备忘录动态规划法
算法分析与设计（线下作业二）
算法分析与设计（线下作业⼆）《算法分析与设计》学习中⼼：专业：学号：姓名：作业练习⼆⼀、名词解释1、MST性质2、⼦问题的重叠性质递归算法求解问题时，每次产⽣的⼦问题并不总是新问题，有些⼦问题被反复计算多次，这种性质称为⼦问题的重叠性质。
⼆、简答题1、简述动态规划算法求解的基本要素。
答：动态规划算法求解的基本要素包括：1)最优⼦结构是问题能⽤动态规划算法求解的前提；2)动态规划算法，对每⼀个⼦问题只解⼀次，⽽后将其解保存在⼀个表格中，当再次需要解此⼦问题时，只是简单地⽤常数时间查看⼀下结果，即重叠⼦问题。
2、备忘录⽅法和动态规划算法相⽐有何异同简述之。
答：备忘录⽅法是动态规划算法的变形。
与动态规划算法⼀样，备忘录⽅法⽤表格保存已解决的⼦问题的答案，在下次需要解此问题时，只要简单地查看该⼦问题的解答，⽽不必重新计算。
备忘录⽅法与动态规划算法不同的是，备忘录⽅法的递归⽅式是⾃顶向下的，⽽动态规划算法则是⾃底向上递归的。
因此，备忘录⽅法的控制结构与直接递归⽅法的控制结构相同，区别在于备忘录⽅法为每个解过的⼦问题建⽴了备忘录以备需要时查看，避免了相同的⼦问题的重复求解，⽽直接递归⽅法没有此功能。
3、贪⼼算法求解的问题主要具有哪些性质简述之。
答：贪⼼算法求解的问题⼀般具有⼆个重要的性质：⼀是贪⼼选择性质，这是贪⼼算法可⾏的第⼀个基本要素；另⼀个是最优⼦结构性质，问题的最优⼦结构性质是该问题可⽤贪⼼算法求解的关键特征。
三、算法编写及算法应⽤分析题1、设计求解如下最⼤⼦段和问题的动态规划算法。
只需给出其递推计算公式即可。
最⼤⼦段和问题：给定由n 个整数（可能为负整数）组成的序列a1a2 … an，求该序列形如Σi≤k≤j ak的⼦段和的最⼤值。
当所有整数均为负整数时定义其最⼤⼦段和为0。
依次定义，所求的最优值为max{0, max1≤i≤j≤n Σi≤k≤j ak }。
2、关于多段图问题。
设G ＝(V ，E)是⼀个赋权有向图，其顶点集V 被划分成k>2个不相交的⼦集V i ：1i k ≤≤，其中，V 1和V k 分别只有⼀个顶点s （称为源）和⼀个顶点t （称为汇），图中所有的边（u,v ），i u V ∈，1i v V +∈。
算法分析与设计作业参考答案
算法分析与设计作业参考答案《算法分析与设计》作业参考答案作业⼀⼀、名词解释：1.递归算法：直接或间接地调⽤⾃⾝的算法称为递归算法。
2.程序：程序是算法⽤某种程序设计语⾔的具体实现。
⼆、简答题：1.算法需要满⾜哪些性质？简述之。
答：算法是若⼲指令的有穷序列，满⾜性质：（1）输⼊：有零个或多个外部量作为算法的输⼊。
（2）输出：算法产⽣⾄少⼀个量作为输出。
（3）确定性：组成算法的每条指令清晰、⽆歧义。
（4）有限性：算法中每条指令的执⾏次数有限，执⾏每条指令的时间也有限。
2.简要分析分治法能解决的问题具有的特征。
答：分析分治法能解决的问题主要具有如下特征：（1）该问题的规模缩⼩到⼀定的程度就可以容易地解决；（2）该问题可以分解为若⼲个规模较⼩的相同问题，即该问题具有最优⼦结构性质；（3）利⽤该问题分解出的⼦问题的解可以合并为该问题的解；（4）该问题所分解出的各个⼦问题是相互独⽴的，即⼦问题之间不包含公共的⼦问题。
3.简要分析在递归算法中消除递归调⽤，将递归算法转化为⾮递归算法的⽅法。
答：将递归算法转化为⾮递归算法的⽅法主要有：（1）采⽤⼀个⽤户定义的栈来模拟系统的递归调⽤⼯作栈。
该⽅法通⽤性强，但本质上还是递归，只不过⼈⼯做了本来由编译器做的事情，优化效果不明显。
（2）⽤递推来实现递归函数。
（3）通过Cooper 变换、反演变换能将⼀些递归转化为尾递归，从⽽迭代求出结果。
后两种⽅法在时空复杂度上均有较⼤改善，但其适⽤范围有限。
三、算法编写及算法应⽤分析题： 1.冒泡排序算法的基本运算如下： for i ←1 to n-1 dofor j ←1 to n-i do if a[j]交换a[j]、a[j+1]；分析该算法的时间复杂性。
答：排序算法的基本运算步为元素⽐较，冒泡排序算法的时间复杂性就是求⽐较次数与n 的关系。
（1）设⽐较⼀次花时间1；（2）内循环次数为：n-i 次,（i=1,…n ），花时间为：∑-=-=in j i n 1)(1（3）外循环次数为：n-1，花时间为：2.设计⼀个分治算法计算⼀棵⼆叉树的⾼度。
《算法设计与分析》第3章 动态规划法
最优解的递推关系 定义m[i:j]，表示矩阵连乘A[i:j]所需的最少计算 量 则有： i j 0 m[i ][ j ] i j minj{m[i ][ k ] m[k 1][ j ] pi 1 pk p j } i k
假设：N个矩阵的维数依序放在一维数组p中， 其中Ai的维数记为Pi-1×Pi
A=A1×A2×A3×…×An
A=(A1×A2×…×Ak) × (Ak+1×Ak+2×…×An)
B
C
1.2 穷举法
穷举法：列举出所有可能的计算次序，并计算出 每一种计算次序相应需要的数乘次数，从中找出 一种数乘次数最少的计算次序。
穷举法复杂度分析： 对于n个矩阵的连乘积，设其不同的计算次序有P(n)种。 由于每种加括号方式都可以分解为两个子连乘的加括号问题： (A1...Ak)(Ak+1…An)可以得到关于P(n)的递推式如下：
【程序】矩阵连乘的 穷举法实现 int MatrixChain::LookupChain(int i, int j) { if(i==j) return 0; int u=LookupChain(i+1,j)+p[i-1]*p[i]*p[j]; //k=i s[i][j]=i; //记录最优分解位置 for ( int k=i+1;k<j; k++ ) { //遍历k int t=LookupChain(i,k)+LookupChain(k+1,j) +p[i]*p[k+1]*p[j+1]; if (t<u) { u=t; s[i][j]=k; //记录最优分解位置 } } int MatrixChain::LookupChain() return u; { } return LookupChain(1,n);
