数形结合思想在解题中的应用(包含30例子)
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数形结合思想在解题中的应用(包含30例子)
数形结合思想在解题中的应用(包含30例子)
一、知识整合
1.数形结合是数学解题中常用的思想方法,使用数形结合的方法,很多问题能迎刃而解,且解法简捷。所谓数形结合,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数,以数解形”,使复杂问题简单化,抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质,它是数学的规律性与灵活性的有机结合。
2.实现数形结合,常与以下内容有关:①实数与数轴上的点的对应关系;②函数与图象的对应关系;③曲线与方程的对应关系;④以几何元素和几何条件为背景,建立起来的概念,如复数、三角函数等;⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
22
-+-=
214
x y
如等式()()
3.纵观多年来的高考试题,巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题,可起到事半功倍的效果,数形结合的重点是研究“以形助数”。
4.数形结合的思想方法应用广泛,常见的如在解方程和解不等式问题中,在求函数的值域,最值
问题中,在求复数和三角函数问题中,运用数形结合思想,不仅直观易发现解题途径,而且能避免复杂的计算与推理,大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越,要注意培养这种思想意识,要争取胸中有图,见数想图,以开拓自己的思维视野。 二、例题分析 例1.的取值范围。
之间,求
和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322
-=++
分
析
:0
)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方,其图象与令
()13(1)0y f x f =-->的解,由的图象可知,要使二根都在,之间,只需,(3)0
f >,
()()02b
f f k a
-
=-<10(10)k k -<<∈-同时成立,解得,故,
例2.
解不等式
x x +>2
解:法一、常规解法: 原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>⎧⎨⎪
⎩
⎪<+≥⎧⎨
⎩020
2020
2
解,得;解,得()()I x II x 0220
≤<-≤<
综上可知,原不等式的解集为或{|}{|}
x x x x x -≤<≤<=-≤<200222
法二、数形结合解法:
令,,则不等式的解,就是使的图象
y x y x x x y
x 1
2
1
222=+=+>=+
在的上方的那段对应的横坐标,y x 2=如下图,不等式的解集为{|}
x x x x A B ≤<
而可由,解得,,,x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。
{|}x x -≤<22
例3. 已知,则方程的实根个数为01<<=a a x x a |||log |(
)
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 1个或2个或
3个 分
析
:
判断方程的根的个数就是判断图象与的交点个数,画
y a y x x a ==|||log |
出两个函数图象,易知两图象只有两个交点,故方程有2个实根,选(B )。
例4. 如果实数、满足,则
的最大值为x y x y y
x
()()
-+=2322
A B C D ..
.
.1
2
33
32
3
分
析
:等式有明显的几何意义,它表坐标平面上的一个圆,
()x y -+=2322
圆心为,,半径,如图,而
则表示圆上的点,与坐()()()20300
r y x y x x y ==--
标原点,的连线的斜率。如此以来,该问题可转化为如下几何问题:动点()00A
在以,为圆心,以为半径的圆上移动,求直线的斜率的最大值,由图
()203OA 可见,当∠在第一象限,且与圆相切时,的斜率最大,经简单计算,得最
A OA
大值为°tg 603
=
例5. 已知,满足,求的最大值与最小值
x y x y y x 22
1625
13+=-
分析:
对于二元函数在限定条件下求最值问题,常采用
y x x y -+=31625
122
构造直线的截距的方法来求之。 令,则,y x b y x b -==+33 原问题转化为:在椭圆上求一点,使过该点的直线斜率为,
x y 22
1625
13+=
且在轴上的截距最大或最小,
y
由图形知,当直线与椭圆相切时,有最大截距与最小
y x b x y =++=31625
122
截距。 y x b x y x bx b =++=⎧⎨⎪⎩
⎪⇒++-=316251169961640002
2
22
由,得±,故的最大值为,最小值为。
∆==--01331313b y x
例6.
若集合,,集合,M x y x y N x y y x b ===⎧⎨⎩<<⎧⎨⎪⎩⎪⎫⎬⎪
⎭
⎪==+()cos sin (){()|}
330θθθπ
且≠,则的取值范围为
。
M N b ∅
分析
:M x y x y y M =+=<≤{()|}(),,,显然,表示以,为圆心,
2290100
以3为半径的圆在x 轴上方的部分,(如图),而N 则表示一条直线,其斜率k=1,纵截
距为,由图形易知,欲使≠,即是使直线与半圆有公共点,b M N y x b ∅=+
显然的最小逼近值为,最大值为,即b b --<≤332332
例7.
点是椭圆上一点,它到其中一个焦点的距离为,为
M x y F N 22
12516
12+=
MF 1的中点,O 表示原点,则|ON|=( )
A B C D (3)
2248 分析:①设椭圆另一焦点为F 2,(如图), 则,而||||MF MF a a 1
2
25+==
||||MF MF 1228
==,∴ 又注意到N 、O 各为MF 1、
F 1F 2的中点, ∴ON
是△MF 1F 2
的中位线,
∴×||||ON MF ===121
2
842