中考数学专题练习圆的切线长定理(含解析)

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3.7 切线长定理(练习)(解析版)

第三章圆第七节切线长定理精选练习一、单选题1．（2021·北京九年级专题练习）如图，PA ，PB 为⊙O 的两条切线，点A ，B 是切点，OP 交⊙O 于点C ，交弦AB 于点D ．下列结论中错误的是（）A ．PA ＝PBB ．AD ＝BDC ．OP ⊥ABD ．∠PAB ＝∠APB【答案】D【分析】利用切线长定理、等腰三角形的性质即可得出答案．【详解】解：由切线长定理可得：∠APO =∠BPO ，PA =PB ，从而AB ⊥OP ，AD =BD ．因此A ．B ．C 都正确．无法得出∠PAB =∠APB ，可知：D 是错误的．综上可知：只有D 是错误的．故选：D ．【点睛】本题考查了切线长定理、等腰三角形的性质，关键是利用切线长定理、等腰三角形的性质解答．2．（2021·全国九年级课时练习）如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PA ＝AO ，PD 与⊙O 相切于点D ，BC ⊥AB 交PD 的延长线于点C ，若⊙O 的半径为1，则BC的长是（）A ．1.5B ．2CD 【答案】D【分析】连接OD ，根据切线的性质求出∠ODP ＝90°，根据勾股定理求出PD ，证明BC 是⊙O 的切线，根据切线长定理得出C D ＝BC ，再根据勾股定理求出BC 即可．【详解】连接OD ，如图所示∵PC 切⊙O 于D ∴∠ODP ＝90°∵⊙O 的半径为1，PA ＝AO ，AB 是⊙O 的直径 ∴PO ＝1+1＝2，PB ＝1+1+1＝3，OD ＝1∴由勾股定理得：PD ==∵BC ⊥AB ，AB 过O ∴BC 切⊙O 于B ∵PC 切⊙O 于D ∴CD ＝BC设CD ＝CB ＝x 在Rt △PBC 中，由勾股定理得：PC 2＝PB 2+BC 2即222)3x x +=+ 解得：x 即BC故选：D【点睛】本题考查了切线的性质和判定，及切线长定理，切线的性质定理为：圆的切线垂直于过切点的半径，切线长定理为：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．同时考查了利用勾股定理解直角三角形．3．（2021·湖北武汉市·九年级一模）如图，经过A 、C 两点的⊙O 与△ABC 的边BC 相切，与边AB 交于点D ，若∠AD C ＝105°，BC ＝CD ＝3，则AD 的值为（）A ．B ．CD 【答案】A【分析】连接OC 、OD ，作OE AB ^于点E ．易求出75CBD CDB Ð=Ð=°，30BCD Ð=°．再由切线的性质，即可求出60OCD Ð=°，即三角形OCD 为等边三角形．得出结论60ODC Ð=°，3OC OD CD ===．从而即可求出45ADO Ð=°，即三角形OED 为等腰直角三角形，由此即可求出DE 的长，最后根据垂径定理即可求出AD 的长．【详解】如图，连接OC 、OD ，作OE AB ^于点E ．∵BC CD =，∴CBD CDB Ð=Ð，∵105ADC Ð=°，∴75CBD CDB Ð=Ð=°，∴18027530BCD Ð=°-´°=°．由题意可知OC BC ^，即90OCB Ð=°，∴903060OCD OCB BCD Ð=Ð-Ð=°-°=°，∵OD =OC ，∴三角形OCD 为等边三角形．∴60ODC Ð=°，3OC OD CD ===．∴1056045ADO ADC ODC Ð=Ð-Ð=°-°=°，∴三角形OED 为等腰直角三角形，∴3DE ===∴22AD DE ===故选：A ．本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形与等边三角形的判定和性质以及垂径定理，综合性强．正确的连接辅助线是解答本题的关键．4．如图，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB//CD，若OB=3cm，OC=4cm，则四边形EBCG的周长等于（）A．5cm B．10cm C．745cm D．625cm【答案】C【分析】连接OF，利用切线性质和切线长定理可证明BE=BF，CG=CF，∠OBE=∠OBF，∠OCG=∠OCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质证得∠BOC=90°，进而由勾股定理求得BC长，根据三角形的面积公式求得OF，进而可求得四边形的周长．【详解】解：连接OF，∵直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，∴BE=BF，CG=CF，∠OBE=∠OBF，∠OCG=∠OCF，OF⊥BC，∵AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB=180°，∴∠OBF+∠OCF=90°，即∠BOC=90°，∴在Rt△BOC中，OB=3cm，OC=4cm，由勾股定理得：BC==，由1122OB OC BC OF××=××得：OF=341255´=cm，∴OE=OG=OF= 125cm，∴四边形EBCG的周长为BE+BC+CG+EG=2OE+2BC=2×125+2×5=745cm，【点睛】本题考查切线的性质、切线长定理、平行线的性质、勾股定理、三角形的面积公式，熟练掌握切线长定理的运用，证得∠BOC =90°和利用等面积法求出OF 是解答的关键．5．（2021·山西吕梁市·九年级月考）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB ＝BC ．AT 是⊙O 的切线，∠BAT ＝55°，则∠D 等于（）A ．110°B ．115°C ．120°D ．125°【答案】A【分析】连接AC ，OA ，OB ，先结合切线的性质以及圆的性质求得ACB BAT Ð=Ð，再结合等腰三角形的性质以及圆的内接四边形的性质求得2D ACB Ð=Ð即可．【详解】如图所示，连接AC ，OA ，OB ，则()11802AOB OBA OAB =°-ÐÐÐ=，∵2AOB ACB Ð=Ð，∴90ACB OAB =°-ÐÐ，∴90ACB OAB Ð=°-Ð，∵AT 是⊙O 的切线，∴90BAT OAB Ð=°-Ð，∴55ACB BAT Ð=Ð=°，∵AB BC =，∴1802ABC ACB Ð=°-Ð，根据圆的内接四边形可得：180D ABC Ð=°-Ð，∴2110D ACB Ð=Ð=°，故选：A ．【点睛】本题考查圆的综合问题，理解圆的切线的性质以及内接四边形的性质是解题关键．6．（2021·浙江九年级专题练习）如图，⊙O 的弦AB ＝8，M 是弦AB 上的动点，若OM 的最小值是3，则⊙O 的半径是（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【分析】过O 点作OH ⊥AB 于H ，连接OA ，如图，根据垂径定理得到AH ＝BH ＝4，利用垂线段最短得到OH ＝3，然后利用勾股定理计算出OA 即可．【详解】解：过O 点作OH ⊥AB 于H ，连接OA ，如图，∵OH ⊥AB ，∴AH ＝BH ＝12AB ＝12×8＝4，∵OM 的最小值是3，∴OH ＝3，在Rt △OAH 中，OA ＝5，即⊙O 的半径是5．故选：B ．【点睛】本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．7．（2020·聊城市茌平区实验中学九年级月考）如图，P 为O 外一点，PA 、PB 分别切O 于点A 、B ，CD 切O 于点E 且分别交PA 、PB 于点C ，D ，若PA =4，则△PCD 的周长为( )A ．5B ．7C ．8D ．10【答案】C【分析】根据切线长定理求解即可【详解】解：∵PA 、PB 分别切O 于点A 、B ，CD 切O 于点E ，PA=4，∴PA=PB=4，AC=CE ，BD=DE ，∴△PCD 的周长为PC+CE+DE+PD=PC+AC+BD+PD=PA+PB=4+4=8，故选：C ．【点睛】本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理及其应用是解答的关键．8．（2021·北京九年级专题练习）如图，ABC D 的内切圆O e 与A B ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F ，且2AD =，ABC D 的周长为14，则BC 的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【分析】根据切线长定理得到AF =AD =2，BD =BE ，CE =CF ，由△ABC 的周长为14，可求BC 的长．【详解】解：O Qe 与A B ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F2AF AD \==，BD BE =，CE CF =，ABC D Q 的周长为14，14AD AF BE BD CE CF \+++++=2()10BE CE \+=5BC \=故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．二、填空题9．如图，PA 、PB 、CD 是⊙O 的切线，A 、B 、E 是切点，CD 分别交PA 、PB 于C 、D 两点，若∠COD =70°，则∠AP B =_______.【答案】40°【分析】先利用切线长定理，得出∠BDO =∠CDO ，∠ACO =∠DCO ，再利用三角形内角和求出∠CDO +∠DCO 后得到∠BDC+∠A CD 的值，最后利用三角形外角的性质得到关于∠P 的方程，解方程即可得出答案．【详解】解：∵PA 、PB 、CD 是⊙O 的切线，∴∠BDO =∠CDO ，∠ACO =∠DCO ，∵∠COD =70°，∴∠CDO +∠DCO =180°－70°=110°，∴∠BDC +∠ACD =2（∠CDO +∠DCO ）=2 ×110°=220°，∵∠BDC =∠DCP +∠P ，∠ACD =∠CDP +∠P ，∴∠DCP +∠P +∠CDP +∠P =220°，即180°+∠P =220°，∴∠P =40°，即∠APB =40°，故答案为：40°．【点睛】本题综合考查了圆的切线长定理、三角形的内角和定理、三角形外角的性质等，解决本题的关键是要牢记各定理与性质的内容，能灵活运用它们进行不同的角之间的转化，考查了学生推理分析的能力．10．（2021·浙江九年级其他模拟）如图，已知AD 是BAC Ð的平分线，以线段AB 为直径作圆，交BAC Ð和角平分线于C ，D 两点．过D 向AC 作垂线DE 垂足为点E ．若24DE CE ==，则直径AB =_______．【答案】10【分析】连接CD 、OD 、OC 、BD ，运用勾股定理求得CD 的长,再证明DE 是圆O 的切线，运用全等三角形的判定与性质以及余角的性质得出∠CDE =∠BAD ,易得BD =CD ，然后再根据正切函数求得AD ，最后根据勾股定理解答即可．【详解】解：如图：连接CD 、OD 、OC 、BD∵AE ⊥DE , 24DE CE ==∴CD =∵OA =OD∴∠OAD =∠ODA∴∠BOD =∠OAD +∠ODA = 2∠OAD∵∠ODA =∠OAD∴∠EAD =∠ODA∴OD //AE∴OD ⊥DE ，即DE 是圆O 的切线∴∠CDE +∠ODC =90°∵AB是直径∴∠BAD+∠B=90°在△BOD和△DOC中OC=OB,DO=DO,BD=CD ∴△BOD≌△DOC∴∠ODC=∠OBD∴∠CDE=∠BAD∵∠BAD=∠DAC∴∠COD=∠BOD∴BD=CD=∵tan∠BAD=BDAD= tan∠CDE=12CEDE=,∴AD=∴AB10=．故填10．【点睛】本题主要考查了三角形的性质、圆的切线的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．11．（2020·湖北孝感市·九年级月考）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝108°，则∠B+∠D＝_____．【答案】216°【分析】连接AB，根据切线得出PA＝PB，求出∠PBA＝∠PAB＝36°，根据圆内接四边形的对角互补得出∠D+∠CBA＝180°，再求出答案即可．【详解】解：连接AB，∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∴PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA，∵∠APB＝108°，∴∠PBA＝∠PAB＝12×（180°﹣∠APB）＝36°，∵A、D、C、B四点共圆，∴∠D+∠CBA＝180°，∴∠PBC+∠D＝∠PBA+∠CBA+∠D＝36°+180°＝216°，故答案为：216°．【点睛】本题考查了切线长定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆内接四边形等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．12．（2021·河北石家庄市·石家庄外国语学校九年级月考）已知△ABC中，⊙I为△ABC的内切圆，切点为H，若B C＝6，AC＝8，AB＝10，则点A到圆上的最近距离等于_____．-【答案】2【分析】连接IA，IA与⊙I半径的差即为点A到圆上的最近距离，只需求出IA和⊙I半径即可得答案．【详解】解：连接IA，设AC、BC分别切⊙I于E、D，连接IE、ID，如图：∵BC＝6，AC＝8，AB＝10，∴BC2+AC2＝AB2∴∠C＝90°∵⊙I为△ABC的内切圆，∴∠IEC＝∠IDC＝90°，IE＝ID，∴四边形IDCE是正方形，设它的边长是x，则IE＝EC＝CD＝ID＝IH＝x，∴AE＝8﹣x，BD＝6﹣x，由切线长定理可得：AH＝8﹣x，BH＝6﹣x，而AH+BH＝10，∴8﹣x+6﹣x＝10，解得x＝2，∴AH＝6，IH＝2，∴IA，∴点A到圆上的最近距离为﹣2，故答案为：﹣2．【点睛】本题考查勾股定理、切线长定理、三角形的内切圆等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．三、解答题13．（2021·浙江温州市·九年级一模）如图，点C ，D 在以AB 为直径的半圆O 上， AD BC=，切线DE 交AC 的延长线于点E ，连接OC ．（1）求证：∠ACO ＝∠ECD ．（2）若∠CDE ＝45°，DE ＝4，求直径AB 的长．【答案】（1）证明见详解；（2）【分析】（1）由 AD BC=，可得∠A ＝∠B ，内接四边形可得出∠ECD=∠B ，进而得出∠ACO ＝∠ECD ；（2））连接OD ，由切线的性质可得出∠ODE ＝90°，进而得出∠CDO ＝∠DCO=45°，再根据已知条件计算出∠E=∠ECD ，得到CD=DE ＝4，再利用勾股定理求出半径，进而得出答案；【详解】（1）证明：∵ AD BC=，∴∠A ＝∠B ；∵ABDC 是内接四边形∴∠ECD=∠B∴∠ECD=∠A∵AO ＝CO ；∴∠ACO ＝∠A∴∠ACO ＝∠ECD（2）连接OD∵DE 是圆的切线∴∠ODE ＝90°，∵∠CDE ＝45°，OC=OD∴∠CDO ＝∠DCO =45°，∴∠COD ＝90°，∵ AD BC=，∴ AC DC=，∴∠AOC ＝∠DOB=45°，∴AO ＝OC ，∴∠ACO ＝∠A=1804567.52°-°=° ；∵∠DCO =45°，∴∠ECD =180°-45°-67.5°=67.5°，∵∠E=180°-∠CDE -∠ECD =180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠E=∠ECD∴CD=DE ＝4，∵∠COD ＝90°，∴222CD OC OD =+∴2216OC OD +=，即28OC =∴OC= 故⊙O 的半径为∴直径AB 的长，【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，内接四边形，切线性质定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握性质及定理是解决本题的关键．14．（2021·江苏无锡市·九年级期中）如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，与BA 的延长线交于点D ，DE ⊥P O 交PO 延长线于点E ，连接PB ，∠EDB ＝∠EPB ．（1）求证：PB 是⊙O 的切线．（2）若PB ＝3，tan ∠PDB ＝34，求⊙O 的半径．【答案】（1）见解析；（2）32【分析】（1）根据三角形的内角和定理可证E PBO Ð=Ð，然后根据垂直定义可得90E Ð=°，从而得出半径CB PB ^，根据切线的判定定理即可证出结论；（2）连接OC ，根据题意求出45BD PD ==，，再结合切线长定理得到3PC =，2CD =，从而设O e 的半径是r ，利用勾股定理求解即可．【详解】（1）,EDB EPB DOE POB Ð=ÐÐ=ÐQ ，E PBO \Ð=Ð，DE PO ^Q ，90E \Ð=°，90PBO \Ð=°，\半径CB PB ^，PB \是O e 的切线．（2）如图，连接OC ，33tan 904PB PDB PBD =Ð=Ð=°Q ，，tan 45BD PB PDB PD \=Ð===g ，．PB Q 和PC 是O e 的切线，3PC PB \==，2CD PD PC \=-=，设O e 的半径是r ，则4OD DB OB r =-=-，PD Q 切O e 于点C ，OC PD \^，222CD OC OD \+=，()22224r r \+=-，32r \=．【点睛】本题考查圆的综合问题，理解切线的判定与性质定理以及正切函数的定义是解题关键．15．（2021·天津九年级学业考试）已知AB 为O e 的直径，点C ，D 为O e 上的两点，AD 的延长线于BC 的延长线交于点P ，连接CD ，30CAB Ð=°．（Ⅰ）如图①，若 2=CBCD ，4AB =，求AD 的长；（Ⅱ）如图②，过点C 作O e 的切线交AP 于点M ，若6CD AD ==，求CM 的长．【答案】（1）AD =；（2）CM = ．【分析】（1）根据弧、圆周角之间的关系可求得∠BAD =45°，连接BD ，可得△ABD 为等腰直角三角形，求解即可；（2）根据弦、圆心角之间关系、等边对等角以及三角形外角的性质可求得∠PDM =60°，OC //AP ，再根据切线的性质定理易得△CDM 为直角三角形，解直角三角形即可．【详解】解：（1）∵ 2=CBCD ，30CAB Ð=°，∴1152CAD CAB Ð=Ð=°,∴∠BAD =45°，连接BD ，∵AB 为直径，∴∠BDA =90°，∴cos45AD AB =×°=（2）连接OD 、OC ，∵30CAB Ð=°，∴∠COB =60°，∠AOC =120°，∵6CD AD ==，∴∠AOD =∠COD =60°，∴∠ACD =∠CAD =30°，∠BAP =∠CAD +∠CAB =60°=∠COB ，∴OC //AP ，∠CDP =∠ACD +∠CAD =60°，∵CM 为O e 的切线，∴∠OCM =90°，∴∠AMC =180°-∠OCM =90°，在Rt △CDM 中，sin 60CM CD =×°=．【点睛】本题考查切线的性质定理，等腰三角形等边对等角，弧、圆心角、圆周角、弦之间的关系，解直角三角形．正确作出辅助线是解题关键．。