动态规划法的基本思想
一、动态规划的基本思想在比较基本的算法设计思想里，动态规划是比较难于理解，难于抽象的一种，但是却又十分重要。
动态规划的实质是分治思想和解决冗余，因此它与分治法和贪心法类似，它们都是将问题的实例分解为更小的、相似的子问题，但是动态规划又有自己的特点。
贪心法的当前选择可能要依赖于已经作出的选择，但不依赖于还未做出的选择和子问题，因此它的特征是由顶向下，一步一步地做出贪心选择，但不足的是，如果当前选择可能要依赖子问题的解时，则难以通过局部的贪心策略达到全局最优解。
相比而言，动态规划则可以处理不具有贪心实质的问题。
在用分治法解决问题时，由于子问题的数目往往是问题规模的指数函数，因此对时间的消耗太大。
动态规划的思想在于，如果各个子问题不是独立的，不同的子问题的个数只是多项式量级，如果我们能够保存已经解决的子问题的答案，而在需要的时候再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算。
由此而来的基本思路是，用一个表记录所有已解决的子问题的答案，不管该问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。
比较感性的说，其实动态规划的思想是对贪心算法和分治法的一种折衷，它所解决的问题往往不具有可爱的贪心实质，但是各个子问题又不是完全零散的，这时候我们用一定的空间来换取时间，就可以提高解题的效率。
二、动态规划的基本步骤动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。
在这类问题中，可能会有许多可行解。
每一个解都对应于一个值，我们希望找到具有最优值（最大值或最小值）的那个解。
设计一个动态规划算法，通常可以按以下几个步骤进行：（1）找出最优解的性质，并刻画其结构特征。
（2）递归地定义最优值。
（3）以自底向上的方式计算出最优值。
如何用苹果备忘录做学习计划
如何用苹果备忘录做学习计划第一步：制定学习目标在使用苹果备忘录做学习计划之前，我们首先要确定自己的学习目标。
比如，是要提高英语水平，还是要学习新的技能等等。
只有确定了学习目标，我们才能制定合理的学习计划。
第二步：规划学习内容确定了学习目标之后，我们就需要规划学习内容。
比如，如果是要提高英语水平，我们可以将学习内容划分为听力、口语、阅读、写作等模块；如果是要学习新的技能，我们可以将学习内容划分为理论知识、实践操作等模块。
第三步：确定学习时间确定了学习目标和学习内容之后，我们就需要确定学习时间。
我们可以根据自己的实际情况，在苹果备忘录上记录每天的学习时间，比如早上8点到10点学习英语，下午2点到4点学习技能等等。
只有制定了合理的学习时间，我们才能确保学习计划的执行。
第四步：记录学习进度一旦确定了学习目标、学习内容和学习时间，我们就可以在苹果备忘录上记录学习进度。
比如，每天学习完毕后，在备忘录上记录学习的内容、遇到的问题、解决的方法等等。
只有记录了学习进度，我们才能及时调整学习计划，提高学习效率。
第五步：反复练习在学习过程中，我们需要反复练习，巩固所学知识。
我们可以利用苹果备忘录记录需要反复练习的内容，比如单词、语法、公式等等。
只有反复练习，我们才能牢固掌握所学知识，提高学习效果。
第六步：制定学习总结在学习过程中，我们需要不断进行学习总结，总结所学知识，查漏补缺。
我们可以利用苹果备忘录记录学习总结，比如自己学习的收获、学习中的困难、学习计划的调整等等。
只有及时总结，我们才能不断提高自己的学习能力。
第七步：不断调整学习计划在学习过程中，我们需要不断调整学习计划，根据实际情况进行合理调整。
我们可以利用苹果备忘录记录学习计划的调整，比如学习目标的更新、学习内容的增减等等。
只有不断调整学习计划，我们才能更加科学地进行学习。
总结苹果备忘录是一款非常实用的工具，它可以帮助我们制定学习计划，提高学习效率。
在使用苹果备忘录做学习计划时，我们可以根据学习目标和学习内容确定学习时间，记录学习进度，不断进行反复练习，制定学习总结，不断调整学习计划。
动态规划备忘录方法
动态规划备忘录⽅法⼀、动态规划要点1 最优⼦结构性质当问题的最优解包含了其⼦问题的最优解时，称该问题具有最优⼦结构性质。
2 重叠⼦问题性质动态规划算法对每个问题只解⼀次，将其解保存在⼀个表格中，当再次需要解此问题时，⽤常数时间查看⼀下结果。
因此，⽤动态规划算法通常只需要多项式时间。
⼆、备忘录⽅法要点备忘录⽅法：1 ⽤⼀个表格来保存已解决的⼦问题的答案，⽤的时候查表即可。
2 采⽤的递归⽅式是⾃顶向下。
3 控制结构与直接递归相同，区别在于备忘录⽅式为每个解过的⼦问题建⽴备忘录。
4 初始化为每个⼦问题的记录存⼊⼀个特殊的值，表⽰并未求解。
在求解过程中，查看相应记录如果是特殊值，表⽰未求解，否则只要取出该⼦问题的解答即可。
三、动态规划和备忘录⽅法的区别1、动态规划是⾃低向上，备忘录⽅法是⾃顶向下。
2、动态规划每个⼦问题都要解⼀次，但不会求解重复⼦问题；备忘录⽅法只解哪些确实需要解的⼦问题。
四、矩阵连乘问题动态规划四个步骤1. 找出最优解的性质，并且刻画其结构特性；2. 递归的定义最优解；3. 以⾃底向上的⽅式刻画最优值；4. 根据计算最优值时候得到的信息，构造最优解⼀般来讲，当⼀个问题的所有⼦问题都⾄少要解⼀次时，使⽤动态规划算法⽐使⽤备忘录⽅法好。
