数形结合思想在解题中的应用(包含30例子)

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数形结合思想在解题中的应用(包含30例子)

数形结合思想在解题中的应用(包含30例子)

一、知识整合

1.数形结合是数学解题中常用的思想方法,使用数形结合的方法,很多问题能迎刃而解,且解法简捷。所谓数形结合,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数,以数解形”,使复杂问题简单化,抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质,它是数学的规律性与灵活性的有机结合。

2.实现数形结合,常与以下内容有关:①实数与数轴上的点的对应关系;②函数与图象的对应关系;③曲线与方程的对应关系;④以几何元素和几何条件为背景,建立起来的概念,如复数、三角函数等;⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

22

-+-=

214

x y

如等式()()

3.纵观多年来的高考试题,巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题,可起到事半功倍的效果,数形结合的重点是研究“以形助数”。

4.数形结合的思想方法应用广泛,常见的如在解方程和解不等式问题中,在求函数的值域,最值

问题中,在求复数和三角函数问题中,运用数形结合思想,不仅直观易发现解题途径,而且能避免复杂的计算与推理,大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越,要注意培养这种思想意识,要争取胸中有图,见数想图,以开拓自己的思维视野。 二、例题分析 例1.的取值范围。

之间,求

和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322

-=++

:0

)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方,其图象与令

()13(1)0y f x f =-->的解,由的图象可知,要使二根都在,之间,只需,(3)0

f >,

()()02b

f f k a

-

=-<10(10)k k -<<∈-同时成立,解得,故,

例2.

解不等式

x x +>2

解:法一、常规解法: 原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>⎧⎨⎪

⎪<+≥⎧⎨

⎩020

2020

2

解,得;解,得()()I x II x 0220

≤<-≤<

综上可知,原不等式的解集为或{|}{|}

x x x x x -≤<≤<=-≤<200222

法二、数形结合解法:

令,,则不等式的解,就是使的图象

y x y x x x y

x 1

2

1

222=+=+>=+

在的上方的那段对应的横坐标,y x 2=如下图,不等式的解集为{|}

x x x x A B ≤<

而可由,解得,,,x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。

{|}x x -≤<22

例3. 已知,则方程的实根个数为01<<=a a x x a |||log |(

)

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 1个或2个或

3个 分

判断方程的根的个数就是判断图象与的交点个数,画

y a y x x a ==|||log |

出两个函数图象,易知两图象只有两个交点,故方程有2个实根,选(B )。

例4. 如果实数、满足,则

的最大值为x y x y y

x

()()

-+=2322

A B C D ..

.

.1

2

33

32

3

:等式有明显的几何意义,它表坐标平面上的一个圆,

()x y -+=2322

圆心为,,半径,如图,而

则表示圆上的点,与坐()()()20300

r y x y x x y ==--

标原点,的连线的斜率。如此以来,该问题可转化为如下几何问题:动点()00A

在以,为圆心,以为半径的圆上移动,求直线的斜率的最大值,由图

()203OA 可见,当∠在第一象限,且与圆相切时,的斜率最大,经简单计算,得最

A OA

大值为°tg 603

=

例5. 已知,满足,求的最大值与最小值

x y x y y x 22

1625

13+=-

分析:

对于二元函数在限定条件下求最值问题,常采用

y x x y -+=31625

122

构造直线的截距的方法来求之。 令,则,y x b y x b -==+33 原问题转化为:在椭圆上求一点,使过该点的直线斜率为,

x y 22

1625

13+=

且在轴上的截距最大或最小,

y

由图形知,当直线与椭圆相切时,有最大截距与最小

y x b x y =++=31625

122

截距。 y x b x y x bx b =++=⎧⎨⎪⎩

⎪⇒++-=316251169961640002

2

22

由,得±,故的最大值为,最小值为。

∆==--01331313b y x

例6.

若集合,,集合,M x y x y N x y y x b ===⎧⎨⎩<<⎧⎨⎪⎩⎪⎫⎬⎪

⎪==+()cos sin (){()|}

330θθθπ

且≠,则的取值范围为

M N b ∅

分析

:M x y x y y M =+=<≤{()|}(),,,显然,表示以,为圆心,

2290100

以3为半径的圆在x 轴上方的部分,(如图),而N 则表示一条直线,其斜率k=1,纵截

距为,由图形易知,欲使≠,即是使直线与半圆有公共点,b M N y x b ∅=+

显然的最小逼近值为,最大值为,即b b --<≤332332

例7.

点是椭圆上一点,它到其中一个焦点的距离为,为

M x y F N 22

12516

12+=

MF 1的中点,O 表示原点,则|ON|=( )

A B C D (3)

2248 分析:①设椭圆另一焦点为F 2,(如图), 则,而||||MF MF a a 1

2

25+==

||||MF MF 1228

==,∴ 又注意到N 、O 各为MF 1、

F 1F 2的中点, ∴ON

是△MF 1F 2

的中位线,

∴×||||ON MF ===121

2

842

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