2016学而思杯样卷答案

13. 如图，边长为 1 的正方形 ABCD 中， BE 2EC ， CF FD ，求三角形 AEG 的面积．
A
D
G F
B
EC
【考点】风筝模型
【难度】☆☆☆
【答案】 2 7
【分析】连接 EF ．
因为 BE
2EC ， CF
FD ，所以 S'DEF
(1 u 1u 23
1)S 2
ABCD
1S 12
．
ABCD
【考点】溶液浓度问题
【难度】☆☆ 【答案】30 【分析】10%与 30%的盐水重量之比为（30%-22%）：（22%-10%）=2：3，因此需要 30%的盐水
20÷2×3=30 克．
7. 如右图，有一个边长是 5 的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是 5，3，2 的长方 体，那么它的表面积减少了__________．
9 中的整数，并且约定123 表示 123， 028 表示 28， 007 表示 7），那么就称 N 为“完美约
【考点】解方程，一元一次方程 【难度】☆ 【答案】 x 4
（4）
­®3x ¯4x

4y 3y
32 31
【考点】解方程，二元一次方程组
【难度】☆☆
【答案】
­x ®
4
¯y 5
【分析】①+②，得到 x y
9
，从而得到
­ ®
x
4
¯y 5
四、列方程解应用题（6 分） 17. 小军原有故事书的本数是小力的 3 倍，小军又买来 7 本书，小力买来 6 本书后，小军所
的公约数，只有 36.
4. 如右图，正六边形内接于圆．如果圆的面积是 300 平方厘米，那么图中阴影部分的面积 是_______平方厘米．
【考点】几何、圆与扇形
【难度】☆☆☆
【答案】100
【分析】如下图所示：阴影分成两部分来看，弓形+三角形，两个弓形是 6 个弓形的 1 ；再 3
看三角形，两个三角形是正六边形的 1 ；所以阴影是整体的 1 ， 300 u 1 =100 ．
3. 幼儿园的老师给班里的小朋友送来 40 只桔子，200 块饼干，120 块奶糖.平均分发完毕， 还剩 4 只桔子，20 块饼干，12 粒奶糖．这班里共有_________位小朋友．
【考点】数论，余数 【难度】☆☆ 【答案】 36 【分析】40-4=36，200-20=180，120-12=108。小朋友的人数应是 36，180，108 的大于 20
设加数的数字和是 x，进位次数有 n 次，根据弃九法可得： x 9 9n ，那么加数的数 字和是 9 的倍数，0~9 中缺 0 或者缺 9． 若数字中缺 0，则 9 9n=45 ， n=4 ，此时四位数 二零一六 的最大值是 1698．
45 2 73 + 11 6 2 91 8 20 16
若数字中缺 9，则 9 9 =36n ，n=3，此时四位数 二零一六 的最大值是 1768 或者 1584．
43
60
2 05
3 72
+ 11 71 61 8 + 11 5 2 8 0 4
20 16
20 16
所以，四位数 二零一六 的最大值是 1768．
第Ⅱ卷（解答题 共 60 分）
三、计算题（共 4 道小题，每题 4 分，共 16 分） 16. 计算（每题 4 分，共 16 分）
EG EB
1 ，S 4
AGE
1
S 4
ABE
