曲线的曲率PPT课件

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空间曲线的曲率挠率PPT讲稿

空间曲线的曲率挠率PPT讲稿

密切平面方程为
(R r(s0)) r(s0)r(s0) 0
(R
r
(s0
))
r
(s0
)
r
(s0
)
0
R (x, y, z) 表示 P 点的密切平面上任一点的向径,
则上式表示为
x x(s0 ) x(s0 ) x(s0 )
y y(s0 ) y(s0 ) y(s0 )
z z(s0 ) z(s0 ) 0 z(s0 )
O
γ(s) 法平面
对于 c 2 类的曲线上任一正常点处的
C r(s)
密切平面是最贴近于曲线的切平面。
密切平面以
为法向。
密切平面
α(s)β(s)来自从切平面O密切平面的方程
给出 C 2 类的曲线(C):r r (s)

P
Q
r
(
s0
r (s0 )s
s)
r
(
s0
)
1 2
(r
(s0
)
)s
2
r (t0 )
(s)
P
M
P1
M (s s)
lim
lim
1
lim
MM
MM
s0 s s0 s
s0 s MM
(s s) (s)
lim
MM lim (s s) (s)
s0
s
MM s0
s
(s)
(s) (s) r r r
例: 空间曲线,r r (s) 为直线的充要条件是曲率
r r
,
r r r r
,
r 2 r (r r)r
r r r
3)由任意两个基本向量所确定的平面

《高等数学曲率》课件

《高等数学曲率》课件

曲率与生物形态
在自然界中,许多生物形态都呈现出 曲率的特点。例如,鸟类的飞行轨迹 、河流的流向、植物的生长方式等都 与曲率密切相关。通过研究这些生物 形态的曲率特点,可以更好地理解自 然界的规律和原理。
VS
曲率在生物形态中的应用还体现在仿 生学领域。通过模仿自然界中生物的 形态和运动方式,可以创造出更加高 效、环保和可持续的交通工具、建筑 材料等。例如,仿生学中的“蜂巢” 结构就是利用了曲率的特点,具有很 好的抗压和抗震性能。
曲率与建筑设计
在建筑设计中,曲率也被广泛应用。通过合理利用曲率,可以创造出更加美观、舒适和功能性的建筑。例如,在建筑设计时 可以利用曲率来优化建筑的外观和结构,提高建筑的稳定性和安全性。
曲率还可以用于建筑内部的布局和空间设计。例如,利用曲率可以将建筑的内部空间划分为不同的区域,提高建筑的实用性 和舒适性。
曲率研究展望
曲率与几何拓扑关系
未来研究可以探索曲率与几何拓扑之间的关系,例如研究 曲率在曲面分类中的作用,以及曲率在流形学习等方面的 应用。
高维空间曲率研究
随着高维几何的发展,对高维空间中曲率的研究也日益重 要,未来可以进一步探讨高维空间中曲率的性质和计算方 法。
数值计算与模拟
随着计算机技术的发展,数值计算和模拟已经成为研究曲 率的重要手段,未来可以借助更先进的计算方法和模拟技 术,对曲率进行更精确和深入的研究。
03
曲率应用
曲率在几何学中的应用
曲率在几何学中有着广泛的应用,它描述了曲线在某一点的 弯曲程度。在平面几何中,曲率用于描述曲线在某一点的弯 曲程度,而在球面几何中,曲率则用于描述曲面在某一点的 弯曲程度。
在几何学中,曲率的概念可以帮助我们更好地理解空间中的 几何形状,以及它们之间的相互关系。例如,在研究行星运 动时,曲率的概念可以帮助我们理解行星轨道的形状和大小 。

曲率及其计算公式ppt课件

曲率及其计算公式ppt课件

曲线x y 1在点(1,1)处的曲率为
K | y |
2
1 2.
(1 y2 )3 2 (1 (1)2 )3 2 2 2
8
例2
抛物线yax2bxc 上哪一点处的曲率最大?K
| y | (1 y2 )3 2
解 由yax2bxc,得 y2axb ,y2a ,
代入曲率公式,得
K
| (1
y | y2 )3
§3.9 曲 率
一、弧微分
有向弧段的值、弧微分公式
二、曲率及其计算公式
曲率、曲率的计算公式
三、曲率圆与曲率半径
曲率圆曲率半径
1
一、弧微分
(
有向弧段M0 M 的值 s(简称为弧s) :
s 的绝对值等于这弧段的长度,当有向弧段的方向与曲线的
正向一致时s>0,相反时s<0.
显然,弧 s 是 x 的函数:ss(x),而且s(x)是x的单调增加函 数.
2.50单位长.
13
曲线在点M处的曲率K(K 0)与曲线在点M处的曲率半径 r
有如下关系:
r1

