傅里叶级数PPT课件
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傅里叶ppt课件
t0的 傅 氏 变 换 及 其 t0
积 分 表 达 式 ,其 中 0.
F()f(t)ejtdt
etejtdte(j)tdt 1
0
0
j
j 2 2
f(t)21 F()ejtd21 2 j2ejtd
10cos2t 2sintd
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33
因此
0
cost sint
0
2 2
0
0
其中
+
+
A () f() c o sd , B () f() s i nd .
(2.3)
(2.2) 是 f(t) 的傅里叶积分公式的三角形式
f(t) A(),B()
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20
傅里叶积分定理：若函数 f(t) 在区间 (,+) 上满足条件
(1) 在任意有限区间满足狄里克雷条件,
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40
(5)
F [ej0tf(t)]F(0)
像函数的 位移性质
F[ej0t f(t)] f(t)ej(0)tdt F(0).
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41
(6) 卷积定理 原函数的卷积与像函数的乘积间的关系
F[f1(t)]F1(), F[f2(t)]F2()
F [f1 ( t) f2 ( t) ] F 1 ()F 2 ()
kt
l
,
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10
偶函数 f(x) 有
f(t)a0
2
+
ak
k1
coskt,
l
ak
1 l
l f ( ) cos k d ,
l
l
bk
1 l
l f ( ) sin k d .
高等数学课件--D12_7傅里叶级数
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π
2012-10-12
同济版高等数学课件
0
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2 ( cos n π 1) n π
2
4 ( 2 k 1) π
2
, n 2k 1
n 2k ( k 1 , 2 , )
0
,
π
π 2
1
π π
f ( x ) sin nx d x
1 5
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定理 1. 组成三角级数的函数系 正交 , 即其中任意两个不同的函数之积在 上的积分等于 0 . 证: π 1 cos nx d x π 1 sin nx d x 0
π π
π cos k x cos nx d x
1 2 π
π
cos( k n) x cos( k n) x d x 0
f ( x) a0 2 (an cos nx bn sin nx)
n 1
①
右端级数可逐项积分, 则有 ② 证: 由定理条件, 对①在
π
逐项积分, 得
π π
f ( x) d x 2 d x an cos nx d x bn sin nx d x n 1 π π π π a0
2012-10-12 同济版高等数学课件
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f ( x)
4 π
sin x
sin 3 x 3
sin 5 x 5
sin 7 x 7
sin 9 x 9
]
说明: 1) 根据收敛定理可知,
1 1 2
y
1
π
2012-10-12
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2 ( cos n π 1) n π
2
4 ( 2 k 1) π
2
, n 2k 1
n 2k ( k 1 , 2 , )
0
,
π
π 2
1
π π
f ( x ) sin nx d x
1 5
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定理 1. 组成三角级数的函数系 正交 , 即其中任意两个不同的函数之积在 上的积分等于 0 . 证: π 1 cos nx d x π 1 sin nx d x 0
π π
π cos k x cos nx d x
1 2 π
π
cos( k n) x cos( k n) x d x 0
f ( x) a0 2 (an cos nx bn sin nx)
n 1
①
右端级数可逐项积分, 则有 ② 证: 由定理条件, 对①在
π
逐项积分, 得
π π
f ( x) d x 2 d x an cos nx d x bn sin nx d x n 1 π π π π a0
2012-10-12 同济版高等数学课件
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f ( x)
4 π
sin x
sin 3 x 3
sin 5 x 5
sin 7 x 7
sin 9 x 9
]
说明: 1) 根据收敛定理可知,
1 1 2
y
1
高等数学-第七版-课件-12-7 傅里叶级数
在 例3 将函数
上的傅里叶展开式
u
展开成傅里叶级数, 其中E 是正的常数 . O t
傅里叶级数
一、三角级数 二、函数展开成傅里叶级数
三、正弦级数和余弦级数
傅里叶级数
一、三角级数 二、函数展开成傅里叶级数
三、正弦级数和余弦级数
周期为2 的奇、偶函数的傅里叶级数 对周期为 2 的奇函数 f (x) , 其傅里叶系数为
a0 f ( x) an cos nx bn sin nx 2 n 1
①
② 定义 由公式 ② 确定的 称为函数f(x)
的傅里叶系数 ; 以f (x)的傅里叶系数为系数的三角级数 a0 an cos nx bn sin nx 称为f(x)的傅里叶级数 . 2 n 1
x
分别展开成正弦级数和余弦级数.
