河南省洛阳市洛龙区2018-2019学年九年级上学期期中数学试题
河南省洛阳市九年级上学期数学期中考试试卷
河南省洛阳市九年级上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020七下·重庆期末) 如图，在5×5的正方形网格中已有5块被涂成阴影，则在未涂的空格中，任选一格涂成阴影，可使阴影部分为轴对称图形的概率是（）A .B .C .D .【考点】2. （2分） (2020九上·无锡期中) 若等腰三角形的两条边长分别是方程x2-7x+10=0的两根，则等腰三角形的周长为（）A . 9B . 10C . 12D . 9或12【考点】3. （2分）关于x的方程 x2 – m x – 2 = 0( m为实数)的根的情况是（）A . 有两个不相等的实数根B . 有两个相等的实数根C . 没有实数根D . 有没有实数根不能确定【考点】4. （2分） (2019九上·绍兴月考) 将抛物线y=x2+4x+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位的所得抛物线的表达式是（）A . y=(x+1)2-4B . y=-(x+1)2-4C . y=(x+3)2-4D . y=-(x+3)2-4【考点】5. （2分） (2020九上·二连浩特期中) 一元二次方程配方后化为（）A .B .C .D .【考点】6. （2分）不论m取何值，抛物线y=2(x+m)2-m的顶点一定在下列哪个函数图像上（）A . y=2x2B . y=-xC . y=-2xD . y=x【考点】7. （2分） (2019九上·萧山开学考) 已知y＝0是关于y的一元二次方程（m﹣1）y2+my+4m2﹣4＝0的一个根，那么m的值是（）A . ﹣1B . ±1C . 1D . 0【考点】8. （2分） (2019八上·临潼月考) 如图，在网格图中，若，则点的位置应在（）A . 点处B . 点处C . 点处D . 点处【考点】9. （2分） (2020九上·瑞安期中) 我校门口道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图1），图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点E ，点P）以及点A ，点B落上同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分（EF）与第2根栏杆未涂色部分（PQ）长度相等，则EF的长度是（）A . 米B . 米C . 米D . 米【考点】10. （2分）如图，在直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，点A的坐标是（﹣2，0），将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB′C′，则点B的对应点B′的坐标是（）A . （1，﹣1）B . （1，1）C . （﹣1，1）D . （﹣1，﹣1）【考点】11. （2分） (2018九上·阿荣旗月考) 已知x1、x2是方程x2﹣5x﹣6＝0的两个根，则代数式x1+x2的值（）A . 5B . ﹣5C . 6D . ﹣6【考点】12. （2分） (2020九上·洪山月考) 二次函数的图象如图所示，那么，，，这四个代数式中，值为正数的有（）.A . 4个B . 3个C . 2个D . 1个【考点】二、填空题 (共8题；共8分)13. （1分） (2019九上·辽源期末) 已知点P（a+1，1）关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围是________．【考点】14. （1分） (2019八上·浦东月考) 当m________时，关于的方程有两个相等实数根。
2018-2019学年度第一学期九年级数学上期中试卷
2018-2019学年度九年级数学上期中试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1. 下列标志中不是中心对称图形的是2. 已知反比例函数y ＝6x ，下列各点在该函数图象上的是A ．(2，－3)B ．(2，3)C ．(－1，6)D ．132（－，）3． 若关于x 的方程x 2－mx ＋6＝0的一个根是2，则另一个根是A ．2B ．－2C ．－3D ．3 4． 下列说法中，正确的是A ．周长相等的圆是等圆B ．过任意三点可以画一个圆C ．相等的圆心角所对的弧相等D ．平分弦的直径垂直于弦5. 小亮是一名职业足球队员，根据以往比赛数据统计，小亮进球率为10%．他明天将参加一场比赛，下面几种说法正确的是A ．小亮明天的进球率为10%B ．小亮明天每射球10次必进球1次C ．小亮明天有可能进球D ．小亮明天肯定进球 6. 已知圆锥的母线长为5cm ，高为4cm ，则这个圆锥的侧面积为A ．12π cm 2B . 15π cm 2C ．20π cm 2D . 25π cm 27. 如果k b a cc a b c b a =+=+=+，且a ＋b ＋c ≠0．则k 的值为（ ） A ．31 B ．21 C ．21或－1 D ．－18. 如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且CF ＝14CD ，下列结论：①∠BAE ＝30°，②△ABE ∽△AEF ，③AE ⊥EF ，④△ADF ∽△ECF ．其中正确结论的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第8题 第14题 第15题 第16题 第17题9. 抛物线y ＝x 2＋bx ＋c （其中b ，c 是常数）过点A (2，6)，且抛物线的对称轴与线段y ＝0（1≤x ≤3）有交点，则c 的值不可能是 A ．4 B ．6 C ．8 D ．1010．一条抛物线过P 1(－3，y 1)，P 2(－1，y 2)，P 3(1，y 3)，P 4(3，y 4)四点，若y 3＜y 2＜y 4，则可能的最值情况是 A ．y 3最小，y 1最大 B ．y 3最小，y 4最大 C ．y 1最小，y 4最大 D ．y 2最小，y 4最大二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡．．．相应位置．．．．上） 11．若x ＝1是一元二次方程x 2＋2x ＋m ＝0的一个根，则m 的值为 ．12．若反比例函数y ＝2k －1x的图象经过第二、四象限，则k 的取值范围是 ．13．在平面直角坐标系中，将函数y ＝2x 2的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，所A BCFDE A ． B ． C ． D ．得图象的函数解析式为 ．14．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝3，将矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转，得到矩形AEFG ，点B 的对应点E 落在CD 上，且DE ＝EF ，则AB 的长为 ．15．在△ABC 中，P 是AB 上的动点（P 异于A ，B ），过点P 的一条直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P 的△ABC 的相似线.如图，∠A ＝36°，AB ＝AC ,当点P 在AC 的垂直平分线上时，过点P 的△ABC 的相似线最多有_______条.16．如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型．当拱顶离水面2 m 时，水面宽4 m ．则水面下降1 m 时，水面宽17．如图，点A 、B 、E 在⊙O 上，半径OC ⊥AB 于点D ，∠CEB ＝22.5°，OD ＝2．则图中阴影部分的面（结果保留π）18．若抛物线y ＝x 2－1与直线y ＝－x 的两交点横坐标分别为p ，q ，则代数式2223p q p －＋的值为 ． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本小题满分8分）解方程：（1）x (x －1)＝1－x ； （2）2x 2－3x －1＝0． 20．（本小题满分8分）已知关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋m ＝0．（1）若方程有两个相等的实数根，求m 的值； （2）当m ＝－3时，求方程的根． 21．（本小题满分8分）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC 的顶点均在格点上，点A 、B 的坐标分别是A （4，3）、B （4，1），把△ABC 绕点C 逆时针旋转90°后得到△A 1B 1C ． （1）画出△A 1B 1C ，直接写出点A 1、B 1的坐标； （2）求在旋转过程中，点B 所经过的路径的长度．22．（本小题满分8分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AD＝4，DB＝9，CD＝6．求证：△ABC为直角三角形．23．（本小题满分8分）有6张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，6．（1）若从中随机抽取一张，求取出的数字是偶数的概率；（2）若随机抽取一张后，放回并混在一起，再随机抽取一张，求第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率．25．（本小题满分10分）在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC边上的任一点，CE⊥AB于点E，CF⊥BD于点F，连结EF．求证：∠BFE＝∠AABC DEF26．（本小题满分10分）已知二次函数y＝x2＋mx＋n(m，n为常数).CA D B（1）若m ＝－2，n ＝－4，求二次函数的最小值；（2）若n ＝3，该二次函数的图象与直线y ＝1只有一个公共点，求m 的值；（3）若n ＝m 2，且3m ＋4＜0，当x 满足m ≤x ≤m ＋2时，y 有最小值13，求此时二次函数的解析式. 27．（本小题满分13分）如图1，△ABC 是边长为4 cm 的等边三角形，边AB 在射线OM 上，且OA ＝6 cm ，点D 从点O 出发，沿OM 的方向以1 cm/s 的速度运动，当D 不与点A 重合时，将△ACD 绕点C 逆时针方向旋转60°得到△BCE ，连接DE ，设运动时间为t s ． （1）求证：△CDE 是等边三角形；（2）当6＜t ＜10时，如图2，△BDE 周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE 的最小周长； 若不存在，请说明理由．（3）当点D 在射线OM 上运动时，如图3，是否存在以D 、B 、E 为顶点的三角形是直角三角形？ 若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．图1 图2 图328．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为(a ，b )，点P 的变换点P '的坐标定义如下： 当a ＞b 时，点P '的坐标为(－a ，b )；当a ≤b 时，点P '的坐标为(－b ，a )．（1）点A (3，1)的变换点A '的坐标是 ；点B (－4，2)的变换点为B '，连接OB ，OB '，则∠BOB '＝ °；（2）已知抛物线y ＝－(x ＋2)2＋m 与x 轴交于点C ，D (点C 在点D 的左侧)，顶点为E ．点P 在抛物线y ＝－(x ＋2)2＋m 上，点P 的变换点为P '．若点P '恰好在抛物线的对称轴上，且四边形ECP 'D 是菱形，求m 的值；（3）若点F 是函数y ＝－2x －6(－4≤x ≤－2)图象上的一点，点F 的变换点为F '，连接FF '，以FF '为直径作⊙M ，⊙M 的半径为r ，请直接写出r 的取值范围．MA CO ECEM ACB ODM2018～2019学年度九年级期中试卷 数学试题参考答案与评分标准说明：本评分标准每题给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．11．－3 12．k ＜1213．y ＝2(x －1)2＋5 14．15．0.950 16．4 17．12π－1 18．8三、解答题（本大题共10小题，共96分） 19．（本小题满分8分）解：（1）x (x －1)＋(x －1)＝0． --------------------------------------------------------------------------------------- 1分(x －1) (x ＋1)＝0． ------------------------------------------------------------------------------------------- 3分 所以x 1＝1，x 2＝－1． ------------------------------------------------------------------------------------- 4分 （2）因为a ＝2，b ＝－3，c ＝－1，所以b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×(－1)＝17＞0．-------------------------------------------------------- 6分所以x 1＝3＋17 4，x 2＝3－174． ------------------------------------------------------------------- 8分20．（本小题满分8分）解：（1）由题意得，△＝0 即 4－4m ＝0，m ＝1 ------------------------------------------------------------------------------------------------ 4分（2）当m ＝－3时，x 2＋2x －3＝0，解得x 1＝1，x 2＝－3. ------------------------------------------------ 8分 21（1）画图． ---------------------------------------------------------------------------------- 2分A 1（－1，4），B 1（1，4）． ------------------------------------------------------ 4分 （2）BC ＝3，∠BCB 1＝90°，∴点B 所经过的路径长为：90331802ππ⨯＝．-------------------------------- 8分22．（本小题满分8分）解：设小路宽为x 米，由题意，得(32－2x )(20－x )＝570． ------------------------------------------------ 4分解之得x 1＝1，x 2＝35． --------------------------------------------------------------------------------------- 6分 ∵32－2x ＞0，20－x ＞0 ∴0＜x ＜16．∴x ＝1 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 7分 答：小路的宽为1米． ------------------------------------------------------------------------------------------------ 8分 23．(本小题满分8分)解：（1）∵ON ＝1，MN ⊥x 轴，∴M 点横坐标为x ＝1， ------------------------------------------------------------------------------------------ 1分 把1x ＝代入到1y x ＝＋中得：y ＝2， ∴M 点的坐标为（1，2）， -------------------------------------------------------------------------------------- 2分把M （1，2）代入到ky x＝中得到k ＝2，∴反比例函数的表达式为2y x＝． ----------------------------------------------------------------------------- 5分（2）x ＞1 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 8分24．(本小题满分10分)解：（1）从中随机抽取一张有6种等可能结果：1，2，3，4，5，6．其中偶数的有三种：2，4，6．所以P （偶数）＝36＝12．-------------------------------------------------------------- 4分（2）列表或画树形图（略） ----------------------------------------------------------------------------------------- 6分 所有可能的结果共36种，且都是等可能的，其中第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字（记为事件A ）共14种． --------------------------------------------------------------------------------------------------- 8分∴P （A ）＝1436＝718． ----------------------------------------------------------------------------------------------- 10分25．(本小题满分10分)解：（1）直线DE 与⊙O 相切． --------------------------------------------------------------------------------- 1分（1）当m ＝－2，n ＝－4时，y ＝x 2－2x －4＝(x －1)2－5∴当x ＝1时，y 最小值＝－5. --------------------------------------------------------------------------------------- 3分（2）当n ＝3时，y ＝x 2＋mx ＋3，令y ＝1，则x 2＋mx ＋3＝1.由题意知，x 2＋mx ＋3＝1有两个相等的实根， 则△＝m 2－8＝0．m ＝ 6分 （3）由3m ＋4＜0，可知m ＜43－，∴m ≤x ≤m ＋2＜23．抛物线y ＝x 2＋mx ＋m 2的对称轴为x ＝2m －， ∵m ＜43－，∴2m －＞23∴对称轴为x ＝2m －＞23． -------------------------------------------------------------------------------------- 7分∴在m ≤x ≤m ＋2时，y 随着x 的增大而减小．∴当x ＝m ＋2时，y 有最小值为13． ------------------------------------------------------------------------- 8分∴(m ＋2)2＋m (m ＋2)＋m 2＝13，即m 2＋2m －3＝0． ------------------------------------------------------ 9分解得m ＝1或m ＝－3．而m ＜43－，∴m ＝－3．此时，y ＝x 2－3x ＋9． --------------------------------------------------------------------------------------------- 10分 27．(本小题满分13分)解：（1）证明：∵△BCE 是由△ACD 绕点C 逆时针方向旋转60°所得， ∴∠DCE ＝60°，DC ＝EC ，∴△CDE 是等边三角形. ---------------------------------------------------------- 3分 （2）存在，当6＜t ＜10时，由旋转可知， BE ＝AD .C △DBE ＝BE ＋DB ＋DE ＝AB ＋DE ＝4＋DE ，又由（1）可知，△CDE 是等边三角形. ∴DE ＝CD ，∴C △DBE ＝CD ＋4，由垂线段最短可知，当CD ⊥AB 时，△BDE 的周长最小，此时，CD ＝32cm ，∴△DBE 的最小周长C △DBE ＝CD ＋4＝32＋4（cm ）. ---------------------- 7分 （3）存在，①∵当点D 与点A 重合时，D 、E 、B 不能构成三角形；当点D 与点B 重合时，显然不合题意. ∴t ≠6s ，t ≠10s ， ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- 8分 ②当0≤t ＜6s 时，由旋转可知∠ABE ＝60°，∠BDE ＜60°，从而∠BED ＝90°，由（1）可知△CDE 是等边三角形， ∴∠DEB ＝60°，∴∠CEB ＝30°， ∵∠CEB 是∠CDA 在旋转下的像， ∴∠CDA ＝30°，∵∠CAB ＝60°，∴∠ACD ＝∠ADC ＝30°， ∴DA ＝CA ＝4，∴OD ＝OA －DA ＝6－4＝2，∴t ＝2÷1＝2s ， -------------------------------------------- 10分 ③当6＜t ＜10s 时，由∠DBE ＝120°＞90°，∴此时不存在； --------------------------------------------- 11分 ④当t ＞10s 时，由旋转可知∠DEB ＝60°，又由（1）知∠CDE ＝60°， ∴∠BDE ＝∠CDE ＋∠BDC ＝60°＋∠BDC ，而∠BDC ＞0°， ∴∠BDE ＞60°， ∴只能∠BDE ＝90°，从而∠BCD ＝30°， ∴BD ＝BC ＝4，∴OD ＝14cm ，∴t ＝14÷1＝14s 。
河南省2019届九年级上期中数学试卷含答案解析
河南省2019届九年级上学期期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．下列计算正确的是（）A．=0 B．C．=﹣2 D．4+=22．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，则m等于（）A．1 B．2 C．1或2 D．03．某养殖户的养殖成本逐年增长，已知第1年的养殖成本为13万元，第3年的养殖成本为20万元．设每年平均增长的百分率为x，则下面所列方程中正确的是（）A．13（1﹣x）2=20 B．20（1﹣x）2=13 C．20（1+x）2=13 D．13（1+x）2=204．如图，一个正六边形转盘被分成6个全等三角形，任意转动这个转盘1次，当转盘停止时，指针指向阴影区域的概率是（）A．B．C．D．5．下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（）A．B．C．D．6．如图，在正△ABC中，D、E分别在AC、AB上，且，AE=BE，则有（）A．△AED∽△ABC B．△ADB∽△BED C．△BCD∽△ABC D．△AED∽△CBD7．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，DE垂直平分AC，垂足为O，AD∥BC，且AB=3，BC=4，则AD的长为（）A．B．C．D．8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF=45°，过点E 、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB=；②当点E与点B重合时，MH=；③AF+BE=EF；④MG•MH=，其中正确结论为（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④二、填空题（每小题3分，共21分）9．计算（+1）（2﹣）=．10．关于x的方程x2﹣mx﹣2=0有一个根是﹣2，则m=．11．从﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中任取一个数，作为关于x的一元二次方程x2﹣x+k=0中的k 值，则所得的方程中有两个不相等的实数根的概率是．12．如图，小明在A时测得某树的影长为3米，B时又测得该树的影长为12米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为米．13．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别是AB、AC的中点，M、N为BC上的点，连接DN、EM．若AB=10cm，BC=12cm，MN=6cm，则图中阴影部分的面积为cm2．14．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC=45°，OC=，则点B的坐标为．15．如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则∠BCD=°，cos∠MCN=．三、解答题16．先化简，再求值：（+2﹣x）÷，其中x满足x2﹣4x+3=0．17．计算：（1）用适当的方法解方程（x﹣2）2=2x﹣4．（2）﹣3tan30°+（π﹣4）．18．如图所示，可以自由转动的转盘被3等分，指针落在每个扇形内的机会均等．（1）现随机转动转盘一次，停止后，指针指向1的概率为；（2）小明和小华利用这个转盘做游戏，若采用下列游戏规则，你认为对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由．19．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？20．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，1），C （﹣5，2）．（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．（2）将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以﹣2，得到对应的点A2，B2，C2，请画出△A2B2C2．（3）求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比，即：=（不写解答过程，直接写出结果）．21．为邓小平诞辰110周年献礼，广安市政府对城市建设进行了整改，如图，已知斜坡AB长60米，坡角（即∠BAC）为45°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE和一条新的斜坡BE（下面两个小题结果都保留根号）．（1）若修建的斜坡BE的坡比为：1，求休闲平台DE的长是多少米？（2）一座建筑物GH距离A点33米远（即AG=33米），小亮在D点测得建筑物顶部H的仰角（即∠HDM）为30°．点B、C、A、G，H在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？22．在“全民阅读”活动中，某中学社团“海伦读书社”对全校学生的人数及纸质图书阅读量（单位：本）进行了调查，2019年全校有1000名学生，2019年全校学生人数比2019年增加10%，2019年全校学生人数比2019年增加100人．（1）求2019年全校学生人数；（2）2019年全校学生人均阅读量比2019年多1本，阅读总量比2019年增加1700本（注：阅读总量=人均阅读量×人数）①求2019年全校学生人均阅读量；②2019年读书社人均阅读量是全校学生人均阅读量的2.5倍，如果2019年、2019年这两年读书社人均阅读量都比前一年增长一个相同的百分数a，2019年全校学生人均阅读量比2019年增加的百分数也是a，那么2019年读书社全部80名成员的阅读总量将达到全校学生阅读总量的25%，求a的值．23．如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连结AD．问题引入：（1）如图①，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ABC=；当点D是BC边上任意一点时，S△ABD：S△ABC=（用图中已有线段表示）．探索研究：（2）如图②，在△ABC中，O点是线段AD上一点（不与点A、D重合），连结BO、CO，试猜想S△BOC与S△ABC之比应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由．拓展应用：（3）如图③，O是线段AD上一点（不与点A、D重合），连结BO并延长交AC于点F，连结CO 并延长交AB于点E，试猜想++的值，并说明理由．河南省2019届九年级上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分）1．下列计算正确的是（）A ．=0 B．C．=﹣2 D．4+=2【考点】二次根式的加减法；二次根式的性质与化简．【分析】根据二次根式的加减法则对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、﹣=0，故本选项正确；B 、与不是同类项，不能合并，故本选项错误；C、=2≠﹣2，故本选项错误；D 、4与不是同类项，不能合并，故本选项错误．故选A．【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．2．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，则m等于（）A．1 B．2 C．1或2 D．0【考点】一元二次方程的一般形式．【专题】计算题．【分析】根据一元二次方程成立的条件及常数项为0列出方程组，求出m的值即可．【解答】解：根据题意，知，，解方程得：m=2．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c 是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．3．某养殖户的养殖成本逐年增长，已知第1年的养殖成本为13万元，第3年的养殖成本为20万元．设每年平均增长的百分率为x，则下面所列方程中正确的是（）A．13（1﹣x）2=20 B．20（1﹣x）2=13 C．20（1+x）2=13 D．13（1+x）2=20【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】增长率问题．【分析】根据第一年的养殖成本×（1+平均年增长率）2=第三年的养殖成本，列出方程即可．【解答】解：设增长率为x，根据题意得13（1+x）2=20．故选：D．【点评】本题考查从实际问题中抽象出一元二次方程，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．（当增长时中间的“±”号选“+”，当下降时中间的“±”号选“﹣”）．4．如图，一个正六边形转盘被分成6个全等三角形，任意转动这个转盘1次，当转盘停止时，指针指向阴影区域的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概率．【分析】确定阴影部分的面积在整个转盘中占的比例，根据这个比例即可求出转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率．【解答】解：如图：转动转盘被均匀分成6部分，阴影部分占2份，转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率是：=；故选：C．【点评】本题考查了几何概率．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．5．