随机事件与概率习题

课题：第一章随机事件与概率总复习
教学目的：使学生系统的掌握第一章得重点内容
重点：知识点的回顾
难点：应用混合知识点做题
基本能力：可以分清楚不同类型概率的计算方法
课的类型：复习课
教学过程
一、组织教学
检查出席，相互问好
二、讲新课
第一章习题课
一、知识点归纳
1、事件之间的关系与事件的运算（包含、并、交、差、互斥、互逆）
2、事件的运算法则
2、古典概型的概率定义及计算
3、概率的性质
4、条件概率及其计算公式
5、与条件概率有关的三个公式:乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式。

6、事件的独立性
7、贝努力概型
详细讲解：
1、事件之间的关系有7种：
（1）包含关系--如果事件A的发生必然导致事件B的发生，则称事件B包含事件A，或称事件A是事件B的子事件，记作A⊂B或B⊃A。

（2）相等关系—如果A B
=。

⊂同时成立，则称事件A与B相等，记为A B
⊂和B A
（3）事件的和（并）--“二事件A与B中至少有一个事件发生”，这样的一个事件称为事件A与B的和（或并），记作A B（或A+B）。

（4）事件的积（交）--“二事件A与B同时发生”这样的事件称为事件A与B的积（或交），记作A B（或AB）。

AB是由既包含在A中又包含在B中的试验结果构成。

（5）事件的差—“事件A发生而事件B不发生”这样的事件称为事件A与B的差，记作
A-B 。

A-B 是由所有包含在A 中而不包含在B 中的试验结果构成，即A-B=A-AB 。

（6）事件的互不相容（互斥）--如果事件A 与事件B 不能同时发生，即AB=φ，则称事件A 与B 互不相容（或互斥）。

互不相容事件A 与B 没有公共的样本点。

（7）事件的对立（互逆）--若A 是一个事件，令A A -Ω=，称A 是A 的逆事件（或对立事件）。

这说明A 与A 中必然有一个发生，且仅有一个发生，即事件A 与A 满足条件：A A =φ，A ⋃A =Ω。

2、（a ）交换率：A ⋃B=B ⋃A ，AB=BA ；
（b ）结合率：（A ⋃B ）⋃C=A ⋃（B ⋃C ），（AB ）C=A （BC ） （c ）分配率：A （B ⋃C ）=AB ⋃AC ，A ⋃（BC ）=（A ⋃B ）（A ⋃C ） （d ）德·摩根（De Morgan ）律：B A ⋃ =A B ，AB =A ⋃B
3、古典概型：具有（1）全部基本事件的个数是有限的；（2）每个基本事件发生的可能性是相等的。

这样两个特点的随机试验模型称为古典概型。

古典概型的计算方法（概率的古典定义）：对于给定的古典概型，若样本空间中基本事件总数为n ，事件A 包含m 个基本事件，则事件A 的概率为 A ()m P A n =
=事件包含的基本事件个数样本空间中基本事件总数
4、概率的性质：
（1）对于任一事件A ，有0()1P A << （2）()1,()0P P Ω=∅=
（3）（互斥事件的概率加法公式）：如果两个事件A 与B 互补相容，则
()()()P A B P A P B +=+
（4）（逆事件的概率公式）：对于任一事件()1()P A P A =- （5）（概率的加法公式）：对于任意两个事件A 与B ，有 ()()()()P A B P A P B P AB +=+-
5、条件概率：如果事件A ，B 是同一试验的两个随机事件，则称在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为条件概率，记为 (|)P B A 。

计算方法：1A B P(A)P(AB)P(B|A)=
P(A)⎧
⎪⎪⎪
⎨⎪⎪⎪⎩
、在缩小的样本空间中求事件的概率2、在样本空间中，先求P(AB)和，再根据公式求出
6、○1乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)【用于计算两个事件的交事件的概率的一种方法】
○2乘法公式的推广：P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) ○3全概率公式：设设事件1A ，2A ，
，A n 构成完备事件组，P(A )>0i ，则对任意
事件B (P(B)>0)，有1
P(B)=P(A )P(B|A )n
i i i =∑【用于计算比较发杂且可以分解为几个若不相
关的简单事件之和的事件的概率的一种方法，其关键是找到导致事件B 发生的所有互不相容的事件（完备事件组），事件B 的发生要受1A ，2A ，
，A n 的影响，因而可将B
分解成若干个互不相容的事件，只要知道了各种原因1A ，2A ，，A n 发生的概率以及
在各种原因发生的条件下事件B 发生的概率】
○4贝叶斯公式：设事件1A ，2A ，，A n 构成完备事件组，P(A )>0i ，则对任意事
件B (P(B)>0)，有1
()(|)
(|)()(|)
k k k n
i
i
i P A P B A P A B P A P B A ==
∑ 【用于计算在观察事件B 发生的条件下，
导致B 发生的每个原因的概率】
7、两个事件的独立性：如果事件A 的发生不影响事件B 发生的概率，即(|)()P B A P B =，则称事件B 对事件A 是独立的。