将定义在[0,]上的函数展开成正弦级数与余弦级数 展开思路 在
奇延拓 (偶延拓) 傅里叶展开 在
上有定义 上, 上为奇函数(偶函数)
定义在 在
(0, π] 上 F ( x ) f ( x ) 的正弦级数 (余弦函数) 展开式
y
例6 将函数
O 分别展开成正弦级数和余弦级数.
2) 在一个周期内至多只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 并且 当x 为f (x)的连续点时,级数收敛于 f ( x );
当x 为f (x)的间断点时,级数收敛于
1 [ f ( x ) f ( x )]. 2
例1 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为
引言
简单的周期运动 ( A：振幅 ：角频率
？
复杂的周期运动
：初相 )
数学分析课件 傅里叶级数
03
工程学
在工程学中，傅里叶级数可以用于分析和设计各种周期性结构，例如在
机械工程和土木工程等领域中，可以通过傅里叶级数来描述和分析周期
性振动和波动等问题。
02
傅里叶级数的基本性质
三角函数的正交性
三角函数的正交性是指在一周期内，任何两个不同的三角函 数都不相交，即它们的乘积在全周期内的积分值为零。这一 性质在傅里叶级数的展开和重构中起到关键作用，确保了频 谱的纯净性和分离性。
三角函数的周期性使得我们能够将无限长的信号转化为有限长的频谱，从而方便 了信号的分析和处理。
傅里叶级数的收敛性
傅里叶级数的收敛性是指一个信号的傅里叶级数展开在一 定条件下能够无限接近原信号。这一性质保证了傅里叶级 数展开的精度和可靠性，使得我们能够通过有限项的级数 展开来近似表示复杂的信号。
收敛性的判定是数学分析中的重要问题，涉及到级数的收 敛半径、收敛域等概念。在实际应用中，我们需要根据信 号的特性和精度要求来选择合适的收敛域和级数项数，以 保证傅里叶级数展开的准确性。
首先，确定函数的周期和定义域；其次，计算正弦和余弦函数的系数；最后，将得到的系数代入正弦和余弦函数的线 性组合中，得到函数的傅里叶级数表示。
傅里叶级数的表示方法的优缺点
傅里叶级数具有简洁、易计算等优点，能够将复杂的周期函数分解为简单的正弦和余弦函数。然而，傅 里叶级数也存在着一些缺点，例如在非周期函数的情况下，傅里叶级数可能无法得到正确的结果。
图像增强
利用傅里叶级数，可以对图像进行增 强处理，如锐化、降噪等，提高图像 的视觉效果。
数值分析中的傅里叶级数
数值逼近
傅里叶级数可以用于求解某些函数的 数值逼近问题，如求解函数的零点、 极值等。
《傅里叶级数》课件
FFT基于分治策略，将大问题分解为小问题，从而显著提高了计算效率。
FFT的出现极大地促进了数字信号处理领域的发展，尤其在实时信号处理 和大数据分析方面。
小波变换与傅里叶级数的关系
01
小波变换是一种时间和频率的局部化分析方法，用于多尺度信 号处理和分析。
02
小波变换与傅里叶级数都是信号的频域表示方法，但小波变换
频域处理
傅里叶变换将图像从空间域转换到频域，使得图 像的频率特征更加明显，便于进行滤波、增强等 操作。
图像压缩
通过分析图像的频谱，可以去除不重要的频率成 分，从而实现图像的压缩，节省存储和传输资源 。
图像去噪
傅里叶变换在图像去噪中发挥了重要作用，通过 滤除噪声对应的频率成分，可以有效去除图像中 的噪声。
傅里叶级数提供了一种将 复杂信号分解为简单正弦 波的方法，有助于理解和 处理信号。
频谱分析
通过傅里叶变换，可以分 析信号的频率成分，这在 通信、音频处理等领域有 广泛应用。
滤波器设计
利用傅里叶级数或其变换 形式，可以设计各种滤波 器，用于提取特定频率范 围的信号或抑制噪声。
