定积分的概念word版

1.5 定积分的概念

1．5.1 曲边梯形的面积 1．5.2 汽车行驶的路程 1．5.3 定积分的概念 双基达标

限时20分钟

1．函数f (x )＝x 2在区间⎣⎢

⎡⎦⎥⎤

i －1n

，i n 上， ( )．

A ．f (x )的值变化很小

B ．f (x )的值变化很大

C ．f (x )的值不变化

D ．当n 很大时，f (x )的值变化很小

解析 当n 很大时，区间⎣⎢

⎡⎦⎥⎤

i －1n ，i n 的长度1n 越来越小，f (x )的值变化很小，故选D. 答案 D

2．当n 很大时，函数f (x )＝x 2

在区间⎣⎢

⎡⎦⎥⎤

i －1n

，i n 上的值可以用下列哪个值近似代替

( )．

A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n

B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n

C ．f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

i n D ．f (0)

解析 当n 很大时，f (x )＝x 2在区间⎣⎢

⎡⎦⎥⎤

i －1n ，i n 上的值可用该区间上任何一点的函数值近似代替，也可以用左端点或右端点的函数值近似代替，故选C. 答案 C

3．已知定积分∫60f (x )d x ＝8，且f (x )为偶函数，则∫6－6f (x )d x ＝

( )．

A ．0

B ．16

C ．12

D ．8 解析 偶函数图象关于y 轴对称，

故，故选B.

答案 B

4．如图所示阴影部分的面积用定积分表示为________．

答案

5．若

，则 lim n →∞

∑i ＝1

n

f (ξi )

b －a

n

＝________. 解析 由定积分的定义可得．

答案 6

6．利用定积分定义计算∫10x 3d x . 解 (1)分割：0<1n <2n <…

n

＝1.

(2)求和：⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 3·1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n 3·1n ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n n 3·1n ＝∑i ＝1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 3·1n

.

(因为x 3连续，所以ξi 可随意取而不影响极限，故我们此处将ξi 取为[x i ，

x i ＋1]的右端点也无妨)

(3)取极限： lim n →∞∑i ＝1n

i 3

⎝ ⎛⎭

⎪⎫i n 3·1

n ＝ lim n →∞ 1n 4∑i ＝1n i 3＝ lim n →∞

1n 4·⎣⎢

⎡⎦⎥⎤n n ＋12

2＝14

.

此处用到了求和公式13＋23＋…＋n 3＝(1＋2＋…＋n )2＝ ⎣⎢⎡⎦

⎥⎤n n ＋122

，因此∫10x 3d x ＝14.

综合提高

限时25分钟

7．下列等式成立的是

( )．

解析 由定积分的几何意义，选C. 答案 C

8．下列式子中不成立的是

( )．

解析 分析被积函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 在各区间的图象，由定积分的几何意义，易得只有C 选项不成立，故选C. 答案 C

9．设f (x )是[a ，b ]上的连续函数，则的值为________．

解析 因为定积分与符号无关，所以.

答案 0

10．利用定积分的几何意义计算⎠⎛1

3(x ＋2)d x 的值是________．

解析 由定积分的几何意义知

⎠⎛1

3

(x ＋2)d x 就是如图所示阴影部分的面积．

答案 8

11．已知汽车做变速直线运动，在时刻t 的速度为v (t )＝－t 2＋2t (单位：k m/h)，求它在1≤t ≤2这段时间行驶的路程是多少？

解 将时间区间[1,2]等分成n 个小区间，则第i 个小区间为

⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n ，在第i 个时间段的路程近似为Δs i ＝v ⎝ ⎛

⎭⎪⎫1＋i n Δt ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n ·1

n ，i ＝1,2，…，n .

所以s n ＝∑i ＝1n

Δs i ＝∑i ＝1n

⎣

⎢⎡⎦⎥⎤－

⎝ ⎛

⎭⎪⎫1＋i n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n ·1n ＝－1n 3[(n ＋1)2＋(n ＋2)2＋(n ＋3)2＋…＋(2n )2]＋2

n

2[(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋

2n ] ＝－1n 3⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤

2n 2n ＋1

4n ＋1

6

－

n n ＋1

2n ＋16＋

2

n

2

·

n n ＋1＋2n

2

＝－13⎝

⎛

⎭⎪⎫2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1n ＋

16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋3＋1

n

，

s ＝S n ＝

－13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1n ＋161＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋3＋1n ＝2

3

，