三角函数化简求值的技巧

三角函数化简与求值常用技巧
三角函数化简与求值常用技巧
三角函数在高考中通常以中低档题型出现,难度不大,但由 于三角公式的特殊性,解题中往往也涉及一些小的变换技 巧,如果处理得当,往往可以事半功倍,快速而准确地得到 正确结论.通常情况下,三角变换应从“角度、函数、常数、 次数、结构”等几方面着手解决.
一、三角变换,角为先锋 三角函数作为一种特殊函数,其“角”的特殊性不容忽视,因此我们在三角函数恒等变换 中,应该首先注意角的形式,从统一角的角度出发,往往能够达到事半功倍的效果.
【例 1】已 知α、 β为 锐角,cos α＝
3 5
,tan (α−β)＝−
1 3
,则
tan β＝(
)
A、
1 3
B、 3
【变式演练】已知 sin
x－π
4
＝3,则
sin
2x 的值为(
)
5
A．－ 7 25
B. 7 25
C. 9 25
D.16 25
【解析】法一、sin 2x＝cos(2x－ π )＝1－2sin2(x－ π )＝1－2×(3)2＝ 7 ,选 B.
2
4
5 25
法二、依题意得 2(sin x－cos x)＝3,1(sin x－cos x)2＝ 9 ,1－sin 2x＝18,sin 2x＝ 7 ,选
C、
9 13
D、
13 9
【例
1】已 知α、 β为 锐角,cos α＝
3 5
,tan (α−β)＝−
1 3
,则
tan β＝(
)
A、
1 3
B、 3
C、
9 13
D、
13 9
【分析】依题意,可求得 tan α＝
4 3
,而已知两角α、α－β与所求角β之间存在α－(α－β)
＝β的关系,故再利用两角差的正切即可求得 tanβ的值．
【变式演练】【2016
届山东师大附中高三上学期二模】若
0,
π 2
,且
cos2
cos
π 2
2
3 ，则 tan
10
（
）
A． 1 2
B． 1 3
C． 1 4
D． 1 5
【答案】B
【解析】 cos2 cos( 2 ) 3 , cos2 2sin cos 3
2
10
10
1 2 tan 1 tan2
3
5
3
3
5
即 3 cos 3 sin 4 3 ,所以 1 cos 3 sin 4 ,即 s in( ) 4 ,所以
2
2
5
2
2
5
65
s in( 7 ) s in( ) s in( ) 4 ,所以应选 D ．
6
6
65
2．【2016 届福建省师大附中高三上学期期中】若 cos 2 2 ,则cos sin 的
【例 4】【2015 学科网特训】已知 sin 3cos ＝5,则 sin2α－sinαcosα的值是( ) 3cos sin
A． 2 5
B．－ 2 5
C．－2
D．2
【分析】本题与例 3 很类似,但所求表达式为整式,于是考虑利用 1＝sin2α＋cos2α,将分母
变换为二次式,满足齐次式的格式后求解.
k∈R、k∈N 等.
【变式演练】已知函数 f(x)＝2 3 cos2x＋sin2x－ 3 ＋1(x∈R)．
(1)求 f(x)的最小正周期；
(2)求 f(x)的单调递增区间；
(3)若
x∈[－
,
],求
f(x)的值域．
44
五、和差倍分,注意结构
三角变换中,函数表达式结构上的变换也要充分注意,结构式的差异往往隐藏着对条件
点评】本题容易想到先求出 tanα,然后代入 tan(α－β)的展开式中求 tanβ,相比之下,不如利
用角的变换更简洁一些.
