二次函数与圆综合题

圆与二次函数综合题

1. 抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴为x=1，B(3，0)，C(0，-3).

(1)求二次函数的关系式；

(2)在抛物线对称轴上是否存在一点P，使P到B、C两点距离之差最大？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；

(3)平行于x轴的一条直线交抛物线于M、N两点，若以MN为直径的圆恰好与x轴相切，求此圆的半径.

3. 如图,已知抛物线的顶点坐标为M（1,4）,且经过点N（2,3）,与x轴交于A、B 两点（A点在B点左侧）,与y轴交于点C.

（1）求抛物线的解析式及A、B、C三点的坐标

（2）若直线y=kx+b经过C、M两点,且与x轴交于点D,证明四边形CDAN是平行四边形.

（3）点P在抛物线的对称轴x=1上运动,请探索,在x轴上方是否存在这样的点P,使以P为圆心的圆经过A、B两点,且与直线CD相切,若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.

4.已知:如图,抛物线的图象与x轴分别交于A（-3,0）,B（1,0）两点,与y轴交于点

（1）求抛物线的顶点E的坐标;

（2）求⊙M的面积;

（3）连CD交AO于点F,延长CD至G,使FG=2,试探究,当点D运动到何处时,直线GA与⊙M相切,并请说明理由.

5.在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0）、A（4，0）、E（3，）三点（1）求此抛物线的解析式

（2）以OA的中点M为圆心，OM长为半径作⊙M，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P，过点P作⊙M的切线l ，且l与x轴的夹角为30°，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果可保留根号）

6. 已知二次函数的图象如图．

（1）求它的对称轴与x轴交点D的坐标；

（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴，y轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；

（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由．

参考答案

1、(1)将C(0，-3)代入，

得c=-3.

将c=-3、B(3，0)代入，

得9a+3b-3=0.①

因为x=1是抛物线的对称轴，

所以.②

将②变形后代入①得a=1，b=-2.

所以二次函数的关系式是.

(2)AC与对称轴的交点P即为到B、C的距离之差最大的点. 因为PA=PB，

所以点P到B、C两点距离之差就等于|PA-PC|.

由于三角形的两边之差小于第三边，

所以只有当点P、C、A在一直线上时，|PA-PC|=AC最大. 因为C点的坐标为(0，-3)，A点的坐标为(-1，0)，

所以直线AC的关系式是y=-3x-3.

又对称轴为x=1，

所以点P的坐标(1，-6).

(3)设M(，y)、N(，y)，所求圆的半径为r，

则，③

因为对称轴为x=1，所以.④

由③、④得：.⑤

将N(r+1，y)代入关系式，

得，

整理，得.

由于r=±y，

当y=r>0时，，

解得，(舍去)；

当y=r<0时，，

解得，(舍去).

所以此圆的半径是或.

2. 解:(1)作AH⊥OB于H,设AD与OC的交点为G

∵BC是⊙A的直径

∴点A为BC的中点

∴AG、AH分别是△BOC的中位线

∴AH=12×OC=3√AG=12×OB=1 (三角形的中位线等于第三边的一半)

故A点的坐标为(1,3√)

(2)∵抛物线过O、B两点

∴根据抛物线的对称性,可知抛物线的顶点横坐标为1

∵抛物线的顶点在直线y=−(3√3)×x上

∴x=1时y=−3√3

∴抛物线的顶点坐标为(1,−3√3)

设所求抛物线为y=a×x2+bx+c(a≠0)

将三点坐标代入抛物线解析式y=a×x2+bx+c中得a=3√3,b=−2×3√3,c=0

故抛物线解析式为y=(3√3)×x2−(2×3√3)×x

(3)BC=22+(2×3√)2−−−−−−−−−−−√=4

∵DE∥x轴A(1,3√) DE=BC=4

∴D(-1,3√) E(3,3√)

将x=-1代入抛物线解析式中得y=(3√3)+(2×3√3)=3√,故点D在抛物线

y=(3√3)×x2−(2×3√3)×x上

将x=3代入抛物线解析式得y=3×3√−2×3√=3√,点E在抛物线y=(3√3)×x2−(2×3√3)×x上(4)当点P在抛物线的OD或BE上时,∠BPC为钝角

∴X0的取值范围是−1＜X0＜0或2＜X0＜3

3.(1) 已知顶点M(1,4),抛物线的开口向下

则,y-4=k(x-1)2

经过N点,则有,3-4=k(2-1)2=k=-1

所以,y=-(x-1)2+4.此即抛物线的解析式

令y=0,易得：x1-1=2,即x1=3

x2-1=-2,即,x2=-1

据题意,A(-1,0),B(3,0)

令x=0,则,y=-1+4=3,故,C(0,3)

(2) 由(1)的解可知,Yc=Yn,则,CN//AB,|CN|=2

将C、M的坐标代入直线方程：y=kx+b

b=3,4=k×1+3,k=1

y=x+3与x轴的交点D（-3,0）,则,|AD|=2

线段CN=线段AD,CN//AD.亦即四边形ADCN是平行四边形

(3) 设⊙P与CD的切点为G,有PG=PA=PB

设P(1,m).由以上计算知道：BD=6,∠CDB=45°

PG所在直线方程的斜率k=-1,P在直线PG上,则有

y=-x+m+1与y=x+3的交点即G

x=(m-2)/2,y=(m+4)/2.即G[(m-2)/2,(m+4)/2]

据PG=PA,有

PG2=m2+4=(4-m)2/4+(m-4)2/4

2m2+8=m2-8m+16

m=2√6-4,m=-4-2√6

(1,2√6-4),和（1,-4-2√6）即为所求⊙P的圆心坐标

4. 1)抛物线y=−3√3x2−23√3x+3√=−3√3(x2+2x+1)+3√+3√3=−3√3(x+1)2+43√3∴E的坐标为(−1,43√3)；

(2)连AC；

∵M过A,O,C,∠AOC=90∘，

∴AC为O的直径。

而|OA|=3,OC=3√

∴r=AC2=3√.

∴SM=πr2=3π；

(3)当点D运动到OAˆ的中点时，直线GA与M相切。

理由：在Rt△ACO中,|OA|=3,OC=3√，

∵tan∠ACO=33√=3√.

∴∠ACO=60∘,∠CAO=30∘.

∵点D是OAˆ的中点，

∴ADˆ=DOˆ.