多元函数微分学全章(高数课件)超经典
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第十一章 多元函数微分学 信息类高等数学课件
3.常用二元函数及其相应曲面 （1） z R2 x2 y2 ，上半球面；
（2） z x2 y2，旋转抛物面；
z
Z
o y
o
Y
x 图 11.10
X
图 11.11
（3） z x2 y2 ，上半圆锥面；（4）z x2 y2 ，双曲抛物面.
z
z
z x2 y2
o
y
x 图 11.12
o
y
x
例 11.5 求下列极限：
（1） lim sin(xy) ; ( x,y)(0,2) x cos y
1
(2) lim (1 xy) x . ( x, y)(0,1)
解 根据两个重要极限，得
（1） lim sin(xy) =lim sin(xy) y lim sin(xy) .lim y
( x,y)(0,2) x cos y x0 xy cos y
xy0 xy y2 cos y
y2
1 2 2 ； cos 2 cos 2
1
1 y
（2） lim (1 xy) x =lim (1 xy) xy e1.
( x, y)(0,1)
x0 y1
例 11.6 讨论下列函数在点(0,0)处的极限：
（1） f (x, y)=（ x2 y2）sin 1 ； （2） f (x, y)= 2xy .
动点(x, y)趋向于定点(x0 , y0 )的方向有任意多个、路径有 任意多条，如图 11.14.
y
(x, y) (x 0 , y0 )
o
x
y
(x, y) (x 0 , y0 )
o
x
图 11.14(1)
图 11.14(2)
1. 二元函数极限的定义
（2） z x2 y2，旋转抛物面；
z
Z
o y
o
Y
x 图 11.10
X
图 11.11
（3） z x2 y2 ，上半圆锥面；（4）z x2 y2 ，双曲抛物面.
z
z
z x2 y2
o
y
x 图 11.12
o
y
x
例 11.5 求下列极限：
（1） lim sin(xy) ; ( x,y)(0,2) x cos y
1
(2) lim (1 xy) x . ( x, y)(0,1)
解 根据两个重要极限，得
（1） lim sin(xy) =lim sin(xy) y lim sin(xy) .lim y
( x,y)(0,2) x cos y x0 xy cos y
xy0 xy y2 cos y
y2
1 2 2 ； cos 2 cos 2
1
1 y
（2） lim (1 xy) x =lim (1 xy) xy e1.
( x, y)(0,1)
x0 y1
例 11.6 讨论下列函数在点(0,0)处的极限：
（1） f (x, y)=（ x2 y2）sin 1 ； （2） f (x, y)= 2xy .
动点(x, y)趋向于定点(x0 , y0 )的方向有任意多个、路径有 任意多条，如图 11.14.
y
(x, y) (x 0 , y0 )
o
x
y
(x, y) (x 0 , y0 )
o
x
图 11.14(1)
图 11.14(2)
1. 二元函数极限的定义
多元函数微分法 PPT课件
x
y
z f [u( x, y), x, y]
z
x
y
z f u f , x u x x
两者的区别
变而对 x 的偏导数
z f u f . y u y y
把 z f (u, x, y) 中 的 u 及 y
把复合函数 z f [(x, y), x, y] 中的 y 看作不 看作不变而对 x 的
的偏导数都存在,函数在 z f (u, v) 对应点 (u, v) 可微，则 复合函数 z f [ ( x, y), ( x, y)] 在点 ( x, y ) 处存在对 x 、 y 的偏导数,且
z z u z v , x u x v x
z z u z v . y u y v y
z z u z v v 1 v vu x u ln u 1 y u y v y
xy(1 xy)
y
y 1
(1 xy) ln(1 xy)
y
xy (1 xy) [ ln(1 xy)] 1 xy
医用高等数学
推论:
”
医用高等数学
医用高等数学
第三节
多元函数微分法
一、复合函数微分法
二、隐函数微分法
医用高等数学
一、复合函数微分法
我们知道 : 如果函数u ( x )在点 x处可导 , 而 y f ( u)在 x点对应u处可导 , 则复合函数 y f [ ( x )] 在点 x处可导, 且其导数为
u
z
v
x
医用高等数学
全导数
例4-24 设 z e
u 2v
3 u sin x v x , 而 ， ,求
第8章-多元函数微分学及其应用 高等数学教学课件
xy2 x2
sin y y2
0
xy2 sin y x
x2 y2
故 lim (x, y)(0,0)
xy2 sin x x2 y2
0.