下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（）A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定．【专题】网格型．【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，做题即可．【解答】解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为，2，．A 、三角形三边2，，3，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误；B 、三角形三边2，4，2，与给出的三角形的各边成正比例，故B选项正确；C 、三角形三边2，3，，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误；D 、三角形三边，4，，与给出的三角形的各边不成比例，故D选项错误．故选：B．【点评】此题考查三边对应成比例，两三角形相似判定定理的应用．6．如图，在正△ABC中，D、E分别在AC、AB上，且，AE=BE，则有（）A．△AED∽△ABC B．△ADB∽△BED C．△BCD∽△ABC D．△AED∽△CBD【考点】相似三角形的判定．【分析】根据等边三角形的性质得出角相等，再由已知条件求出，即两边对应成比例并且夹角相等，因此两个三角形相似．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，=，∴AB=BC=AC，∠A=∠C，设AD=x，AC=3x，则BC=3x，CD=2x，∵AE=BE=x，∴，，∴，∴△AED∽△CBD；故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定方法、等边三角形的性质；熟练掌握相似三角形的判定方法是解决问题的关键．7．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，DE垂直平分AC，垂足为O，AD∥BC，且AB=3，BC=4，则AD的长为（）A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理．【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据DE垂直平分AC得出OA的长，根据相似三角形的判定定理得出△AOD∽△CBA，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴AC===5，∵DE垂直平分AC，垂足为O，∴OA=AC=，∠AOD=∠B=90°，∵AD∥BC，∴∠A=∠C，∴△AOD∽△CBA，∴=，即=，解得AD=，故选B．【点评】本题考查的是勾股定理及相似三角形的判定与性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF=45°，过点E 、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB=；②当点E与点B重合时，MH=；③AF+BE=EF；④MG•MH=，其中正确结论为（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④【考点】相似形综合题．【专题】压轴题．【分析】①由题意知，△ABC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形即可作出判断；②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，可得MG∥BC，四边形MGCB是矩形，进一步得到FG是△ACB的中位线，从而作出判断；③如图2所示，SAS可证△ECF≌△ECD，根据全等三角形的性质和勾股定理即可作出判断；④根据AA可证△ACE∽△BFC，根据相似三角形的性质可得AF•BF=AC•BC=1，由题意知四边形CHMG是矩形，再根据平行线的性质和等量代换得到MG•MH=AE×BF=AE•BF=AC•BC=，依此即可作出判断．【解答】解：①由题意知，△ABC是等腰直角三角形，∴AB==，故①正确；②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，∴MB⊥BC，∠MBC=90°，∵MG⊥AC，∴∠MGC=90°=∠C=∠MBC，∴MG∥BC，四边形MGCB是矩形，∴MH=MB=CG，∵∠FCE=45°=∠ABC，∠A=∠ACF=45°，∴CE=AF=BF，∴FG是△ACB的中位线，∴GC=AC=MH，故②正确；③如图2所示，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠A=∠5=45°．将△ACF顺时针旋转90°至△BCD，则CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°；BD=AF；∵∠2=45°，∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°，∴∠DCE=∠2．在△ECF和△ECD中，，∴△ECF≌△ECD（SAS），∴EF=DE．∵∠5=45°，∴∠BDE=90°，∴DE2=BD2+BE2，即EF2=AF2+BE2，故③错误；④∵∠7=∠1+∠A=∠1+45°=∠1+∠2=∠ACE，∵∠A=∠5=45°，∴△ACE∽△BFC，∴=，∴AE•BF=AC•BC=1，由题意知四边形CHMG是矩形，∴MG∥BC，MH=CG，MG∥BC，MH∥AC，∴=；=，即=；=，∴MG=AE；MH=BF，∴MG•MH=AE×BF=AE•BF=AC•BC=，故④正确．故选：C．【点评】考查了相似形综合题，涉及的知识点有：等腰直角三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度．二、填空题（每小题3分，共21分）9．计算（+1）（2﹣）=．【考点】二次根式的混合运算．【分析】根据二次根式的混合运算直接去括号得出，再进行合并同类项即可．【解答】解：（+1）（2﹣），=2﹣×+1×2﹣1×，=2﹣2+2﹣，=．故答案为：．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并注意认真计算防止出错．10．关于x的方程x2﹣mx﹣2=0有一个根是﹣2，则m=﹣1．【考点】一元二次方程的解．【分析】把x=﹣2代入关于的x方程x2﹣mx﹣2=0，得到关于m的新方程，通过解新方程来求m的值．【解答】解：把x=﹣2代入，得（﹣2）2﹣（﹣2）m﹣2=0，解得m=﹣1．故答案是：﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．11．从﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中任取一个数，作为关于x的一元二次方程x2﹣x+k=0中的k值，则所得的方程中有两个不相等的实数根的概率是．【考点】概率公式；根的判别式．【专题】压轴题．【分析】所得的方程中有两个不相等的实数根，根的判别式△=b2﹣4ac的值大于0，然后解不等式求出k的取值范围，从而得到k的值，再计算出概率即可．【解答】解：△=b2﹣4ac=1﹣4k＞0，解得k＜，所以，满足k的数值有：﹣2，﹣1，0共3个，故概率为．【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．12．如图，小明在A时测得某树的影长为3米，B时又测得该树的影长为12米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为6米．【考点】相似三角形的应用；平行投影．【专题】几何图形问题．【分析】根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△FDC，进而可得=；即DC2=ED•FD，代入数据可得答案．【解答】解：根据题意，作△EFC，树高为CD，且∠ECF=90°，ED=3，FD=12，易得：Rt△EDC∽Rt△FDC，有=，即DC2=ED•FD，代入数据可得DC2=36，DC=6，故答案为6．【点评】本题考查了通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小，是平行投影性质在实际生活中的应用，难度适中．13．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别是AB、AC的中点，M、N为BC上的点，连接DN、EM．若AB=10cm，BC=12cm，MN=6cm，则图中阴影部分的面积为24cm2．【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形中位线定理．【专题】压轴题．【分析】由勾股定理求出BC上的高AN为8cm，求出AO=ON=4cm，求出MN=DE MN∥DE，求出MN与DE间的距离是4cm，求出△MNO和△DEO的高均为cm2，求出阴影部分面积即可．【解答】解：连接DE，过A作AH⊥BC于H，过O作ZF⊥BC于F，交DE于Z，∵AB=AC=10cm，AH⊥BC，BC=12cm，∴BH=CH=6cm，∵AB=AC=10cm，由勾股定理得：AH=8cm，∵D、E分别是AB和AC中点，∴DE=BC=6cm，DE∥BC，∴DE和MN间的距离是4cm，∵MN=6cm，BC=12cm，∴MN=DE，MN∥DE，∴∠DEO=∠NMO，在△DEO和△NMO中，∵，∴△DEO≌△NMO（AAS），∴DO=NO，∵DE∥MN，∴△DZO∽△NFO，∴=，∵DO=ON，∴ZO=OF=ZF=2cm，∴阴影部分的面积是：S﹣S△DOE﹣S△OMN梯形DECB=×（DE+BC）×FZ﹣×DE×OZ﹣×MN×OF=×（6+12）×4﹣×6×2﹣×6×2=24（cm2）．故答案为：24．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的面积，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理等知识点的综合运用．14．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC=45°，OC=，则点B的坐标为（2 +2，2）．【考点】菱形的性质；坐标与图形性质；特殊角的三角函数值．【分析】过C作CE⊥OA，根据“∠AOC=45°，OC=2”可以求出CE、OE的长，点B的坐标便不难求出．【解答】解：过C作CE⊥OA于E，∵∠AOC=45°，OC=2，∴OE=OCcos45°=，CE=OCsin45°=2，∴点B的坐标为（2+2，2）．【点评】作辅助线构造直角三角形，根据三角函数求出C点坐标是解本题的关键．15．如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则∠BCD=120°，cos∠MCN=．【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形．【分析】连接AC，通过三角形全等，求得∠BAC=30°，从而求得BC的长，然后根据勾股定理求得CM的长，连接MN，过M点作ME⊥CN于E，则△MNA是等边三角形求得MN=2，设NE=x，表示出CE，根据勾股定理即可求得ME，然后求得cos∠MCN．【解答】解：∵AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2，∴AM=AN=2，BM=DN=4，连接MN，连接AC，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°在Rt△ABC与Rt△ADC中，，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），∴∠BAC=∠DAC=∠BAD=30°，MC=NC，∴∠BAD=60°，BC=AC，∴∠BCD=120°，∴AC2=BC2+AB2，即（2BC）2=BC2+AB2，3BC2=AB2，∴BC=2，在Rt△BMC中，CM===2，∵AN=AM，∠MAN=60°，∴△MAN是等边三角形，∴MN=AM=AN=2，过M点作ME⊥CN于E，设NE=x，则CE=2﹣x，∴MN2﹣NE2=MC2﹣EC2，即4﹣x2=（2）2﹣（2﹣x）2，解得：x=，∴EC=2﹣=，∴cos∠MCN===，故答案为：120，．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及解直角三角函数，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．三、解答题16．先化简，再求值：（+2﹣x）÷，其中x满足x2﹣4x+3=0．【考点】分式的化简求值；解一元二次方程-因式分解法．【分析】通分相加，因式分解后将除法转化为乘法，再将方程的解代入化简后的分式解答．【解答】解：原式=÷=•=﹣，解方程x2﹣4x+3=0得，（x﹣1）（x﹣3）=0，x1=1，x2=3．当x=1时，原式无意义；当x=3时，原式=﹣=﹣．【点评】本题综合考查了分式的混合运算及因式分解同时考查了一元二次方程的解法．在代入求值时，要使分式有意义．17．计算：（1）用适当的方法解方程（x﹣2）2=2x﹣4．（2）﹣3tan30°+（π﹣4）．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；解一元二次方程-因式分解法；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】（1）方程整理后，利用因式分解法求出解即可；（2）原式第一项化为最简二次根式，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法则计算，第四项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．【解答】解：（1）方程整理得：（x﹣2）2﹣2（x﹣2）=0，分解因式得：（x﹣2）（x﹣2﹣2）=0，解得：x1=2，x2=4；（2）原式=2﹣3×+1﹣2=﹣1．【点评】此题考查了实数的运算，以及解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．如图所示，可以自由转动的转盘被3等分，指针落在每个扇形内的机会均等．（1）现随机转动转盘一次，停止后，指针指向1的概率为；（2）小明和小华利用这个转盘做游戏，若采用下列游戏规则，你认为对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由．【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．【专题】计算题．【分析】（1）三个等可能的情况中出现1的情况有一种，求出概率即可；（2）列表得出所有等可能的情况数，求出两人获胜的概率，比较即可得到结果．【解答】解：（1）根据题意得：随机转动转盘一次，停止后，指针指向1的概率为；故答案为：；2∴P（小明获胜）=，P（小华获胜）=，∵＞，∴该游戏不公平．【点评】此题考查了游戏公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．19．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？【考点】一元二次方程的应用；分式方程的应用．【专题】行程问题．【分析】（1）利用原工作时间﹣现工作时间=4这一等量关系列出分式方程求解即可；（2）根据矩形的面积和为56平方米列出一元二次方程求解即可．【解答】解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成x米2，根据题意得：﹣=4解得：x=2000，经检验，x=2000是原方程的解，答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；（2）设人行道的宽度为a米，根据题意得，（8﹣2a）=56解得：a=2或a=（不合题意，舍去）．答：人行道的宽为2米．【点评】本题考查了分式方程及一元二次方程的应用，解分式方程时一定要检验．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，1），C （﹣5，2）．（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．（2）将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以﹣2，得到对应的点A2，B2，C2，请画出△A2B2C2．（3）求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比，即：=1：4（不写解答过程，直接写出结果）．【考点】作图-位似变换；作图-轴对称变换．【专题】作图题．【分析】（1）根据关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）根据将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以﹣2，得出各点坐标，进而得出答案；（3）利用位似图形的性质得出位似比，进而得出答案．【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；（2）如图所示：△A2B2C2即为所求；（3）∵将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以﹣2，得到对应的点A2，B2，C2，∴△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为：1：2，∴：=1：4．故答案为：1：4．【点评】此题主要考查了位似变换以及轴对称变换，得出对应点位置是解题关键．21．为邓小平诞辰110周年献礼，广安市政府对城市建设进行了整改，如图，已知斜坡AB长60米，坡角（即∠BAC）为45°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE和一条新的斜坡BE（下面两个小题结果都保留根号）．（1）若修建的斜坡BE的坡比为：1，求休闲平台DE的长是多少米？（2）一座建筑物GH距离A点33米远（即AG=33米），小亮在D点测得建筑物顶部H的仰角（即∠HDM）为30°．点B、C、A、G，H在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】几何图形问题．【分析】（1）由三角函数的定义，即可求得DF与BF的长，又由坡度的定义，即可求得EF的长，继而求得平台DE的长；（2）首先设GH=x米，用x表示出MH的长，在Rt△DMH中由三角函数的定义，即可求得x的值，进而得到GH的长．【解答】解：（1）∵FM∥CG，∴∠BDF=∠BAC=45°，∵斜坡AB长60米，D是AB的中点，∴BD=30米，∴DF=BD•cos∠BDF=30×=30（米），BF=DF=30米，∵斜坡BE的坡比为：1，∴=，解得：EF=10（米），∴DE=DF﹣EF=30﹣10（米）；答：休闲平台DE的长是（30﹣10）米；（2）设GH=x米，则MH=GH﹣GM=x﹣30（米），DM=AG+AP=33+30=63（米），在Rt△DMH中，tan30°=，即=，解得：x=30+21，答：建筑物GH的高为（30+21）米．【点评】此题考查了坡度坡角问题以及俯角仰角的定义．此题难度较大，注意根据题意构造直角三角形，并解直角三角形；注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．22．在“全民阅读”活动中，某中学社团“海伦读书社”对全校学生的人数及纸质图书阅读量（单位：本）进行了调查，2019年全校有1000名学生，2019年全校学生人数比2019年增加10%，2019年全校学生人数比2019年增加100人．（1）求2019年全校学生人数；（2）2019年全校学生人均阅读量比2019年多1本，阅读总量比2019年增加1700本（注：阅读总量=人均阅读量×人数）①求2019年全校学生人均阅读量；②2019年读书社人均阅读量是全校学生人均阅读量的2.5倍，如果2019年、2019年这两年读书社人均阅读量都比前一年增长一个相同的百分数a，2019年全校学生人均阅读量比2019年增加的百分数也是a，那么2019年读书社全部80名成员的阅读总量将达到全校学生阅读总量的25%，求a的值．【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）根据题意，先求出2019年全校的学生人数就可以求出2019年的学生人数；（2）①设2012人均阅读量为x本，则2019年的人均阅读量为（x+1）本，根据阅读总量之间的数量关系建立方程就可以得出结论；②由①的结论就可以求出2012年读书社的人均读书量，2019年读书社的人均读书量，全校的人均读书量，由2019年读书社的读书量与全校读书量之间的关系建立方程求出其解即可．【解答】解：（1）由题意，得2019年全校学生人数为：1000×（1+10%）=1100人，故2019年全校学生人数为：1100+100=1200人；（2）①设2019人均阅读量为x本，则2019年的人均阅读量为（x+1）本，由题意，得1100（x+1）=1000x+1700，解得：x=6．答：2019年全校学生人均阅读量为6本；②由题意，得2019年读书社的人均读书量为：2.5×6=15本，2019年读书社人均读书量为15（1+a）2本，2019年全校学生的人均读书量为6（1+a）本，80×15（1+a）2=1200×6（1+a）×25%2（1+a）2=3（1+a），∴a1=﹣1（舍去），a2=0.5．答：a的值为0.5．【点评】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，增长率问题的数量关系的运用，解答时根据阅读总量之间的关系建立方程是关键．23．如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连结AD．问题引入：（1）如图①，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ABC=1：2；当点D是BC边上任意一点时，S△ABD：S△ABC=BD：BC（用图中已有线段表示）．探索研究：（2）如图②，在△ABC中，O点是线段AD上一点（不与点A、D重合），连结BO、CO，试猜想S△BOC与S△ABC之比应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由．拓展应用：（3）如图③，O是线段AD上一点（不与点A、D重合），连结BO并延长交AC于点F，连结CO 并延长交AB于点E，试猜想++的值，并说明理由．【考点】相似形综合题．【专题】几何综合题；压轴题．【分析】（1）根据三角形的面积公式，两三角形等高时，可得两三角形底与面积的关系，可得答案；（2）根据三角形的面积公式，两三角形等底时，可得两三角形的高与面积的关系，可得答案；（3）根据三角形的面积公式，两三角形等底时，可得两三角形的高与面积的关系，再根据分式的加减，可得答案．【解答】解：（1）如图①，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ABC=1：2；当点D是BC边上任意一点时，S△ABD：S△ABC=BD：BC，故答案为：1：2，BD：BC；（2）S△BOC：S△ABC=OD：AD，如图②作OE⊥BC与E，作AF⊥BC与F，∵OE∥AF，∴△OED∽△AFD，．∵，∴；（3）++=1，理由如下：由（2）得，，．∴++=++===1．【点评】本题考查了相似形综合题，利用了等底的三角形面积与高的关系，相似三角形的判定与性质．。
2018-2019学年河南省洛阳市洛龙区九年级(上)期中数学试卷
2018-2019学年河南省洛阳市洛龙区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1．（3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）将抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（）A．y=﹣2（x+1）2﹣1 B．y=﹣2（x+1）2+3 C．y=﹣2（x﹣1）2﹣1 D．y=﹣2（x﹣1）2+33．正方形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕点A 按顺时针方向旋转180°后，C点的坐标是（）A．(2，0) B．(3，0) C．(2，－1) D．(2，1)第3题图第6题图4．若x＝－2是关于x的一元二次方程x2＋32ax－a2＝0的一个根，则a的值为（）A．－1或4 B．－1或－4C．1或－4 D．1或45．设x1，x2是一元二次方程x2－2x－5＝0的两根，则x21＋x22的值为（）A．6 B．8 C．14 D．166．如图，△ABC中，∠CAB＝65°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使得DC∥AB，则∠BAE等于（）A．30°B．40°C．50°D．60°7．若一次函数y＝ax＋b(a≠0)的图象与x轴的交点坐标为(－2，0)，则抛物线y＝ax2＋bx的对称轴为（）A．直线x＝1 B．直线x＝－2C．直线x＝－1 D．直线x＝－48．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a<0)过A(－3，0)，B(1，0)，C(－5，y1)，D(5，y2)四点，则y1与y2的大小关系是（）A．y1>y2B．y1＝y2C．y1<y2D．不能确定9．关于x的一元二次方程(m－2)x2＋(2m＋1)x＋m－2＝0有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是（）A．m＞34B．m＞34且m≠2C．－12＜m＜2 D.34＜m＜210．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③3a＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大，其中结论正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）一元二次方程（x﹣1）（x+2）=0的根是．12．（4分）抛物线y=2x2﹣x﹣1与x轴有个交点．13．（4分）已知函数y=﹣x2+2x﹣3，则y的最大值为．14．（4分）若方程x2﹣4x﹣1=0的两根为x1，x2，则x1•x2﹣x1﹣x2=．15．（4分）若x2﹣2x﹣2=0，则代数式3x2﹣6x+2018的值是．16．（4分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图示，下列结论：（1）b＜0；（2）c＞0；（3）b2﹣4ac＞0；（4）a﹣b+c＜0，（5）2a+b＜0；（6）abc＞0；其中正确的是；（填写序号）三、解答题一（本题共3小题，每小题6分，共18分）17．（6分）配方法解方程：x2+4x﹣5=0．18．（6分）已知抛物线y=x2+2x﹣1（1）用配方法或公式法求出它的顶点坐标和对称轴．（2）直接写出它与y轴的交点坐标是．19．（6分）今年9月10日，退休老师老黄去与老同事们聚会，共庆第33个教师节．晚上，读初三的孙子小明问老黄：“爷爷，今天有几个同事参加聚会啦？”爷爷：“我来考考你：我们每个人都与其他人握了一次手，一共握了120次，你知道我们一共有多少人参加聚会吗？”请你帮小明算出参加聚会的一共有多少人？四、解答题二（本题共3小题，每小题7分，共21分）20．（7分）小丽去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2400元，4月份盈利达到3456元，且从2月份到4月份，每月盈利的平均增长率相同．（1）求每月盈利的平均增长率；（2）按照这个增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到多少元？21．（7分）已知关于x的方程x2﹣kx﹣2=0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）已知方程的一个根为x=+1，求k的值及另一个根．22．（7分）如图，已知二次函数y=﹣x2+2x+m图象过点A（3，0），与y轴交于点B（1）求m的值；（2）若直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．五、解答题三（本题共3小题，每小题9分，共27分）23．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=10cm，点P从点A 开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s 的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点随之停止．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为ycm2．（1）求y与x的函数关系式，写出x的取值范围；（2）求运动多少秒时，△PBQ的面积为12cm2；（3）求运动多少秒时，△PBQ的面有最大值．最大值是多少？24．（9分）某超市销售樱桃，已知樱桃的进价为15元/千克，如果售价为20元/千克，那么每天可售出250千克，如果售价为25元/千克，那么每天可售出200千克，经调查发现：每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若该超市每天要获得利润810元，同时又要让消费者得到实惠，则售价x 应定于多少元？（3）若樱桃的售价不得高于28元/千克，请问售价定为多少时，该超市每天销售樱桃所获的利润最大？最大利润是多少元？26．（9分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过B（3，0）、C（0，3）两点，（1）求抛物线的函数关系式；（2）直接写出，当y≥3时，x的取值范围是；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M点，使△MOB是等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．2018-2019学年河南省洛阳市洛龙区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1．D．2．D． 3.B 4.C 5.C 6.C7.C8.A9.D10.B解析：∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2－4ac＞0，∴b2＞4ac，故①正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，而点（－1，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（3，0），∴方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3，故②正确；∵对称轴为直线x＝－b2a＝1，∴b＝－2a.当x＝－1时，y＝0，即a－b＋c＝0，∴a＋2a＋c＝0，∴3a＋c＝0，故③错误；∵抛物线开口向下，与x轴的两个交点的坐标为（－1，0），（3，0），∴当－1＜x＜3时，y＞0，故④错误；∵抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝1，∴当x＜0时，y随x增大而增大，故⑤正确.故选B.二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）一元二次方程（x﹣1）（x+2）=0的根是x1=1，x2=﹣2．【解答】解：∵（x﹣1）（x+2）=0，∴x﹣1=0，x+2=0，∴x1=1，x2=﹣2．故答案为：x1=1，x2=﹣2．12．（4分）抛物线y=2x2﹣x﹣1与x轴有2个交点．【解答】解：∵b2﹣4ac=（）2﹣4×2×（﹣1）=2+8=10＞0，∴抛物线y=2x2﹣x﹣1与x轴有2个交点．故答案为：2．13．