常见的配角技巧有：
α＝2·α2 ,α＝(α＋β)－β,α＝β－(β－α),
1
ππ
α＝2[(α＋β)＋(α－β)], 4 ＋α＝ 2 －
π－α
4
等
【例 2】【2016 学年吉林省长春十一中期中】已知 π 2π ，cos( π) m(m 0) ,则
2
4
4
48
六、公式变用,柳暗花明 三角函数有众多的公式,我们不仅要会使用公式,还要会使用其变形的等价形式.如
cosα＝ sin 2 ,tanα±tanβ＝tan(α＋β)(1 tanαtanβ)等. 2 s in
【例 7】 tan100 tan 500 3 tan100 tan 500 的值为( )
点评：当已知角有两个时,一般把所求角表示为两个已知角的和或差的形式；当已知角有一
个时,此时应着眼于所求角与已知角的和或差的形式,然后应用诱导公式把所求角变成已知
角,常见的互余关系有 π 与 π ； π 与 π ,常见的互补关系有 π 与
3
6
4
4
3
2π , π 与 3π ．
34
4
正余弦化为正切函数的表达式即可.
【解析】试题分析：1 cos 2 8sin 2 2cos 2 8sin 2 1 4 tan 2 65 ,选 D
sin 2
2sin cos
tan 4
【点评】本题实为齐次式的基本模型,已知条件是正切值,或者可化为正切值的相关形式,如
sinα＝4cosα,tcaontα＝144等,所求为正余弦的齐次关系式,可以使用这种此类变换.
【解析】由 sin 3cos ＝5,得 tan 3 ＝5,即 tanα＝2．
3cos sin
3 tan
所以
sin2α－sinαcosα＝
sin2
sin2
sin cos cos2
＝ tan2 tan tan2 1
＝2 5
．
【答案】A 【点评】常数的变换在化一公式中最常见,其他地方的常数变换相对更隐蔽,要细心观察表达 式的特征,从中寻找蛛丝马迹.
【答案】B.
【点评】三角公式是恒等式(当等式两边都有意义时),所以,我们不仅要记住公式的原型,还 要会逆用公式,或者变形使用,这需要考生对公式各部分的结构特征都要十分熟悉,才能对公 式的变形使用驾轻就熟. 总体来说,在三角函数的变换中,各种变换都是穿插进行的,许多时候需要多方位思考,不能 拘泥于某一种思维方式,这样才有利于打开思维的空间,找到更加合适的解题方法
（1）求函数 的最小正周期和最大值；
（2）求函数
单调递增区间
【解析】（ 1）
函数 的最小正周期为
,
函数 的最大值为 （2）由 得
函数 的单调递增区间为
点评】降幂、化一公式,是当今考查三角函数的热点,考生应熟记相关公式,规范书写,避免过 失性丢分. 【误区警示】三角函数很多性质都与周期有关,其中的 k∈Z 一定不能忘记,也不能写成
和结论的联系.
【例 6】【2015·广东惠州一摸】已知sin x 2cos x 0 .
2
2
(1)求 tan x 的值； cos2x
(2)求 2 cos( x) sin x 的值．
4
分析】先化简表达式,利用商数关系得到 tan x ,再利用倍角公式展开 tan x ,将 tan x 代入到
2
3
4
则 sin cos 的值为
A． 2 3
B． 2 3
C． 1 3
D． 1 3
已知α,β∈(0,π),且 tan(α－β)＝ 1 ,tanβ＝－ 1 ,求 2α－β的值．
2
7
【解析】∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝
tan 1 tan
tan tan
11 ＝2 7
1 1 1
【变式演练】【2016 届福建省师大附中高三上学期期中】已知sin( x) 1 ,则sin 2x 的
4
4
值为（ ）
A【．答11案65】C
B． 9 16
C．7 8
D． 15 16
【解析】sin 2x cos( 2x) cos 2( x) 1 2sin2( x) 1 2(1)2 7 ,故选 C．
2
化简的式子中计算即可；第二问,利用第一问的结论,将所求表达式化简,利用倍角公式、两
角和的余弦公式,化简表达式,再利用齐次式化成关于 tan x 的式子,将第一问的结论代入得
到所求式子的值.
【点评】本题需要从多角度分析,一是角的倍分关系,二是函数的同角变换,最后再利用和差
角、齐次式等思想方法,方能正确求解.
为( )
A．18
B． 1 4
C．16
D． 65 4
【例 3】【2015·四川省新都一中 9 月测试】已知 tan 4 ,则1 cos 2 8 sin 2 的值 sin 2
为( )
A．18
B． 1 4
C．16
D． 65 4
【分析】已知条件是α的正切值,要求正余弦的分式表达式的值,应从转化函数名称着手,将
2
52
25
25
25
B.