1 u 72 18 4
由风筝模型或蝴蝶模型， EO OB
27 18u 2 63
5 ， S AOB 3 S ABE
BO EB
3，S 8
AOB
3
S 8
ABE
3 u 72 27 8
六、解答题（12 分）
19. 如果正整数 N 的每一个倍数 abc 都满足 bca 、cab 也都是 N 的倍数（其中 a、b、c 都是 0～
14. 甲、乙两人同时 A 地出发，在 A 、 B 两地之间匀速往返行走，甲的速度大于乙的速度， 甲每次到达 A 地、 B 地或遇到乙都会调头往回走，除此以外，两人在 AB 之间行走方向 不会改变，已知两人第一次相遇的地点距离 B 地1800 米，第三次的相遇点距离 B 地800 米，那么第二次相遇的地点距离 B 地．
五、 解答题（10 分）
18. 如图，正方形 ABCD 与两个直角三角形 ADE、BCF 拼成了等腰梯形 ABFE，已知 AB 12 ，
ED CF 4 ． （1）请求出三角形 ADE 的面积．（3 分） （2）请求出 EG : GB ．（3 分） （3）请求出阴影部分的总面积．（4 分）
A
B
O
G ED
B 地1200 米.
15. “二零一六学而思杯赛”九个汉字代表九个不同的数字，并满足如下算式，那么，四位数 二零一六 的最大值是__________．
二零一六 学而思 杯赛=2016
【考点】组合，数字谜，最值 【难度】☆☆☆☆☆ 【答案】1768 【分析】将横式写成竖式数字谜的形式：
x +
2 016
H CF
【考点】基本公式、比例模型
【难度】☆☆☆
【答案】24、72、1:3、63
【分析】（1） S ADE
1 u AD u DE 2
1 u12 u 4 24 2
（2）由风筝模型， EG S AED 24 1 ；或由蝴蝶模型， EG ED 4 1
GB S ABD 72 3
GB AB 12 3
（3） S AGE S ABE
【考点】长方体与正方体 【难度】☆☆ 【答案】12 【分析】原来正方体的表面积为 5u 5 u 6 150．现在立体图形的表面积减少了前后两个面中
的部分面，它们的面积为(3 u 2) u 2 12，所以减少的面积就是 12．
8. 两个连续奇数的乘积是111555 ，这两个奇数之和是__________. 【考点】分解质因数 【难度】☆☆ 【答案】 668 【分析】111555 分解质因数：111555 3u 3u 5u 37 u 67 ( 3u 3u 37 ) u ( 5u 67 ) 333u 335 ，
上面的分析可知第二次相遇的地点到 B 地的距离与第一次相遇的地点到 B 地的距离的
比为
v1 v1
v2 v2
；类似分析可知，第三次相遇的地点到 B
地的距离与第二次相遇的地点到 B
地的距离的比为 v1 v2 ；那么， 800
v1 v2
x
x ，得到 x 1800
1200 ，故第二次相遇的地点距离
（1）12 32 52 192 【考点】公式法之求和公式 【难度】☆ 【答案】 2185 【分析】12 32 52 192
(12 22 32 192 ) (22 42 182 ) 1 u19 u 20 u 39 4 u（12 22 92） 6 2470 1 u 9 u10 u19
v1
u
2s v1 v2

