函数的连续性习题.
数学《函数的连续性》练习题
第四章 函数的连续性例1) ()21f x x =+在2x =处连续.2) 1sin 0()00x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续.2.已知2,0,(),0,,0,x x f x A x x B x +>⎧⎪==⎨⎪-<⎩讨论()f x 在0x =处的连续性及左右连续性.3. 1) 求2(1)()(1)x x f x x x -=-的间断点类型.2) 举例定义在R 上且在1x =，2x =处间断的函数.思考 有无在R 上定义但仅在1x =，2x =处连续的函数?（判断题举例用）3) 考察,;(),,x x f x x x ⎧=⎨-⎩为有理数为无理数的间断点.证明: Riemann 函数1,(,),()0,0,1p x p q q q R x x ⎧=⎪=⎨⎪=⎩既约或无理数,在(0,1)内任何无理点均连续，但在任何有理点均不连续.例12 确定,,a b c 的值，使2111,0()0011x ax bx c x x f x x x -≤-⎧⎪++<≠⎪=⎨=⎪⎪≥⎩在R 上连续.例.如何补充定义使函数f 连续. 1) 24()2x f x x -=- 2) 3tan sin ()x x f x x-=5. 若f 在0x 处连续, 则||f 在0x 处连续. 反之呢? 又2f 呢？(易考判断题)6.构造满足下列条件的R 上定义的函数1) 仅在1,2x =处不连续的函数;2) 仅在1,2x =处连续的函数;3) 仅在1()x n N n =∈处间断的函数.7. 若对任何0ε>,f 在[,]a b εε+-上连续,则f 在(,)a b 上连续.8. . 设()sin f x x =,,0,(),0,x x g x x x ππ-≤⎧=⎨+>⎩, 求证: (())f g x 在0x =处连续,而g 在0x =处间断.9. 设f 为R 上的单调函数,定义)0()(+=x f x g .证明:g 在R 上每一点都右连续.10. 证明: 方程cos x x x =在0到2π之间有实根.11. 设f 在[,]a b 上的连续，([,])[,]f a b a b ⊂，证明：存在0[,]x a b ∈，使得0()f x x =.12. 1) 验证函数()f x ax b =+ (0)a ≠在R 上一致连续.2) 验证函数1()sinf x x=在(,1)c (01)c <<上一致连续.13. 验证()ln f x x =在[1,)+∞上一致连续.14. 若函数f 在有限区间(,)a b 上一致连续，则f 在(,)a b 上必有界.15. ()sin f x x =在R 上一致连续，()f x =[,)a +∞ (0)a >上一致连续.16. 当I [,)a =+∞，举例说明乘积f g ⋅在I 上未必一致连续.17. 设0≠x 时, )()(x g x f ≡, 而)0()0(g f ≠. 证明: f 与g 两者中至多有一个在0=x 连续.18. 设f ,g 在点0x 连续, 证明:1) 若)()(00x g x f >, 则存在);(0δx U , 使在其内有)()(x g x f >;2) 若在某)(00x U 内有)()(x g x f >, 则)()(00x g x f ≥.19.证明：若f 在[,]a b 上连续,且对任何[,]x a b ∈,()0f x ≠,则f 在[,]a b 上 恒正或恒负.20. 设f 在],[b a 上连续,12,,...,[,]n x x x a b ∈.证明:存在],[b a ∈ξ,使得121()[()()()]n f f x f x f x nξ=++⋅⋅⋅+21.设f 在),[+∞a 上连续, 且)(lim x f x +∞→存在, 证明: f 在),[+∞a 上有界, 又f 在 ),[+∞a 上必有最大值或最小值吗?22. 证明: 2()f x x =在[,]a b (,)a b R ∀∈上一致连续,而在(,)-∞+∞上不一致连续.证明: ()f x =[1,)+∞上一致连续.证明: x x f cos )(=在),0[+∞上一致连续.证明: x x f =)(在),0[+∞上一致连续.计算极限：（直接写答案） 1) )1ln(15cos lim 20x x x e x x -+++→; 2) )(lim x x x x x -+++∞→; 3) )111111(lim 0xx x x x x x +--+++→; 4) 1lim ++++∞→x xx x x ;5) x x x cot 0)sin 1(lim +→. 例5 设f 、g 在区间I 上连续，记()max{(),()}F x f x g x =，()min{(),()}G x f x g x =证明：,F G 也都在I 上连续.例8 若f 在[,]a b 上连续且对任何[,]x a b ∈,()0f x ≠,则存在0c >, 使得 f 在[,]a b 上()0f x c ≥>或()0f x c ≤-<.例16 设f 在0x =处连续，且对任何,x y R ∈有()()()f x y f x f y +=+ 证明： 1) f 在R 上连续; 2) ()(1)f x f x =⋅.例17 设f 在R 上连续且lim (),lim ()x x f x A f x B →-∞→+∞==，求证：()f x 在R 上 一致连续.例19 设f 在R 上连续,g 在R 上一致连续且lim ()()0x f x g x →∞-=，求证： ()f x 在R 上一致连续.。
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x 0
x 0
lim f(x )li(m x 1 ) 1
x 0
x 0
在x=0处y是否间断，
yx1
1
o1 x
lim f(x)lim f(x)
x 0
x 0
所以函数在x=0处间断。 x=0是跳跃间断点
例 函y数 x21在x点 1没定 ,所 义 以函数
x 1
x 1
但f (1) 1,所以 2
limf(x)f(1).
x1
1
1
2o 1 x
因此，点x=1是函数 f(x)的间断点.但如果改变
函数f(x)在x=1处的定义：令f(1)=1，则f(x)在 x=1成为连续.所以x=1也称为该函数的可去间断 点.
1.6.3.2 第二类间断点 函数f(x)在点x0的左右极限中至少有一个不存 在的间断点，则称x0为第二类间断点。 例1.29 f (x) 2
x2
limf (x)不 存 在 x2
所以x = 2为函数的跳跃间断点
1.6.4 闭区间上连续函数的性质
定理1.6 如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则 f(x)在 闭区间[a,b]上有界。
定理1.7 （最值定理） 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连 续，则f(x)在[a,b]上有最大值和最小值
x2
x2
能不连 续，而
limf(x) limf (x)
x2
x2
在其它 定义区
limf (x)不 存 在 x2
间上连 续。
所以函数在x = 2 处不连续
ax 当x1时
例 设f(x)1
当x1时
axb 当x1时
在x = 1处连续，求a、b的值
解 f(1)1
——函数的连续性
第四章 函数的连续性第一节 连续性的概念一、函数在一点的连续性 1、函数的直观图解2、函数在一点连续的定义 （1）极限形式定义定义1：设f 在0()U x 内有定义，若00lim ()()x x f x f x →=，则称f 在点0x 连续。
例、220(),lim ()lim 0(0)x x f x x f x x f →→====2()f x x ∴=在0x =处连续。
注：①讨论f 在点0x 连续，要求f 在0()U x （包括点0x ）由定义。
②f 在点0x 连续，意味着下面的运算法则成立()(l i m )l i mx x x x f x f x →→= （2）增量极限形式定义记自变量x （在点0x ）的增量0x x x =-，则0000()()()()y f x f x f x x f x y y =-=+-=-定义：若0lim 0x x y →=，则称()f x 在0x 处连续。
（3）εδ-语言定义若00,0,(,)x U x εδδ∀>∃>∀∈有0|()()|f x f x ε-<，则称()f x 在点0x 连续。
例、证明()()f x xD x =在0x =连续，其中1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，为狄利克雷函数。
（4）左、右极限形式定义定义2：设f 在在某区间0()U x +（或0()U x -）内由定义，且0l i m ()()x x f x f x +→=（或00lim ()()x x f x f x -→=） 则称f 在点0x 右（左）连续 （5）归结到数列极限定义f 在点0x 连续⇔000{}(),(),lim ()()n n n n x U x x x n f x f x →∞∀⊂→→∞=二、间断点及其分类 1、间断点定义定义3：设f 在某00()U x 内有定义，若f 在0x 无定义，或f 在0x 处有定义但是不连续，则称点0x 为f 的间断点或不连续点。
2.9函数的连续性
x0时y0.
