立方根

测一测
练习1. 判断正误: 8 2 (1) 27 的立方根是 3 ； (×) (2)互为相反数的立方根互为相反数；(√) (3)任何数的立方根只有一个； (√) (4) 如果一个数的平方根与其立方根相同，则 ( ×) 这个数是1；
(5) 如果一个数的立方根是这个数的本身，那 么这个数一定是零； (×)
a 中被开方数a是非负数； 3 a 中被开方数a是任何有理数.
知识源于悟
试一试
1.已知：x-2 的平方根是±2，2x+y+7 的
2 2 x y 立方根是3，求 的平方根和立方根.
2.已知
3
a 2 3 b
2
2c 5 0 ,
2 a 3b 2c 的值. 求
作业: P138
.
立方根？一个负数有 03 0 ， 几个立方根？零的立 0的立方根是 0，即 3 0 0 . 方根是什么？
立 方 根 的 性 质 ： 正数有一个正的立方根； 负数有一个负的立方根； 零的立方根仍旧是零.
结论： 一个数的立方根是唯一的.
例2 求下列各式的值：
(1) 3
27
；(2) 3
3
3 10 3 3 3 3 ；(4) 8 16 ；(5) 10 10 . 64 ；(3) 2 27
(6)一个数的立方根不是正数就是负数. (×)
练习2.
填空:
±8 (1) 64的平方根是________, 4 64的立方根是________.
(2)
3
3 27 的立方根是________.
±3 ,则 x=_______,
3
－7 的立方根. (3) 3 7 是_______
(4)
2 x 9 若 3 若 x 9
例3 求下列各式的值(口答)
3 3 (1)3 0.001 ； (2) 1000 ；(3) 216000 .
解 :(1)
3
0.001=-0.1 ;(2) 3 1000=
3
1000 =10；
(3) 3 216000 = 3 216000=-60.
例4 求下列各式中的x:
(2) 遇到求负数的立方根问题，可转化为正数的 立方根来解决，即通过 3 a 3 a 来实现.
(3)
a
3
3
a
3．注意问题
平方根与立方根的联系与区别
联系: （1）0的平方根、立方根都有一个,都是0.
（2）平方根、立方根都是开方的结果.
区别:
(1)定义不同；(2)个数不同；(3)表示方法不同； (4)被开方数的取值范围不同,
A组 2.
3.
思考：一个正方体的体积变为原来的n倍，
它的棱长变为原来的多少倍？
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要回山西老家去？”耿正说：“对，是要回山西老家的！父亲当年带我们兄妹三个千里迢迢的出来打拼，为的就是能够苦心创 得一份家业，将来有能力在老家的镇子上建一座小学堂，再盖一个大戏台，好让家乡的娃娃们都有学上，也有一个能给乡民们 宣扬忠孝礼仪的场所。父亲虽然遭遇不幸，但我们一定要回去实现父亲的愿望！”耿大业说：“我明白了，叔父一定是一个非 常了不起的人，才能培养出来你们这样的儿女啊！”想一想，又犹犹豫豫地问：“刚才看到车棚蒙了红布，莫，莫不是„„” 耿正说：“这是我妹妹的主意。为了路途安全，就把这挂大骡车的车棚装扮成了送灵车的模样。这一路上，只要入住客栈，我 们都会用红篷布把整个车棚都蒙起来的，免得人家忌讳。”耿直接着说：“我们三人还都穿了孝服，也都换下来放到车里边 了！”耿大业说：“这么做实在是好！路途遥远，安全确实是很重要的。你们别说，这一带有的时候还真得不很太平呢！”说 完了，略有所思不再说话。耿大嫂却忙着问：“你们在老家可还有什么亲人啊？”耿英说：“有娘和妹妹在等我们回去呢！” 耿直调皮地说：“哥哥和姐姐还有各自青梅竹马的心上人呢！”耿正假装生气地瞪了弟弟一眼，说：“你啊，什么时候也忘记 不了贫嘴！”于是，大家愉快地叙话，逗小铁蛋儿玩儿„„看看已经到了该吃午饭的时间了，耿大业站起来说：“你们先喝茶 说话，我亲自给咱们做饭去！”又念叨了一遍：“耿正、耿英、耿直，好名字！”快嘴耿直说：“大哥才是好名字呢，大业， 干大事业的！”耿大嫂笑着说：“是，是干大事业的！快去吧，你今儿个给咱弟弟妹妹们做饭就是最大的事业呢！”耿正和耿 英赶快说：“大哥，简单点儿啊，我们还想吃你做的香喷喷的面条，再加上几个大馒头！”耿大业一边出门儿一边说：“好好 好，你们和嫂子接着聊，今儿个的午饭肯定有香喷喷的面条！”功夫不大，一个伙计帮着耿大业把午饭端过来了，丰盛的饭菜 将颇大的八仙桌摆得满满当当的。耿大业风趣地问耿正兄妹三人：“你们看，还差什么啊？”大家齐声儿说：“面条！”耿大 业哈哈大笑，说：“对啦，我这就去给咱们端香喷喷的面条去！”看着丈夫高兴地端面条去了，耿大嫂笑着说：“不是我夸他， 想当年，你们大哥做的面条还真得是很受欢迎的一道主食呢！只是最近几年，陆陆续续地雇佣了一些炒菜做饭的人，他已经很 少亲自下橱了。”说着打开酒柜准备取出酒水酒杯什么的，耿正兄妹三人都说不会喝酒，咱们就免了。一大盆儿香喷喷的面条 端来了，大家高高兴兴地吃饭不提。47第九十五回 大榆树下祭故人|（“送灵车”归家图安全，进客栈避嫌红布蒙；大榆树下 祭故人，不巧路被贼跟踪。）次日正好是农历腊月初九，也算是碰
3

