x y x =++11．方程为 .011222=+-y x dx dyx dx y d12．通解为 ).tan(21c x c y +=二．1．通解为：c e e x y +=2212. 通解为： t t e c c e c z y x 2321123101210⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3.0)0(0==y y 2121x y =52220121x x y += 4. x uN y uM ∂∂=∂∂ xu N x N u y u M y M u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂ 令 u y x =+22 y u d u d y u 2⋅=∂∂∴ x ud u d x u 2⋅=∂∂ u d u d x x N u u d u d y y M u 22+∂∂=+∂∂ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=-∴y M x N u u d u d x y )(2故满定充要条件的表达式为：)(22y x xy y M xN +=--∂∂∂∂ϕ 5.)(2122y x v +=)(*dtdv)(22s x +-≤∠0 022≠+s x ∴（0.0）渐近稳定 6.一次近似方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+=--=y x dtdy y x dt dx 32 特征方程为：012=++λλ 3-=∴∆＜0 P ＝1＞0 ∴0)Re(0)Re(21<<λλ, 则（0.0）局部渐过稳定. 7.01032=--λλ 5,221=-=λλx B x B x A x A y o 2sin )(2cos )(101*1+++=为x x y y y 2cos 10'3"=-- 之特解,±2λ不是特征根5=a 是特征方程的单根 x o e c x c x c x y 52122)(++=∴*故其通解为： 215221y y e c ec y x x +++=-8.特征根为：2.1.1321==-=λλλ 11-=λ所属的特征向量为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=532α12=λ所属的特征向量为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111β13=λ所属的特征向量为：γ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101通解为：t t t e c e c e c z y x 2321101111531⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-9.0:)0(=o y y 2121x y =52220121x x y -= 10.特征方程为：01072=++λλ07>=p 010>=g 0>∆故 (0.0)为稳定结点11.1.一次近似方程为：⎪⎩⎪⎨⎧-=--=yx y x t d y d dt x d 0222=++∴λλ0)Re(1<λ 0)Re(2<λ ∴（0.0）为局部渐近稳定 2.)(2122y x v +=. )1)((2222)(-++=*y x y x l dt dv 故122<+y x 0<∴dtdv 故（0.0）局部渐近稳定. 12. 1.,00=y ,31),(3020001x dx x dx y x f y y x x==+=⎰⎰ .63131)91(),(730620102x x dx x x dx y x f y y x x+=+=+=⎰⎰ 2. ,),(22y x y x f += ∴ ,5),(max ),(==∈y x f M Dy x ,42max max ),(),(L y y f D y x D y x ===∂∂∈∈ .5252,1min ,min =⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=m b a h则 .7564)52(32145)()(322=⋅⋅⋅≤-x y x y 13. 系数阵为 ,110111110⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡- 特征方程为 .0)1()det(2=--=-λλλE A E A λ-的初等因子为 2)1(,-λλ，通解为.101010101112321t t e t c e c c z y x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛14.证：设 [).),0()(..,0+∞∈∀≤>∃x M x f t s M .则[)+∞∈∀,0x ，有 .)1()(0)(0000M y e M y ds e Me y x y x x xx s x+≤-+=+≤--⎰[]),,0()(0x C x y ∈ ∴ [].,0,)(..,00x x M x y t s M ∈≤>∃令 {},,max 0M y M K += ∴ [).,0,)(+∞∈∀≤x K x y15.通解为 .)21(221xx e x x x c e c y -++=16．,2=α 特解为 ,1x y = 通解为 ).ln 21(221x x x c x c y +-+=。
常微分方程练习试卷及答案
常微分方程练习试卷及答案常微分方程练试卷一、填空题。
1.方程d2x/dt2+1=是二阶非线性微分方程。
2.方程xdy/ydx=f(xy)经变换ln|x|=g(xy)可以化为变量分离方程。
3.微分方程d3y/dx3-y2-x=0满足条件y(0)=1,y'(0)=2的解有一个。
4.设常系数方程y''+αy'+βy=γex的一个特解y(x)=e-x+e2x，则此方程的系数α=-1，β=2，γ=1.5.朗斯基行列式W(t)≠0是函数组x1(t),x2(t)。
xn(t)在[a,b]上线性无关的条件。
6.方程xydx+(2x2+3y2-20)dy=0的只与y有关的积分因子为1/y3.7.已知X'=A(t)X的基解矩阵为Φ(t)，则A(t)=Φ(t)-1dΦ(t)/dt。