九年级数学切线长定理同步练习含答案

第 2 章对称图形 —— 圆第 4 课时切线长定理知识点切线长定理的应用1．如图 2－ 5－ 32，PA ，PB 分别切⊙ O 于 A ， B 两点．若∠ P ＝60° ， PA ＝ 2，则弦 AB的长为 ()A ． 1B ．2C ． 3D ． 4图 2－ 5－32图 2－ 5－33.如图 2－5－ 33， CD 是⊙ O 的切线，切点为 E ， AC ， BD 分别与⊙ O 相切于点 A ， B.如果 CD ＝7， AC ＝ 4，那么 BD 等于 ()A ． 5B ．4C ． 3D ． 23． [教材习题 2.5 第 13 题变式 ]如图 2－ 5－ 34，四边形 ABCD 的边AB ， BC ，CD ， DA 和⊙ O 分别相切．若四边形ABCD 的周长为 20，则 AB ＋ CD 等于 ()A ． 5B ． 8C ． 10D ．12︵4．已知线段 PA ， PB 分别切⊙ O 于点 A ， B ，AB120°， ⊙ O 的半径为 4，则的度数为线段 AB 的长为 ()A ． 8B ． 43C ． 6 3D ． 83图 2－ 5－34图 2－ 5－35.如图 2－5－ 35， PA， PB 是⊙ O 的切线，A ， B 为切点， AC 是⊙ O 的直径，∠P＝ 40°，则∠ BAC 的度数为 ________．6．如图 2－ 5－ 36，PA ， PB 分别切⊙ O 于点 A ， B ，∠ AOP ＝50°，则∠PAB ＝ ________°，∠ OPB＝ ________°.图2－ 5－36图2－ 5－377．如图 2－ 5－ 37，PA ， PB， DE 分别切⊙ O 于点 A， B， C，若⊙ O 的半径为5， OP＝13，则△ PDE 的周长为 ________．图2－ 5－388．如图 2－ 5－ 38，P 是⊙ O 的直径 AB 的延长线上一点， PC， PD 分别切⊙ O 于点C，D. 若 PA ＝ 6，⊙O 的半径为 2，则∠ CPD 的度数为 ________．9．如图 2－ 5－ 39，PA ， PB 为⊙ O 的两条切线， A ， B 为切点．若是⊙ O 的半径为5，∠OPA ＝ 30°，求两条切线的夹角∠APB 的度数及切线PA 的长．图2－ 5－39图 2－ 5－40 10． [2016 ·梁溪区一模 ]AB ＝ 4， AD ＝ 5，AD ， AB ， BC 分别与⊙BC 于点 M ，切点为 N ，则 DM 的长为 (O 相切于点)如图2－5－40，在矩形ABCD 中，E，F， G，过点 D 作⊙ O 的切线交139 A. 34 13C. 39D． 2511．如图 2－ 5－ 41， PA， PB 是⊙ O 的切线， A ， B 为切点， AC 是⊙ O 的直径，∠ ACB ＝ 70°.求∠ P 的度数．图2－ 5－4112．如图 2－ 5－ 42，△ ABC 的内切圆⊙ O 与 AC ， AB ， BC 分别相切于点D， E， F，且AB ＝5 cm， BC＝ 9 cm， AC ＝ 6 cm，求 AE ， BF 和 CD 的长．图2－ 5－4213．如图 2－ 5－ 43， PA， PB 为⊙ O 的两条切线，切点分别为 A ，B ，直线 CD 切⊙ O 于点 E.(1)试试究△ PCD 的周长与线段 PA 的数量关系；(2)若∠ P＝α，求∠ COD 的度数．图2－ 5－4314．如图 2－ 5－ 44， AB 是⊙ O 的直径， AM ， BN 分别切⊙ O 于点 A ， B， CD 分别交AM ， BN 于点 D ，C， DO 均分∠ ADC.(1)求证： CD 是⊙ O 的切线；(2)若 AD ＝ 4， BC＝9，求⊙ O 的半径 R.图2－ 5－4415．如图 2－ 5－ 45， PA， PB 分别与⊙ O 相切于点 A ， B，点 M 在 PB 上，且OM ∥ AP， MN ⊥ AP，垂足为 N.(1)求证： OM ＝ AN ；(2)若⊙ O 的半径 R＝ 3， PB＝ 9，求 OM 的长．图2－ 5－ 45详解详析1． B2． C3． C4． B5． 20°[ 剖析 ]∵ PA，PB是⊙ O的切线，A，B为切点，1∴PA ＝ PB，∴∠ BAP ＝∠ ABP ＝2×(180° － 40° )＝ 70° .由 PA 是⊙ O 的切线， A 为切点，AC 是⊙ O 的直径，得∠ PAC ＝ 90°，∴∠ BAC ＝90° － 70°＝20°. 6． 50 407． 24 [ 剖析 ]∵ PA，PB，DE分别切⊙ O于A，B，C三点，∴AD ＝ CD ， CE＝ BE ， PA＝ PB，OA ⊥ PA.在Rt△ OAP 中，依照勾股定理，得 AP ＝ 12，∴△ PDE 的周长为PD＋ DE＋ PE＝ PD＋ AD ＋ BE ＋ PE＝ 2PA ＝ 24.8． 60°[ 剖析 ] 连接 OC.∵ PA＝ 6，⊙O 的半径为2，∴OP＝ PA － OA ＝4.∵PC， PD 分别切⊙ O 于点 C，D ，∴∠ OPC＝∠ OPD， OC⊥ PC.∵OP＝ 2OC，∴∠ OPC＝ 30°，∴∠ CPD＝60° .9．解：连接 OA ， OB，则 OA ⊥PA， OB ⊥ PB.∵OA ＝ OB ，OP＝ OP，∴Rt△ OAP≌ Rt△ OBP ，∴∠ OPA＝∠ OPB，∴∠ APB ＝2∠ OPA＝ 60° .在Rt△ AOP 中，可求得 OP＝ 2OA ＝ 10，∴PA＝ OP2－ OA 2＝5 3.10． A [剖析 ] 如图，连接 OE， OF，ON ， OG.在矩形 ABCD 中，∠ A ＝∠ B ＝ 90°， CD ＝ AB ＝ 4.∵ AD ， AB ，BC 分别与⊙ O 相切于点 E， F，G，∴∠ AEO ＝∠ AFO ＝∠ OFB＝∠ BGO ＝ 90°.又∵ OE＝ OF＝ OG，∴四边形AFOE ，四边形 FBGO 是正方形，∴AF ＝ BF＝ AE ＝ BG ＝2，∴DE ＝ 3.∵ DM 是⊙ O 的切线，∴DN ＝ DE ＝3， MN ＝ MG ，∴CM ＝5－ 2－ MG ＝ 3－ MN.在Rt△ DMC 中， DM 2＝ CD2＋ CM 2，∴ (3＋ MN) 2＝ 42＋ (3－ MN) 2，4 4 13∴MN ＝3，∴ DM ＝ 3＋3＝3.应选 A.11．解：连接 AB.∵AC 是⊙ O 的直径，∴∠ CBA ＝ 90°，∴∠ BAC ＝ 90° －∠ ACB ＝ 20° .∵PA ， PB 是⊙ O 的切线，∴PA ＝ PB，∠ CAP＝ 90°，∴∠ PAB ＝90° － 20°＝ 70°.∵PA ＝ PB，∴∠ PBA ＝∠ PAB ＝ 70°，∴∠ P＝180° －∠ PAB －∠ PBA ＝ 40°.12．解：∵⊙ O 与△ ABC 的三边都相切，∴AE ＝ AD ，BE ＝ BF ，CD ＝ CF.设AE ＝ x cm， BF＝ y cm， CD＝z cm，x＋ y＝ 5，x＝1，{y＋z＝9，) {y＝4，)则 z＋ x＝ 6，解得z＝ 5.即AE ＝ 1 cm， BF＝ 4 cm， CD＝5 cm.13．解： (1) △ PCD 的周长＝ 2PA. 原由以下：∵ PA ， PB 分别切⊙ O 于点 A ， B ，CD 切⊙ O 于点 E，∴PA ＝ PB， AC ＝ CE， BD ＝ DE，∴△ PCD 的周长＝ PD＋DE ＋ PC＋ CE＝ PB＋ PA＝ 2PA ，即△ PCD 的周长＝ 2PA.(2)如图，连接 OA， OE， OB.由切线的性质，得OA⊥ PA，OB⊥PB，OE⊥ CD，BD＝DE，AC＝CE.∵OA ＝ OE＝OB ，易证△ AOC ≌△ EOC ，△EOD ≌△ BOD ，∴∠ AOC ＝∠ EOC，∠ EOD＝∠ BOD ，11∴∠ COD ＝∠ EOC＋∠ EOD＝ 2(∠ AOE ＋∠ BOE) ＝ 2∠ AOB.∵∠ P＝α，OA ⊥ PA， OB⊥PB ，∴∠ AOB ＝ 180°－α，1∴∠ COD ＝ 90°－2α.14 解： (1)证明：如图，过点 O 作 OE⊥ CD 于点 E.∵ AM 切⊙ O 于点 A，∴OA ⊥ AD.又∵ DO 均分∠ ADC ，∴OE＝ OA.∵ OA 为⊙ O 的半径，∴OE 是⊙ O 的半径，∴CD 是⊙ O 的切线．(2) 过点 D 作 DF⊥ BC 于点 F.∵ AM ，BN 分别切⊙ O 于点 A， B，∴AB ⊥ AD ，AB ⊥ BC，∴四边形 ABFD 是矩形，∴AD ＝ BF ， AB ＝ DF.又∵ AD ＝4， BC ＝ 9，∴ FC＝ 9－ 4＝5.∵AM ，BN ， DC 分别切⊙ O 于点 A ， B， E，∴ AD ＝ DE ，BC＝ CE，∴CD ＝ DE ＋ CE＝AD ＋ BC ＝ 4＋9＝13. 在 Rt△ DFC 中， CD2＝ DF2＋ FC2，∴DF ＝ CD2－ FC2＝ 12，∴AB ＝ 12，∴⊙ O 的半径 R 为 6.15．解： (1) 证明：如图，连接 OA ，则 OA ⊥PA.∵MN ⊥PA ，∴ MN ∥OA.∵OM ∥PA ，∴四边形ANMO 是平行四边形．又∵ MN ⊥ AP，∴?ANMO 是矩形，∴OM ＝AN.(2)如图，连接 OB，则 OB⊥ PB，∴∠ OBM ＝∠ MNP ＝ 90° .∵四边形ANMO 是矩形，∴OA ＝ MN.又∵ OA ＝OB ，∴OB ＝ MN.∵OM ∥AP ，∴∠ OMB ＝∠ MPN ，∴△ OBM ≌△ MNP ，∴ OM ＝ MP.设OM ＝x，则 MP＝ x， AN ＝ x.∵PA ＝ PB＝ 9，∴NP ＝9－ x.在Rt△ MNP 中，有 x2＝ 32＋ (9－ x)2，解得 x＝ 5，即 OM ＝ 5.。

2023学年九年级数学上册重要考点题(人教版)切线的判定与性质及切线长定理(10大题型(解析版)

切线的判定与性质及切线长定理（答案版）切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.注意：切线的判定方法：（1）定义：直线和圆有唯一公共点时这条直线就是圆的切线；（2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点二是直线与过交点的半径垂直缺一不可）.题型1：切线的判定-连半径证垂直1.如图AB为⊙O的直径AC平分∠BAD交⊙O于点C CD⊥AD垂足为点D．求证：CD是⊙O 的切线．【答案】证明：连接OC∵AC平分∠DAB∴∠DAC=∠BAC∵OC=OA∴∠BAC=∠ACO∴∠DAC=∠ACO∴OC∠AD∵CD∠AD∴OC∠DC∵OC过圆心O∴CD是∠O的切线．【解析】【分析】连接OC 根据角平分线的定义和等腰三角形的性质得出∠DAC=∠BAC 根据平行线的判定得出OC∠AD 根据平行线的性质得出OC∠DC 再根据切线的判定得出结论。

【变式1-1】如图在∠O中AB为直径BP为∠O的弦AC与BP的延长线交于点C 且AB=AC PE⊥AC于点E 求证：PE是∠O的切线．【答案】解：连接AP OP∵AB为∠O直径∴∠APB=90°即AP⊥BC又∵AB=AC∴点P是BC的中点又∵O是AB的中点∴OP是△ABC的中位线∴OP∠AC∴∠OPE=∠PEC又∵PE⊥AC∴∠PEC=90°∴∠OPE=90°∴OP⊥PE．∴PE是∠O的切线．【解析】【分析】连接AP OP 由AB为直径可知AP⊥BC结合AB=AC可得点P为BC的中点而O是AB的中点可得OP是△ABC的中位线可知OP∠AC 进而∠OPE=∠PEC 然后结合PE⊥AC可得OP⊥PE即可得到结论。

【变式1-2】如图D为∠O上一点点C在直径BA的延长线上且∠CDA=∠CBD.求证：CD是∠O 的切线.【答案】证明：连接OD∵AB为直径∴∠ADO+∠BDO=90°又∵∠CDA=∠CBD∴∠CDA=∠BDO∴∠ADC+∠ADO=90°∴OD⊥CD∴CD是∠O的切线.【解析】【分析】连接OD 由圆周角定理可得∠ADO+∠BDO=90° 由已知条件以及等腰三角形的性质可得∠CDA=∠BDO 进而得到∠ADC+∠ADO=90° 据此证明.题型2：切线的判定-作垂直证半径2.ΔABC为等腰三角形O为底边BC的中点腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．【答案】证明：过点O作OE∠AC于点E 连结OD OA∵AB与O相切于点D∴AB∠OD∵∠ABC为等腰三角形O是底边BC的中点∴AO是∠BAC的平分线∴OE=OD 即OE是O的半径∵AC经过O的半径OE的外端点且垂直于OE∴AC是O的切线。

中考数学专项练习圆的切线长定理(含解析)

中考数学专项练习圆的切线长定理（含解析）一、单选题1.如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC=5cm，⊙O 是它的内切圆，小明预备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（）A.12cm B.7cm C.6cm D.随直线MN的变化而变化2.下列说法正确的是()A.过任意一点总能够作圆的两条切线 B.圆的切线长确实是圆的切线的长度C.过圆外一点所画的圆的两条切线长相等 D.过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径3.如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB 于C，D．若⊙O的半径为1，△PCD的周长等于2 ，则线段AB的长是（）A.B.3C. 2D. 34.如图,圆和四边形ABCD的四条边都相切,且AB=16,CD=10,则四边形ABCD的周长为()A.5B.52C.54D.565.如图，PA，PB，CD与⊙O相切于点为A，B，E，若PA=7，则△P CD的周长为（）A.7B.14C.10.5D.106.如图，PA,PB切⊙O于点A,B，PA=8，CD切⊙O于点E，交PA,PB 于C,D两点，则△PCD的周长是（）A.8B.18C.16D.147.如图，四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC=90°，AD=2，AB= 6，以AB为直径的半⊙O 切CD于点E，F为弧BE上一动点，过F点的直线MN为半⊙O的切线，MN交BC于M，交CD于N，则△MCN的周长为（）A.9B.1C. 3D. 28.圆外切等腰梯形的一腰长是8，则那个等腰梯形的上底与下底长的和为（）A.4B.8C.12D.169.如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD=10cm ，小明预备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为（）A.20cmB.15cmC.10cm D.随直线MN的变化而变化二、填空题10.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，若∠APB=60°，PO=2，则⊙O的半径等于________．11.PA、PB分别切⊙O于点A、B，若PA=3cm，那么PB=________cm．12.如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形A BCD的周长为________．13.如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB=3cm，则此光盘的直径是________cm．14.如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，PA=10，CD 是⊙O的切线，交PA于点C，交PB于点D，则△PCD的周长是________．15.如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，P，C，D为切点，假如AB=5，AC=3，则BD的长为________．16.如图，一圆外切四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为________．答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】切线长定理【解析】【解答】解：设E、F分别是⊙O的切点，∵△ABC是一张三角形的纸片，AB+BC+AC=17cm，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，BC=5cm，∴BD+CE=BC=5cm，则AD+AE=7cm，故DM=MF，FN=EN，AD=AE，∴AM+AN+MN=AD+AE=7（cm）．故选：B．【分析】利用切线长定理得出BC=BD+EC，DM=MF，FN=EN，AD=AE，进而得出答案．2.【答案】C【考点】切线长定理【解析】【解答】解：A、过圆外任意一点总能够作圆的两条切线，过圆上一点只能做圆的一条切线，过圆内一点不能做圆的切线；故A错误，不符合题意；B、圆的切线长确实是，过圆外一点引圆的一条切线，这点到切点之间的线段的长度确实是圆的切线长；故B错误，不符合题意；C、依照切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等；故C是正确的符合题意；D、过圆外一点所画的圆的切线长取决于点离圆的距离等，故不一定大于圆的半径；故D错误，不符合题意；故答案为：C。