例5 求下列各极限.
1 lim sin(xy) ;
( x, y)(1,0)
y
2 lim xsin 1 .
( x, y)(0,0)
如果多元函数 f (P)在有界闭区域 D上连续， 则该函数在D上能取得最大值和最小值 .
性质3（介值定理）
如果多元函数 f (P)在有界闭区域 D上连续， 则该函数在D上必取得介于最大值M和最小值m 之间的任何值,即对于∀c[m, M ],∃P0D 使得 f(P0) = c .
lim f (x, y) lim f (0, y) lim0 0.
(x, y)(0,0)
y0
y0
当点P(x, y)沿抛物线y kx2(k 0)趋于点0,0时,
lim
(x, y)(0,0)
f (x, y) lim x0
f
(x, kx2 )
lim x0
x4
kx4 k2x4
k 1 k2
PQ x x0 )2 ( y y0 )2 .
称集合U(P,δ) ={Q(x, y)| |PQ| <δ}为点P的δ邻域.
在xOy平面上, U(P, δ)的几何意义:以点P为圆心、 δ为半径的圆内所有点所构成的集合.
集合U(P, δ)\P称为点P的去心δ邻域, 记作
U P, ,即U P, Q x, y | 0 PQ .
.
此极限值与数k有关,当k的值不同时,极限值也不同.
lim f (x, y)不存在. ( x, y)(0,0)
6-7多元函数微分学的-PPT课件
例1
求曲线:x
t
0
eu
cosudu，y
2sint
cost,z 1e3t 在t 0处的切线和法平面方程.
解 当t 0时，x 0 ,y 1 ,z 2 ,
xetcots, y2co ts sit,n z3e3t,
x(0)1, y(0)2, z(0)3,
x (t0 x)0 y (ty0)0 z (tz00).
切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.
T ( t 0 ) ( t , 0 ) ( t , 0 )
法平面：过M点且与切线垂直的平面. ( t 0 ) x x 0 ( ) ( t 0 ) y y 0 ( ) ( t 0 ) z z 0 ) ( 0
特殊地：1.空间曲面方程形为 zf(x,y)
令 F ( x ,y ,z ) f ( x ,y ) z , 曲面在M处的切平面方程为
f x ( x 0 , y 0 ) x x ( 0 ) f y ( x 0 , y 0 ) y ( y 0 ) z z 0 , 曲面在M处的法线方程为
解 1 直 接 利 用 公 式 ;
解 2 将 所 给 方 程 的 两 边 对 x 求 导 并 移 项 ， 得
y
dy dx
z dz dx
x
dy
dz
1
dx dx
dy z x , dx y z
dz x y , dx y z
dy
0,
dx (1,2, 1)
切线方程 x0y1z2,
1 23
法平面方程 x 2 ( y 1 ) 3 ( z 2 ) 0 ,
《高等数学教学课件》高数-第八章-多元函数微分学
邻域U(P, ), 使U(P, ) E为空集,则
称点P为E的 外点。
边界点的定义：
若点P的任意的邻域内,既有属于E的点
也 有 不 属 于E的 点, 则 称 点P是E的 边 界 点 。
边界的定义：
E的边界点的全体称为E的 边 界 。
3、聚点、孤立点
设E是一个平面点集
聚点的定义：
若点P的任意邻域都含有E的无穷多个点，
为P0的 邻域。
0
U(P0 , ) {( x, y) 0 ( x x0 )2 ( y y0 )2 2 }
为P0的 去心邻域。
2、内点、外点、边界点
设E是一个平面点集.