1 K

K
r
11
例3 设工件表面的截线为抛物线y0.4x 2.现在要用砂轮 磨削其内表面.问用直径多大的砂轮才比较合适?
y
y=0.4 x2
4
2O
2
x
12
例3 设工件表面的截线为抛物线y0.4x 2.现在要用砂轮 磨削其内表面.问用直径多大的砂轮才比较合适?
dx
dx 1 tan2 a 1 y2
于是
da
y 1 y2
dx.又知 ds
1 y2
dx.
从而,有
| y | K (1 y2 )3 2

曲率及其曲率半径的计算课件

曲率及其曲率半径的计算课件
报告收集方式
明确报告收集方式,如电子邮件、在线平台提交 等。
3
报告整理与反馈
强调教师将对学生的自我评价报告进行整理和分 析,并针对普遍存在的问题进行反馈和解答。
下节课预告及作业布置
下节课预告
预告下节课将要学习的内容,为学生做好预习准 备。
作业布置
布置相关作业,要求学生应用本节课所学知识进 行计算和练习,以巩固所学内容。作业难度适中 ,题量适当。
方法选择
根据数据类型和精度要求选择合适的方法 。
结果整理
整理计算结果,包括曲率半径、误差等信 息。
结果展示与误差分析
01
02
03
结果展示
以表格或图形形式展示计 算结果,包括曲率半径、 误差等信息。
误差分析
分析计算结果的误差来源 ,如数据质量、方法精度 等。
改进措施
根据误差分析结果,提出 改进措施,如优化算法、 提高数据质量等。
THANKS
感谢观看
非弧长参数化下曲率公式
非弧长参数化
以其他参数(如时间、角度等)为参数,将曲线进行参数化,得到非弧长参数 化下的曲线方程。
曲率公式推导
在非弧长参数化下,通过引入切向量和法向量等概念,可以推导出曲率公式 k(t)=|dθ(t)/dt|/|dr(t)/dt|,其中t为非弧长参数,θ(t)为切向量与某一固定方向 的夹角,r(t)为非弧长参数化下的曲线方程。
实际应用案例分享与讨论
螺旋线曲率计算
以螺旋线为例,介绍如何应用曲 率计算公式求解其曲率半径,并 分析曲率半径随参数变化的规律

曲线设计与优化
讨论如何利用曲率概念进行曲线设 计与优化,例如在道路工程、机械 工程等领域中的应用。
曲线拟合与插值

高等数学导数应用(三)曲率PPT课件

高等数学导数应用(三)曲率PPT课件
高等数学导数应用 (三)曲率ppt课件
目录
• 曲率定义与计算 • 导数与曲率的关系 • 曲率在实际问题中的应用 • 曲率的应用案例分析 • 总结与展望
01
曲率定义与计算
曲率的定义
曲率是描述曲线在某一点弯曲程 度的量,定义为曲线在该点处切
线的斜率的变化率。
在二维平面上,曲线的曲率等于 其上任一点处切线的斜率的导数。
导数的性质
导数具有连续性、可导性、可积性等 性质,这些性质在研究函数的形态、 单调性、极值等问题中具有重要作用。
导数与曲率的关系
导数与曲率的关系
曲率是描述曲线在某一点弯曲程度的 量,与函数在该点的导数密切相关。 曲率等于函数在该点的导数的绝对值 。
导数与曲率的几何意义
在几何上,导数表示曲线在某一点的 切线斜率,而曲率表示该点附近曲线 的弯曲程度。因此,导数和曲率共同 决定了曲线在该点的形态。
在几何图形中,曲率的应用非常广泛,如圆、椭圆、 抛物线、双曲线等。
曲率决定了图形的形状和性质,如圆的曲率处处相等 且为常数,而抛物线的曲率只在顶点处为0。
在工程和科学研究中,曲率的应用也非常重要,如分 析机械零件的应力分布、研究光的传播路径等。
的定义
导数是函数在某一点的变化率,表示 函数在该点的切线斜率。
05
总结与展望
总结高等数学导数应用(三)曲率的主要内容
曲率的概念
曲率是描述曲线弯曲程度的量,对于二维平面上的曲 线,曲率等于切线方向的转动角速度。
导数与曲率的关系
曲率是函数二阶导数的几何意义,即曲率等于函数二 阶导数的值。
曲率的应用
曲率在几何、物理、工程等领域有着广泛的应用,如 分析机械零件的应力分布、预测股价波动等。