（4分）已知函数y=﹣x2+2x﹣3，则y的最大值为﹣2．【解答】解：∵y=﹣x2+2x﹣3=﹣（x﹣1）2﹣2，∴y的最大值为﹣2，故答案为：﹣2．14．（4分）若方程x2﹣4x﹣1=0的两根为x1，x2，则x1•x2﹣x1﹣x2=5．【解答】解：∵方程x2﹣4x﹣1=0的两根为x1、x2，∴x1+x2=4，x1+x2=﹣1，x1•x2﹣x1﹣x2=4﹣（﹣1）=5，故答案为：5．15．（4分）若x2﹣2x﹣2=0，则代数式3x2﹣6x+2018的值是2024．【解答】解：∵x2﹣2x﹣2=0，∴x2﹣2x=2，∴3x2﹣6x+2018=3（x2﹣2x）+2018=3×2+2018=2024．故答案为：2024．16．（4分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图示，下列结论：（1）b＜0；（2）c＞0；（3）b2﹣4ac＞0；（4）a﹣b+c＜0，（5）2a+b＜0；（6）abc＞0；其中正确的是（2）（3）（4）（5）；（填写序号）【解答】解：（1）函数开口向下，则a＜0，且对称轴在y轴的右边，则b＞0，故命题错误；（2）函数与y轴交与正半轴，则c＞0，故命题正确；（3）∵抛物线与x轴于两个交点，∴b2﹣4ac＞0；故命题正确；（4）∵当x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，故命题正确；（5）∵﹣＜1，∴2a+b＜0；故命题正确；（6）∵a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0；故命题错误．故答案是：（2）（3）（4）（5）．三、解答题一（本题共3小题，每小题6分，共18分）17．（6分）配方法解方程：x2+4x﹣5=0．【解答】解：x2+4x﹣5=0，（x+5）（x﹣1）=0，x+5=0，x﹣1=0，x1=﹣5，x2=1．18．（6分）已知抛物线y=x2+2x﹣1（1）用配方法或公式法求出它的顶点坐标和对称轴．（2）直接写出它与y轴的交点坐标是（0，﹣1）．【解答】解：（1）y=x2+2x﹣1=（x+1）2﹣2，则它的顶点坐标为：（﹣1，﹣2），对称轴为：直线：x=﹣1；（2）当x=0时，y=﹣1，故它与y轴的交点坐标是：（0，﹣1）．故答案为：（0，﹣1）．19．（6分）今年9月10日，退休老师老黄去与老同事们聚会，共庆第33个教师节．晚上，读初三的孙子小明问老黄：“爷爷，今天有几个同事参加聚会啦？”爷爷：“我来考考你：我们每个人都与其他人握了一次手，一共握了120次，你知道我们一共有多少人参加聚会吗？”请你帮小明算出参加聚会的一共有多少人？【解答】解：设参加聚会的人有x个，则每个人都要握手（x﹣1）次，依题意有x（x﹣1）=120，解得x1=﹣15（舍去），x2=16．故参加聚会的一共有16人．四、解答题二（本题共3小题，每小题7分，共21分）20．（7分）小丽去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2400元，4月份盈利达到3456元，且从2月份到4月份，每月盈利的平均增长率相同．（1）求每月盈利的平均增长率；（2）按照这个增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到多少元？【解答】解：（1）设该商店的每月盈利的平均增长率为x，根据题意得：2400（1+x）2=3456，解得：x1=20%，x2=﹣2.2（舍去）．（2）由（1）知，该商店的每月盈利的平均增长率为20%，则5月份盈利为：3456×（1+20%）=4147.2（元）．答：（1）该商店的每月盈利的平均增长率为20%．（2）5月份盈利为4147.2元．21．（7分）已知关于x的方程x2﹣kx﹣2=0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）已知方程的一个根为x=+1，求k的值及另一个根．【解答】（1）证明：由于x2﹣kx﹣2=0是一元二次方程，△=b2﹣4ac=k2﹣4×1×（﹣2）=k2+8，无论k取何实数，总有k2≥0，k2+8＞0，所以方程总有两个不相等的实数根；（2）解：把x=+1代入方程x2﹣kx﹣2=0，有（+1）2﹣k（）﹣2=0，整理，得k=2．此时方程可化为x2﹣2x﹣2=0．解此方程，得x1=1，x2=1﹣．所以方程的另一根为x=1．22．（7分）如图，已知二次函数y=﹣x2+2x+m图象过点A（3，0），与y轴交于点B（1）求m的值；（2）若直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．[来源:学#科#网]【解答】解：（1）∵二次函数的图象过点A（3，0），∴0=﹣9+6+m∴m=3；（2）∵m=3，∴二次函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3，令x=0，则y=3，∴B（0，3），设直线AB的解析式为：y=kx+b，∴，解得：，∴直线AB的解析式为：y=﹣x+3，∵抛物线y=﹣x2+2x+3，的对称轴为：x=1，∴把x=1代入y=﹣x+3得y=2，∴P（1，2）；（3）根据图象可知使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜0或x＞3．五、解答题三（本题共3小题，每小题9分，共27分）23．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=10cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点随之停止．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为ycm2．（1）求y与x的函数关系式，写出x的取值范围；（2）求运动多少秒时，△PBQ的面积为12cm2；（3）求运动多少秒时，△PBQ的面有最大值．最大值是多少？【解答】解：（1）由题意得，AP=xcm，BQ=2xcm，则BP=（8﹣x）cm，y=×BQ×BP=x（8﹣x）=﹣x2+8x（0＜x＜5）；（2）﹣x2+8x=12，x1=2，x2=6（不合题意，舍去），当运动2秒时，△PBQ的面积为12cm2；（3）y=﹣x2+8x=﹣（x2﹣8x+16）+16=﹣（x﹣4）2+16，∴当x=4时，△PBQ的面有最大值．最大值是16．24．（9分）某超市销售樱桃，已知樱桃的进价为15元/千克，如果售价为20元/千克，那么每天可售出250千克，如果售价为25元/千克，那么每天可售出200千克，经调查发现：每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若该超市每天要获得利润810元，同时又要让消费者得到实惠，则售价x 应定于多少元？（3）若樱桃的售价不得高于28元/千克，请问售价定为多少时，该超市每天销售樱桃所获的利润最大？最大利润是多少元？【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为：y=kx+b，把（20，250），（25，200）代入得：，解得：，∴y与x的函数关系式为：y=﹣10x+450；（2）根据题意知，（x﹣15）（﹣10x+450）=810，整理得：x2﹣60x+756=0解得：x=42或x=18，∵要让消费者得到实惠，∴x=18，答：该超市每天要获得利润810元，同时又要让消费者得到实惠，则售价x应定于18元；（3）设每天获利W元，W=（x﹣15）（﹣10x+450）=﹣10x2+600x﹣6750=﹣10（x﹣30）2+2250，∵a=﹣10＜0，∴开口向下，∵对称轴为x=30，∴在x≤28时，W随x的增大而增大，170=2210（元），∴x=28时，W最大值=13×答：售价为28元时，每天获利最大为2210元．26．（9分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过B（3，0）、C（0，3）两点，（1）求抛物线的函数关系式；（2）直接写出，当y≥3时，x的取值范围是0≤x≤2；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M点，使△MOB是等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过B（3，0）、C（0，3）两点，∴，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴对称轴为x=1，∴C（0，3）关于对称轴的对称点坐标为（2，3），∴当y≥3时，x的取值范围是0≤x≤2．故答案为0≤x≤2；（3）由（2）可知抛物线对称轴为x=1，设M（1，t），∵B（3，0），O（0，0），∴BM2=4+t2，OM2=1+t2，OB2=9，∵△MOB为等腰三角形，∴有BM=BO、OM=OB和MB=MO三种情况，①当BM=BO时，即4+t2=9，解得t=±，此时M点坐标为（1，）或（1，﹣）；②当OM=OB时，即1+t2=9，解得t=±2，此时M点坐标为（1，2）或（1，﹣2），③当MB=MO时，即4+t2=1+t2，解得t无实数根．综上所述，存在满足条件的M点，其坐标为（1，）或（1，﹣）或（1，2）或（1，﹣2）．。
2018-2019年河南省洛阳市六校联考九年级(上)期中数学试卷
2018-2019学年河南省洛阳市六校联考九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列平面图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2. 用配方法解一元一次方程2630x x --=，经配方后得到的方程是（ ）A ．2(3)12x -= B ．2(3)9x -= C ．2(3)6x -= D ．2(3)4x -=3. 关于x 的一元二次方程2620x x k -+=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．92k ≤B ．92k <C ．92k ≥D ．92k > 4. 函数22y ax ax m =++（0a <）的图象经过点(2,0)，则使不等式220ax ax m ++<成立的x 的取值范围是（ ）A ．4x <-或2x >B ．42x -<<C ．0x <或2x >D ．02x << 5. 已知x a =是方程2350x x --=的根，则代数式2426a a -+的值为（ ） A ．6 B ．9 C ．14 D ．-66. 如图，某小区计划在一块长为32m ，宽为20m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，若草坪的面积为5702m ，道路的宽为xm ，则可列方程为（ ）A ．232202570x ⨯-= B ．232203570x ⨯-= C ．(32)(202)570x x --= D ．(322)(20)570x x --=7.如图，点P 是等边三角形ABC 内一点，且6PA =，8PB =，10PC =，则APB ∠=（ ）A ．90oB ．120oC ．135oD ．150o8. 点11(1,)P y -，22(3,)P y ，33(5,)P y 均在二次函数22y x x c =-++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．321y y y >>B ．312y y y >=C ．123y y y >>D ．123y y y =>9. 把边长为3的正方形ABCD 绕点A 顺时针旋转45o得到正方形'''AB C D ，边BC 与''D C 交于点O ，则四边形'ABOD 的周长是（ ）A ．B ．6C ．D ．3+10. 如图，二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象经过点(1,2)且与x 轴交点的横坐标分别为1x ，2x ，其中110x -<<，212x <<，下列结论：①420a b c ++<，②20a b +<，③284b a ac +>，其中结论正确的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题（每题3分，满分15分，将答案填在答题纸上）11. 一元二次方程(1)0x x +=的解是 ． 12.若点(,2)P m 与点(3,)Q n 关于原点对称，则2018()m n -= ．13.把抛物线2y ax bx c =++的图象先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，所得的图象的解析式是2(3)5y x =-+，则a b c ++= ．14.已知等腰ABC ∆的底边长为3，两腰长恰好是关于x 的一元二次方程21(2)602kx k x -++=的两根，则ABC ∆的周长为 ．15.如图，在四边形ABCD 中，4AD =，3CD =，45ABC ACB ADC ∠=∠=∠=o，则BD 的长为 ．三、解答题：本大题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.解方程： （1）2280x x --= （2）22(21)(1)x x +=-17. 如图所示，在平面直角坐标系中ABC ∆三个顶点的坐标分别是点(2,3)A -，点(1,1)B -，点(0,2)C . （1）作ABC ∆关于C 成中心对称的111A B C ∆；（2）将111A B C ∆向右平移3个单位，作出平移后的222A B C ∆；（3）在x 轴上求作一点P ，使11PA PC +的值最小，并写出点P 的坐标.（不写解答过程，直接写出结果）18. 已知关于x 的方程22(21)10a x a x +-+=有两个不相等的实数根1x ，2x . （1）求a 的取值范围；（2）是否存在实数a ，使方程的两个实数根互为相反数？如果存在，求出a 的值；如果不存在，说明理由. 19. 数学活动：问题情境：有这样一个问题：探究函数11y x =+的图象与性质，小明根据学习函数的经验，对函数11y x=+的图象与性质进行了探究.问题解决：下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）函数11yx=+的自变量x的取值范围是；（2）表是y与x的几组对应值.求m的值；（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象.（4）结合函数的图象，写出该函数的性质（两条即可）20.为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度.2012年市政府共投资2亿元人民币建设了8万平方米廉租房，预计到2014年底三年累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，且在这两年内每年投资的增长率相同.（1）求市政府每年投资的增长率；（2）若这两年内的建设成本不变，到2014年底共建设了多少万平方米廉租房？21.如图，在某场足球比赛中，球员甲从球门底部中心点O的正前方10m处起脚射门，足球沿抛物线飞向球门中心线；当足球飞离地面高度为3m时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为6m.已知球门的横梁高OA 为2.44m .（1）在如图所示的平面直角坐标系中，问此飞行足球能否进球门？（不计其它情况）（2）守门员乙站在距离球门2m 处，他跳起时手的最大摸高为2.52m ，他能阻止球员甲的此次射门吗？如果不能，他至少后退多远才能阻止球员甲的射门？22.已知：在Rt ABC ∆中，AB BC =，在Rt ADE ∆中，AD DE =，连接EC ，取EC 的中点M ，连接DM 和BM .（1）若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图1，探索BM DM 、的关系并给予证明； （2）如果将图1中的ADE ∆绕点A 逆时针旋转小于45︒的角，如图2，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明.23.如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A 和(30)B ，，与y 轴交于点(03)C ，. （1）求抛物线的解析式；（2）若点M 是抛物线上在x 轴下方的动点，过M 作//MN y 轴交直线BC 于点N ，求线段MN 的最大值；（3）E 是抛物线对称轴上一点，F 是抛物线上一点，是否存在以A B E F ，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由.试卷答案一、选择题1. 【解答】解：A 、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；B 、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项正确；C 、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；D 、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误. 故选：B .2. 【解答】解：263x x -=，26912x x -+=，所以2(3)12x -=. 故选：A.3. 【解答】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴240b ac ∆=->，即2(6)420k --⨯>， 解得92k <， 故选B.4. 【解答】解：函数22y ax ax m =++（0a <）的对称轴为直线212ax a=-=- ∵该函数图象经过点(20)，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(40)-，∵0a <∴抛物线开口向下∴当4x <-或2x >时，220ax ax m ++< 故选：A .5. 【解答】解：把x a =代入方程2350x x --=得2350a a --=，则235a a -=，所以224264234256a a a a -+=--=-⨯=-（）. 故选：D .6. 【解答】解：设道路的宽为xm ，则剩余的六块空地可合成长(322)x m -、宽(20)x m -的矩形 根据题意得：(322)(20)570x x --=. 故选：D .7. 【解答】解：将BCP ∆绕B 逆时针旋转60︒，点C 和A 重合，P 到'P ，连接'PP ， ∵'60PBP ∠=︒，'BP BP =， ∴'PBP ∆是等边三角形， ∵'60BPP ∠=︒，∵'8PP =，'10AP PC ==，'6PA P A ==， ∴222''PP PA AP +=，∴'90APP ∠=︒，∴6090150APB ∠=︒+︒=︒. 故选：D .8. 【解答】解：22y x x c =-++， ∴对称轴为1x =，22(3,)P y ，33(5,)P y 在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，∵35<， ∴23y y >，根据二次函数图象的对称性可知，1(1)P y -，与1(3,)y 关于对称轴对称， 故123y y y =>， 故选：D .9. 【解答】解：连接'BC ，∵旋转角'45BAB ∠=︒，'45BAD ∠=︒， ∴B 在对角线'AC 上， ∵'''3B C AB ==，在''Rt AB C ∆中，'AC =∴'3BC =，在等腰'Rt OBC ∆中，'3OB BC ==，在直角三角形'OBC 中，'3)6OC ==-∴'3'3OD OC =-=，∴四边形'ABOD 的周长是：2''633AD OB OD ++=++=故选：A .10. 【解答】解：由抛物线的开口向下知0a <， 与y 轴的交点为在y 轴的正半轴上，得0c >，对称轴为12bx a=-<， ∵0a <，∴20a b +<，故②正确；∵当2x =时，420y a b c =++<，故①正确；∵2424ac b a->，0a < ∴248ac b a -<∴284b a ac +>，故③正确； 故选：D .二、填空题11. 【解答】解：(1)0x x +=，∴0x =或10x +=，∴0x =或1x =-，故答案为：0x =或1x =-12. 【解答】解：点(2)P m ，与点(3)Q n ，关于原点对称， ∴3m =-，2n =-，∴20182018()(32)1m n -=-+=.故答案为：1.13. 【解答】解：∵2(3)5y x =-+， ∴顶点坐标为(35)，， 把点(35)，先向左平移2个单位再向下平移2个单位得到点的坐标为(13)，， ∴原抛物线解析式为22(1)324y x x x =-+=-+，∴124a b c ==-=，，.∴3a b c ++=，故答案为3. 14. 【解答】解：由题意知方程21(3)602kx k x -++=有两个相等的实数根， ∴21[(3)]4602k k ∆=-+-⨯⨯=， 解得3k =，则三角形的三边长度为3、3、3，则ABC ∆的周长为9，故答案为：9.15. 【解答】解：作'AD AD ⊥，'AD AD =，连接''CD DD ，，如图：∵'BAC CAD DAD CAD ∠+∠=∠+∠，即'BAD CAD ∠=∠，在BAD ∆与'CAD ∆中，'BA CA BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BAD ∆≌'CAD ∆（SAS ）∴'BD CD =.'90DAD ∠=︒由勾股定理得'DD ===，'90D DA ADC ∠+∠=︒由勾股定理得'CD ===，∴'BD CD ==三、解答题16. 【解答】解：（1）(4)(2)0x x -+=，40x -=或20x +=，所以14x =，22x =-；（2）21(1)x x +=±-所以12x =-，20x =.17. 【解答】解：（1）如图，111A B C ∆为所求；（2）如图，222A B C ∆为所求；（3）点'C 和1C 关于x 轴对称，连结1'C A 交x 轴于P ，则1'PC PC =，则1111'PC PA PC PA C A +='+=，此时11PA PC +的值最小，设直线1'C A 的解析式为y kx b =+，把'(0,2)C -，1(2,1)A 代入得221b k b =-⎧⎨+=⎩，解得322k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩所以直线1'C A 的解析式为322y x =- 当0y =时，3202x -=，解得43x = 所以点P 的坐标为4(,0)3.18. 【解答】解：（1）∵关于x 的方程22(21)10a x a x +-+=有两个不相等的实数根1x 、2x ，∴2220(21)40a a a ⎧≠⎪⎨∆=-->⎪⎩解得：14a <且0a ≠ （2）∵方程的两个实数根互为相反数， ∴122120a x x a-+== 解得：12a =又∵14a <且0a ≠， ∴不存在使方程的两个实数根互为相反数的a 的值.19. 【解答】解：（1）根据题意得：x 为任意实数， 即函数11y x=+的自变量x 的取值范围是0x ≠， 故答案为：0x ≠；（2）把x m =-，1y =-代入函数11y x=+中得： 2111()22m -=-- ∴m =12即m 的值为12： （3）用平滑的曲线依次连接图中所描的点，如图所示（4）观察函数图象，发现该函数没有最大值，没有最小值.即该函数的一条性质：没有最大值，没有最小值.20. 【解答】解：（1）设市政府每年投资的增长率为x ，根据题意，得：222(1)2(1)9.5x x ++++=，整理，得：23 1.750x x +-=，解得10.5x =，2 3.5x =-（舍去）.答：市政府每年投资的增长率为50%； （2）到2014年底共建廉租房面积29.5388=÷=（万平方米）. 答：到2014年底共建设了38万平方米廉租房.21. 【解答】解：（1）抛物线的顶点坐标是(4,3)，设抛物线的解析式是：2(4)3y a x =-+，把(10,0)代入得3630a +=， 解得112a =-， 则抛物线是21(4)312y x =--+，当0x =时，1451633 2.441233y =-⨯+=-=<米 故能射中球门；（2）当2x =时，218(24)3 2.52123y =--+=> ∴守门员乙不能阻止球员甲的此次射门，当 2.52y =时，21(4)3 2.5212y x =--+=， 解得：1 1.6x =，2 6.4x =（舍去），∴2 1.60.4-=（m ），答：他至少后退0.4m ，才能阻止球员甲的射门.22. 【解答】解：（1）BM DM =，BM DM ⊥，在Rt EBC ∆中，M 是斜边EC 的中点， ∴12BM EC EM MC ===， ∴2EMB ECB ∠=∠.在Rt EDC ∆中，M 是斜边EC 的中点， ∴12DM EC EM MC ===. ∴2EMD ECD ∠=∠.∴BM DM =，2()EMD EMB ECD ECB ∠+∠=∠+∠，∵45ECD ECB ACB ∠+∠=∠=︒，∴290BMD ACB ∠=∠=︒，即BM DM ⊥.（2）：（1）中的结论仍成立，延长DM 至点F ，使得DM MF =，连接CD 和EF ，连接BD ，连接BF FC 、，延长ED 交AC 于点H .∵DM MF =，EM MC =，∴四边形CDEF 是平行四边形，∴//DE CF ，ED CF =，∵ED AD =，∵AD CF =∵//DE CF ，∴AHE ACF ∠=∠.∵4545(90)45BAD DAH AHE AHE ∠=︒-∠=︒-︒-∠=∠-︒，45BCF ACF ∠=∠-︒， ∴BAD BCF ∠=∠.又∵AB BC =，∴ABD ∆≌CBF ∆，∴BD BF =，ABD CBF ∠=∠，∵ABD DBC CBF DBC ∠+∠=∠+∠，∴90DBF ABC ∠=∠=︒.在Rt DBF ∆中，由BD BF =，DM MF =，得BM DM =且BM DM ⊥.23. 【解答】解：（1）将点(30)B ，、(03)C ，代入抛物线2y x bx c =++中， 得：0933b c c=++⎧⎨=⎩解得：43b c =-⎧⎨=⎩故抛物线的解析式为243y x x =-+.（2）设点M 的坐标为2(43)m m m -+，，设直线BC 的解析式为3y kx =+， 把点(30)B ，代入3y kx =+中， 得：033k =+，解得：1k =-，直线BC 的解析式为3y x =-+.∵//MN y 轴，∴点N 的坐标为(3)m m -+，. ∵抛物线的解析式为2243(2)1y x x x =-+=--，∴抛物线的对称轴为2x =，∴点(1,0)在抛物线的图象上，∴13m <<. ∵线段222393(43)3()24MN m m m m m m =-+--+=-+=--+， ∴当32m =时，线段MN 取最大值，最大值为94. （3）存在.点F 的坐标为(2,1)-或(0,3)或(4,3).当以AB 为对角线，如图1，∵四边形AFBE 为平行四边形，EA EB =，∴四边形AFBE 为菱形，∴点F 也在对称轴上，即F 点为抛物线的顶点，∴F 点坐标为(2,1)-；当以AB 为边时，如图2，∵四边形AFBE 为平行四边形，∴2EF AB ==，即22F E =，12F E =， ∴1F 的横坐标为0，2F 的横坐标为4， 对于243y x x =-+，当0x =时，3y =；当4x =时，161633y =-+=， ∴F 点坐标为(03)，或(43)，. 综上所述，F 点坐标为(2,1)-或(0,3)或(4,3).。
2018-2019学年度九年级上期中数学试题及答案
第一学期期中阶段性诊断九年级数学试题亲爱的同学：祝贺你完成了一个阶段的学习，现在是展示你的学习成果之时，你可以尽情地发挥，祝你成功！一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的代号填在下面的表格内。
1．一元二次方程2810x x --=配方后可变形为 A ．2(4)17x +=B ．2(4)15x +=C ．2(4)17x -=D ．2(4)15x -=2．如图是由6个同样大小的正方体摆成的几何体．将 正方体①移走后，所得几何体 A ．主视图改变，左视图改变 B ．俯视图不变，左视图不变 C ．俯视图改变，左视图改变 D ．主视图改变，左视图不变 3．已知四边形ABCD ，下列说法正确的是A ．当AD=BC ，AB ∥DC 时，四边形ABCD 是平行四边形 B ．当AD=BC ，AB=DC 时，四边形ABCD 是平行四边形 C ．当AC=BD ，AC 平分BD 时，四边形ABCD 是矩形 D ．当AC=BD ，AC ⊥BD 时，四边形ABCD 是正方形 4．如图，小红居住的小区内有一条笔直的小路，小路的正中间有一路灯，晚上小红由A 处径直走到B 处，她在灯光照射下的影长l 与行走的路程S 之间的变化关系用图象刻画出来，大致图象是5．在平行四边形ABCD 中，AB=10，BC=14，E ，F 分别为边BC ，AD 上的点，若四边形AECF 为正方形，则AE 的长为A ．6或8B ．4或10C ．5或9D ．76．如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m ，n 与a ，b ，c 分别交于点A ，C ，E ，B ，D ，F ，若AC=4，CE=6，BD=3，则DF 的值是（ ） A ．6 B ．5.5 C ．5 D ．4.5第2题图 第4题图 第9题图第8题图第6题图7．方程0413)2(2=+---x m x m 有两个实数根，则m 的取值范围 A ．25>m B ．25≤m 且2≠m C ．3≥m D ．3≤m 且2≠m 8．如图，已知某广场菱形花坛ABCD 的周长是24米，∠BAD=60°，则花坛对角线AC 的长等于A ．36米B ．6米C ．33米D ．3米9．如图，以点O 为位似中心，将△ABC 放大得到△DEF ．若AD=OA ，则△ABC 与△DEF 的面积之比为A ．1：2B ．1：4C ．1：5D ．1：610．将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中的“○”的个数，若第n 个“龟图”中有245个“○”，则n=A ．14B ．15C ．16D ．17 11．一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是A ．94 B ．31 C ．61D ．9112．如图，已知△ABC 的面积是12，BC=6，点E 、I 分别在边AB 、AC 上，在BC 边上依次作了n 个全等的小正方形DEFG ，GFMN ，…，KHIJ ，则每个小正方形的边长为 A ．1112 B ．3212+n C ．512D ．3212-n二、填空题:本题共6小题，每小题填对得4分，共24分。
河南省洛阳市九年级上学期期中数学试卷