8.方程组x'=[2,5;1,0]x的基解矩阵为[2e^(5t),-5e^(5t);e^(5t),1]。
9.可用变换将伯努利方程y'+p(x)y=q(x)化为线性方程。
10.方程y''-y'+2y=2e^x的通解为y(x)=C1e^x+C2e^2x+e^x。
11.方程y'''+2y''+5y'+y=1和初始条件y(0)=y'(0)=y''(0)=0的唯一解为y(x)=e^-x/2[sin(5^(1/2)x/2)-cos(5^(1/2)x/2)]。
12.三阶常系数齐线性方程y'''-2y''+y=0的特征根是1，1，-1.二、计算题1.设曲线方程为y(x)=kx/(1-k^2)，则曲线上任一点处的斜率为y'(x)=k/(1-k^2)，切点为(0,0)，切线方程为y=kx，点(1,0)的连线斜率为-1/k，因此k=-1，曲线方程为y=-x/(1+x)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
应 用 题（每题10分）1、设()f x 在(,)-∞∞上有定义且不恒为零，又()f x '存在并对任意,x y 恒有()()()f x y f x f y +=，求()f x 。
2、设()()()F x f x g x =，其中函数(),()f x g x 在(,)-∞∞内满足以下条件()(),()(),(0)0,()()2x f x g x g x f x f f x g x e ''===+=（1）求()F x 所满足的一阶微分方程； （2）求出()F x 的表达式。
3、已知连续函数()f x 满足条件320()3x xt f x f dt e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰，求()f x 。
4、已知函数()f x 在(0,)+∞内可导，()0,lim ()1x f x f x →+∞>=，且满足110()lim ()h x h f x hx e f x →⎛⎫+ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，求()f x 。
5、设函数()f x 在(0,)+∞内连续，5(1)2f =，且对所有,(0,)x t ∈+∞，满足条件111()()()xt x tf u du t f u du x f u du =+⎰⎰⎰，求()f x 。
6、求连续函数()f x ，使它满足10()()sin f tx dt f x x x =+⋅⎰。
7、已知可微函数()f t 满足31()()1()xf t dt f x t f t t =-+⎰，试求()f x 。
8、设有微分方程 '2()y y x ϕ-=， 其中21()01x x x ϕ<⎧=⎨>⎩。
试求在(,)-∞∞内的连续函数()y y x =使之在(,1)-∞和()1,+∞内部满足所给方程，且满足条件(0)0y =。
9、设位于第一象限的曲线()y f x =过点122⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，其上任一点(,)P x y 处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分。
（1）求曲线()y f x =的方程；（2）已知曲线sin y x =在[0,]π上的弧长为l ，试用l 表示曲线()y f x =的弧长s 。
10、求微分方程(2)0xdy x y dx +-=的一个解()y y x =，使得由曲线()y y x =与直线1,2x x ==以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小。
11、设曲线L 位于xOy 平面的第一象限内，L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交，交点记为A ，已知||||MA OA =，且L 过点33,22⎛⎫⎪⎝⎭，求L 的方程。
12、设曲线L 的极坐标方程为(),(,)r r M r θθ=为L 上任一点，0(2,0)M 为L 上一定点，若极径0,OM OM 与曲线L 所围成的曲边扇形面积值等于L 上0,M M 两点间弧长值的一半，求曲线L 的方程。
13、设1y x =和2ln y x x =是二阶齐次线性方程 "()'()0y p x y q x y ++= 的两个解，求(),()p x q x 以及该方程的通解。
14、设对任意0x >，曲线()y f x =上点(,())x f x 处的切线在y 轴上的截距等于01()xf t dt x⎰，求()f x 的一般表达式。
15、设函数(),()f x g x 满足'()(),'()2()xf xg x g x e f x ==-，且(0)0,(0)2f g ==，求20()()1(1)g x f x dx x x π⎡⎤-⎢⎥++⎣⎦⎰。
16、设函数()y y x =在(,)-∞+∞内具有二阶导数，且'0y ≠，()x x y = 是()y y x =的反函数。
（1）试将()x x y =满足的微分方程 322(sin )0d xdx y x dy dy ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，变换为()y y x =所满足的微分方程；（2）求变换后的微分方程满足初始条件3(0)0,'(0)2y y ==的解。
17、已知连续函数f x ()满足f tx dt x f x x f t dt x()()()01201⎰⎰=+-，求f x ().解：设u=tx ，则原式化为1102x f u du x f x x f t dt x x ()()()=+-⎰⎰即203f t dt x xf x x()()⎰=+ 由f (x)连续知上式右端可导 即f (x)可导对上式两端关于x 求导，得一阶线性方程f x xf x x '()()-=-13 所求函数为f x exedx c cx x dxx dx()()=⎰-⎰+=-⎰1133x 2 c 为任意常数18、.对于任意简单闭曲线L ，恒有20224xyf x dx f x x dy L()[()]+-=⎰其中 f (x)在（）-∞+∞,有连续的导数，且f (0)=2.求f x ().19、设f (x)满足)(x f '=f (1-x),求f x ()20、设ϕϕ()()()x e x u u du xx=--⎰,其中ϕ(x)为连续函数,求ϕ(x )21、人工繁殖细菌，其增长速度和当时的细菌数成正比。
