平面向量的概念及

BC OC OB OA OB a b.
答案:b-a -a-b
4.(2017·全国卷Ⅰ)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,
则 ( ) B.|a|=|b|
A.a⊥b
C.a∥b
D.|a|>|b|
【解析】选A.由|a+b|=|a-b|平方得,a2+2a·b+b2 =a2-2a·b+b2,即a·b=0,则a⊥b.
2.如图
,设P,Q两点把线段AB三等分, )
则下列向量表达式错误的是 (
1 A.AP AB 3 2 C.BP AB 3 2 B.AQ AB 3 D.AQ BP
【解析】选D.由数乘向量的定义可以得到A,B,C都是正 确的,只有D错误.
第四章 平面向量、数系的扩充
与复数的引入 第一节 平面向量的概念及 其线性运算
【教材基础回顾】
1.向量及其相关概念
大小 又有_____ 方向 的量;向量的大小叫 向量的定义:既有_____ 长度(或模) 做向量的___________. 长度为0 的向量;记作0.单位向量: 零向量:________ 长度等于1个单位 的向量. ________________
(2)给出下列命题:
①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量.
②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小. ③若λ a=0(λ 为实数),则λ 必为零.
④已知λ ,μ 为实数,若λ a=μ b,则a与b共线.
其中正确命题的序号为________.
【解析】(1)选A.①不正确.两个向量的长度相等,但
3.已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,
且 OA a， OB b，则 DC =________, BC =________
(用a,b表示).
【解析】DC AB OB OA b a，
考向一
平面向量的相关概念
【典例1】(1)给出下列命题: ①|a|=|b|,则a=b;
”是“四边 ②若A,B,C,D是不共线的四点,则“ AB DC
形ABCD为平行四边形”的充要条件;
③若a=b,b=c,则a=c; ④若a∥b,b∥c,则a∥c. 其中正确命题的序号是 ( A.②③ C.③④ B.②④ D.②③④ )
2.向量的线性运算
数乘 实数λ 与向量a的 求两个向量 向量 a+(-b)=a-b 积是一个_____, 定义 和的运算 记作λ a
加法
减法
加法 法则
减法
(或几
何 意义)
数乘 (1)模:|λ a| =|λ ||a| (2)方向:当λ >0时, 相同 λ a与a方向_____; 当λ <0时,λ a与a 相反 当λ =0时, 方向_____; λ a= 0
3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ , b= λ a 使______.
【金榜状元笔记】 1.两个要点 理解向量相关概念时,抓住两个要点:大小、方向. 2.两特殊向量 (1)零向量的方向可任意. (2)任意方向上都有单位向量.
3.运算法则 两非零向量不共线求和时,两个法则都适用;共线时,只 适用三角形法则.
方向相同,因此 AB DC.
③正确.因为a=b,所以a,b的长度相等且方向相同,又 b=c,所以b,c的长度相等且方向相同,所以a,c的长度相 等且方向相同,故a=c.④不正确.当b=0时,a,c可能不平 行.综上所述,正确命题的序号是②③.
(2)①错误.两向量共线要看其方向而不是起点与终点. ②正确.因为向量既有大小,又有方向,故它们不能比较 大小,但它们的模均为实数,故可以比较大小. ③错误.当a=0时,不论λ为何值,λa=0.
1. OA OB OC
=0,则点Owk.baidu.com三角形的重心.
2.
OA OB OC ， 则点O为三角形的外心.
2 2 2 2 3. OA 或者 OA OB OB OC OB OB OC OC OA
【教材母题变式】 1.有关向量概念,下列命题中正确的是 ( )
A.若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合 B.模相等的两个平行向量是相等向量 C.若a和b都是单位向量,则a=b D.两个相等向量的模相等
【解析】选D.A若两个向量相等,则它们的起点和终点 不一定重合;B模相等的两个平行向量是相等向量是错 误的,可以是方向相反的向量;C.若a和b都是单位向量, 则模是相等的,但是两个向量不一定相等;D两个相等向 量的模相等是正确的.
,所以 它们的方向不一定相同.②正确.因为 AB DC
| AB || DC | 且 AB DC ,又A,B,C,D是不共线的四点,
所以四边形ABCD为平行四边形;反之,若四边形ABCD为
平行四边形,则 | AB || DC |, AB DC 且 AB, DC
④错误.当λ=μ=0时,λa=μb,此时,a与b可以是任意 向量. 答案:②
【技法点拨】 解答向量概念型习题的要点 (1)准确理解向量有关知识,应重点把握两个要点:大小 和方向. (2)向量线性运算的结果仍是向量,准确运用定义和运 算律仍需从大小和方向角度去理解.
【拓展】三角形四心的向量表示 在三角形ABC中,点O为平面内一点,若满足:
非零 向量叫平行 共线(平行)向量:方向相同或相反的_____
零向量 与任一向量平行;向量a与向量b平行, 向量;_______ 记作a∥b. 方向 相同的向量,向量a与向量b 相等向量:长度相等且_____ 相等,记作a=b. 相反 的向量,记作-a. 相反向量:与向量a长度相等且方向_____