图像处理中的应用
1 2 3
数值分析中的应用
求解微分方程
傅里叶级数在数值分析中常用于 求解初值问题和偏微分方程，通 过离散化和变换，将复杂问题转 化为易于处理的简单问题。
数值积分与微分
傅里叶级数在数值积分和微分中 也有应用，可以将复杂的积分或 微分运算转换为易于计算的离散 形式。
插值与拟合
傅里叶级数可以用于多项式插值 和函数拟合，通过选取适当的基 函数，可以构造出精度较高的插 值函数或拟合模型。
04
傅里叶级数的扩展知识
离散傅里叶变换
离散傅里叶变换（DFT）是连续傅里叶变换的离 散化形式，用于将时域信号转换为频域信号。
FFT的出现极大地促进了数字信号处理领域的发展，尤其在实时信号处理 和大数据分析方面。
小波变换与傅里叶级数的关系
01
小波变换是一种时间和频率的局部化分析方法，用于多尺度信 号处理和分析。
02
小波变换与傅里叶级数都是信号的频域表示方法，但小波变换
频域处理
傅里叶变换将图像从空间域转换到频域，使得图 像的频率特征更加明显，便于进行滤波、增强等 操作。
图像压缩
通过分析图像的频谱，可以去除不重要的频率成 分，从而实现图像的压缩，节省存储和传输资源 。
图像去噪
傅里叶变换在图像去噪中发挥了重要作用，通过 滤除噪声对应的频率成分，可以有效去除图像中 的噪声。
傅里叶级数提供了一种将 复杂信号分解为简单正弦 波的方法，有助于理解和 处理信号。
频谱分析
通过傅里叶变换，可以分 析信号的频率成分，这在 通信、音频处理等领域有 广泛应用。
滤波器设计
利用傅里叶级数或其变换 形式，可以设计各种滤波 器，用于提取特定频率范 围的信号或抑制噪声。
图像处理中的应用
1 2 3
数值分析中的应用
求解微分方程
傅里叶级数在数值分析中常用于 求解初值问题和偏微分方程，通 过离散化和变换，将复杂问题转 化为易于处理的简单问题。
数值积分与微分
傅里叶级数在数值积分和微分中 也有应用，可以将复杂的积分或 微分运算转换为易于计算的离散 形式。
插值与拟合
傅里叶级数可以用于多项式插值 和函数拟合，通过选取适当的基 函数，可以构造出精度较高的插 值函数或拟合模型。
04
傅里叶级数的扩展知识
离散傅里叶变换
离散傅里叶变换（DFT）是连续傅里叶变换的离 散化形式，用于将时域信号转换为频域信号。
9.7.傅里叶级数ppt
①
f (x)dx
1 2
a0dx
[
(ak cos kx bk sin kx)]dx
k 1
1 2
a0dx
ak cos kxdx k 1
bk sin kxdx k 1
a0
1 2
2
,
a0
1
f (x)dx
(2) 求an .
f
( x)cos nxdx
a0 2
cos nxdx
an n , bn n .
练习题
一、设周期为2 的周期函数f ( x) 在[ , ) 上的表达式
为
f
(
x
)
bx ax
, ,
0
x
x
0
(常数a b 0)试将
其展开成傅里叶级数 .
二、将下列函数 f ( x) 展开成傅里叶级数:
1、
f
(x)
e x ,
x
0；
1,0 x
2、 f ( x) sin(arcsin x).
1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有
f (x) ,
f (x) f (x) , 2
x 为连续点 x 为间断点
其中 an , bn 为 f (x) 的傅里叶系数 .
特别地，当 x为端点 x 时, 收敛于 f ( 0) f ( 0). 2
n1
令
an An sinn , bn An cosn ,
得函数项级数
a0 2
(an
n1
cos nx
bn
sin nx)
称上述形式的级数为三角级数.