解： (1) 27 3；(2)
(4)
3
3
64 64 4 ； (3) 3 2
3
10 64 4 3 ； 27 27 3
8 16 2 4 2 ； (5)

3
10

3
10 .
请同学们求出下列各式的值： (1)
3
1 1 ；(2) 3 64与 3 64 . 3 与 8 8
9 ,则 x=________.
3
x≤0 (5) 若 x2 x , 则x的取值范围是__________, 3 x取任意数 若 x 有意义，则x的取值范围是_______________.
小 结：
1．知识点: （1）立方根的概念 (2）立方根的性质 2．方法: (1)求一个数的立方根，通过立方运算来求.
a 表示a的负的平方根,
a 表示a的平方根.
类比平方根的定义，你能否说出立方根的定义？
1.立方根的概念：
如果一个数的立方等于 a ，这个数就叫做 a 的 立方根.（也叫做数a的三次方根）.
3 x 换句话说 , 如果 a , 那么 x 叫做 a 的立方根或 三次方根. 记作： 3 a .读作“三次根号a”，其中a是被开方 数， 3 是根指数，且根指数 3 不能省略，否则与 平方根混淆.
2. 开立方 求一个数的立方根的运算叫做开立方. 开立方与立方互为逆运算.
例1 求下列各数的来自百度文库方根：
27 (1)8； (2)－8；(3) 0.216； (4)－ 125
；(5) 0.
解: (1) ∵ 23 8 ，
∴ 8的立方根是2，即 3 8 =2.
问：除2以外，还有什么数的立方等于8？ 就是说，正数8还有别的立方根吗？
(2) ∵
23 8 ，
－8的立方根是－2，即
3
∴
8 =－2.
(3) ∵ 0.63=0.216， ∴ 0.216的立方根是0.6，即
3
3
0.216 0.6 ．
(4) ∵ ∴ (5) ∵ ∴
27 3 ， 5 125 25 27 3 3 3 125 的立方根是 5 ，即 125 5 问：一个正数有几个
(1) x3=0.125;
1 (2)4
(10-x)3+54=0
3
解: (1)由x3=0.125，得 x=
1 (2)由 4 (10-x)3+54=0得,
0.125 , ∴ x =0.5 .
， 10 x3 216
∴ 10 x 3 216
∴
x 10 3 216 ∴ x=16.
8 8 2
1 1 1 3 解： 3 （ 1 ） 3 （2） 64 3 64 4
思考：从上面的计算结果可以得到什么结论？
答：一个负数的立方根等于它的绝对值的立方
根的相反数.即：如果a>0，那么
3
a 3 a
由此得到：求一个负数的立方根的 另一种方法，即可以先求出这个负 数的绝对值的立方根，然后再取它 的相反数.
北京市15中学分校 崔建平
复习
1.平方根是如何定义的 ? 平方根有哪些性质?
2.当a≥0时，式
的意义各是什么? a, a, a
2
答：1.如果一个数x的平方等于a, 即 x a
x叫做a的平方根,表示为 x
a.
那么
正数有两个平方根,它们互为相反数,0的平方根 是0,负数没有平方根.
2.当a≥0时, 表示a的算术平方根, a