高等数学同济大学课件上第37曲率

高等数学同济大学课件上第37曲率

理解曲率的几何意义:第37曲率 描述了曲线在某一点的弯曲程度, 可以用于描述曲线的形状和性质。Fra bibliotek添加标题
添加标题
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理解曲率的计算公式:第37曲率 可以通过计算曲线在某一点的二 阶导数得到。
理解曲率的物理意义:第37曲率 可以用于描述物体在空间中的运 动轨迹,例如在物理学中的圆周 运动、天体运动等。
生物医学:利用曲率进行人体 器官建模,提高医疗诊断准确 性
汇报人:
曲率是描述曲线 弯曲程度的量
曲率越大,曲线 弯曲程度越大
曲率是微分几何 中的重要概念
曲率在物理学、 工程学等领域有 广泛应用
曲率定义:描述曲线在某一点的弯曲程度 曲率公式:k = 1/r,其中k为曲率,r为半径 解析过程:首先,确定曲线在某一点的切线方向和法线方向 然后,计算切线方向和法线方向之间的夹角,即曲率角 最后,根据曲率公式计算曲率值
同济大学课件上 第37曲率的定义
同济大学课件上 第37曲率的计算 方法
同济大学课件上 第37曲率的应用 实例
同济大学课件上 第37曲率的注意 事项
曲率是描述曲线弯曲程度的量 第37曲率是描述曲线在某一点的弯曲程度 第37曲率与曲线的弧长、切线斜率等有关 第37曲率在微分几何、物理等领域有广泛应用
第37曲率是同济 大学高等数学课件 上的一个重要概念
第37曲率与其他 曲率相比,具有独 特的性质和特点
第37曲率与其他 曲率之间的关系, 可以帮助我们更好 地理解和掌握高等 数学中的曲率概念
第37曲率与其他 曲率的关系,可以 帮助我们更好地解 决实际问题中的曲 率问题
理解曲率的定义:曲率是描述曲 线弯曲程度的量,第37曲率是描 述曲线在某一点的弯曲程度。

《平面曲线的曲率》课件

《平面曲线的曲率》课件

二次曲线的曲率
二次曲线的曲率公式:K = 1/r,其中r是曲线的半径 曲率与二次曲线的形状关系:曲率越大,曲线的弯曲程度越大 曲率与二次曲线的切线关系:曲率等于切线斜率与半径的比值 曲率与二次曲线的弧长关系:曲率等于弧长与半径的比值
高次曲线的曲率
高次曲线:指次数大于2的曲线,如三次曲线、四次曲线等
YOUR LOGO
20XX.XX.XX
平面曲线的曲率
,
汇报人:
目 录
01 单 击 添 加 目 录 项 标 题 02 平 面 曲 线 的 曲 率 定 义 03 平 面 曲 线 曲 率 的 应 用 04 平 面 曲 线 曲 率 的 性 质 05 平 面 曲 线 曲 率 的 计 算 方 法 06 平 面 曲 线 曲 率 的 实 例 分 析
航线规划:利用曲率信息规划最 优航线
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
避障:根据曲率变化判断障碍物 位置和距离
船舶性能评估:通过曲率变化评 估船舶性能和稳定性
平面曲线曲率的性
04

曲率的几何意义
曲率是描述曲线 弯曲程度的量
曲率越大,曲线 弯曲程度越大
曲率是曲线在某 一点的切线方向 与曲线在该点的 法线方向的夹角
曲率半径
曲率半径:描述平面曲线弯曲程度的量
公式:R=1/k,其中k为曲率
应用:在工程、物理、数学等领域有广泛应用 特点:曲率半径越大,曲线弯曲程度越小;曲率半径越小,曲线弯 曲程度越大。
曲率的意义
曲率是描述曲线 弯曲程度的量
曲率越大,曲线 弯曲程度越大
曲率是描述曲线 形状的重要参数
曲率在工程、物 理、数学等领域 有广泛应用
பைடு நூலகம்