内点的定义：
若点P E,并且存在P点的一个
邻域U(P, ), 使U(P, ) E,则称点P
为E的内点。
外点的定义： 若点P E,并且存在P点的一个
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。
例6、讨论下列函数的连续性
(1)、f
(
x,
y)
x
3 xy 2 2
y
2
x2 y2 0
解 0
x2 y2 0
当x 2 y 2 0时, f ( x, y) 3xy 是初等函数, x2 2y2
且 有 定 义, 连 续.
3kx 2
lim f ( x, y) lim
lim
x0
x2 2y4
02 2(1)4
. 2
y1
在有界闭区域上连续的多元函数的重要性质如下：
定理1、(最大最小值定理)
在有界闭区域D上连续的多元函数f , 在D上必有
最大值和最小值,亦即在D上有点P1和P2 , 使对D上任意
点P,恒有 f P1 f P f P2 , P D
称点P为E的 外点。
边界点的定义：
若点P的任意的邻域内,既有属于E的点
也 有 不 属 于E的 点, 则 称 点P是E的 边 界 点 。
边界的定义：
E的边界点的全体称为E的 边 界 。
3、聚点、孤立点
设E是一个平面点集
聚点的定义：
若点P的任意邻域都含有E的无穷多个点，
为P0的 邻域。
0
U(P0 , ) {( x, y) 0 ( x x0 )2 ( y y0 )2 2 }
为P0的 去心邻域。
2、内点、外点、边界点
设E是一个平面点集.
内点的定义：
若点P E,并且存在P点的一个
邻域U(P, ), 使U(P, ) E,则称点P
为E的内点。
外点的定义： 若点P E,并且存在P点的一个
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。
例6、讨论下列函数的连续性
(1)、f
(
x,
y)
x
3 xy 2 2
y
2
x2 y2 0
解 0
x2 y2 0
当x 2 y 2 0时, f ( x, y) 3xy 是初等函数, x2 2y2
且 有 定 义, 连 续.
3kx 2
lim f ( x, y) lim
lim
x0
x2 2y4
02 2(1)4
. 2
y1
在有界闭区域上连续的多元函数的重要性质如下：
定理1、(最大最小值定理)
在有界闭区域D上连续的多元函数f , 在D上必有
最大值和最小值,亦即在D上有点P1和P2 , 使对D上任意
点P,恒有 f P1 f P f P2 , P D
高等数学 多元函数微分法及其应用ppt课件
其余类推
fxy( x,
y)
lim
y0
fx(x, y
y) y
fx(x, y)
(2) 同样可得：三阶、四阶、…、以及n 阶偏导数。
(3) 【定义】二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。
【例
1】设 z
x3
y2
3 xy 3
xy
1，求二阶偏导数及
3z x 3
.
【解】 z 3x2 y2 3 y3 y, x
x2 y2 sin x2 y2 ( x2 y2 )3 2
y0
换元,化为一元 函数的极限
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【阅读与练习】 求下列极限
5/51
x2
(1)lim sin( xy) (a 0); (2) lim (1 1 )x2 y2 ;
x0 x
x
x
ya
ya
1
(3)lim(1 sin xy)xy; x0
(2) 【复合函数求导链式法则】
①z
u
v
t t
dz z du z dv dt u dt v dt
全导数
u
x z z u z v y x u x v x
②z
v
x z z u z v
y y u y v y
③ z f (u, x, y)
u x z f f u
y x x u x
(
x,
y,
z)
lim
z0
z
.