事件的独立性的性质：
○1若事件B 对事件A 独立，且P(B)>0，则事件A 对事件B 也是独立的，即事件的独立是相互的。

○
2事件A 与事件B 相互独立的充要条件P(AB)=P(A)P(B) ○
3如果事件A 与事件B 相互独立，则有P(AB)=P(A)P(B)，P(AB)=P(A)P(B)，
P(AB)=P(A)P(B)
8、有限个事件的独立性的性质： （1）12
12P(A A A )=P(A )P(A )
P(A )n n
（2）1212P(A +A ++A )=1-P(A )P(A )P(A )n n
9、贝努力试验：如果构成N 次独立试验的每一次试验都只有两个可能结果：事件A 发生
或不发生（A A ，
） ，并且每次试验中事件A 发生的概率都不变，则称这样的n 次独立试验为贝努力概型。

计算方法：在n 重贝努力试验中，若事件A 发生的概率为p （01p <<），则在n 次试验
中，事件A 恰好发生了k 次得概率为 P (k)=C (1)
k k n k
n n p p --【用于计算事件A 在N 次重复试验中出现k 次得概率】
二、习题讲解
1、指出下列事件中那些是必然事件、不可能事件、随机事件？
（1）某地明年5月1日最高温度不低于24C
（2
（3）某公交车站有5
（4）当0a >时，曲线2y ax =
（52、设,,A B C 为是三个基本事件，试将下列事件用,,A B C 的运算式表示：
（1）,A B 发生，但C
（2）,,A B C
（3）,,A B C
（4）,,A B C
（5）,,A B C
（6）,,A B C
（7）,,A B C 中至少有两个发生。

3、写出下列随机试验的样本空间Ω
（1）从甲乙丙丁4
为学生中推选2名参加数学竞赛，其中一位参加省级竞赛，另一个参加国家级竞赛；
（2）3枚硬币同时投掷一次，i A 表示“第i 枚硬币掷出正面”；
（3
）在10件产品中有3件次品，每次从中取1件，去后不放回，直到3件次品都取出为止，记录可能抽取的次数；
（4）在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。

6、一副52张的扑克牌中任取4张，求其花色各不相同的概率。

7、掷一枚硬币，连续3次，求既有正面又有反面出现的概率。

8、从0,1,2,
,9这10个数字中每次任取1个，
然后放回，共取
3次，求下列事件的概率： （1）5
（2）5个数字不含1和0（3）5个数字中，1恰好出现2
9、10件产品中有8件正品，从中任取3件，求：
（1）3
（2
）2见正品，1
（3
10、房间里有10个人分别佩戴从1到10号纪念章，任选3个人，
记录他们的纪念章号，求：
（1）最小号码为5
（2）最大号码为5的概率
110.6，甲乙同时击中的概率为0.3
12、按由小到大的次序排列下面4个数
(),(),(),()+
()P A P A B P AB P A P B +
13、某工厂的产品分为一级品、二级品、三级品三档。

在正常生产的条件下，出现二级品的概率是0.06出现三级品的概率为
0.02，其余都是一级品，求出现一级品的概率
14、某公司购进一批电视机，经检验，外观有缺陷的占5%，显像管有缺陷的占6%，其他部分有缺陷的占8%，外观及显像管都有缺陷的占0.3%，显像管及其他部分由缺陷的占0.5%，外观及其他部分有缺陷的占0.4%，三者都有缺陷的占0.02
%，从中任取一件，
15、在对200家公司的最新调查中发现，40%的公司在大理研究广告的效果，50%的公司
在进行短期的销售预测，而30%的公司在从事这两项研究，假设从这200家公司中任选一家，记事件
A 为该公司在研究广告效果，事件
B 为该公司进行短期销售预测。

求：
(),(),(),(|),(|)P A P B P A B P A B P B A +
16、10个零件中有3个次品，每次从中任取一个，取出的不再放回，如果已知第一、二
次取出的都是次品，求第三次取出的是正品的概率。

17、罐子中有一个白球和一个黑球，每次取一个，直到取出黑球为止，当取出白球时，把该白球放回并补充放入两个白球，求在前三次取出球中黑球不出现的概率。

18、制造一种零件可以采用两种工艺，第一种经过三道工序，每道工序出废品的概率为0.1,0.2,0.3,；第二种经过两道工序，每道工序出废品的概率均为0.3,。

如果采用第一种工艺，则在合格的零件得到一级品的概率为0.9，而采用第二种工艺为0.8，是确定那种工艺得到一级品的概率较大。

19、袋中有3个红球，2个白球，每次任取一个，无放回的取两次，求： （1）第二次才取到红球的概率； （2）第二次取到红球的概率。

解：设A i 表示“第i 次取到红球“
（1）1212123
()()(|)0.354
P A A P A P A A ==⨯=
（2）21212121121()()()
=()(|)()(|)3223
=+=0.65454
P A P A A P A A P A P A A P A P A A =++⨯⨯
20、市场供应的蔬菜中，东城区生产的占70%，西城区生产的占30%；东城区生产的蔬菜中甲级品占95%，西城区的蔬菜中甲级品占80%，求
（1）买到甲级品的概率；
（2）如果已知买到的是甲级品，求他是东城区生产的概率；
（3）如果已知买到的蔬菜不是甲级品，求他是西城区生产的概率。