高等数学课件3-5曲率

高等数学课件3-5曲率
单ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ此处添加副标题
高等数学课件3-5曲率
汇报人:
目录
01 02 03 04 05 06
添加目录项标题
曲率的概念
曲率在高等数学中的意义
高等数学课件3-5曲率的讲解重点 如何理解高等数学课件3-5曲率的
意义 如何应用高等数学课件3-5曲率解
决实际问题
01
添加目录项标题
02
曲率的概念
曲率的定义
曲率是描述曲线 弯曲程度的量
曲率越大,曲线 弯曲程度越大
曲率是曲线在某 一点的切线方向 与该点处曲线的 法线方向之间的 夹角
曲率是曲线在某 一点的切线方向 与该点处曲线的 法线方向之间的 夹角
曲率的计算方法
曲率公式:k = 1/r,其中k为曲率,r 为半径
曲率圆:曲率半径的圆,曲率中心为 圆心,曲率半径为半径
曲率半径:r = 1/k,其中k为曲率
曲率在曲线和曲面中的应用
曲率是描述曲 线或曲面弯曲
程度的量
曲率越大,曲 线或曲面的弯
曲程度越大
曲率在微分几 何、拓扑学、 物理等领域有
广泛应用
曲率可以帮助 我们理解和分 析曲线和曲面 的性质,如长 度、面积、体
积等
曲率在微积分学中的应用
曲率是描述曲线弯曲程度的重要 参数
曲率在微积分学中用于求解曲线 的弧长、面积等问题
利用曲率进行创新和设计
曲率在工程设计中的应用:如 桥梁、建筑、机械等
曲率在艺术设计中的应用:如 雕塑、绘画、平面设计等
曲率在科学研究中的应用:如 物理、化学、生物等
曲率在商业设计中的应用:如 产品包装、广告设计等
感谢观看
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高教社2024高等数学第五版教学课件-3.5 曲率

高教社2024高等数学第五版教学课件-3.5 曲率
反比。
设, 是曲线 = ()的两个点,假如曲线在点和
点的切线与轴的夹角分别为和 + ,那么当点沿
曲线 = ()变到时,角度改变了,而改变这个角

度经过的路程则是弧长 = ,就用比值


来刻画

曲线段的弯曲程度,称为平均曲率。为了刻画曲线
在某点处的曲率,有下面的定义:
来向北最后拐向东了,即方向改变了90 ;另一方面是指在多远的路程上
改变了这个角度,如果两个弯都改变了90 ,但一个是在10m内改变的,另
一个是在1000m内改变的,当然前者比后者弯曲得厉害。由此可见,弯曲
程度是由方向改变的大小及在多长一段路程上改变的这两个因素所决定的,
并且弯曲程度与方向改变的大小成正比,与改变这个方向所经过的路程成
=
| ″ |
(1+ ′2 )3Τ2
=
2
(1+(−1)2 )3Τ2
=
12ຫໍສະໝຸດ =22
例4
抛物线 = 2 + + 上哪一点处的曲率最大?


解 由于 = 2 + = 2由曲率公式 得 =
显然 当2 + = 0即 = −
|2|

[1+(2+)2 ]3Τ2
第三章 导数的应用
第五节 曲率
在现实生活中,许多问题都要考虑曲线的弯曲程度,如修建铁
路时,铁路线的弯曲程度必须合适,否则容易造成火车出轨。数学
上常用“曲率”这一概念来描述曲线的弯曲程度。
一、 曲率的概念
人们坐汽车时,公路弯曲程度在车上是有感觉的。人们说这个弯大,
那个弯小,通常是从两个方面来说的:一是指公路方向改变的大小,如原