（1）如果4小时的细菌数为原细菌数的2倍，那么经过12小时应有多少？（2）如在3小时的时候，有细菌数410个，在5小时的时候有4410⨯个，那么在开始时有多少个细菌？应 用 题 答 案1、解： 首先从导数定义出发，证明()f x 处处可微，并求出()f x 与()f x '满足的关系，最后定出()f x 。
由于()f x 不恒为零，设0(0)0f x +≠，因而 000()(0)()(0)f x f x f x f =+=得到(0)1f =又由'(0)f 存在，对任意x 有00()()()()()'()lim limx x f x x f x f x f x f x f x x x∆→∆→+∆-∆-==∆∆ 0()[()1]lim ()(0)x f x f x f x f x∆→∆-'==⋅∆ 由此可见()f x 处处可微且满足 '()()'(0)f x f x f = 即 (0)dff dx f'= 解得'(0)()f x f x ce =又由 (0)1f = 所以 '(0)()f xf x e =。
2、解：（1）22()()()()()()()F x f x g x f x g x g x f x '''=+=+222[()()]2()()(2)2()f x g x f x g x e F x =+-=-于是()F x 满足一阶线性微分方程 224xy y e '+=（2）按一阶线性微分方程的通解公式，{}{}2222422()44dxdxx xxx x F x e e edx C e edx C e Ce ---⎰⎰=⋅+=+=+⎰⎰由 (0)(0)(0)0F f g == 得 1C =-， 于是 22()xx F x e e -=-.3、解：方程两端同时对x 求导，得到 2()3()2xf x f x e '=+ 由题设知道 0(0)01f e =+=。
故令 ()f x y = 即得 20321xx y y ey ='⎧-=⎪⎨=⎪⎩332332222dx dx xx x x x y e C e e dx e C e dx Ce e --⎡⎤⎰⎰⎡⎤=+⋅=+=-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 由 01x y == 得到 3C =于是 32()32xx f x e e =-.4、解：设1()()hf x hx y f x ⎛⎫+=⎪⎝⎭， 则 1()ln ln ()f x hx y h f x +=. 因为 0001()[ln ()ln ()]limln lim lnlim [ln ()]()h h h f x hx x f x hx f x y x f x h f x hx→→→++-'===， 故1[ln ()]0()lim ()hx f x h f x hx e f x '→⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 由已知条件得 1[ln ()]x f x xe e'=，因此 1[ln ()]x f x x '=，即 21[ln ()]f x x'=. 解之得 1()xf x Ce-= 。
由lim ()1x f x →+∞=，得 1C =。
故 1()xf x e -=。
5、解：由题意可知，等式的每一项都是x 的可导函数，于是等式两边对x 求导，得1()()()ttf xt tf x f u du =+⎰ （1）在（1）式中令1x =，由5(1)2f =，得 15()()2t tf t t f u du =+⎰， （2）则()f t 是(0,)+∞内的可导函数，（2）式两边对t 求导，得 5()'()()2f t tf t f t +=+，即 5'()2f t t=。
上式两边求积分，得 5()ln 2f t t C =+由5(1)2f =，得52C =。
于是 5()(ln 1)2f t t =+。
6、解：令,u tx du xdt ==，原方程变为 01()()sin xf u du f x x x x=+⎰ 即20()()sin x f u du xf x x x =+⎰.两边求导数，得到 2()()()2sin cos f x f x xf x x x x x '=+++'()2sin cos f x x x x =--积分得 ()2cos sin 2cos sin cos f x x xd x x x x x C =-=-++⎰cos sin x x x C =-+.7、解：首先从题设可求得 (1)1f =， 方程两边求导得 3()'()()f x f x x f x x=+.记 ()y f x = ，得 3'yy x y x=+ 考虑 ()x x y =，方程可化为伯努利方程31dx x x dy y-= 且 11x y == 令 232u xdu x dx --==-22du u dy y+=- 22322122233dy dy y y C u e C edy C y y y y -⎡⎤⎰⎰⎡⎤=+-⋅=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰ 变量还原得 22123C y x y =- 或者23()2()3f x f x C x +=. 又因为(1)1f =，代入上式可得C =53。
即 23()25().33f x f x x +=8、解：当1x <时， 22y y '-=22222111221dxdx x x x y e C e dx e C e dx C e --⎡⎤⎰⎰⎡⎤=+=+=-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 1x < 由 (0)0y = 代入得 11C = 所以 21(1)xy e x =-< 当 1x > 时 20y y '-=通解为 2222(1)dxxy C e C e x ⎰==>由 1x = 处()y x 是连续的 2222221010lim lim (1)1xx x x C eC e e e →+→-==-=-.所以 2221C e e =- 221C e =-.于是若补充函数值 211x y e ==- ，则得到(,)-∞∞上连续函数是所求的函数22211()(1)1x xe x y x e e x -⎧-≤=⎨->⎩是所求的函数。