河南省洛阳市九年级上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2017八下·延庆期末) 在我国古代的房屋建筑中，窗棂是重要的组成部分，具有高度的艺术价值．下列窗棂的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A .B .C .D .2. （2分）在平面直角坐标系中，点P（1，2）关于原点对称的点的坐标是（）A . （﹣1，﹣2）B . （﹣1，2）C . （1，﹣2）D . （2，1）3. （2分）关于x的一元二次方程x²+2x-1=0的根的情况是（）A . 有两个相等的实数根B . 有两个不相等的实数根C . 没有实数根D . 无法判断4. （2分） (2019九上·乌拉特前旗期中) 将抛物线向上平移个单位后得到的抛物线恰好与轴有一个交点，则的值为（）A .B .C .D .5. （2分）若关于x的方程2x2-ax+2=0有两个相等的实数根，则a的值是（）A . 2B . ±4C . 6D . 86. （2分）(2011·杭州) 在平面直角坐标系xOy中，以点（﹣3，4）为圆心，4为半径的圆（）A . 与x轴相交，与y轴相切B . 与x轴相离，与y轴相交C . 与x轴相切，与y轴相交D . 与x轴相切，与y轴相离7. （2分）由于受H7N9禽流感的影响，今年4月份鸡的价格两次大幅下降，由原来每斤12元，连续两次下降a%售价下调到每斤是5元，下列所列方程中正确的是（）A . 12（1+a%）2=5B . 12（1-a%）2=5C . 12（1-2a%）=5D . 12（1-a2%）=58. （2分）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2+4m﹣5=0的一个根为0，则m的值为（）A . 1B . -5C . 1或﹣5D . m≠1的任意实数9. （2分）已知抛物线y=x2-x-1与x轴的交点为（m，0），则代数式m2-m+2011的值为（）A . 2009B . 2012C . 2011D . 201010. （2分） (2016九上·临沭期中) 如图，△ABC中，将△ABC绕点A顺时针旋转40°后，得到△AB′C′，且C′在边BC上，则∠AC′C的度数为（）A . 50°B . 60°C . 70°D . 80°二、填空题 (共6题；共10分)11. （5分）已知方程x2-4x+3=0的两根为直角三角形的两直角边长,则其最小角的余弦值为.12. （1分） (2016八上·吴江期中) 已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为________13. （1分）(2018·惠阳模拟) 如图，在△ABC中，AB=6，将△ABC绕点B顺时针旋转60°后得到△DBE，点A经过的路径为弧AD，则图中阴影部分的面积是________．14. （1分）(2017·高青模拟) 如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC边在直线a上，将△ABC 绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1 ，此时AP1= ；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2 ，此时AP2=1+ ；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3 ，此时AP3=2+ ；…，按此规律继续旋转，直至得到点P2015为止．则AP2015=________．15. （1分） (2016八上·沂源开学考) 老师给出一个二次函数，甲，乙，丙三位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数的图象经过第一、二、四象限；乙：当x＜2时，y随x的增大而减小．丙：函数的图象与坐标轴只有两个交点．已知这三位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数________．16. （1分）已知关于x的函数同时满足下列三个条件：①函数的图象不经过第二象限；②当想x<2时，对应的函数值y<0；③当x<2时，函数值y随x的增大而增大．你认为符合要求的函数的解析式可以是：________（写出一个即可）三、解答题 (共9题；共115分)17. （10分） (2015九上·应城期末) 解下列方程：（1） x2﹣2x﹣3=0；（2）（x﹣5）2=2（5﹣x）18. （15分）(2019·乐陵模拟) 如图，关于x的二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)，抛物线的对称轴与x轴交于点D.（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M，N同时停止运动，问点M，N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．19. （15分）(2012·辽阳) 如图，方格纸中的每个小正方形的边长都是1．A、B、C三点都在格点上．（1）请你以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，使A、B两点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣3，1），并写出C点坐标；（2）连接AB、BC、CA得△ABC，将△ABC向右平移4个单位，画出平移后的△A1B1C1；（3）将△A1B1C1绕点B1按顺时针方向旋转90°，画出旋转后的△A2B1C2，并求出在旋转过程中线段A1B1所扫过的图形的面积．20. （15分） (2016九上·相城期末) 已知二次函数的图象以为顶点，且过点．（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）将函数图象向左平移多少个单位，该函数图象恰好经过原点．21. （5分） (2016九上·端州期末) 解方程：x2+7x+12=0。
2018-2019学年河南省洛阳市洛龙区九年级(上)期中数学试卷(Word解析版)
2018-2019 学年河南省洛阳市洛龙区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10 小题，共30 分）1．（3分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是() A．B．C．D．2．（3分）如果关于x 的一元二次方程k 2 x2 - (2k +1)x +1= 0 有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是( )A．k >-14B．k >-1且k ≠ 04C．k <-14D．k -1且k ≠ 043．（3分）如图，在一幅长为60cm，宽为40cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的纸边，制成一幅矩形挂图．若要使整个挂图的面积是3500cm2 ，设纸边的宽为x(cm) ，则x 满足的方程是( )A．(60 +x)(40 +x) = 3500C．(60 -x)(40 -x) = 3500B．(60 + 2x)(40 + 2x) = 3500D．(60 - 2x)(40 - 2x) = 35004．（3分）把抛物线y = 3x2 先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得的抛物线是( )A．y = 3(x + 3)2 - 2 B．y = 3(x + 3)2 + 2 C．y = 3(x - 3)2 - 2 D．y = 3(x - 3)2 + 2 5．（3分）下列方程，是一元二次方程的是()①3x2 +x = 20 ，②2x2 - 3xy + 4 = 0 ，③x2 -x = 4 ，④x2 = 0，⑤x2 -x + 3 = 0 ．A．①②B．①③④⑤C．①③④D．①④⑤6．（3分）如图，在∆ABC 中，∠CAB = 75︒，在同一平面内，将∆ABC 绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得CC' / / AB ，则∠BAB'= ( )A．30︒B．35︒C．40︒D．50︒7．（3分）方程x2-2x-4=0的根的情况()A．只有一个实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根8．（3分）在同一直角坐标系中，二次函数y=-x2+m与一次函数y=mx-1(m≠0) 的图象可能是( )A．B．C．D．9．（3分）如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B ，C 两点同时出发，以1cm / s 的速度沿BC ，CD 运动，到点C ，D 时停止运动，设运动时间为t(s) ，∆OEF 的面积为s(cm2 )，则s(cm2 ) 与t(s) 的函数关系可用图象表示)为(A．B．C． D．10．（3分）已知二次函数y =ax2 +bx +c(a ≠ 0) 的图象如图所示，有下列4个结论：①abc > 0 ；②b <a +c ；③4a + 2b +c > 0 ；④b2 - 4ac > 0 ；其中正确的结论有( )A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个二、填空题（本大题共5 小题，每题3 分，共15 分）平行于y 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为．12．（3分）如图，将等边∆ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得∆ACD，BC 的中点E 的对应点为F ，则∠EAF 的度数是．213．（3 分）已知抛物线 y = ax 2 - 2ax + c 与 x 轴一个交点的坐标为(-1, 0) ，则一元二次方程ax 2 - 2ax + c = 0 的根为．14．（3 分）已知点 A (4, y )， B ( ， y )，C (-2, y ) 都在二次函数 y = (x - 2)2 - m 的图象上，123则 y 1 ， y 2 ， y 3 的大小关系为．15．（3 分）点 P (m , n ) 在二次函数 y = x 2 - 2x 的图象上，当 0 m 3 时，则 n 的取值范围是．三、解答题（本大题共 8 小题，共 75 分） 16．（8 分）解方程： （1） 3x 2 - 2x -1 = 0（2） 4x 2 - (x -1)2 = 017．（9 分）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是 1 个单位长度， ∆ABC 的顶点都在格点上．（1）将∆ABC 以原点O 为旋转中心，逆时针旋转90︒，画出旋转后的△ A 1B 1C 1 ． （2）画出△ A 1B 1C 1 关于 x 轴对称的△ A 2 B 2C 2 ；（3） ∆ABC 和△ A 2 B 2C 2 是否关于直线对称？若是，请写出对称轴的解析式；若不是，请说明理由．18．（9分）已知关于x 的一元二次方程x2 + (2m + 2)x +m2 - 4 = 0 有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若m 为负整数，且该方程的两个根都是整数，求m 的值．19．（9分）某种流感病毒，有一人患了这种流感，在每轮传染中一人将平均传给x 人．（1）求第一轮后患病的人数；（用含x 的代数式表示）（2）在进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈，问第二轮传染后总共是否会有21 人患病的情况发生，请说明理由．20．（9分）如图，在∆ABC中，∠C=90︒，AC=BC，点D是AB边上任意一点，以点C为旋转中心，取旋转角等于90︒，把∆BDC 逆时针旋转．（1）画出旋转后的图形；（2）判断AD2 、BD2 、CD2 的数量关系，并说明理由．21．（10分）某商店购进一种商品，每件商品进价为30元，试销中发现：销售价格为36元/ 件时，每天销售28 件；销售价格为32 元/ 件时，每天销售36 件．若这种商品的销售量y （件) 与销售价格x （元) 存在一次函数，请回答下列问题：（1）求出y 与x 的关系式；（2）设商店销售这种商品每天获利w （元)，写出w 关于x 的函数关系式；①当商店销售这种商品每天获利150 元，销售价格定为多少比较合理；②销售价格定为多少时，商店获利最大，最大利润是多少元？22．（10分）如图1，将两个等腰三角形ABC和DEC拼合在一起，其中∠C=90︒，AC=BC，CD =CE ．（1）操作发现如图2，固定∆ABC ，把∆DEC 绕着顶点C 旋转，使点D 落在BC 边上．填空：线段AD 与BE 的关系是①位置关系：②数量关系：（2）变式探究当∆DEC绕点C旋转到图3的位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）解决问题如图4，已知线段AB = 5 ，线段AC = 2 ，以BC 为边作一个正方形BCDE ，连接AD ，随着边BC 的变化，线段AD 的长也会发生变化．请直接写出线段AD 的取值范围．23．（11分）如图，抛物线y =ax2 +bx +c(a 、b、c 为常数，a≠0)经过点A(-1,0)，B(5,-6)，C(6, 0)．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，在直线AB 下方的抛物线上是否存在点P 使四边形PACB 的面积最大？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q 为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出∆QAB 为等腰三角形的点Q 共有几个？并求以AB 为底边时，点Q 的坐标．2。
河南省洛阳市九年级上学期数学期中考试试卷
河南省洛阳市九年级上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）下列图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A .B .C .D .2. （2分） (2019八上·北京期中) 方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A . 2，－3，1B . 2，3，－1C . 2，3，1D . 2，－3，－13. （2分） (2018九上·番禺期末) 用配方法解方程时，配方结果正确的是（）.A .B .C .D .4. （2分）(2015·江岸) 方程ⅹ（ⅹ－1）=0的解是（）A . x=0B . x=1C . x= 0或ⅹ=1D . x=0和ⅹ=15. （2分）将抛物线y＝x2＋1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（）A . y＝(x＋2)2＋2B . y＝(x＋2)2－2C . y＝(x－2)2＋2D . y＝(x－2)2－26. （2分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB=3，则BE=（）A . 2B . 3C . 4D . 57. （2分） (2019九上·太原期中) 目前，支付宝平台入驻了不少的理财公司，推出了一些理财产品.李阿姨用10000元本金购买了一款理财产品，到期后自动续期，两期结束后共收回本息10926元设此款理财产品每期的平均收益率为x，则根据题意可得方程（）A .B .C .D .8. （2分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）A . k＜﹣3B . k＞﹣3C . k＜3D . k＞39. （2分） (2019九下·盐都月考) 若二次函数y＝kx2﹣4x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A . k≤4B . k≥4C . k＞4且k≠0D . k≤4且k≠010. （2分） (2017九上·台州月考) 将抛物线y＝2x²向右平移4个单位，再向上平移3个单位，得到的图象的表达式为（）A . y＝2(x－4)²－3B . y＝2(x＋4)²＋3C . y＝2(x－4)²＋3D . y＝2(x＋4)²－3二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分） (2017九上·大石桥期中) 已知是二次函数，则m=________．12. （1分） (2016九下·大庆期末) 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE=________．13. （1分）如果非零实数n是关于x的一元二次方程x2﹣mx+n=0的一个根，那么m﹣n=________．14. （1分）(2017·江西模拟) 4二次函数y=x2+bx的图象如图，对称轴为直线x=1．若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是________．15. （1分） (2019九上·台州期中) 在某市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地.如图，自建房占地是边长为8m的正方形ABCD，改建的绿地为矩形AEFG，其中点E在AB上，点G在AD的延长线上，且DG ＝2BE.那么当BE＝________m时，绿地AEFG的面积最大．16. （1分） (2016九上·威海期中) 若二次函数y=（m+1）x2+m2﹣2m﹣3的图象经过原点，则m=________．三、解答题 (共9题；共87分)17. （15分）(2018·鄂州) 甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线BCD表示轿车离甲地距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：（1）轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米？（2）求线段CD对应的函数解析式．（3）轿车到达乙地后，马上沿原路以CD段速度返回，求货车从甲地出发后多长时间再与轿车相遇（结果精确到0.01）．18. （10分） (2016九上·恩施月考) 解下列方程：（1） x(x-1)=3x+7（2） 4x2-4x+1=(x+3)219. （10分） (2018九上·上杭期中) 如图，三个顶点的坐标分别为，，．（1）请画出关于原点对称的，并写出，，的坐标；（2）请画出绕点B逆时针旋转后的．20. （10分） (2017九上·台江期中) 在“全民阅读”活动中，某中学对全校学生中坚持每天半小时阅读的人数进行了调查，2012年全校坚持每天半小时阅读有1000名学生，2013年全校坚持每天半小时阅读人数比2012年增加10%，2014年全校坚持每天半小时阅读人数比2013年增加340人．（1）求2014年全校坚持每天半小时阅读学生人数；（2）求从2012年到2014年全校坚持每天半小时阅读的人数的平均增长率．21. （5分） (2017九上·河源月考) 关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2+1=0。
2018-2019学年度九年级上学期期中考试九数学试卷(解析版)
2018-2019学年度九年级上学期期中考试九数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）把方程（x﹣）（x+）+（2x﹣1）2=0化为一元二次方程的一般形式是（）A．5x2﹣2x﹣2=0 B．5x2﹣4x﹣2=0 C．5x2﹣2=0 D．3x2﹣4x﹣2=0 【专题】常规题型．【分析】根据化为一元二次方程的一般式即可求出答案．【解答】解：化为一般式为：x2-3+4x2-4x+1=0∴5x2-4x-2=0故选：B．【点评】本题考查一元二次方程的一般式，解题的关键是正确理解一元二次方程的一般式，本题属于基础题型．2．（3分）关于x的方程（a2﹣2a﹣3）x2+ax+b=0是一元二次方程的条件是（）A．a≠0B．a≠﹣3且a≠1C．a≠3且a≠﹣1 D．a≠3或a≠﹣1【专题】常规题型．【分析】依据一元二次方程的二次项系数不为零列不等式求解即可．【解答】解：∵关于x的方程（a2-2a-3）x2+ax+b=0是一元二次方程，∴a2-2a-3≠0．∴a≠3且a≠-1．故选：C．【点评】本题主要考查的是一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．3．（3分）已知二次函数y=ax2+4ax+c的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则它与x轴的另一个交点的坐标是（）A．（﹣3，0）B．（3，0）C．（1，0）D．（﹣2，0）【专题】常规题型；二次函数图象及其性质．【分析】先求出抛物线的对称轴，再根据轴对称性求出与x轴的另一个交点坐标．【解答】解：二次函数y=ax2+4ax+c的对称轴为：x=﹣=﹣2，∵二次函数y=ax2+4ax+c的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴它与x轴的另一个交点坐标是（﹣3，0）．故选：A．【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是熟练掌握抛物线的对称性．4．（3分）若二次函数y=mx2﹣4x+m有最大值﹣3，则m等于（）A．m=4 B．m=﹣1 C．m=1 D．m=﹣4【专题】常规题型．【分析】根据二次函数的最值公式列式计算即可得解．【解答】解：∵二次函数有最大值，∴m＜0且=﹣3，解得m=﹣4．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，熟记最大（小）值公式是解题的关键．5．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（﹣3，2）绕点A（0，1）顺时针旋转90°，所得到的对应点P′的坐标为（）A．（﹣1，﹣2）B．（3，﹣2）C．（1，3）D．（1，4）【专题】平移、旋转与对称．【分析】建立平面直角坐标系，作出图形，然后根据图形写出点P′的坐标即可．【解答】解：如图所示，建立平面直角坐标系，点P′的坐标为（1，4）．故选：D．【点评】本题考查了坐标与图形变化-旋转，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．6．（3分）方程x2﹣2x+4=0和方程x2﹣4x+2=0中所有的实数根之积是（）A．8 B．2 C．6 D．4【专题】常规题型．【分析】由方程根与系数的关系可分别求得每个方程的两根，再共积即可求得答案．【解答】解：∵方程x2-2x+4=0的判别式△=（-2）2-4×4=-12＜0，∴方程x2-2x+4=0无实数根，∵方程x2-4x+2=0，∴两根之积为2，∴方程x2-2x+4=0和方程x2-4x+2=0中所有的实数根之积为2，故选：B．【点评】本题主要考查方程根与系数的关系，掌握方程根与系数的关系是解题的关键，注意根与系数的关系应用的前提是该方程有实数根．7．（3分）若一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴都交于正半轴，则二次函数y=kx2+bx ﹣kb的图象可能是（）A．B．C．D．【专题】解题方法．【分析】根据一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴都交于正半轴，可得k＜0，b＞0，根据二次函数y=kx2+bx-kb的系数可知对称轴为- ＞0，-kb＞0，可得答案．【解答】解：∵一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴都交于正半轴，∴k＜0，b＞0，∴二次函数y=kx2+bx-kb的图象开口向下，∵对称轴为-＞0，-kb＞0，故C符合题意，故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象和一次函数的图象，利用一次函数图象与x轴、y轴都交于正半轴，考查二次函数的系数特点是解题关键．8．（3分）如图，点P是等边△ABC的内部一点，PA=5，PB=13，PC=12，则△ABP与△ACP 的面积之和是（）A．+30 B．72+30 C．60 D．+30【专题】常规题型；构造法；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称．【分析】把△APC绕点A顺时针旋转60°得到△ADB，可证得△ADP为等边三角形，△PBD 为直角三角形，利用S△ABP+S△ACP=S△ADP+S△PBD可求得答案．【解答】解：如图，把△APC绕点A顺时针旋转60°得到△ADB，连接PD，则△ADP为等边三角形，∴DP=PA=5，∵PB=13，PD=PC=12，∴BD2+PD2=PB2，∴△BPD为直角三角形，∴S△ABP+S△ACP=S△ADP+S△PBD=×5×12+×52=+30，故选：A．【点评】本题主要考查旋转的性质、等边三角形及旋转的性质，利用旋转的性质构造直角三角形和等边三角形是解题的关键，注意等边三角形面积公式的应用，即等边三角形的边长为a，则等边三角形的面积等于9．（3分）若关于x的方程（a﹣3）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（）A．a≥﹣1且a≠3B．a≠3C．a＞﹣1且a≠3D．a≥﹣1【专题】常规题型．【分析】根据根的判别式即可求出答案．【解答】解：当a﹣3=0时，∴﹣4x﹣1=0，∴x=﹣当a﹣3≠0时，∴△=16+4（a﹣3）≥0，∴a≥﹣1，综上所述，a≥﹣1故选：D．【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．10．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①9a﹣3b+c=0；②4a ﹣2b+c＞0；③方程ax2+bx+c﹣4=0有两个相等的实数根；④方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=0的两根是x1=﹣2，x2=2．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【专题】二次函数图象及其性质．【分析】①根据x=-3时，对应的y=0，代入可得结论；②根据x=-2时，对应的y＞0，代入可得结论；③根据顶点坐标中y=4，可得方程ax2+bx+c-4=0有两个相等的实数根；④将x-1替换x，由方程ax2+bx+c=0的两根x1=-3，x2=1，可得结论．【解答】解：①由抛物线的对称性可知：与x轴交于另一点为（-3，0），∴9a-3b+c=0；故①正确；②由图象得：当x=-2时，y＞0，∴4a-2b+c＞0，故②正确；③∵抛物线的顶点（-1，4），∴方程ax2+bx+c=4有两个相等的实数根，即方程ax2+bx+c-4=0有两个相等的实数根；故③正确；④由题意得：方程ax2+bx+c=0的两根为：x1=-3，x2=1，∴方程a（x-1）2+b（x-1）+c=0的两根是：x-1=-3或x-1=1，∴x1=-2，x2=2，故④正确；综上得：正确结论为：①②③④，4个，故选：D．【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，与方程相联系，掌握二次函数y=ax2+bx+c 与方程的关系，利用数形结合的思想，确定代数式的值．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+k=0的一个根是﹣2，则另一个根是．【分析】把方程的一个根-2代入方程得到关于k的方程，解方程求出k的值．根据根与系数的关系，由两根之和可以求出方程的另一个根．【解答】解：把x=-2代入x2+（k+3）x+k=0得到：（-2）2+（k+3）×（-2）+k=0，解得k=-2．设方程的另一根为t，则-2t=-2，解得t=1．故答案是：1．【点评】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系；把方程的解代入方程求出字母系数k的值是解决问题的关键．12．（3分）将抛物线y=x2﹣4x+5向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的抛物线的顶点坐标是．【专题】函数思想．【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．【解答】解：∵y=x2-4x+5=（x-2）2+1，∴抛物线y=x2-4x+5的顶点坐标是（2，1），∴将抛物线y=x2-4x+5向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的抛物线的顶点坐标是（3，-1）．故答案是：（3，-1）．【点评】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．13．（3分）如图，▱ABCD中，AE⊥BC于E，以B为中心，取旋转角等于∠ABC，将△BAE 顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′．若∠ADC=70°，∠ADA′=50°，则∠DA′E′的度数为．【专题】多边形与平行四边形．【分析】根据平行四边形的性质得∠ABC=∠ADC=70°，AD∥BC，则根据平行线的性质可计算出∠DA′B=130°，接着利用互余计算出∠BAE=20°，然后根据旋转的性质得∠BA′E′=∠BAE=20°，于是可得∠DA′E′=150°．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=70°，AD∥BC，∴∠ADA′+∠DA′B=180°，∴∠DA′B=180°-50°=130°，∵AE⊥BE，∴∠BAE=20°，∵△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，∴∠BA′E′=∠BAE=20°，∴∠DA′E′=130°+20°=150°．故答案为：150°．【点评】本题考查了平行四边形的性质以及旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．14．（3分）已知函数y=的图象如图所示，观察图象，则当函数值y≥﹣6时，对应的自变量x的取值范围是．【专题】常规题型．【分析】根据图象以及不等式解法，分别解不等式，得出自变量的取值范围即可．【解答】解：∵y=，∴当函数值y≥﹣6时，分两种情况：①x≤2时，﹣x2+2≥﹣6，x2≤8，结合图象可以得出：﹣2≤x≤2，此时x≤2，所以﹣2≤x≤2，②x＞2时，当函数值y≥﹣6时，﹣2x≥﹣6，解得：x≤3，此时x＞2，所以2＜x≤3．综上所述，y≥﹣6时，对应的自变量x的取值范围是：﹣2≤x≤3，故答案为﹣2≤x≤3．【点评】此题考查了二次函数的性质，函数的图象以及不等式的解法，根据图象得出不等式x2≤8的解集是解题关键．15．（3分）设m，n是一元二次方程x2﹣2018x+1=0的两个实数根，则代数式2017m2+2018n2﹣2018n﹣2017×20182的值是．【专题】计算题．【分析】根据根与系数的关系得出“m+n=2018，mn=1”，再将2017m2+2018n2-2018n-2017×20182变形为只含m+n与mn的代数式，代入数据即可得出结论．【解答】解：∵m、n是关于x的一元二次方程x2-2018x+1=0的两个实数根，∴m+n=2018，mn=1，n2-2018n+1=0，∴2017m2+2018n2-2018n-2017×20182=2017[（m+n）2-2mn]+n2-2018n-2017×20182=2017×（20182-2）-1-2017×20182=2017×20182-2017×2-1-2017×20182=-4035故答案为：-4035．【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出2017m2+2018n2-2018n-2017×20182=2017[（m+n）2-2mn]+n2-2018n-2017×20182．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积，再将代数式变形为只含两根之和与两根之积的形式是关键．16．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=6，D为AC上一点，AD=4，将AD绕点A旋转至AD′，连接BD′，F为BD′的中点，则CF的最大值为．【专题】平移、旋转与对称．【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CM的长，利用三角形中位线定理，可得MF的长，再根据当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大，即可得到结论．【解答】解：如图，取AB的中点M，连接MF和CM，∵将线段AD绕点A旋转至AD′，∴AD′=AD=4，∵∠ACB=90°，∵AC=6，BC=2，∴AB==2．∵M为AB中点，∴CM=，∵AD′=4．∵M为AB中点，F为BD′中点，∴FM=AD′=2．∵CM+FM≥CF，∴当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时，CF最大，此时CF=CM+FM=+2．故答案为：+2．【点评】本题考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，知道当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大是解题的关键．