3.6利用空间向量解决距离问题

例2
△ ABC 中 , AC BC 2 , BCA 90 , E 是 AB 的中点, 求异面直线 CE 与 AB1 的距离.
C1 A1
z
B1
C A B
x
E
y
例2
. 已 知 直 三 棱 柱 ABC ─A1 B1C1 的 侧 棱 AA1 4 , 底 面
△ ABC 中 , AC BC 2 , BCA 90 , E 是 AB 的中点, 求异面直线 CE 与 AB1 的距离.
y
三、求异面直线的距离
M
a
A
n
d
AB ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn n

N
B
b
方法指导:①作直线a、b的方向向量a、b，求a、 b的法向量n，即此异面直线a、b的公垂线的方 向向量；②在直线a、b上各取一点A、B，作向 量AB；③求向量AB在n上的射影d，则异面直线 a、b间的距离为
B n A
b a
. 已 知 直 三 棱 柱 ABC ─A1 B1C1 的 侧 棱 AA1 4 , 底 面
1 1 1
取x=1,z则y=-1,z=1,所以 n (1,1,1)
1
C
在两直线上各取点 C, A,CA (2,0,0).
A
B
x
E
y
| n CA | 2 3 CE与 AB1的距离d . |n| 3
练习
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求异面 直线DA1与AC的距离。 z
d
PA n n
例1、已知正方形ABCD的边长为4， CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、 AD的中点，求点B到平面GEF的距离。 z
G
x D F A
C
E
y
B
例 :1 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分别是
AB、AD 的中点，GC⊥平面 ABCD，且 GC＝ 2，求点 z B 到平面 EFG 的距离 . G 解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz． 由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)， D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)． EF (2, 2,0), EG (2, 4, 2), D C
和两个平行平面同时垂直的直线，叫这两个平行 平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的 长叫做这两个平行平面间的距离。
空间“距离”问题
一、 空间两点之间的距离
根据两向量数量积的性质和坐标运算，
2 2 2 2 a x y z 利用公式 a a 或
(其中 a ( x, y, z) ) ，可将两点距离问题
解：如图建立坐标系 C xyz, 则C(0,0,0), E(1,1,0), A(2,0,0), B1 (0,2,4). z CE (1,1,0), AB1 (2,2,4), C 设CE, AB1的公垂线的方向向量为n ( x, y, z ).则 A B x y 0 n CE 0 即 2 x 2 y 4 z 0 n AB 0
G
d
| n BE| n
2 11 . 11
x D
F A
C
E
y
B
练习3、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中， M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、 C1D1的中点，求平面AMN与平面EFDB的距离。
z
d
AB n
A1
N
D1
F E
C1
n
x
A
M B1 D B
C
x 设平面 EFG 的一个法向量为 n ( x, y, z )
1 1 n ( , ,1) ,BE (2,0,0) 3 3 | n BE| 2 11 d . 11 n
2 x 2 y 0 F n EF， n EG 2 x 4 y 2 0
∴d=| PA ||cos PA, n |=
| PA n |

.
A
O
|n| 这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面 上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的 绝对值.
二、求点到平面的距离
方法指导：若点P为平面α外一点，点A为平面α内任 一点，平面的法向量为n，则点P到平面α的距离公式 为
（4）两条异面直线间的距离
和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫两条异 面直线的公垂线；公垂线上夹在两异面直线间的线段 的长度，叫两异面直线的距离。 （5）直线与平面的距离
如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点 到这个平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平 面的距离叫做这条直线和平面的距离。 （6）两平行平面间的距离
D1 C1 A1
B1 C y
D A B
x

课堂小结： 本节主要内容是用向量知识来解决空间中的 距离问题，与以前方法比较，它有效地避免 了做距离的麻烦；另外求距离时要注意各种 距离之间的转化。
空间向量 在立体几何中的应用
一、回顾知识
1.距离定义 （1）点到直线距离 从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足 之间的距离叫这点到这条直线的距离。
（2）点到平面的距离
从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足 之间的距离叫这点到这个平面的距离。 （3）两平行直线间的距离 两条平行线间的公垂线段的长，叫做两条平行 线间的距离。
转化为求向量模长问题
二、求点到平面的距离 如何利用空间向量求点到平面的距离：
分析:过 P 作 PO⊥ 于 O,连结 OA.
P
n
如图 A , 空间一点 P 到平面 的距离为 d,已知平面 的
一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ?
则 d=| PO |= | PA | cos APO. ∵ PO ⊥ , n , ∴ PO ∥ n . ∴cos∠APO=|cos PA, n |.
A
E
y
B
2 11 答:点 B 到平面 EFG 的距离为 . 11
练习1: SA 平面ABCD，DAB ABC 90， SA AB BC a，AD 2a , 求A到平面SCD的距离。 z
S A B x C D y
练2、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD， CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求直线BD到平面 z GEF的距离。