定义 1 设函数 y f ( x) 在N ( x ,) 有定义，若
lim y0
x0
则称函数 f ( x )在点 x 处连续，并称点 x 是函数 f (x) 的连续点。
∵ x x x ， ∴当x0 时，有 x x ；
∵ lim y lim [ f ( x) f ( x )]0 ，
x0 xx
x0 x
x0 ln(1 x) x0 x
11.
重要结论：
当 x0 时,
log
a
(1
x
)
～
1 lna
x
,
ln(1 x) ～x ,
e x 1 ～ x ,
a x 1 ～ xlna, (1 x) 1 ～x.
例 4．证明：若 lim u( x) A0 ， lim v( x) B ，则
x x
x x
lim u( x)v( x) AB （其中x 可以是有限数也可以是 ）。
2. 计算lim tan5x cos x 1 .
x0
sin 3 x
解
原式
lim
5x
1 2
x2
5
x0 3x
3
原式 lim tan 5x lim 1 cos x x0 sin 3x x0 sin 3x
lim
5x
lim
1 2
x2
5
x0 3x x0 3x 3
2. 计算lim tan5x cos x 1 .
∴ lim f ( x) f ( x ) 。
xx
定义 2 设函数 y f ( x) 在N ( x ,) 有定义，若
lim f ( x) f ( x )
x x
则称函数 f ( x )在点 x 处连续。
函数的连续性考试题及答案
函数的连续性考试题及答案一、选择题1. 函数f(x) = x^2在区间[0, 2]上是：A. 连续的B. 可导的C. 不连续的D. 可积的答案：A2. 若函数f(x)在点x=a处连续，则下列说法正确的是：A. f(a)存在B. f(a)不存在C. f(a)=0D. f(a)=a答案：A3. 函数f(x) = sin(x)在实数域R上是：A. 连续的B. 可导的C. 不连续的D. 不可导的答案：A二、填空题4. 若函数f(x)在点x=a处连续，则______。
答案：f(a) = lim(x→a) f(x)5. 函数f(x) = x^3在x=0处的连续性是______。
答案：连续6. 函数f(x) = 1/x在x=0处的连续性是______。
答案：不连续三、解答题7. 判断函数f(x) = x^2 - 4x + 4在区间[1, 3]上的连续性，并说明理由。
答案：函数f(x) = x^2 - 4x + 4在区间[1, 3]上连续。
因为该函数为多项式函数，多项式函数在其定义域内处处连续。
8. 已知函数f(x) = x^2 + 3x + 2，求证f(x)在x=1处连续。
答案：要证明f(x)在x=1处连续，需要证明lim(x→1) f(x) =f(1)。
计算得：lim(x→1) (x^2 + 3x + 2) = 1^2 + 3*1 + 2 = 6f(1) = 1^2 + 3*1 + 2 = 6因为lim(x→1) f(x) = f(1)，所以f(x)在x=1处连续。
9. 判断函数f(x) = x^(1/3)在x=0处的连续性，并说明理由。
答案：函数f(x) = x^(1/3)在x=0处不连续。
理由是当x接近0时，f(x)接近0，但f(0)不存在，因为0的1/3次方是未定义的。
四、证明题10. 证明函数f(x) = x^2在x=0处连续。
答案：要证明f(x) = x^2在x=0处连续，需要证明lim(x→0)f(x) = f(0)。
第二章习题§2—1连续函数的定义及运算
第2章 连续函数§2—1连续函数的定义及运算A 类1、研究下列函数的连续性，并画出函数的图形：1）201()212x x f x x x ⎧≤≤=⎨−<≤⎩；2）⎩⎨⎧−<<≤≤−=11111)(x x x xx f 或2、下列函数在指定的点处间断，说明这些间断点属于哪一类，如果是可去间断点，则 补充或改变函数的定义使它连续：1）2,1,23122==+−−=x x x x x y ；2）),2,1,0(2,,tan "±±=+===k ππk x πk x xx y ；3）0,1cos2==x xy ；4）。
⎩⎨⎧=>−≤−=1,1311x x x x x y3、设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<+=0sin 001sin )(x x x x a x b x x x f ,问（1）为何值时，在处有极限存在？b a ,)(x f 0=x （2）为何值时，在处连续？ b a ,)(x f 0=x4、设函数,0,0,0,4sin1,6,arcsin )1ln()(23>=<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧−−+−+=x x x xx ax x e xx ax x f ax问为何值时，在处连续；为何值时，a )(x f 0=x a 0=x 是的可去间断点？)(x f5、设满足条件：)(x f ),(,21+∞−∞∈∀x x ，有)()()(2121x f x f x x f =+且在处连续，求证在上连续。
0=x )(x f ),(+∞−∞6、设xt x xt x f x t sin sin )sin sin (lim )(−→=，求的间断点并判断其类型。
)(x f7、证明：如果为连续函数，则)(x f )(x f 也为连续函数，逆命题成立吗？8、设在区间上连续，若记)()(x g x f 、],[b a )},(),({min )(],[x g x f x φb a x ∈==)(x ψ)}(),({max ],[x g x f b a x ∈证明：在区间上连续。
1按定义证明下列函数在其定义域内连续
间断点。 (4). f ( x) sgn | x | x=0 为 f 的间断点,由 lim sgn | x | lim sgn | x | 1 ， ∴x =0 为 f 的可去间断点。
(5). f ( x) sgn(cos x)
x 0
x 0
2 n =0,1, 2,…为 f 的间断点, 当 n 为奇数， f n 0 1, f n 0 1 2 2 当 n 为偶数， f n 0 1, f n 0 1 2 2
4
x0
) b
3 x 1 2x x 2 1 x 1 x 1 2 9．证明：若 f 在[a, b]上连续，且对x[a, b]，f (x)0，则 f 在[a, b]上恒正，或 恒负。 10．证明：任一实数奇次方程，至少有一根。 11．试用一致连贯的定义证明：若 f, g 都在区间 I 上一致连续，则 f+g 也在 I 上 一致连续。 12．证明 f ( x) x 在 [0,) 上一致连续。 13．证明 f (x)= x2 在[a, b]上一致连续，但在(-,+)上不一致连续。 证：(1). 因为 f (x)= x2 在(-,+)上连续，从而在[a, b]上连续，由闭区间上连续 必一致连续，知 f (x)= x2 在[a, b]上一致连续。 1 1 (2). 对0=1，对>0，取 n，s.t. , x' n ，x”=n，则|x’- x”|< n n 1 x' 2 x"2 2 2 0 n 14. 设 f 在区间 I 上满足利普希茨(Lipschitz)条件，即存在常数 L>0，使得对 I 上任意两点 x’, x”， 都有 | f (x’) - f (x”)| L |x’- x”| 证明 f 在 I 上一致连续。 15．证明 sinx 在(-,+)上一致连续。 16．设 f 在 [a,) 上连续，且 lim f ( x) 存在，证明 f 在 [a,) 上一致连续。
函数的连续性的例题与习题