三、解答题（本大题共8小题，共72分）17．（9分）解下列方程：（1）x2﹣5x=6；（2）x2﹣x﹣1=0；（3）（x﹣2）2=2（x+3）（x﹣3）．【专题】常规题型．【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案．【解答】解：（1）x2﹣5x﹣6=0（x﹣6）（x+1）=0x=6或x=﹣1（2）x2﹣x+=+1，（x﹣）2=x=（3）x2﹣4x+4=2x2﹣9x2+4x﹣13=0x2+4x+4=13+4（x+2）2=17x=﹣2±【点评】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．18．（8分）（1）在图1中画出△ABC关于O的中心对称图形△A′B′C′；（2）正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）中，画出格点△DEF，使DE=，DF=，EF=，并求出△DEF的面积．【专题】作图题．【分析】（1）画出A、B、C三点关于O的对称点，连接各对称点所得图形即为△ABC关于点O的中心对称图形．（2）找到直角边为1和3的直角三角形，其斜边为，直角边为1和2的直角三角形，其斜边为，直角边为2和3的直角三角形，其斜边为【解答】解：（1）如图（1）：（2）如图（2）：S△DEF═=3×3﹣3﹣1﹣1.5=3.5．【点评】本题考查了作图--旋转变换和勾股定理，充分利用格点是解题的关键一步．19．（8分）某班“数学兴趣小组”对函数y=x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：x …﹣3 ﹣﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …y … 3 m ﹣1 0 ﹣1 0 3 …其中，m=．（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）探究函数图象发现：①函数图象与x轴有个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|=0有个实数根；②方程x2﹣2|x|=有个实数根；③关于x的方程x2﹣2|x|=a有4个实数根时，a的取值范围是．【专题】常规题型；数形结合；二次函数图象及其性质．【分析】（1）根据当x=2或x=-2时函数值相等即可得；（2）将坐标系中y轴左侧的点按照从左到右的顺序用平滑的曲线依次连接可得；（3）①根据函数图象与x轴的交点个数与对应方程的解的个数间的关系可得；③关于x的方程x2-2|x|=a有4个实数根时，-1＜a＜0．【解答】解：（1）由函数解析式y=x2﹣2|x|知，当x=2或x=﹣2时函数值相等，∴当x=﹣2时，m=0，故答案为：0；（2）如图所示：（3）①由图象可知，函数图象与x轴有3个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|=0有3个实数根；②由函数图象知，直线y=﹣与y=x2﹣2|x|的图象有4个交点，所以方程x2﹣2|x|=有4个实数根；③由函数图象知，关于x的方程x2﹣2|x|=a有4个实数根时，0＜a＜﹣1，故答案为：0＜a＜﹣1；故答案为：①3、3；②4；③0＜a＜﹣1．【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是熟练掌握二次函数图象与x轴交点坐标和对应方程的解之间的关系．20．（9分）（1）如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且∠EAF=45°，则有BE+DF=．若AB=2，则△CEF的周长为．（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD=∠C=90°，AB=AD，点E，F分别在BC，CD上，且∠EAF=45°，试判断BE，EF，DF之间的数量关系，并说明理由．【专题】几何图形．【分析】（1）延长EB至H，使BH=DF，连接AH，证△ADF≌△ABH，△FAE≌△HAE，根据全等三角形的性质得出EF=HE=BE+HB进而求出即可；（2）延长CB至M，使BM=DF，连接AM，证△ADF≌△ABM，证△FAE≌△MAE，即可得出答案．【解答】解：（1）延长EB至H，使BH=DF，连接AH，如图1，∵在正方形ABCD中，∴∠ADF=∠ABH，AD=AB，在△ADF和△ABH中，∵，∴△ADF≌△ABH（SAS），∴∠BAH=∠DAF，AF=AH，∴∠FAH=90°，∴∠EAF=∠EAH=45°，在△FAE和△HAE中，∵，∴△FAE≌△HAE（SAS），∴EF=HE=BE+HB，∴EF=BE+DF，∴△CEF的周长=EF+CE+CF=BE+CE+DF+CF=BC+CD=2AB=4．故答案为：EF；4．（2）延长CB至M，使BM=DF，连接AM，如图2，∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABM=180°，∴∠D=∠ABM，在△ABM和△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AF=AM，∠DAF=∠BAM，∵∠BAD=∠C=90°，∠EAF=45°，即∠BAD=2∠EAF，∴∠DAF+∠BAE=∠EAF，∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF，在△FAE和△MAE中，，∴△FAE≌△MAE（SAS），∴EF=EM=BE+BM=BE+DF，即EF=BE+DF．【点评】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定以及勾股定理的综合应用．作出辅助线延长EB至H，使BH=DF，利用全等三角形性质与判定求出是解题关键．21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0有两个不等的实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若该方程的两个实数根x1，x2满足|x1|+|x2|=x12+x22﹣10，求k的值．【专题】判别式法．【分析】（1）由△＞0，列出不等式，解不等式即可；（2）由根与系数的关系表示两根和与两根积，再把所求的式子，化简后代入计算即可．【解答】解：（1）由题意，△＞0，∴（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，解得k＞．（2）依题意得：x1+x2=2k+1，x1•x2=k2+1，由（1）得：k，∴x1+x2＞0，x1x2＞0，∴x1、x2同为正根，∴|x1|+|x2|=x12+x22﹣10，可化为：x1+x2=x12+x22﹣10，2k+1=（x1+x2）2﹣2x1x2﹣10，2k+1=（2k+1）2﹣2（k2+1）﹣10，k2+k﹣6=0，（k+3）（k﹣2）=0，k1=﹣3，k2=2，∵k＞，∴k=2．【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，22．（8分）如图，要建一个面积为130m2的矩形仓库，仓库的一边靠墙（墙长为am），并在与墙平行的一边开一道1m宽的门．现有能围成32m长的木板，求建仓库的方案．【专题】一元二次方程及应用．【分析】设与仓库与墙垂直的一边是x米，长是（32-2x+1），根据面积为130平方米可列方程求解，再分类讨论即可；【解答】解：设与仓库与墙垂直的一边是x米，（32-2x+1）x=130，x=10或x=6.5，①当0＜a＜13设，没有符合题意的方案．②当13≤a＜20时，建仓库的方案：与仓库与墙垂直的一边是10米，另一边是13米；③当a≥20时，方案一：与仓库与墙垂直的一边是10米，另一边是13米；方案二：与仓库与墙垂直的一边是6.5米，另一边是20米；【点评】本题考查一元二次方程的应用、理解题意的能力，关键是设出长，表示出宽，以面积做为等量关系列方程求解．23．（10分）某宾馆有50个房间供游客居住．，当每个房间定价120元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每个房间定价为x元（x为整数）．（1）直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数解析式．（2）设宾馆每天的利润为W元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是多少？【专题】常规题型；二次函数的应用．【分析】（1）根据每天游客居住的房间数量等于50-减少的房间数即可解决问题；（2）构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题．【解答】解：（1）y=50-x−12010=-110x+62；（2）w=（x-20）（-110x+62）=-110x2+64x-1240=-110（x-320）2+9000，∴当x=320时，w取得最大值，最大值为9000，答：当每间房价定价为320元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是9000元．【点评】本题考查二次函数的应用、解题的关键是构建二次函数解决实际问题中的最值问题，属于中考常考题型．24．（12分）如图1，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（2，0），B（0，2），与x轴交于另一点C．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）点P是抛物线y=﹣x2+bx+c在第一象限上的点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为D，E，求四边形ODPE的周长的最大值；（3）如图2，点P是抛物线y=﹣x2+bx+c在第一象限上的点，过点P作PN⊥x轴，垂足为N，交AB于M，连接PB，PA．设点P的横坐标为t，当△ABP的面积等于△ABC面积的时，求t的值．专题】解题方法．【分析】（1）将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的值，从而可得到抛物线的解析式，然后令y=0可得到关于x的方程可求得点C的坐标；（2）设点P的坐标为（t，-t2+t+2），用含t的式子表示出PE、PD的长度，然后可得到四边形ODPE的周长与t的函数关系式，最后利用配方法可求得点P的横坐标，以及四边形ODPE周长的最大值；（3）先求得直线AB的解析式，设P点的坐标为（t，-t2+t+2），则点M的坐标为（t，-t+2），由S△ABP=S△PMB+S△PMA可得到△ABP的面积与t的函数关系式，【解答】解：（1）将点A和点B的坐标代入y=﹣x2+bx+c得：，解得：b=1，c=2．∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2．令y=0，则0=﹣x2+x+2，解得：x=2或x=﹣1．∴点C的坐标为（﹣1，0）．（2）设点P的坐标为（t，﹣t2+t+2），则PE=t，PD=﹣t2+t+2，∴四边形ODPE的周长=2（﹣t2+t+2+t）=﹣2（t﹣1）2+6，∴当P点坐标为（1，2）时，∴四边形ODPE周长最大值为6．（3）∵A（2，0），B（0，2），∴AB的解析式为y=﹣x+2．∵P点的横坐标为t，∴P点纵坐标为﹣t2+t+2．又∵PN⊥x轴，∴M点的坐标为（t，﹣t+2），∴PM=﹣t2+t+2﹣（﹣t+2）=﹣t2+2t．∴S△ABP=S△PMB+S△PMA=PM•ON+PM•AN=PM•OA=﹣t2+2t．又∵S△ABC=AC•OB=×3×2=3，∴﹣t2+2t=3×，解得：t1=t2=1．∴当t=1时，△ABP的面积等于△ABC的面积的．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了代入系数法求二次函数的解析式、二次函数的最值、三角形的面积公式、解一元二次方程，得到PM的长度与点M的横坐标之间的关系是解题的关键．。
河南省洛阳市东方第二中学2018-2019学年九年级上期中考试数学试题(解析版)
2018-2019学年河南省洛阳二中九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题（本大题共10小题，共30分）1．（3分）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（）A．三角形的外心到三边的距离相等B．某射击运动员射击一次，命中靶心C．任意画一个三角形，其内角和是180°D．抛一枚硬币，落地后正面朝上3．（3分）若关于y的一元二次方程ky2﹣4y﹣3＝3y+4有实根，则k的取值范围是（）A．k ＞﹣B．k ≥﹣且k≠0C．k ≥﹣D．k ＞且k≠04．（3分）一次函数y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数y2＝，在同一直角坐标系中的图象如图所示，若y1＜y2，则x的取值范围是（）第1页（共26页）A．﹣2＜x＜0或x＞1B．x＞1C．x＜﹣2或0＜x＜1D．﹣2＜x＜15．（3分）在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有1，2，3，4四个数字，这些小球除数字外都相同．甲、乙玩猜数字游戏，游戏规则如下：甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m；再由乙从袋中剩下的小球中任意摸出一个，将小球上的数字记为n．如果满足m与n的和为偶数，则称甲、乙两人“心有灵犀”，则甲、乙两人“心有灵犀”的概率是（）A ．B ．C ．D ．6．（3分）如图，在▱ABCD中，E为AD的三等分点，AE ＝AD，连接BE交AC于点F，AC＝12，则AF为（）A．4B．4.8C．5.2D．67．（3分）如图，点A在双曲线y ＝上，点B在双曲线y ＝（k≠0）上，AB∥x轴，分别过点A、B向x轴作垂线，垂足分别为D、C，若矩形ABCD的面积是9，则k的值为（）第2页（共26页）A．4B．5C．9D．138．（3分）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，将矩形ABCD绕着点D在桌面上顺针旋砖至A1B1C1D，使其停靠在矩形EFGH的点E处，若∠EDF＝30°，则点B的运动路径长为（）A ．πB ．πC ．πD ．π9．（3分）如图，已知AB是⊙O直径，BC是弦，∠ABC＝40°，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB为（）A．20°B．25°C．30°D．35°10．（3分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞﹣c；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论的有（）第3页（共26页）A．①②③B．②③⑤C．②③④D．③④⑤二、填空题（本大题共5小题，共15分）11．（3分）若关于x的一元二次方程x2+4x+k﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是．12．（3分）一个布袋里装有10个只有颜色不同的球，这10个球中有m个红球，从布袋中摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，通过大量重复实验后发现，摸到红球的频率稳定在0.3左右，则m的值约为．13．（3分）如图，在▱ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F，3AE ＝2EB，连接DF．若S△AEF＝1，则S△ADF的值为．14．（3分）如图，AB是⊙O直径，CD切⊙O于E，BC⊥CD，AD⊥CD交⊙O于F，∠A＝60°，AB＝4，求阴影部分面积．15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时第4页（共26页）针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A （，0），B（0，2），则点B2016的坐标为．三、解答题（本大题共8小题，共75分）16．（8分）由于只有1张市运动会开幕式的门票，小王和小张都想去，两人商量采取转转盘（如图，转盘盘面被分为面积相等，且标有数字1，2，3，4的4个扇形区域）的游戏方式决定谁胜谁去观看．规则如下：两人各转动转盘一次，当转盘指针停止，如两次指针对应盘面数字都是奇数，则小王胜；如两次指针对应盘面数字都是偶数，则小张胜；如两次指针对应盘面数字是一奇一偶，视为平局．若为平局，继续上述游戏，直至分出胜负．如果小王和小张按上述规则各转动转盘一次，则（1）小王转动转盘，当转盘指针停止，对应盘面数字为奇数的概率是多少？（2）该游戏是否公平？请用列表或画树状图的方法说明理由．17．（9分）在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是（﹣3，﹣1）．（1）以O为中心作出△ABC的中心对称图形△A1B1C1，并写出点B1坐标；（2）以格点P为旋转中心，将△ABC按顺时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，且使点A的对应点A′的恰好落在△A1B1C1的内部格点上（不含△A1B1C1的边上），写出点P的坐标，并画出旋转后的△A′B′C′．第5页（共26页）18．（9分）已知关于x的方程x2+mx+m﹣2＝0．（1）求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程两实数根分别为x1，x2，且满足x12+x22＝﹣3x1x2，求实数m的值．19．（9分）用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架（如图①②中的一种）．设竖档AB＝x米，请根据以上图案回答下列问题：（题中的不锈钢材料总长均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与AD、AB 平行）（1）在图①中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积为3平方米？（2）在图②中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？20．（9分）如图，已知直线y1＝x+m与x轴、y轴分别交于点A、B ，与双曲线（x＜0）分别交于点C、D，且C点的坐标为（﹣1，2）．（1）分别求出直线AB及双曲线的解析式；第6页（共26页）（2）求出点D的坐标；（3）利用图象直接写出：当x在什么范围内取值时，y1＞y2？21．（10分）如图，已知AD是△ABC中BC边上的高，以AD为直径的⊙O分别交AB、AC于点E、F，点G是BD的中点（1）求证，GE是⊙O的切线；（2）若∠B＝30°，AD＝4，求由线段GD、GE和弧DE围成的阴影部分面积．22．（10分）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的动点（不与B，C重合），将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，连接AF，EF、AF分别与CD交于点M、N，作FG⊥BC于点G；（1）求证：BE＝CG（2）探究线段BE、EN、DN间的等量关系，并说明理由；（3）如图2，当点E运动到BC的中点时，若AB＝6，求MN的长．第7页（共26页）23．（11分）如图，已知抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且A（2，0），C（0，﹣4），直线l：y ＝﹣x﹣4与x轴交于点D，点P是抛物线y＝ax2+x+c上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交直线l于点F．（1）试求该抛物线表达式；（2）如图（1），当点P在第三象限，四边形PCOF是平行四边形，求P点的坐标；（3）如图（2），过点P作PH⊥y轴，垂足为H，连接AC．①求证：△ACD是直角三角形；②试问当P点横坐标为何值时，使得以点P、C、H为顶点的三角形与△ACD相似？第8页（共26页）2018-2019学年河南省洛阳二中九年级（上）月考数学试卷（12月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，共30分）1．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．故选：C．2．【解答】解：A、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，三角形的内心到三边的距离相等，只有三角形是等边三角形时才符合，故本选项不符合题意；B、某射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意；C、三角形的内角和是180°，是必然事件，故本选项符合题意；D、抛一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，故本选项不符合题意；故选：C．3．【解答】解：整理方程得：ky2﹣7y﹣7＝0由题意知k≠0，方程有实数根．∴△＝b2﹣4ac＝49+28k≥0∴k ≥﹣且k≠0．第9页（共26页）故选：B．4．【解答】解：由函数图象可知，当x＜﹣2或0＜x＜1时，一次函数的图象在二次函数图象的下方．故选：C．5．【解答】解：列表如下：所有等可能的情况有12种，两个小球上的数字和为偶数的为（3，1），（4，2），（1，3），（2，4）共4种，则P（m与n的和为偶数）＝＝，故选：B．6．【解答】解：在▱ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，∵E为AD的三等分点，∴AE＝AD＝BC，∵AD∥BC，∴＝＝，∵AC＝12，第10页（共26页）∴AF ＝×12＝4.8．故选：B．7．【解答】解：过点A作AE⊥y轴于点E，∵点A在双曲线y ＝上，∴矩形EODA的面积为：4，∵矩形ABCD的面积是9，∴矩形EOCB的面积为：4+9＝13，则k的值为：xy＝k＝13．故选：D．8．【解答】解：连接BD、B1D，∵在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∴CD＝AB＝3，∴BD ＝＝5，根据旋转的性质可知：∠B1DA1＝∠BDA，第11页（共26页）根据矩形的性质可知：∠BDC+∠BDA＝90°，∴∠BDC+∠B1DA1＝90°，∵∠EDF＝30°，∴∠BDB1＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴点B 的运动路径长为：＝．故选：B．9．【解答】解：如图，OD交BC于E．∵OD⊥BC，∴∠OEB＝90°，∵∠ABC＝40°，∴∠BOD＝50°，∴∠DCB ＝∠BOD＝25°，第12页（共26页）故选：B．10．【解答】解：①∵对称轴在y轴的右侧，∴ab＜0，由图象可知：c＞0，∴abc＜0，故①不正确；②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴b﹣a＞c，故②正确；③由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，故③正确；④∵x ＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∵a﹣b+c＜0，∴a+2a+c＜0，3a＜﹣c，故④不正确；⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，而当x＝m时，y＝am2+bm+c，第13页（共26页）所以a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故⑤正确．故②③⑤正确．故选：B．二、填空题（本大题共5小题，共15分）11．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x+k﹣1＝0有实数根，∴△＝42﹣4（k﹣1）≥0，解得：k≤5．故答案为：k≤5．12．【解答】解：根据题意得，解得m＝3．故答案为：3．13．【解答】解：∵3AE＝2EB，∴可设AE＝2a、BE＝3a，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，第14页（共26页）∵S△AEF＝1，∴S△ABC ＝，∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△ADC＝S△ABC ＝，∵EF∥BC，∴＝＝＝，∴＝＝，∴S△ADF ＝S△ADC ＝×＝，故答案为：．14．【解答】解：设AD交⊙O于F，连接OE、OF、BF，如图，∵AB为⊙O直径，AB＝4，∴OE ＝AB＝2，∠AFB＝90°，∵∠A＝60°，第15页（共26页）∴AF ＝AB＝2，BF ＝AF＝2，∵根据圆周角定理得：∠BOF＝2∠A＝120°，∴∠AOF＝180°﹣120°＝60°，∵CD切⊙O于E，BC⊥CD，AD⊥CD，∴∠C＝∠OED＝∠D＝90°，∴OE∥BC∥AD，∵O为AB中点，∴CE＝ED，∴BC+AD＝2OE＝AB＝4，∴阴影部分的面积S＝S梯形BCDF﹣（S扇形AOF﹣S△BOF）＝（BC+AD）×BF ﹣+×2×1＝×4×2﹣π﹣＝3﹣π，故答案为：3﹣π．15．【解答】解：∵AO ＝，BO＝2，∴AB ＝＝，∴OA+AB1+B1C2＝6，第16页（共26页）∴B2的横坐标为：6，且B2C2＝2，∴B4的横坐标为：2×6＝12，∴点B2016的横坐标为：2016÷2×6＝6048．∴点B2016的纵坐标为：2．∴点B2016的坐标为：（6048，2）．故答案为：（6048，2）．三、解答题（本大题共8小题，共75分）16．【解答】解：（1）∵转盘的4个等分区域内只有1，3两个奇数，∴小王转动转盘，当转盘指针停止，对应盘面数字为奇数的概率＝＝；（2）列表如下：所有等可能的情况有16种，其中两指针所指数字数字都是偶数或都是奇数的都是4种，∴P（小王胜）＝＝，P（小张胜）＝＝，第17页（共26页）∴游戏公平．17．【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求，点B1坐标为（2，4）；（2）如图所示：点P的坐标为：（1，﹣2），△A′B′C′即为所求．18．【解答】（1）证明：∵△＝m2﹣4×1×（m﹣2）＝m2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4＞0，∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；（2）解：x1+x2＝﹣m，x1x2＝m﹣2，∵x12+x22＝﹣3x1x2，∴﹣2x1x2＝﹣3x1x2∴＝﹣x1x2∴m2＝2﹣m，∴m2+m﹣2＝0，第18页（共26页）∴（m+2）（m﹣1）＝0，∴m＝﹣2或1．19．【解答】解：（1）如图①，当AB＝x米时，AD ＝＝4﹣x（米），根据题意，得：x（4﹣x）＝3，即x2﹣4x+3＝0，解得：x＝1或x＝3，答：当x为1米或3米时，矩形框架ABCD的面积为3平方米；（2）如图②，当AB＝x时，AD ＝＝4﹣x（米），根据题意知，S＝x（4﹣x）＝﹣x2+4x＝﹣（x ﹣）2+3，∴当x ＝时，S取得最大值，最大值为3，答：当x 为米时，矩形框架ABCD的面积S最大，最大面积是3平方米．20．【解答】解：（1）∵y1＝x+m 与过点C（﹣1，2），∴m＝3，k＝﹣2，∴y1＝x+3，；第19页（共26页）（2）由题意，解得：，或，∴D点坐标为（﹣2，1）；（3）由图象可知：当﹣2＜x＜﹣1时，y1＞y2．21．【解答】解：（1）连接OE，OG，∵AD为圆O的直径，∴∠AED＝90°，∴∠BED＝90°，在Rt△BED中，EG为斜边BD的中点，∴EG＝BG＝DG ＝BD，在△OEG和△ODG中，，∴△OEG≌△ODG（SSS），∴∠OEG＝∠ODG＝90°，则EG为圆O的切线；（2）∵EG＝BG，第20页（共26页）∴∠BEG＝∠B＝30°，∴∠EGD＝60°，∠EOD＝120°，∵EG＝DG，GO为∠EGD平分线，∴OG⊥ED，∵AD＝4，∴OE＝OD＝2，∴S弓形ED＝S扇形EOD﹣S△EOD ＝﹣×2×1＝﹣，则S阴影＝S△EDG﹣S弓形ED ＝×3×2﹣+＝4﹣．22．【解答】（1）证明：∵EF⊥AE，∴∠AEB+∠GEF＝90°，又∵∠AEB+∠BAE＝90°∴∠GEF＝∠BAE，又∵FG⊥BC，∴∠ABE＝∠EGF＝90°，在△ABE与△EGF中，第21页（共26页），∴△ABE≌△EGF（AAS），∴AB＝EG，∵AB＝BC，∴BC＝EG，∴BE＝CG．（2）解：结论：EN＝BE+DN．理由：如图1中，延长EB到K，使得BK＝DN．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝∠D＝∠ABC＝∠ABK＝90°，∵DN＝BK，∴△ADN≌△ABK（SAS），∴AK＝AN，∠BAK＝∠DAN，第22页（共26页）∴∠EAF＝45°，∴∠KAE＝∠BAK+∠BAE＝∠DAN+∠BAE＝45°，∴∠EAK＝∠EAN＝45°，∵AE＝AE，∴△EAK≌△EAN（SAS），∴EN＝EK，∵EK＝BK+BE＝DN+BE，∴EN＝BE+DN．（3）解：如图2中，作FK⊥AB于K，交CD于J．∵△ABE≌△EGF，∴BE＝GE，∵BE＝CE＝3，∴FG＝BE＝CG＝3，∵AB∥CD，第23页（共26页）∵∠G＝∠JCG＝90°，∴四边形FGCJ是矩形，∵CG＝FG，∴四边形FGCJ是正方形，CG＝FG＝3，∵EC＝CG，CM∥FG，∴CM ＝FG ＝，∴JM＝CJ﹣CM ＝，∵四边形BGFK是矩形，∴FK＝BG＝9，BK＝FG＝AK＝3，∵JN∥AK，∴＝，∴＝，∴NJ＝1，∴MN＝NJ+JM＝1+＝．23．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，第24页（共26页）∴抛物线的表达式为y ＝x2+x﹣4．（2）设P（m ，m2+m﹣4），则F（m ，﹣m﹣4）．∴PF ＝（﹣m﹣4）﹣（m2+m﹣4）＝﹣m2﹣m．∵PE⊥x轴，∴PF∥OC．∴PF＝OC时，四边形PCOF是平行四边形．∴﹣m2﹣m＝4，解得：m ＝﹣或m＝﹣8．当m ＝﹣时，m2+m﹣4＝﹣，当m＝﹣8时，m2+m﹣4＝﹣4．∴点P 的坐标为（﹣，﹣）或（﹣8，﹣4）．（3）①证明：把y＝0代入y ＝﹣x﹣4得：﹣x﹣4＝0，解得：x＝﹣8．∴D（﹣8，0）．∴OD＝8．∵A（2，0），C（0，﹣4），∴AD＝2﹣（﹣8）＝10．由两点间的距离公式可知：AC2＝22+42＝20，DC2＝82+42＝80，AD2＝100，∴AC2+CD2＝AD2．第25页（共26页）∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°．②由①得∠ACD＝90°．当△ACD∽△CHP 时，＝，即＝解得：n＝0（舍去）或n＝﹣5.5或n＝﹣10.5．当△ACD∽△PHC 时，＝，即＝，解得：n＝0（舍去）或n＝2或n＝﹣18．综上所述，点P的横坐标为﹣5.5或﹣10.5或2或﹣18时，使得以点P、C、H为顶点的三角形与△ACD相似．第26页（共26页）。
2018年河南省洛阳市洛龙区九年级上学期期中数学试卷和解析
