2010中考数学专题复习——等腰三角形

中考数学专题复习——等腰三角形一．选择题1．(2008年沈阳市)若等腰三角形中有一个角等于50，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ） A ．50B ．80C ．65或50D ．50或802．(2008年大庆市)如图，将非等腰ABC △的纸片沿DE 折叠后，使点A 落在BC 边上的点F 处．若点D 为AB 边的中点，则下列结论：①BDF △是等腰三角形；②DFE CFE ∠=∠；③DE 是ABC △的中位线，成立的有（ ） A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③3．(2008年大庆市)如图，在ABC △中，AC BC AB =>，点P 为ABC △所在平面内一点，且点P 与ABC △的任意两个顶点构成PAB PBC PAC △，△，△均是．．等腰三角形，则满足上述条件的所有点P 的个数为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．74．（2008四川内江）如图，在Rt ABC △中，90C =∠，三边分别为a b c ，，， 则cos A 等于（ ）A ．a cB ．a bC ．b aD ．b cC Ba cbCBAAC5．(2008 台湾)如图， ABC 中，D 、E 两点分别在AC 、BC 上，则AB =AC ，CD =DE 。

若∠A =40︒， ∠ABD ：∠DBC =3：4，则∠BDE =？( )(A) 25︒ (B) 30︒ (C) 35︒ (D) 40︒6．（2008湖北黄石）．如图，在等腰三角形ABC 中，120ABC ∠=，点P 是底 边AC 上一个动点，M N ，分别是AB BC ，的中点，若 PM PN +的最小值为2，则ABC △的周长是（ ）A ．2B．2+C ．4D．4+7.(2008安徽)如图，在ABC △中，5AB AC ==，6BC =，点M 为BC 的中点，MN AC ⊥于点N ，则MN 等于（ ） A ．65B ．95C ．125D ．1658．(2008新疆乌鲁木齐市)某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，则它的周长为（ ） A ．9cm B ．12cm C ．15cm D ．12cm 或15cm9．(2008云南省)已知，等腰三角形的一条边长等于6，另一条边长等于3，则此等腰三角形的周长是（ ）A ．9B ．12C ．15D ．12或1510．(2008山东济宁)如图，ABC △是等腰直角三角形，BC 是斜边，将ABP △绕点A 逆时针旋转后，能与ACP '△重合，如果3AP =，那么PP '的长等于（ ） A． B．C． D．二．填空题1．（08山东省日照市）如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作AB C PM NCDBA正三角形ABC 和正三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ．以下五个结论：① AD =BE ； ② PQ ∥AE ； ③ AP =BQ ； ④ DE =DP ； ⑤ ∠AOB =60°．恒成立的有______________（把你认为正确的序号都填上）．2．（2008年山东省临沂市）如图，以等腰三角形AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA 1，再以等腰直角三角形ABA 1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A 1BB 1，……，如此作下去，若OA ＝OB ＝1，则第n 个等腰直角三角形的面积S n ＝________。