函数的连续性的例题与习题函数连续性这个内容所涉及到的练习与考试题目,大致有3大类。
第一类就是计算或证明连续性;第二类就是对间断点(或区间)的判断,包括间断点的类型;第三类就是利用闭区间上的连续函数的几个性质(最值性质,零点存在性质),进行理论分析。
下面就这三大类问题,提供若干例题与习题。
还就是那句老话:瞧到题目不要瞧解答,而就是先思考先试着做！这就是与瞧文学小说的最大区别。
要提醒的就是,例题里有不少就是《函数连续性(一)(二)》中没有给出解答的例题,您事先独立做了不？如果没有做,就是不会做好就是根本不想做,还就是没有时间？一.函数的连续例1、1(例1、20(一),这个序号值的就是《函数连续性(一)中的例题号,请对照)设()f x 满足()()()f x y f x f y +=+,且()f x 在0x =连续。
证明:()f x 在任意点x 处连续。
分析:证明题就是我们很多同学的软肋,不知道从何下手。
其实,如果您的基本概念比较清晰,证明题要比计算题号做,因为它有明确的方向,不像计算题,不知道正确的答案就是什么在本题里,要证的就是“()f x 在任意点x 处连续”,那么我们就先固定一个点x ,用函数连续的定义来证明在x 处连续。
您可能要问:函数连续的定义有好几个,用哪一个? 这要瞧已知条件,哪个容易用,就用那一个。
在本题中,提供了条件()()()f x y f x f y +=+,也就就是()()()f x y f x f y +-=,您的脑海里就要想到,如果设y x =∆,那么就有 ()()()y f x x f x f x ∆=+∆-=∆;这个时候,您应该立即“闪过”,要用题目给的第二个条件了:()f x 在0x =连续！它意味着:0lim (0)(0)x f x f ∆→+∆=。
证明的思路就此产生！证明:因为 ()()()f x y f x f y +=+,取0y =,则有 ()()(0)f x f x f =+,所以(0)0f =。
数学分析4.1函数连续性概念(习题)
第四章函数的连续性1 连续性概念(练习)1、按定义证明下列函数在其定义域内连续(1)f(x)=；(2)f(x)=|x|.证：(1)f(x)=的定义域D=(-∞,0)∪(0,+∞)当x,x0∈D时，有=由三角不等式可得：|x|≥|x0|-|x-x0|，∴≤对任给的正数ε，有δ>0，当|x-x0|<δ时，有<δδ∴要使<ε，只要使δδ=ε，即当δ=εε>0时，就有|f(x)-f(x0)|<ε∴f(x)在x0连续. 由x0的任意性知f(x)在其定义域内连续.(2)f(x)=|x|在R上都有定义。
任取x, x0∈R，有||x|-|x0||≤|x-x0|.对任给的正数ε，有δ>0，当|x-x0|<δ时，有||x|-|x0||<δ∴只要取δ=ε，就有|f(x)-f(x0)|<ε∴f(x)在x0连续. 由x0的任意性知f(x)在R连续.2、指出下列函数的间断点并说明其类型(1)f(x)=；(2)f(x)=；(3)f(x)=[|cos x|]；(4)f(x)=sgn |x|；(5)f(x)=sgn(cosx)；(6)f(x)=为有理数为无理数；(7)f(x)=.解：(1)f(x)在x=0间断.∵f(x)在x=0的左右极限都不存在，∴x=0是f(x)的第二类间断点.(2)f(x)在x=0间断.∵==1，== -1，∴x=0是f(x)的跳跃间断点.(3)f(x)在x=nπ间断，(n=0,±1,±2,…)∵=0，=0，∴x=nπ是f(x)的可去间断点. (4)f(x)在x=0间断，∵=1，=1，∴x=0是f(x)的可去间断点.(5)f(x)在x=2kπ±间断，(k=0,±1,±2,…)∵=-1，= 1；= 1，= -1，∴x=2kπ±是f(x)的跳跃间断点.(6)f(x)在x≠0的点间断，且当x0≠0时，f(x)的左右极限都不存在，∴所有x≠0的点都是f(x)的第二类间断点.(7)f(x)在x=-7和x=1间断，∵=-7，不存在，∴x= -7是f(x)的第二类间断点.又=0，=1，∴x=1是f(x)的跳跃间断点.3、延拓下列函数，使其在R上连续(1)f(x)=；(2)f(x)=；(3)f(x)=xcos.解：(1)∵f(x)=在x=2没有定义，且==12；∴延拓函数得F(x)=在R上连续.(2)∵f(x)=在x=0没有定义，且===；∴延拓函数得F(x)=在R上连续.(3)∵f(x)=xcos在x=0没有定义，且=0；∴延拓函数得F(x)=在R上连续.4、证明：若f在x0连续，则|f|与|f2|也在点x0连续. 又问：|f|或f2也在点I连续，那么f在I是否必连续？证：∵f在x0连续，∴∀ε>0，有δ>0，使当|x-x0|<δ时，都有|f(x)-f(x0)|<ε. 又|f(x)-f(x0)|≥||f(x)|-|f(x0)||，∴当|x-x0|<δ时，都有||f(x)|-|f(x0)||<ε.∴|f|在点x0连续.又∵f在x0连续，由局部有界性知，存在M>0及δ1>0，使|x-x0|<δ1时，有|f(x)|<，∀ε>0，有δ2>0，使当|x-x0|<δ2时，都有|f(x)-f(x0)|<ε.取δ’=min{δ1,δ2}，则当|x-x0|<δ’时，有|f2(x)-f2(x0)|= |f(x)-f(x0)||f(x)+f(x0)|≤|f(x)-f(x0)|(|f(x)|+|f(x0)|)<ε·M=ε.∴f2在点x0连续.其逆命题不成立，例如设f(x) =为有理数为无理数；则|f|,f2均为常数函数，∴|f|,f2均为连续函数，但f(x)在R上的任一点都不连续.5、设当x≠0时，f(x)≡g(x)，而f(0)≠g(0). 证明：f与g两者中至多一个在x=0连续.证：若f与g在x=0都连续，则=f(0)；=g(0).又当x≠0时，f(x)≡g(x)，∴=，∴f(0)=g(0)，这与f(0)≠g(0)矛盾，∴f与g两者中至多一个在x=0连续.6、设f为区间I上的单调函数. 证明：若x0∈I为f的间断点，则x0必是f的第一类间断点证：由函数极限的单调有界定理可知，不管f在区间I上单调增还是单调减，f在点x0∈I都有左右极限，∴当f在x0不连续时，x0必是f的第一类间断点。
高等数学B(1)练习题
第一章 函数、极限与连续作 业 题一、计算下列函数极限1.220()lim h x h x h →+-2. 231lim (2sin )x x x x x→∞-++3. 322232lim 6x x x x x x →-++-- 4. 1x →5 3tan sin lim x x xx →- 6 0x →7 21lim 1x x →+∞⎛- ⎪⎝⎭8. 01lim 1cos x x →-9．()2sin 0lim 13xx x →+10.22x →11．()120lim e x xx x -→+ 12.()1lim 123nn nn →∞++13．21sinlim x x →+∞e 1lim e 1nn n →∞-+二、确定下列极限中含有的参数1.2212lim22x ax x bx x →-+=-+-2．(lim 1x x →-∞=三、解答题1.探讨函数,0()(0,0,1,1)0,0x xa b x f x a b a b x x ⎧-≠⎪=>>≠≠⎨⎪=⎩在0x =处的连续性，若不连续，指出该间断点的类型.练 习 题一、单项选择题1.以下结论正确的是 .A. lim 0n n y A ε→∞=⇔∀>，在(,)A A εε-+之外只有{}n y 的有限项B. 设n a y b <<，且lim nn y A →∞=，则有a A b <<C. 收敛数列必有界D. 发散数列必无界 2.