专题32 切线长基本图问题(解析版)-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题32 切线长基本图问题【规律总结】1．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 要点进阶：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段.2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点进阶：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.3.圆外切四边形的性质1.圆外切四边形四边形的四条边都与同一个圆相切,那这个四边形叫做圆的外切四边形. 2.圆外切四边形性质圆外切四边形的两组对边之和相等.【典例分析】例1．（2019·浙江杭州市·九年级其他模拟）如图：两个同心圆，PA 切小圆于A ，PB 切大圆于B ，若3cm PA =，2cm PB =，那么两个圆所围成的圆环的面积为（）A ．21cmB ．25cmC ．2cm πD ．25cm π【答案】D【分析】设同心圆的圆心为O ，连接OA 、OB 和OP ，根据切线的性质可得∠OAP=∠OBP=90°，然后利用勾股定理可证OA 2＋PA 2=OB 2＋PB 2，从而求出OB 2－OA 2，然后根据圆环的面积公式计算即可．【详解】解：设同心圆的圆心为O ，连接OA 、OB 和OP∠PA 切小圆于A ，PB 切大圆于B ，∠∠OAP=∠OBP=90°在Rt∠OAP 中，OP 2=OA 2＋PA 2在Rt∠OBP 中，OP 2=OB 2＋PB 2∠OA 2＋PA 2=OB 2＋PB 2∠OA 2＋32=OB 2＋22∠OB 2－OA 2=32－22=5∠两个圆所围成的圆环的面积为π（OB 2－OA 2）=25cm π故选D ．【点睛】此题考查的是切线的性质和勾股定理的应用，掌握切线的性质、圆环的面积公式和勾股定理是解题关键．例2．（2021·全国九年级）如图，O 是Rt ABC ∆的内切圆，切点分别为D 、E 、F ，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，则AF =___．【答案】2【分析】由90C ∠=︒，OD AC ⊥，OE BC ⊥可证四边形ODCE 是正方形，再根据切线长定理可得AD AF =，BE BF =，DC CE =．设OD ＝OE ＝r ，利用各线段之间的数量关系构建关于r 的方程解决问题即可．【详解】解：如图，连接OD ，OE ，∠O 是Rt ABC ∆的内切圆，切点分别为D 、E 、F ，∠OD AC ⊥，OE BC ⊥．∠90C ∠=︒，OD OE =，∠四边形ODCE 是正方形．设OD OE DC CE r ====，则根据切线长定理，得3AD AF AC r r ==-=-，4BE BF BC r r ==-=-．∠3AC =，4BC =，由勾股定理得：5AB =．∠345r r -+-=．解得1r =．∠32AF r =-=．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了切线长定理，熟练掌握切线性质、切线长定理、正方形的判定、勾股定理等基本知识点，并能灵活运用所学知识是解题的关键．例3．（2020·东莞外国语学校九年级期末）如图，AB=AC，CD⊥AB于点D，点O是⊥BAC的平分线上一点⊥O与AB相切于点M，与CD相切于点N（1）求证：⊥AOC=135°（2）若NC=3，BC=DM的长【答案】（1）见解析；（2）DM=1．【分析】(1)只要证明OC平分∠ACD，即可解决问题；(2)由切线长定理可知：AM=AE，DM=DN，CN=CE=3，设DM=DN=x，在Rt∠BDC中，根据222BC BD CD=+，构建方程即可解决问题．【详解】（1）证明：连接OM，ON，过O点做OE∠AC，交AC于E，如图所示，∠∠O与AB相切于点M，与CD相切于点N∠OM∠AB，ON∠CD，∠OA平分∠BAC，OE∠AC，OM∠AB∠OM=OE即：E为∠O的切点；∠OE=ON，又∠OE∠AC，ON∠CD∠OC平分∠ACD∠CD∠AB∠∠ADC=90°∠∠DAC+∠ACD=90°∠∠OAC+∠OCA=45°∠∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-45°=135°，即：∠AOC=135°（2）由（1）得，AM=AE，DM=DN，CN=CE=3，设DM=DN=x，∠BD=AB -AD=AC -AE -DM=CE=DM=3-x∠CD=3+x在Rt∆BCD 中，由勾股定理得：222BC BD CD =+即：()()2233x x =-++解得：x=1或x=-1（舍去）即DM=1．【点睛】本题考查切线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数构建方程．【好题演练】一、单选题1．（2020·福建泉州市·泉州五中九年级期中）如图，PA 切O 于点,A PB 切O 于点B PO ，交O 于点C ，下列结论中不一定成立的是（）A ．PA PB =B ．PO 平分APB ∠C ．AB OP ⊥D ．2PAB APO ∠=∠【分析】利用切线长定理证明∠PAG∠∠PBG即可得出．【详解】解：连接OA，OB，AB，AB交PO于点G，由切线长定理可得：∠APO＝∠BPO，PA＝PB，又∠PG=PG，∠∠PAG∠∠PBG，从而AB∠OP．因此A．B．C都正确．无法得出AB＝PA＝PB，可知：D是错误的．综上可知：只有D是错误的．故选：D．【点睛】本题考查了切线长定理、全等三角形的判定和性质，关键是利用切线长定理解答．PA PB分别切O于点2．（2019·内蒙古乌兰察布市·九年级期末）如图，P为O外一点，,A B CD切O于点E且分别交PA PB,,∆的周长为（）、于点,C D，若4PA=，则PCDA．5B．7C．8D．10【答案】C【分析】根据切线长定理得到PB=PA、CA=CE，DE=DB，根据三角形的周长公式计算即可．【详解】解：∠PA、PB分别切∠O于点A、B，∠PB=PA=4，∠CD切∠O于点E且分别交PA、PB于点C，D，∠CA=CE，DE=DB，∠∠PCD的周长=PC+PD+CD=PC+CA+PD+DB=PA+PB=8，故选：C．【点睛】本题考查的是切线长定理的应用，切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．二、填空题3．（2020·安徽芜湖市·九年级月考）如图所示，点P为⊥O外一点，过点P作⊥O的切线PA、PB，点A、B为切点．连接AO并延长交PB的延长线于点C，过点C作CD⊥PO，交PO的延长线于点D．（1）APCOCD∠=∠_______；（2）若PA=6，AC=8，则CD=_______．【答案】（1）2 （2）【分析】（1）根据切线长定理可得∠APC＝2∠APO，再由CD∠PO，可推出∠OCD＝∠APO，则可求解；（2）连接OB，利用切线长定理得到PB＝PA＝6，再利用勾股定理计算出PC＝10，则BC＝4，设∠O的半径为r，则OA＝OB＝r，OC＝8−r，在Rt∠BCO中利用勾股定理可求出r＝3，所以OA＝3，OC＝5，然后证明∠COD∠∠POA，再利用相似比求出CD．【详解】解：（1）∠PA、PB为∠O的切线，∠OP平分∠APC．∠∠APC＝2∠APO．∠CD∠PO，OA∠PA，∠∠OCD＋∠COD＝90°，∠APO＋∠AOP＝90°．∠∠COD＝∠POA，∠∠OCD＝∠APO．∠22APCOCDAPOAPO∠∠∠==∠．故答案为：2．（2）如图，连接OB，∠PA 、PB 为∠O 的切线，PA=6，∠PB ＝PA ＝6．在Rt∠APC 中，由勾股定理得：PC 10==． ∠BC ＝PC−PB ＝4，设∠O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，OC ＝8−r ，在Rt∠BCO 中，由勾股定理得：42＋r 2＝（8−r ）2，解得r ＝3． ∠OA ＝3，OC ＝5，在Rt∠OPA 中，由勾股定理得：OP ==． ∠∠COD ＝∠POA ，∠OCD ＝∠OPA ，∠∠COD∠∠POA ． ∠CD OC PA OP=．即6CD =．∠CD ＝故答案为：【点睛】本题考查了切线长定理、切线的性质与考查了相似三角形的判定与性质，在解答此类问题时，若出现圆的切线，连过切点的半径构造直角三角形，是常用的辅助线作法．4．（2020·扬州大学附属中学东部分校九年级月考）如图，⊥O切⊥ABC的BC于D，切AB、AC的延长线于E、F，⊥ABC的周长为18，则AE＝____．【答案】9．【分析】根据切线的性质得出BE＝BD，DC＝CF，进而解答即可．【详解】解：∠∠O切∠ABC的BC于D，切AB、AC的延长线于E、F，∠BE＝BD，DC＝CF，AF＝AE，∠∠ABC的周长为18，即AC+BC+AB＝AB+DB+DC+AC＝AB+BE+AC+CF＝18，∠AE+AF＝18，∠AE＝9，故答案为：9．【点睛】本题考查的知识点是切线的性质，根据切线的性质得出BE＝BD，DC＝CF，AF＝AE是解此题的关键．三、解答题5．（2020·江苏宿迁市·九年级月考）如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，以AB为直径的⊥O经过点C，连接AC，OD交于点E．（1）如图1，证明：OD⊥BC；（2）如图2，若AD是⊥O的切线，连接BD交于⊥O于点F，连接EF，且OA EF 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）EF【分析】（1）连接OC，证明∠OAD∠∠OCD（SSS）得∠ADO=∠CDO，由AD=CD知DE∠AC，再由AB为直径知BC∠AC，从而得OD∠BC；（2）连接AF，过F作FM∠EF交OD于M，推出∠ABD为等腰直角三角形，求得∠AFB=90°，∠DAF=∠45°，根据全等三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）连接OC，在∠OAD和∠OCD中，AD CD OA OC OD OD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∠∠OAD∠∠OCD （SSS ），∠∠ADO ＝∠CDO ，又AD ＝CD ，∠DE∠AC ，∠AB 为∠O 的直径，∠∠ACB ＝90°，即BC∠AC ，∠OD∠BC ；（2）连接AF ，过F 作FM∠EF 交OD 于M ，∠AB ＝AD ，AD 是圆的切线，∠∠ABD 为等腰直角三角形，∠AB 为直径，∠∠AFB ＝90°，∠DAF ＝∠45°，∠∠AED ＝∠AFD ＝90°，∠∠DAF ＝∠DEF ＝45°，∠AF ＝DF ，∠∠AFE＝∠DFM，∠∠EAF＝∠FDM，∠∠AEF∠∠DMF（ASA），∠AE＝DM，∠AB AD==OA，∠OD5，∠AE＝DM＝2，DE＝4，∠EM＝4﹣2＝2，∠EF【点睛】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．6．（2020·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）如图，AB是O的直径，直线AM与O 相切于点A，直线BN与O相切于点B，点C（异于点A）在AM上，点D在O上，=，延长CD与BN相交于点E，连接AD并延长交BN于点F．且CD CA（1）求证：CE是O的切线；=；（2）求证：BE EF（3）如图，连接EO 并延长与O 分别相交于点G 、H ，连接BH ．若6AB =，4AC =，求tan BHE ∠．【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）13【分析】（1）连接OD ，根据等边对等角可知：∠CAD=∠CDA ，∠OAD=∠ODA ，再根据切线的性质可知∠CAO=∠CAD+∠OAD=∠CDA+∠ODA=90°=∠ODC ，由切线的判定定理可得结论；（2）连接BD ，根据等边对等角可知∠ODB=∠OBD ，再根据切线的性质可知∠ODE=∠OBE=90°，由等量减等量差相等得∠EDB=∠EBD ，再根据等角对等边得到ED=EB ，然后根据平行线的性质及对顶角相等可得∠EDF=∠EFD ，推出DE=EF ，由此得出结论；（3）过E 点作EL∠AM 于L ，根据勾股定理可求出BE 的长，即可求出tan∠BOE 的值，再利用倍角公式即可求出tan∠BHE 的值．【详解】（1）连接OD ，∠CD CA =，∠∠CAD=∠CDA ，∠OA=OD∠∠OAD =∠ODA，∠直线AM与O相切于点A，∠∠CAO=∠CAD+∠OAD=90°∠∠ODC=∠CDA+∠ODA=90°∠CE是O的切线；（2）连接BD∠OD=OB∠∠ODB=∠OBD，∠CE是O的切线，BF是O的切线，∠∠OBD=∠ODE=90°∠∠EDB=∠EBD∠ED=EB∠AM∠AB，BN∠AB∠AM∠BN∠∠CAD=∠BFD∠∠CAD=∠CDA=∠EDF∠∠BFD=∠EDF∠EF=ED∠BE=EF（3）过E 点作EL∠AM 于L ，则四边形ABEL 是矩形，设BE=x ，则CL=4-x ，CE=4+X∠(4+x)2=(4-x)2+62解得：x=94 934tan 34BE BOE OB ∴∠=== ∠∠BOE=2∠BHE22tan 3tan 1tan 4BHE BOE BHE ∠∴∠==-∠ 解得：tan∠BHE=13或-3（-3不和题意舍去） ∠tan∠BHE=13【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角函数/，勾股定理等知识，熟练掌握这些知识点并能熟练应用是解题的关键．。

专题：圆之切线长定理—冲刺2020年全国中考数学真题专项强化练习卷(含答案)

专题：圆之切线长定理时间：100分钟满分：100分一．选择题（每题3分，共30分）1．如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺交点，AB＝3，则光盘的直径是（）A．3B．C．6D．2．如图中，CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB、CE分别切圆O2于B，E两点．若∠1＝60°，∠2＝65°，判断AB、CD、CE的长度，下列关系何者正确（）A．AB＞CE＞CD B．AB＝CE＞CD C．AB＞CD＞CE D．AB＝CD＝CE 3．如图，P为圆O外一点，P A，PB分别切圆O于A，B两点，若P A＝3，则PB＝（）A．2B．3C．4D．54．如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线P A，PB，切点分别为A，B．如果∠APB＝60°，P A＝8，那么弦AB的长是（）A．4B．8C．D．5．如图，P A、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC＝35°，∠P的度数为（）A．35°B．45°C．60°D．70°6．如图，AB、CD分别为两圆的弦，AC、BD为两圆的公切线且相交于P点．若PC＝2，CD＝3，DB＝6，则△P AB的周长为何（）A．6B．9C．12D．147．如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E．若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是（）A．9B．10C．12D．148．如图，P A、PB是⊙O的两条切线，切点是A、B．如果OP＝4，P A＝2，那么∠AOB 等于（）A．90°B．100°C．110°D．120°9．如图，若△ABC的三边长分别为AB＝9，BC＝5，CA＝6，△ABC的内切圆⊙O切AB、BC、AC于D、E、F，则AF的长为（）A．5B．10C．7.5D．410．已知：如图，AB为⊙O的直径，CD、CB为⊙O的切线，D、B为切点，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点F，连接AD、BD．以下结论：①AD∥OC；②点E为△CDB的内心；③FC＝FE；④CE•FB＝AB•CF．其中正确的只有（）A．①②B．②③④C．①③④D．①②④二．填空题（每题3分，共30分）11．如图，P A，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝°．12．如图，⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切，且∠ACB＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边长依次为3，4，5，则⊙O的半径是．13．如图，P是⊙O外一点，P A、PB分别和⊙O切于A、B，C是弧AB上任意一点，过C 作⊙O的切线分别交P A、PB于D、E，若△PDE的周长为12，则P A长为．14．如图：EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，则∠A的度数是度．15．如图，⊙O1和⊙O2外切于点P，内公切线PC与外公切线AB（A、B分别是⊙O1和⊙O2上的切点）相交于点C，已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3和4，则PC的长等于．16．如图，P A、PB分别切⊙O于A、B．P A＝5，在劣弧上取点C，过C作⊙O的切线，分别交P A，PB于D，E，则△PDE的周长等于．17．已知：如图，圆外切等腰梯形的中位线长为12cm，则梯形的周长＝cm．18．若圆外切等腰梯形的腰长为10cm，则它的中位线长cm．19．如图，⊙O的半径为3cm，点P到圆心的距离为6cm，经过点P引⊙O的两条切线，这两条切线的夹角为度．20．如图，四边形ABCD是⊙O的外切等腰梯形，其周长为20，则梯形ABCD的中位线长为．三．解答题（每题8分，共40分）21．如图，已知AB为⊙O的直径，P A，PC是⊙O的切线，A，C为切点，∠BAC＝30°．（Ⅰ）求∠P的大小；（Ⅱ）若AB＝2，求P A的长（结果保留根号）．22．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与DC相切于E．已知AB＝8，边BC比AD大6．（1）求边AD、BC的长；（2）在直径AB上是否存在一动点P，使以A、D、P为顶点的三角形与△BCP相似？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．23．已知：以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，过点D作⊙O的切线交BC边于点E．（1）如图，求证：EB＝EC＝ED；（2）试问在线段DC上是否存在点F，满足BC2＝4DF•DC？若存在，作出点F，并予以证明；若不存在，请说明理由．24．如图，P A 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，连接PO 与⊙O 相交于C ，连接AC 、BC ，求证：AC ＝B C ．25．已知：如图△ABC 中，∠ACB ＝90°，以AC 为直径的⊙O 交AB 于D ，过D 作⊙O 的切线交BC 于点E ，EF ⊥AB ，垂足为F ．（1）求证：DE ＝BC ；（2）若AC ＝6，BC ＝8，求S △ACD ：S △EDF 的值．参考答案一．选择题1．解：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理知AB＝AC＝3，OA平分∠BAC，∴∠OAB＝60°，在Rt△ABO中，OB＝AB tan∠OAB＝3，∴光盘的直径为6，故选：D．2．解：∵∠1＝60°，∠2＝65°，∴∠ABC＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣60°﹣65°＝55°，∴∠2＞∠1＞∠ABC，∴AB＞BC＞AC，∵CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB、CE分别切圆O2于B，E两点，∴AC＝CD，BC＝CE，∴AB＞CE＞CD．故选：A．3．解：连接OA，OB，OP，∵P A，PB分别切圆O于A，B两点，∴OA⊥P A，OB⊥PB，在Rt△AOP和Rt△BOP中，，∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL），∴PB＝P A＝3，故选：B．4．解：∵P A、PB都是⊙O的切线，∴P A＝PB，又∵∠P＝60°，∴△P AB是等边三角形，即AB＝P A＝8，故选：B．5．解：根据切线的性质定理得∠P AC＝90°，∴∠P AB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣35°＝55°．根据切线长定理得P A＝PB，所以∠PBA＝∠P AB＝55°，所以∠P＝70°．故选：D．6．解：根据切线长定理可得：PD＝PC＝2，DB＝6∴AP＝BP＝4∵P A＝PB，PC＝PD，即＝2∵∠APB＝∠DPC∴△ABP∽△CDP易得△CDP的周长是7，所以△P AB的周长是2×7＝14．故选：D．7．解：根据切线长定理，得AD＝AE，BC＝BE，所以梯形的周长是5×2+4＝14．故选D．8．解：∵△APO≌△BPO（HL），∴∠AOP＝∠BOP．∵sin∠AOP＝AP：OP＝2：4＝：2，∴∠AOP＝60°．∴∠AOB＝120°．故选：D．9．解：设AF ＝x ，根据切线长定理得AD ＝x ，BD ＝BE ＝9﹣x ，CE ＝CF ＝CA ﹣AF ＝6﹣x ，则有9﹣x +6﹣x ＝5，解得x ＝5，即AF 的长为5．故选：A ．10．解：连接OD ，DE ， EB ，CD 与BC 是⊙O 的切线，∠ODC ＝∠OBC ＝90°，OD ＝OB ，∵OC ＝OC∴Rt △CDO ≌Rt △CBO ，∴∠COD ＝∠COB ，∴∠COB ＝∠DAB ＝∠DOB ，∴AD ∥OC ，故①正确；∵CD 是⊙O 的切线，∴∠CDE ＝∠DOE ，而∠BDE ＝∠BOE ，∴∠CDE ＝∠BDE ，即DE 是∠CDB 的角平分线，同理可证得BE 是∠CBD 的平分线，因此E 为△CBD 的内心，故②正确；若FC ＝FE ，则应有∠OCB ＝∠CEF ，应有∠CEF ＝∠AEO ＝∠EAB ＝∠DBA ＝∠DEA ， ∴弧AD ＝弧BE ，而弧AD 与弧BE 不一定相等，故③不正确；设AE 、BD 交于点G ，由②可知∠EBG ＝∠EBF ，又∵BE ⊥GF ，∴FB ＝GB ，由切线的性质可得，点E 是弧BD 的中点，∠DCE ＝∠BCE ，又∵∠MDA ＝∠DCE （平行线的性质）＝∠DBA ，∴∠BCE ＝∠GBA ，而∠CFE ＝∠ABF +∠F AB ，∠DGE ＝∠ADB +∠DAG ，∠DAG ＝∠F AB （等弧所对的圆周角相等），∴△ABG∽△CEF，∴CE•GB＝AB•CF，又∵FB＝GB，∴CE•FB＝AB•CF故④正确．因此正确的结论有：①②④．故选：D．二．填空题（共10小题）11．解：∵P A，PB是⊙O的切线，∴P A＝PB，P A⊥OA，∴∠P AB＝∠PBA，∠OAP＝90°，∴∠PBA＝∠P AB＝90°﹣∠OAB＝90°﹣38°＝52°，∴∠P＝180°﹣52°﹣52°＝76°；故答案为：76．12．解：连接OD、OE，∵⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切，∴AF＝AD，BE＝BF，CE＝CD，OD⊥AD，OE⊥BC，∵∠ACB＝90°，∴四边形ODCE是正方形，设OD＝r，则CD＝CE＝r，∵BC＝3，∴BE＝BF＝3﹣r，∴AF＝AB+BF＝5+3﹣r，AD＝AC+CD＝4+r，∴5+3﹣r＝4+r，r＝2，则⊙O的半径是2．故答案为：2．13．解：根据切线长定理得：AD＝CD，CE＝BE，P A＝PB，则△PDE的周长＝2P A＝12，P A＝6．14．解：∵EB、EC是⊙O的切线，∴EB＝EC，又∵∠E＝46°，∴∠ECB＝∠EBC＝67°，∴∠BCD＝180°﹣（∠BCE+∠DCF）＝180°﹣99°＝81°；∵四边形ADCB内接于⊙O，∴∠A+∠BCD＝180°，∴∠A＝180°﹣81°＝99°．15．解：连接AO1、BO2，作O1D⊥O2B于D，在Rt△O1O2D中，O1O2＝7，O2D＝1，根据勾股定理得O1D＝4，则AB＝4；根据切线长定理得：PC＝AC＝BC，所以AB＝2PC，即PC＝AB＝2．故答案为：2．16．解：∵P A、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，∴P A＝PB，DA＝DC，EC＝EB；∴C△PDE＝PD+DE+PE＝PD+DA+EB+PE＝P A+PB＝10；故△PDE的周长为10．17．解：如图；∵⊙O内切于梯形ABCD，且切点分别为G、N、H、M，∴AM＝AG，DM＝DH，CH＝CN，BN＝BG；∴AD+BC＝AB+CD；∵EF是梯形的中位线，且EF＝12cm，∴AD+BC＝2EF＝24cm，∴梯形的周长为：AD+BC+AB+CD＝2（AD+BC）＝48cm．18．解：如图，梯形ABDC是圆的外切等腰梯形，切点为E、H、G、F；根据切线长定理可得：AE＝AF，BE＝BH，DH＝DG，CG＝CF，∴C＝2（AB+CD）＝4AC，梯形ABDC因此AB+CD＝2AC＝20cm，所以梯形ABDC的中位线长MN为10cm．19．解：连接AO．则△APO是直角三角形．根据OA＝3cm，OP＝6cm，因而∠APO＝30°，所以∠APB＝60°．20．解：∵四边形ABCD是⊙O的外切等腰梯形，∴AE＝AG，DG＝DF，BE＝BH，CF＝CH，∴梯形ABCD的周长＝2（AD+BC）＝20，解得：AD+BC＝10，∴梯形的中位线的长＝（AD+BC）＝5．故答案为：5．三．解答题（共5小题）21．解：（Ⅰ）∵P A是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴P A⊥AB，∴∠BAP＝90°；∵∠BAC＝30°，∴∠CAP＝90°﹣∠BAC＝60°．又∵P A、PC切⊙O于点A、C，∴P A＝PC，∴△P AC为等边三角形，∴∠P＝60°．（Ⅱ）如图，连接BC，则∠ACB＝90°．在Rt△ACB中，AB＝2，∠BAC＝30°，∵cos∠BAC＝，∴AC＝AB•cos∠BAC＝2cos30°＝．∵△P AC为等边三角形，∴P A＝AC，∴P A＝．22．解：（1）方法1：过D作DF⊥BC于F，在Rt△DFC中，DF＝AB＝8，FC＝BC﹣AD＝6，∴DC2＝62+82＝100，即DC＝10．（1分）设AD＝x，则DE＝AD＝x，EC＝BC＝x+6，∴x+（x+6）＝10．∴x＝2．∴AD＝2，BC＝2+6＝8．（4分）方法2：连OD、OE、OC，由切线长定理可知∠DOC＝90°，AD＝DE，CB＝CE，设AD＝x，则BC＝x+6，由射影定理可得：OE2＝DE•EC．（2分）即：x（x+6）＝16，解得x1＝2，x2＝﹣8，（舍去）∴AD＝2，BC＝2+6＝8．（4分）（2）存在符合条件的P点．设AP＝y，则BP＝8﹣y，△ADP与△BCP相似，有两种情况：①△ADP∽△BCP时，∴y＝；（6分）②△ADP∽△BPC时，∴y＝4．（7分）故存在符合条件的点P，此时AP＝或4．（8分）23．（1）证明：连接BD．由于ED、EB是⊙O的切线，由切线长定理，得ED＝EB，∠DEO＝∠BEO，∴OE垂直平分BD．又∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BD．∴AD∥OE．即OE∥AC．又O为AB的中点，∴OE为△ABC的中位线，∴BE＝EC，∴EB＝EC＝ED．（4分）（2）解：在△DEC中，由于ED＝EC，∴∠C＝∠CDE，∴∠DEC＝180°﹣2∠C．①当∠DEC＞∠C时，有180°﹣2∠C＞∠C，即0°＜∠C＜60°时，在线段DC上存在点F满足条件．在∠DEC内，以ED为一边，作∠DEF，使∠DEF＝∠C，且EF交DC于点F，则点F 即为所求．这是因为：在△DCE和△DEF中，∠CDE＝∠EDF，∠C＝∠DEF，∴△DEF∽△DCE．∴DE2＝DF•DC．即（BC）2＝DF•DC∴BC2＝4DF•DC．（6分）②当∠DEC＝∠C时，△DEC为等边三角形，即∠DEC＝∠C＝60°，此时，C点即为满足条件的F点，于是，DF＝DC＝DE，仍有BC2＝4DE2＝4DF•DC．（7分）③当∠DEC＜∠C时，即180°﹣2∠C＜∠C，60°＜∠C＜90°；所作的∠DEF＞∠DEC，此时点F在DC的延长线上，故线段DC上不存在满足条件的点F．（8分）24．证明：∵P A、PB分别切⊙O于A、B，∴P A＝PB，∠APC＝∠BPC．又∵PC＝PC，∴△APC≌△BPC．∴AC＝BC．25．（1）证明：∵EC、ED都是⊙O的切线，∴EC＝ED，∠ECD＝∠EDC．∵∠EDC+∠EDB＝90°，∠ECD+∠B＝90°，∴∠EDB ＝∠B ．∴ED ＝BE ．∴DE ＝BE ＝EC ．∴DE ＝BC ．（2）解：在Rt △ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，则AB ＝10，根据射影定理可得：AD ＝AC 2÷AB ＝3.6，BD ＝BC 2÷AB ＝6.4，∴S △ACD ：S △BCD ＝AD ：BD ＝9：16，∵ED ＝EB ，EF ⊥BD ，∴S △EDF ＝S △EBD ，同理可得S △EBD ＝S △BCD ，∴S △EDF ＝S △BCD ，∴S △ACD ：S △EDF ＝．。