2017-2018学年河南省洛阳市洛龙区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．2x+1=0 B．y2+x=0 C．x2﹣x=0 D．+x2=02．（3分）下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）关于x的一元二次方程x2+ax﹣1=0的根的情况是（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根4．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣10=0时，下列变形正确的为（）A．（x+3）2=1 B．（x﹣3）2=1 C．（x+3）2=19 D．（x﹣3）2=195．（3分）S型电视机经过连续两次降价，每台售价由原来的1500元降到了980元．设平均每次降价的百分率为x，则下列方程中正确的是（）A．1500（1+x）2=980 B．980（1+x）2=1500 C．1500（1﹣x）2=980 D．980（1﹣x）2=15006．（3分）抛物线y=3x2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得的抛物线为（）A．y=3（x+3）2﹣2 B．y=3（x+3）2+2 C．y=3（x﹣3）2﹣2 D．y=3（x﹣3）2+27．（3分）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB延长线上，连接AD．下列结论错误的是（）A．BD平分∠ABC B．AD∥BCC．S△ABD=2S△BED D．△ABD是等边三角形8．（3分）若函数y=（m﹣1）x2﹣6x+m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为（）A．﹣2或3 B．﹣2或﹣3 C．1或﹣2或3 D．1或﹣2或﹣39．（3分）如图，已知钝角三角形ABC，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转110°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为（）A．55°B．65°C．75°D．85°10．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a+b+2c＜0；④3a+c＜0．其中正确的是（）A．①④B．②④C．①②③D．①②③④二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）方程3x（x﹣1）=2（x﹣1）的根为．12．（3分）已知点（a，﹣1）与点（2，b）关于原点对称，则a+b=．13．（3分）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k=0的一个根是0，则k 的值是．14．（3分）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且经过点P（3，0），则抛物线与x轴的另一个交点坐标为．15．（3分）把一副三角板如图（1）放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=6厘米，DC=7厘米．把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图（2），这时AB与CD1相交于点O，与D1E1相交于点F．则AD1= cm．三、解答题（本大题共8小题，共75分）16．（8分）解方程：（1）4（x﹣5）2=36（2）x2﹣x+1=0．17．（9分）已知关于x的一元二次方程：x2﹣（t﹣1）x+t﹣2=0．（1）求证：对于任意实数t，方程都有实数根；（2）当t为何值时，二次函数y=x2﹣（t﹣1）x+t﹣2的图象与x轴的两个交点横坐标互为相反数？请说明理由．18．（9分）如图，下列4×4网格图都是由16个相同小正方形组成，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影，请在下面每个图形中，选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形．19．（9分）已知抛物线y=a（x﹣3）2+2经过点（1，﹣2）（1）该抛物线的顶点坐标是（2）求a的值；（3）若点A（m，y1）、B（n，y2）（m＜n＜3）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．20．（9分）如图，四边形ABCD，AB=3，AC=2，把△ABD绕点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，此时发现点A、C、E恰好在一条直线上，求∠BAD的度数与AD的长．21．（10分）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）当销售单价为70元时，每天的销售利润是多少？（2）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（3）如果该企业每天的总成本不超过7000元，那么销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）22．（10分）（1）问题发现：如图①，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，点B在线段AE上，点C在线段AD上，请直接写出线段BE与线段CD的数量与位置关系是关系：；（2）操作探究：如图②，将图①中的△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），（1）小题中线段BE与线段CD的关系是否成立？如果不成立，说明理由，如果成立，请你结合图②给出的情形进行证明；（3）解决问题：将图①中的△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），若DE=2AC，在旋转的过程中，当以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形时，在备用图中画出其中的一个情形，并写出此时旋转角α的度数是度．23．（11分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，△CBF的面积最大？求出△CBF的最大面积及此时E 点的坐标．2017-2018学年河南省洛阳市洛龙区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．2x+1=0 B．y2+x=0 C．x2﹣x=0 D．+x2=0【解答】解：A、方程2x+1=0未知数的最高次数是1，属于一元一次方程；故本选项错误；B、y2+x=0中含有2个未知数，属于二元二次方程，故本选项错误；C、x2﹣x=0符合一元二次方程的定义；故本选项正确；D、该方程是分式方程；故本选项错误；故选：C．2．（3分）下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A图形不是中心对称图形；B图形是中心对称图形；C图形不是中心对称图形；D图形不是中心对称图形，故选：B．3．（3分）关于x的一元二次方程x2+ax﹣1=0的根的情况是（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根【解答】解：∵△=a2+4＞0，∴，方程有两个不相等的两个实数根．故选：D．4．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣10=0时，下列变形正确的为（）A．（x+3）2=1 B．（x﹣3）2=1 C．（x+3）2=19 D．（x﹣3）2=19【解答】解：方程移项得：x2﹣6x=10，配方得：x2﹣6x+9=19，即（x﹣3）2=19，故选：D．5．（3分）S型电视机经过连续两次降价，每台售价由原来的1500元降到了980元．设平均每次降价的百分率为x，则下列方程中正确的是（）A．1500（1+x）2=980 B．980（1+x）2=1500 C．1500（1﹣x）2=980 D．980（1﹣x）2=1500【解答】解：依题意得：第一次降价的售价为：1500（1﹣x），则第二次降价后的售价为：1500（1﹣x）（1﹣x）=1500（1﹣x）2，∴1500（1﹣x）2=980．故选：C．6．（3分）抛物线y=3x2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得的抛物线为（）A．y=3（x+3）2﹣2 B．y=3（x+3）2+2 C．y=3（x﹣3）2﹣2 D．y=3（x﹣3）2+2【解答】解：抛物线y=3x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=3x2向上平移2个单位，再向右平移3个单位后顶点坐标为（3，2），此时解析式为y=3（x﹣3）2+2．故选：D．7．（3分）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB延长线上，连接AD．下列结论错误的是（）A．BD平分∠ABC B．AD∥BCC．S△ABD=2S△BED D．△ABD是等边三角形【解答】解：∵△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，∴∠ABD=∠CBE=60°，AB=BD，∵E在AB延长线上，∴∠DBC=180°﹣60°﹣60°=60°，∴∠ABD=∠DBC，即BD平分∠ABC，故A正确；∵∠ABD=60°，AB=BD，∴△ABD是等边三角形，故D正确，∴∠DAB=60°，∵∠DAB=∠CBE，∴AD∥BC，故B正确．故选：C．8．（3分）若函数y=（m﹣1）x2﹣6x+m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为（）A．﹣2或3 B．﹣2或﹣3 C．1或﹣2或3 D．1或﹣2或﹣3【解答】解：当m=1时，函数解析式为：y=﹣6x+是一次函数，图象与x轴有且只有一个交点，当m≠1时，函数为二次函数，∵函数y=（m﹣1）x2﹣6x+m的图象与x轴有且只有一个交点，∴62﹣4×（m﹣1）×m=0，解得，m=﹣2或3，故选：C．9．（3分）如图，已知钝角三角形ABC，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转110°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为（）A．55°B．65°C．75°D．85°【解答】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转l10°得到△AB′C′，∴∠BAB′=∠CAC′=110°，AB=AB′，∴∠AB′B=（180°﹣110°）=35°，∵AC′∥BB′，∴∠C′AB′=∠AB′B=35°，∴∠CAB′=∠CAC′﹣∠C′AB′=110°﹣35°=75°．故选：C．10．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a+b+2c＜0；④3a+c＜0．其中正确的是（）A．①④B．②④C．①②③D．①②③④【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴b=﹣2a＜0，∴ab＜0，所以①正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，所以②正确；∵x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，而c＜0，∴a+b+2c＜0，所以③正确；∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴b=﹣2a，而x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，∴a+2a+c＞0，所以④错误．故选：C．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）方程3x（x﹣1）=2（x﹣1）的根为x=1或x=．【解答】解：3x（x﹣1）=2（x﹣1），移项得：3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）=0，即（x﹣1）（3x﹣2）=0，∴x﹣1=0，3x﹣2=0，解方程得：x1=1，x2=．故答案为：x=1或x=．12．（3分）已知点（a，﹣1）与点（2，b）关于原点对称，则a+b=﹣1．【解答】解：∵点（a，﹣1）与点（2，b）关于原点对称，∴a=﹣2，b=1，∴a+b=﹣1，故答案为：﹣1．13．（3分）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k=0的一个根是0，则k 的值是0．【解答】解：由于关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k=0的一个根是0，把x=0代入方程，得k2﹣k=0，解得，k1=1，k2=0当k=1时，由于二次项系数k﹣1=0，方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k=0不是关于x的二次方程，故k≠1．所以k的值是0．故答案为：014．（3分）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且经过点P（3，0），则抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）．【解答】解：由于函数对称轴为x=1，而P（3，0）位于x轴上，则设与x轴另一交点坐标为（m，0），根据题意得：=1，解得m=﹣1，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），故答案是：（﹣1，0）．15．（3分）把一副三角板如图（1）放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=6厘米，DC=7厘米．把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图（2），这时AB与CD1相交于点O，与D1E1相交于点F．则AD1= 5cm．【解答】解：由题意易知：∠CAB=45°，∠ACD=30°．若旋转角度为15°，则∠ACO=30°+15°=45°．∴∠AOC=180°﹣∠ACO﹣∠CAO=90°．在等腰Rt△ABC中，AB=6，则AC=BC=3．同理可求得：AO=OC=3．在Rt△AOD1中，OA=3，OD1=CD1﹣OC=4，由勾股定理得：AD1=5．三、解答题（本大题共8小题，共75分）16．（8分）解方程：（1）4（x﹣5）2=36（2）x2﹣x+1=0．【解答】解：（1）开方得：2（x﹣5）=6或2（x﹣5）=﹣6，解得：x1=8，x2=2；（2）这里a=1，b=﹣，c=1，∵△=10﹣4=6，∴x=．17．（9分）已知关于x的一元二次方程：x2﹣（t﹣1）x+t﹣2=0．（1）求证：对于任意实数t，方程都有实数根；（2）当t为何值时，二次函数y=x2﹣（t﹣1）x+t﹣2的图象与x轴的两个交点横坐标互为相反数？请说明理由．【解答】解：（1）证明：在方程x2﹣（t﹣1）x+t﹣2=0中，△=[﹣（t﹣1）]2﹣4×1×（t﹣2）=t2﹣6t+9=（t﹣3）2≥0，∴对于任意实数t，方程都有实数根；（2）解：令y=0，得到x2﹣（t﹣1）x+t﹣2=0设方程的两根分别为m、n，由题意可知，方程的两个根互为相反数，∴m+n=t﹣1=0，解得：t=1．∴当t=1时，方程的两个根互为相反数．18．（9分）如图，下列4×4网格图都是由16个相同小正方形组成，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影，请在下面每个图形中，选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形．【解答】解：（1）在图1中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形，答案如图所示；19．（9分）已知抛物线y=a（x﹣3）2+2经过点（1，﹣2）（1）该抛物线的顶点坐标是（3，2）（2）求a的值；（3）若点A（m，y1）、B（n，y2）（m＜n＜3）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．【解答】解：（1）∵y=a（x﹣3）2+2，∴该抛物线的顶点坐标是（3，2），故答案为：（3，2）；（2）∵y=a（x﹣3）2+2经过点（1，﹣2），∴﹣2=a（1﹣3）2+2，解得，a=﹣1，即a的值是﹣1；（3））∵y=a（x﹣3）2+2，a=﹣1，∴该抛物线的图象在x＜3时，y随x的增大而增大，在x＞3时，y随x的增大而减小，∵点A（m，y1）、B（n，y2）（m＜n＜3）都在该抛物线上，∴y1＜y2．20．（9分）如图，四边形ABCD，AB=3，AC=2，把△ABD绕点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，此时发现点A、C、E恰好在一条直线上，求∠BAD的度数与AD的长．【解答】解：∵点A、C、E在一条直线上，而△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，∴∠ADE=60°，DA=DE，∠BAD=∠E=60°∴△ADE为等边三角形，∴∠E=60°，AD=AE，∴∠BAD=60°，∵点A、C、E在一条直线上，∴AE=AC+CE，∵△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，∴CE=AB，∴AE=AC+AB=2+3=5，∴AD=AE=5．21．（10分）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）当销售单价为70元时，每天的销售利润是多少？（2）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（3）如果该企业每天的总成本不超过7000元，那么销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）【解答】解：（1）当销售单价为70元时，每天的销售利润=（70﹣50）×[50+5×（100﹣70）]=4000元；（2）由题得y=（x﹣50）[50+5（100﹣x）]=﹣5x2+800x﹣27500（x≥50）．∵销售单价不得低于成本，∴50≤x≤100．（3）∵该企业每天的总成本不超过7000元∴50×[50+5（100﹣x）]≤7000（8分）解得x≥82．由（2）可知y=（x﹣50）[50+5（100﹣x）]=﹣5x2+800x﹣27500∵抛物线的对称轴为x=80且a=﹣5＜0∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y随x增大而减小．∴当x=82时，y有最大，最大值=4480，即销售单价为82元时，每天的销售利润最大，最大利润为4480元．22．（10分）（1）问题发现：如图①，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，点B在线段AE上，点C在线段AD上，请直接写出线段BE与线段CD的数量与位置关系是关系：BE=CD，BE⊥CD；（2）操作探究：如图②，将图①中的△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），（1）小题中线段BE与线段CD的关系是否成立？如果不成立，说明理由，如果成立，请你结合图②给出的情形进行证明；（3）解决问题：将图①中的△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），若DE=2AC，在旋转的过程中，当以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形时，在备用图中画出其中的一个情形，并写出此时旋转角α的度数是45°或225°或315度．【解答】解：（1）∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，∴AB=AC，AE=AD，BE⊥CD，∴AE﹣AB=AD﹣AC，∴BE=CD；故答案为：BE=CD，BE⊥CD；（2）（1）结论成立，理由：如图，∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，∴AB=AC，AE=AD，由旋转的性质得，∠BAE=∠CAD，在△BAE与△CAD中，，∴△BAE≌△CAD（SAS）∴BE=CD；∠AEB=∠ADC，∴∠BED+∠EDF=∠AED+∠AEB+∠EDF=∠AED+∠ADC+∠EDF=∠AED+∠ADE=90°，∴∠EFD=90°，即：BE⊥CD（3）如图，∵以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ADC=45°，∵ED=2AC，∴AC=CD，∴∠CAD=45°或360°﹣90°﹣45°=225°，或360°﹣45°=315°∴角α的度数是45°或225°或315°．故答案为：45°或225°或315．23．（11分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，△CBF的面积最大？求出△CBF的最大面积及此时E 点的坐标．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，2）代入y=﹣x2+bx+c得，解得，c=2，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2．（2）存在．如图1中，∵C（0，2），D（，0），∴OC=2，OD=，CD==①当CP=CD时，可得P1（，4）．②当DC=DP时，可得P2（，），P3（，﹣）综上所述，满足条件的P点的坐标为或或．（3）如图2中，对于抛物线y=﹣x2+x+2，当y=0时，﹣x2+x+2=0，解得x1=4，x2=﹣1∴B（4，0），A（﹣1，0），由B（4，0），C（0，2）得直线BC的解析式为y=﹣x+2，设E则F，EF=﹣=∴＜0，∴当m=2时，EF有最大值2，此时E是BC中点，∴当E运动到BC的中点时，△FBC面积最大，∴△FBC最大面积=×4×EF=×4×2=4，此时E（2，1）．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
2018-2019学年九年级上期中数 学试卷含答案解析
2018—2019学年九年级（上）期中数学试卷一．细心选一选1．（3分）将图所示的图案按顺时针方向旋转90°后可以得到的图案是（）A．B．C．D．2．（3分）方程x2﹣3x=0的解是（）A．x=3 B．x=0 C．x=1或x=3 D．x=3 或x=03．（3分）设x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣4=0的两个根，则x1+x2的值是（）A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣44．（3分）如图，在圆O中，圆心角∠BOC=100°，那么∠BAC=（）A．50°B．60°C．70°D．75°5．（3分）抛物线y=2（x﹣3）2+1的顶点坐标是（）A．（3，1）B．（3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，﹣1）6．（3分）将抛物线y=（x﹣1）2+3向左平移1个单位，再向右平移3个单位得到的解析式是（）A．y=（x﹣2）2 B．y=（x﹣2）2+6 C．y=x2 D．y=x2+67．（3分）某商品原价200元，连续两次降价a%后售价为148元，下列所列方程正确的是（）A．200（1+a%）2=148 B．200（1﹣a%）2=148 C．200（1﹣2a%）=148 D．200（1﹣a2%）=1488．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=10，CD=8，那么线段OE的长为（）A．6 B．5 C．4 D．39．（3分）已知A（﹣1，y1），B（2，y2）是抛物线y=﹣（x+2）2+1上的两点，则y1，y2的大小关系（）A．y1＞y2 B．y1≥y2 C．y1＜y2 D．y1≤y210．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（）A．b2﹣4ac＞0 B．a＞0 C．c＞0 D．二．耐心填一填11．（3分）已知抛物线y=﹣2（x﹣1）2+3，当x时，y随x的增大而减小．12．（3分）如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，若∠A=40°，则∠B的度数为．13．（3分）已知点A（﹣3，b）与点B（a，2）关于原点对称，则a+b=．14．（3分）二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是．15．（3分）已知点P（3，2），将OP绕点O逆时针旋转90°到OP′，那么点P′的坐标是．16．（3分）一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）与足球被踢出后经过的时间t（s）之间具有函数关系h=at2+19.6t，已知足球被踢出后经过4s落地，则足球距地面的最大高度是m．三．用心答一答17．解方程（1）x2﹣4x﹣5=0（2）2x（x﹣1）+x﹣1=0．18．已知关于x的方程：3x2﹣kx+1=0的一根是x=1，求k的值以及方程的另一个根．19．抛物线y=2x2+bx+c经过（﹣3，0），（1，0）两点（1）求抛物线的解析式，并求出其开口方向和对称轴（2）用配方法求出该抛物线的顶点坐标．20．已知△ABC，点A（﹣3，1），B（﹣1，﹣1），C（0，2）（2）利用关于原点对称的点的坐标的关系作出与△ABC关于原点对称的△A′B′C′；（3）写出△A′B′C′三个顶点的坐标．21．如图小张想用总长60m的篱笆围成矩形ABCD场地，其中AD边靠墙，墙体最多能用30m，矩形ABCD的面积S（m2）随矩形边长AB设为x（m）的变化而变化．（1）求S与x之间的函数关系（2）当x为多少m时，矩形的面积是400m2？此时长宽分别是多少m？22．已知关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2=0（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根（2）设x1，x2是上述方程的两个实数根，记，S的值能为6吗？若能，求出此时的k值，若不能请说明理由．23．在△ABC中，∠A=90°，AC=AB，点D再射线BA上（不与B，A重合），连接CD，将CD 绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接BE．（1）如图1，点D在BA边上．依题意补全图1作DF⊥BA交CB与点F，若AC=6，DF=2，求BE的长（2）如图2，点D在BA边的延长线上，用等式表示线段CB，BD，BE之间的数量关系（直接写出结论）24．如图，在平面直角坐标系中，点B（﹣1，﹣1），A（3，﹣3），抛物线经过A，O，B三点，连接OA，OB，AB，线段AB交y轴于点C．（2）若点P为线段OA上的一个动点（不与O，A重合），直线PC与抛物线交于D，E两点（点D在y轴右侧），连接OD，AD①当△OPC为等腰三角形，求点P的坐标；②求△AOD面积的最大值，并求出此时点D的坐标．25．如图1点M为x轴上的一点，圆M与x轴交于点B，A，与y轴交于点C，D，设C（0，），A（3，0）（1）求点M的坐标（2）如图2所示，点F为弧AC的上的任一点，点E为弧CF上的中点，AF，DE交于点G，求AG的长（3）如图3所示，连BC，AC，做∠ACG的平分线CF交圆M于点E，连接BE，求的值．参考答案与试题解析一．细心选一选1．（3分）将图所示的图案按顺时针方向旋转90°后可以得到的图案是（）A．B．C．D．【解答】解：根据旋转的性质可知，图案按顺时针方向旋转90°，得到的图案是．故选：B．2．（3分）方程x2﹣3x=0的解是（）A．x=3 B．x=0 C．x=1或x=3 D．x=3 或x=0【解答】解：x2﹣3x=0x（x﹣3）=0∴x=0或x﹣3=0，∴x1=0，x2=3．故选：D．3．（3分）设x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣4=0的两个根，则x1+x2的值是（）A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣4=0的两个根，∴x1+x2=﹣3，故选：B．4．（3分）如图，在圆O中，圆心角∠BOC=100°，那么∠BAC=（）A．50°B．60°C．70°D．75°【解答】解：∵圆心角∠BOC=100°，∴∠BAC=50°．故选：A．5．（3分）抛物线y=2（x﹣3）2+1的顶点坐标是（）A．（3，1）B．（3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，﹣1）【解答】解：由y=2（x﹣3）2+1，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，1）．故选：A．6．（3分）将抛物线y=（x﹣1）2+3向左平移1个单位，再向右平移3个单位得到的解析式是（）A．y=（x﹣2）2 B．y=（x﹣2）2+6 C．y=x2 D．y=x2+6【解答】解：∵向左平移1个单位，再向上平移3个单位，∴y=（x﹣1+1）2+3+3．故得到的抛物线的函数关系式为：y=x2+6．故选：D．7．（3分）某商品原价200元，连续两次降价a%后售价为148元，下列所列方程正确的是（）A．200（1+a%）2=148 B．200（1﹣a%）2=148 C．200（1﹣2a%）=148 D．200（1﹣a2%）=148【解答】解：依题意得两次降价后的售价为200（1﹣a%）2，∴200（1﹣a%）2=148．故选：B．8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=10，CD=8，那么线段OE的长为（）A．6 B．5 C．4 D．3【解答】解：连接OC，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，AB=10，CD=8，∴OC=5，CE=4，∴OE===3．故选：D．9．（3分）已知A（﹣1，y1），B（2，y2）是抛物线y=﹣（x+2）2+1上的两点，则y1，y2的大小关系（）A．y1＞y2 B．y1≥y2 C．y1＜y2 D．y1≤y2【解答】解：∵y=﹣（x+2）2+1，∴当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，∵A（﹣1，y1），B（2，y2）是抛物线y=﹣（x+2）2+1上的两点，﹣2＜﹣1＜2，∴y1＞y2，故选：A．10．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（）A．b2﹣4ac＞0 B．a＞0 C．c＞0 D．【解答】解：A、正确，∵抛物线与x轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0；B、正确，∵抛物线开口向上，∴a＞0；C、正确，∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，∴c＞0；D、错误，∵抛物线的对称轴在x的正半轴上，∴﹣＞0．故选：D．二．耐心填一填11．（3分）已知抛物线y=﹣2（x﹣1）2+3，当x＞1时，y随x的增大而减小．【解答】解：抛物线y=﹣2（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），对称轴为直线x=1；当x＞1时，y随x增大而减小．故答案为：＞112．（3分）如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，若∠A=40°，则∠B的度数为50°．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠B=90°﹣∠A=90°﹣40°=50°，故答案为50°．13．（3分）已知点A（﹣3，b）与点B（a，2）关于原点对称，则a+b=1．【解答】解：平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），所以得到a=3，b=﹣2，故a+b=1．故答案为：1．14．（3分）二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是﹣1＜x＜3．