若函数()f x 在某点0x 极限存在， 则 . A. ()f x 在点0x 的函数值必存在且等于该点极限值B. ()f x 在点0x 的函数值必存在,但不肯定等于该点极限值C. ()f x 在点0x 的函数值可以不存在D. 若()f x 在点0x 的函数值存在，必等于该点极限值 3.极限0limx xx→= . A. 1 B. 1- C. 0 D. 不存在 4.下列命题正确的是 .A. 无穷小量的倒数是无穷大量B. 无穷小量是肯定值很小很小的数C. 无穷小量是以零为极限的变量D. 无界变量肯定是无穷大量 5.下列变量在给定的改变过程中为无穷小量的是 .A. 1sin(0)x x→ B. 1e(0)xx →C. 2ln(1)(0)x x +→D. 21(1)1x x x -→-6.变量11sin xx.A. 是0x →时的无穷小B. 是0x →时的无穷大C. 有界但不是0x →时的无穷小D. 无界但不是0x →时的无穷大 7.0x =是1()sin f x x x=的 .A. 可去间断点B. 跳动间断点C. 无穷间断点D. 振荡间断点8.函数21,0(),012,12x x f x x x x x ⎧-<⎪=≤≤⎨⎪-<≤⎩.A. 在0,1x x ==处都间断B. 在0,1x x ==处都连续C. 在0x =处连续，1x =处间断D. 在0x =处间断，1x =处连续9.设函数2,0(),0x f x xk x ≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则k = . A. 4 B. 14 C. 2 D. 1210.方程sin 2x x +=有实根的区间为 .A. ,32π⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ,64ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D. ,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭二 、填空题1.0sin lim x x x →= ；sin lim x x x→∞= .2.0sin limsin x x x x x →-=+ ；sin lim sin x x xx x→∞-=+ . 3.21lim 1xx x x →∞-⎛⎫=⎪+⎝⎭； 10lim 12xx x →⎛⎫-= ⎪⎝⎭ . 4.当0x →时，sin3x 是2x 的 无穷小；2sin x x +是x 的 无穷小；1cos sin x x -+是2x 的 无穷小；23e1x x --是2arcsin x 的 无穷小；1(1)1nx +-是xn的 无穷小；32x x -是22x x -的 无穷小. 5.已知0x →时，()12311ax +-与cos 1x -为等价无穷小，则常数a = .6.设2,0()sin ,0a bx x f x bxx x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩ 在0x =处连续，则常数,a b 应满意的关系为 . 7.()sin xf x x=的可去间断点为 ；221()32x f x x x -=-+的无穷间断点为 .8．函数21()23f x x x =--的连续区间是 ．三、计算题1.220e 1lim x x x →-2.0ln(12)lim sin x x x→-3.0x +→4.x →.5.lim x →+∞6. n7.0x → 8.220tan lim e 1x x x x x -→+-9.20sin cos 1lim sin 3x x x x x→+-- 10.()21ln(1)0lim cos x x x +→11．探讨函数11e ,0()ln(1),10x x f x x x -⎧⎪>=⎨⎪+-<≤⎩ 在0x =处的连续性.12.证明方程e 2x x -=在区间(0,2)内至少有一实根.其次章 导数与微分作 业 题1.利用导数定义计算()ln()f x a x =+的导数(1)f '.2.探讨函数1arctan ,0()x x f x x⎧≠⎪=⎨在0x =处的连续性和可导性.求下列函数的导数（3-7小题） 3.21arctan 2ln ln 2y x x x =-+-，求'y4.2sin(21)e x y x -=⋅ ，求'y5.sin 3cos xy x=-，求'y6.1,0xy x x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，求'y7设()f x 可导，计算函数(e )x y f x =+的导数d d y x.求下列函数的二阶导数（8-10小题）8. (ln y x =，求''y9 2e cos x y x =⋅，求''y10.设2(sin )y f x =，其中()f x 二阶可导，求22d d yx.11.已知arctan y x =d d yx12.求曲线35230y y x x ++-=在0x =处的切线方程.13 求由参数方程2ln(1)arctan x t y t t⎧=+⎨=-⎩，所确定的隐函数的二阶导数利用对数求导法求下列函数的导数d d yx.（14-15小题）14.sin x y x =，求'y 15.y ='y求下列函数的微分（16-19小题）16.2ln sin y x x x =+，求dy 17.21cot exy =，求dy18.42ln x y y =+，求dy 19.y x x y =，求dy练 习 题一、单项选择题 1.已知(3)2f '=，则0(3)(3)lim2h f h f h→--= .A ．2 B.2- C.1- D.1 2.()|2|f x x =-在点2x =处的导数是 .A.1B.0C.1-D.不存在 3.设()(1)(2)...()f x x x x x n =+++，则(0)f '= .A.(1)!n -B.nC.!nD.04.()f x 在0x x =处左导数0()f x -'和右导数0()f x +'存在且相等是()f x 在0x x =处可导的 条件.A ．必要非充分 B.充分非必要 C ．充分必要 D. 既非充分又非必要 5.设函数()y y x =由方程3330x y axy +-=所确定，则d d yx= . A.22ay x y - B.22x y ay ax+- C.22ay x y ax -- D.22x ax y - 6.设22()f x y y +=，其中22()f x y +是可导函数，则d d yx= . A.22()f x y '+ B.22222()12()xf x y yf x y '+'-+C.222()()x y f x y '++ D.2222()12()f x y yf x y '+'-+ 7.由参数方程所确定的函数cos sin x a t y b t =⎧⎨=⎩的函数()y y x =的二阶导数22d d yx = .A.2csc bt a - B.32csc b t a -C.2csc b t a D.32csc b t a8.设()y y x =由参数方程2e 321sin 02x t t t y y π⎧=++⎪⎨-+=⎪⎩所确定，则0d d t yx == . A.0 B.12 C.1e sin 2x y D.23二、填空题1.设sin ,0(),0x x f x x x <⎧=⎨≥⎩，则(0)f '= .2.设(0)0f =，(0)f '存在，则0()limx f x x→= . 3.设2,0(),0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，则(0)f +'= ，(0)f -'= ，(0)f ' .4.