量子力学 中科大课件 一些自旋算符及它们组成的Hamiltonian讨论

量子力学中科大课件一些自旋算符及它们组成的Hamiltonian讨论
一些自旋算符及它们组成的Hamiltonian 讨论
[问题I]，单个12
自旋向任一方向r r e r
=的投影算符()r e σ⋅。

1) 算符()r e σ⋅为书上已研究过的（p.204-205）。

它满足()2
r e I σ⋅=，所以其本征值为1±，其本征函数
()()()()()()
()()cos exp 2sin exp 222;
sin exp 2cos exp 222r r i i e e i i θθϕϕχχθθϕϕ+-⎛⎫
⎛⎫
--- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
所以可将它写为它本身的谱表示：
()()()()()()()()()r r r r r e e e e e σχχχχ++--⋅=-
2) 计算对易子()(),1,2i r i e i σσ⋅=⎡⎤⎣⎦。

下面略去脚标1,2i =。

先计算(),r x e σσ⋅⎡⎤⎣⎦：
()(),,222r x x x y y z z x z y y z r x
e n n n i n i n i e σσσσσσσσσ⎡⎤⋅=++⎡⎤⎣⎦⎣⎦
=-+=⨯
于是有
()(),2r r e i e σσσ⋅=⨯⎡⎤⎣⎦
3) 再往算(),r e l σ⎡⎤⋅⎣⎦
先算轨道角动量的z l 分量的对易子：
[](),,r z x y z y x r z x y z e l i x y i e r r r σσσσσ⎡⎤
⋅=-++∂-∂=-⨯⎢⎥⎣⎦
于是有
()(),r r e l i e σσ⎡⎤⋅=-⨯⎣⎦
4) 再往算()(),,σσ⎡⎤⎡⎤⋅=⋅+⎣⎦⎣⎦r r e J e l S 总之有
,,02r r e J e l σσσ⎡⎤
⎡⎤⋅=⋅+=⎣⎦⎢⎥⎣
⎦ 于是，这种()r e σ⋅算符将保持此费米子的总角动量不变。

5) 再往算()2
,r e σσ⎡⎤⋅⎣⎦。

显然，由于单个12
自旋的23σ=，有
()2
,0r e σσ⎡⎤⋅=⎣⎦
6) 再往算()2
,r e l σ⎡⎤⋅⎣⎦
()()()()()(
)(
){}
(
)(
){}
2
,,,r r r r r r r r r
e l e l l l e l i e l i l e i e l l e i e l l e σσσσσσσσ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅=⋅⋅+⋅⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦
=-⨯⋅-⋅⨯=-⋅⨯-⨯⋅=-⋅⨯-⨯ 为计算()r l e ⨯，先算它的x 分量：
(
)
()()()()22333311
2r
y
z x z y x x x z y x y z
z y z y l e l l i z x x y r r r r x z z y x y i z x xz z x x xy y x y r r r r r r r r x z y i l l r r r
⎧
⎫⨯=-=-∂-∂-∂-∂⎨⎬
⎩⎭⎧----⎫⎛⎫⎛⎫=---+∂-∂-+--∂-∂⎨⎬
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭
=+-于是有
()()
2r
r r l e i
e e l ⨯=-⨯
最后得
()(
)
{}
(){}(){}
2
22,222r r r
r r r r r r e l i e l i e re e e r e e r e σσσσ⎡⎤⋅=-⋅⨯-⎣⎦=-⋅⨯⨯∇+=-⋅⋅∇-∇+
7) 再往算(),r e l s σ⎡⎤⋅⋅⎣⎦
()()()2222
11,,,22r r r e l s e J l s e l σσσ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅⋅=⋅--=⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦
即有
()()(
)
{}
21
,,2
r r r r e l s e l i e l i e σσσ⎡⎤⎡⎤⋅⋅=-⋅=⋅⨯-⎣⎦⎣⎦ ※ ※ ※
[问题II]，两个12
自旋算符()()()1212123r r S e e σσσσ≡⋅⋅-⋅的研究。

它们之间相互作用的形式，除纯粹含,r p 的部分以外，其中主要组成部分是如下形式
()()()1212123r r S e e σσσσ≡⋅⋅-⋅
现在来分析这种算符的各种性质。