【专题训练】专题：切线与切线长定理专题训练(含答案)

专题：切线与切线长定理专题训练（含答案）◆基础训练1．如图1，PA 切⊙O 于点A ，该圆的半径为3，PO=5，则PA 的长等于_____．图1 图2 图32．如图2，⊙O 的半径为5，PA 切⊙O 于点A ，∠APO=•30°，则切线长PA•为______．（结果保留根号）3．如图3，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，过点D 作⊙O 的切线，切点C ，若∠A=25°，则∠D=___．4．如图4，直线AB 切⊙O 于点C ，∠OAC=∠OBC ，则下列结论错误的是（）A ．OC 是△ABO 中AB 边上的高 B ．OC 所在直线是△ABO 的对称轴 C ．OC 是∠AOB 的平分线D ．AC>BC图4 图5 5．如图5，AB 是⊙O 的切线，P 为切点，若点Q 在直线AB 上，且OQ=5，•OP=•3，•则tan ∠OQP=（）A ．35B ．45C ．43D ．346．如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，CD 切⊙O 于点C ，交AB•的延长线于点D ，∠ACD=120°，BD=10．（1）求证：CA=CD ；（2）求⊙O 的半径．7．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，切点为点B ，点D 是⊙O 上的一点，且AD ∥OC ，求证：AD ·BC=OB ·BD ．8．如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，过D 作⊙O 的切线，交AC 于E ，求证：（1）DE ⊥AC ；（2）BD 2=CE ·CA ．◆提高训练9．如图，⊙M 与x 轴相交于点A （2，0），B （8，0），与y 轴相切于点C ，则圆心M•的坐标是_______．10．如图，已知PA 切⊙O 于A ，割线PBC 经过圆心O ，OB=PB=1，OA 绕点O•逆时针旋转60°到OD ，则PD 的长为（） A ．7 B ．372C ．5D ．22 11．如图，AB 是⊙O 的直径，AD 与⊙O 相切于点A ，过B 点作BC ∥OD 交⊙O•于点C ，连接OC ，AC ，AC 交OD 于点E ．（1）求证：△COE ≌△ABC ；（2）若AB=2，AD=3，求图中阴影部分的面积．12．已知：如图，△ABC 中，CA=CB ，点D 为AC 的中点，以AD 为直径的⊙O 切BC 于点E ，AD=2．（1）求BE 的长；（2）过点D 作DF ∥BC 交⊙O 于点F ，求DF 的长．13．如图，BC 是半圆O 的直径，O 为圆心，P 是BC 延长线上一点，PA 切半圆于A ，AD ⊥BC 于D ．（1）若∠B=30°，问AB 与AP 是否相等？请说明理由；（2）求证：PD ·PO=PC ·PB ；（3）若BD ：DC=4：1，且BC=10，求PC 的长．答案:1．4 2．53 3．40° 4．D 5．D 6．（1）略（2）10 7．略 8．略9．（5，4） 10．A 11．（1）略（2）6 －3412．（1）BE=4－22 （2）DF=43213．（1）AB=AP ，•理由略（2）提示：证△PCA ∽△PAB ，得PA 2=PC ·PB ，证△PAD ∽△POA ，得PA=PD ．PO•等量代换（3）PC=103（提示：用（2）的结论列方程解）。

圆的切线证明中考数学专项训练(含答案解析)

圆的切线证明(1)求证：CD 为O 切线；(2)若1CD =，5AC =，求PB (1)求证：CD 是O 的切线；(2)若16ABCD S =正方形，求CE3．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，O 为AB 上一点，经过点A ，D 的O 分别交AB ，AC 于点E ，F 连接OF 交AD 于点G ．(1)求证：BC 是O 的切线；(2)若60OFA ∠=︒，半径为4，在圆O 上取点P ，使15PDE ∠=︒，求点P 到直线DE 的距离．4．如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，AB CD ⊥，垂足是点H ，过点C 作直线分别与AB ，AD 的延长线交于点E ，F ，且2ECD BAD ∠=∠．(1)求证：CF 是O 的切线；(2)如果20AB =，12CD =，求AE 的长．5．如图，O 是ABC 的外接圆，O 点在BC 边上，BAC ∠的平分线交O 于点D ，连接BD 、CD ，过点D 作BC 的平行线，与AB 的延长线相交于点P ．(1)求证：PD 是O 的切线；(2)若3AB =，4AC =，求线段BD 的长．6．如图，已知以Rt ABC △的直角边AB 为直径作O ，与斜边AC 交于点D ，E 为BC 边上的中点，连接DE ．(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若AD ，AB 的长是方程210240x x -+=的两个根，求直角边BC 的长．(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若30C ∠=︒，23CD =，求图中阴影部分的面积．(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若2AB =，30C ∠=︒，求9．如图，AB 为O 的直径，C ，D 为O 上的两点，BAC DAC ∠=∠，过点C 作直线EF AD ⊥，交AD 的延长线于点E ，连接BC ．(1)求证：EF 是O 的切线；(2)若30CAO ∠=︒，2BC =，求CE 的长．10．如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上一点（与点A ，B 不重合），过点C 作直线PQ ，使得ACQ ABC ∠=∠．(1)求证：直线PQ 是O 的切线．(2)过点A 作AD PQ ⊥于点D ，交O 于点E ，若O 的半径为2，30DAC ∠=︒，求图中阴影部分的面积．11．如图，等腰ABC 的顶点A ，C 在O 上， BC 边经过圆心0且与O 交于D 点，30B ∠=︒.(1)求证：AB 是O 的切线；(2)若6AB =，求阴影部分的面积12．如图，AB 是ABC 外接圆O 的直径，PA 是O 的切线，BD OP ∥，点D 在O 上．(1)求证：PD 是O 的切线．(2)若ABC 的边6cm AC =，8cm BC =，I 是ABC 的内心，求IO 的长度．13．如图，AB 是O 的直径，AC 是弦，点D 是O 上一点，OD AB ⊥，连接CD 交AB 于点E ，F 是AB 延长线上的一点，且CF EF =．(1)求证：CF 是O 的切线；(2)若8CF =，4BF =，求弧BD 的长度．14．如图所示，在Rt ABC △中，点O 在斜边AB 上，以O 为圆心，OB 为半径作圆O ，分别与BC 、AB 相交于点D 、E ，连接AD ，已知CAD B ∠=∠．(1)求证：AD 是O 的切线；(2)若23AD CD ==时，求阴影部分的面积．(1)求证：PA是O(2)若tan CAD∠=(3)延长CD，AB交于点(1)求证：DE BG=；(2)求证：BF是O的切线；(3)若23DEEG=时，AE(1)当60A ∠=︒，2AD =时，求(2)求证：DF 是O 的切线．(1)求证：DF 是O (2)若 BE DE =，tan(1)求证：直线AB 为O 的切线；(2)若4tan 3A =，O 的半径为2，求AB (1)求证：BF 是O 的切线；(2)若6EF =，cos ABC ∠①求BF 的长；②求O 的半径．参考答案：∵CD AE ⊥，∴90ADC ∠=︒，∵OC OA =，∴OCA OAC ∠=∠，∵的平分线AC 交O 于∵AB 为O 直径，∴90ACB ∠=︒，∴90ADC ACB ∠=∠=︒，∵DAC OAC ∠=∠，∴，【点睛】此题重点考查正方形的性质、等腰三角形的性质、切线的判定、平行线分线段成比例定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．3．(1)见解析(2)232-或423-【分析】（1）连接OD ，可得（2）①过点P 作PN DE ⊥交交于H ，可求60EOD ∠=︒，即可求解；②连接OD ，OP 60EOD ∠=︒，30POE ∠=︒，可证求解．【详解】（1）解：如图，连接∴OA OD =，∴ODA OAD ∠=∠，AD 是BAC ∠的平分线，， ∠=︒PDE15=，PE PE ∴∠=︒POE30，OA OF∠=︒60OFA=，∴∠=︒，OAF60∠的平分线， AD是BAC同理可求60EOD ∠=︒，30POE ∠=︒，1302DOL EOD ∴∠=∠=︒，30DOP EOD POE ∠=∠-∠=︒，DOP DOL ∴∠=∠，AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒，AO OB =，AB CD ⊥ ，AB ∴平分弦CD ，AB 平分 CD，CH HD ∴=， CBDB =，90CHA CHE ∠=︒=∠，BAD BAC DCB ∴∠=∠=∠，∵AB 是O 的直径，∴90ADB ∠=︒，∴BDC 为直角三角形，∵E 为BC 边上的中点，∴ED EB =，∴12∠=∠，∵OB OD =，3=4∠∠∵AB AC =，∴A ABC CB =∠∠，设OB OD r ==，∴ABC ODB ∠=∠，∵AB AC =，23CD =，C ∠=∴23BD CD ==，30B C ∠=∠=∴1803030120BOD ∠=︒-︒-︒=︒OF BD ⊥==OB OD AB AC,∴∠=∠，B CB ODB∠=∠∴∠=∠．ODB C∴∥．OD AC，=OA OC∴∠=∠，OAC OCAQ，∠=∠DAC BAC∴∠=∠，DAC OCA∥，∴AD OC，EF AD⊥∴⊥，而OC为半径，EF OC的切线；∴是OEF的直径，（2）解：AB为O（1）根据题意连接OC ，可知90ACB ∠=︒，可知AOC 是等腰三角形，OAC OCA ∠=∠，继而可证90OCD ∠=︒；（2）连接OE ，过点E 作EF AB ⊥，根据题意可知60EAO ∠=︒即可得知AEO △为等边三角形，再求出扇形AOE 面积减去AEO △的面积即为阴影面积．【详解】（1）解：连接OC ，，∵OA OC =，AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∴90CAB CBA ∠+∠=︒，∴AOC 是等腰三角形，∴OAC OCA ∠=∠，∵ACQ ABC ∠=∠，∴90ACQ OCA ∠+∠=︒，∴OC PQ ⊥，∴直线PQ 是O 的切线；（2）解：连接OE ，过点E 作EF AB ⊥，，∵AD PQ ⊥，ACQ ABC ∠=∠，∴30DAC CAB ∠=∠=︒，∴60EAO ∠=︒，∵AB 为O 的直径，∴90ADB ∠=︒，∵BD OP ∥，∴OP AD ⊥，OP 是AD 的垂直平分线，∴PD PA =，则IU IV IQ ==，∵AB 为O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∵6cm AC =，8cm BC =，∴226810AB =+=，5OB OA ==(2)3π．【分析】本题考查了切线的判定，求弧长；（1）如图，连接OC ，OD ．证明90OCF ∠=︒即可；（2）设O 的半径为r ，在Rt COF △中，勾股定理可得6r =，再根据弧长公式可解决问题．【详解】（1）证明：连接OCCF EF= CEF ECF∴∠=∠OD AB⊥ 90DOE ∴∠=︒，90ODE OED ∴∠+∠=︒，OD OC = ，ODE OCD ∴∠=∠，CEF OED ∠=∠ ，OED ECF ∴∠=∠，90OCD ECF ∴∠+∠=︒，即90OCF ∠=︒，OC CF ∴⊥，CF ∴是O 的切线．（2）设O 的半径为r ，∵4BF =，∴4OF r =+，在Rt OCF 中，90,∠=︒ACB∴∠+∠CAD ADC=,OB OD∴∠=∠,B ODB则sin 30OH OD =⋅ODB S S S ∴=-阴影扇形∴CAD BAD ∠=∠，∴5CD BD ==，∵AB 为直径，点∴90ADB ∠=︒，∵2DOB DAB ∠=∠=∠又∵DFO CFA ∠=∠，∴DOF CAF ∽，又∵OB BF OA ==，∴23DF FO FC FA ==，∴90EHB BGF ∠=∠=︒，∵点C 为劣弧BD 中点，∴ CDBC =，∴DAC BAC DBC ∠=∠=∠∵AD 是O 的直径，∴90AED ∠=︒，∵60A ∠=︒，2AD =∴30ADE ∠=︒，则12AE =∴2222DE AD AE =-=∵AD 是直径，∴90AED ∠=︒，∴1809090DEB ∠=︒-︒=︒∵四边形ABCD 为菱形，∴DBE DBF ∠=∠，AD ∥∵BE BF =，DB DB =，∴()SAS DBE DBF ≌，∴90DFB DEB ∠=∠=︒，∵AD BC ∥，∴90ADF DFB ∠=∠=︒，∴AD DF ⊥，∵AD 为直径，∴DF 是O 的切线．【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角为直角，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，切线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握切线的判定方法．18．(1)见解析(2)52AB 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，90BDC ∴∠=︒，90BDF CDF ∠∠∴+=︒，OB OD = ，OBD ODB ∴∠=∠，CDF ABD ∠∠= ，ODB CDF ∠∠∴=，90ODB BDF ∴∠+∠=︒，90ODF ∴∠=︒，DF OD ∴⊥，OD 是O 的半径，DF ∴是O 的切线；（2）如图，连接AE ，∵ BEDE =，BAE CAE ∴∠=∠，AB 是O 的直径，90AEB ∴∠=︒，90AEC ∴∠=︒，AEB AEC ∴∠=∠，∵OC OD =，∴OCD ODC ∠=∠．设OCD ODC α∠=∠=，∴22A BCD α∠=∠=．∵90ACB ∠=︒，。

初三数学中考专项练习切线长定理—知识讲解(基础)

