2020版高中数学 第二章 2.1.1 离散型随机变量学案 新人教A版选修2-3

2.1.1 离散型随机变量

学习目标 1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.2.了解随机变量与函数的区别与联系．

知识点一随机变量

思考1 抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果，这种试验结果能用数字表示吗？

答案可以，可用数字1和0分别表示正面向上和反面向上．

思考2 在一块地里种10棵树苗，成活的棵数为x，则x可取哪些数字？

答案x＝0,1,2,3， (10)

梳理(1)定义

在随机试验中，可以确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示，数字随着试验结果的变化而变化，像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．

(2)随机变量常用字母X，Y，ξ，η，…表示．

知识点二随机变量与函数的关系

相同点随机变量和函数都是一种一一对应关系

区别随机变量是随机试验的结果到实数的一一对应，函数是实数到实数的一一对应

联系随机试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域

知识点三离散型随机变量

1．定义：所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量．

2．特征：

(1)可用数字表示．

(2)试验之前可以判断其出现的所有值．

(3)在试验之前不能确定取何值．

(4)试验结果能一一列出．

1．离散型随机变量的取值是任意的实数．( ×)

2．随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．( √)

3．离散型随机变量是指某一区间内的任意值．( ×)

类型一随机变量的概念

例1 下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由．

(1)某机场一年中每天运送乘客的数量；

(2)某单位办公室一天中接到电话的次数；

(3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数；

(4)明年某天济南—青岛的某次列车到达青岛站的时间．

考点随机变量及离散型随机变量的概念

题点随机变量的概念

解(1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．

(2)某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．

(3)明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．

(4)济南—青岛的某次列车到达青岛站的时间每次都是随机的，可能提前，可能准时，也可能晚点，故是随机变量．

反思与感悟随机变量的辨析方法

(1)随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．

(2)随机试验的结果的不确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．

如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量．

跟踪训练1 掷均匀硬币一次，随机变量为( )

A．掷硬币的次数

B．出现正面向上的次数

C．出现正面向上的次数或反面向上的次数

D．出现正面向上的次数与反面向上的次数之和

考点随机变量及离散型随机变量的概念

题点随机变量的概念

答案 B

解析掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0,1.A项中，掷硬币的次数就是1，不是随机变量；C项中的标准模糊不清；D项中，出现正面向上的次数和反面向上的次数的和必是1，对应的是必然事件，试验前便知是必然出现的结果，所以不是随机变量．故选B.

类型二离散型随机变量的判定

例2 下面给出四个随机变量：

①某高速公路上某收费站在未来1小时内经过的车辆数X是一个随机变量；

②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y是一个随机变量；

③某网站未来1小时内的点击量；

④一天内的温度η.

其中是离散型随机变量的为( )

A．①② B．③④ C．①③ D．②④

考点随机变量及离散型随机变量的概念

题点离散型随机变量的概念

答案 C

解析①是，因为1小时内经过该收费站的车辆可一一列出；②不是，质点在直线y＝x上运动时的位置无法一一列出；③是，1小时内网站的访问次数可一一列出；④不是，1天内的温度η是该天最低温度和最高温度这一范围内的任意实数，无法一一列出．故选C.

反思与感悟“三步法”判定离散型随机变量

(1)依据具体情境分析变量是否为随机变量．

(2)由条件求解随机变量的值域．

(3)判断变量的取值能否一一列举出来，若能，则是离散型随机变量；否则，不是离散型随机变量．

跟踪训练2 ①某座大桥一天经过的某品牌轿车的辆数为ξ；②某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为ξ；③体积为1 000 cm3的球的半径长；④射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用ξ表示该射手在一次射击中的得分．上述问题中的ξ是离散型随机变量的是( )

A．①②③④ B．①②④

C．①③④ D．②③④

考点随机变量及离散型随机变量的概念

题点离散型随机变量的概念

答案 B

解析由题意知③中的球的半径是固定的，可以求出来，所以不是随机变量，而①②④是离散型随机变量．

类型三用随机变量表示随机试验的结果

例3 写出下列随机变量可能取的值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．

(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，取后不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；

(2)一个袋中装有8个红球，3个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数为X.

考点离散型随机变量的可能取值

题点离散型随机变量的结果

解(1)设所需的取球次数为X，则X＝1,2,3,4，...，10,11，X＝i表示前(i－1)次取到的均是红球，第i次取到白球，这里i＝1,2,3,4， (11)

(2)X的所有可能取值为0,1,2,3.

X＝0表示取5个球全是红球；

X＝1表示取1个白球，4个红球；

X＝2表示取2个白球，3个红球；

X＝3表示取3个白球，2个红球．

反思与感悟解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及其取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果．

跟踪训练3 写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．

(1)从学校回家要经过3个红绿灯路口，可能遇到红灯的次数ξ；

(2)电台在每个整点都报时，报时所需时间为0.5分钟，某人随机打开收音机对时间，他所等待的时间为ξ分钟．考点离散型随机变量的可能取值

题点离散型随机变量的取值

解(1)ξ可取0,1,2,3，

ξ＝0表示遇到红灯的次数为0；

ξ＝1表示遇到红灯的次数为1；

ξ＝2表示遇到红灯的次数为2；

ξ＝3表示遇到红灯的次数为3.

(2)ξ的可能取值为区间[0,59.5]内任何一个值，每一个可能取值表示他所等待的时间．

1．下列变量中，不是随机变量的是( )

A．一射击手射击一次命中的环数

B．标准状态下，水沸腾时的温度

C．抛掷两枚骰子，所得点数之和

D．某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数