曲率半径的数学表达精品PPT课件

曲率半径的数学表达精品PPT课件

❖曲率 设曲线C是光滑的 曲线上
点M对应于弧s 在点M处切线的
倾角为a 曲线上另外一点N对
应于弧sDs 在点N处切线的倾
角为aDa .
平均曲率:
曲率:
❖曲率的计算公式 曲率:
❖曲率的计算公式
设曲线C的方程为yf(x) 且f(x)具有二阶导数.
因为tan ay 所以 sec 2adaydx
曲率的计算公式: 例1 计算等边双曲线xy1在点(1 1)处的曲率. 解
在曲线凹的一侧作一个与曲线相切于M且半径为
rK1的圆.
上述圆叫做曲线在点M 处的曲率圆 其圆心叫做曲
曲率半径
曲率中心
率中心 其半径r叫做曲率半
径.
❖曲率与曲率半径关系
曲率圆
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
2. 若曲线的参数方程为xj(t) yy(t) 那么曲率如何
计算? 3. 半径为R的圆上任一点的曲率是什么?
提示: 1. 设直线方程为yaxb 则ya 数方程为xR cos t yR sin t .
三、曲率圆与曲率半径
❖曲率圆与曲率半径
设曲线在点M处的曲率为K(K0).
因此y|x11 y|x12. 曲线在点(1 1)处的曲率为
曲率的计算公式: 例2 抛物线yax2bxc上哪一点处的曲率最大? 解 由yax2bxc 得 y2axb y2a
代入曲率公式 得
显然 当2axb0时曲率最大.
因此 抛物线在顶点处的曲率最大 此处K|2a|.
讨论: 1. 直线yaxb上任一点的曲率是什么?

空间曲线曲率挠率和Frenet公式-PPT课件

空间曲线曲率挠率和Frenet公式-PPT课件

这组公式是空间曲线论的基本公式。它的特点是基 , 关于弧长 本向量 , 的微商可以用 , , 的线性组合来表示。系数组成反称的方阵
s
k (s) 0 0 k (s) 0 ( s ) 0 ( s ) 0
挠率的计算公式 ( s ) ( r , r , , r , ) 2
(s)
(r,r,,r,)
2
() s 0
r
所以 () s 0
等价于
(r ,r ,r ) 0
,( C ) 在一点的密切圆(曲率圆)是过曲 线 ( C ) 上一点 P ( s ) 的主法线的正侧取线段 P C 1 1 使 P C 的长为 k 。 以 C 为圆心,以 k 为半径在密切 平面上确定一个圆,这个圆称为曲线( C ) 在 P ( s ) 点的密切 圆(曲率圆),曲率圆的中心称 为曲率中心,曲率圆的半径称为曲率半径。 曲率中心轨迹设对应Y,则有
r , r ,, r
, 3
例: 空间曲线:r = r(s)为直线的充要条件是 曲率k(s)=0. 证明 若为直线 r = s a + b,其中a和b都是常向 量,并且| a | = 1,则k(s)= | r ( s ) | 0 ; 反之, 若k(s)=0, 则 | r ( s ) | 0 于是
lim
s 0
s
几何意义是它的数值为曲线的副法向量对于弧长的旋转 速度
下面考虑扭转方向,因



r r

k ( s)
所以
k ( s) ( )
k ( s)
, || ||
r

空间曲线曲率和挠率的介绍ppt课件

空间曲线曲率和挠率的介绍ppt课件

.
说明: 设曲线弧 yf(x) 二阶可导,
y
则曲率计算公式为
(1
y 2
)3 2
d
ds
当y 1时 ,有曲率近似计算公式 y
若曲线由参数方程
x x(t)
y
y(t)
给出, 则
xy xy
( x2 y2)32
若曲线方程为 x(y),
x

(1
x
2
)
3 2
若曲线由参数方程
x x(t)
.
微分几何的应用
▪ 理论物理
➢ 广义相对论将物理量解释为几何量。具体的说, 空间和时间结合在一起由一个流形描述:不同的 参照系给出不同的局部坐标;不同参照系之间的 关系即是坐标变换。时空流形的度量由所谓 Lorentz度量给出,象Riemann几何一样计算出 曲率等几何量。
➢ Einstein方程说: 时空的物理量(能量动量张量) 等于时空的几何量(Ricci曲率张量)。
由 0
(
)
(
1
)
(
1
)
((
1
)
1
)
( r 1 r ) [( 1 ) r 1 r ]
( r , r , r )
2
r 6 ( r , r , r )
( r r) 2
r rrrds3
可得 r 挠率(r 公式d d为st2rd d22 st()(• rr, rdr,trd d )2) st3r
.
1.空间曲线的基本三棱形、伏雷内标架
1) 给称出C2r类 曲dr线为r曲线r((sC))得上一单P 位点向的量单位切r向 量dd。rs ,
ds