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10/51
4. 【偏导数的几何意义】 设 M0( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z f ( x, y) 上一点, 如图
《高等数学教学课件》高数-第八章-多元函数微分学
高数-第八章-多元函数微分学
目
CONTENCT
录
• 多元函数微分学概述 • 多元函数的导数与偏导数计算 • 多元函数微分学在几何上的应用 • 多元函数微分学在极值问题中的应
用
目
CONTENCT
录
• 多元函数微分学在约束最优化问题 中的应用
• 多元函数微分学在实际问题中的应 用
01
多元函数微分学概述
04
多元函数微分学在极值问题中的应用
极值的第一充分条件
总结词
极值的第一充分条件是多元函数微分 学中用于判断函数极值的重要定理。
详细描述
极值的第一充分条件表明，如果一个 多元函数在某一点的偏导数等于零， 并且这个点的海森矩阵（Hessian matrix）是正定的或负定的，那么这 个点就是函数的极值点。
多元函数的概念
80%
多元函数
设D是n维空间的一个区域，对D 中的任意点P，若存在实数x、y、 z...与之对应，则称f(x,y,z...)是D上 的多元函数。
100%
多元函数的定义域函数f(x Nhomakorabeay,z...)中所有自变量x、y 、z...的取值范围共同构成的集合 称为多元函数的定义域。
80%
多元函数的几何意义
在三维空间中，二元函数f(x,y)表 示曲面上的点P(x,y,f(x,y))的轨迹 。
偏导数的定义与性质
偏导数的定义
对于多元函数f(x,y,z...)，如果当 其他变量保持不变时，函数关 于某个特定变量的一阶导数存 在，则称这个导数为该函数在 该特定变量上的偏导数。
偏导数的几何意义
在三维空间中，二元函数f(x,y) 在点(x0,y0)处关于x的偏导数 表示曲面在点(x0,y0)处沿x轴 方向的切线斜率。
目
CONTENCT
录
• 多元函数微分学概述 • 多元函数的导数与偏导数计算 • 多元函数微分学在几何上的应用 • 多元函数微分学在极值问题中的应
用
目
CONTENCT
录
• 多元函数微分学在约束最优化问题 中的应用
• 多元函数微分学在实际问题中的应 用
01
多元函数微分学概述
04
多元函数微分学在极值问题中的应用
极值的第一充分条件
总结词
极值的第一充分条件是多元函数微分 学中用于判断函数极值的重要定理。
详细描述
极值的第一充分条件表明，如果一个 多元函数在某一点的偏导数等于零， 并且这个点的海森矩阵（Hessian matrix）是正定的或负定的，那么这 个点就是函数的极值点。
多元函数的概念
80%
多元函数
设D是n维空间的一个区域，对D 中的任意点P，若存在实数x、y、 z...与之对应，则称f(x,y,z...)是D上 的多元函数。
100%
多元函数的定义域函数f(x Nhomakorabeay,z...)中所有自变量x、y 、z...的取值范围共同构成的集合 称为多元函数的定义域。
80%
多元函数的几何意义
在三维空间中，二元函数f(x,y)表 示曲面上的点P(x,y,f(x,y))的轨迹 。
偏导数的定义与性质
偏导数的定义
对于多元函数f(x,y,z...)，如果当 其他变量保持不变时，函数关 于某个特定变量的一阶导数存 在，则称这个导数为该函数在 该特定变量上的偏导数。
偏导数的几何意义
在三维空间中，二元函数f(x,y) 在点(x0,y0)处关于x的偏导数 表示曲面在点(x0,y0)处沿x轴 方向的切线斜率。
《多元函数微分学》PPT课件
0 V .
14
定义1 设D是xOy平面上的点集, 若变量z与D
多 元
函
中的变量x, y之间有一个依赖关系, 使得在D内
数 的
基
每取定一个点P(x, y)时,按着这个关系有确定的
本 概
z值与之对应, 则称z是x, y的二元(点)函数.记为 念
z f ( x, y) (或z f (P) )
称x, y为自变量,称z为因变量,点集D称为该函数
P0 称为 E 的内点：如果存在一个正数 使得U (P0 ) E P0 称为 E 的外点：如果存在一个正数 使得
U (P0 ) E
P0 称为 E 的边界点：如果对任意一个正数 使得
U (P0 ) 中即有E中点又有非E中点
P0 即不是E的内点也不是E的外点
闭区域： G G G
12
（3）Rn 中的集合到 Rm的映射
的 基 本
和方法上都会出现一些实质性的差别, 而多元
概 念
函数之间差异不大. 因此研究多元函数时, 将以
二元函数为主.