此时，动态规划算法没有任何多余的计算。
同时，对于许多问题，常常可以利⽤其规则的表格存取⽅式，减少动态规划算法的计算时间和空间需求。
当⼦问题空间中的部分⼦问题可以不必求解时，使⽤备忘录⽅法则较为有利，因为从其控制结构可以看出，该⽅法只解那些确实需要求解的问题。
对于动态规划算法，我们必须明确两个基本要素，这两个要素对于在设计求解具体问题的算法时，是否选择动态规划算法具有指导意义：1 算法有效性依赖于问题本⾝所具有的最优⼦结构性质：设计算法的第⼀步通常是要刻画最优解的结构。
当问题的最优解包含了⼦问题的最优解时，称该问题具有最优⼦结构性质。
问题的最优⼦结构性质提供了该问题可以使⽤动态规划算法求解的重要线索在矩阵连乘积最优次序问题中注意到，若A1A2...An的最优完全加括号⽅式在Ak和Ak+1之间断开，则由此可以确定的⼦链A1A2A3...Ak 和Ak+1Ak+2...An的完全加括号⽅式也最优，即该问题具有最优⼦结构性质。
第3章-动态规划算法
算法复杂度分析：
算法matrixChain的主要计算量取决于算法中对r， i和k的3重循环。循环体内的计算量为O(1)，而3重 循环的总次数为O(n3)。因此算法的计算时间上界 为O(n3)。算法所占用的空间显然为O(n2)。
22
3.1.4 构造最优解 若将对应m[i][j]的断开位置k记为s[i][j]，在计算出最 优值m[i][j]后，可递归地由s[i][j]构造出相应的最优 解。 s[i][j]中的数表明，计算矩阵链A[i:j]的最佳方式应在 矩阵Ak和Ak+1之间断开，即最优的加括号方式应为 (A[i:k])(A[k+1:j)。
21
m[2][5]
min
m[2][2] m[3][5] m[2][3] m[4][5]
p1 p2 p5 p1 p3 p5
0 2500 35 2625 1000
15 35 5
20 20
13000 7125
m[2][4] m[5][5] p1 p4 p5 4375 0 3510 20 11375
}
}
T(Apxq*Bqxr)=O(p*q*r)
10
A, B, C, D
A 5010 B 1040 C 4030 D 305
(A((BC)D)) (A(B(CD))) ((AB)(CD)) (((AB)C)D) ((A(BC))D)
计算量分别为：16000, 10500, 36000, 87500, 34500
矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。这种 计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩 阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘 积已完全加括号，则可以依此次序反复调用2个 矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。
如何进行准确的备忘录与行程安排
如何进行准确的备忘录与行程安排备忘录和行程安排是我们日常生活中必不可少的工具，它们帮助我们记录重要的事项和安排时间。
然而，有时候我们可能会因为繁忙或者不够专注而导致备忘录和行程安排出现错误。
在本文中，我将分享一些关于如何进行准确的备忘录和行程安排的技巧和建议。
第一，明确目标和任务。
在编写备忘录和行程安排之前，我们首先需要明确自己的目标和任务。
这可以帮助我们更好地安排时间和优先级。
例如，如果我们的目标是提高工作效率，那么我们可以将重要的任务放在前面，并且合理分配时间。
第二，使用简洁明了的语言。
备忘录和行程安排应该尽量使用简洁明了的语言，以便于阅读和理解。
避免使用过于复杂的词汇和句子结构，这样可以减少歧义和误解的可能性。
第三，合理分配时间。
在行程安排中，我们需要根据任务的重要性和紧急程度来合理分配时间。
可以使用时间管理工具，如番茄钟或者时间块，来帮助我们集中注意力和提高效率。
第四，及时更新和调整。
备忘录和行程安排是动态的，我们需要及时更新和调整它们。
当任务完成或者有新的任务出现时，我们应该及时更新备忘录和行程安排，以保持其准确性和实用性。
第五，考虑周边因素。
在编写备忘录和行程安排时，我们还需要考虑周边因素，如其他人的时间安排和会议的安排等。
这可以帮助我们更好地协调和安排时间，避免冲突和重复安排。
第六，灵活应对变化。
备忘录和行程安排不是一成不变的，我们需要灵活应对变化。
当有意外情况发生或者计划有所改变时，我们应该及时调整备忘录和行程安排，以适应新的情况。
第七，利用科技工具。
现代科技工具为我们提供了许多方便和高效的方式来进行备忘录和行程安排。
我们可以使用手机应用程序、电子日历等工具来帮助我们记录和管理时间。
这些工具可以提醒我们重要的事项和任务，并且可以与其他人共享和协作。
总之，准确的备忘录和行程安排对于我们的日常生活和工作非常重要。
通过明确目标和任务、使用简洁明了的语言、合理分配时间、及时更新和调整、考虑周边因素、灵活应对变化以及利用科技工具，我们可以更好地进行备忘录和行程安排，提高工作效率和生活品质。
算法期末复习题2
填空题：1.一个算法就是一个有穷规则的集合，其中之规则规定了解决某一特殊类型问题的一系列运算，此外，算法还应具有以下五个重要特性:确定性有穷性可行性 0个或多个输入一个或多个输出2.算法的复杂性有时间复杂性和空间复杂性之分，衡量一个算法好坏的标准是时间复杂度高低。
3.某一问题可用动态规划算法求解的显著特征是该问题具有最优子结构性质。
