复变函数与拉氏变换

复变函数与拉氏变换 作业题

一、判断题（正确打√，错误打⨯，每小题2分）

1． )7Im()5Re(63i

i

e e π

π

<. （√ ） 2．设iv u z f +=)(，若

x v

x u ∂∂∂∂,存在，则()u v i f z x x

∂∂'+=∂∂. (√ ) 3．设C 为)(z f 的解析域D 内的一条简单正向闭曲线，则

⎰=c

dz z f 0)(.（√ ）

4．若iv u z f +=)(是解析函数，则,u v 都是调和函数. (⨯ ) 5．幂级数01()n n n a z z ∞

=-∑必在其收敛圆上收敛. （√ ）

6．01z =为函数2

cot ()(1)

z

f z z π=-的三级极点. （√ ） 7．

⎰⎰⎰==+=+-++-=+-2224

)3)(1

(1

)3)(1(1

)3)(1(1

z z z dz z z dz z z dz z z ( ) 8．1

2

3111()2

L t u t s -⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦. （ ）

二、填空题（每小题4分）

1．复数=1+cos sin ()z i θθ

πθπ+-<≤的三角表示式为_i

e 22

cos 2θ

θ

_.

2．若实数y x b a ,,,满足等式

()

i a y x iy e a ib x iy

++=+-，则=+22b a ______1 3．函数iz W =将z 平面上的曲线21=-z 映射到W 平面的曲线方程

21=--ui V 4．

方

程

的

i

i e iz +-=

112全部解为

____ππ

k Z +=

4

3___()⋯⋯±=,1,0k __________________. 5．函数)

4)(1(1

)(++-=

z z z z z f 在10-=z 处可展罗朗级数的所有圆环域是

110 +Z

6．_______0,cos 1Re 2

=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-z z s 0 7．广义积分0

sin _______t

dt t

+∞

=⎰

. 8．设11[()]()L f t F s =，22[()]()L f t F s =，则120

[()()]___________.t L f f t d τττ-=⎰

三、计算题（第1、2小题每题6分，其余每小题10分）

1．问k 取何值时, x

y

i y x k z f arctan

)ln()(22++=在域0>x 内是解析函数。

2．将函数dz e z f z

z ⎰=02

)(在00=z 处展开成泰勒级数，并指出其收敛半径。

3．设C 为2)1(=+-i z 的正向, 求⎰+-C

z z dz

)

1()1(2

2.

4．计算积分dz z C ⎰πtan ，其中C 为正向圆周4=z .

四、证明题（8分）

设(,),(,)x y x y ϕψ都是调和函数，而,y x x y s t ϕψϕψ=-=+，试证

s i t x i y ++是的解析函数。

五、应用题（12分）

利用Laplace 变换求积分方程301

443

t y y ydt t '-+=⎰满足条件(0)0y =的特

解。

解：设()[]()s Y t y L =，两端取Laplace 变换，并代入初始条件得：

()()()4

2

44S S

s Y s Y s SY =

+

-

解得： ()()

2

3

22-=

S S s Y

将()()

2

3221

412183*********-⋅+-⋅-⋅+⋅+⋅=

S S S S S s Y 取递换： ()t t te e t t t y 2224

1

83412183+-++=