【解答】解：∵二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示．∴图象与x轴交在（﹣1，0），（3，0），∴当y＜0时，即图象在x轴下方的部分，此时x的取值范围是：﹣1＜x＜3，故答案为：﹣1＜x＜3．15．（3分）已知点P（3，2），将OP绕点O逆时针旋转90°到OP′，那么点P′的坐标是（﹣2，3）．【解答】解：如图所示，将OP绕点O逆时针旋转90°到OP′，那么点P′的坐标是（﹣2，3），故答案为：（﹣2，3），16．（3分）一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）与足球被踢出后经过的时间t（s）之间具有函数关系h=at2+19.6t，已知足球被踢出后经过4s落地，则足球距地面的最大高度是19.6m．【解答】解：由题意得：t=4时，h=0，因此0=16a+19.6×4，解得：a=﹣4.9，∴函数关系为h=﹣4.9t2+19.6t，足球距地面的最大高度是：=19.6（m），故答案为：19.6．三．用心答一答17．解方程（1）x2﹣4x﹣5=0（2）2x（x﹣1）+x﹣1=0．【解答】解：（1）（x﹣5）（x+1）=0，x﹣5=0或x+1=0，所以x1=5，x2=﹣1；（2）（x﹣1）（2x+1）=0，x﹣1=0或2x+1=0，所以x1=1，x2=﹣．18．已知关于x的方程：3x2﹣kx+1=0的一根是x=1，求k的值以及方程的另一个根．【解答】解：设方程的另一根为x=m，∵方程的一个根为x=1，∴m×1=，即m=，∵m+1=，∴+1=，解得k=4，∴k的值为4，方程的另一个根为x=．19．抛物线y=2x2+bx+c经过（﹣3，0），（1，0）两点（1）求抛物线的解析式，并求出其开口方向和对称轴（2）用配方法求出该抛物线的顶点坐标．【解答】解：（1）将点（﹣3，0）、（1，0）代入解析式可得：，解得：，则抛物线解析式为y=2x2+4x﹣6，开口向上，对称轴为直线x==﹣1；（2）∵y=2x2+4x﹣6=2（x2+2x）=2（x2+2x+1﹣1）﹣6=2（x+1）2﹣8，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣8）．20．已知△ABC，点A（﹣3，1），B（﹣1，﹣1），C（0，2）（1）作出△ABC；（2）利用关于原点对称的点的坐标的关系作出与△ABC关于原点对称的△A′B′C′；（3）写出△A′B′C′三个顶点的坐标．【解答】解：（1）如图所示，△ABC即为所求；（2）如图所示，△A′B′C′即为所求；（3）由图可知，点A′（3，﹣1）、B′（1，1）、C′（0，﹣2）．21．如图小张想用总长60m的篱笆围成矩形ABCD场地，其中AD边靠墙，墙体最多能用30m，矩形ABCD的面积S（m2）随矩形边长AB设为x（m）的变化而变化．（1）求S与x之间的函数关系（2）当x为多少m时，矩形的面积是400m2？此时长宽分别是多少m？【解答】解：（1）当AB=x时，BC=60﹣2x，则S=x（60﹣2x）=﹣2x2+60x；（2）根据题意知S=400时，﹣2x2+60x=400，解得：x=10或x=20，∵，∴15≤x＜30，∴x=20，则AB=20米，BC=60﹣40=20米，答：当x为20m时，矩形的面积是400m2，此时长，宽分别是20m、20m．22．已知关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2=0（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根（2）设x1，x2是上述方程的两个实数根，记，S的值能为6吗？若能，求出此时的k值，若不能请说明理由．【解答】（1）证明：当k﹣1=0时，则k=1，方程为2x+2=0，解得x=﹣1，方程有实数根；当k﹣1≠0时，则△=（2k）2﹣4（k﹣1）×2=4k2﹣8k+8=4（k﹣1）2+4＞0恒成立，即方程有两个实数根，综上可知，无论k为何值，方程总有实数根；（2）解：∵x1，x2是上述方程的两个实数根，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴=+x1+x2=+x1+x2=﹣，令S=6，即﹣=6，解得k=4，即当k的值为4时，S的值为6．23．在△ABC中，∠A=90°，AC=AB，点D再射线BA上（不与B，A重合），连接CD，将CD 绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接BE．（1）如图1，点D在BA边上．依题意补全图1作DF⊥BA交CB与点F，若AC=6，DF=2，求BE的长（2）如图2，点D在BA边的延长线上，用等式表示线段CB，BD，BE之间的数量关系（直接写出结论）【解答】解：（1）补全图形，如图1所示．由题意可知CD=DE，∠CDE=90°．∵DF⊥BA，∴∠FDB=90°．∴∠CDF=∠EDB．∵∠A=90°，AC=BA，∴∠ABC=∠DFB=45°．∴DB=DF．∴△CDF≌△EDB．∴CF=EB．在△ABC和△DFB中，AC=6，DF=2，∴BC=6，BF=2．∴CF=CB﹣BF=4，即BE=4．（2）BD=BE+CB．理由如下：如图2，过D作DF⊥AB交BC的延长线于点F，∵∠BAC=90°，AC=AB，∴∠F=∠ACB=∠ABC=45°，∴DF=DB，由旋转可得，∠BDF=∠EDC=90°，CD=ED，∴∠FDC=∠BDE，∴△DCF≌△DEB，∴CF=BE，又∵等腰Rt△BDF中，BF=BD，BF=BC+CF，∴BD=BE+CB．24．如图，在平面直角坐标系中，点B（﹣1，﹣1），A（3，﹣3），抛物线经过A，O，B三点，连接OA，OB，AB，线段AB交y轴于点C．（1）求点C的坐标；（2）若点P为线段OA上的一个动点（不与O，A重合），直线PC与抛物线交于D，E两点（点D在y轴右侧），连接OD，AD①当△OPC 为等腰三角形，求点P 的坐标；②求△AOD 面积的最大值，并求出此时点D 的坐标．【解答】解：（1）设直线AB 的解析式为y=kx+b ．∴，解得：，∴直线AB 的解析式为y=﹣x ﹣，∴C 点坐标为（0，﹣）．（2）①∵直线OB 过点O （0，0），A （3，﹣3），∴直线OA 的解析式为y=﹣x ．∵△OPC 为等腰三角形，∴OC=OP 或OP=PC 或OC=PC ．设P （x ，﹣x ）（0＜x ＜3），当OC=OP 时，x2+（﹣x ）2=．解得x1=，x2=﹣（舍去），此时P 点坐标为（，﹣）；当OP=PC 时，点P 在线段OC 的中垂线上，此时P 点坐标为（，﹣）；当OC=PC 时，x2+（﹣x +）2=，解得x1=，x2=0（舍去）．此时P 点坐标为P （，﹣）．综上所述，P 点坐标为（，﹣）或（，﹣）或（，﹣）；②作DG ∥y 轴于G ，如图，设D （t ，﹣t2+t ），则G （t ，﹣t ），∴DG=﹣t2+t﹣（﹣t）=﹣t2+t，∴S△AOD=S△ODG+S△ADG=DG•3=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，当t=时，△AOD面积有最大值，最大值为，此时D点坐标为（，﹣）．25．如图1点M为x轴上的一点，圆M与x轴交于点B，A，与y轴交于点C，D，设C（0，），A（3，0）（1）求点M的坐标（2）如图2所示，点F为弧AC的上的任一点，点E为弧CF上的中点，AF，DE交于点G，求AG的长（3）如图3所示，连BC，AC，做∠ACG的平分线CF交圆M于点E，连接BE，求的值．【解答】解：（1）如图1，连接CA、CB、CM、DA、DB，∵x轴⊥y轴，即AB⊥CD，又AB为⊙M直径，∴AB垂直平分C D，∴CO=DO，BC=BD，AC=AD，∵点C坐标为（0，），点A坐标为（3，0），∴CO=DO=，OA=3，设点M坐标为（a，0），则OM=a，∴MC=MA=OA﹣OM=3﹣a，Rt△COM中，CO2+OM2=CM2，可求得a=1，∴点M坐标为（1，0），（2）如图2，连接AC、AD、AQ，∵点M坐标为（1，0），∴OM=1，MB=MA=MC=3﹣1=2，AB=2+2=4，BO=BM﹣OM=2﹣1=1，由勾股定理可求得：BC=BD=2，AC=AD=2．点E为弧CF上的中点，∴=，∴∠1=∠2，又∠1=∠5，∴∠2=∠5，∵AC=AD，∴∠4=∠5+∠6，又∠3=∠4，∴∠3=∠5+∠6，∵∠3=∠2+∠G（三角形外角），∴∠2+∠G=∠5+∠6，∴∠6=∠G，∴AG=AD=2；（2）如图3，过点E作FK⊥AG于点K，连接EA，∵AB为直径，∴∠AEB=∠ACB=90°，∴∠ACG=180°﹣90°=90°，∵CE平分∠ACG．∴∠ACE=∠ECK=∠ACG=45°，∵∠ABE=∠ACE=45°，∠AEB=90°，∴△AEB为等腰Rt△，∴AE=BE===2，∵∠ECK=45°，∠EKC=90°，∴△EKC为等腰Rt△，设CE=m，则CK=KE=m，BK=BC+CK=2+m，Rt△BKE中，BK2+KE2=BE2，即（2+m）2+（m）2=（2）2，解得：m=﹣，∴==．。
2018-2019学年河南省洛阳市洛龙区九年级(上)期中数学试卷(含答案解析)
2018-2019学年河南省洛阳市洛龙区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30分）1．（3分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A ．B ．C ．D ．2．（3分）如果关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是()A ．14k >-B ．14k >-且0k ≠C ．14k <-D ．14k - 且0k ≠3．（3分）如图，在一幅长为60cm ，宽为40cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的纸边，制成一幅矩形挂图．若要使整个挂图的面积是23500cm ，设纸边的宽为()x cm ，则x 满足的方程是()A ．(60)(40)3500x x ++=B ．(602)(402)3500x x ++=C ．(60)(40)3500x x --=D ．(602)(402)3500x x --=4．（3分）把抛物线23y x =先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得的抛物线是()A ．23(3)2y x =+-B ．23(3)2y x =++C ．23(3)2y x =--D ．23(3)2y x =-+5．（3分）下列方程，是一元二次方程的是()①2320x x +=，②22340x xy -+=，③24x x -=，④20x =，⑤230x x -+=．A ．①②B ．①③④⑤C ．①③④D ．①④⑤6．（3分）如图，在ABC ∆中，75CAB ∠=︒，在同一平面内，将ABC ∆绕点A 旋转到△AB C ''的位置，使得//CC AB '，则(BAB ∠'=)A ．30︒B ．35︒C ．40︒D ．50︒7．（3分）方程2240x x --=的根的情况()A ．只有一个实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根8．（3分）在同一直角坐标系中，二次函数2y x m =-+与一次函数1(0)y mx m =-≠的图象可能是()A ．B ．C ．D ．9．（3分）如图，正方形ABCD 中，8AB cm =，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别从B ，C 两点同时出发，以1/cm s 的速度沿BC ，CD 运动，到点C ，D 时停止运动，设运动时间为()t s ，OEF ∆的面积为2()s cm ，则2()s cm 与()t s 的函数关系可用图象表示为()A ．B ．C ．D ．10．（3分）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列4个结论：①0abc >；②b a c <+；③420a b c ++>；④240b ac ->；其中正确的结论有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）11．（3分）如图，两条抛物线21112y x =-+，22112y x =--与分别经过点(2,0)-，(2,0)且平行于y 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为．12．（3分）如图，将等边ABC ∆绕顶点A 顺时针方向旋转，使边AB 与AC 重合得ACD ∆，BC 的中点E 的对应点为F ，则EAF ∠的度数是．13．（3分）已知抛物线22y ax ax c =-+与x 轴一个交点的坐标为(1,0)-，则一元二次方程220ax ax c -+=的根为．14．（3分）已知点1(4,)A y ，(2B ，2)y ，3(2,)C y -都在二次函数2(2)y x m =--的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系为．15．（3分）点(,)P m n 在二次函数22y x x =-的图象上，当03m 时，则n 的取值范围是．三、解答题（本大题共8小题，共75分）16．（8分）解方程：（1）23210x x --=（2）224(1)0x x --=17．（9分）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，ABC ∆的顶点都在格点上．（1）将ABC ∆以原点O 为旋转中心，逆时针旋转90︒，画出旋转后的△111A B C ．（2）画出△111A B C 关于x 轴对称的△222A B C ；（3）ABC ∆和△222A B C 是否关于直线对称？若是，请写出对称轴的解析式；若不是，请说明理由．18．（9分）已知关于x 的一元二次方程22(22)40x m x m +++-=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若m 为负整数，且该方程的两个根都是整数，求m 的值．19．（9分）某种流感病毒，有一人患了这种流感，在每轮传染中一人将平均传给x 人．（1）求第一轮后患病的人数；（用含x 的代数式表示）（2）在进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈，问第二轮传染后总共是否会有21人患病的情况发生，请说明理由．20．（9分）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AC BC =，点D 是AB 边上任意一点，以点C 为旋转中心，取旋转角等于90︒，把BDC ∆逆时针旋转．（1）画出旋转后的图形；（2）判断2AD 、2BD 、2CD 的数量关系，并说明理由．21．（10分）某商店购进一种商品，每件商品进价为30元，试销中发现：销售价格为36元/件时，每天销售28件；销售价格为32元/件时，每天销售36件．若这种商品的销售量y （件)与销售价格x （元)存在一次函数，请回答下列问题：（1）求出y 与x 的关系式；（2）设商店销售这种商品每天获利w （元)，写出w 关于x 的函数关系式；①当商店销售这种商品每天获利150元，销售价格定为多少比较合理；②销售价格定为多少时，商店获利最大，最大利润是多少元？22．（10分）如图1，将两个等腰三角形ABC 和DEC 拼合在一起，其中90C ∠=︒，AC BC =，CD CE =．（1）操作发现如图2，固定ABC ∆，把DEC ∆绕着顶点C 旋转，使点D 落在BC 边上．填空：线段AD 与BE 的关系是①位置关系：②数量关系：（2）变式探究当DEC ∆绕点C 旋转到图3的位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）解决问题如图4，已知线段5AB =，线段AC =，以BC 为边作一个正方形BCDE ，连接AD ，随着边BC 的变化，线段AD 的长也会发生变化．请直接写出线段AD 的取值范围．23．（11分）如图，抛物线2(y ax bx c a =++、b 、c 为常数，0)a ≠经过点(1,0)A -，(5,6)B -，(6,0)C ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，在直线AB 下方的抛物线上是否存在点P 使四边形PACB 的面积最大？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q 为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出QAB ∆为等腰三角形的点Q 共有几个？并求以AB 为底边时，点Q 的坐标．2018-2019学年河南省洛阳市洛龙区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，共30分）1．（3分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A ．B ．C ．D ．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；B 、是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项正确；C 、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误；D 、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误．故选：B ．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．（3分）如果关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是()A ．14k >-B ．14k >-且0k ≠C ．14k <-D ．14k - 且0k ≠【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△240b ac =->，建立关于k 的不等式，求出k 的取值范围．【解答】解：由题意知，0k ≠，方程有两个不相等的实数根，所以△0>，△2224(21)4410b ac k k k =-=+-=+>．又 方程是一元二次方程，0k ∴≠，14k ∴>-且0k ≠．故选：B ．【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△0>⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△0=⇔方程有两个相等的实数根；（3）△0<⇔方程没有实数根．注意方程若为一元二次方程，则0k ≠．3．（3分）如图，在一幅长为60cm ，宽为40cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的纸边，制成一幅矩形挂图．若要使整个挂图的面积是23500cm ，设纸边的宽为()x cm ，则x 满足的方程是()A ．(60)(40)3500x x ++=B ．(602)(402)3500x x ++=C ．(60)(40)3500x x --=D ．(602)(402)3500x x --=【分析】如果设纸边的宽为xcm ，那么挂图的长和宽应该为(402)x +和(602)x +，根据总面积即可列出方程．【解答】解：设纸边的宽为xcm ，那么挂图的长和宽应该为(602)x +和(402)x +，根据题意可得出方程为：(602)(402)3500x x ++=，故选：B ．【点评】考查了一元二次方程的运用，此类题是看准题型列面积方程，题目不难，重在看准题．4．（3分）把抛物线23y x =先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得的抛物线是()A ．23(3)2y x =+-B ．23(3)2y x =++C ．23(3)2y x =--D ．23(3)2y x =-+【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．【解答】解：抛物线23y x =先向上平移2个单位，得：232y x =+；再向右平移3个单位，得：23(3)2y x =-+；故选：D ．【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．5．（3分）下列方程，是一元二次方程的是()①2320x x +=，②22340x xy -+=，③24x x -=，④20x =，⑤230x x -+=．A ．①②B ．①③④⑤C ．①③④D ．①④⑤【分析】根据一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数进行分析．【解答】解：①2320x x +=，是一元二次方程；②22340x xy -+=，含有两个未知数，不是一元二次方程；③24x x -=，是一元二次方程；④20x =，是一元二次方程；⑤230x x -+=，是一元二次方程，故选：B ．【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．6．（3分）如图，在ABC ∆中，75CAB ∠=︒，在同一平面内，将ABC ∆绕点A 旋转到△AB C ''的位置，使得//CC AB '，则(BAB ∠'=)A ．30︒B ．35︒C ．40︒D ．50︒【分析】旋转中心为点A ，B 与B '，C 与C '分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角BAB CAC ∠'=∠'，AC AC ='，再利用平行线的性质得C CA CAB ∠'=∠，把问题转化到等腰ACC ∆'中，根据内角和定理求CAC ∠'，即可求出BAB ∠'的度数．【解答】解：//CC AB ' ，75CAB ∠=︒，75C CA CAB ∴∠'=∠=︒，又C 、C '为对应点，点A 为旋转中心，AC AC ∴='，即ACC ∆'为等腰三角形，180230BAB CAC C CA ∴∠'=∠'=︒-∠'=︒．故选：A ．【点评】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了平行线的性质．7．（3分）方程2240x x --=的根的情况()A ．只有一个实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出△200=>，由此即可得出结论．【解答】解： 在方程2240x x --=中，△2(2)41(4)200=--⨯⨯-=>，∴方程2240x x --=有两个不相等的实数根．故选：B ．【点评】本题考查了根的判别式，根据△200=>得出方程有两个不相等的实数根是解题的关键．8．（3分）在同一直角坐标系中，二次函数2y x m =-+与一次函数1(0)y mx m =-≠的图象可能是()A ．B ．C ．D ．【分析】根据抛物线中10a =-<，所以开口向下，排除B 答案；再根据直线中1b =-，与y 轴的负半轴相交，排除D 答案；当过一三象限时，0m >，当过二四象限时，0m <，排除A ．【解答】解： 二次函数2y x m =-+，∴开口向下，∴排除B ；一次函数1y mx =-，∴直线与y 轴的负半轴相交，排除D ；由图象直接得出0m >，故选：C ．【点评】本题考查了二次函数的图象以及一次函数的图象，掌握图象和性质是解题的关键．9．（3分）如图，正方形ABCD 中，8AB cm =，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别从B ，C 两点同时出发，以1/cm s 的速度沿BC ，CD 运动，到点C ，D 时停止运动，设运动时间为()t s ，OEF ∆的面积为2()s cm ，则2()s cm 与()t s 的函数关系可用图象表示为()A ．B ．C．D．【分析】由点E ，F 分别从B ，C 两点同时出发，以1/cm s 的速度沿BC ，CD 运动，得到BE CF t ==，则8CE t =-，再根据正方形的性质得OB OC =，45OBC OCD ∠=∠=︒，然后根据“SAS ”可判断OBE OCF ∆≅∆，所以OBE OCF S S ∆∆=，这样16OBC OECF S S ∆==四边形，于是()11682CEF OECF S S S t t ∆=-=--⋅四边形，然后配方得到21(4)8(08)2S t t =-+ ，最后利用解析式和二次函数的性质对各选项进行判断．【解答】解：根据题意BE CF t ==，8CE t =-，四边形ABCD 为正方形，OB OC ∴=，45OBC OCD ∠=∠=︒，在OBE ∆和OCF ∆中OB OC OBE OCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()OBE OCF SAS ∴∆≅∆，OBE OCF S S ∆∆∴=，218164OBC OECF S S ∆∴==⨯=四边形，()()22111168416(4)808222CEF OECF S S S t t t t t t ∆∴=-=--⋅=-+=-+四边形 ，2()s cm ∴与()t s 的函数图象为抛物线一部分，顶点为(4,8)，自变量为08t ．故选：B ．【点评】本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．10．（3分）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列4个结论：①0abc >；②b a c <+；③420a b c ++>；④240b ac ->；其中正确的结论有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解： 抛物线的开口向下，0a ∴<，与y 轴的交点为在y 轴的正半轴上，0c ∴>，对称轴为12b x a=-=，得2a b =-，a ∴、b 异号，即0b >，又0c > ，0abc ∴<，故①错误；抛物线与x 轴的交点可以看出，当1x =-时，0y <，0a b c ∴-+<，即b a c >+，故②错误；对称轴为12b x a=-=，抛物线与x 轴的正半轴的交点是(3,0)，则当2x =时，函数值是420a b c ++>，故③正确；抛物线与x 轴有两个交点，240b ac ∴->，故④正确．故选：B ．【点评】考查二次函数2y ax bx c =++系数符号由抛物线开口方向、对称轴和、抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定．二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）11．（3分）如图，两条抛物线21112y x =-+，22112y x =--与分别经过点(2,0)-，(2,0)且平行于y 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为8．【分析】把阴影图形分割拼凑成矩形，利用矩形的面积即可求得答案．【解答】解：如图，过22112y x =--的顶点(0,1)-作平行于x 轴的直线与21112y x =-+围成的阴影，同过点(0,3)-作平行于x 轴的直线与22112y x =--围成的图形形状相同，故把阴影部分向下平移2个单位即可拼成一个矩形，因此矩形的面积为428⨯=．故填8．【点评】此题主要考查利用二次函数图象的特点与分割拼凑的方法求不规则图形的面积．12．（3分）如图，将等边ABC ∆绕顶点A 顺时针方向旋转，使边AB 与AC 重合得ACD ∆，BC 的中点E 的对应点为F ，则EAF ∠的度数是60︒．【分析】根据等边三角形的性质以及旋转的性质得出旋转角，进而得出EAF ∠的度数．【解答】解： 将等边ABC ∆绕顶点A 顺时针方向旋转，使边AB 与AC 重合得ACD ∆，BC 的中点E 的对应点为F ，∴旋转角为60︒，E ，F 是对应点，则EAF ∠的度数为：60︒．故答案为：60︒．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及旋转的性质，得出旋转角的度数是解题关键．13．（3分）已知抛物线22y ax ax c =-+与x 轴一个交点的坐标为(1,0)-，则一元二次方程220ax ax c -+=的根为1-，3．【分析】将1x =-，0y =代入抛物线的解析式可得到3c a =-，然后将3c a =-代入方程，最后利用因式分解法求解即可．【解答】解法一：将1x =-，0y =代入22y ax ax c =-+得：20a a c ++=．解得：3c a =-．将3c a =-代入方程得：2230ax ax a --=．2(23)0a x x ∴--=．(1)(3)0a x x ∴+-=．11x ∴=-，23x =．解法二：已知抛物线的对称轴为(2)12a x a-=-=，又抛物线与x 轴一个交点的坐标为(1,0)-，则根据对称性可知另一个交点坐标为(3,0)；故而220ax ax c -+=的两个根为1-，3故答案为：1-，3．【点评】本题主要考查的是抛物线与x 轴的交点，求得a 与c 的关系是解题的关键．14．（3分）已知点1(4,)A y ，B ，2)y ，3(2,)C y -都在二次函数2(2)y x m =--的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系为312y y y >>．【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线2x =，然后比较三个点离直线2x =的远近得到1y 、2y 、3y 的大小关系．【解答】解：1(4,)A y ，B ，2)y ，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，4<，21y y ∴<，∴点A 离直线2x =近，点C 离直线2x =最远，而抛物线开口向上，则31y y >，故312y y y >>，故答案是：312y y y >>．【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．15．（3分）点(,)P m n 在二次函数22y x x =-的图象上，当03m 时，则n 的取值范围是13n - ．【分析】将二次函数解析式整理成顶点式形式，然后确定出对称轴，再根据二次函数的增减性求出m 取值范围内的最大值，然后写出n 的取值范围即可．【解答】解：222(1)1y x x x =-=--，所以，对称轴为直线1x =，03m ，10a =>，∴当1m =时，n 有最小值1-，当3m =时，n 有最大值为2323963-⨯=-=，所以，n 的取值范围是13n - ．故答案为：13n - ．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性以及最值问题．三、解答题（本大题共8小题，共75分）16．（8分）解方程：（1）23210x x --=（2）224(1)0x x --=【分析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）23210x x --= ，(1)(3)0x x ∴-+=，则10x -=或30x +=，解得11x =，23x =-；（2）224(1)0x x --= ，(21)(21)0x x x x ∴+--+=，即(31)(1)0x x -+=，则310x -=或10x +=，解得113x =，21x =-．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．17．（9分）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，ABC ∆的顶点都在格点上．（1）将ABC ∆以原点O 为旋转中心，逆时针旋转90︒，画出旋转后的△111A B C ．（2）画出△111A B C 关于x 轴对称的△222A B C ；（3）ABC ∆和△222A B C 是否关于直线对称？若是，请写出对称轴的解析式；若不是，请说明理由．