B 1B 2A 1A OB３．（2008湖北孝感）如图，AB=AC ，0120BAC ∠=，AB 的垂直平分线交BC 于点D ，那么ADC ∠= 。

４．（2008浙江湖州）已知等腰三角形的一个角为70°，则它的顶角为 度.5．（08山东省日照市）如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ．以下五个结论：ADCEFB① AD =BE ； ② PQ ∥AE ；③ AP =BQ ； ④ DE =DP ； ⑤ ∠AOB =60°．恒成立的有______________（把你认为正确的序号都填上）（答案）． 6．（2008江苏南京）若等腰三角形的一个外角为70°，则它的底角为 ▲ 度. 7．（2008江苏宿迁）等腰三角形的两边长分别是3和7，则其周长为______．8.（2008 江西）如图，有一底角为35°的等腰三角形纸片，现过底边上一点，沿与底边垂直的方向将其剪开，分成三角形和四边形两部分，则四边形中，最大角的度数是 ．9．（2008年湖南省邵阳市）如图（十一），已知ABC △中，AB AC =，AD 平分BAC ∠，点E 为AC 的中点，请你写出一个正确的结论： ．10.（2008湖南益阳市） 如图5，在△ABC 中，AB =AC ，AD 是BC 边上的高，点E 、F 是AD的三等分点，若△ABC 的面积为12cm 2，则图中阴影部分的面积是 cm 2.AEC DB图（十一）35°AC E DO PQ11．（2008广东肇庆市）如图3，P 是∠AOB 的角平分线上的一点，PC ⊥OA 于点C ，PD ⊥OB 于点D ，写出图中一对相等的线段（只需写出一对即可） .三．简答题1.（08浙江温州）文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，写出“已知”，“求证”（如图），她们对各自所作的辅助线描述如下： 文文：“过点A 作BC 的中垂线AD ，垂足为D ”； 彬彬：“作ABC △的角平分线AD ”．数学老师看了两位同学的辅助线作法后，说：“彬彬的作法是正确的，而文文的作法需要订正．”（1）请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里． （2）根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程．2.（08浙江宁波）（1）如图1，ABC △中，90C ∠，请用直尺和圆规作一条直线，把ABC △分割成两个等腰三角形（不写作法，但须保留作图痕迹）．（2）已知内角度数的两个三角形如图2、图3所示．请你判断，能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三角形？若能，请写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数．BCFE 图53.(2008年沈阳市)已知：如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，且点B A D ，，在一条直线上，连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点．（1）求证：①BE CD =；②AMN △是等腰三角形．（2）在图①的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立； （3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED 交线段BC 于点P ．求证：PBD AMN △∽△．4.(2008 广东)（1）如图7，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小；（2）如图8，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠)，求∠AEB 的大小.已知：如图，在ABC △中，B C ∠=∠． 求证：AB AC =．ABC EN DA BM图①CAE M BDN 图②C B OD 图7 A B A O D CE 图85.(2008 湖南 益阳)如图，在△ABC 中，AB =BC =12cm ，∠ABC =80°，BD 是∠ABC 的平分线，DE ∥BC .(1)求∠EDB 的度数；(2)求DE 的长.6.(2008新疆乌鲁木齐市)在一次数学课上，王老师在黑板上画出图6，并写下了四个等式： ①AB DC =，②BE CE =，③B C ∠=∠，④BAE CDE ∠=∠．要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出AED △是等腰三角形．请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由．（写出一种即可）已知：求证：AED △是等腰三角形．7.（2008湖北宜昌市）如图，某种雨伞的伞面可以看成由12块完全相同的等腰三角形布料缝合而成.量得其中一个三角形OAB 的边OA=OB=56cm. （1）求∠AOB 的度数；（2）求△OAB 的面积.（不计缝合时重叠部分的面积）等腰三角形答案一．选择题A BCD E B EDA C1.D2.B3.B4.D5.B6. D7.C8.C9.C 10.A 二.填空题1. ①②③⑤．2.22-n3. 060 4. 40 5. ①②③⑤ 6. 110°或35°7. 178. 125 9.答案不唯一．例如：B C ∠=∠ 10. 6 11. PC =PD三.解答题1. 解：（1）只要合理即可．（2）证明：作ABC △的角平分线AD ，则BAD CAD ∠=∠， 又B C ∠=∠，AD AD =， ABD ACD ∴△≌△，AB AC ∴=．2. 解：（1）如图，直线CM 即为所求3分（作图正确，不写结论不扣分） （2）图2能画一条直线分割成两个等腰三角形， 4分 分割成的两个等腰三角形的顶角分别是132和84． 5分 图3不能分割成两个等腰三角形． 6分3. 证明：（1）①BAC DAE ∠=∠ BAE CAD ∴∠=∠AB AC =，AD AE = ABE ACD ∴△≌△BE CD ∴=································ 3分 ②由ABE ACD △≌△得ABE ACD ∠=∠，BE CD =M N ，分别是BE CD ，的中点，BM CN ∴=················ 4分 又AB AC = ABM ACN ∴△≌△AM AN ∴=，即AMN △为等腰三角形 ···················6分 （2）（1）中的两个结论仍然成立． ······················ 8分 （3）在图②中正确画出线段PD由（1）同理可证ABM ACN △≌△ CAN BAM ∴∠=∠ BAC MAN ∴∠=∠ 又BAC DAE ∠=∠MAN DAE BAC ∴∠=∠=∠ AMN ∴△，ADE △和ABC △都是顶角相等的等腰三角形 ·········· 10分 PBD AMN ∴∠=∠，PDB ADE ANM ∠=∠=∠ PBD AMN ∴△∽△ 12分 4. 解：（1）如图7.∵ △BOC 和△ABO 都是等边三角形，且点O 是线段AD 的中点，∴ OD=OC=OB=OA,∠1=∠2=60°, ∴ ∠4=∠5. 又∵∠4+∠5=∠2=60°, ∴ ∠4=30°同理，∠6=30°.∵ ∠AEB=∠4+∠6,图7ODC A∴ ∠AEB=60°.（2）如图8.∵ △BOC 和△ABO 都是等边三角形， ∴ OD=OC, OB=OA,∠1=∠2=60°， 又∵OD=OA,∴ OD ＝OB ，OA ＝OC ， ∴ ∠4=∠5，∠6=∠7. ∵ ∠DOB=∠1+∠3, ∠AOC=∠2+∠3, ∴∠DOB=∠AOC.∵ ∠4+∠5+∠DOB=180°, ∠6+∠7+∠AOC=180°,∴ 2∠5=2∠6, ∴ ∠5=∠6.又∵ ∠AEB=∠8-∠5， ∠8=∠2+∠6， ∴ ∠AEB ＝∠2＋∠5－∠5＝∠2， ∴ ∠AEB ＝60°. 5.解：（1）∵DE ∥BC ，∴∠EDB ＝∠DBC ＝︒=∠4021ABC（2）∵AB ＝BC ， BD 是∠ABC 的平分线，∴D 为AC 的中点 ∵DE ∥BC ，∴E 为AB 的中点，∴DE ＝cm AB 621= 6. 证明：在ABE △和DCE △中，B C AEB DEC AB DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABE DCE ∴△≌△ AE DE ∴=，即AED △是等腰三角形7. 解：（1）∠AOB=360°÷12=30° （2）在Rt △BOD 中，∠AOB=30°，∴BD=21OB=28. ∴S △OAB =21×OA ×BD=21×56×28=784（cm 2）谢谢大家图88765421EO DCBA3。