设2111f x x x⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则()f x '= . 5.设2()y f x =，且()f x 可导，则d d yx= . 6.设()sin cos 22xf x x =+，则(100)()f π= .7.设(ln )y f x =，其中()f x ''存在，则22d d yx= .8.设g 是f 的反函数，且2(4)5,(4)3f f '==，则(5)g '= . 9.d ＝x，d ＝1d x x .10.由方程e 0x y xy ++=所确定的函数()y y x =的微分d y = .三、计算题1.求曲线sin y x =在3x π=处的切线方程和法线方程.2.(ln e x y =+，求'y3.)11y⎫=-⎪⎭，求'y4.a a xa x a y x a a =++，求'y5.cos (sin )x y x =，求'y6.设2()1n f x x x x =++++，计算()(0)n f .7. y =dyarctaney x=，求dy9. .求参数方程e sin cos tx t y t t⎧=⎨=+⎩所确定的函数()y y x =的微分d y .10. .证明：当||x 1x n≈+.第三章 微分中值定理与导数的应用作 业 题一、证明题1. 证明：若()f x 在区间I 内可导，且()0f x '=，则()f x 在区间I 内是一个常数．2.证明方程510x x +-=只有一个正实根.3．证明恒等式arctan arccot 2x x π+=.4.证明：当02x π<<时，sin tan 2x x x +>.二、求下列函数的极限.1.30sin lim ;x x x x →-2.1lim 1ln x x x x x x →--+3.21lim(cos)x x x → 4.1lim (1);xx x →+∞+5.arctan 2lim ;1x x xπ→+∞- 6.2cos lim;2x xx ππ→-三、解答题1. 判定函数)2x (0 cos )(π≤≤+=x x x f 的单调性．2. 证明：当1>x 时，xx 132->．3. 求32 )52(x x y -=的极值点与极值．4. 求函数593)(23+--=x x x x f 在]4,2[-上的最大值与最小值．5. 求曲线31x y =的拐点和凹凸区间．6. 求下列曲线的渐近线(1) 12+-=x x y ； (2) xx y )1ln(+=7. 作函数23)1(22--=x x y 的图形．练 习 题一、证明题1. 已知函数()f x 在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且(1)0f =，证明在(0,1)内至少存在一点ξ使得()()tan f f ξξξ'=-.2．证明：当0a b <<时，ln b a b b ab a a--<<.3. 证明：若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且0)(>'x f ，则)(x f 在],[b a 上严格单增．4. 设01 (21)0=++++n a a a n ，证明多项式n n x a x a a x f +++=...)(10在)1,0(内至少有一个零点．二、求下列函数的极限.1.0e 1lim sin x x x x →-- 2.30sin cos lim sin x x x x x→-3.2ln 2lim tan x x x ππ+→⎛⎫- ⎪⎝⎭ 4.2201lim cot x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭5.sin 0lim(cot )xx x → 6.210arcsin lim xx x x →⎛⎫ ⎪⎝⎭三、解答题1.确定下列函数的单调区间.（1）82y x x=+ （2）23(1)y x x =-2.列表求曲线2ln(1)y x =+的拐点和凹凸区间.4.求函数()(1)e x f x x -=+的极值.5.求函数32()21f x x x x =-+-在[0,2]上的极值，最大值与最小值.6. 设324x y x+=，求：⑴ 函数的增减区间与其极值； ⑵ 函数图象的凹凸区间与其拐点； ⑶ 渐近线； ⑷ 做出其图形.第四章 不定积分 作 业 题一、求下列不定积分： (1) ⎰-dx xx )1(2； (2) ⎰++dx x x 1124；(3) dx xx e e x xx⎰--) 2(3； (4) dx xx ⎰sin cos 122；二、用第一换元法求下列不定积分(1) ⎰xdx x 54cos sin ； (2) )0( 22>-⎰a xa dx ；(3) dx x x x )1(arctan ⎰+； (4) )0( 22≠+⎰a xa dx；三、用其次换元法求下列不定积分 (1) dx x x x ln ln 1⎰+； (2) dx xx x x ln 12⎰++；(3) ⎰-24xx dx ． (4) )0( 22>+⎰a xa dx ．四、用分部积分计算下列不定积分(1) ⎰xdx x ln ； (2) ⎰dx e x x 2；(3) ⎰≠=)0( sin ab bxdx e I ax (4) ⎰dx xe x ．五、求下列不定积分（三角函数、有理式、无理式）(1) ⎰+--+dx x x x x x 223246)1(24； (2) ⎰+)1(24x x dx ；（3）dx xx ⎰ cos sin 32． (4)dx x x xx cos 3sin 2cos 2sin 3⎰++．(5) ⎰-+342)1()1(x x dx； (6) dx xx 14⎰+；练 习 题一、填空题1．设2()ln(1)d f x x x C =++⎰，则()f x = . 2.()d d f x ⎰= .3.设()F x 是()f x 的一个原函数，则()e e d x x f x --⎰＝ .二、单项选择题1．下列等式正确的是 .A ．()()d d f x x f x =⎰B ．()()d f x x f xC '=+⎰C ．()()d f x f x =⎰D ．()()dd d f x x f x C x =+⎰ 2. 曲线()y f x =在点(,())x f x 处的切线斜率为1x ，且过点2(,3)e ，则该曲线方程为 .A ．ln y x =B ．ln 1y x =+C ．211y x=-+ D ．ln 3y x =+3. 设()f x 的一个原函数是2e x -，则()d xf x x '=⎰ . A ．222e x x C --+ B ．222e xx --C ．22(21)e x x C ---+ D ．()()d xf x f x x +⎰三、求下列不定积分1. x2. ⎰xdx x 35sec tan3. dx x x x ⎰++)1(212224. x ⎰5. 23sin cos d x x x ⎰6. 3tan d x x ⎰7.x 8.9.2(1)d xx x -⎰10.d x ⎰11.x ⎰12. 2sin e d xx x ⎰13.x ⎰ 14.21(1)d x x x +⎰第五章 定积分 作业题一、求下列定积分1. 22sec (1tan )40d x x x π+⎰ 2.13-21(115)d x x +⎰3. 122(1)0d x x +⎰ 4.41x ⎰5.221x ⎰ 6.401cos 2d x x x π+⎰7.220sin d x x x π⎰ 8.1cos(ln )ed x x ⎰9.1ex ⎰ 10.2x ⎰二、解答题 1.