切线长定理—知识讲解（基础）【学习目标】1.了解切线长定义；理解切线的判定和性质；理解三角形的内切圆及内心的定义；2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.【要点梳理】要点一、切线的判定定理和性质定理1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定方法：（1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；（2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）.2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.要点诠释：切线的性质：（1）切线和圆只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于过切点的半径；（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.要点二、切线长定理1．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.3．圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等.要点三、三角形的内切圆1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S 为三角形的面积，P 为三角形的周长，r 为内切圆的半径).【典型例题】类型一、切线长定理1．如图，PA 、PB 、DE 分别切⊙O 于A 、B 、C ，⊙O 的半径长为6 cm ，PO ＝10 cm ，求△PDE 的周长．【答案与解析】连结OA ，则OA ⊥AP ．在Rt △POA 中，PA ＝22OA OP -＝22610-＝8（cm ）．由切线长定理，得EA ＝EC ，CD ＝BD ，PA ＝PB ， ∴ △PDE 的周长为PE ＋DE ＋PD ＝PE ＋EC ＋DC ＋PD ，＝PE ＋EA ＋PD ＋DB ＝PA ＋PB ＝16（cm ）．【总结升华】本题考查切线长定理、切线的性质、勾股定理．注意：在有关圆的切线长的计算中，往往利用切线长定理进行线段的转换．2．（2015•柳州）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切于点A，∠DAE=∠ABE,边CD与⊙O相交于点E，连接AE，BE．（1）求证：AB=AC；（2）若过点A作AH⊥BE于H，求证：BH=CE+EH．【思路点拨】（1）根据圆周角定理证明∠ABC=∠ACB，得到答案；（2）作AF⊥CD于F，证明△AEH≌△AEF，得到EH=EF，根据△ABH≌△ACF，得到答案．【答案与解析】证明：（1）∵∠ABE=∠DAE，又∠EAC=∠EBC，∴∠DAC=∠ABC，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC；（2）作AF⊥CD于F，∵四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠ABC=∠AEF，又∠ABC=∠ACB，∴∠AEF=∠ACB，又∠AEB=∠ACB，∴∠AEH=∠AEF，在△AEH和△AEF中，，∴△AEH≌△AEF，∴EH=EF，∴CE+EH=CF，在△ABH和△ACF中，，∴△ABH≌△ACF，∴BH=CF=CE+EH．【总结升华】本题考查的是切线的性质和平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质，运用性质证明相关的三角形全等是解题的关键，注意圆周角定理和圆内接四边形的性质的运用．举一反三：【变式】（2015•青海）如图，在△ABC中，∠B=60°，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO的延长线于点M，CM交⊙O于点D．（1）求证：AM=AC；（2）若AC=3，求MC的长．【答案】（1）证明：连接OA，∵AM是⊙O的切线，∴∠OAM=90°，∵∠B=60°，∴∠AOC=120°，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，∴∠AOM=60°，∴∠M=30°，∴∠OCA=∠M，∴AM=AC；（2）作AG⊥CM于G，∵∠OCA=30°，AC=3，∴AG=，由勾股定理的，CG=，则MC=2CG=3．类型二、三角形的内切圆3．已知：如图，△ABC的三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O的半径长为r．求△ABC的面积S．【答案与解析】设内切圆与三角形的三边AB 、AC 、BC 分别交于D 、E 、F ，连接OE 、 OF 、OD 、AO 、BO 、CO.∴△ABC=△AO B +△AO C +△BO C=12r(a+b+c). 【总结升华】考虑把△ABC 的面积分割成3个以圆的半径为高的三角形面积的和，从而求出△ABC 的面积. 举一反三：【变式】已知如图，△ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=3，求△ABC 的内切圆⊙O 的半径r.【答案】连结OA 、OB 、OC ，∵△ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=3，∴AB=5. 则S △AOB +S △COB +S △AOC =S △ABC ，即11115+4+3=34=12222r r r r ⨯⨯⨯⨯⨯，类型三、与相切有关的计算与证明4．如图，平行四边形ABCD 中，以A 为圆心，AB 为半径的圆交AD 于F ，交BC 于G ，延长BA 交圆于E .（1）若ED 与⊙A 相切，试判断GD 与⊙A 的位置关系，并证明你的结论；（2）在（1）的条件不变的情况下，若GC ＝CD ＝5，求AD 的长.G FEDCBA【答案与解析】（1）结论：GD 与O 相切证明：连接AG ∵点G 、E 在圆上， ∴AG AE =∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD BC ∥ ∴123B ∠=∠∠=∠，∵AB AG =，∴3B ∠=∠，∴12∠=∠654321F EDA在AED ∆和AGD ∆12AE AG AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AED AGD ∆∆≌，∴AED AGD ∠=∠ ∵ED 与A 相切∴90AED ∠=︒，∴90AGD ∠=︒ ∴AG DG ⊥∴GD 与A 相切（2）∵5GC CD ==，四边形ABCD 是平行四边形 ∴AB DC =，45∠=∠，5AB AG ==∵AD BC ∥，∴46∠=∠，∴1562B ∠=∠=∠∴226∠=∠ ，∴630∠=︒ ∴10AD =.【总结升华】本题虽然是圆和平行四边形的位置关系问题，但是依然考察的是如何将所有条件放在最基本的三角形中求解的能力.判断出DG 与圆相切不难，难点在于如何证明.第二问则不难，重点在于如何利用角度的倍分关系来判断直角三角形中的特殊角度，从而求解.。

【中考数学】2022-2023学年易错常考专题训练—切线的证明(含解析)

【中考数学】2022-2023学年易错常考专题训练—切线的证明一、综合题1．如图，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，∠ABC ＝90°，BD ＝BA ，BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E ．（1）若∠BAD ＝70°，则∠BCA ＝ °；（2）若AB ＝12，BC ＝5，求DE 的长：（3）求证：BE 是⊙O 的切线．2．如图，AB 为的直径，C 为上一点，D 为BA 延长线上一点，．⊙O ⊙O ∠ACD =∠B（1）求证：DC 为的切线；⊙O （2）线段DF 分别交AC ，BC 于点E ，F 且，的半径为5，，求∠CEF =45∘⊙O sinB =35CF 的长．3．如图，四边形ABCD 的顶点在⊙O 上，BD 是⊙O 的直径，延长CD 、BA 交于点E ，连接AC 、BD 交于点F ，作AH ⊥CE ，垂足为点H ，已知∠ADE ＝∠ACB ．（1）求证：AH 是⊙O 的切线；（2）若OB ＝4，AC ＝6，求sin ∠ACB 的值；（3）若＝，求证：CD ＝DH ．DF FO 234．如图，⊙ 是△ 的外接圆，为直径，弦，交的延长线于点O ABC AC BD =BA BE ⊥DC DC ，求证：E（1）；∠ECB =∠BAD （2）是⊙ 的切线．BE O 5．如图，已知Rt △ABC ，∠C=90°，D 为BC 的中点，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若AE ：EB=1：2，BC=6，求AE 的长．6．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC 的角平分线AD 交BC 边于D ．以AB 上某一点O 为圆心作⊙O ，使⊙O 经过点A 和点D ．（1）判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若AC=3，∠B=30°．①求⊙O 的半径；②设⊙O 与AB 边的另一个交点为E ，求线段BD 、BE 与劣弧DE 所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π）7．如图，等腰三角形ABC 中，AC=BC=10，AB=12，以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，交AC 于（1）求证：直线EF 是⊙O 的切线；（2）求cos ∠E 的值．8．如图，已知△ABC 是等边三角形，以AC 为直径的⊙O 分别交AB ，BC 于点D ，E ，点F 在AB的延长线上，2∠BCF=∠BAC ．（1）求∠ADE 的度数．（2）求证：直线CF 是⊙O 的切线．9．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于H ，G 为⊙O 上一点，连接AG 交CD 于K ，在CD 的延长线上取一点E ，使EG=EK ，EG 的延长线交AB 的延长线于F.（1）求证：EF 是⊙O 的切线；（2）连接DG ，若AC ∥EF 时.①求证：△KGD ∽△KEG ；②若，AK= ，求BF 的长.cosC =451010．在中，，，是边上的点，⊙O 与相切，切点Rt △ABC ∠A =90°AB =AC =4O BC AB 为，与⊙O 相交于点，且．D ACE AD =AE（1）求证：是⊙O 的切线；AC （2）如果为弧上的一个动点（不与、重合），过点作⊙O 的切线分别与边 F DE D E F 、相交于、，连接、，有两个结论：①四边形的周长不变，②AB AC G H OG OH BCHG 的度数不变．已知这两个结论只有一个符合题意，找出正确的结论并证明；∠GOH （3）探究：在（2）的条件下，设，，试问与之间满足怎样的函数关系，BG =x CH =y y x 写出你的探究过程并确定变量的取值范围，并说明当时点的位置．x x =y F 11．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，连接AD ，过点D 作DM ⊥AC ，垂足为M ，AB 、MD 的延长线交于点N.（1）求证：MN 是⊙O 的切线；（2）求证：DN 2＝BN•（BN+AC ）；（3）若BC ＝6，cosC ＝，求DN 的长.3512．如图，AB 为⊙O 的直径，P 为BA 延长线上一点，点C 在⊙O 上，连接PC ，D 为半径OA 上一点，PD ＝PC ，连接CD 并延长交⊙O 于点E ，且E 是的中点.AB（1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）若AB ＝8，CD•DE ＝15，求PA 的长.13．如图，内接于⊙，⊙的直径AD 与弦BC 相交于点E ，BE ＝CE ，过点D 作交△ABC O O DF ∥BC AC 的延长线于点F ．（1）求证：DF 是⊙的切线；O （2）若，AB ＝6，求DF 的长．sin∠BAD =1314．如图，在中，，，以边上一点为圆心，为半径作，RtΔABC ∠BAC =90°∠C =30°AC O OA ⊙O 恰好经过边的中点，并与边相交于另一点.⊙O BC D AC F（1）求证：是的切线.BD ⊙O （2）若，是半圆上一动点，连接，，.填空： AB =3E AGF AE AD DE ①当的长度是　　时，四边形是菱形；AE ABDE ②当的长度是　　时，是直角三角形.AE ΔADE15．已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于H ，过CD 延长线上一点E 作⊙O 的切线交AB 的延长线于F ，切点为G ，连接AG 交CD 于K ．（1）如图1，求证：KE=GE ；（2）如图2，连接CA ，BG ，若∠FGB= ∠ACH ，求证：CA ∥FE ；12（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG 交AB 于点N ，若sinE= ，AK= ，求CN 的3510长．16．如图，已知在 Rt △ABC 中， ∠C=90° ，点D 为AC 的中点.（1）请利用尺规作出以BC 为直径的⊙O ；（保留作图痕迹）（2）AB 交⊙O 于点 E ，连接 DE ，求证： DE 是 ⊙O 的切线.（3）若 ∠ABC=30° ， BC=6 ，求⊙O 与 DE 、 DC 组成的阴影部分面积.答案解析部分1．【正确答案】（1）70（2）解：在Rt △ABC 中，AC ＝＝13， ∠BDE ＝∠BAC ，∠BED ＝∠CBA ＝90°，BC 2+AB 2∴△DEB ∽△ABC ，∴ ，即，解得，DE ＝；DE AB =BD AC DE 12=121314413（3）证明：连接OB ， ∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ， ∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠BAD+∠BCD ＝180°， ∵∠BCE+∠BCD ＝180°，∴∠BCE ＝∠BAD ，∵BD ＝BA ， ∴∠BDA ＝∠BAD ，∵∠BDA ＝∠ACB ，∴∠ACB ＝∠BAD ，∴∠OBC ＝∠BCE ，∴OB ∥DE ，∵BE ⊥DC ， ∴BE ⊥OB ，∴BE 是⊙O 的切线．2．【正确答案】（1）解：如图，连接OC ，为的直∵AB ⊙O 径，， ∴∠ACB =∠BCO +∠OCA =90°，∴∠B =∠BCO ，∵∠ACD =∠B ，∴∠ACD =∠BCO ，即，∴∠ACD +∠OCA =90∘∠OCD =90∘ 为的切线∴DC ⊙O （2）解：中，，，，，(2)Rt △ACB AB =10sinB =35=ACAB ∴AC =6BC =8 ，，∵∠ACD =∠B ∠ADC =∠CDB ∽ ，∴△CAD △BCD ，∴AC BC =AD CD =68=34设，，AD =3x CD =4x 中，，，Rt △OCD OC 2+CD 2=OD 252+(4x)2=(5+3x)2 舍或，x =0()307 ，，∵∠CEF =45∘∠ACB =90∘ ，∴CE =CF 设，CF =a ，∵∠CEF =∠ACD +∠CDE ，∠CFE =∠B +∠BDF ，∴∠CDE =∠BDF ，∵∠ACD =∠B ∽ ，∴△CED △BFD ，∴CE CD =BF BD ，，∴a 4×307=8−a 10+3×307a =247∴CF =2473．【正确答案】（1）证明：连接OA ，由圆周角定理得，∠ACB ＝∠ADB ， ∵∠ADE ＝∠ACB ，∴∠ADE ＝∠ADB ，∵BD 是直径， ∴∠DAB ＝∠DAE ＝90°，在△DAB 和△DAE 中，，{∠BAD =∠EADDA =DA∠BDA =∠EDA ∴△DAB ≌△DAE ，∴AB ＝AE ，又∵OB ＝OD ， ∴OA ∥DE ，又∵AH ⊥DE ，∴OA ⊥AH ，∴AH 是⊙O 的切线（2）解：由（1）知，∠E ＝∠∠DBE ＝∠ACD ， ∴∠E ＝∠ACD ，∴AE ＝AC ＝AB ＝6．在Rt △ABD 中，AB ＝6，BD ＝8，∠ADE ＝∠ACB ，∴sin ∠ADB ＝＝，即sin ∠ACB ＝ 683434（3）证明：由（2）知，OA 是△BDE 的中位线，∴OA ∥DE ，OA ＝ DE ．12∴△CDF ∽△AOF ， ∴ ＝＝， CD AO DF OF 23∴CD ＝ OA ＝ DE ，即CD ＝ CE ，231314∵AC ＝AE ，AH ⊥CE ，∴CH ＝HE ＝ CE ，12∴CD ＝ CH ，12∴CD ＝DH ．4．【正确答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠ECB=∠BAD．（2）证明：连结OB ，OD ，在△ABO 和△DBO 中，，∴△ABO ≌△DBO （SSS ），{AB =BDBO =BOOA =OD ∴∠DBO=∠ABO ，∵∠ABO=∠OAB=∠BDC ，∴∠DBO=∠BDC ， ∴OB ∥ED ，∵BE ⊥ED ，∴EB ⊥BO ， ∴BE 是⊙O 的切线5．【正确答案】（1）证明：连接OE 、EC ，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠AEC=∠BEC=90°，∵D 为BC 的中点，∴ED=DC=BD ，∴∠1=∠2，∵OE=OC ，∴∠3=∠4，∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠OED=∠ACB ，∵∠ACB=90°，∴∠OED=90°，∴DE 是⊙O 的切线（2）解：由（1）知：∠BEC=90°，∵在Rt △BEC 与Rt △BCA 中，∠B=∠B ，∠BEC=∠BCA ，∴△BEC ∽△BCA ，∴ = ，BE BC BC BA ∴BC 2=BE•BA ，∵AE ：EB=1：2，设AE=x ，则BE=2x ，BA=3x ，∵BC=6，∴62=2x•3x ，解得：x= ，6即AE= 66．【正确答案】（1）解：（1）直线BC 与⊙O 相切；连结OD ，如图所示，∵OA=OD ，∴∠OAD=∠ODA ，∵∠BAC 的角平分线AD 交BC 边于D ，∴∠CAD=∠OAD ，∴∠CAD=∠ODA ，∴OD ∥AC ，∴∠ODB=∠C=90°，即OD ⊥BC ．又∵直线BC 过半径OD 的外端，∴直线BC 与⊙O 相切．（2）解：①设OA=OD=r ，在Rt △BDO 中，∠B=30°，∴OB=2r ，在Rt △ACB 中，∠B=30°，∴AB=2AC=6，∴3r=6，解得r=2．②在Rt △ACB 中，∠B=30°，∴∠BOD=60°．∴．∴所求图形面积为．7．【正确答案】（1）证明：如图，方法1：连接OD 、CD ．∵BC 是直径，∴CD ⊥AB ．∵AC=BC ．∴D 是AB 的中点．∵O 为CB 的中点，∴OD ∥AC ．∵DF ⊥AC ，∴OD ⊥EF ．∴EF 是圆O 的切线．方法2：∵AC=BC ，∴∠A=∠ABC ，∵OB=OD ，∴∠DBO=∠BDO ，∵∠A+∠ADF=90°∴∠EDB+∠BDO=∠A+∠ADF=90°．即∠EDO=90°，∴OD ⊥ED∴EF 是圆O 的切线.（2）解：连BG ．∵BC 是直径，∴∠BDC=90°．∴CD= =8．AC 2−AD 2∵AB•CD=2S △ABC =AC•BG ，∴BG= = = ．AB ⋅CD AC 9610485∴CG= = ．BC 2−BG 2145∵BG ⊥AC ，DF ⊥AC ，∴BG ∥EF ．∴∠E=∠CBG ，∴cos ∠E=cos ∠CBG= = ．BG BC 24258．【正确答案】（1）解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB=∠ACE=60°，∴∠ADE=180°﹣∠ACE=120°（2）解：∵⊙O 的直径是AC ， ∴∠AEC=90°，即AE ⊥BC ．又∵AB=AC ，∴∠BAE=∠CAE ．∵2∠BCF=∠BAC ，∴∠BCF=∠CAE ．∵∠CAE+∠ECA=90°，∴∠BCF+∠ECA=90°，即∠ACF=90°．又AC 是直径，∴直线CF 是⊙O 的切线9．【正确答案】（1）证明：如图，连接OG.∵EG=EK ，∴∠KGE=∠GKE=∠AKH ，又OA=OG ，∴∠OGA=∠OAG ， ∵CD ⊥AB ，∴∠AKH+∠OAG=90°，∴∠KGE+∠OGA=90°，∴EF 是⊙O 的切线.（2）解：①∵AC ∥EF ，∴∠E=∠C ，又∠C=∠AGD ，∴∠E=∠AGD ，又∠DKG=∠CKE ，∴△KGD ∽△KGE.②连接OG ，如图所示.∵，AK= ，cosC =4510设，∴ ，，则 cosC =45=CHAC =kCH =4k AC =5k AH =3k KE=GE ，AC ∥EF ，∴CK=AC=5k ，∴HK=CK －CH=k.在Rt △AHK 中，根据勾股定理得AH 2+HK 2=AK 2，即，，，，则，(3k)2+k 2=(10)2k =1CH =4AC =5AH =3设⊙O 半径为R ，在Rt △OCH 中，OC=R ，OH=R －3k ，CH=4k ，由勾股定理得：OH 2＋CH 2=OC 2，，∴(R−3)2+42=R 2R =256在Rt △OGF 中，，∴ ，cosC =cos∠GOF =45=OG OF OF =12524∴BF =OF−OB =12524−256=252410．【正确答案】（1）解：如图，连接OA ，OD ，OE ，∵AB 是⊙O 的切线，点D 为切点，∴∠ADO=90°，∵AD=AE ，OD=0E ，AO=AO ，∴△AOD ≌△AOE ，∴∠ADO=∠AEO=90°，∴AC 是⊙O 的切线，点E 为切点；（2）解：根据题意，四边形BCHG 的周长为BC+CH+BG+HG ， ∵ ，，∠A =90°AB =AC =4∴∠B=∠C=45°，BC=4 ，2∵∠ADO=∠AEO=90°，OD=0E ，∴∠DOB=∠EOC=45°，△BOD ≌△COE ，∴OB=OC ，BD=CE ，∴∠EOD=90°，∠AOB=90°，∠BAO=45°，∴BD=OD=DA=CE= AB=2，12∵AB ，AC ，GH 都是⊙O 的切线，∴HF=HE ，GD=GF ，∴四边形BCHG 的周长为BC+CE+EH+GH+BD+GD =BC+CE+BD+GH+HF+FG = BC+CE+BD+2GH =4+4 +2GH ，2∵GH 是变量，∴四边形BCHG 的周长不是定值，这个结论不符合题意；∵AB ，AC ，GH 都是⊙O 的切线，根据切线长定理，得GO 平分∠DOF ，HO 平分∠EOF ，∴∠GOH=∠GOF+∠HOF= ∠DOF+ ∠EOF= （∠DOF+∠EO ）121212= ∠EOD ，12∵∠EOD=90°，∴∠GOH=45°，是个定值，故该结论符合题意（3）解：根据题意，GD=GF=x-2，HE=HF=y-2， ∴GH=x+y-4，AG=4-x ，AH=4-y ，在直角三角形AGH 中，，AG 2+AH 2=GH 2∴ ，(x−2)2+(y−2)2=(x +y−4）2整理，得y= ，且2＜x ＜4，8x 当x=y 时，∴AG=AH ，∴AG ：AB=AH ：AC ，∴GH ∥BC ，∴OF ⊥GH ，∵BG=CH ，∠B=∠C ，BO=CO ，∴△BOG ≌△COH ，∴GO=HO ，∴GF=FH ，∴A ，F ，O 三点一线，∴∠DOF=∠EOF ， ∴弧DF=弧EF ，故点F 是弧DE 的中点．11．【正确答案】（1OD ，∵AB 是直径，∴∠ADB ＝90°，又∵AB ＝AC ，∴BD ＝CD ，∠BAD ＝∠CAD ，∵AO ＝BO ，BD ＝CD ，∴OD ∥AC ，∵DM ⊥AC ，∴OD ⊥MN ，又∵OD 是半径，∴MN 是⊙O 的切线；（2）证明：∵AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠ACB ，∵∠ABC+∠BAD ＝90°，∠ACB+∠CDM ＝90°，∴∠BAD ＝∠CDM ，∵∠BDN ＝∠CDM ，∴∠BAD ＝∠BDN ，又∵∠N ＝∠N ，∴△BDN ∽△DAN ，∴，BN DN =DNAN ∴DN 2＝BN•AN ＝BN•（BN+AB ）＝BN•（BN+AC ）；（3）解：∵BC ＝6，BD ＝CD ， ∴BD ＝CD ＝3，∵cosC ＝＝，35CD AC ∴AC ＝5，∴AB ＝5，∴AD ＝＝＝4，AB 2−BD 225−9∵△BDN ∽△DAN ，∴ ＝＝，BN DN =DN AN BD AD 34∴BN ＝ DN ，DN ＝ AN ，3434∴BN ＝（ AN ）＝ AN ，3434916∵BN+AB ＝AN ，∴ AN+5＝AN 916∴AN ＝，807∴DN ＝ AN ＝ .3460712．【正确答案】（1）证明：连接OC ，OE ，∵OC=OE ，∴∠OEC=∠OCE ，∵E 是的中点，AB ∴ ，AE =BE ∴∠AOE=∠BOE=90°，∴∠OEC+∠ODE=90°，∵PC=PD ，∴∠PCD=∠PDC ，∵∠PDC=∠ODE ，∴∠PCD=∠ODE ，∴∠PCD+∠OCD=∠ODE+∠OEC=90°，∴OC ⊥PC ，∴PC 是⊙O 的切线；（2）解：连接AC ，BE ，BC ， ∵∠ACD=∠DBE ，∠CAD=∠DEB ，∴△ACD ∽△EBD ，∴，AD DE =CDBD ∴CD•DE=AD•BD=（AO-OD ）（AO+OD ）=AO 2-OD 2；∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∵∠PCO=90°，∴∠ACP=∠BCO ，∵∠BCO=∠CBO ，∴∠ACP=∠PBC ，∵∠P=∠P ，∴△ACP ∽△CBP ，∴ ，PC PB =PA PC ∴PC 2=PB•PA=（PD+DB ）（PD-AD ）=（PD+OD+OA ）（PD+OD-OA ）=（PD+OD ）2-OA 2=PD 2+2PD•OD+OD 2-OA 2，∵PC=PD ，∴PD 2=PD 2+2PD•OD+OD 2-OA 2，∴OA 2-OD 2=2OD•PD ，∴CD•DE=2OD•PD ；∵AB=8，∴OA=4，由CD•DE=AO 2-OD 2；∵CD•DE=15，∴15=42-OD 2，∴OD=1（负值舍去），∴AD=3，由CD•DE=2OD•PD ，∴PD= ，CD•DE 2OD =152∴PA=PD-AD= .9213．【正确答案】（1）证明：∵AD 为的直径，BE ＝CE ，⊙O ∴，AD ⊥BC ∴，∠AEC =90°∵，DF ∥BC ∴，∠ADF =∠AEC =90°∴，且OD 是的半径，DF ⊥AD ⊙O ∴DF 是的切线；⊙O （2）解：连接CD ，∵，AB ＝6，sin∠BAD =13∴CE ＝BE ＝2，∴，AE =AB 2−BE 2=42∵，AD ⊥BC ∴AC ＝AB ＝6，∵，cos∠CAD =AE AC =AC AD ∴，426=6AD ∴，AD =922∵，tan∠CAD =DF AD =CEAE ∴，DF922=242∴（注：答案不唯一，可利用两个三角形相似进行解答）.DF =9414．【正确答案】（1，OD ∵在中，，，RtΔABC ∠BAC =90°∠C =30°∴，AB =12BC∵是的中点，∴，D BC BD =12BC∴，∴，AB =BD ∠BAD =∠BDA ∵，∴，OA =OD ∠OAD =∠ODA ∴，即，∠ODB =∠BAO =90°OD ⊥BC（2）；或23π13ππ15．【正确答案】（1）证明：如图1，连接OG ．∵EF 切⊙O 于G ，∴OG ⊥EF ，∴∠AGO+∠AGE=90°，∵CD ⊥AB 于H ，∴∠AHD=90°，∴∠OAG+∠AKH=90°，∵OA=OG ，∴∠AGO=∠OAG ，∴∠AGE=∠AKH ，∵∠EKG=∠AKH ，∴∠EKG=∠AGE ，∴KE=GE（2）证明：设∠FGB=α，∵AB 是直径，∴∠AGB=90°，∴∠AGE=∠EKG=90°﹣α，∴∠E=180°﹣∠AGE﹣∠EKG=2α，∵∠FGB= ∠ACH ，12∴∠ACH=2α，∴∠ACH=∠E ，∴CA ∥FE（3）解：作NP ⊥AC 于P ．∵∠ACH=∠E ，∴sin ∠E=sin ∠ACH= ，AH AC =35设AH=3a ，AC=5a ，则CH= ，tan ∠CAH= ，AC 2−CH 2=4a CH AH =43∵CA ∥FE ，∴∠CAK=∠AGE ，∵∠AGE=∠AKH ，∴∠CAK=∠AKH ，∴AC=CK=5a ，HK=CK﹣CH=4a ，tan ∠AKH= =3，AK= ，AH HK AH 2+HK 2=10a ∵AK= ，10∴ ，10a =10∴a=1．AC=5，∵∠BHD=∠AGB=90°，∴∠BHD+∠AGB=180°，在四边形BGKH 中，∠BHD+∠HKG+∠AGB+∠ABG=360°，∴∠ABG+∠HKG=180°，∵∠AKH+∠HKG=180°，∴∠AKH=∠ABG ，∵∠ACN=∠ABG ，∴∠AKH=∠ACN ，∴tan ∠AKH=tan ∠ACN=3，∵NP ⊥AC 于P ，∴∠APN=∠CPN=90°，在Rt △APN 中，tan ∠CAH=，设PN=12b ，则AP=9b ，PN AP =43在Rt △CPN 中，tan ∠ACN= =3，PNCP ∴CP=4b ，∴AC=AP+CP=13b ，∵AC=5，∴13b=5，∴b= ，∴CN= = = ．513PN 2+CP 2410⋅b 20131016．【正确答案】（1）解：如图，作的垂直平分线，交于，以为半径作⊙O ， 1BC BC O OB 则 ⊙O 即为所作；OD OE（2）解：如图2，连接，，∵O BC D AC是的中点，是的中点，∴OD△ACB是的中位线，∴OD//AB，∴∠COD=∠B∠DOE=∠OEB，，∵OE=OB，∴∠OEB=∠B，∴∠COD=∠DOE，∵OC=OE OD=OD，，∴△OCD△OED(SAS)≌，∴∠OED=∠OCD=90°，∵OE⊙O是的半径，∴DE⊙O是的切线；（3）解：如图2，，∵OB =OE ，∴∠OEB =∠B =30° ，∴∠COE =∠OEB +∠B =60°由（2）知： ≌ ，△OCD △OED ，∴∠COD =∠DOE =30° ，∵BC =6 ，∴OC =3 中，，Rt △OCD CD =3 与、组成的阴影部分面积∴⊙O DE DC .=2S △OCD −S 扇形OCE =2×12×3×3−60π×32360=33−3π2。

