简单的绝对值不等式与一元二次不等式的解法

的解集的情况。
到例2
要点1
要点2
设f(x)=ax2+bx+c (a＞0),且设方程f(x)=0在△＞0是的
两个根分别是x1、x2，且x1＜x2。
△＝b2－4ac
△＞0
△＝0
△＜0
f(x)＞0的解集
f(x)＜0的解集
y=f(x)的图象
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填表
练习
设f(x)=ax2+bx+c (a＞0),且设方程f(x)=0在△＞0时的
△＝0
△＜0
f(x)＞0的解集 ｛x|x＞x1或x＜x2｝
f(x)＜0的解集
｛x|x1＜x＜x2｝
y
y=f(x)的图象
x O x1 x2
回封页
填表
练习
设f(x)=ax2+bx+c (a＞0),且设方程f(x)=0在△＞0时的
两个根分别是x1、x2，且x1＜x2。
△＝b2－4ac
△＞0
△＝0
△＜0
f(x)＞0的解集 ｛x|x＞x1或x＜x2｝
对应的二次函数f(x)= x2－5x＋4 的图象如下 (与x 轴的两个交点 的横坐标为其对应的方程x2－5x＋4＝0 的两个根），要函数值不 大于零，即取图象在 x 轴上或 x 轴下方的部分所对应的 x 的取值 范围，故集合A＝［1，4］； 同理可求B＝（－∞，2］∪［3， ＋∞） 。所以有：A∩B＝｛x|1≤x≤2或3≤x≤4｝
O
1x
所求不等式的解集为: {x｜0 ≤x ≤1}
回练习
课堂小结
思考题
思考题:
已知集合A＝｛x｜｜x－(m＋1)2／2｜≤(m－1)2／2｝，
B＝｛x｜x2－3(x＋1)x + 2(3m+1)≤0，x∈R｝，若 A B，求
实数m的取值范围。
分析: 可解集合 A＝[2m , m2+1]
?
B＝｛x｜(x－2)[x －(3m+1)]≤0，x∈R｝
y
y
y
y=f(x)的图象
x O x1 x2
O
xO
x
x＝－b／2a
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填表
练习
设f(x)=ax2+bx+c (a＞0),且设方程f(x)=0在△＞0时的
两个根分别是x1、x2，且x1＜x2。
△＝b2－4ac
△＞0
△＝0
△＜0
f(x)＞0的解集 ｛x|x＞x1或x＜x2｝ ｛x|x≠－b／2a｝
R
f(x)＜0的解集
解答
结论
到要点 下一页
例题示范
例2、已知集合A＝｛x｜｜x－1｜＜c, c＞0｝，B＝
｛x｜｜x－3｜＞4｝，且A∩B≠，求c的范围。
解：由题意可知，集合A是不等式｜x－1｜＜c 的解
集，又 由｜x－1｜＜c （c＞0） 1－c＜x＜1＋c有： A＝（1－c，1＋c）， 同理，可求B＝（－∞，－1）∪ （7，＋∞） 。（如图）
－1 1－c 1+c
7
x
由上图可知，要A∩B≠,即要有: 1－c＜－1 或 1＋c＞7 c＞2 或 c＞6 c＞2
所以c的范围为c＞2 。
动画
结论
练 习 到思考
例题示范
例3、已知集合A＝｛x｜x2－5x＋4≤0｝，B＝｛x｜x2－
5x＋6≥0｝，则A∩B＝ ｛x|1≤x≤2或3。≤x≤4｝
解：由题意可知，集合A是不等式x2－5x＋4≤0 的解集，又 其
集合 B 的解集究竟是什么？
是［2，3m+1]还是［3m+1,2]?如何处理？
要A B，又如何处理？
到例2
课堂小结
课堂小结
1、熟悉|ax+b|＞c,|ax＋b|＞c,(c＞0)型不
等式的概念，并掌握它们的解法；
2、熟悉二次函数、一元二次不等式及一元 二次方程三者之间的联系，并能运用它们之 间的联系，数形结合，熟练一元二次不等式 的解法。
练习3、 (1998年高考题)设a≠b，解关于x 的不等式：
a2x+b2(1－x）≥［a x＋b（1－x）］2 。
到例3 练习2 练习3 到 表 思考题 课堂小结
练习3、设a≠b，解关于x 的不等式：
a2x+b2(1－x）≥［a x＋b（1－x）］2 。
解：∴ a2x+b2(1－x)≥［a x＋b(1－x)］2
简单的绝对值不等式 与一元二次不等式的解法
简单的绝对值不等式与一元二次不等式的解法 y
O
x
到图表
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教学过程：
一、学习目标 二、例题示范 三、要点总结 四、反馈练习
五、课堂小结
学习目标