5.用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间，问题的解空间至少应包含一个（最优）解6.动态规划算法的基本思想是将待求解问题分解成若干子问题_，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
7.以深度优先方式系统搜索问题解的算法称为回溯法。
8.0-1背包问题的回溯算法所需的计算时间为o(n*2n),用动态规划算法所需的计算时间为o(min{nc,2n})。
9.动态规划算法的两个基本要素是最优子结构和重叠子问题。
10.二分搜索算法是利用动态规划法实现的算法。
11.一个算法复杂性的高低体现在计算机运行该算法所需的时间和存储器资源上，因此算法的复杂性有时间复杂性和空间复杂性之分。
12.出自于“平衡子问题”的思想，通常分治法在分割原问题，形成若干子问题时，这些子问题的规模都大致相同。
13.动态规划算法有一个变形方法备忘录方法。
这种方法不同于动态规划算法“自底向上”的填充方向，而是“自顶向下”的递归方向，为每个解过的子问题建立了备忘录以备需要时查看，同样也可避免相同子问题的重复求解。
14、这种不断回头寻找目标的方法称为回溯法。
15、直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。
16、 记号在算法复杂性的表示法中表示渐进确界或紧致界。
17、由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。
18、建立计算模型的目的是为了使问题的计算复杂性分析有一个共同的客观尺度。
19、下列各步骤的先后顺序是②③④①。
①调试程序②分析问题③设计算法④编写程序。
20、最优子结构性质的含义是问题的最优解包含其子问题的最优解。
算法笔记——【动态规划】矩阵连乘问题——备忘录法
算法笔记——【动态规划】矩阵连乘问题——备忘录法问题描述：给定n个矩阵：A1,A2,...,An，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1，2...，n-1。
确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。
输⼊数据为矩阵个数和每个矩阵规模，输出结果为计算矩阵连乘积的计算次序和最少数乘次数。
问题解析：由于矩阵乘法满⾜结合律，故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。
这种计算次序可以⽤加括号的⽅式来确定。
若⼀个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号，则可以依此次序反复调⽤2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。
完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为：（1）单个矩阵是完全加括号的；（2）矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可表⽰为2个完全加括号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号，即A=(BC)例如，矩阵连乘积A1A2A3A4有5种不同的完全加括号的⽅式：(A1(A2(A3A4)))，(A1((A2A3)A4))，((A1A2)(A3A4))，((A1(A2A3))A4)，(((A1A2)A3)A4)。
每⼀种完全加括号的⽅式对应于⼀个矩阵连乘积的计算次序，这决定着作乘积所需要的计算量。
看下⾯⼀个例⼦，计算三个矩阵连乘{A1，A2，A3}；维数分别为10*100 , 100*5 , 5*50 按此顺序计算需要的次数((A1*A2)*A3):10X100X5+10X5X50=7500次，按此顺序计算需要的次数(A1*(A2*A3)):100*5*50 + 10*100*50 = 75000次（注意计算次数的⽅法！）所以问题是：如何确定运算顺序，可以使计算量达到最⼩化。
算法思路：例：设要计算矩阵连乘乘积A1 A2 A3 A4 A5 A6，其中各矩阵的维数分别是：A1：30*35; A2：35*15; A3：15*5; A4：5*10; A5：10*20; A6：20*25递推关系：设计算A[i:j]，1≤i≤j≤n，所需要的最少数乘次数m[i,j]，则原问题的最优值为m[1,n]。
矩阵连乘问题-备忘录法求最优值
矩阵连乘问题-备忘录法求最优值矩阵连乘问题是一个很典型的动态规划问题。
在这个问题中，给定多个矩阵，我们需要将它们相乘得到一个最终的矩阵。
但是，矩阵相乘的顺序对于最终答案是有影响的，因此需要考虑如何寻找最优的矩阵相乘顺序。
备忘录法可以很好地解决这个问题，它是动态规划的一种优化方法，通过记忆已经计算过的结果来避免重复计算。
首先，我们需要定义一个状态表示，用来表示每一个子问题。
在矩阵连乘问题中，可以将子问题定义为：对于给定的一组矩阵，从第i 个矩阵到第j个矩阵进行连乘所需的最少乘法次数。
接下来，我们可以考虑如何递归地求解子问题。
具体来说，我们可以枚举每一个可能的括号位置，将原问题分解成两个子问题。
这个过程可以用递归实现。
但是，这个方法会涉及到很多重复计算，因为很多子问题会被重复使用。
为了避免这个问题，我们可以使用备忘录法对递归算法进行优化。
具体来说，在计算每一个子问题的最优值时，我们可以将结果存储在一个备忘录中，以便在之后重复使用。
备忘录法的实现过程比较简单。
我们可以定义一个二维数组memo，其中memo[i][j]表示对于给定的矩阵序列，在第i个矩阵到第j个矩阵之间进行连乘所需的最少乘法次数。
初始时，将memo中所有元素都设置为一个较大的数（比如1000000），表示这个子问题还没有被计算过。