专题09 切线长定理(解析版) -2021-2022学年九年级数学之专攻圆各种类型题的解法(人教版)

专题09 切线长定理概念规律重在理解1.切线长的定义：切线上一点到切点之间的线段的长叫作这点到圆的切线长．2.切线长与切线的区别①切线是直线，不能度量.②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．3切线长定理:过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.几何语言:PA、PB分别切☉O于A、B，则PA = PB，∠OPA=∠OPB注意：切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.4.三角形的内切圆及作法已知：△ABC.求作：和△ABC的各边都相切的圆.作法：1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O.2.过点O作OD⊥BC.垂足为D.3.以O为圆心，OD为半径作圆O.☉O就是所求的圆.（1）与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆.（2）三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.（3）这个三角形叫做这个圆的外切三角形.5.三角形的内心的性质（1）三角形的内心在三角形的角平分线上.（2）三角形的内心到三角形的三边距离相等.6.解决本专题问题辅助线连接技巧（1）分别连接圆心和切点；（2）连接两切点；（3）连接圆心和圆外一点.注意：运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.典例解析掌握方法【例题1】（2021四川凉山）如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q．则PQ的最小值为______.【解析】连接CP、CQ，作CH⊥AB于H，如图，根据等边三角形的性质得到AB＝CB＝4,∠BCH＝ACB ＝60°＝30°,根据直角三角形的性质得到BH＝AB＝4,CH＝BC＝×4＝2，由切线的性质得到CQ⊥PQ，根据勾股定理得到PQ＝＝，推出当点P运动到H点时，CP最小，于是得到结论。

解：连接CP、CQ，如图，∵等边三角形ABC的边长为4，∴AB＝CB＝4,∠BCH＝60°＝30°,∴BH＝AB＝6BC＝，∵PQ为⊙C的切线，∴CQ⊥PQ，在Rt△CPQ中，PQ＝＝，∵点P是AB边上一动点，∴当点P运动到H点时，CP最小，即CP的最小值为2，∴PQ的最小值为＝3,故答案为：3．【例题2】已知，如图PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点.求证：PA=PB，∠APO=∠BPO.【答案】见解析。

中考专题――切线长定理及弦切角定理

中考复习专题——切线长定理与弦切角定理【知识要点】1.切线长定理：过圆外一点P 做该圆的两条切线，切点为A 、B 。

AB 交PO 于点C ，则有如下结论：（1）PA=PB（2）PO ⊥AB,且PO 平分AB（3）APO BPO OAC OBC ∠=∠=∠=∠;AOP BOP CAP CBP ∠=∠=∠=∠2.弦切角定理：弦切角（切线与圆的夹角）等于它所夹的弧所对的圆周角推论：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等【典型例题】【例1】如图1，AB ， AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为 B 、 C 、 D 是优弧BC 上的点，已知∠BAC=800，那么∠BDC =______.图1 图2 图3 举一反三：1.如图2，AB 是⊙ O 的弦， AD 是⊙ O 的切线，C 为 AB 上任一点，∠ACB=1080，那么∠BAD =______.2.如图3，PA ，PB 切⊙ O 于 A ， B 两点， AC ⊥PB ，且与⊙ O 相交于 D ，若∠DBC=220，则∠APB=________.【例2】如图，已知圆上的弧AC BD =，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明：(1)∠ACE ＝∠BCD ； (2)BC 2＝BE ×CD .C BO A DC BA D POPBAO举一反三：1.如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C ，若DA ＝DC ，求证：AB ＝2BC .【例3】已知：如图 7－149，PA ，PB 切⊙O 于A ，B 两点，AC 为直径，则图中与∠PAB 相等的角的个数为A ．1 个；B ．2个；C ．4个；D ．5个．【例4】如图，AE 、AD 、BC 分别切⊙O 于点E 、D 、F ，若AD=20，求△ABC 的周长．举一反三：1. 如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，∠OAB ＝30°．（1）求∠APB 的度数；（2）当OA ＝3时，求AP 的长．2．已知：如图，⊙O内切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm．求BC、AC 的长．3．已知：如图，△ABC三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O的半径长为r．求△ABC的面积S．4.如图，在△ABC中，已知∠ABC=90o，在AB上取一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D，若AE=2 cm，AD=4 cm．(1)求⊙O的直径BE的长；(2)计算△ABC的面积．【课后作业】1．如图1，CD 是⊙O 的直径，AE 切⊙O 于点B ，连接DB ，若20D ∠=︒，则DBE ∠的大小为( )A. 20︒B. 40︒C. 60︒D. 70︒图1 图2 图32.如图2，ABC ∆是圆的内接三角形，PA 切圆于点A ，PB 交圆于点D .若60ABC ∠=，1PD =，8BD =，则PAC ∠=________,PA =________.3.如图3，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半圆上的两点，半圆O 的切线PC 交AB 的延长线于点P ， ∠PCB ＝25°，则∠ADC 为A.105°B.115°C.120°D.125°4.如图4，AB 是⊙O 的直径，EF 切⊙O 于C ，AD ⊥EF 于D ，AD=2，AB=6，则AC 的长为 A.2 B.3 C.23图4 图5 图65.如图5，AB 是⊙ O 的直径，AC 、BC 是⊙ O 的弦，PC 是⊙ O 的切线，切点为 C ，∠BAC=350，那么∠ACP 等于A. 350B. 550C. 650D. 12506.如图6，在⊙ O 中，AB 是弦，AC 是⊙ O 的切线，A 是切点，过 B 作BD ⊥AC 于D ，BD 交⊙ O 于 E 点，若 AE 平分∠BAD ，则∠BAD=A. 300B. 450C. 500D. 6007．已知：如图7－154，⊙O 的半径OA ⊥OB ，过A 点的直线交OB 于P ，交⊙O 于Q ，过Q 引⊙O 的切线交OB 延长线于C ，且PQ=QC ．求∠A 的度数．CDE OAFB PO ACBD EO A C B D A P O C O DB C D8．已知：如图7－155，⊙O内接四边形ABCD，MN切⊙O于C，∠BCM=38°，AB为⊙O直径．求∠ADC的度数．9.已知：如图，圆内接四边形ABCD的AB边经过圆心，AD，BC的延长线相交于E，过C点的切线CF ⊥AE于F．求证：（1）△ABE为等腰三角形；（2）若 BC=1cm，AB=3cm，求EF的长．。

2022年中考数学提优专题：《圆：切割线定理》(含答案)