把极限)221limn n n →∞++表示成定积分．2. 03(sin )lim(1)d e xxx t t tx →--⎰3. 设21,1()1,12x x f x x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，求20()d f x x ⎰与0()()d x x f x x ϕ=⎰.4.设()f x 在(,)-∞+∞上连续，且()(2)()0d xF x x t f t t =-⎰，证明：若()f x 单调不增，则()F x 单调不减．三、定积分的几何应用1.求抛物线243y x x =-+-与其在点()0,3-和()3,0处的切线所围成的图形的面积.2. 设有曲线y =过原点作其切线，求由此曲线、切线与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的体积.3. 计算底面是半径R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的全部截面都是等边三角形的立体体积.练 习 题一、填空题1.依据定积分的几何意义，20d x x =⎰ ，1x -=⎰ ， sin d x x ππ-=⎰ ．2. 设0sin d t x u u =⎰，0cos d t y u u =⎰，则d d y x = . 3．31d d d x x ⎰= .4．设e x x -为()f x 的一个原函数，则10()d xf x x '=⎰ ．5. 设()f x 是连续函数，且2-1()0d x f t t x =⎰，则(7)f = .二、单项选择题1. 定积分()d b a f x x ⎰ ．A ．与()f x 无关B ．与区间[],a b 无关C ．与()d b a f t t ⎰相等D ．是变量x 的函数2．设()f x 在[],a b 上连续，()()d x a x f t t φ=⎰，则 ． A ．()x φ是()f x 在[],a b 上的一个原函数B ．()f x 是()x φ在[],a b 上的一个原函数C ．()x φ是()f x 在[],a b 上唯一的一个原函数D ．()f x 是()x φ在[],a b 上唯一的一个原函数 3.arctan b d d d a x x x=⎰______． A ．arctan x B ．211x + C ．arctan arctan b a - D ．0 4．下列反常积分收敛的是 ．A ．+0e d x x ∞⎰B ．1ln e d x x x +∞⎰C ．1sin 1-1d x x⎰ D ．32+1d x x -∞⎰ 5．211-1d x x=⎰ ．A ．0B ．2C ．－2D ．发散三、计算题1．ln 0x ⎰ 2．)211d x x -⎰3．x ⎰ 4．20sin cos sin cos d x x x x xπ-++⎰5．已知sin ,01(),12x x f x x x ≤≤⎧=⎨<≤⎩，求0()()d x F x f t t =⎰．四、求下列定积分与反常积分1．求1ln e e d x x x ⎰ 2．220cos x x x π⎰d3．1sin(ln )x x ⎰e d 4．244cos e d x x x ππ-⎰5.1x ⎰06．0d e ex x x +∞-+⎰7．322arctan (1)+0d x x x ∞+⎰ 8．+1x ∞⎰五、证明题1．设()f x 是连续函数，证明()()d d b ba a f x x f ab x x =+-⎰⎰六、计算题1．直线y x =将椭圆2236x y y +=分为两部分.设小块面积为A ，大块面积为B ，求A B的值.2．求由曲线1sin y x =+与直线0,0,y x x π===围成的曲边梯形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积．。
函数的连续性练习题及解答
函数的连续性练习题1.证明方程 x −cosx =0 在区间(0.π2)内有实根。
2.函数 y =x 2−1x 2−3x+2 的间断点是 。
3.函数 f (x )=�x −1,当x ≤1时3−x,当x >1时 的间断点是 。
4.函数 f (x )=�3x, 当−1<xx <1时；a, 当x =1时；3x 2, 当1<xx ≤2时在x=1处连续，则a= 。
5.设 f (x )=�sin (x+1)x+1, 当x ≠−1时；2k, 当x =−1时在x=-1处连续，则k= 。
6.函数 f (x )=x 2−x sin πx 的可取间断点的个数为 。
7.函数f (x )=|x|sin (x −1)x (x −1)(x −2)在下列区间有界的是 。
A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D.(2,3)8.设f (x )=arctanx,g (x )=sin2x+π3, 求g{f (−1)]。
9.设 f (x )=lim u →+∞1u ln (ee uu +xx uu ) (xx >0) （1）求f(x)； （2）讨论f(x)的连续性。
10.求下列函数的间断点，并确定所属类型：y =e 1x ∙x+1x −1 。
11.确定常数k，使下面函数f(x)在x=0处连续。
f(x)=�sinx x+xsin1x,x≠0k, x=0。
12.求函数 y=sinx x的间断点，并指出其类型。
13.求函数 y=x2−1x2−5x+4 的间断点，并指出其类型。
14.讨论函数f(x)=lim n→∞1−x2n1+x2n的连续性，若f(x)有间断点，判别其类型。
15.设函数 f(x)=�x, x≤16x−5,x>1 ，试讨论f(x)在x=1处的连续性，并写出f(x)的连续区间。
16.设函数 f(x)=�1+e x,x<0x+2a,x≥0 ，问常数a为何值时，函数f(x)在（-∞，+∞）内连续。
1-8函数的连续性
• 函数的连续性 • 函数的间断点 • 四则运算的连续性 • 反函数与复合函数的连续性 • 初等函数的连续性
一、函数的连续性
1.函数的增量
设函 f(x)数 在 U(x0)内有, 定 xU 义 (x0),
xxx0, 称为自x 变 0的量 增 . 在 量点
y f ( x ) f ( x 0 )称 , f ( 为 x ) 相 函 x 的 应 . 数
定理3 若 lim (x)a,函f数 (u)在a连 点,续 x x0
则l有 im f[ (x) ]f(a)f[lim (x)].
x x0
x x0
意义 1.极限符号可以与函数符号互换;
2.变量(u 代 (换 x)的 ) 理论 . 依据
例1 求limln1(x).
x0
x
1
解 原式 lilm n 1(x)x x 0
2
2
对任,意 当 的 0时 , 有 si n,
故y2sin xx, 当 x 0 时 , y 0 . 2
即 函 y 数 six 对 n x 任 (,意 )都 是 . 连
二、函数的间断点
函数 f(x)在点 x0处连续必须满条 足件 :的三
(1)f(x)在x点 0处有;定义 (2)limf(x)存在 ;
在(,)内单调且 ; 连续
★ 对y 数 lo x函 g ( a 0 ,a 数 1 ) a 在(0,)内单调且; 连续
★ y x a
loagx
yau, uloax g.
在 (0,)内连 , 续 讨论 不同, 值
(均在其定义域内连续 )
定理5 基本初等函数在定义域内是连续的.
定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连 续的.