《傅里叶级数》课件
傅里叶系数： a_n和b_n，可 以通过积分计算 得到
傅里叶级数的收 敛性：对于满足 一定条件的函数， 傅里叶级数收敛 于该函数
傅里叶级数的计算步骤
傅里叶级数的计算实例
实例：计算正弦函数的傅里 叶级数
计算步骤：确定周期、确定 频率、确定振幅、确定相位
傅里叶级数的定义：将周期函 数分解为无穷多个正弦和余弦 函数的和
傅里叶级数未来的研究方向与挑战
傅里叶级数的快速算法研究 傅里叶级数的应用领域拓展 傅里叶级数的理论研究与证明 傅里叶级数的计算复杂性与优化
感谢您的观看
汇报人：PPT
实例：计算余弦函数的傅里 叶级数
实例：计算三角函数的傅里 叶级数
实例：计算复杂函数的傅里 叶级数
傅里叶级数的应 用实例
信号处理中的应用
滤波器设计：傅里叶级数可以用于设计各种滤波器，如低通滤波器、高通滤波器等。 信号分析：傅里叶级数可以用于分析信号的频率成分，如分析信号的频谱、功率谱 等。
信号处理：傅里叶级数可以用于处理信号，如信号的压缩、增强、去噪等。
傅里叶级数的周期性
傅里叶级数是一种周期函数 周期性是傅里叶级数的基本性质之一 周期性是指函数在一定区间内重复出现 周期性是傅里叶级数在信号处理、图像处理等领域里叶级数的展开式
傅里叶级数的定 义：将周期函数 分解为无穷多个 正弦函数和余弦 函数的线性组合
傅里叶级数的展 开式：f(x) = a_0 + Σ[a_n * cos(nωx) + b_n * sin(nωx)]
数值分析中的应用
傅里叶级数在信号处理中的应用 傅里叶级数在图像处理中的应用 傅里叶级数在音频处理中的应用 傅里叶级数在金融数据分析中的应用
其他应用领域
第十一章 第5节 傅立叶级数PPT课件
f(x )d x a 2 0 d x n 1 a n co n x d s x b n sn ix n d x
a0
11
af0(x n)c 11 ao nk x fd s (cxx)o dksa xx2 0 c onc sxdo k xx d s bx n coksxsinnxdx
,
an
则得函数项级数
Ansinn, bnAncons, tx
a20k 1(anconsxbnsinx)
称上述级数为三角级数 .
8
定理 1 组成三角级数的函数系
1 , cosx,sin x , cos2x , sin2x , ,consx,sinnx,
在 [ , ]上正交 , 即其中任意两个不同的函数之积在
sikn xsin n xdx0(kn)
(k n)
9
但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在
[ , ]上的积分不等于 0 . 且有
11dx
2
co2snxdx
sin2nxdx
(n1,2,)
co2snx1co2snx si2nnx1co2snx
2
2
10
三. 周期为 2 的周期函数的傅立叶级数
利用正交性
ak
co2skxdx
ak
ak1 f(x)cokxsdx (k1,2,)
类似地, 用 sin k x 乘①式两边,(x n )1s(aik nx n cd ox snx(kb n1 s,i2 nn, x)) ① 12
a20n 1anconx sbnsin nx
an1
f(x)consxdx
o
x
1
(P298 例1 )
10 (1)consxd1x0 1consxdx
傅立叶(Fourier)级数的展开方法PPT幻灯片课件
k
ck
1 2l
l l
i kx
f ( x)e l dx
例5 把锯齿波f（x）在（0，T）这个周期上可表示
为f（x）=Hx/T，试把它展为复数形式的傅立叶 级数。
f (x)
解 函数曲线如图 x
T
27
周期为 2l T , l T
2
ck
1 2l
l l
i 2kx
f ( x)e T dx
1
T
H
i
xe
方法
将函数 f（x）解析延拓到[-l，l]区间，再将[-l，l] 区间的函数再延拓到[－∞∞]区间上，构成周期函数 g（x），其周期为2l
例4 定义在（0，l）上的函数f（x）=a（1-x/l），将
该函数展开为傅立叶级数。
解 函数曲线如图
f (x)
a x
l
21
延拓到（- l，l）后再周期延拓，如图做偶延拓：
16
三、定义在有限区间上的函数的傅里叶展开
工程以及物理上用到的函数一般是定义在有限区间上的. 1、定义在 [-l, l] 上的函数 f(x)展开；
方法 将函数 f（x）解析延拓到[-∞，∞]区间， 构成的周期函数g（x），其周期为2l
f (x)
l
l
f (x)
l
l
x x
17
f (x)
l
l
x
f (x)
x
l
l
仅在 [-l，l]上，g(x)≡f(x).
