第五讲-单自由度无阻尼强迫振动

x 例： 计算初始条件，以使 m kx F0 sin t
的响应只以频率 振动 解：
F0 X0 k
n
m kx F0 sin t 的全解： x
x0
如果要使系统响应只以 为频率振动 必须成立： 初始条件：
X 0 X0 x(t ) x0 cos nt sin nt sin nt sin t 2 2 n 1 1
(1) 1
( n ) (T Tn )
(2) 1 ( 0 ) (T Tn )
自由伴随振动进行一个循环时间 内，稳态强迫振动完成多个循环 强迫振动响应成为自由振动响应 曲线上迭加的一个振荡运动
x(t )
2 /
稳态强迫振动进行一个循环时间内， 自由伴随振动完成多个循环 强迫振动响应成为稳态响应曲线 上迭加的一个振荡运动
全解： x0 X0 X0 x(t ) x0 cos nt sin nt cos nt cos t 2 2 n 1 1
＝0
如果要使系统响应只以 为频率振动
X0 初始条件： x0 1 2
x0 0
2 X 0n X0 X 2 , 2 2 n 1 n
（5）
（6）
求解微分方程
因此，微分方程（2）的通解为
x C1 cos d t C2 sin d t X sin t
常数C1， C2由初始条件确定，X 由式（6）确定。 对应于初始条件 可确定常数C1， C2
x(t )
2X0 sin t 2 1

2X0 sin t 2 1
0
2X0 1 2
t

2
n
达到最大值所需时间：t
2
共振时的响应
1 x t X 0t cos t 2
x
t
试验 振幅随时间增大而线性增大，时间无限长时，系统响应将无限大 共振建立需要时间，激频很快通过固频时，不会发生太大振幅
动力放大系数
()
5 4 3
2
1 0 0 1 2 3

3. 当 1时，振幅可能 达到非常大的值，即发生 共振。
振动特性-共振（ n , 1）
1 x(t ) X 0 sin t sin nt 对于零初始条件 2 1 n n 1 2 X 0 cos t sin t 2 1 2 2 n 1 令： n 2 2 X 0 sin t cos t 2 1 2 2 2 2 n n n 2 2 X 0 sin t cos t 又：1 2 2 n 2 n
2
2
x1 (t ) x0 cos 0 t
x2 (t )
通解：
x0
1 X 0 sin nt X 0 sin t 2 2 1 1
0
sin 0 t
x(t ) x1 (t ) x2 (t )
x0 cos nt
n
x0
sin nt
稳态强迫振动
激励不仅激起强迫振动，且激起自由振动
对应于零初始条件的解为
1 x t X 0 sin nt X 0 sin t 2 2 1 1
自由伴随振动 稳态强迫振动
1 X 0 sin nt X 0 sin t 零初始条件 x(t ) x1 (t ) x2 (t ) 2 2 1 1
第五讲 单自由度无阻尼强迫振动
简谐激励下的无阻尼强迫振动
弹簧－质量系统
设
F (t )
m k
F (t ) F0 sin t
F0
外力幅值
x 0
F (t )
m
m x

外力的激励频率
振动微分方程：
kx
（1）
mx cx kx F0 sin t
引入ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ号
F0 k n , X0 m k
1
X0 x(t ) c1 cos 0t c2 sin nt cos t 全解： 2 1 X0 x0 c1 x0 c2 2 1 n X0 x0 X0 )cos nt sin nt cos t 因此： x(t ) ( x0 2 2 1 n 1 x0 X0 X0 x0 cos nt sin nt cos nt cos t 2 2 n 1 1
x(t )
2 / n
0
2 /
t
0
稳态响应 自由振动 全响应
2 / n
t
由于系统是线性的，也可利用叠加定理求解
2 0 x X 00 sin t x x 0 x 0 m kx F0 sin t x ＝ ＋ (0) x0 x(0) x0，x(0) x0 x(0) 0，x(0) 0 x(0) x0，x
1 X 0 sin nt X 0 sin t 2 2 1 1
自由伴随振动
强迫响应
初始条件响应
振动特性
稳态强迫振动
1 x(t ) X 0 sin t 2 1
X 1 X 0 1 2
1. 当 0 1 时，响应 与激励力同相，振幅随频 率比单调递增； 2. 当 1 时，响应与激 励力反相，振幅随频率比 单调递减。
2 2 n x X 0n sin t x
（2）
求解微分方程
方程（2）的通解包含两部分：齐次通解（F=0）和特解
x x1 x2
齐次通解为
（3）
x1 C1 cos nt C2 sin nt
特解可表示为
（4）
x2 X sin t
将式（5）代入运动方程（2）得
解： m kx F0 cost 的全解： x
X0 c1 x0 1 2 求一阶导数： x(t ) c1n sin nt c2n cos nt X 0 sin t 2
由 x(0) x0
由 x(0) x0
x0 c2n
c2 x0 / n
（7）
x 0 x0 , x 0 x0
（8）
C1 x0 , C2
n
x0
X
（9）
因此，对应于该初始条件的解为
x t x0 cos nt
自由伴随振动 （简谐激励）
n
x0
sin nt
自由振动（初始条件）
1 X 0 sin nt X 0 sin t 2 2 1 1
x0 0 x0 0
X 0 n 1 2 X 0n x0 1 2 x0
x 例： 计算初始条件，以使 m kx F0 cost sin t 的响应只以频率 振动
正确？ x0 X 0 X0 x(t ) x0 cos nt sin nt sin nt sin t 2 2 n 1 1 X0 全解： x(t ) c1 cos nt c2 sin nt cos t 2 1
令： 0
1 X 0nt cos nt 2
当激频在固频领域内 时
可看作频率为 n
n 1 x t 2 X 0 sin t cos t 2 1 2
2X0 sin t 规律缓慢变化的振动 但振幅按 2 1
这种在接近共振时发生的特殊振动现象称为”拍”
m kx F0 sin t 的全解： x
X 0 X0 x(t ) x0 cos nt sin nt sin nt sin t 2 2 n 1 1 x0
相同
不同
x 例： 计算初始条件，以使 m kx F0 cost
的响应只以频率 振动