【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A 、B 、C 的对应点1A 、1B 、1C ，从而得到△111A B C ；（2）根据关于x 轴对称的点的坐标特征写出点2A 、2B 、2C ，然后描点即可得到△222A B C ；（3）观察点A 与2A ，点B 与2B ，点C 与2C 的坐标，可得到它们分别关于直线y x =-对称，于是可判断ABC ∆和△222A B C 关于直线y x =-对称．【解答】解：（1）如图，△111A B C 为所作；（2）如图，△222A B C 为所作；（3）ABC ∆和△222A B C 关于直线y x =-对称．【点评】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．18．（9分）已知关于x 的一元二次方程22(22)40x m x m +++-=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若m 为负整数，且该方程的两个根都是整数，求m 的值．【分析】（1）根据方程有两个实数根，得到根的判别式的值大于或等于0列出关于m 的不等式，求出不等式的解集即可得到m 的范围；（2）找出m 范围中的正整数解确定出m 的值，经检验即可得到满足题意m 的值．【解答】解：（1） 一元二次方程22(22)40x m x m +++-=有两个不相等的实数根，∴△2224(22)41(4)8200b ac m m m =-=+-⨯⨯-=+>，∴52m >-；（2）m 为负整数，1m ∴=-或2-，当1m =-时，方程230x -=的根为：1x =2x =，当2m =-时，方程220x x -=的根为10x =，22x =都是整数，符合题意．综上所述2m =-．【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程的解，以及公式法解一元二次方程，弄清题意是解本题的关键．19．（9分）某种流感病毒，有一人患了这种流感，在每轮传染中一人将平均传给x 人．（1）求第一轮后患病的人数；（用含x 的代数式表示）（2）在进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈，问第二轮传染后总共是否会有21人患病的情况发生，请说明理由．【分析】（1）设每轮传染中平均每人传染了x 人．开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x 人，则第一轮后共有(1)x +人患了流感；（2）第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x 人，因进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈，则第二轮后共有1(1)x x x -+-人患了流感，而此时患流感人数为21，根据这个等量关系列出方程若能求得正整数解即可会有21人患病．【解答】解：（1）(1)x +人，（2）设在每轮传染中一人将平均传给x 人根据题意得：1(1)21x x x -+-=整理得：2121x -=解得：1x =，2x =1x ，2x 都不是正整数，∴第二轮传染后共会有21人患病的情况不会发生．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能根据进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈列出方程并求解．20．（9分）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AC BC =，点D 是AB 边上任意一点，以点C 为旋转中心，取旋转角等于90︒，把BDC ∆逆时针旋转．（1）画出旋转后的图形；（2）判断2AD 、2BD 、2CD 的数量关系，并说明理由．【分析】（1）由于CA CB =，90ACB ∠=︒，则点B 的对应点为A 点，作EC CD ⊥且EC DC =得到点E ，则ACE ∆满足条件；（2）先判断ACB ∆为等腰直角三角形得到45B CAB ∠=∠=︒，再根据旋转的性质得CE CD =，AE BD =，90DCE ∠=︒，45CAE B ∠=∠=︒，则90EAD ∠=︒，然后利用勾股定理得到22222DE CE CD CD =+=，222AD AE DE +=，于是得到2222AD BD CD +=．【解答】解：（1）如图，CAE ∆为所作；（2）2222AD BD CD +=．理由如下：90C ∠=︒ ，AC BC =，ACB ∴∆为等腰直角三角形，45B CAB ∴∠=∠=︒，BDC ∆ 绕点C 逆时针旋转90︒得到AEC ∆，CE CD ∴=，AE BD =，90DCE ∠=︒，45CAE B ∠=∠=︒，454590EAD CAE CAB ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，在Rt CDE ∆中，22222DE CE CD CD =+=，在Rt ADE ∆中，222AD AE DE +=，2222AD BD CD ∴+=．【点评】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．21．（10分）某商店购进一种商品，每件商品进价为30元，试销中发现：销售价格为36元/件时，每天销售28件；销售价格为32元/件时，每天销售36件．若这种商品的销售量y （件)与销售价格x （元)存在一次函数，请回答下列问题：（1）求出y 与x 的关系式；（2）设商店销售这种商品每天获利w （元)，写出w 关于x 的函数关系式；①当商店销售这种商品每天获利150元，销售价格定为多少比较合理；②销售价格定为多少时，商店获利最大，最大利润是多少元？【分析】（1）设y 与x 的关系式为y kx b =+，根据销售价格为36元/件时，每天销售28件；销售价格为32元/件时，每天销售36件，利用待定系数法即可求出该关系式；（2）根据“利润=（销售单价-进价）⨯销售数量”即可得出w 关于x 的函数关系式；①令150w =，求出x 值，即可得出结论；②利用配方法得出22(40)200w x =--+，利用二次函数的性质即可解决最值问题．【解答】解：（1）设y 与x 的关系式为y kx b =+，根据题意得：36283236k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：2100k b =-⎧⎨=⎩，y ∴与x 的关系式为2100y x =-+．（2）由已知得：2(30)21603000w y x x x =-=-+-．①令150y =，即221603000150x x -+-=，解得：135x =，245x =．答：当商店销售这种商品每天获利150元，销售价格应定为35或45元．②22216030002(40)200w x x x =-+-=--+ ，∴当40x =时，w 取最大值，最大值为200．答：销售价格定为40元时，商店获利最大，最大利润是200元．【点评】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出y 关于x 的函数关系式；（2）根据数量关系找出y 关于x 的函数关系式；①令150y =求出x 值；②根据二次函数的性质解决最值问题．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出函数关系式是关键．22．（10分）如图1，将两个等腰三角形ABC 和DEC 拼合在一起，其中90C ∠=︒，AC BC =，CD CE =．（1）操作发现如图2，固定ABC∆绕着顶点C旋转，使点D落在BC边上．∆，把DEC填空：线段AD与BE的关系是①位置关系：AD BE⊥②数量关系：（2）变式探究当DEC∆绕点C旋转到图3的位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）解决问题如图4，已知线段5AB=，线段AC=，以BC为边作一个正方形BCDE，连接AD，随着边BC的变化，线段AD的长也会发生变化．请直接写出线段AD的取值范围．【分析】（1）延长AD交BE于点F．依据SAS证明ACD BCE∆≅∆，由全等三角形的性质可得到AD BE=，然后再由CAD CBE∠=∠，可得到∠=∠，CDA FDB ∠=∠=︒；90DFB DCA（2）如图2所示：记AD与BC的交点为O，BE与AD的交点为F．先证明ACD BCE∠=∠，然后依据SAS证明ACD BCE=，然后由∆≅∆，由全等三角形的性质可得到AD BEACO BFO∠=∠，可证明90∠=∠=︒；∠=∠，AOC BOFCAD CBE（3）过点C作CE AC=，连结BE，先在等腰直角ACE∆中求得AE的长，⊥，取AC CE然后依据三角形的三边关系可求得BE的取值范围，最后依据SAS证明BCE DCA∆≅∆，由全等三角形的性质得到AD BE=，故此可求得AD的取值范围．【解答】解：（1）延长AD交BE于点F．在ACD ∆和BCE ∆中，90CD CE ACD ECB AC BC =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，ACD BCE ∴∆≅∆．AD BE ∴=，CAD CBE ∠=∠．又CDA FDB ∠=∠ ，90DFB DCA ∴∠=∠=︒．AD BE ∴⊥．故答案为：AD BE ⊥，AD BE =．（2）如图2所示：记AD 与BC 的交点为O ，BE 与AD 的交点为F．90ACB ECD ∠=∠=︒ ，ACB BCD ECD BCD ∴∠+∠=∠+∠，即ACD BCE ∠=∠．在ACD ∆和BCE ∆中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ACD BCE ∴∆≅∆．AD BE ∴=，CAD CBE ∠=∠．又AOC BOF ∠=∠ ，90ACO BFO ∴∠=∠=︒．AD BE ∴⊥．（3）如图3所示：过点C 作CE AC ⊥，取AC CE =，连结BE．AC CE == ，90ACE ∠=︒，4AE ∴=．4AE = ，5AB =，19BE ∴<<．90DCB ACE ∠=∠=︒ ，DCB BCA BCA ACE ∴∠+∠=∠+∠，即ACD BCE ∠=∠．在BCE ∆和DCA ∆中AC CE BCE ACD BC CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BCE DCA ∴∆≅∆．AD BE ∴=．19AD ∴<<．【点评】本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题主要应用了全等三角形的性质和判定、三角形的三边关系、等腰三角形的性质，掌握本题中辅助线的作法是解答问题（3）的关键．23．（11分）如图，抛物线2(y ax bx c a =++、b 、c 为常数，0)a ≠经过点(1,0)A -，(5,6)B -，(6,0)C ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，在直线AB 下方的抛物线上是否存在点P 使四边形PACB 的面积最大？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q 为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出QAB ∆为等腰三角形的点Q 共有几个？并求以AB 为底边时，点Q的坐标．【分析】（1）抛物线经过点(1,0)A -，(5,6)B -，(6,0)C ，可利用两点式法设抛物线的解析式为(1)(6)y a x x =+-，代入(5,6)B -即可求得函数的解析式；（2）作辅助线，将四边形PACB 分成三个图形，两个三角形和一个梯形，设2(,56)P m m m --，四边形PACB 的面积为S ，用字母m 表示出四边形PACB 的面积S ，发现是一个二次函数，利用顶点坐标求极值，从而求出点P 的坐标．（3）分三种情况画图：①以A 为圆心，AB 为半径画弧，交对称轴于1Q 和4Q ，有两个符合条件的1Q 和4Q ；②以B 为圆心，以BA 为半径画弧，也有两个符合条件的2Q 和5Q ；③作AB 的垂直平分线交对称轴于一点3Q ，有一个符合条件的3Q ；最后利用等腰三角形的腰相等，利用勾股定理列方程求出3Q 坐标．【解答】解：（1）设(1)(6)(0)y a x x a =+-≠，把(5,6)B -代入：(51)(56)6a +-=-，1a =，2(1)(6)56y x x x x ∴=+-=--；（2）存在，如图1，分别过P 、B 向x 轴作垂线PM 和BN ，垂足分别为M 、N ，设2(,56)P m m m --，四边形PACB 的面积为S ，则256PM m m =-++，1AM m =+，5MN m =-，651CN =-=，5BN =，AMP BNC PMNB S S S S ∆∆∴=++梯形，22111(56)(1)(656)(5)16222m m m m m m =-++++-++-+⨯⨯，231236m m =-++，23(2)48m =--+，当2m =时，S 有最大值为48，这时2256252612m m --=-⨯-=-，(2,12)P ∴-，（3）这样的Q 点一共有5个，①以A 为圆心，以AB 为半径画弧，交抛物线的对称轴于1Q 、4Q ，则14AQ AQ AB ==，设对称轴交x 轴于E ，2254956(24y x x x =--=--；∴抛物线的对称轴是：52x =，(1,0)A - ，(5,6)B -，AB ∴==，57122AE ∴=+=，由勾股定理得：142Q E Q E ===，15(2Q ∴，45(2Q ，②以B 为圆心，以AB 为半径画弧，交抛物线的对称轴于2Q 、5Q ，25Q E Q E AB ∴===，过B 作15BF Q Q ⊥于F ，则25Q F Q F =，(5,6)B - ，52BF ∴=，由勾股定理得：22Q F ==，512622Q E ∴=+=，55(2Q ∴，122+-，212622Q E -=-= ，25(2Q ∴，③连接3Q A 、3Q B ，因为3Q 在对称轴上，所以设35(2Q ，)y ， △3Q AB 是等腰三角形，且33Q A Q B =，由勾股定理得：222255(1)(5)(6)22y y ++=-++，52y =-，35(2Q ∴，5)2．综上所述，点Q 的坐标为：5(2，2或5(2，2或5(2，12)2-或5(2，12)2-或5(2，5)2．【点评】本题考查了利用待定系数法求解析式，还考查了多边形的面积，要注意将多边形分解成几个图形求解；还要注意求最大值可以借助于二次函数．同时还结合了抛物线图形考查了等腰三角形的一些性质，注意由一个动点与两个定点组成的等腰三角形三种情况的讨论．。
2018-2019学年河南省洛阳市洛龙区九年级(上)期中数学模拟试卷
2018-2019学年河南省洛阳市洛龙区九年级（上）期中模拟试卷一．选择题（共10小题，满分30分）1．若（m﹣2）x|m|+mx﹣1=0是关于x的一元二次方程，则（）A．m=±2B．m=2C．m=﹣2D．m≠±22．下列美丽的壮锦图案是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有两个不相等实数根，则k 的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k≥﹣1C．k≠0D．k＞﹣1且k≠0 4．一元二次方程x2﹣8x﹣2=0，配方的结果是（）A．（x+4）2=18B．（x+4）2=14C．（x﹣4）2=18D．（x﹣4）2=14 5．某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（）A．168（1+x）2=108B．168（1﹣x）2=108C．168（1﹣2x）=108D．168（1﹣x2）=1086．将抛物线y=x2﹣6x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（）A．y=（x﹣8）2+5B．y=（x﹣4）2+5C．y=（x﹣8）2+3D．y=（x﹣4）2+37．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E给好落在AB 的延长线上，连接AD，下列结论不一定正确的是（）A．AD∥BC B．∠DAC=∠E C．BC⊥DE D．AD+BC=AE 8．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴一个交点为（﹣2，0），对称轴为直线x=1，则y＜0时x的范围是（）A．x＞4或x＜﹣2B．﹣2＜x＜4C．﹣2＜x＜3D．0＜x＜39．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′（点B的对应点是点B'，点C的对应点是点C'），连接BB′，若AC′∥BB′，则∠C'AB′的度数为（）A．15°B．30°C．45°D．60°10．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则以下结论同时成立的是（）A．B．C．D．二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．方程x（x+1）=2（x+1）的解是．12．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），若点A与点B关于原点O对称，则ab=．13．若关于x的方程x2+mx+2=0的一个根是1，则m的值为．14．二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为．15．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2，BC=．将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB'C′，连接B'C，则sin∠ACB′=．三．解答题（共8小题，满分64分，每小题8分）16．（8分）解方程：（1）（x﹣5）2=16（2）4x2﹣3=12x（用公式法）17．（9分）已知一元二次方程x2+x﹣2=0有两个不相等的实数根，即x1=1，x2=﹣2．（1）求二次函数y=x2+x﹣2与x轴的交点坐标；（2）若二次函数y=﹣x2+x+a与x轴有一个交点，求a的值．18．（9分）如图，在平面直角坐标系中，将四边形ABCD称为“基本图形”，且各点的坐标分别为A（4，4），B（1，3），C（3，3），D（3，1）．（1）画出“基本图形”关于原点O对称的四边形A1B1C1D1；（2）写出点B1的坐标；（3）求四边形A1B1C1D1的面积．19．（9分）二次函数y=x2﹣2mx+5m的图象经过点（1，﹣2）．（1）求二次函数图象的对称轴；（2）当﹣4≤x≤1时，求y的取值范围．20．（9分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，将△CDB绕点C顺时针旋转到△CEF的位置，点F在AC上．（1）△CDB旋转的度数；（2）连结DE，判断DE与BC的位置关系，并说明理由．21．（10分）某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A种产品，所获利润y A（万元）与投资金额x（万元）之间存在某种关系的部分对应值如下表：信息二：如果单独投资B种产品，则所获利润y B（万元）与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：y B=ax2+bx，且投资2万元时获利润2.4万元，当投资4万元时，可获利润3.2万元． （1）求出y B 与x 的函数关系式；（2）从所学过的一次函数、二次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示y A 与x 之间的关系，并求出y A 与x 的函数关系式；（3）如果企业同时对A 、B 两种产品共投资15万元，请设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？22．（10分）已知：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠D=90°，AD=CD=2，点E 在边AD 上（不与点A 、D 重合），∠CEB=45°，EB 与对角线AC 相交于点F ，设DE=x ．（1）用含x 的代数式表示线段CF 的长；（2）如果把△CAE 的周长记作C △CAE ，△BAF 的周长记作C △BAF ，设=y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当∠ABE 的正切值是时，求AB 的长．23．如图抛物线y=ax 2+ax +c （a ≠0）与x 轴的交点为A 、B （A 在B 的左边）且AB=3，与y 轴交于C ，若抛物线过点E （﹣1，2）． （1）求抛物线的解析式；（2）在x 轴的下方是否存在一点P 使得△PBC 的面积为3？若存在求出P 点的坐标，不存在说明理由；（3）若D 为原点关于A 点的对称点，F 点坐标为（0，1.5），将△CEF 绕点C 旋转，在旋转过程中，线段DE 与BF 是否存在某种关系（数量、位置）？请指出并证明你的结论．参考答案一．选择题1．C．2．A．3．D．4．C．5．B．6．D．7．C．8．B．9．B．10．C．二．填空题11．x1=2，x2=﹣1．12．12．13．﹣314．3．15．．三．解答题16．解：（1）开方得：x﹣5=4或x﹣5=﹣4，解得：x1=9，x2=1；（2）方程整理得：4x2﹣12x﹣3=0，这里a=4，b=﹣12，c=﹣3，∵△=144+48=192，∴x==．17．解：（1）∵一元二次方程x2+x﹣2=0有两个不相等的实数根，即x1=1，x2=﹣2，∴二次函数y=x2+x﹣2与x轴的交点坐标为（1，0），（﹣2，0）；（2）∵二次函数y=﹣x2+x+a与x轴有一个交点，令y=0，﹣x2+x+a=0，有两个相等的实数根，∴△=1+4a=0，∴a=﹣．18．解：（1）如图所示，四边形A1B1C1D1即为所求；（2）点B1的坐标为（﹣1，﹣3）；（3）四边形A1B1C1D1的面积=3×3﹣2×2﹣2××3×1=2．19．解：（1）把点（1，﹣2）代入y=x2﹣2mx+5m中，可得：1﹣2m+5m=﹣2，解得：m=﹣1，所以二次函数y=x2﹣2mx+5m的对称轴是x=﹣，（2）∵y=x2+2x﹣5=（x+1）2﹣6，∴当x=﹣1时，y取得最小值﹣6，由表可知当x=﹣4时y=3，当x=﹣1时y=﹣6，∴当﹣4≤x≤1时，﹣6≤y≤3．20．解：（1）∵将△CDB绕点C顺时针旋转到△CEF的位置，点F在AC上，∴旋转角为∠BCF，即旋转角为90°；（2）DE∥BC．理由如下：∵将△CDB绕点C顺时针旋转到△CEF的位置，点F在AC上，∴∠DCE=∠BCF=90°，CD=CE，∴△CDE为等腰直角三角形，∴∠CDE=45°，∵CD平分∠ACB交AB于点D，∴∠BCD=45°，∴∠CDE=∠BCD，∴DE∥BC．21．解：（1）由题意得，将坐标（2，2.4）（4，3.2）代入函数关系式y B=ax2+bx，求解得：∴y B与x的函数关系式：y B=﹣0.2x2+1.6x（2）根据表格中对应的关系可以确定为一次函数，故设函数关系式y A=kx+b，将（1，0.4）（2，0.8）代入得：，解得：，则y A=0.4x；（3）设投资B产品x万元，投资A产品（15﹣x）万元，总利润为W万元，W=﹣0.2x2+1.6x+0.4（15﹣x）=﹣0.2（x﹣3）2+7.8即当投资B3万元，A12万元时所获总利润最大，为7.8万元．22．解：（1）∵AD=CD．∴∠DAC=∠ACD=45°，∵∠CEB=45°，∴∠DAC=∠CEB，∵∠ECA=∠ECA，∴△CEF∽△CAE，∴，在Rt△CDE中，根据勾股定理得，CE=，∵CA=2，∴，∴CF=；（2）∵∠CFE=∠BFA，∠CEB=∠CAB，∴∠ECA=180°﹣∠CEB﹣∠CFE=180°﹣∠CAB﹣∠BFA，∵∠ABF=180°﹣∠CAB﹣∠AFB，∴∠ECA=∠ABF，∵∠CAE=∠BAF=45°，∴△CEA∽△BFA，∴y====（0＜x＜2），（3）由（2）知，△CEA∽△BFA，∴，∴，∴AB=x+2，∵∠ABE的正切值是，∴tan∠ABE===，∴x=，∴AB=x+2=．23．解：（1）因为抛物线y=ax2+ax+c（a≠0）的对称轴是x=﹣=，AB=3，所以A、B两点的坐标为（﹣2，0）、（1，0），又因为E（﹣1，2）在抛物线上，代入y=ax2+ax+c解得a=﹣1，c=2，所以y=﹣x2﹣x+2；（2）如图过A作BC的平行线交抛物线于点P，∵设直线BC的解析式为：y=kx+b，B点坐标为：（1，0），C点坐标为；（0，2），∴，∴y=﹣2x+2，∵A作BC的平行线交抛物线于点P，∴y=﹣2x+b，将（﹣2，0）代入解析式即可得出，所以过A点的直线为y=﹣2x﹣4，∴两函数的交点坐标为：由﹣x2﹣x+2=﹣2x﹣4，解得x1=﹣2（舍去），x2=3，所以与抛物线的交点P为（3，﹣10）；（3）连接DC、BC，DC=2，BC=，CE=1，CF=0.5，得而夹角∠DCE=∠BCF，∴△CDE∽△CFB，而∠ECF=90°，∴DE⊥BF且DE=2BF．。
河南省洛阳市九年级上学期数学期中考试试卷附答案解析
〞可化简.
4.【答案】 D
【解析】【解答】解：x〔x﹣2〕＝x﹣2， 移项，得 x〔x﹣2〕﹣〔x﹣2〕＝0， 提公因式，得〔x﹣2〕〔x﹣1〕＝0，
∴x﹣2＝0 或 x﹣1＝0， 解得 x＝2 或 x＝1. 故答案为：D.
【分析】由题意先移项将一元二次方化为一般形式，再提公因式〔x-2〕将原方程化为两个一元一次方程 求解. 5.【答案】 C
【解析】【解答】解：不妨设方程 ax2+bx+c=0 的两根分别为 x1 ， x2 ， 且 x1= x2 ，
∵点 P〔a，b〕是函数 y= x 图象上的一动点，
∴b= a，
∴方程化为 ax2+ ax+c=0，
∴由韦达定理得：
.
∴
.
故答案为： .
【分析】不妨设方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根分别为 x1 ， x2 ， 且 x1＝ x2 ， 根据点 P〔a，b〕是函
程为“半根方程〞.例如方程 x2﹣6x+8＝0 的根为的 x1＝2，x2＝4，那么 x1＝ x2 ， 那么称方程 x2﹣6x+8
＝0 为“半根方程〞.假设方程 ax2+bx+c＝0 是“半根方程〞，且点 P〔a，b〕是函数 y＝
点，那么 的值为________.
三、解答题
16.计算或解方程.
〔1〕〔4
九年级上学期数学期中考试试卷
一、单项选择题
1.以下二次根式中，属于最简二次根式的是〔 〕
A.
B.
C.
D.
2. 是正整数， A. 5
3.与根式
是整数，那么 的值可以是〔 〕
B. 7
C. 9
的值相等的是〔 〕
D. 10
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河南省洛阳市洛龙区2018-2019学年九年级上学期
期中数学试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
D．
A．B．
C．
2. 如果关于x的一元二次方程k2x2-(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）
A．k>－B．k>－且C．k<－D．k－且
3. 如图，在一幅长为60 cm，宽为40 cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的纸边，制成一幅矩形挂图．若要使整个挂图的面积是3 500 cm2，设纸边的宽为x cm，则根据题意可列方程为( )
A．(60＋x)(40＋x)＝3 500 B．(60＋2x)(40＋2x)＝3 500 C．(60－x)(40－x)＝3 500 D．(60－2x)(40－2x)＝3 500
4. 把抛物线先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的解析式是（）
A．B． C． D．
5. 下列方程，是一元二次方程的是（）
①，②，③，④，⑤. A．①②B．①③④⑤C．①③④D．①④⑤
6. 如图，在△ABC中，∠CAB＝75°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠CAC′为（）
A．30°B．35°C．40°D．50°
7. 方程x2﹣2x﹣4=0的根的情况（）
A．只有一个实数根B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根D．没有实数根
8. 在同一直角坐标系中，二次函数y=﹣x2+m与一次函数y=mx﹣1（m≠0）的图象可能是（）
A．B．
C．D．
9. 如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为( )
A．B．C． D，
10. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：
①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正确的结论有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
11. 如图，两条抛物线，与分别经过点，
且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为
______ ．
12. 如图，将等边绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得
，的中点E的对应点为F，则的度数是
_______．
13. 已知抛物线与x轴的一个交点坐标为，则一元二次方程的根为________.
14. 已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系为___________________。
15. 点在二次函数的图象上，当时，则的取值范围是______.
三、解答题
16. 解方程：
（1）
（2）
17. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，
的顶点都在格点上.
（1）将以原点为旋转中心，逆时针旋转，画出旋转后的. （2）画出关于轴对称的；
（3）和是否关于直线对称？若是，请写出对称轴的解析式；若
不是，请说明理由.
18. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为负整数，且该方程的两个根都是整数，求的值．
19. 某种流感病毒，有一人患了这种流感，在每轮传染中一人将平均传给人. （1）求第一轮后患病的人数；（用含的代数式表示）
（2）在进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈，问第二轮传染后总共是否会有21人患病的情况发生，请说明理由.
20. 如图，在中，，，点是边上任意一点，以点为旋转中心，取旋转角等于，把逆时针旋转.
（1）画出旋转后的图形；
（2）判断、、的数量关系，并说明理由.
21. 某商店购进一种商品，每件商品进价为30元，试销中发现：销售价格为36元/件时，每天销售28件；销售价格为32元/件时，每天销售36件.若这种商品的销售量（件）与销售价格（元）存在一次函数，请回答下列问题：（1）求出与的关系式；
（2）设商店销售这种商品每天获利（元），写出关于的函数关系式；
①当商店销售这种商品每天获利150元，销售价格定为多少比较合理；
②销售价格定为多少时，商店获利最大，最大利润是多少元？
22. 如图1，将两个等腰三角形和拼合在一起，其中，
，.
（1）操作发现
如图2，固定，把绕着顶点旋转，使点落在边上.
填空：线段与的关系是①位置关系：______；②数量关系：______ （2）变式探究
当绕点旋转到图3的位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
（3）解决问题
如图4，已知线段，线段，以为边作一个正方形，连接，随着边的变化，线段的长也会发生变化.请直接写出线段
的取值范围.
23. 如图，抛物线（、、为常数，）经过点
，，.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，在直线下方的抛物线上是否存在点使四边形的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出为等腰三角形的点共有几个？并求以为底边时，点的坐标.。