《圆：切割线定理》知识梳理：（1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT的平方=PA•PB（切割线定理）（2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．几何语言：∵PBA，PDC是⊙O的割线∴PD•PC=PA•PB（切割线定理推论）（割线定理）由上可知：PT2=PA•PB=PC•PD．一．选择题1．如图，P是⊙O的直径BC延长线上一点，PA切⊙O 于点A，若PC＝2，BC＝6，则切线PA的长为（）A．无限长B．C．4 D．2．如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PBA是割线，交⊙O于A、B两点，与直径CT交于点D，已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那么PB等于（）A．6 B．C．7 D．203．设H为锐角△ABC的三条高AD、BE、CF的交点，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，则AH•AD+BH•BE+CH•CF 等于（）A．（ab+bc+ca）B．（a2+b2+c2）C．（ab+bc+ca） D．（a2+b2+c2）4．如图，MN切⊙O于A点，AC为弦，BC为直径，那么下列命题中假命题是（）A．∠MAB和∠ABC互余B．∠CAN＝∠ABCC．OA＝BC D．MA2＝MB•BC5．如图，以OB为直径的半圆与半圆O交于点P，A、O、C、B在同一条直线上，作AD⊥AB与BP的延长线交于点D，若半圆O的半径为2，∠D的余弦值是方程3x2﹣10x+3＝0的根，则AB的长等于（）A．B．C．8 D．56．如图，AB是⊙O直径，AC是⊙O的弦，过弧BC 的中点D作AC的垂线交AC的延长于E，若DE＝2，EC＝1，则⊙O的直径为（）A．B．C．5 D．47．如图，过点P作⊙O的两条割线分别交⊙O于点A、B和点C、D，已知PA＝3，AB＝PC＝2，则PD的长是（）A．3 B．7.5 C．5 D．5.58．如图，已知⊙O的弦A B、CD相交于点P，PA＝4cm，PB＝3cm，PC＝6cm，EA切⊙O于点A，AE与CD的延长线交于点E，若AE＝cm，则PE的长为（）A．4cm B．3cm C．5cm D．cm9．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，PQ切⊙O1于点P，交⊙O2于点Q、M，交AB的延长线于点N．若MN＝1，MQ＝3，则NP等于（）A．1 B．C．2 D．310．同心圆O中，大圆的弦EF切小圆于K，EP切小圆于P，FQ切小圆于Q，G为小圆上一点，GE、GF 分别交小圆于M、N两点，下列四个结论：①EM＝MG；②FQ2＝FN•NG；③EP＝FQ；④FN•FG＝EM•EG．正确的结论为（）A．①③B．②③C．③④D．②④二．填空题11．如图，AB为⊙O的直径，P点在AB的延长线上，PM切⊙O于点M．若OA＝a，PM＝，那么△PMB 的周长是．12．已知：如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，PC＝4，PB＝8，则PA ＝，sin∠P＝，CD＝．13．如图，PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B，AC 是⊙O的直径，PC交⊙O于点D，已知∠APB＝60°，AC＝2，那么CD的长为．14．如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B、C，若PA＝6，PB＝4，弧AB的度数为60°，则BC ＝，∠PCA＝度，∠PAB＝度．15．如图，已知ABCD是一个半径为R的圆内接四边形，AB＝12，CD＝6，分别延长AB和DC，它们相交于点P，且BP＝8，∠APD＝60°，则R＝．16．如图，AC为⊙O的直径，PA是⊙O的切线，切点为A，PBC是⊙O的割线，∠BAC的平分线交BC于D 点，PF交AC于F点，交AB于E点，要使AE＝AF，则PF应满足的条件是（只需填一个条件）．17．由⊙O外一点F作⊙O的两条切线，切点分别为B、D，AB是⊙O的直径，连接AD、BD，线段OF交⊙O 于E，交BD于C，连接DE、BE．有下列序号为①～④的四个结论：①BE＝DE；②∠EBD＝∠EDB；③DE∥AB；④BD2＝2AD•FC其中正确的结论有．（把你认为正确结论的序号全部填上）三．解答题18．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE是角平分线，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AD＝6，AE＝6，求DE的长．19．如图，圆O是以AB为直径的△ABC的外接圆，D 是劣弧的中点，连AD并延长与过C点的切线交于点P，OD与BC相交于E；（1）求证：OE＝AC；（2）求证：；（3）当AC＝6，AB＝10时，求切线PC的长．20．如图，OB是以（O，a）为圆心，a为半径的⊙O1的弦，过B点作⊙O1的切线，P为劣弧上的任一点，且过P作OB、AB、OA的垂线，垂足分别是D、E、F．（1）求证：PD2＝PE•PF；（2）当∠BOP＝30°，P点为的中点时，求D、E、F、P四个点的坐标及S△DEF．参考答案一．选择题1．解：∵PC＝2，BC＝6，∴PB＝8，∵PA2＝PC•PB＝16，∴PA＝4．故选：C．2．解：∵TD•CD＝AD•BD，CD＝2，AD＝3，BD＝4，∴TD＝6，∵PT2＝PD2﹣TD2，∴PT2＝PB•PA＝（PD﹣BD）（PD+AD），∴PD＝24，∴PB＝PD﹣BD＝24﹣4＝20．故选：D．3．解：AH•AD＝AC•AE＝AC•AB•cos∠BAE＝（b2+c2﹣a2），同理BH•BE＝（a2+c2﹣b2），CH•CF＝（a2+b2﹣c2），故AH•AD+BH•BE+CH•CF＝（a2+b2+c2）．故选：B．4．解：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∴∠MAB+∠CA N＝90°；∵MN切⊙O于A，∴MA2＝MB•MC，（故D错误）∠CAN＝∠CBA，（故B正确）∴∠MAB+∠CBA＝90°；（故A正确）∵OA是⊙O的半径，BC是⊙O的直径，∴BC＝2OA；（故C正确）故选：D．5．解：∵3x2﹣10x+3＝0，∴x＝3（不合题意，舍去）或x＝．∴cosD＝AD：BD＝1：3，设A D＝x，则BD＝3x．∴AB＝＝2x，BC＝2x﹣4．∴（2x）2＝（2x﹣4）•x．∴x＝0（舍去），或x＝2．∴AB＝2×2＝8．故选：C．6．解：连接OD，∵点D是弧BC的中点，∴OD⊥BC，∠OFC＝90°，AB是直径，∴∠ACB＝90°，DE⊥AE，∴∠E＝90°，∴四边形CFDE是矩形，∴∠ODE＝90°，∴ED是圆的切线．作OG⊥AC，则OG＝CF＝ED＝2．∵DE2＝EC•AE，∴AE＝4，AC＝3，AG＝，∴AO＝，∴AB＝5．故选：C．7．解：∵PA＝3，AB＝PC＝2，∴PB＝5，∵PA•PB＝PC•PD，∴PD＝7.5，故选：B．8．解：∵PA•PB＝PC•PD，PA＝4cm，PB＝3cm，PC＝6cm，∴PD＝2；设DE＝x，∵AE2＝ED•EC，∴x（x+8）＝20，∴x＝2或x＝﹣10（负值舍去），∴PE＝2+2＝4．故选：A．9．解：∵PN2＝NB•NA，NB•NA＝NM•NQ，∴PN2＝NM•NQ＝4，∴PN＝2．故选：C．10．解：连接OK，∵EF切小圆于K，∴OK⊥EF，根据垂径定理得EK＝FK，∵EP切小圆于P，FQ切小圆于Q，∴EP＝EK，FQ＝FK，∴EP＝FQ，故③正确；∴由切割线定理得，FK2＝FN•FG，EK2＝EM•EG，∴FN•FG＝EM•EG，故④正确；故选：C．二．填空题（共7小题）11．解：连接OM；∵PM切⊙O于点M，∴∠OMP＝90°，∵OA＝OM＝a，PM＝，∴tan∠MOP＝MP：OM＝，∴∠MOP＝60°，∴OP＝2a，∴PB＝OP﹣OB＝a；∵OM＝OB，∴△OMB是等边三角形，MB＝OB＝a，∴△PMB的周长是（+2）a．12．解：∵PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，PC＝4，PB＝8，∴PC2＝PA•PB．∴PA＝＝2．∴AB＝6．∴圆的半径是3．连接OC．∵OC＝3，OP＝5，∴sin∠P＝．∴CE＝，∴CD＝．13．解：连接AD，OB，OP；∵PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∠AOB＝180°﹣∠P＝120°，∴∠AOP＝60°，AP＝AOtan60°＝，∴PC＝；∵PA2＝PD•PC，∴PD＝，∴CD＝．14．解：∵PA2＝PB•PC，PA＝6，PB＝4；∴PC＝9，∴BC＝5；∵弧AB的度数为60°，∴∠PCA＝30°，∴∠PAB＝30°．15．解：由切割线定理得PB•PA＝PC•PD，则有8×20＝PC（PC+6）．解得PC＝10．在△PAC中，由PA＝2PC，∠APC＝60°，得∠PCA＝90°．从而AD是圆的直径．由勾股定理，得AD2＝AC2+CD2＝（PA2﹣PC2）+CD2＝202﹣102+62＝336．∴AD＝＝4∴R＝AD＝2．故答案为2．16．解：∵∠PAC＝90°，∠ABC＝90°，∴90°﹣∠AFP＝90°﹣∠BEP，∴∠APF＝∠CPF，∴PF平分∠APC．17．解：∵BF，DF是⊙O的两条切线∴OF是∠DFB的角平分线，DF＝FB，FO⊥BD，CD＝CB∴＝∴BE＝DE（①正确）∵＝∴∠EBD＝∠EDB（②正确）∵FB切⊙O于B∴FB⊥OB∵BC⊥OF∵BC2＝OC•FC∴（BD）2＝OC•CE∵OC为△ABD的中位线∴OC＝AD∴（BD）2＝AD•CE∴BD2＝2AD•FC（④正确）故其中正确的结论有①②④．三．解答题（共3小题）18．（1）证明：连接OE；（1分）∵⊙O是△BDE的外接圆，∠DEB＝90°，∴BD是⊙O的直径，（不证直径，不扣分）∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE，∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，（2分）∴∠OEB＝∠CBE，∴OE∥BC，（3分）∵∠C＝90°，∴∠AEO＝90°，∴AC是⊙O的切线；（4分）（2）解：∵AE是⊙O的切线，AD＝6，AE＝6，∴AE2＝AD•AB，（5分）∴AB＝＝＝12，∴BD＝AB﹣AD＝12﹣6＝6；∵∠AED＝∠ABE，∠A＝∠A，∴△AED∽△ABE，（6分）∴；设DE＝x，BE＝2x，∵DE2+BE2＝BD2，（7分）∴2x2+4x2＝36，解得x＝±（负的舍去），∴DE＝2．（8分）19．（1）证明：∵AB为直径∴∠ACB＝90°∴AC⊥BC又D为中点，∴OD⊥BC，OD∥AC，又O为AB中点，∴；（4分）（2）证明：连接CD，PC为切线，由∠PCD＝∠CAP，∠P为公共角，∴△PCD∽△PAC，（6分）∴，又CD＝BD，∴；（8分）（3）解：∵AC＝6，AB＝10，∴BC＝8，BE＝4，OE＝3，∴DE＝2，∴BD2＝DE2+BE2＝20，（9分）∴AD2＝AB2﹣BD2＝80，∴AD＝4，（10分）CD＝BD＝2，由（2），∴，（11分）∴CP2＝DP•AP＝45×5，∴切线PC＝15．（12分）20．（1）证明：连接PB，OP，∵PE⊥AB，PD⊥OB，∴∠BEP＝∠PDO＝90°，∵AB切⊙O1于B，∠ABP＝∠BOP，∴△PBE∽△POD，∴＝，同理，△OPF∽△BPD∴＝，∴＝，∴PD2＝PE•PF；（2）解：连接O1B，O1P，∵AB切⊙O1于B，∠POB＝30°，∴∠ABP＝30°，∴∠O1BP＝90°﹣30°＝60°，∵O1B＝O1P，∴△O1BP为等边三角形，∴O1B＝BP，∵P为弧BO的中点，∴BP＝OP，即△O1PO为等边三角形，∴O1P＝OP＝a，∴∠O1OP＝60°，又∵P为弧BO的中点，∴O1P⊥OB，在△O1DO中，∵∠O1OP＝60°O1O＝a，∴O1D＝a，OD＝a，过D作DM⊥OO1于M，∴DM＝OD＝a，OM＝DM＝a，∴D（﹣a，a），∵∠O1OF＝90°，∠O1OP＝60°∴∠POF＝30°，∵PE⊥OA，∴PF＝OP＝a，OF＝a，∴P（﹣a，），F（﹣a，0），∵AB切⊙O1于B，∠POB＝30°，∴∠ABP＝∠BOP＝30°，∵PE⊥AB，PB＝a，∴∠EPB＝60°∴PE＝a，BE＝a，∵P为弧BO的中点，∴BP＝PO，∴∠PBO＝∠BOP＝30°，∴∠BPO＝120°，∴∠BPE+∠BPO＝120°+60°＝180°，即OPE三点共线，∵OE＝a+a＝a，过E作EM⊥x轴于M，∵AO切⊙O1于O，∴∠EOA＝30°，∴EM＝OE＝a，OM＝a，∴E（﹣a，a），∵E（﹣a，a），D（﹣a，a），∴DE＝﹣a﹣（﹣a）＝a，DE边上的高为：a，∴S△DEF＝×a×a＝a2．故答案为：D（﹣a，a），E（﹣a，a），F（﹣a，0），P（﹣a，）；S△DEF＝a2．。

中考数学总复习《圆的切线证明》专题训练(附带答案)

