四、数字摄影测量学共线条件方程

y
Y x
X
M
Xs
共线条件方程
X X A X s Y 1 YA Ys Z Z Z A s
X x a1 Y R y b1 Z f c 1 a2 b2 c2 a3 x b3 y f c3
如果已知像点坐标x，y以及一定数量的地面控 制点坐标，根据共线方程，反求每张橡片的6个 外方位元素，就能恢复航摄像片与被摄地面之 间的相互关系，重建地面立体模型，这种方法 称为单张像片的空间后方交会。
立体像对空间前方交会
z1 y1 S1 x1 a1(x1,y1) S2 a2(x2,y2) z2 y2 x2
《摄影测量学》第二章
共线条件方程
主要内容
一、共线条件方程的原理
二、共线条件方程的一般形式 三、共线条件方程的应用 四、有理函数模型
一、共线方程原理 共线方程是通过摄影机的内、外方位元 素，描述三点共线的数学方程式：
三点？
摄影中心
S
z S
地面点
y x
A
像点
a
Z
o
Y X
a(x, y,-f) A (X,Y,Z)
解析测图仪或数字摄影测量工作站就是由 共线方程实现的 输入 X、 Y、 Z 共线方程
x x0 f y y0 f a1( X X S ) b1(Y YS ) c1( Z Z S ) a3 ( X X S ) b3 (Y YS ) c3 ( Z Z S ) a2 ( X X S ) b2 (Y YS ) c2 ( Z Z S ) a3 ( X X S ) b3 (Y YS ) c3 ( Z Z S )
DenS ( Pn , Ln , H n ) d 0 d1Ln d 2 Pn d3 H n d 4 Ln Pn d 5 Ln H n d 6 Pn H n d 7 Ln 2 d8 Pn 2 d9 H n 2 d10 Pn Ln H n d11Ln 3 d12 Ln Pn 2 d13 Ln H n 2 d14 Ln 2 Pn d15 Pn3 d16 Pn H n 2 d17 Ln 2 H n d18 Pn 2 H n d19 H n 3
4个方程求解三个未知数，即可得到像对所对应的地 面点的三维坐标
像片仿真
z
已知 •内、外方位元素
S(Xs, Ys, Zs)
y x a (x,y)
Z
•地面点空间坐标
•DEM •DOM
Y A(X,Y,Z) X
a1 ( X X s ) b1 (Y Ys ) c1 ( Z Z s ) xf a3 ( X X s ) b3 (Y Ys ) c3 ( Z Z s ) a2 ( X X s ) b2 (Y Ys ) c2 ( Z Z s ) yf a3 ( X X s ) b3 (Y Ys ) c3 ( Z Z s )


它通过一个比值多项式建立了一个点的大地坐 标与其影像坐标间的关系。
基于RFM立体模型构建
RPC模型：
NumL( Pn , Ln , H n ) rn DenL ( P , L , H ) n n n 比值多项式： NumS ( Pn , Ln , H n ) cn DenS ( Pn , Ln , H n )
单像测图
z1 y1 S1 Z x1 a1(x1,y1) S2 a2(x2,y2) z2 y2 x2
已知 •内、外方位元素 •像点坐标 •DEM（Zs）
Y
A(X,Y,Z)
X
( X X s ) (Z Z s )
a1 x a 2 y a3 f c1 x c2 y c3 f
b1 x b2 y b3 f (Y Ys ) ( Z Z s ) c1 x c2 y c3 f
输出 x、 y
X
Z
Y
二、共线条件方程的一般形式
中心投影
像片的基本知识回顾
内外方位元素
常用坐标系 空间坐标变换

什么是共线条件方程

共线条件方程的推导
共线条件
X Y Z 1 X A X s YA Ys Z A Z s
Z z s Z Ztp Ytp Zs X XA- Xs Ys N Xtp
上式中：
a8 Pn 2 a9 H n 2 a10 Pn Ln H n a11Ln3 a12 Ln Pn 2 a13 Ln H n 2 a14 Ln 2 Pn a15 Pn3 a16 Pn H n 2 a17 Ln 2 H n a18 Pn 2 H n a19 H n 3
Z
Y
A(X,Y,Z) X
等号左边x，y，等号右边X，Y，Z
若只有一张影像即单像，两个方程，解算三个未知 数，即使知道像点坐标以及外方位元素，仍无法解 算地面X，Y，Z三维坐标。
此时，必须使用两张影像，即一个像对来进行解算， 这种方法被称为立体像对空间前方交会。
左片：
a1 ( X X s ) b1 (Y Ys ) c1 (Z Z s ) x1 f a3 ( X X s ) b3 (Y Ys ) c3 (Z Z s ) a2 ( X X s ) b2 (Y Ys ) c2 (Z Z s ) y1 f a3 ( X X s ) b3 (Y Ys ) c3 (Z Z s )
b14 Ln 2 Pn b15 Pn 3 b16 Pn H n 2 b17 Ln 2 H n b18 Pn 2 H n b19 H n 3
c8 Pn 2 c9 H n 2 c10 Pn Ln H n c11Ln 3 c12 Ln Pn 2 c13 Ln H n 2 c14 Ln 2 Pn c15 Pn 3 c16 Pn H n 2 c17 Ln 2 H n c18 Pn 2 H n c19 H n 3

