高中数学经典解题技巧和方法：三角变换与解三角形.

高中数学经典解题技巧：三角变换与解三角形

一、三角变换及求值

解题技巧： 1．在涉及两角和与差的三角函数公式的应用时，常用到如下变形（1）；

（2）角的变换；

（3）。

2．利用两角和与差的三角函数公式可解决求值求角问题，常见有以下三种类型：

（1）“给角求值”，即在不查表的前提下，通过三角恒等变换求三角函数式的值；

（2）“给值求值”，即给出一些三角函数值，求与之有关的其他三角函数式的值；

（3）“给值求角”，即给出三角函数值，求符合条件的角。

例1：已知向量,且

(Ⅰ求tan A的值；(Ⅱ求函数R的值域

解析：（Ⅰ）由题意得m·n=sinA-2cosA=0,

因为cosA≠0,所以tanA=2.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知tanA=2得

因为x R,所以.当时，f(x有最大值，

当sinx=-1时，f(x有最小值-3

所以所求函数f(x的值域是

二、正、余弦定理的应用

解题技巧：1．在三角形中考查三角函数式变换，是近几年高考的热点，它是在新的载体上进行的三角变换，因此要时刻注意它重要性：一是作为三角形问题，它必然要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解决问题的思路；其二，它毕竟是三角形变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，是使问题获得解决的突破口。

2．在解三角形时，三角形内角的正弦值一定为正，但该角不一定是锐角，也可能为钝角（或直角），这往往造成有两解，应注意分类讨论，但三角形内角的余弦为正，该角一定为锐角，且有惟一解，因此，在解三角形中，若有求角问题，应尽量避免求正弦值。

例2：（2010·辽宁高考理科·Ｔ17）在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C 的对边，且

（Ⅰ）求A的大小；

（Ⅱ）求的最大值.

【命题立意】考查了正弦定理，余弦定理，考查了三角函数的恒等变换，三角函数的最值。

【思路点拨】（I）根据正统定理将已知条件中角的正弦化成边，得到边的关系，再由余弦定理求角

（II）由（I）知角C＝60°-B代入sinB+sinC中，看作关于角B的函数，进而求出最值

【规范解答】（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得

即由余弦定理得故，A=120°

（Ⅱ）由（Ⅰ）得：

故当B＝30°时，sinB+sinC取得最大值1。

【方法技巧】

(1利用正弦定理，实现角的正弦化为边时只能是用a替换sinA，用b替换sinB,用c替换sinC。sinA,sinB,sinC的次数要相等，各项要同时替换，反之，用角的正弦替换边时也要这样，不能只替换一部分。

(2以三角形为背景的题目，要注意三角形的内角和定理的使用。象本例中B+C ＝60°

三、三角函数的实际应用

例3：（2010·江苏高考·Ｔ１7）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=，

∠ADE=。

(1该小组已测得一组、的值，算出了

tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；

(2该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，-最大？

【命题立意】本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。

【思路点拨】（1）分别利用表示AB、AD、BD，然后利用AD—AB=DB求解；

（2）利用基本不等式求解.

【规范解答】（1），同理：，。

AD—AB=DB，故得，解得：。因此，算出的电视塔的高度H是124m。

（2）由题设知，得，

，（当且仅当时，取等号）

故当时，最大。

因为，则，由的单调性可知：当时，-最大。

故所求的是m。

例4．（2010·福建高考文科·Ｔ2）计算的结果等于（）

A. B. C. D.

【命题立意】本题考查利用余弦的倍角公式的逆用，即降幂公式，并进行三角的化简求值。

【思路点拨】直接套用倍角公式的逆用公式，即降幂公式即可。

【规范解答】选B，。

【方法技巧】对于三角公式的学习，要注意灵活掌握其变形公式，才能进行灵活的恒等变换。如倍角公式：，

的逆用公式为“降幂公式”，即为

，，在三角函数的恒等变形中，降幂公式的起着重要的作用。

例5．（2010 海南宁夏高考理科T16）在中，D为边BC上一点，

BD=DC,=120°，AD=2，若的面积为，则= .

【命题立意】本题主要考查了余弦定理及其推论的综合应用.

【思路点拨】利用三角形中的余弦定理极其推论。列出边与角满足的关系式求解. 【规范解答】设，则，由的面积为可知

，可得，由余弦定理可知

，所以

，所以

由，及

可求得

【答案】60°

【方法技巧】熟练三角形中隐含的角的关系，利用余弦定理或正弦定理找边与角的关系，列出等式求解.

例6．（2010·天津高考理科·Ｔ7）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是

a,b,c，若，，则A= (

（A）（B）（C）（D）

【命题立意】考查三角形的有关性质、正弦定理、余弦定理以及分析问题、解决问题的能力。

【思路点拨】根据正、余弦定理将边角互化。

【规范解答】选A，根据正弦定理及得：

，

。

【方法技巧】根据所给边角关系，选择使用正弦定理或余弦定理，将三角形的边转化为角。

例7．（2010·天津高考理科·Ｔ１7）已知函数

（Ⅰ）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；

（Ⅱ）若，求的值。

【命题立意】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦公式、函数

的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力。

【思路点拨】化成一个角的三角函数的形式；变角，