中考数学总复习《圆的切线证明》专题训练（附带答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________⊥于点D，E是AC上一点，以BE为直径的O交1．如图，在ABC中，AB=AC，AD BC∠=︒．BC于点F，连接DE，DO，且90DOB(1)求证：AC是O的切线；(2)若1DF=，DC=3，求BE的长．、2．如图，在O中，BC为非直径弦，点D是BC的中点，CD是ABC的角平分线．∠=∠；(1)求证：ACD ABC(2)求证：AC是O的切线；(3)若1BD=，3BC=时，求弦BD与BD围城的弓形面积．是O的切线；=，且AC BD已知等腰ABC，AB=AC为直径作O交BC于点延长线于点F．是O的切线；CD=2，求O的半径．与O相离，，交O于点A是O上一点，连于点C，且PB(1)求证：PB是O的切线；(2)若25AC=，OP=5，求O的半径．6．如图，点O是ABC的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作O，与BC相切于点E，连接OB，OE，O交OB于点D，连接AD并延长交CB的延长线于点F，且AOD EOD．∠=∠(1)求证：AB是O的切线；BC=，AC=8，求O的半径．(2)若107．如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的弦．(1)尺规作图：过点C 作O 的切线，交AB 的延长线于点D （保留作图痕迹，不写作法）；(2)若2BD OB ==，求AC 的长．8．如图，ABCD 的顶点,,A B C 在O 上，AC 为对角线，DC 的延长线交O 于点E ，连接,,OC OE AE ．(1)求证：AE BC =；(2)若AD 是O 的切线6,40OC D =∠=︒，求CE 的长．9．如图，Rt ABC △中90C ∠=︒，点E 为AB 上一点，以AE 为直径的O 上一点D 在BC 上，且AD 平分BAC ∠．(1)证明：BC 是O 的切线；(2)若42BD BE ==，，求AB 的长．10．如图，已知O 的弦AB 等于半径，连接OA 、OB ，并延长OB 到点C ，使得BC OB =，连接AC ，过点A 作AE OB ⊥于点E ，延长AE 交O 于点D ．(1)求证：AC 是O 的切线；(2)若6BC =，求AD 的长．11．如图，线段AB 经过O 的圆心.O 交O 于A ，C 两点，AD 为O 的弦，连接BD ，30A ABD ∠=∠=︒连接DO 并延长交O 于点E ，连接BE 交O 于点F ．(1)求证：BD 是O 的切线；(2)若1BC =，求BF 的长．12．如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点,CD BD ABC CBD ⊥∠=∠．(1)求证：CD 为O 的切线．(2)当1,4BD AB ==时，求CD 的长．13．如图已知AB 是O 的直径 BC AB ⊥于B E 是OA 上的一点ED BC ∥交O 于D OC AD ∥ 连接AC 交ED 于F ．(1)求证：CD 是O 的切线；(2)若8AB = 1AE = 求ED EF 的长．14．如图 AB 是O 的直径 AC BC ，是弦点D 在AB 的延长线上且DCB DAC ∠=∠ O 的切线AE 与DC 的延长线交于点E ．(1)求证：CD 是O 的切线；(2)若O 的半径为2 30D ∠=︒ 求AE 的长．15．如图已知AB 是O 的直径点P 在BA 的延长线上弦BC 平分PBD ∠且BD PD ⊥于点D ．(1)求证：PD 是O 的切线．(2)若8cm 6cm AB BD ，求弧AC 的长．为O的直径在O上连接的延长线交于E．是O的切线；∠tan BDF为O的直径的平分线交O于点E BC的延长线于点(1)求证：DE 为O 切线；(2)若10AB = 6BC = 求DE 的长．18．如图 O 是ABC 的外接圆点D 在BC 延长线上且满足CAD B ∠=∠．(1)求证：AD 是O 的切线；(2)若AC 是BAD ∠的平分线 3sin 5B =4BC = 求O 的半径．参考答案：1．【分析】此题重点考查圆周角定理切线的判定定理勾股定理三角形的中位线定理等腰三角形的“三线合一” 线段的垂直平分线的性质等知识正确地作出辅助线是解题的关键．是O的切线；+=314是O的直径90︒则22BE=+4(22)⊥AD BC是O的半径是O的切线．）连接EFDC=DF33+=+BD DF∠OE DOBDE=．3是O的直径90︒．中EF=中BE=(3)23312π- 【分析】此题考查了解直角三角形切线的判定以及扇形的面积．注意掌握辅助线的作法．（1）点D 是BC 的中点可以得到BD CD = 即可得到DBC DCB ∠∠= 再根据角平分线的定义得到ACD BCD ∠∠= 进而得到结论；（2）连接OC OD OB 则可得到OD BC ⊥ 然后根据等边对等角可以得到90OCD ACD ∠∠+=︒ 即可得到结论（3）先求出60ODB ∠=︒ 继而利用OBD OBD S S S=-阴影部分扇形求得答案．【详解】（1）解：如图 ∵点D 是BC 的中点∵BD CD =∵DBC DCB ∠∠=又∵CD 是ABC 的角平分线∵ACD BCD ∠∠=∵ACD ABC ∠∠=；（2）证明：如图连接OC OD OB∵点D 是BC 的中点∵OD BC ⊥∵90ODC BCD ∠∠+=︒∵OD OC =∵ODC OCD ∠∠=又∵ACD BCD ∠∠=∵90OCD ACD ∠∠+=︒即OC AC ⊥∵OC 是O 的半径∵AC 是O 的切线；Rt BDE 中 ODB ∠=60ODB =︒OB OD =∵OBD 是等边三角形BOD ∠=OBD S S==阴影部分．(1)见解析(2)23进而得出BFG 是等边三角形是O 的切线；）解：如图所示∵OD AC ⊥∵AD CD =∵BD AC =∵BD AC =∵AD BC =∵AD CD BC ==；∵AB 为半圆O 的直径∵90CAB CBA ∠+∠=︒∵30DAC CAB ABD ∠=∠=∠=︒∵60GBF G ∠=∠=︒ 12GB AG =∵BFG 是等边三角形 223AB AG BG BG =-=∵3233BF BG AB ===．【点睛】本题考查了切线的判定弧与弦的关系直径所对的圆周角是直角勾股定理等边三角形的性质与判定垂径定理熟练掌握以上知识是解题的关键．4．(1)证明(2)233【分析】本题主要考查切线的性质和判定及特殊角的三角函数的应用掌握切线问题中的辅助线的作法是解题的关键．（1）连接OD 证明ODB C ∠=∠ 推出AC OD ∥ 即可证明结论成立；（2）连接AD 在Rt CED 中求得利用三角形函数的定义求得30C ∠=︒ 60AOD ∠=︒ 在Rt ADB 中利用勾股定理列式计算求得圆的半径即可．【详解】（1）证明：连接OD又OB OD=B ODB∴∠=∠ODB∴∠=∠AC OD∥DF AC⊥OD DF∴⊥DF∴是O的切线；（2）连接AD设O半径为Rt CED中3,CE CD=22ED CD∴=-又cosCE CCD ∠=30C∴∠=︒30B∴∠=︒60AOD=∠AB是O的直径．90ADB∴∠=︒12AD AB r ∴== ∵AB AC =∵2CD BD ==又222AD BD AB +=2222(2)r r ∴+=233r ∴=(负值已舍)． 5．(1)证明见解析(2)3【分析】本题考查的是勾股定理的应用等腰三角形的性质切线的判定熟练的证明圆的切线是解本题的关键；（1）连接OB 证明PCB PBC ∠=∠ OAB OBA ∠=∠ 再证明90PBC OBA ∠+∠=︒即可；（2）设O 的半径为r 表示()()22222255PC AC AP r =-=-- 222225PB OP OB r =-=- 再利用PB PC =建立方程求解即可．【详解】（1）解：连接OB∵PB PC = OA OB =∵PCB PBC ∠=∠ OAB OBA ∠=∠∵OP l ⊥ OAB PAC ∠=∠∵90BCP CAP BCP OAB ∠+∠=︒=∠+∠∵90PBC OBA ∠+∠=︒∵90OBP ∠=︒∵OB PB ⊥是O 的切线；）设O 的半径为l 2AC =2AC AP =-PB BP 2OP OB =-∵O 的半径为【点睛】．(1)见解析(2)3【分析】本题主要考查切线的判定和性质证AOB EOB ≌ 得出的半径为r 则OE OA =根据AOB EOB ≌得求得4CE = 在Rt OCE 中运用勾股定理列式求出r 的值即可．）证明：在AOB 和EOB 中∵()SAS AOB EOB ≌OAF OEF ∠=∠BC 与O 相切OE BC ⊥90OAB OEB ∠=∠=︒AF是O 的半径是O 的切线；（2）解：在Rt CAB △中 90108CAB BC AC ∠=︒==，，∵22221086AB BC AC =-=-=设圆O 的半径为r 则,OE OA r ==∵8OC r =-∵,AOB EOB ≌∵6BE AB ==∵10,BC =∵1064,CE BC BE =-=-=在Rt OCE 中 222OE CE OC +=∵()22248r r +=-解得3r =．∵O 的半径为3．7．(1)作图见解析(2)4π3【分析】本题考查了作图复杂作图切线的性质等边三角形的判定与性质弧长的计算熟练掌握切线的性质弧长公式是解答本题的关键．（1）根据题意连接OC 作OC CD ⊥ 交AB 的延长线于点D 由此得到答案．（2）根据题意得到OBC △是等边三角形求出120AOC ∠=︒ 再利用弧长公式得到答案．【详解】（1）解：如图所示 CD 即为所求．（2）如图所示连接BCBD）证明：在ABCD中AE AD ∴=∵AE BC =．（2）解：连接OA 过点O 作OF CE ⊥于点F 如图所示：AD 是O 的切线OA AD ∴⊥OA BC ∴⊥AB AC ∴=40AEC B D ︒∠=∠=∠=40ACB B ∴∠=∠=︒在ABCD 中 AD BC ∥40DAC ACB ∴∠=∠=︒又180100DAE D AEC ∠=︒-∠-∠=︒60CAE DAE CAD ∴∠=∠-∠=︒2120COE CAE ∴∠=∠=︒OC OE =30OCE ∴∠=︒OF CE ⊥22cos3063CE CF OC ∴==⋅︒=．【点睛】本题主要考查了切线的性质解直角三角形圆周角定理平行四边形的性质垂径定理等腰三角形的判定解题的关键是作出辅助线熟练掌握相关的判定和性质．9．(1)证明详见解析；(2)8．【分析】本题考查了切线的判定勾股定理等知识熟练掌握切线的判定定理勾股定理是解题的关键．（1）连接OD 根据平行线判定推出OD AC ∥ 推出OD BC ⊥ 根据切线的判定推出即可；（2）根据勾股定理求出3OD OA OE === 再根据线段的和差求解即可．【详解】（1）证明：连接OD∵OA OD =∵OAD ODA ∠=∠∵AD 平分BAC ∠∵BAD CAD ∠=∠∵ODA CAD ∠=∠∵OD AC ∥∵180C ODC ∠+∠=︒∵90C ∠=︒∵90ODC ∠=︒∵OD BC ⊥∵OD 为半径∵BC 是O 的切线；（2）解：设OD OE r ==在Rt ODB △中 42BD BE ==，∵2OB r =+由勾股定理得：()22242r r +=+ 解得：3r =∵3OD OA OE ===∵628AB =+=．10．(1)证明见解析；(2)63．【分析】（1）先证明OAB 是等边三角形再由性质得出60AOB OAB OBA ∠=∠=∠=︒ 再由BC AB =和角度和差即可求解；（2）先根据等边三角形性质求出132OE OA == 再根据勾股定理求得33AE = 最后由垂径定理即可求解；此题考查了等边三角形的判定与性质勾股定理和垂径定理解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．【详解】（1）证明：∵AB OA OB ==∵OAB 是等边三角形∵60AOB OAB OBA ∠=∠=∠=︒∵BC OB =∵BC AB =∵1302BAC BCA OBA ∠=∠=∠=︒ ∵90OAC OAB BAC ∠=∠+∠=︒又∵OA 为O 的半径∵AC 是O 的切线；（2）解：∵6BC =∵6AB OA OB ===∵AD OB ⊥于点E∵30OAE ∠=︒∵132OE OA == ∵2233AE OA OE =-=∵AE OB ⊥∵263AD AE ==．11．(1)见解析∠=）证明：BAD60︒6090︒-︒=OD是O的半径∴直线BD是O的切线；==（2）解：设OD OC△中sin30在Rt BDO解得：1r==+OB OCDE是O的直径∴∠=︒DFE90∠=∠即DFB BDE∠=∠DBF DBE∴△∵BDEBFD△BF BD∴=BD BE337BF ∴= 解得：377BF =．【点睛】本题考查了切线的判定和性质相似三角形的性质和判定圆周角定理勾股定理等知识点作出辅助线构造出相似三角形是解题关键．12．(1)见详解(2)3【分析】（1）连接OC 由∠=∠OCB ABC ABC CBD ∠=∠ 得OCB CBD ∠=∠ 则OC BD ∥ 所以18090OCD D ∠=︒-∠=︒ 即可证明CD 为O 的切线；（2）由AB 为的直径得90ACB ∠=︒ 则ACB D ∠=∠ 而ABC CBD ∠=∠ 所以C ABC BD ∽△△ 则AB CB CB BD = 可求得CB BD AB =⋅ 由勾股定理得22CD CB BD =-．【详解】（1）证明：连接OC 则OC OB =OCB ABC ∴∠=∠ABC CBD ∠=∠OCB CBD ∴∠=∠OC BD ∴∥CD BD ⊥90D ∴∠=︒18090OCD D ∴∠=︒-∠=︒OC 是O 的半径且CD OC ⊥CD ∴为O 的切线．（2）解：AB 为的直径ABC∠=ABC CBD ∴∽∴AB CBCB BD=1,4BD AB==1 CB BD AB∴=⋅=22CD CB BD∴=-=CD∴的长是【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质AD OC∥ADO∴∠OA OD=ADO DAO ∴∠=∠DOC BOC ∴∠=∠OD OB OC OC ==，ODC OBC ∴≌△△∴OBC ODC ∠=∠BC AB ⊥∴90OBC ODC ∠=∠=︒OD 为经过圆心的半径∴CD 是O 的切线；（2）如图所示：作DM BC ⊥交BC 于点M8AB = 1AE =1432OA OB OD AB OE OA AE ∴=====-=， 227DE BM OD OE ==-=令=7CM x CB CD x ==+， 7BE DM ==∴在222Rt DMC CM DM CD +=△，222(7)7x x ∴+=+解得：37x =47BC ∴=DE BC ∥ADE ABC ∴△△∽是O的切线．2）在Rt△是O的切线得出Rt EAD中【详解】（1）证明：连接．是O的直径+∠OCA OCBDCB OCB+∠OCD=︒．90是半径经过O的半径外端∵CD 是O 的切线．（2）解：在Rt OCD △中∵90OCD ∠=︒ 30D ∠=︒ 2OC =∵4OD =．∵6AD AO OD =+=．∵AE 是O 的切线切点为A∵OA AE ⊥．在Rt EAD 中∵90EAD ∠=︒ 30D ∠=︒ 6AD =∵3tan 306233AE AD =⋅︒=⨯=． 15．(1)见解析(2)4π3【分析】本题考查圆与三角形的综合问题掌握与圆有关的性质正确作出辅助线是关键．（1）连接OC 根据条件证明OC BD ∥ 即可证明；（2）根据PCO PDB ∽可得PA 利用余弦值可求出COP ∠ 通过弧长公式求解即可．【详解】（1）证明：连接OC 如图∵OC OB =∵OCB OBC ∠=∠∵弦BC 平分PBD ∠∵DBC OBC ∠=∠∵OCB DBC ∠=∠．∵OC BD ∥∵BD PD ⊥∵OC PD ⊥．为O 的半径是O 的切线；）解：连接OC∵PCO PDB ∽OC PO BD PB= 8cm AB = BD =14cm 2OC AB ==4468PA PA +=+ Rt OCP 中cos COP ∠=60COP =︒AC 的长=(1)证明见解析；是O 的切线；证明FBD FDA ∽ 得到1tan tan 4BD A BDF AD ∠=∠== 进而得到164DF = 即可求解；本题考查了切线的判定相似三角形的判定与性质等腰三角形的性质余角性质根据题意正确作出辅助线是解题的关键．【详解】（1）证明：连结OD∵CO AB ⊥∵90E C ∠+∠=︒∵FE FD = OD OC =∵E FDE ∠=∠ ∠=∠C ODC∵90FDE ODC ∠+∠=︒∵90ODF ∠=︒∵OD DF ⊥∵FD 是O 的切线；（2）解：连结AD ,OD BD 如图∵AB 为O 的直径∵90ADB ∠=︒∵90∠+∠=︒A ABD∵OB OD =∵OBD ODB ∠=∠∵90A ODB ∠+∠=︒∵FBD FDA ∽DF BD AF AD= 在Rt △ABD 中 tan ∠164DF = 3DF =的平分线交O 于点E∵ED OE ⊥∵DE 为O 切线．（2）过点O 作OM BC ⊥于点M 10AB = 6BC =则132MC MB BC ===,152OB OE AB === 四边形OEDM 时矩形∵DE OM =根据勾股定理得224DE OM OB BM ==-=．18．(1)见解析(2)103【分析】（1）连接OA OC 与AB 相交于点E 如图由OA OC = 可得OAC OCA ∠=∠ 根据圆周角定理可得12B AOC ∠=∠ 由已知CAD B ∠=∠ 可得2AOC CAD ∠=∠ 根据三角形内角和定理可得180OCA CAO AOC ∠+∠+∠=︒ 等量代换可得90CAO CAD ∠+∠=︒ 即可得出答案；（2）根据角平分线的定义可得BAC DAC ∠=∠ 由已知可得BAC B =∠∠ 根据垂径定理可得 OC AB ⊥ BE AE = 在Rt BEC △中根据正弦定理可得3sin 45CE CE B BC === 即可算出CE 的长度根据勾股定理可算出22BE BC CE =-的长度设O 的半径为r 则125OE OC CE r =-=- 在Rt AOE △中 222OA OE AE =+ 代入计算即可得出答案．【详解】（1）证明：连接OA OC 与AB 相交于点E 如图OA OC =OAC ∴∠AC AC =∴12B ∠=CAD ∠=AOC ∴∠=OCA ∠+2CAO ∴∠+CAO ∴∠+OAD ∴∠OA 是O 的半径AD ∴是O 的切线；（2）解：AC 是∠BAC DAC ∴∠=∠CAD B ∠=∠BAC B ∴∠=∠OC AB ∴⊥ BE =在Rt BEC △中4BC =sin CE B BC ∴=125CE ∴=BE BC ∴=设O 的半径为r ，则125OE OC CE r =-=-在Rt AOE △中222OA OE AE =+ 222121655r r ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解得：103r =．【点睛】本题主要考查了切线的性质与判定，垂径定理，勾股定理及解直角三角形，熟练掌握切线的性质与判定，垂径定理及解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键．。

中考数学知识点过关培优训练：切线长定理(圆)(解析版)

1. 2. 3. 4. 中考数学知识点过关培优训练：切线长定理•选择题如图，是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成, 点，点B 为光盘与直尺唯一交点，若 AB= 3,则光盘的直径是（ C. 6 点A 为60°角与直尺交D. 3如图，AB 是O O 的直径，点 C 为O O 外一点，CA CD 是O 0的切线, OA. 32 ，则/ DBA 勺大小是（B. 48°C. 60° PA PB 切O 0于点 A B, PA= 10, CD 切O O 于点 E , 如图, C. 20 交PA A D 为」切点，连接D. 66°PB 于 C D 两点，则D. 22PB CD 分别切O O 于A 、B E, CD 交PA PB 于C D 两点，若/ P = 40°，则如图，PAA.50°B. 62C. 66D.70°5.如图，AB AC BD是O O的切线，切点分别是P、C D.若AB= 5, AC= 3, 则BD的长是A. 4B. 3C. 2D. 16.已知O Oi和O Q外切于M AB是O O和O Q的外公切线, A, B为切点，若MA= 4cm MB=3cm贝y M到AB的距离是（A. cm2B.匕cm5 C.cm D.4825cm7.如图，P为O O外一点，PA PB分别切O B,CD切O O于点E,分别交PA PB于A. 5B. 7C.D.10&如图，直线AB CD BC分别与O O相切于E F、G且AB// CD 若OB= 6cm OC= 8cmB. 12C. 11D. 109.如图，△ ABC是一张周长为17 cm的三角形的纸片, BC= 5cm O O是它的内切圆，小明准备用剪刀在O O的右侧沿着与O O相切的任意一条直线MN剪下△AMN则剪下的三角形的周长为（B. 7cmD.随直线MN的变化而变化10.如图，PA PB 切于A , B 两点，CD 切O O 于点E ,交PAPB 于C D.若O O 的半径为1, △ PCD 勺周长等于2二，则线段AB 的长是（）.填空题11.如图，PA PB DE 分别切O O 于A B 、C, O O 的半径为6cm , OP 的长为10cm,则厶PDE12.如图，P 为O O 外一点，PA PB 分别切O O 于A B, CD 切O O 于点E,分别交 PA PB13.如图，四边形 ABCD 是O O 的外切四边形，且 AB= 10, CD= 12,则四边形 ABC 啲周长C. 6cmC. 2 -A. 12cm14•如图，PA PB切O O于A B,点C在上, DE切O O于C,交PA PB于D E已知C D,已知△15.如图，PA PB分别切圆O于A B,并与圆O的切线，分别相交于周长等于10cm贝U PA= _______ cmN、P,且16.如图，四边形ABC［的边AB BC CD DA和O O分别切于L、MCD= 5cm,则四边形ABCC周长为_______ cm18.如图，已知以直角梯形ABCD勺腰CD为直径的半圆O与梯形上底均相切，切点分别是D, C, E.若半圆O的半径为2,梯形的腰AB为5，则该梯形的周长19.已知：PA PB EF分别切O O于A B、D,若PA= 15cm那么△PEF周长是cm.若/ P= 50°,那么/ EOF= ________ .20.如图所示，O D的半径为3, A是圆D外一点且AD= 5, AB, AC分别与O D相切于点B,C. G是劣弧BC上任意一点，过G作O D的切线，交AB于点E,交AC于点F.(1 )△ AEF的周长是______ ;(2)当G为线段AD与O D的交点时」，连结CD则五边形DBEFC的面积是__________ .三•解答题21.如图，PA PB是O O的切线，A、B为切点，AC是O O的直径，/ BAC= 20°，求/ P的CD切O O于点E △ PCD的周长为12,/ AP申60° .求:(1) PA的长;(2)Z COD勺度数.23.如图，AB为O O直径，PA PC分别与O O相切于点A C, PQL PA PQ交OC的延长线于点Q.(1)求证：OQ= PQ(2 )连BC并延长交PQ于点D, PA= AB,且CQ= 6，求BD的长.24.如图，/ APB= 52°, PA PB DE都为O O的切线，切点分别为A、B、F,且PA= 6.(1 )求厶PDE的周长；(2)求/ DOE勺度数.25.已知PA PB分别切O O于A、B, E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D.(1 )若PA= 6,求厶PCD勺周长.(2)若/ P= 50° 求/ DOC26•如图所示，PA PB 是O O 的切线，切点分别是 A B, Q 为O O 上一点,cQ 点作O O 的参考答案1解：设三角板与圆的切点为C,连接OA OBAB由，切线长定理知AB= AC= 3, 0A平分/ BAC•••/ OAB= 60°,在Rt △ ABO中, OB= AB an / OAB= 3 二•光盘的直径为 6 _，故选：A.2 .解：T CA CD是O O的切线，•••CA= CD•••/ ACD= 48°,• / CAD=/ CDA= 66°,•••CALAB AB是直径，•••/ ADB=Z CAB= 90°,•••/ DBA/ DA申90。

【教育资料】备战中考数学专题练习圆的切线长定理一(含解析)学习精品

2019备战中考数学专题练习-圆的切线长定理一（含解析）一、单选题1.如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．如果∠APB=60°，PA=8，那么点P与O间的距离是（）A.16B.C.D.2.如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形的上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D、C、E．若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是（）.A. 9B. 10C. 12D. 143.如图，PA,PB切⊙O于点A,B，PA=8，CD切⊙O于点E，交PA,PB于C,D两点，则△PCD的周长是（）A.8B.18C.16D.144.如图，PA，PB，CD与⊙O相切于点为A，B，E，若PA=7，则△PCD的周长为（）A. 7B. 14C. 10.5D. 105.Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，内切圆半径为1，则三角形的周长为（）A. 15B. 12C. 13D. 146.如图,从圆O外一点P引圆O的两条切线PA,PB,切点分别为A,B.如果∠APB=60°,PA=8,那么弦AB的长是( )A. 4B. 8C.D.7.如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D，E，过劣弧（不包括端点D，E）上任一点P作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为（）A. rB. rC. 2rD. r8.如图，AB为半圆O在直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，连接OD、OC，下列结论：①∠DOC=90°，②AD+BC=CD，③S△AOD：S△BOC=AD2：AO2 ，④OD：OC=DE：EC，⑤OD2=DE•CD，正确的有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个9.如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC=5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（）A. 12cmB. 7cmC. 6cmD. 随直线MN的变化而变化二、填空题10.如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为________.11.PA、PB分别切⊙O于点A、B，若PA=3cm，那么PB=________cm．12.如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=6，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是________．13.如图，AB为半⊙O的直径，C为半圆弧的三等分点，过B，C两点的半⊙O的切线交于点P，若AB的长是2a，则PA的长是________ ．14.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，若∠APB=60°，PO=2，则⊙O的半径等于________．15.如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为________．16.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B分别为切点,AC是☉O的直径,∠P=40°,则∠BAC=________.三、解答题17.如图,以Rt△ABC的直角边AB为直径作☉O,与斜边AC交于点D,过点D作☉O的切线交BC边于点E.求证:EB=EC=ED18.如图，PA、PB切⊙O于A、B，若∠APB=60°，⊙O半径为3，求阴影部分面积．四、综合题19.如图，已知：射线PO与⊙O交于A、B两点，PC、PD分别切⊙O于点C、D．（1）请写出两个不同类型的正确结论；（2）若CD=12，tan∠CPO= ，求PO的长．20.如图，AB是⊙O的直径，AM、BN分别与⊙O相切于点A、B，CD交AM、BN于点D、C，DO平分∠ADC.（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）设AD＝4，AB＝x (x > 0)，BC＝y (y > 0). 求y关于x的函数解析式.21.如图，AB是半圆O的直径，AB＝2，射线AM、BN为半圆O的切线.在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC.过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F.过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q.（1）若△ABD≌△BFO，求BQ的长；（2）求证：FQ=BQ答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】等边三角形的性质，勾股定理，切线长定理【解析】【解答】解：连接OA，OP∵PA，PB是⊙O的切线，∠APB=60°，∴∠OPA= ∠APB=30°，OA⊥OP，∴OP= = = ，∴点P与O间的距离是．故选B．【分析】作辅助线，连接OA，OP，根据切线长定理可知：∠OPA= ∠APB，由PA与⊙O 相切，可知：OA⊥AP，根据已知条件可将OP的长求出．2.【答案】D【考点】直角梯形，切线长定理【解析】【解答】根据切线长定理，得AD=AE，BC=BE，所以梯形的周长是5×2+4=14．故选D．【分析】由切线长定理可知：AD=AE，BC=BE，因此梯形的周长=2AB+CD，已知了AB和⊙O的半径，由此可求出梯形的周长．3.【答案】C【考点】切线长定理【解析】【解答】解：∵PA,PB切⊙O于点A,B，CD切⊙O于点E∴PA=PB=8，AC=CE，DB=DE△PCD的周长为：PC+CE+DE+PD=PC=CA+DB+PD=PA+PB=8+8=16故答案为：C【分析】利用切线长定理可得出PA=PB=8，AC=CE，DB=DE，从而可求△PCD的周长就转化为求PA+PB的值。