r r

高等数学(第四版) 上、下册(同济大学 天津大学等编)3_7 曲率-PPT课件

高等数学(第四版) 上、下册(同济大学 天津大学等编)3_7 曲率-PPT课件
M 00M M M 的方向与曲线的正向一致时, s 0;当二者方向相反 M0 M s( x), 且为 x 的单 时, s 0 ,故弧 s 为 x 的函数 s M 0M 调增函数. s( x) 的微分称为弧微分.下面求函数 s( x) 的导数 和微分. 在曲线 y f ( x) 上点 M ( x, y) 的邻近取一点 M ( x x, y y) ( x (a, b), x x (a, b)),则函数 s( x) 的 增量为 s : s M M00M M M M00M M MM M M (图 3-12)
y A M’ R M x 图3-14
1 O s R 1 lim 从而 s 0 s R 这就是说,圆上各点处的曲率都等于半径的倒数,即处 处弯曲程度相同.半径愈小,曲率愈大,弯Biblioteka 愈甚.1M2 M1
2
M3
M1
N1
M2 N2

图3-13 (b) (a) M1 M 22 较弧 M 从图 3-13(a)看出,弧 M M 22M M33 平直.在弧 M M11M M2 2 1M 上,当动点沿曲线由点 M 1 移动到点 M 2 时,切线转过角1 ;
M2 M 33 上, 在弧 M 当动点由点 M 2 移动点 M 3 时, 切线转过角 2 , 2M 显然 2 1 .但仅仅由切线转过的角度的大小还不足以充分
M M时 s 0, 当 , 将 平 均 曲 率 取 极 限 ( 若 极 K 限 存 在 ) , 称 该 极 限 值 为 曲 线 C在 点 M处 的 曲 率 , 记 作 K lim K lim . M M s 0 s 由 导 数 定 义 得 d K (2 ) d s
例1 求直线上各点的曲率 .
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s( x) lim s lim x0 x0
(x)2 (y)2 ( x )2
x lim
1 ( y )2
1 ( y)2,
x0
x
.
, lim M M 1 x0 M M
4
ds 1 ( y)2dx

ds (dx)2 (dy)2 .
几何意义:
y
ds MT
dx cos ;
ds
O
dy sin .
.
12
由此可得曲率中心公式
y
D( , )
x y(1 y2) ,
y
y 1 y2 .
CR
T
M(x, y)
y
O
x
当点 M (x, y) 沿曲线 C : y f ( x) 移动时, 相应
的曲率中心的轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线, 曲线 C
称为曲线G 的渐伸线 .
.
13
二、典型例题
A
M
M0
有向弧段M0M的值 s .
O a x0 x b x
.
2
弧的定义
y y f (x) B
有向弧段M0M的值 s (简称弧 s)
A
M
M0
规定为:
s 的大小等于弧M0M的长度, O a x0 x b x
当弧M0M的方向与曲线的正方向一致时, s > 0, 相反时, s < 0.
显然, s 是个代数量, 且是x的单调增函数 s(x).
3
2a
3.
(1 y2 )2 [1 (2ax b)2]2
显然,
当x b 时, 2a
K最大.