第1章函数的连续性习题集及答案
第一章 习题三 函数的连续性一. 选择题1．设函数)(x f 在点0x 处右连续且0)(0>x f ，则下列结论不正确的是（ C ） （A ）在某个),[0b x 上有0)(>x f ； （B ）在某个),[0b x 上)(x f 有界； （C ）在某个)(0x U 上有0)(>x f ； （D ）在某个],[0b x 上)(x f 有界． 2．下列结论正确的是（ B ）（A ）若)(x f 在点0x 处有定义且极限存在，则)(x f 在0x 处必连续；（B ）若)(x f 在点0x 处连续，)(x g 在点0x 处不连续，则)()(x g x f +在点0x 处必不连续；（C ）若)(x f 与)(x g 点0x 处都不连续，则)()(x g x f +在点0x 处必不连续； （D ）若)(x f 在点0x 处连续，)(x g 在点0x 处不连续，则)()(x g x f ⋅在点0x 处必不连续．3．函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=--1,01,)(11x x e x f x 在1=x 处（ C ）（A ）连续； （B ）左连续； （C ）右连续； （D ）左右都不连续． 4．0=x 是函数21cos x xx +的（ B ）（A ）连续点； （B ）可去间断点； （C ）无穷间断点； （D ）振荡间断点．5．函数3()sin x x f x xπ-=的可去间断点的个数为（ C ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）46．函数()f x = B ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 7．函数11()tan ()()xx e e x f x x e e +=-在[],ππ-上的第一类间断点是（ A ）（A ）0x = （B ）1x = （C ）2x π=- （D ）2x π=8．函数2sin(2)()(1)(2)x x f x x x x -=--在下列哪个区间有界：（ A ）（A ）(1,0)- （B ）(0,1) （C ）(1,2) （D ）(2,3)二．填空题1．设)1ln(1)(x xx f -=，要使)(x f 在0=x 处连续，则需补充定义___________(0)1f =-．2．设函数tan 21,0()arcsin 2,0xxe x xf x ae x ⎧->⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩在0x =处连续，则________2a =-3．2ln(1)0___________sin limcos(21)1x xx x xπ++→+-=-． 4．0___________1)0x →=． 5．若)(x f 在1=x 处连续，且112)(lim 1=--→x x f x ，则___________(1)2f =． 6．已知函数()f x 连续，且[]21cos ()lim1(1)()x x xf x e f x →-=-，则______(0)2f =7．函数65ln )(2-+=x x x x f 的全部间断点共有 3 个，它们是 1,0,6 -．8．函数2sin ()lim1(2)nn xf x x π→∞=+的间断点的个数为_______2. 9．设2(1)()lim 1n n xf x nx →∞-=+，则()f x 的间断点为_________0x =。
高数极限习题测验及答案
练习题1. 极限xx x x x x x x xx x x x x x 1lim)4(11lim)3(15865lim )2(31lim )1(2312232---+-+-+++-∞→→→∞→(5) 已知011lim 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--++∞→b ax x x x , 求常数a , b .(6) x x x x sin 1sin lim 20→ (7) 211lim 22x x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-∞→(8) xx x21lim 0-→ (9)x x x sin )31ln(lim 0-→(10)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∞→1lim 1xx e x2. 函数的连续性(1) 确定b 的值, 使函数⎩⎨⎧<≥+==-002)(1x e x b x x f y x 在x =0点连续.(2) 确定a , b 的值, 使函数1lim)(2212+-+==-∞→nn n x bxax xx f y 在整个实数轴上连续.(3) 讨论下列函数的连续性, 并判断其间断点的类型.①x xx f sin )(=② ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+-=0001212)(11x x x f xx3. 连续函数的性质 (1) 设1)(1-+++=-x xx x f n n ,证明：)(x f 有一个不大于1的正根.(2) 若),()(∞+-∞∈C x f , 且A x f x =∞→)(lim , 证明: ),()(∞+-∞在x f 内有界.提高1º),()(∞+-∞在x f 内至少有一个最值存在. 2º 对于最值与A 间的任意值C , 存在21,ξξ, 使得C f f ==)()(21ξξ.2. 函数的连续性(1) 确定b 的值, 使函数⎩⎨⎧<≥+==-002)(1x ex b x x f y x在x =0点连续.解:1)(lim )(lim )0(-→→====-+e x f b x f f x x(2) 确定a , b 的值, 使函数1lim)(2212+-+==-∞→nn n x bxax xx f y 在整个实数轴上连续.解:⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=++-=-+<->==121121111)(2x b a x ba x bx ax x x x f yb a x f x f b a f x x -====-+=-+→→)(lim 1)(lim 21)1(11 b a x f x f b a f x x +==-==++-=--→-→-)(lim 1)(lim 21)1(_111,0-==b a(3) 讨论下列函数的连续性, 并判断其间断点的类型.①x x x f sin )(=解: x =0为可去间断点.②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+-=0001212)(11x x x f xx解:1)(lim 1)(lim 0-=≠=-+→→x f x f x x , x =0为跳跃间断点.3. 连续函数的性质 (1) 设1)(1-+++=-x xx x f n n ,证明：)(x f 有一个不大于1的正根.解: 若n=1, 则显然有解x =1. 若n>1, 则01)1(,01)0(>-=<-=n f f , 由零点定理可知在(0, 1)内至少有一个根..(2) 若),()(∞+-∞∈C x f , 且A x f x =∞→)(lim , 证明: ),()(∞+-∞在x f 内有界.解: 由A x f x =∞→)(lim 可知: 0>∃X , 当X x >时, 1)(<-A x f , 故1)(+<A x f由),()(∞+-∞∈C x f 可知]1,1[)(+--∈X X C x f , 故01>∃M ,当1+<X x 时, 1)(M x f <取}1,max{1+=A M M 即可.提高1º),()(∞+-∞在x f 内至少有一个最值存在. 2º 对于最值与A 间的任意值C , 存在21,ξξ, 使得C f f ==)()(21ξξ.证明: 若A x f ≡)(, 则显然结论成立.设存在A x f >)(0, 则存在X >0, 当X x ≥时, 有2)()(0Ax f A x f -<- 于是: )(2)()(00x f A x f x f <+< 由],[)(X X C x f -∈, 可知存在],[X X -∈ξ{})(],[:)(max )(0x f X X x x f f ≥-∈=ξ从而),()(∞+-∞在x f 内有最大值)(ξf .对于任意的C , )(ξf C A <<, 存在X 1>0, 当1X x ≥时, 有 C AC x f <+<2)( 于是有CAC X f <+<±2)(1. 分别在闭区间],[],,[11X X ξξ-上使用介值定理即可得结论2º.。
函数的连续性与间断点
x x0
定义2 设函数f (x)在点x0的某一邻域内有定义，如果
x x0
lim f ( x )
f (x )
0
那么称函数f (x)在点x0连续. 注 函数f (x)在点x0连续的要点：
函数f (x)在点x0的某一邻域内有定义 lim f ( x )存在
x x0
x 0
lim y lim f ( x0 x) f ( x0 ) 0
x0 , x0 内有界.
定理 函数 y f ( x )在 x0处连续,且 f ( x0 ) 0, 则 0 使y=f (x)在 x0 , x0 内恒有 f ( x ) 0.