接下来，我们可以实现一个递归函数helper(i,j)，用来计算memo[i][j]。
具体来说，函数的实现如下：```def helper(i,j):#如果已经计算过memo[i][j]，直接返回结果if memo[i][j] != 1000000:return memo[i][j]#如果只有一个矩阵，直接返回0if i == j:return 0#初始化memo[i][j]memo[i][j] = 1000000#枚举括号位置for k in range(i,j):memo[i][j] = min(memo[i][j], helper(i,k) + helper(k+1,j) + matrix[i][0] * matrix[k][1] * matrix[j][1])return memo[i][j]```在实现递归函数时，我们首先检查memo[i][j]是否已经计算过，如果是，直接返回结果。
怎么用备忘录制定学习计划
怎么用备忘录制定学习计划第一步：明确学习目标在制定学习计划之前，首先要明确学习的目标和任务。
这包括学习的主题、内容和难度等方面。
在备忘录中，我们可以写下学习目标和学习任务清单。
比如，我要学好英语，我可以在备忘录中写下“学习目标：提高英语口语能力；学习任务：每天背诵10个单词，每周练习对话10次”。
第二步：制定学习计划在备忘录中，我们可以利用时间表来制定学习计划。
比如，周一到周五晚上7点到9点学习英语，周末早上10点到12点练习听力。
我们可以将学习时间和学习任务具体地写在备忘录中，以便随时查看和修改。
第三步：安排学习时间在备忘录中，我们可以写下自己的日程安排和学习时间表。
比如，我可以在备忘录中写下“周一：7点到9点学习英语，9点到10点休息；周二：7点到9点学习数学，9点到10点休息”，这样就可以清晰地安排自己的学习时间，提高学习效率。
第四步：监督和反馈备忘录可以帮助我们监督自己的学习进度，并及时进行反馈。
在备忘录中，我们可以记录每天学习的情况和成果，比如“今天背诵了20个单词，对话练习进步了”，这样就可以及时发现并解决学习中的问题，提高学习效果。
第五步：调整学习计划备忘录是一个灵活的工具，我们可以随时根据自己的情况对学习计划进行调整。
比如，如果发现某个学习任务太难或者太简单，我们可以在备忘录中进行修改和调整。
这样就可以更好地适应自己的学习需求，提高学习效率。
总结：利用备忘录制定学习计划是一个很好的办法，它可以帮助我们明确学习目标、制定学习计划、安排学习时间、监督和反馈学习情况、并及时调整学习计划。
通过备忘录的帮助，我们可以更好地规划和安排自己的学习任务，提高学习效率。
希望以上内容能对您有所帮助。
租用游艇问题
实验报告课程名称算法分析与设计实验项目租用游艇问题实验仪器PC机系别计算机科学与技术系专业计算机科学与技术班级/学号计科0804/2008011167 学生姓名实验日期 2010.3.21成绩指导教师刘城霞一、实验内容1、问题描述：长江游艇俱乐部在长江上设置了n个游艇出租站1，2，…，n。
游客可在这些游艇出租站租用游艇，并在下游的任何一个游艇出租站归还游艇。
游艇出租站i到游艇出租站j 之间的租金为r（i，j），1≤i<j≤n。
试设计一个算法，计算出从游艇出租站1到游艇出租站n所需的最少租金。
算法设计：对于给定的游艇出租站i对游艇出租站j之间的租金为r（i，j），1≤i<j≤n，计算从游艇出租站1到游艇出租站n所需的最少租金。
数据输入：由文件input.txt提供输入数据。
文件的第1行中有一个正整数（n≤200），表示有n个游艇出租站。
接下来的n－1行是r（i，j），1≤i<j≤n。
2、输入输入文件示例input.txt35 1573、输出输出文件示例output.txt12一、实验步骤备忘录方法实现租用游艇问题：1、解决方案（策略的选择，递推式，数据结构的设计）样例解释：5 ->r(1,2) 15->r(1,3)7->r(2,3)最少花费：1->2->3所以此题是一个枚举断点的题目，在起点i至终点j枚举断点k，可以得到此式：(i,j)=min{r(I,k),r(k,j)} i<=k<=j为了节省时间进行了备忘录的方法来实现，记录状态来避免重复计算。
其中，solve（i）表示i至n 的最短路径。
2、主要算法#include<iostream>using namespace std;int w[21],x[21][21],n;int solve(int h){if(w[h]>0)return w[h];if(h==n-1)return x[h][n];int minn=x[h][n];for(int k=h+1;k<n;k++){int a=x[h][k]+solve(k);if(a<minn)minn=a;}w[h]=minn;return minn;}int main(){int i,j;i=1;j=2;cout<<"输入出租站的个数："<<endl;cin>>n;for(i=1;i<n;i++)for( j=i+1;j<=n;j++){cout<<"输入"<<i<<"站到"<<j<<"站的租金："<<endl;cin>>x[i][j];}cout<<"所需最少费用："<<endl<<solve(1)<<endl;return 0;}2、实验结果分析实验结果如下：动态规划方法实现租用游艇问题：1、解决方案（策略的选择，递推式，数据结构的设计）由问题我们可以设游艇出租站有N个，而且每两个站的租金都是不一样的，用f （i，j）表示每两个站之间的租金费用。
如何用备忘录制定学习计划
如何用备忘录制定学习计划学习计划是学习者合理安排学习时间、合理安排学习任务，并且严格执行，以求达到学习目的的一种计划。