1) 这种形式下的12S 对全空间方位角的等权积分为零。

12
4
0S
d πΩ=⎰
因为{}{}123sin cos ,sin sin ,cos ,,r e n n n θϕθϕθ=≡，所以有
()3
121,2,,1
3i
j
i j i j i j S n n
δσσ==
-∑
223121,2,1000031,2,1
sin sin 34340
3i j i j i j i j i j i j i j i j d d S d d n n π
πππ
ϕθθϕθθσσδπσσδπδ==⎧⎫
⎡⎤⋅=⋅-⎨⎬⎣⎦⎩⎭
⎧⎫⎡⎤=-=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭∑⎰⎰⎰⎰∑
因此，12S 只对相对运动为非球对称的空间概率分布起作用，它在s -态中平均值为零，不起作用。

2) 它的本征值为：124,0,2,2S =-
解1： 由[1]第222页，利用自旋投影算符和自旋交换算符12P 来表示这个12S ，即知它的平方满足下面二次方程式
()()2
12121212221410S P S P +--+=
于是利用2
121211P P =→=±，将12P 本征值代入，即得下面两个方程
2
121212122
121212121:280,4,2
1:
60,0,6
P S S S P S S S ⎧=++-==-⎨=--==⎩
然而，现在12S 有一个重根122S =，重数为2。

这会导致出现一个虚假的
126S =根。

究其原因是由于，在12S 有重根的情况下，“12S 取任一本征值”
和“12P 取任一本征值”这两件事之间有时会有关联，并非两者的任意两种取值都是彼此独立的。

实际上本征值为
124,0;2;2S =-
本来，此直积矩阵的维数是224⨯=，有四个根是对的。

由于120trS =，4个根的总和应为零。

解2：鉴于12S 第一项形式（第二项可化为自旋交换算符12P ，它易于运算），取如下4个正交归一基矢
()()()()
(
)
()()()
()()()()
(
)
()()()
1212
1
2
121
2
12
1001,;,00000000,;,1001r r r r r r r r e e e e e e e e χχχχχχχχ+++--+--⎧
⎛⎫⎛⎫⎪
⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪++=≡+-
=≡⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
⎨⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪
⎪ ⎪⎪-+=≡--=≡ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭
⎝⎭
⎩
于是，将()()121212312r r S e e P σσ=⋅⋅+-作用到它们上面，得
12121212,3,,2,2,,3,,2,2,2,,3,,2,2,2,,3,,2,2,S S S S ⎧++=+++++-++=++
⎪
+-=-+-++---+=-+---+⎪⎨
-+=--++-+-+-=--+-+-⎪⎪--=--+-----=--⎩
转入矩阵表示，即得12S 所相应的矩阵为
122000022002200002S ⎛⎫
⎪--
⎪= ⎪--
⎪⎝⎭
容易得到，它的4个根为{}4,0,2,2-。

解3：可以直接看出：12S 的4个本征矢量为
()
()()()
()()12
12
12
12
1,,2;
,1,21,,2r i i
e i χ±±±⎧Φ=++±--
⎪⎪±≡=⎨
⎪ψ=+-±+-⎪⎩
它们分别对应的本征方程为
()()()()()()1212122;4;00;S S S ±±++--Φ=Φψ=-ψψ=ψ=
3) 接着往算()()1212,r r e e σσσσ⋅⋅+⎡⎤⎣⎦：
()()()()()()()()()()()()()()
12121211221121221212,,,,,22r r r r r r r r r r r r r r e e e e e e e e e e i e e i e e σσσσσσσσσσσσσσσσσσσσ⋅⋅+=⋅⋅+⋅⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦=⋅⋅+⋅⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
=⨯⋅+⋅⨯ ()()()()()(){}12121212,2r r r r r r e e i e e e e σσσσσσσσ⋅⋅+=⨯⋅+⋅⨯⎡⎤⎣⎦
（用乘以任意矢量n 办法，易知大括号内的量确实不等于零：
()()()(){}()()()(){}
()()()(){}()()(){}1
2121212121212120
r r r r r r r r r r r r r r r e e e e n e n e e e n e n e e e n e n e e σ
σσσσσσσσσσσσσσσ⨯⋅+⋅⨯⋅=⨯⋅⋅+⋅⨯⋅=⨯⋅⋅+⋅⋅⨯=⨯⋅⋅+⋅≠）
4) 再往算[]()()12121212,3,r r S e e σσσσσσσ≡⋅⋅-⋅+⎡⎤⎣⎦
注意121221P σσ⋅=-，故[]1212,0σσσσ⋅+=。