二、函数变换,乃是重点 三角函数作为一类特殊的函数,其六种三角函数(当今教材要求重点掌握正弦函数、余弦 函数、正切函数)之间有着密切的联系,因此,充分注意函数之间的关系,是三角函数变形的另 一个重点.
【例 3】【2015·四川省新都一中 9 月测试】已知 tan 4 ,则1 cos 2 8sin2 的值 sin 2
变形 tan( )(1 tan tan ) tan tan ,
故 tan100 tan 500 3 tan100 tan 500
tan(10 0 50 0 )(1 tan10 0 tan 50 0 ) 3 tan10 0 tan 50 0
3(1 tan100 tan 500 ) 3 tan100 tan 500 3 3 tan100 tan 500 3 tan100 tan 500 ． 3
6
3
3
tan
2π 3
________．[来源:学_科_网]
【例 2】【2016 学年吉林省长春十一中期中】已知 π 2π ，cos( π) m(m 0) ,则
6
3
3
tan
2π 3
________．[来源:学_科_网]
【分析】注意到
2π 3
π
π 3
,可通过调整角的差异进行求值.
巩固练习
1．【2016 届河北省正定中学高三上学期期中】已知sin( ) sin 4 3 ,则
3
5
sin( 7 ) 的值是
6
A． 2 3 5
B． 2 3 5
C． 4 5
D． 4 5
【答案】D
【解析】 因为 sin( ) sin 4 3 ,所以sin cos cos sin sin 4 3 ,
【变式演练】【2016 届河北省衡水冀州中学高三上第二次月考】(1 tan18o)(1 tan 27o)
的值是 （ ）
A． 3
B．1 2
C．2
D． 2(tan18o tan 27o)
【答案】C[来源:学&科&网] 【解析】根据题意有原式
1 tan18o tan 27o tan18otan 27o 1 tan18o tan 27o tan 45o(1 tan18otan 27 o) 2 ,故选 C．
A. 3
B. 3Βιβλιοθήκη C.3D. 3 3
分析】本题是非特殊角求值问题,首先应从 10°＋50°＝60°入手,然后注意表达式特征,
其中的 tan10°＋tan50°和 tan10°tan50°在正切的和角公式中也有显现,故考虑正
切和角公式的变形.
【解析】由 tan( ) tan tan 1 tan tan
【变式演练】设 (0, ), (0, ), 且 tan 1 sin , 则( )
2
2
cos
A. 3
2
B.3
2
C. 2
2
D. 2
2
【解析】由
tan
1 sin cos
cos
2
sin
2
sin
2
cos
2
2
cos
2
sin
2
sin cos
sin
π 4
2
值为（ ）
A． 7 2
B． 1 2
1
C．
2
D． 7 2
2．【2016 届福建省师大附中高三上学期期中】若 cos 2 2 ,则cos sin 的
sin
π 4
2
值为（ ）
A． 7 2
B． 1 2
C． 1 2
D． 7 2
3．【2016 届山东省实验中学高三第二次诊断性考试】已知sin cos 4 (0 ) ,
2
2
cos sin
22
1 tan
1
tan
2
2
tan
4
2
,又
0,
2
,
0,
2
,
4
2
0,
2
,故
4
2
,即
2 .
2
【答案】C
三、常数化角,曲径通幽
三角公式中有不少常数,如 1、
3、
2 等,在三角变换中,若能巧妙利用它们与三角函 2
数式或函数值之间的关系进行转换,往往可以起到意想不到的效果.
3 10
3 tan2
20 tan
7
0 所以 tan
1 , tan
3
7 舍
四、降幂化一,热点不断 三角公式中,一次关系式较多,特别是同角关系式,以及化一公式等等,因此在观察函数 关系式时,注意其次数的特征,将高次化为一次,也是解决问题的重要途径.
【例 5】【2016 届辽宁省葫芦岛市一中高三上学期期中】已知函数