备忘录是一种方便的工具，可以帮助我们及时记录和提醒自己的学习任务。
如何用备忘录制定学习计划呢？下面就来介绍一下。
第一步：明确学习目的备忘录是一种辅助学习的工具，所以在制定学习计划之前，需要先明确自己的学习目的。
只有清楚了解自己的学习目的，才能有针对性地制定学习计划。
比如，如果你的学习目的是提高英语水平，那么你的学习计划就要有针对性地围绕英语展开。
第二步：列出学习任务明确了学习目的后，就需要列出具体的学习任务。
比如，如果你要提高英语水平，那么你的学习任务可能包括词汇量的扩充、听力能力的提高、口语表达能力的提升等。
第三步：确定学习时间确定了学习任务后，就需要确定学习时间。
因为备忘录是一种可以随时记录和提醒学习任务的工具，所以你可以将学习时间分散在一天中的不同时间段，以便更好地安排学习任务。
第四步：制定具体的学习计划在备忘录中，你可以按照学习时间来制定具体的学习计划。
比如，如果你决定每天早上8点到9点进行词汇量的扩充，那么你可以在备忘录中写下这个学习任务，并在早上8点的时候进行提醒。
如果你决定每天晚上8点到9点进行听力训练，那么你也可以在备忘录中写下这个学习任务，并在晚上8点的时候进行提醒。
第五步：执行学习计划制定了学习计划后，就需要严格执行。
备忘录可以随时提醒你的学习任务，所以你要做好及时记录和提醒的工作。
同时，你也要坚持按照计划进行学习，不要轻易改变。
总之，备忘录是一种很好的辅助学习工具，可以帮助我们更好地制定学习计划。
通过制定学习目的、明确学习任务、确定学习时间、制定具体的学习计划和严格执行学习计划，我们就可以更好地利用备忘录来提高学习效率。
希望大家都能够通过备忘录制定学习计划，取得好的学习效果。
动态规划：钢条切割问题
动态规划：钢条切割问题问题：Serling公司购买长钢条，将其切割为短钢条出售。
不同的切割⽅案，收益是不同的，怎么切割才能有最⼤的收益呢？假设，切割⼯序本⾝没有成本⽀出。
假定出售⼀段长度为i英⼨的钢条的价格为p i （i=1,2,…）。
钢条的长度为n英⼨。
如下给出⼀个价格表P。
给定⼀段长度为n英⼨的钢条和⼀个价格表P，求切割钢条⽅案，使得销售收益 r n最⼤。
(如果长度为n英⼨的钢条的价格p n ⾜够⼤，则可能完全不需要切割，出售整条钢条是最好的收益)⾃顶向下动态规划算法：1public static int buttom_up_cut(int[] p) {2int[] r = new int[p.length + 1];3for (int i = 1; i <= p.length; i++) {4int q = -1;5//①6for (int j = 1; j <= i; j++)7 q = Math.max(q, p[j - 1] + r[i - j]);8 r[i] = q;9 }10return r[p.length];11 }为什么长度为i时的最⼤收益 r[i] 可以通过注释①处的循环来求呢？假设长度为i时钢条被分割为x段{m1,m2,m3,...,mx}可得最⼤收益 r[i] ，取出其中⼀段mk，则最⼤收益可表⽰为r[i] = p[mk] + r[i - mk]如果r[i - mk] 不是长度为 i - mk 时的最⼤收益的话，则r[i]是长度为i时的最⼤收益也就不成⽴，所以最⼤收益r[i]⼀定可以表⽰成单独切出⼀段的价格p[mk] 加上余下长度的最⼤收益 r[i - mk]以下内容转载⾃： https:///szz715/blog/3103246前⾔众所周知，递归算法时间复杂度很⾼为（2^n），⽽动态规划算法也能够解决此类问题，动态规划的算法的时间复杂度为（n^2）。
《动态规划算法》
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7
二项式系数的计算
1
n k
n k
1 1
n k
1
n k
n! k!(n
k )!
由 Stirling 等式，有
if k 0 or k n if 0 k n
n k
n! (( n / 2 )! ) 2
2nn n / en n(n / 2)n / en
2n n
有效计算上式的方法是按行构造帕斯卡三角形
19.08.2021
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19.08.2021
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21
算法的改进
在算法lcs和print-LCS中, 可进一步将数组b省 去. 事实上, 数组元素L[i][j]的值仅由L[i-1][j-1], L[i-1][j]和L[i][j-1]这3个数组元素的值所确定. 对于给定的数组元素L[i][j], 可以不借助于数组 b而仅借助于L本身确定L[i][j]的值是由L[i1][j-1], L[i-1][j]和L[i][j-1]中哪一个值所确定的.
对于Fibonacci序列, 一个明显的方法是从f(1)开 始自底向上地计算到f(n), 只需要(n)时间和(1) 空间.
和前面的方法相比, 可以很大程度降低时间复杂 度.
19.08.2021
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The longest common subsequence problem最长公共子序列问题
19.08.2021
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What is dynamic programming
什么是动态规划？
当子问题发生重叠时, 分治法做了很多不必要的 工作——重复对重叠的子问题进行求解.