因此直接有
[]()()()()()(){}
1212121212,3,6r r r r r r S e e i e e e e σσσσσσσσσ=⋅⋅+⎡⎤⎣⎦
=⨯⋅+⋅⨯
这是说，12S 算符不保持两个费米子的总自旋矢量不变。

另外，也有
()()()()()()()(){}
()()()(){}
1212121212121
212,3,3,3,,3r r r r r r r r r r r r S l e e l e e l e e l e l e i
e e e e σσσσσσσσσσσ
σσσ⎡⎤⎡⎤=⋅⋅-⋅⎣⎦⎣⎦
⎡⎤=⋅⋅⎣⎦
⎡⎤⎡⎤=⋅⋅+⋅⋅⎣⎦⎣⎦=-⋅⨯+⨯⋅
12S 算符也不保持两个费米子相对运动的轨道角动量矢量不变。

5) 由上面两点可知，
1212,,02S J S l σ⎡⎤
⎡⎤=+=⎣⎦⎢⎥⎣⎦
但是，12S 算符保持这两个费米子的总角动量矢量不变。

6) 计算对易子212,S S ⎡⎤⎣⎦。

()()()()()()()()()()2
2
2
2
2
1212121112122
1112122111221112,,3,443,33243,23,2102r r r r r r r r S S S e e e e e e e e P σσσσσσσσσσσσσσσσσσσσ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⋅⋅-⋅+⎣⎦⎣⎦⎣⎦
=
⋅⋅-⋅++⋅⎡⎤⎣⎦=⋅⋅⋅⎡⎤⎣⎦=⋅⋅-=⎡⎤⎣⎦
2
12,0S S ⎡⎤=⎣⎦
就是说，12S 算符保持此费米子的总自旋平方不变，即不改变状态总自旋的数值大小。

7) 计算对易子2
12,S l ⎡⎤⎣⎦
由于
()()()222121212122
12120,,2,2S J S l s s l s s S l l s s ⎡⎤⎡⎤==+++⋅+⎣⎦⎣⎦⎡⎤=+⋅+⎣⎦
所以有
()()()(){}
2
121212121212121212,2,2,2,,S l S l s s S s s l s s S l S s s l ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⋅+=-+⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎡⎤=-+⋅++⋅⎡
⎤⎣⎦⎣⎦
将上面两个结果代入，并注意有()()()2i i r i r i i r e e i e σσσσσ⋅=⋅-⨯，得
()()()()()(){
()()()()}
()()()()(){()()()()}
()2
1212121212121
2
1
212121212,233662r r r r r r r r r r r r r r r r r S l s s i
e e e e i e e e e l i
s s e e e e e e e e l
i e e σσσσσσσσσ
σσσσσσσσσ⎡⎤=-+⋅-⋅⨯+⨯⋅⎡⎤⎣⎦
⎣⎦+⨯⋅+⋅⨯⋅⎡⎤⎣⎦=+⋅⋅⨯+⨯⋅⎡⎤⎣⎦
-⨯⋅+⋅⨯⋅⎡⎤⎣⎦=⋅⨯()()()()()()()()()()()()()()()()}()()()(){(
)
1212121212211212121
2121226r r r r r r r r r r r r r r r r r r r e e i e e e e e e e e e e e e l i
e e e e s s l
i σσσσσσσσσσσσσσσσσσσ
σσσ⎧
+⨯⋅⋅+⎡⎤⎨⎣⎦⎩-⨯⋅⨯+⨯⋅⨯⎡⎤⎣⎦+⋅⋅⨯+⋅⨯⋅⎡⎤⎣
⎦-⨯⋅+⋅⨯⋅⎡⎤⎣⎦=⋅⨯+⨯⋅⋅+-⎡⎤⎣⎦-()()()()()()()()()()()(){()
()()()()}
12121221121
2211212122622r r r r r r r r r r r r r r r r e e e e e e e e i
e e e e s s l
i e e i e e σσσσσσσσσσσ
σσσσσσσ⨯⋅⨯+⨯⋅⨯⎡⎤⎣⎦⎫+⋅⋅⨯+⋅⨯⋅⎡⎤⎬⎣⎦⎭=⋅⨯+⋅⨯⋅+-⎡⎤⎣⎦-⨯⋅⨯+⋅⋅
※ ※ ※
[问题III]，两个核子间非相对论性相互作用形式的唯象推导 1）核力是强相互作用的剩余作用力。