1、理解|ax+b|＞c,|ax＋b|＜c,(c＞0)型
不等式的概念，并掌握它们的解法；
2、了解二次函数、一元二次不等式及 一元二次方程三者之间的联系，掌握 一元二次不等式的解法。
两个根分别是x1、x2，且x1＜x2。
△＝b2－4ac
△＞0
△＝0
△＜0
f(x)＞0的解集
f(x)＜0的解集 y=f(x)的图象
y x O x1 x2
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填表
练习
设f(x)=ax2+bx+c (a＞0),且设方程f(x)=0在△＞0时的
两个根分别是x1、x2，且x1＜x2。
△＝b2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ4ac
△＞0
f(x)＞0的解集 ｛x|x1＜x＜x2｝
y
y
y=f(x)的图象
x O x1 x2
O
x
x＝－b／2a
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填表
练习
设f(x)=ax2+bx+c (a＞0),且设方程f(x)=0在△＞0时的
两个根分别是x1、x2，且x1＜x2。
△＝b2－4ac
△＞0
△＝0
△＜0
f(x)＞0的解集 ｛x|x＞x1或x＜x2｝ ｛x|x≠－b／2a｝
3、借助数轴进行集合间的运算。
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a2x+b2－b2x ≥ a2x+b2(1－x)2 +2abx (1－x)
(a2+b2－2ab) x2 － (a2－b2+2b2－2ab) x ≤0
（a－b)2(x2－x) ≤0
y
又∵ a≠b，∴ （a－b)2 ＞ 0
故由（a－b)2(x2－x) ≤0
x2－x ≤0
x (x－1) ≤0
见右图有:
f(x)＜0的解集
｛x|x1＜x＜x2｝
y
y
y=f(x)的图象
x O x1 x2
O
x
x＝－b／2a
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练习
设f(x)=ax2+bx+c (a＞0),且设方程f(x)=0在△＞0时的
两个根分别是x1、x2，且x1＜x2。
△＝b2－4ac
△＞0
△＝0
△＜0
f(x)＞0的解集
f(x)＜0的解集
y
y
y
y=f(x)的图象
x O x1 x2
O
xO
x
x＝－b／2a
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填表
练习
设f(x)=ax2+bx+c (a＞0),且设方程f(x)=0在△＞0时的
两个根分别是x1、x2，且x1＜x2。
△＝b2－4ac
△＞0
△＝0
△＜0
f(x)＞0的解集 ｛x|x＞x1或x＜x2｝ ｛x|x≠－b／2a｝
f(x)＜0的解集 ｛x|x1＜x＜x2｝
｛x|x1＜x＜x2｝
y
y
y
y=f(x)的图象
x O x1 x2
O
xO
x
x＝－b／2a
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练习
反馈练习
练习1、已知集合A＝｛x｜｜x－1｜＜1｝，B＝
｛x｜x(x－2) ＜0｝，则A∪B＝ ｛x｜0＜x＜。2｝
练习2、 若不等式ax2+bx+2＞0的解集为
｛x｜－1／2＜x＜1／3｝，则a＝ －12，b＝ －2 。
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例题示范
例1、已知集合A＝｛x｜｜x｜＜1｝，B＝
｛x｜｜5－2x｜＞5｝，则A∩B＝
。
解：由题意可知，集合A是不等式｜x｜＜1的解集，又
由｜x｜＜1 －1＜x＜1有：A＝（－1，1）（如图）
同理，可求B＝（－∞，0）∪（5，＋∞） （如图）。
－1 0 1
x
5
所以A∩B＝｛x｜－1＜x＜0｝。
y
y y=x2－5x＋6
y=x2－5x＋4
O1 4 x O 2 3 x
到表格
到要点
要点总结
1、 |ax+b|＞c (c＞0) ax+b＞c 或 ax+b＜－c
|ax+b|＜c (c＞0) －c ＜ax+b ＜ c （还要根据 a 的取值进行讨论）。
2、ax2+bx+c ＞0 ( a＞0 ) 及ax2+bx+c ＜0 ( a＞0 )