微积分基本知识

微积分基本知识

第一章、 极限与连续

一、 数列的极限 1． 数列 定义：

按着正整数的顺序排列起来的无穷多个数

1,,,n x x K L 叫数列，记作{}n x ，并吧每个数叫做数列的项，第n 个数叫做数列的第n 项或通项 界的概念：

一个数列{}n x ，若0M ∃>，..s t 对*n N ∀∈，都有n x M ≤，则称{}n x 是有界的： 若不论M 有多大，总*m N ∃∈，..s t m x M >，则称{}n x 是无界的 若n a x b ≤≤，则a 称为n x 的下界，b 称为n x 的上界

{}n x 有界的充要条件：{}n x 既有上界，又有下界

2． 数列极限的概念 定义：

设{}n x 为一个数列，a 为一个常数，若对∀0ε>，总∃N ,..s t 当n N >时，有

n x a ε-< 则称a 是数列{}n x 的极限，记作lim n n x a →∞

=或()n x a n →→∞

数列有极限时，称该数列为收敛的，否则为发散的 几何意义：

从第1N +项开始，{}n x 的所有项全部落在点a 的ε邻域(,)a a εε-+

3． 数列极限的性质

①唯一性 ②收敛必有界 ③保号性：极限大小关系⇒数列大小关系（n N >时） 二、 函数的极限 1.定义：两种情形

①0x x →：设()f x 在点0x 处的某去心邻域内有定义，A 为常数，若对0ε∀>，

0δ∃>，..s t 当00x x δ<-<时，恒有()f x A ε-<成立， 则称()f x 在0x x →时有

极限A

记作0

lim ()x x f x A →=或0()()f x A x x →→

几何意义：对0ε∀>，0δ∃>，..s t 当00x x δ<-<时，()f x 介于两直线y A ε=± 单侧极限：设()f x 在点0x 处的右侧某邻域内有定义，A 为常数，若对0ε∀>，0δ∃>，..s t 当00x x δ<-<时，

恒有()f x A ε-<成立，称()f x 在0x 处有右极限A ， 记作0

lim ()x x f x A +

→=或0

()f x A +

= 0

lim ()x x f x A →=的充要条件为：0

0()()f x f x +-==A 垂直渐近线：当0

lim ()x x f x →=∞时，0x x =为()f x 在0x 处的渐近线

②x →∞：设函数()f x 在0x b ≥≥上有定义，A 为常数，若对0ε∀>，,..X b s t ∃>当x X >时，有()f x A ε-<成立，则称()f x 在x →∞时有极限A ，记作

lim ()x f x A →∞

=或()()f x A x →→∞

lim ()x f x A →∞

=的充要条件为：lim ()lim ()x x f x f x A →+∞

→-∞

==

水平渐进线： 若lim ()x f x A →+∞

=或lim ()x f x A →-∞

=，则y A =是()f x 的水平渐近线

2.函数极限的性质：

①唯一性 ②局部有界性 ③局部保号性（②③在当00x x δ<-<时成立） 三、 极限的运算法则

1． 四则运算法则

设()f x 、()g x 的极限存在，lim (),lim ()f x A g x B ==则 ①lim ()()f x g x A B ±=± ②lim[()()]f x g x AB = ③()lim

()f x A

g x B

= （当0B ≠时） ④lim ()cf x cA = （c 为常数） ⑤lim[()]k k f x A = （k 为正整数） 2． 复合运算法则

设[()]y f x ϕ=，若0

lim ()x x x a ϕ→=，则0

lim [()]()x x f x f a ϕ→=

可以写成0

lim [()][lim ()]x x x x f x f x ϕϕ→→= （换元法基础）

四、极限存在准则及两个重要极限 1．极限存在准则 ①夹逼准则

设有三个数列{}n x ，{}n y ，{}n z ，满足

n n n y x z ≤≤ ， lim lim n n n n y z a →∞

→∞

== 则lim n n x a →∞

=

②单调有界准则 有界数列必有极限 3． 重要极限

①0sin lim 1x x x →= ②1lim 1x

x e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭

或()1

0lim 1x x x e →+= 五、无穷大与无穷小 1．无穷小：

在自变量某个变化过程中lim ()0f x =，则称()f x 为x 在该变化过程中的无穷小 ※ 若()0f x =，则()f x 为x 在所有变化过程中的无穷小

若()f x ε=，则()f x 不是无穷小 性质：1.有限个无穷小的代数和为无穷小 2.常量与无穷小的乘积为无穷小 3.有限个无穷小的乘积为无穷小

4.有极限的量与无穷小的乘积为无穷小

5.有界变量与无穷小的乘积为无穷小

定理：lim ()f x A =的充要条件是()()f x A x α=+，其中()x α为x 在该变化中过程中的无穷小

无穷小的比较：(趋于0的速度的大小比较)

(),()x x ααββ==，为同一变化过程中的无穷小

若lim

c α

β

=（0c ≠常数） 则α是β的同阶无穷小 （当1c =时为等价无穷小） 若lim

k

c α

β=（0c ≠常数） 则α是β的k 阶无穷小 若lim

0α

β

= 则α是β的高阶无穷小 常用等价无穷小：(0x →)sin tan arcsin arctan ln(1)1x x x x x x x e +-::::::；