解：设A1表示“东城区生产”，2
A表示“西城区生产”
B表示“买到的是甲级品”，则
（1）()(|1)(1)(|2)(2)
P B P B A P A P B A P A
=+
0.70.950.30.80.905
=⨯+⨯=
（2）
(1)0.70.95131 (1|)
()0.905188
P BA
P A B
P B
⨯
===
（3）
(2)0.30.212 (2|)
0.09519
()
P BA
P A B
P B
⨯
===
21、两台机床加工同种零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02，加工出来的零件放在一起，并且知道第一台加工的毕第二台加工的多一倍，（1）求任取一个零件是合格品的概率；
（2）如果任取的零件经检查是废品，求他是第二台机床生产的概率。

解：设Ai表示“第i台机床生产的”，B表示“取出的是废品”
则可知，
21 (1),(2)
33 P A P A
==
（1）()(1)(|1)(2)(|2) P B P A P B A P A P B A
=+
21
0.970.980.973
33
=⨯+⨯=
（2）
1
0.02
(2)3
(2|)0.25
0.027
()
P BA
P A B
P B
⨯
===
22、设甲乙两批种子，发芽率分别是0.8和0.7，在两批种子中各随机取1粒，求：（1）2
（2
（3
23、某零件需经4道工序才能成形，4道工序出废品与否是相互独立的，且出废品的概率依次是0.1,0.2，0,3,0.15。

试求零件为废品的概率。

解：设Ai表示“第i道工序出废品”
B表示“零件为废品”
()=P(A1+A2+A3+A4)=1-P(A1)P(A2)P(A3)P(A4) P B
1(10.1)(10.2)(10.3)(10.15)0.5716
=-----=
24、某光学仪器厂生产的透镜进行下落试验，第一次落下打破的概率为1
2
，第二次落下
打破的概率为
3
10
，第三次下落打破的概率为
9
10
，求透镜下落三次打破的概率。

25、如图所示，有4个阀门连接在一起，如果阀门发生故障，水便不能通过，假设,,,
A B C D4个阀门出故障的概率均为0.2，求水流过,a b间的概率。

26、设,A B为两个事件，(|)(|)
P A B P A B
=,()0
P A>,
()0
P B>,证明：,A B相互独立。

27、一批产品次品率为10%，每次抽取1件，有放回的抽取5次，求恰有2件是次品的概率。

28、某类灯泡使用时数在5000h以上的概率为0.2，求3个灯泡在使用5000小时以后最多只有1
29、某举重运动员在每次试举中打破世界纪录的概率为p，如果在举重比赛中可以试举3
30、一个工人负责维修12台同种类型的机器，若每台车床在任一时刻处于停车的概率为
3
1
，求任一时刻车间里恰有4台车床处于停车状态的概率。

31、某班有20名男生，10名女生，教师提出3个问题，每个问题有一个学生回答，试求回答问题者是两名男生和一名女生的概率 解：设{}A =男生回答 {}B =女生回答
由题知 2()3P A =
，1()3
P B = 一共有三个问题，结果有两个“男生回答”或“女生回答”， 所以为3重贝努力试验，其中2
3,2,3
n k p ===
2233214(2)()()339
P C =⨯=
32、一大批产品中有30%的一级品，从中抽取5
件进行检查，求：
（1）取出5件中恰有2（2）取出5
件中至少2件一级品的概率三、补充习题
1、掷一枚质地均匀的骰子，则在出现奇数点的条件下出现3点的概率为（ A ）。

(A)1/3 (B)2/3 (C)1/6 (D)3/6 解析：设A={出现奇数点}，B={出现3点} 则，P(B|A)=1/3
2、设1P(A)=3，1P(B)=4，1
P(A+B)=2
，则P(A+B)=
解析：P(A+B)=P(AB)=1-P(AB)=1-[P(A)+P(B)-P(A+B)]
11111
=1-[+-]=34212
3、10把钥匙中有3把能打开门，今任意取两把，求能打开门的概率。

4、设在独立重复实验中，每次实验成功概率为0.5，问需要进行多少次实验，才能使至
少成功一次的概率不小于0.9。

()10.50.9n
-≥ 4n ≥
5、某种动物活到25岁以上的概率为0.8，活到30岁的概率为0.4，则现年25岁的这种
动物活到30岁以上的概率是（ D ）。

A. 0.76
B. 0.4
C. 0.32
D. 0.5
6、
一个射手命中率为80%,另一射手命中率为70%,两人各射击一次,两人中至少有一个人7、从54只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？
8、已知()0.4,()0.5,()0.2P A P B P AB ===，则()P A B +=0.2。