s
v1 v1
v2 v2
s ，那么第一次相遇的地点到 B
地的距离与全程的比为 v1 v1
v2 v2
；
两人第一次相遇后，甲调头向 B 地走，乙则继续向 B 地走，这样一个过程与第一次相
遇前相似，只是这次的“全程”为第一次相遇的地点到 B 地的距离，即1800 米。根据
因为 S'AED
1 S
2
，根据蝴蝶定理，
ABCD
AG : GF
11 :
2 12
6 :1 ，
所以 S'AGD
6S'GDF
6 7 S'ADF
6u 1S 74
ABCD
3S 14
ABCD
．
所以 S'AGE
S'AED S'AGD
1 S
2
ABCD
3S 14
ABCD
2
S 7
ABCD
2， 7
即三角形 AEG 的面积是 2 ． 7
3
wenku.baidu.com
3
3
5. P 、 Q 表示数， P *Q 表示 P Q ，求 3 * (6 * 8) =__________． 2
【考点】定义新运算
【难度】☆☆
【答案】 5
【分析】 3*(6*8) 3*(6 8) 3*7 3 7 5
2
2
6. 现有浓度为 10％的盐水 20 千克，在该溶液中再加入__________千克浓度为 30％的盐水， 可以得到浓度为 22％的盐水．
的差最小，应使 a
尽量小， b
尽量
大，且还要满足 a
b
! 0 ，所以两个四位数的首位数的差只能为 1，只要满
足 a b 1即可，接下来令 a 后面的三位数尽量小，b 后面的三位数尽大，a
取值
为 a012 ，b
取值为 b765 ，这时 a、b 只能分别取 4、3，所以这两个四位数差的最
小值是 4012 3765 247 ．
【考点】比例解行程 【难度】☆☆☆☆
【答案】1200
【分析】设甲、乙两人的速度分别为 v1 、 v2 ，全程为 s ，第二次相遇的地点距离 B 地 x 米。
由于甲的速度大于乙的速度，所以甲第一次遇到乙是甲到达 B 地并调头往回走时遇到
乙的，这时甲、乙合走了两个全程，第一次相遇的地点与 B 地的距离为
启用前★绝密
2016 年北京市六年级综合能力测评（学而思杯）
数学样卷
考试时间：90 分钟
满分：150 分
考生须知：请将填空题答案填涂在答．题．卡．上，解答题答写在答．题．纸．上
第Ⅰ卷（填空题 共 90 分）
一、 填空题（共 10 道小题，每题 5 分，共 50 分） 1. 2016 年是“丙申”猴年，这种纪年方式采用的是中国著名的“干支纪年法”，即将年份用十
【考点】归一问题 【难度】☆ 【答案】14 【分析】先求每小时航行多少千米，再求航行 270 千米需要几小时，最后求出共需多少小时。
每小时航行多少千米：108÷4=27（千米），270 千米需航行多少小时：270÷27=10（小 时）共需多少小时：10+4=14（小时），综合算式：270÷（108÷4）+4=270÷27+4=10+4=14 （小时）.
所以和为 668 .本讲不仅要求学生熟练掌握分解质因数，而且要注意一些技巧，例如本 题中的111 3u 37 ．
9. 请看下图，共有__________个正方形.
【考点】简单的几何计数 【难度】☆☆☆ 【答案】14 个 【分析】假设最小的正方形边长为 1，则面积为 1 的正方形有 9 个；面积为 4 的正方形有 4
个；面积为 16 的正方形有 1 个．因此共有 9+4+1=14 个．
10. 一项工程，甲单独完成需要 12 天，乙单独完成需要 9 天．若甲先做若干天后乙接着做， 共用10 天完成，问甲做了__________天.
【考点】工程问题 【难度】☆☆
【答案】 4 天
【分析】根据题意可知，甲的工作效率为 1 ，乙的工作效率为 1 ，采用鸡兔同笼问题的假
天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）和十二地支（子、丑、寅、卯、辰、 巳、午、未、申、酉、戌、亥）来表示．那么，10 和 12 的最小公倍数是__________． 【考点】数论，因数倍数 【难度】☆ 【答案】60
2 10 12
【分析】
，故 10 和 12 的最小公倍数是 60．
56
2. 10 艘轮船 4 小时航行 108 千米，照这样的速度，继续航行 270 千米，共需__________ 小时．
有的书是小力的 2 倍，两人原来各有多少本书？ 【考点】列方程解应用题 【难度】☆☆ 【答案】小力原有故事书 5 本，小军原有故事书 15 本 【分析】解：设小力原有故事书 x 本，则小军原有故事书 3x 本
3x 7 （2 x 6） 3x 2x 2u 6 7
x5 3u 5 15 （本） 答：小力原有故事书 5 本，小军原有故事书 15 本．
6 2470 285 2185
（2） 2.016 u128 20.16 u 76 2013 u1.12 5
【考点】提取公因数 【难度】☆ 【答案】2016
【解析】原式= 2.016 u 128 760 112 =2016
（3） 4 x 1 3 x 1 2x 3
12
9
设法，可知甲做了
1 (
u10

1)
y
1 (

1
)
4 天.
9
9 12
二、 填空题（共 5 道小题，每题 8 分，共 40 分）
11. 分别先后掷 2 次骰子，点数之积为 6 的概率是__________. 【考点】计数求概率 【难度】☆☆☆
【答案】 1 9
【分析】根据乘法原理，先后两次掷骰子出现的两个点数一共有 6u 6 36 ．点数之积为 6 的
情况为： 1,6 2,3 3,2 6,1 ,点数之积为 6 的概率为 4 1 ．
36 9
12. 用 0，1，2，3，4，5，6，7 这八个数字组成两个四位数，那么，这两个四位数差的最 小值是__________．
【考点】组合，最值
【难度】☆☆☆ 【答案】247
【分析】要使两个四位数 a
和b