算法知识点总结
算法是指解决问题的一种方法或一个过程。
更严格的讲，算法是若干指令的有穷序列。
性质：(1)输入：有零个或者多个由外部提供的量作为算法的输入。
作为算法加工对象的量值，通常体现为算法中的一组变量。
(2)输出：算法产生至少一个量作为输出。
它是一组与“输入”有确定关系的量值，是算法进行信息加工后得到的结果，这种确定关系即为算法的功能。
(3)确定性：组成算法的每条指令是清晰、无歧义的。
对于每种情况下所应执行的操作，在算法中都有确切的规定，使算法的执行者或阅读者都能明确其含义及如何执行（可行性）。
并且在任何条件下，算法都只有一条执行路径。
(4)有限性：算法中每条指令的执行次数是有限的，每条指令的执行时间也是有限的。
程序和算法的区别：程序是算法用某种程序设计语言的具体实现。
程序可以不满足算法的性质(4)有限性。
例如操作系统，是一个在无限循环中执行的程序，因而不是一个算法。
操作系统的各种任务可看成是单独的问题，每一个问题由操作系统中的一个子程序，通过特定的算法来实现。
该子程序得到输出结果后便终止。
算法分析是对一个算法所消耗资源进行估算。
资源消耗指时间、空间的耗费。
算法分析的目的就是通过对解决同一问题的多个不同算法进行时空耗费这两方面的分析.比较求解同一问题的多个不同算法的效率。
一般情况下将最坏情况下的时间耗费的极限作为算法的时间耗费，称为时间复杂性。
可操作性最好最有实际价值的是最坏情况下的时间复杂性。
渐进复杂性：当n单调增加且趋于∞时，T(n)也将单调增加且趋于∞。
对于T(n)，如果存在T~(n)，当n→∞时，(T(n)-T~(n) )/T(n) →0 ，称T~(n)是T(n)当N→∞时的渐近性态，或称为算法A当N→∞的渐近复杂性。
渐进意义下的记号O Ωθo：以下设f(N)和g(N)是定义在整数集上的正函数。
O:如果存在正的常数C和自然数N0，使得当N≥N0时有f(N)≤Cg(N),则称函数f(N)当N充分大时上有界，且g(N)是它的一个上界，记为f(N)=O(g(N)).这时还说f(N)的阶不高于g(N)的阶。
动态规划套路详解
动态规划套路详解读完本⽂，你可以去⼒扣拿下如下题⽬：-----------这篇⽂章是我们号半年前⼀篇 200 多赞赏的成名之作「动态规划详解」的进阶版。
由于账号迁移的原因，旧⽂⽆法被搜索到，所以我润⾊了本⽂，并添加了更多⼲货内容，希望本⽂成为解决动态规划的⼀部「指导⽅针」。
动态规划问题（Dynamic Programming）应该是很多读者头疼的，不过这类问题也是最具有技巧性，最有意思的。
本书使⽤了整整⼀个章节专门来写这个算法，动态规划的重要性也可见⼀斑。
刷题刷多了就会发现，算法技巧就那⼏个套路，我们后续的动态规划系列章节，都在使⽤本⽂的解题框架思维，如果你⼼⾥有数，就会轻松很多。
所以本⽂放在第⼀章，来扒⼀扒动态规划的裤⼦，形成⼀套解决这类问题的思维框架，希望能够成为解决动态规划问题的⼀部指导⽅针。
本⽂就来讲解该算法的基本套路框架，下⾯上⼲货。
⾸先，动态规划问题的⼀般形式就是求最值。
动态规划其实是运筹学的⼀种最优化⽅法，只不过在计算机问题上应⽤⽐较多，⽐如说让你求最长递增⼦序列呀，最⼩编辑距离呀等等。
既然是要求最值，核⼼问题是什么呢？求解动态规划的核⼼问题是穷举。
因为要求最值，肯定要把所有可⾏的答案穷举出来，然后在其中找最值呗。
动态规划这么简单，就是穷举就完事了？我看到的动态规划问题都很难啊！⾸先，动态规划的穷举有点特别，因为这类问题存在「重叠⼦问题」，如果暴⼒穷举的话效率会极其低下，所以需要「备忘录」或者「DP table」来优化穷举过程，避免不必要的计算。
⽽且，动态规划问题⼀定会具备「最优⼦结构」，才能通过⼦问题的最值得到原问题的最值。
另外，虽然动态规划的核⼼思想就是穷举求最值，但是问题可以千变万化，穷举所有可⾏解其实并不是⼀件容易的事，只有列出正确的「状态转移⽅程」才能正确地穷举。
以上提到的重叠⼦问题、最优⼦结构、状态转移⽅程就是动态规划三要素。
具体什么意思等会会举例详解，但是在实际的算法问题中，写出状态转移⽅程是最困难的，这也就是为什么很多朋友觉得动态规划问题困难的原因，我来提供我研究出来的⼀个思维框架，辅助你思考状态转移⽅程：明确 base case -> 明确「状态」-> 明确「选择」 -> 定义 dp 数组/函数的含义。
怎样在备忘录做学习计划
怎样在备忘录做学习计划在备忘录中做学习计划是一种很有效的方法，可以帮助我们更好地管理学习时间，提高学习效率。
学习计划可以帮助我们明确学习目标，合理分配学习时间，提高学习动力，确保学习质量。
以下是如何在备忘录中制定学习计划的一些建议。
第一步：明确学习目标在备忘录中制定学习计划的第一步是明确学习目标。
明确的学习目标能够帮助我们更好地规划学习内容和时间。
我们可以根据自己的学习目标，制定每天、每周、每月的学习计划。
比如，如果我们的学习目标是通过考试，我们可以制定一个每周复习的学习计划；如果我们想学一门新的技能，我们可以制定一个每天练习的学习计划。
无论学习目标是什么，都需要确保学习计划是具体的、可行的，可以帮助我们更好地实现学习目标。
第二步：合理安排学习时间在备忘录中制定学习计划的第二步是合理安排学习时间。
合理安排学习时间能够帮助我们更好地利用时间，提高学习效率。
我们可以根据自己的学习情况，安排每天、每周、每月的学习时间。
比如，如果我们是学生，我们可以在备忘录中制定每天的学习计划，包括上课时间、复习时间、作业时间等；如果我们是上班族，我们可以在备忘录中制定每周的学习计划，包括工作日的学习时间和周末的学习时间。
合理安排学习时间可以帮助我们更好地分配学习内容，确保学习质量。
第三步：制定学习计划在备忘录中制定学习计划的第三步是制定学习计划。
我们可以根据自己的学习目标和学习时间，制定每天、每周、每月的学习计划。
比如，如果我们的学习目标是通过考试，我们可以在备忘录中制定每天的复习计划，包括复习时间、复习内容、复习方法等；如果我们想学一门新的技能，我们可以在备忘录中制定每周的练习计划，包括练习时间、练习内容、练习方法等。
制定学习计划能够帮助我们更好地分配学习内容和时间，确保学习效果。
第四步：每日总结在备忘录中制定学习计划的第四步是每日总结。
每日总结能够帮助我们更好地反思学习内容和学习效果，及时调整学习计划，确保学习质量。
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15.1 历史及研究问题