24
3、多元函数的极限
多
讨论二元函数 z f ( x, y),当x x0 , y y0 ,
元 函
即P( x, y) P0 ( x0 , y0 )时的极限.
数 的 基
怎样描述呢? 回忆: 一元函数的极限
多 元 函 数
的
基
解 定义域是 ( x 1)2 y2 1且x2 y2 1
本 概
念
y
•
O
1
x
有界半开半闭区域
18
3 求 f ( x, y) arcsin(3 x2 y2的) 定义域． x y2
解
3 x2 y2 1
多元函数微分学(共184张PPT)
z
sin
x2
1 y2
1
• 在 点圆 都周 是x2间 断y2 点1，是上一没条有曲定线义，. 所以该圆周上各
• 性质1(最大值和最小值定理) 在有界闭区域 D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小
值.
• 在D上至少有一点 及一点 ，使得 为最大 值而 为最小值，P 即1 对于一切P 2 P∈D，有f ( P1 )
•
P
于E的点，也有不属于E的点，
•
E
则称P为E的边界点（图8-2）.
•
设D是开集.如果对于D内的
• 图 8-1 任何两点，都可用折线连结起
上一页 下一页 返 回
•
来,而且该折线上的点都属于D,
•
P 则称开集D是连通的.
•
连通的开集称为区域或开区域.
•
E
开区域连同它的边界一起,称
•
为闭区域.
• 图 8-2
f( x x ,y ) f( x ,y ) A x ( x )
• 上式两边各除以 x ，再令 x 0而极限，就得
limf(xx,y)f(x,y)A • 从而 ，x 偏0导数 z 存 在x，而且等于A.同样可证
• =B.所以三式 x 成立.证毕.
z y
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• 定理2(充分条件) 如果z=f(x,y)的偏导数
• 3.n维空间
• 设n为取定的一个自然数,我们称有序n元数组
•
的全体为n维空间,而每个有序n元数
(x1组,x2, ,xn) 称为n维空间中的一个点,数 称
(x1,x2, ,xn)
xi
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• 为该点的第i个坐标,n维空间记为 .n
9多元函数微分学
z x y
2z yx
f yx ( x, y).
混合偏导
定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏 导数.
例3 设z x3 y2 3xy3 xy 1
求
2z x 2
,
2z ,
yx
2z , 2z xy y2
解 z 3x2 y2 3 y3 y, z 2x3 y 9xy2 x;
y0 , z0 ) 0，Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0，则方程F ( x, y, z) 0在点 P( x0 , y0 , z0 )的某一邻域内恒能唯一确
定一个单值连续且具有连续偏导数的函数
z f ( x, y)，它满足条件z0 f ( x0 , y0 )，
并有 z Fx ， z Fy .
y (2,1)
例6. 计算函数
的全微分.
解: du 1 d x ( 1 cos y z e yz )d y y e yz dz 22
练习三
1、设
z e xy ( x y),
求
z , x
z , y
2z y2 ,
2z yx
2、已知
z
x3y ,
求
z , x
某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续
导数的函数 y f ( x)，它满足条件 y0 f ( x0 )，并
有
dy Fx .
dx Fy
隐函数的求导公式
例 10 已知ln x2 y2 arctan y ，求 dy . x dx
解 令 F ( x, y) ln x2 y2 arctan y , x
解 z z u z v x u x v x
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例如, 数
二元函 z
1 x2 y2
定义域为圆域 ( x, y) x2 y2 1
图形为中心在原点的上半球面. 又如, z sin( x y), ( x, y) R2
说明:二元函数 z = f (x, y), (x, 的图形一y般) 为 空D 间曲面 .
x x12 x22 xn2 当n 1,2,3 时, x 通常记作 x .
Rn中的变元 x 与定元 a 满足 x a 0 记作 x a.
R n中点 a 的 邻域
为
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二、多元函数的概念
引例: • 圆柱体的体积 • 定量理想气体的压强
在空间中,
U ( P0 ,) ( x, y, z )
PP0 δ 称为点 P0 的邻域.
(圆邻域)
(球邻域)
说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成 U ( P0 ).