目前，许多影像数据如：IKONOS、QuickBird等均在 其元数据中提供以上所有参数。
RPC模型：
有些影像数据不提供RPC参数，或提供的参 数精度不高，此时可利用部分控制点，采用最 小二乘原理进行系数解算，最终获得模型。
RPC模型的优点：

通用性高、与传感器无关、形式简单。 与之对应的严格成像模型，都是从轨道模型、姿态 模型、成像几何等方面出发来建立构像模型，与传 感器等密切相关，不同的传感器有不同的严格成像 模型。 因为RFM中每一等式右边都是有理函数，所以RFM 能得到比多项式模型更高的精度。 RFM独立于坐标系。 众所周知，在像点坐标中加入附件改正参数能提高 传感器模型的精度。在RFM中无需另行加入这一附 加改正参数，因为多项式系数本身包含了这一改正 数。
a1 ( X X s ) b1 (Y Ys ) c1 ( Z Z s ) xf a3 ( X X s ) b3 (Y Ys ) c3 ( Z Z s ) a2 ( X X s ) b2 (Y Ys ) c2 ( Z Z s ) yf a3 ( X X s ) b3 (Y Ys ) c3 ( Z Z s )
平坦地区的构像方程

共线方程中，当 Z Z s H （常数） ，则可导出
a11 x a12 y a13 X a x a y 1 31 32 Y a 21 x a 22 y a 23 a31 x a32 y 1

为两平面间中心投影的构像方程式，又称透视变换公式。
1 S 1 S 1 S 0 3 S 3 S 3 S 2 S 2 3 S 2 S 0 3 S S 3 S
XS、 YS 、 ZS－外方位元素
a1、 a2 、 a3 、 b1 …..是由三个角元素、 、 ，构 成的旋转（正交）矩阵的9个系数：
a1 b1 R T来自百度文库 a2 b2 a b 3 3 c1 c2 c3
NumL( Pn , Ln , H n ) a0 a1Ln a2 Pn a3 H n a4 Ln Pn a5 Ln H n a6 Pn H n a7 Ln 2
DenL( Pn , Ln , H n ) b0 b1Ln b2 Pn b3 H n b4 Ln Pn b5 Ln H n b6 Pn H n b7 Ln 2 b8 Pn 2 b9 H n 2 b10 Pn Ln H n b11Ln 3 b12 Ln Pn 2 b13 Ln H n 2
正则化地面坐标
P LONG _ OFF PN LONG _ SCALE L LAT _ OFF LN LAT _ SCALE H HEIGHT _ OFF H N HEIGHT _ SCALE
正则化影像坐标
r LINE _ OFF rn LINE _ SCALE c c SAMP _ OFF n SAMP _ SCALE
三、共线条件方程的应用



单像空间后方交会和立体像对空间前方 交会(多片空间前方交会)； 计算模拟影像数据(已知影像的内外方位 元素和物点坐标求像点坐标)； 光束法平差的基本数学模型； 利用DEM与共线方程进行单张像片测图；
单像空间后方交会
a1 ( X X s ) b1 (Y Ys ) c1 ( Z Z s ) xf a3 ( X X s ) b3 (Y Ys ) c3 ( Z Z s ) a2 ( X X s ) b2 (Y Ys ) c2 ( Z Z s ) yf a3 ( X X s ) b3 (Y Ys ) c3 ( Z Z s )
NumS ( Pn , Ln , H n ) c0 c1Ln c2 Pn c3 H n c4 Ln Pn c5 Ln H n c6 Pn H n c7 Ln 2
RPC模型：
这里，ai、bi、ci、di为RPC模型系数，共80个 系数，IKONOS 和QuickBird影像均提供了这 80 个系数作为影像的几何模型, 要注意的是其 系数与各项的对应关系。 LAT_OFF、LAT_SCALE、 LONG_OFF 、 LONG_SCALE 、 HEIGHT_OFF和 HEIGHT_SCALE为地面坐标的标准化参数。 LINE_OFF、LONG_SCALE、SAMP_OFF、 SAMP_SCALE为影像像素坐标的标准化参数。
右片：
a1 ( X X s ) b1 (Y Ys ) c1 (Z Z s ) x2 f a3 ( X X s ) b3 (Y Ys ) c3 (Z Z s ) a2 ( X X s ) b2 (Y Ys ) c2 (Z Z s ) y2 f a3 ( X X s ) b3 (Y Ys ) c3 (Z Z s )
四、有理函数模型

有理函数模型RFM(Rational Function Model) ： 一种能获得和卫星遥感影像严格成像模型近似 一致精度的、形式简单的概括模型。也称为 RPC(Rational Polynomail Coefficient） 它是一种广义的新型遥感卫星传感器成像模型， 被用来替代复杂的严格成像模型。
一条空间直 共线方程的解析表达式 a ( X X ) b (Y Y ) c ( Z Z ) 线，是由两 xx f a ( X X ) b (Y Y ) c ( Z Z ) 个“分式线 a ( X X ) b (Y Y ) c ( Z Z ) y y f 性方程”表 a ( X X ) b (Y Y ) c ( Z Z ) 示！ x0、 y0 、f－内方位元素