例3 在（-1，1）上定义了函数f（x）为：
x
f
(
x)
1
1
(1,0)
(0, 1 ) 2
( 1 ,1) 2
《高数-傅里叶级数》课件
02
该公式将复杂的函数f(x)表示为简单的三角函数之和，便于分析函数的性质和求 解相关问题。
03
展开公式中的系数a0、an、bn可以通过函数的积分得到。
傅里叶级数的展开步骤
01
第一步是将待展开的函数f(x)进行傅里叶级数的展开，得到展开式。
02
第二步是求解展开式中的系数a0、an、bn，可以通过函数的积分得 到。
傅里叶级数的应用领域
傅里叶级数在数学、物理、工程等领 域有广泛的应用。
在信号处理、图像处理、振动分析、 量子力学等领域，傅里叶级数被用于 分析信号和系统的频率成分，以及进 行频域分析和处理。
02
傅里叶级数的性质
傅里叶级数的收敛性
收敛的条件
傅里叶级数在满足一定条件下收敛， 如狄利克雷条件和黎曼条件等。这些 条件限制了周期函数的波形和振幅， 以确保级数收敛。
傅里叶级数的对称性可以通过数学证明得到。证明过程中需要利用三角函数的 性质和级数的运算规则。
傅里叶级数的周期性
周期性的应用
周期性在信号处理、图像处理等领域中有着广泛的应用。例如，在信号处理中， 可以利用周期性来分析信号的频率成分和周期性变化。
周期性的证明
傅里叶级数的周期性可以通过数学证明得到。证明过程中需要利用三角函数的周 期性和级数的运算规则。
03
第三步是将求解出的系数代入展开式中，得到函数的傅里叶级数展开 式。
04
第四步是利用傅里叶级数的性质和公式，对展开后的函数进行分析和 求解相关问题。
04
傅里叶级数的应用实例
信号处理中的傅里叶级数
信号分析
傅里叶级数提供了一种将复杂信号分解为简单正弦波的方法，有 助于信号的频谱分析和特征提取。
高数-傅里叶级数2.ppt
2
例 4．将函数 f (x) x2( x) 展开成傅里叶级数。
解：把 f ( x) 在(,] 上作周期延拓，
a0
1
1 f ( x)dx
x2dx 22 ， 3
an
1
f ( x)cosnxdx 1
x2cosnxdx
(1)n n2
4(n1,
2,
)
，
bn
1
x2sinnxdx0 ，
如例 1：
即 S(
x 时，
xxn)1((10x),,n,)1xx时n2ys(，innn.x,1(),f 1()n10n2)2sinf n(x0f)
(x) x ，
0 2
。
3 2 o 2 3 y
3 2 o 2 3
x f (x)的图象. x S(x)的图象.
把 f (x) 在[, ] 上展开为傅里叶级数的步骤为 （1）用狄氏条件判断 f ( x) 能否展开为傅里叶级数； （2）求出傅里叶系数； （3）写出傅里叶级数并注明在何处收敛于f ( x) ； （4）画出 f ( x) 和S( x) 的图形（至少画出三个周期），
并写出 S( x)的表达式 。
例
2．设
f
(x)
以2
为周期，且
f
(
1,
x)
1,
x0 ， 0 x
将 f ( x) 展开为傅里叶级数，并求其和函数S( x) 。
解： f ( x) 满足狄氏条件。求傅里叶系数：
a0
1
f
( x)dx
1
0
dx
1
0
dx0
，
1
10
1
an f ( x)cosnxdx (1)cosnxdx 0 cosnxdx
例 4．将函数 f (x) x2( x) 展开成傅里叶级数。
解：把 f ( x) 在(,] 上作周期延拓，
a0
1
1 f ( x)dx
x2dx 22 ， 3
an
1
f ( x)cosnxdx 1
x2cosnxdx
(1)n n2
4(n1,
2,
)
，
bn
1
x2sinnxdx0 ，
如例 1：
即 S(
x 时，
xxn)1((10x),,n,)1xx时n2ys(，innn.x,1(),f 1()n10n2)2sinf n(x0f)
(x) x ，
0 2
。
3 2 o 2 3 y
3 2 o 2 3
x f (x)的图象. x S(x)的图象.