一、函数的连续性
（一）函数在一点处连续的概念
（二）函数在区间上连续的概念
(8)
a x ab lim x b x b
bx ln( 1 3 x ) lim x ln( 1 2 x )
x
(补) lim x 0 (11)
a
a
x2
b
x2
2
ln( 1 3 x ) (10) lim x ln( 1 2 x )
常用等价无穷小：
函数f (x)在点x0的某一邻域内有定义 lim f ( x )存在
x x0 x x0
lim f ( x ) f ( x0 )
（一）函数在一点处连续的概念
1．定义1
2．定义2
3．定义3
4．左连续与右连续 5．性质
（一）函数在一点处连续的概念
1．定义1
2．定义2
3．定义3
4．左连续与右连续 5．性质
lim
lim
1 x sin x 1 e 1 x
函数的一致连续性
在区间X上一致连续 注3:f(x)在区间 上一致连续，区间 ⊂X,则f(x)在区间 在区间 上一致连续，区间E⊂ 则 在区间 E上一致连续 上一致连续. 上一致连续
数学分析选讲
多媒体教学课件
函数f(x)=x2在区间 在区间[0,b]上一致连续，其中 是一 上一致连续， 例1 函数 上一致连续 其中b是一 个正常数,而在区间 上非一致连续. 个正常数 而在区间[0,+∞)上非一致连续 而在区间 ∞ 上非一致连续 证明：对任意ε 对任意x 证明：对任意ε>0 ,对任意 ′,x″∈[0,b] ,由于 对任意 由于
因此
| f ( xn ) − f ( xm ) |< ε
是基本列,由柯西准则 收敛.由归结原则 故{f(xn)}是基本列 由柯西准则 是基本列 由柯西准则,{f(xn)}收敛 由归结原则 收敛 由归结原则, f(a+0)存在且有限 同理可证 存在且有限.同理可证 存在且有限. 存在且有限 同理可证f(b-0)存在且有限 存在且有限
f ( a + 0), f ( b − 0)
存在且有限. 存在且有限 证明：[充分性 设 充分性]设 证明： 充分性
x=a f (a + 0), F ( x ) = f ( x ), a< x<b f (b − 0), x=b
数学分析选讲
多媒体教学课件
在闭区间[a,b]上连续 从而一致连续 因此 上连续,从而一致连续 因此F(x)在开区 则F(x)在闭区间 在闭区间 上连续 从而一致连续.因此 在开区 上一致连续， 在开区间(a,b)上一致连续 上一致连续. 间(a,b)上一致连续，即f(x)在开区间 上一致连续 在开区间 上一致连续 [必要性 即f(x)在开区间 必要性] 在开区间(a,b)上一致连续 则对任意 上一致连续,则对任意 必要性 在开区间 上一致连续 ε>0,存在δ>0,对任意 ′,x″∈(a,b ),当|x′-x″ |< δ时,有 存在δ 对任意 对任意x 存在 当 有
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（三）介值定理
（四）应用
（一）有界性与最大值最小值定理 （二）零点定理
（三）介值定理
（四）应用
定理 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取 不同的函数值f(a)=A及f(b)=B，则对于A与B之间的任意 一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得 f(ξ)=C (a<ξ<b) 几何意义 连续曲线弧y=f(x)与水平直线y=C至少 相交于一点.
第十节、闭区间上连续函数的性质 （一）有界性与最大值最小值定理 （二）零点定理
（三）介值定理
（四）应用
（一）有界性与最大值最小值定理 （二）零点定理
（三）介值定理
（四）应用
最值概念 设f(x)在区间I上有定义，如果存在x0∈I，使得 对任一x∈I，恒有
f ( x ) f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 )
（一）辨析题
（二）间断点的判定
（三）分段函数的连续性 （四）确辨析题
（二）间断点的判定
（三）分段函数的连续性 （四）确定常数
（五）证明题
例1 判断下列说法的正确性
(1)
(2)
f ( x )在 x0处连续，| f ( x ) | 在 x0 处也连续.
f f ( x ) 在 x 0 处连续，
( x ) 在 x0 处也连续.
g ( x )在 x0处不连续 (3) f ( x )在 x0 处连续， f ( x ) g( x ) 在 x0处一定不连续. g ( x ) 在 x0处不连续 (4) f ( x )在 x0处不连续， f ( x ) g( x )在 x0处一定不连续.
(5) f ( x ) 在 a , b 上不连续，则 f ( x ) 在 a , b 上无界
y
y f ( x)
推论
B C A
在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)的值域 o a 为闭区间[m,M],其中m与M依次为f(x)
b x
在[a,b]上的最小值与最大值.
（一）有界性与最大值最小值定理 （二）零点定理
（三）介值定理
（四）应用
（一）有界性与最大值最小值定理 （二）零点定理
（三）介值定理
x 1 0 x 1 y 1 x 1 x 3 1 x 2
y
2
x 在[0,2]上
o
1
2
x
（一）有界性与最大值最小值定理 （二）零点定理
（三）介值定理
（四）应用
（一）有界性与最大值最小值定理 （二）零点定理
（三）介值定理
（四）应用
如果x0使f(x0)=0，那么x0称为函数f(x)的零点. 定理
则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）.
注 (1) 最大值可以等于最小值 (2) 函数在区间I上可能取不到最值 定理
在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的
最大值和最小值.
几何意义
y
o a 注 定理的条件是重要的 例 y y= x 在(1,2)内 o 1
1
2 bx
(6) 一切初等函数在其定义域内连续.
二、题型练习
（一）辨析题
（二）间断点的判定
（三）分段函数的连续性 （四）确定常数
（五）证明题
二、题型练习
（一）辨析题
（二）间断点的判定
（三）分段函数的连续性 （四）确定常数
（五）证明题
思路
初等函数
找间断点 分段函数 判类型 求极限
间断点 间断点
无定义的点 无定义的点 分段点（嫌疑）
二、题型练习
连续的概念 定义
x 0 x 0
注意
优点
lim y
lim [ f ( x0 x ) f ( x0 )] 0
左连续
x x0
x是变量
直观、 便于分析
lim f ( x ) lim f ( x ) f ( x0 )
x x0
三个要点
自然、 便于应用
（四）应用
例
证明方程 x 3 4 x 2 1 0 在区间(0,1)内至少 有一个实根.
例 若f (x)在 ( ,)内连续,且lim f ( x )存在,则
x
f (x)在 ( ,)内有界.
函数的连续性习题课
一、内容小结
二、题型练习
函数的连续性习题课
一、内容小结
初等函数的连续性
连续函数经过四则运算仍连续 连续函数经过复合运算仍连续
基本初等函数在定义域内连续 初等函数 在其定义区间内连续
闭区间上连续函数的性质 有界性与最大值最小值定理
零点定理与介值定理
函数的连续性习题课
一、内容小结
二、题型练习
函数的连续性习题课
一、内容小结
二、题型练习
二、题型练习
1 f ( x) ln x
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号（即
f(a)· f(b)<0)，则在开区间(a,b)内至少有一点ξ使f(ξ)=0. 几何意义 如果连续曲线弧y=f(x)的两个端点 位于x轴的不同侧，那么这段曲线弧 y
与x轴至少有一个交点. o
a ξ b x
（一）有界性与最大值最小值定理 （二）零点定理
有定义的开区间
求连续区间 讨论分段点的连续性
合并
例2 确定下列函数的间断点,判断类型,并求连续区间
1 1 1 (1) f ( x ) x 1 x 1 x 1 x
讨论全面
(2) f ( x ) ( x 1) sin x 2
( x 1) x
讨论左右极限
x=0也是间断点
(3)
右连续
0, 0 当| x x0 | 时
| f ( x ) f ( x0 ) |
x可以等于 x 0
清晰、便于论证
间断的概念与分类 概念
f ( x) 在 x0 处没有定义 f ( x) 在 x0 处有定义 但 lim f ( x) 不存在 f ( x) 在 x0 处有定义 lim f ( x) 存在 但lim f ( x ) f ( x0 )
x x0
x x0
x x0
分类 第一类间断点 f ( x0 ) 和 f ( x0 ) 间断点 都存在
可去间断点 f ( x0 ) f ( x0 ) 跳跃间断点 f ( x0 ) f ( x0 )
无穷间断点
第二类间断点 振荡间断点 f ( x0 )和 f ( x0 ) 至少一个不存在