概率论及数理统计课件15条件概率

．
第一章 第五节 条件概率
12
例4
n 个人排成一排，已知甲总排在乙的前面，求乙恰
好紧跟在甲的后面的概率．
解：
设 A 甲排在乙的前面 ， B 乙紧跟在甲的后面 ．
则所求概率为 PB A． n 个人排成一排，“甲排在乙的
前面”与“乙排在甲的前面”是“等可能”的，因此，
PA
1 2
．
第一章 第五节 条件概率
PB
3 16
．
现在我们考虑在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率，
我们记此概率为 PB A．
由于已知事件 A 已经发生，则该试验的所有可能结果为
2, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 4，
第一章 第五节 条件概率
4
例 1（续）
这时，要求的是事件 B 是在事件 A 已经发生的条件下
的概率，从上面的分析中，此概率为
3 3
2, 3,
4 4
4, 1 4, 2 4, 3 4, 4
其中 i, j 表示第一次取出 i 号球，第二次取出 j 号球．
第一章 第五节 条件概率
3
例 1（续）
设 A 第一次取出的球的标号 为 2，
B 取出的两个球的标号之 和为 4，
则 B 1, 3, 2, 2, 3, 1
因此事件
B
的概率为，
二.概率的乘法公式
第一章 第五节 条件概率
15
两个事件的乘法公式
概率的乘法公式是计算两个事件交事件概率的公
式．
设 A 、B 是两个随机事件，且 PA 0 ，则由“在 A 事
件发生的条件下，B 事件发生的条件概率”的计算公式
PB
A
P AB PA
得
PAB PAPB A
我们称上面的公式为两个事件的乘法公式．
A
．
简言之，条件概率是概率．
第一章 第五节 条件概率
9
例2
已知某家庭有 3 个小孩，而且至少有一个是女孩，求该家
庭至少有一个是男孩的概率．
解：
所求概率是 PB A．
设 A 3个小孩中至少有一个为 女孩，
B 3个小孩中至少有一个为 男孩．
则
PA
1
PA
1
1 8
7 8
，
PAB
6 8
，
6
所以，
PB
A
§1.5 条件概率
第一章 第五节 条件概率
1
一. 条件概率的概念与 计算
第一章 第五节 条件概率
2
例1
袋中有 4 个外形相同的球，编号分别为 1、2、3、4 号， 每次从袋中取出一个球，有放回地取两次．则该试验的样
本空间为：
1, 1 1, 2 1, 3 1, 4
2, 3,
1 1
2, 3,
2 2
2, 3,
1 3
1 6
7 12
3
第一章 第五节 条件概率
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例6
袋中有 1 只白球与 1 只黑球，现每次从中取出一球，
若取出的是白球，则除了把白球放回外再加进一个白
球，直至取出黑球为止．求取了 n 次都未取到黑球的
概率．
解：
设 B 取了 n 次都未取到黑球
Ak 第 k 次取到白球
则 B A1A2 An ．
我们称上面的公式为 n 个随机事件的乘法公式．
第一章 第五节 条件概率
17
例5
设随机事件 A 与 B 满足：
试求 ຫໍສະໝຸດ BaiduA B ．
P
A
PB
1 3
，
PB
A
1 6
，
解：
PA
B
PAB PB
PA B
PB
1 PA B 1 PB
1
PA PB 1 PB
PAB
1
PA
PB PAPB
1 PB
A
1
11 33
1 1
k 1, 2, , n
第一章 第五节 条件概率
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例 6（续）
由概率的乘法公式，得
PB PA1A2 An
P A1 P A2 A1 P A3 A1A2 P An A1A2 An1
11
例3
袋中有 4 只白球，5 只黑球，每次从中取出一球，不放 回地取两次．已知第一次取出的是白球，求第二次取出的
也是白球的概率．
解：
设 A 第一次取出白球 ， B 第二次取出白球 ．
则所求概率为 PB A．当已知第一次取出的是白球时，袋
中还有 8 只球，其中 3 只是白球，因此，
PB
A
3 8
PB
A
1 4
．
注意：1．由此例可以看出，事件 B 在“事件 A 已经
发生”这个附加条件下的概率与没有附加这个条件的
概率是不同的．
2．由于两个概率不一样，我们有必要引入下面的概
念．
第一章 第五节 条件概率
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条件概率的定义
设 A 、 B 是某一随机试验中的两个随机事件，且
PA 0 ，
则称事件 B 在“事件 A 已经发生”这一附加条件下的 概率为“在事件 A 已经发生的条件下，事件 B 发生的 条件概率”，简称为事件 B 在事件 A 发生的条件下的条 件概率，记为
PAB PA
8 7
6
7．
8
第一章 第五节 条件概率
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说明
⑴ 在本题中，一些同学认为其样本空间为
“ 三个男孩”，“一男两女”，“一女两男”，“三个女孩”
这是不对的，因为其中的 4 个基本事件不是“等可能”的． ⑵ 一些比较简单的条件概率，可以直接计算出来，而不必
拘泥于条件概率的计算公式．
第一章 第五节 条件概率
第一章 第五节 条件概率
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多个事件的乘法公式
两个事件交事件的乘法公式可以推广到有限多个 随机事件交事件的概率上来．
设 A1, A2, , An 是 n 个随机事件，
且 PA1A2 An1 0 ，则
PA1A2 An PA1P A2 A1 P A3 A1A2 P An A1A2 An1
PA 0 ，
则
PB
A
P AB PA
．
第一章 第五节 条件概率
8
条件概率的性质
条件概率具有如下性质：
⑴ 非负性：对任意的事件 B ，有 PB A 0 ； ⑵ 规范性： P A 1；
⑶ 可列可加性：如果随机事件
B1, B2, , Bn ,
两两互不相容，则
P Bn n1
A
n1
P
Bn
13
例 4（续）
n 个人排成一排，共有不同的排法 n! 种，这是样本点
总数． 由于事件 AB 表示“甲排在乙的前面，并且乙紧跟在
甲的后面”，所以事件 AB 中含有 n 1!个样本点．因此， PAB n 1! 1
n! n
所以，
PB
A
P AB PA
1 1
n 2
2 n
．
第一章 第五节 条件概率
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PB A．
第一章 第五节 条件概率
6
条件概率计算公式
在例 1 中，我们已经求得
PB
3 16
，
PB
A
1 4
．
我们还可以求得
PA
4 16
，
PAB
1 16
．
显然，上述结果满足下面的公式：
PB
A
P AB PA ．
第一章 第五节 条件概率
7
条件概率计算公式
上面的公式具有一般性，我们有：
设 A 、 B 是某一随机试验中的两个随机事件，且