把 f (x) 在[, ] 上展开为傅里叶级数的步骤为 （1）用狄氏条件判断 f ( x) 能否展开为傅里叶级数； （2）求出傅里叶系数； （3）写出傅里叶级数并注明在何处收敛于f ( x) ； （4）画出 f ( x) 和S( x) 的图形（至少画出三个周期），
并写出 S( x)的表达式 。
例
2．设
f
(x)
以2
为周期，且
f
(
1,
x)
1,
x0 ， 0 x
将 f ( x) 展开为傅里叶级数，并求其和函数S( x) 。
解： f ( x) 满足狄氏条件。求傅里叶系数：
a0
1
f
( x)dx
1
0
dx
1
0
dx0
，
1
10
1
an f ( x)cosnxdx (1)cosnxdx 0 cosnxdx
《傅里叶分析》课件
通信系统
傅里叶分析可以用 于调制解调过程中 的频谱分析，以及 信道估计和均衡等 关键问题的解决， 提高通信系统的性 能。
图像处理
傅里叶分析可以用 于图像的频域滤波、 去噪和增强等操作， 以及图像压缩和特 征提取等应用，提 高图像处理的效果 和质量。
其他领域的 应用
除了信号处理、通 信系统和图像处理 外，傅里叶分析还 在许多其他领域中 有着广泛的应用， 如物理学、经济学 等。
《傅里叶分析》PPT课件
傅里叶分析是一种广泛应用于信号处理、通信系统、图像处理等领域的数学 工具。本课件将介绍傅里叶分析的定义、傅里叶级数和傅里叶变换，以及其 在各个领域中的实际应用。
傅里叶级数
傅里叶级数是用正弦和余弦函数将周期函数分解为一系列振幅和相位不同的谐波信号的方法。它可以表 示周期函数在频域上的相关信息。
总结
傅里叶分析是一种重要的数学工具，它可以用于分析和处理各种信号，并在信号处理、通信系统、图像 处理等领域中发挥作用。
1 傅里叶分析的重要性和应用
2 学习和研究傅里叶分析的意义
傅里叶分析在现代科学和工程中具有重要 地位，它为我们理解和处理信号提供了有 力的工具和方法。
学习和研究傅里叶分析不仅能够提高我们 的数学能力，还能够拓宽我们的科学视野， 培养我们的创新思维。
3 傅里叶变换的性质与应用
傅里叶变换具有平移性、尺度性和对称性等重要性质，它在信号处理、通信系统等领域 中有着广泛的应用。
傅里叶分析的实际应用
傅里叶分析在许多领域中发挥着重要作用，包括信号处理、通信系统、图像处理以及其他领域的实际应 用。
信号处理
傅里叶分析可以用 于分析和处理各种 信号，包括音频信 号、视频信号等， 以提取有用的信息 或实现信号压缩等 功能。
《傅里叶级数 》课件
信号处理：用于 分析信号的频率 成分，如音频、 视频信号等
工程领域：用于 分析机械振动、 电磁场等物理现 象
数学物理：用于 求解偏微分方程、 热传导等问题
计算机科学：用 于图像处理、数 据压缩等领域
03 傅里叶级数的基本原理
三角函数的定义与性质
三角函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割 定义：以直角三角形的边长和角度为基础定义的函数 性质：周期性、奇偶性、对称性、单调性 应用：傅里叶级数、信号处理、工程计算等
傅里叶级数的历史背景
傅里叶级数是 由法国数学家 傅里叶在1807
年提出的
傅里叶级数是 傅里叶分析的 基础，是研究 信号处理、图 像处理等领域
的重要工具
傅里叶级数在 数学、物理、 工程等领域有 着广泛的应用
傅里叶级数在 信号处理、图 像处理等领域 的应用，推动 了这些领域的
发展
傅里叶级数的应用领域
06
傅里叶级数的扩展与展 望
傅里叶变换的推广与应用
傅里叶变换在信号 处理中的应用
傅里叶变换在图像 处理中的应用
傅里叶变换在语音 识别中的应用
傅里叶变换在金融 分析中的应用
傅里叶分析在其他数学领域的应用
信号处理：傅里叶变换在信号处理领域有着广泛的应用，如滤波、频谱分析等。 数值分析：傅里叶级数在数值分析中用于求解微分方程、积分等。 概率论与统计学：傅里叶变换在概率论与统计学中用于分析随机信号、随机过程等。 量子力学：傅里叶变换在量子力学中用于描述量子态的演化和测量。
傅里叶级数的收敛性：傅里叶级数在满足一定条件下是收敛的 收敛条件：傅里叶级数的收敛性取决于其系数的绝对值之和是否收敛 证明方法：可以通过积分法、极限法等方法进行证明 收敛速度：傅里叶级数的收敛速度可以通过其系数的绝对值之和的收敛速度来衡量
傅里叶级数PPT课件
0
f(x)a20 n 1anconsx
(0x)
-
x
26
例4 将 函 数 f(x )x 1(0x )分 别 展 开
成 正 弦 级 数 和 余 弦 级 数 .
解 (1)求正弦级数. 对f(x)进行奇延, 拓
bn
2
0
f(x)sinnxdx 2
(x1)sinnxdx
0
n2 (1conscons)
2
令 a0 2
A0 ,
an=Ansin n ， bn=Ancosn ,ωt=x，
则(1)式右端变型为
a 2 0n 1(anco ns x bnsin n )x (2)
形如(2)式的级数叫做三角级数，其中a0、an、 bn
为常数。
-
3
2.三角函数系的正交性
三角函数系
1 ,co x ,ssix ,n co 2x ,si2x n , co n,sxin n , x
-
22
例3 设f(x)是周期为2的周期函数,它在 [,)上的表达式为f(x)x,将f(x)展开成
傅氏级数.