点 P0 的去心邻域记为
0 PP0 δ
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在讨论实际问题中也常使用方邻域, 因为方邻域与圆 邻域可以互相包含.
切
PD
U
(
P0
,
δ),
都, 有
则称 A 为函
数
记作
lim f (P) A (也称为 n 重极限)
P P0
当 n =2 时, PP0 ( x x0 )2 ( y y0 )2
二记元函数的极限可写作：
lim f ( x, y) A lim f ( x, y) A
内总有E 中的点 ,则
称 P 是 E 的聚点.
聚点可以属于 E , 也可以不属于 (E因为聚点可以为
E 的边界点 )
所有聚点所成的点集成为 E 的导集 .
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(3) 开区域及闭区域
• 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
• E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作。P0平 Nhomakorabea上的方邻域为
U(P0,δ ) ( x, y)
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2. 区域
(1) 内点、外点、边界点
E
设有点集 E 及一点 P :
• 若存在点 P 的某邻域 U(P) E ,则称 P 为 E 的内点；
• 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = 则, 称 P 为 E 的外
x2 y2
故
lim f ( x, y) 0
x0
y0
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例2.
设
f
(
x,
y)
x
sin
1 y
y
sin
1 x
,
0
,
求证：lim f ( x, y) 0.
x0
y0
证： f ( x, y) 0
x y
xy 0 xy 0
第九章 多元函数微分学
一元函数微分学 推广
多元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同
第一、二节
多元函数的概念
一、区域 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性
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一、 区域
1. 邻域 点集
例如,在平面上,
U ( P0 , δ ) ( x, y)
0
x x0
y y0
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例1. 设
f
( x,
y)
(x2
y2 )sin
x2
1
y2
求证：lim f ( x, y) 0.
x0 y0
证:
( x2 y2 0)
要证
ε
ε 0, δ ε , 当0 x2 y2 δ时, 总有
三元函数 u arcsin(x2 y2 z2 ) 定义域为单位闭球
z
o 1y
x
z
y x
图形为 空间中的超曲面.
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三、多元函数的极限
定义2. 设 n 元函 f (P), P D Rn, P0 是 D 的聚
点数,若存在常数 A ,对任意正数 , 总存在正数 对一
n 维空间中的每一个元素
称为空间中的
一个点,
称为该点的第 k 个坐
当所有坐标 标 .
称该元素为 R n中的零元,记作
O.
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Rn中的点 x ( x1, x2, , xn ) 与点 y ( y1, y2, , yn )
的距离记作
规定为
Rn中的点 x ( x1, x2, , xn )与零元 O 的距离为
•E若;点集 E E , 则称 E 为闭
集 • 若；集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相
连则,称 D 是连通的 ;
D
• 连通的开集称为开区域 ,简称区
•域开;区域连同它的边界一起称为闭区域.
。 。
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例如，在平面上
(x, y) x y 0
• 三角形面积的海伦公式
r h
ba c
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定义1. 设非空点集
映射
在 D 上的 n 元函数 , 记
作
称为定义
点集 D 称为函数的定义域 ;数集 u u f ( P ) ,P D
称为函数的值域 .
特别地 , 当 n = 2 时, 有二元
函数
当 n = 3 时, 有三元函数
y
1o 1 x
但非区域 .
• 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某
定点
A 的距离 AP K ,则称 D 为有界域 ,否则称为无
界域 .
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3. n 维空间
n 元有序数组 记作 Rn,即
Rn R R R
的全体称为 n 维空间,
开区域
(x, y) 1 x2 y2 4
( x, y) x y 0
(x, y) 1 x2 y2 4
y
y
闭区域
o
x
o 1 2x
y
o
x
y
o 1 2x
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整个平 是最大的开域 , 面 也是最大的闭域；
点集( x, y) x 1是开集，
• 若点对;点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E 的外点 ,则称 P 为 E 的边界点 .
显然, E 的内点必属于 E E, 的外点必不属于 E E, 的
边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .
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(2) 聚点
若对任意给定的 ,点P 的去心
E
邻域