Q
(
b 2a
,
b2
4ac 4a
)为抛物线的顶点,
抛物线在顶点处的曲率 最大.
.
15
例3 求 y ax 3上任一点的曲率半径 .
解 y 3ax2, y 6ax,
R 1 (1 y2)32
.
3
2. 弧 s(x)的微分
y
设弧 s =M0M = s(x),
y f (x) B
( s x
)2
M M2 ( x )2
M M2 MM 2
MM2 (x) 2 .
A
M
M M0 x
y
又 s( x)单增,
s x
M M2 MM 2
MM 2 (x)2
O ax0 x x x b x
M M 2 (x)2 (y)2
y
并且当 l 很小 ( l 1)时
R
R
R
在终端A的曲率 近似为 1 .
R
l A( x0, y0)
O C(x0,0) x
.
18
证 如图, x的负半轴表示直道,
y
B
OA是缓冲段 , AB是圆弧轨道 .
R
实际要求 l x0. 在缓冲段上,
R
T
M(x, y)
x
.
11
下面求曲线上点M 处的曲率中心 D( , )
的坐标公式 .
y
设点M 处的曲率圆方程为
D( , )
( )2 ( )2 R2,
CR
T
其中 , 满足方程组
M(x, y)
O
x
(x )2 ( y )2 R2
y
x y
(M ( x , y)在曲率圆上 ) ( DM MT )
在光滑弧上自点 M 开始取弧段 M M, 其长为
s , 对应切线转角为 , 定义弧段 s上的平均曲率
K ,
s
点 M 处的曲率:
K lim K
M M
lim
s0 s
d .
ds
显然, 直线上任意点处的曲率为 0.
.
7
(三) 曲率的计算公式
设曲线 y f ( x) 二阶可导, 设为切线的倾角 , 则有tan y, 故 arctan y, 从而
mv 2 R
,
所以若在拐弯点B
接上圆弧,则向心力 F向心力在B点不连续,从而
产生剧烈震动. 为了行驶平稳,往往在 直道和弯道
之间接入一段缓冲段,使曲率连续地由零过渡到 1 . R0
.
17
通常用三次抛物线
y
1 6Rl
x3,x
[0,
x0 ]作为
缓冲段 OA,其中 l为OA的长度 .
验证缓冲段 OA在始端 O的曲率为零 ,
K
y
(1 9a2x4 )32 ( x 0) 6ax
y y ax3 Ox
在该曲线的拐点 (0,0)处, lim R .
x0
.
16
例4 问:火车轨道由直轨转入弯道时,为什么 不立即接上圆弧轨道?
答:直轨 AB的曲率:k直 0, 曲率半径:R直 .
而圆弧的曲率半径:R圆 R0(常数).
由于向心力:F向心力
ds
.
M T
M dy
dx
x x dx x
5
注 1 若曲线由参数方程表示: x x(t ), y y(t),
则弧微分公式为 ds [ x(t )]2 [ y(t )]2 d t .
2 若曲线由极坐标方程表示:
( ),
则通过计算可得
ds [ ( )] [ ( )]2 d .
.
6
(二) 平面曲线曲率的概念 曲率的定义
例1 求半径为R 的圆上任意点处的曲率.
解 如图所示 ,
s R K lim 1 .
s0 s R
M
s
R M
可见: 圆的弯曲程度处处相同; 圆的半径越小, 圆弯曲得愈厉害 .
.
14
例2 抛物线 y ax2 bx c 上哪一点的曲率最大 ?
解 y 2ax b, y 2a,
y
K
d (arctan y)dx y dx.
1 y2
又 ds 1 y2 dx,
故曲率计算公式为
K d
ds
y 3.
(1 y2 )2
.
8
注 1o当 y 1 时, 有曲率近似计算公式 K y .
2
x x(t) 若曲线由参数方程 y y(t)
给出,
则通过
计算可得
K x y x y .
第七节 曲线的曲率
一、主要内容 二、典型例题 三、同步练习 四、同步练习解答
.
第三章
1
一、主要内容
(一) 弧微分 1. 弧的概念
设 y f ( x) 在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB,
设曲线的正向为x增大的方向. 若M0为选定的基点, M是有向 弧段上任意一点,则可定义
y
y f (x) B
3
K
y
3
( x2 y2)2
(1 y2)2
3 若曲线方程为 x ( y), 则
x
K
3.
(1 x2)2
.
9
(四) 曲率圆与曲率半径
设 M 为曲线 C 上任一点 , y
D( , )
在点M 处作曲线的切线和法线,
在曲线的凹向一侧法线上取点 C
D使
DM R 1 ,
O
K
R
T
M(x, y)
x
把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的
曲率圆(密切圆), R 叫做曲率半径, D 叫做曲率中心.
.
10
在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系:
(1) 有公切线; (2) 凹向一致; (3) 曲率相同 .
设曲线方程为 y f ( x), 且 y y 0, 曲线上点M 处的曲
率半径为
C
3
R 1 (1 y2)2 . O
K
y
D( , )
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