解 所给函数满足狄利克雷充分条件. 在 x 点 (2 k 1 ) (k 0 , 1 , 2 , )处不 , 连
收敛 f(0 于 )f( 0) () 0,
2
2
在连 x (x (续 2 k 1 ) ) 点 处收 f(x ),敛于
数 f ( x) 展开成傅立叶级数。
方法： (i)先求傅里叶系数
an
1
f(x)c
onsxd, x(n0,1,2,)
bn
1
f(x)sinnxd, x(n1,2,)
(ii) 写出对应的傅里叶级数
f(x)~a 2 0n 1(anco n - s xbnsin n)x
《高数-傅里叶级数》课件
傅里叶级数是傅里叶变 换的特例，是数学分析 和信号处理的基础。
3 傅里叶级数的应用
前景
傅里叶级数的广泛应用 将推动数学、物理和工 程等领域的发展与创新。
傅里叶级数的线性性质
傅里叶级数具有线性运算特性，可进行线性组合、微分和积分等运算。
傅里叶级数的积分性质
积分傅里叶级数可帮助求解周期函数的平均值、方差等统计特性。
应用
傅里叶级数在信号分析 中的应用
傅里叶级数可用于分析信号的 频谱特性，帮助了解信号的频 率分量和频域滤波。
傅里叶级数在图像处理 中的应用
傅里叶级数可用于图像压缩、 滤波和频谱分析，对图像处理 和识别具有重要意义。
傅里叶级数在物理学中 的应用
傅里叶级数在波动理论、量子 力学和热力学等物理学领域中 扮演着重要角色。
总结
1 傅里叶级数的意义
和作用
2 傅里叶级数与傅里
叶变换的关系
傅里叶级数是研究周期 函数的重要工具，揭示 了函数在频域中的性质。
2
正、余弦函数的傅里叶级数展开
将正弦、余弦函数分别展开为傅里叶级数，可得到周期为 $2\p里叶级数展开
通过调整周期为 $2\pi$ 的函数的频率和幅值，可以获得不同形状和性质的傅里 叶级数展开。
傅里叶级数的性质
级数收敛性的证明
通过研究傅里叶级数的收敛性，我们可以了解级数的稳定性和近似性。
《高数-傅里叶级数》PPT 课件
探索傅里叶级数的奇妙世界，从历史渊源到应用前景，揭示其在数学、信号 分析、图像处理和物理学等领域中的重要性。
傅里叶级数的定义
傅里叶级数将一个周期函数分解为正弦、余弦函数的叠加，是一种将函数表 示为无穷级数的数学工具。
傅里叶级数的推导
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k 1
-
6
an
co2snxdx
an ,
1
an
f(x)consx
d
x(n1,2,3,)
(3) 求bn.
f(x)sin nx dax0
sin nxdx
2
[ak co kss xin nxb d k x sikn sxin nx ]dx
k 1
bn ,
1
bnf(x)sin nxdx (n1,2,3,)
9.5 傅里叶级数
9.5.1 三角函数系的正交性 9.5.2 将函数展开成傅里叶级数 9.5.3 正弦级数与余弦级数
-
1
9.5 傅里叶级数
9.5.1 三角函数系的正交性
1．三角级数
简谐振动： y=Asin(ωt+ ) T 2 , A为振幅，ω为角频， 为初相。
f(t)A 0 A nsin n t(n) (1) n1
0,
n2k,k1,2,
-
12
所给函数满足狄利克雷充分条件.
所求函数的傅氏展开式为
u(t)n 1(2n 4E m 1)si2 n n (1)t
( t ;t 0 ,, 2, )
在t点 k(k0,1,2,)处不. 连续
收敛于 EmEm 0, 2
-
13
(2) 将定义在[-， ] 上的 函数f(x) 展开成傅立 叶级数。
方法:(i)对f(x)作周期为2的周期延拓得定义在 (，)上的周期函数F(x).
(ii) F(x)的傅立叶级数与 f(x)的傅立叶级数相同.