动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的 优化问题，但是一些与时间无关的静态规划（如线性 规划、非线性规划），可以人为地引进时间因素，把 它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便 地求解。
动态规划是考察问题的一种途径，或是求解某类问题 的一种方法。
动态规划问世以来，在经济管理、生产调度、工程技 术和最优控制等方面得到了广泛的应用。例如最短路 线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等 问题，用动态规划方法比其它方法求解更为方便。
步骤③中记录的信息是构造最优解的基础；
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9 University of Science and Technology of China
15.4 矩阵链乘法问题
问题描述： 给定n个矩阵A1, A2, …, An，Ai的维数为pi-1 × pi (1≤i ≤ n)，以 一种最小化标量乘法次数的方式进行完全括号化。
注意： ① 设Ap ×q, A q×r两矩阵相乘，普通乘法次数为p ×q ×r； ② 加括号对乘法次数的影响：
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15.4 矩阵链乘法问题
穷举法：列举出所有可能的计算次序，并计算出每一种计算次序 相应需要的数乘次数，从中找出一种数乘次数最少的计算次序。
同的填表方式。
=
n
T(n)
n/2
n/2
n/2
n/2
T(n/4)
T(n/4)
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T(n/4)
T(n/4) T(n/4) T(n/4) T(n/4) T(n/4) T(n/4) T(n/4)
T(n/4)
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多阶段决策问题：求解的问题可以划分为一系列相互 联系的阶段，在每个阶段都需要做出决策，且一个阶 段决策的选择会影响下一个阶段的决策，从而影响整 个过程的活动路线，求解的目标是选择各个阶段的决 策是整个过程达到最优。
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2 University of Science and Technology of China
第九讲 动态规划
内容提要：
理解动态规划算法概念 掌握动态规划算法要素 掌握设计动态规划算法的步骤 通过范例学习动态规划算法设计策略
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1 University of Science and Technology of China
15.1 历史及研究问题
动态规划（dynamic programming）是运筹学的一个 分支，20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在 研究多阶段决策过程(Multistep decision process)的优 化问题时，提出了著名的最优性原理，把多阶段过程 转化为一系列单阶段问题，逐个求解，创立了解决这 类过程优化问题的新方法——动态规划。
15.2 最优性原理
Bellman最优性原理： 求解问题的一个最优策略序列的子策略序列总是最 优的，则称该问题满足最优性原理。 注：对具有最优性原理性质的问题而言，如果有一 决策序列包含有非最优的决策子序列，则该决策序 列一定不是最优的。
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5 University of Science and Technology of China
适于动态规划法求解的问题具有状态的无后效性
② 策略：各个阶段决策确定后，就组成了一个决策序列 ，该序列称之为一个策略。由某个阶段开始到终止阶 段的过程称为子过程，其对应的某个策略称为子策略 。
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4 University of Science and Technology of China
15.3 总体思想
但是经分解得到的子问题往往不是互相独立的。不同子 问题的数目常常只有多项式量级。在用分治法求解时， 有些子问题被重复计算了许多次。
=
n
T(n)
n/2
n/2
n/2
n/2
T(n/4) T(n/4) T(n/4) T(n/4) T(n/4) T(n/4) T(n/4) T(n/4) T(n/4) T(n/4) T(n/4) T(n/4) T(n/4) T(n/4) T(n/4) T(n/4)
15.3 总体思想
基本步骤： ① 找出最优解的性质，并刻划其结构特征。 ---》划分子
问题 ② 递归地定义最优解的值。 ----》给出最优解的递归式 ③ 按自底向上的方式计算最优解的值。 ④ 由计算出的结果构造一个最优解。 注： 步骤①~③是动态规划算法的基本步骤。如果只需要
求出最优值的情形，步骤④可以省略； 若需要求出问题的一个最优解，则必须执行步骤④，
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15.1 历史及研究问题
基本概念： ① 状态：表示每个阶段开始时，问题或系统所处的客观
状况。状态既是该阶段的某个起点，又是前一个阶段 的某个终点。通常一个阶段有若干个状态。
状态无后效性：如果某个阶段状态给定后，则该阶段以后过 程的发展不受该阶段以前各阶段状态的影响，也就是说状态 具有马尔科夫性。
15.3 体思想
动态规划的思想实质是分治思想和解决冗余 动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求
解问题分解成若干个子问题
=
n
T(n)
T(n/2)
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T(n/2)
T(n/2)
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15.3 总体思想
如果能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出
已求得的答案，就可以避免大量重复计算，从而得到多项式
时间算法。动态规划法用一个表来记录所有已解决的子问题
的答案。具体的动态规划算法尽管多种多样，但它们具有相