(iii)限制在[-， ] 再用收敛定理得到f(x)的傅立 叶级数展开式。
-
14
例2
将 函 数 f(x) xx ,,
x0展 开 为 傅 立
0x
叶 级 数 .
-
7
傅里叶系数
an
1
f(x)c
onsxd, x(n0,1,2,)
bn
1
f(x)sinnxd, x(n1,2,)
傅里叶级数
f(x)~a 2 0n 1(anco ns xbnsin n)x
问题:
f(x)条?件 a 2 0n 1(anc- o n sx b nsin n )x
8
9.5.1(收敛定理,狄利克雷(Dirichlet)充分条件) 设f(x)是以2为周期的周期函数.如果它满
形如(2)式的级数叫做三角级数，其中a0、an、 bn
为常数。
-
3
2.三角函数系的正交性
三角函数系
1 ,co x ,ssix ,n co 2x ,si2x n , co n,sxin n , x
在 [ ， ]上正交：
任 意 两 个 不 同 函 数 的 乘 积 在 [ ,] 上 的 积 分 等 于 零 .
解 所给函数满足狄利克雷充分条件.
拓广的周期函数的傅
氏级数展开式在 [,]
y
收敛于f (x).
2 0 2 x
-
15
1
a0
பைடு நூலகம்
f(x)dx
1
0(x)dx1
0
xdx,
1
an f(x)cons xdx
10
1
(x)consx dx 0xconsxdx
2 (cons1) n2
2 [(1)n
n2
三角级数：f(x)a 2 0k 1(akco ks xbksikn)x
问题: 1.若能展开, ai ,bi 是什么?
2.展开的条件是什么? 傅里叶系数
若f(有 x)a 2 0k 1(akco k s x b ksikn )x
(1) 求a0 .
f(x )d x a 2 0d x [k - 1 (a kck o x b s ksk i) n ] d x 5 x
t
0
-
11
1
anu(t)constdt
1 0 (E m )co nst d 1t0 E mco nstdt
0 (n1,2,)
1
bnu(t)s in ntdt
10
1
( E m )sin nt d t0E m sin ntdt
2Em(1cons) 2Em[1(1)n]
n
n
(2k4E m 1), n2k1,k1,2,
a 2 0d x k 1akco kd s x x k 1b ksiknxdx
a0 2 ,
2
1
a0 f(x)dx
(2) 求an.
f(x)consx dax0
consxdx
2
[ak co kc s xo nsxb d k x sikn cxo nsx ] dx
10
(iii)根据收敛定理把上式写成等式
f(x)a 2 0n 1(anco n sx bnsx in n 连)续 x点 集 合
例1 以2 为周期的矩形脉冲的波形
u(t) EEmm,,
0t t 0
Em
u
将其展开为傅立叶级数.
o
t
Em
解
a0
1
u(t)d
t1
0
1
(Em)d t 0 Emd
足条件:在一个周期内连续或只有有限个第一类间
断点,并且至多只有有限个极值点,则f(x)的傅里叶
级数收敛,并且
(1) 当 x是 f(x)的 连 续 点 时 ,级 数 收 敛 于 f(x);
(2 )当 x 是 f(x )的 间 断 点 时 , 收 敛 于 f(x 0 )f(x 0 ); 2
注意: 函数展开成傅里叶级数的条件比展开成 幂级数的条件低的多.
其中A0 ,An, n为常数。
-
2
由三角公式，我们有
Ansin(nωt+ n )=Ansin n cosnωt+A ncos n sinnωt
令 a0 2
A0 ,
an=Ansin n ， bn=Ancosn ,ωt=x，
则(1)式右端变型为
a 2 0n 1(anco ns x bnsin n )x (2)
1]
-
16
(2k41)2, n2k1,k1,2,
0,
n2k,k1,2,
cons xdx0, sinnxdx0, (n1,2,3,)
0, mn
sim nsxin nx d x,
, mn
0, mn
com scxonsx d x,
, mn
sim n cxonsxd0x.
(其m 中 ,n1,2,)
-
4
9.5.2 将函数展开成傅里叶级数
设f (x)是周期T = 2π的周期函数，且能展开成
-
9
题目类型：
(1) 将定义在（，）上的 以2为周期的函
数 f ( x) 展开成傅立叶级数。
方法： (i)先求傅里叶系数
an
1
f(x)c
onsxd, x(n0,1,2,)
bn
1
f(x)sinnxd, x(n1,2,)
(ii) 写出对应的傅里叶级数
f(x)~a 2 0n 1(anco n - s xbnsin n)x