实验发现核力与电荷无关。

据
此可以认为，原子核内的质子和中子其实是同一种粒子——“核子”在一种内禀的“同位旋空间”中的两种不同状态。

于是，一般可以将两个核子间的相互作用位势表示为()12121212,,,,,,,V r r p p σσττ。

这里()1,2i i τ=是每个核子的同位旋矢量。

又由于核物理只涉及1-15Mev 量级的能量变化，远小于核子本身将
近1000Mev 的静止能量，所以核内核子间的问题可以应用非相对论量子力学。

至多再加上相对论性修正。

依据相互作用位势V 必须是空间平移不变的，所以其中只能含两核子之间的相对坐标12r r r =-；加之，V 应有Galileo 变换不变性，
()()()()()()()()()()()()()
1100110220022012r t r t v t t p t p t v
r t r t v t t p t p t v
p t p t p t =+-→=+⎧⎪⎨=+-→=+⎪⎩⇒-=
也不应含每个核子的动量，而只应含它俩的相对动量12p p p =-。

由于自旋和同位旋算符σ、τ均满足()()()()()(),i i i i i i j k jkl l j k jkl l i i σσεσττετ==，
1,2i =，
所以V 中含σ和τ最多为二次幂式。

由于同位旋空间旋转不变性，V 应当是两个粒子同位旋的标量。

从同位旋算符的角度来表示， V 的形式应为（不计含22123ττ==的项，因为它们是常数）
()()()()12,1211212212,,,,,,,,,,V r p V r p V r p σσττσσττσσ=+⋅
2）下面进一步确定12,V V 形式。

原则上，下面叙述对12,V V 都适用。

由核力宇称守恒→空间反演不变：()()1212,,,,,,i i V r p V r p σσσσ=-- 由核子全同粒子置换对称性：()()1221,,,,,,i i V r p V r p σσσσ=-- 由此两条得知，i V 应对两个核子自旋算符交换为对称的：
1212i i P V P V =
另外，依据以下两点：
由核力时间反演不变性：()()1212,,,,,,i i V r p V r p σσσσ---= 位势各项对空间转动均应为标量。

由第二条可知，除含旋轨耦合因子()()12S l s s r p ⋅=+⋅⨯项外，应当有
()()1212,,,,,,i i V r p V r p σσσσ=----。

结合第一条即得，除旋轨耦合()S l ⋅项
外，应有
()()1212,,,,,,i i V r p V r p σσσσ=-
利用这点，也即除()S l ⋅项外，结合置换对称和自旋交换对称，还有
()()()122112,,,,,,,,,i i i V r p V r p V r p σσσσσσ=--=-
总之是说，除旋轨耦合()S l ⋅项外，i V 中不出现含r 和p 一次幂的项，即不再含,,,r p r p r p ⋅⨯等项，更不会出现()()12r p σσ⋅⋅等项，因为它们甚至不是自旋算符交换对称的。

最后，i V 中只应出现下列诸项以及它们的组合（不计23i σ=常数项）：
()()()()()()2
2212121212,,,,,,r p r p r r p p s s l σσσσσσ⨯⋅⋅⋅⋅⋅+⋅
于是，得到一般形式为
()()()
()()()()()()()()
222222122
2
2
2
22
1
2
1
2
2
2
2
1
2
,,,,,,,,,,,,,i V r p r p l r p l S l r p l r r r p l p p r p l σσαβγσσδσσλσσ=+⋅+
+⋅⋅+⋅⋅+⋅
3）进一步，若只考虑定域相互作用，则V 中将不存在含p 的项。

当然也就不存在含轨道角动量l 的项。

这时核子间相互作用V 成为
()()()()()()()()()()()()()()()1201212121201212121212,,,3C T C T T TC r r V r p V V V V r V r V r V r V V r V r S S e e στστσσσσττσσττττσσσσ⎧=+⎪
=+⋅+⋅+⋅⋅⎪⎨=+⋅⎡⎤⎣⎦⎪⎪=⋅⋅-⋅⎩
4）使用核子的位置、自旋、同位旋三种置换算符,,r P P P στ来更换上面C V 的表达式。

这时注意，因为费米子体系总波函数是反称的，所以有
1r P P P στ=-
由此r P P P τσ=-。

再注意到：()()121221,21P P στσσττ⋅=-⋅=-，于是有
()()()()()()()()()()()000212121212121212122422C r r r r Wigner Bartlett Majorana r Heisenberg r V V V P V P V P P V V P V P P V P P P V V V V V V P V P V V P P V V P V P V P P σσττστστσστσστσσστστσστσστσττσσσ
=+-+-+--=+-+--+---=--++--+-≡+++
※ ※ ※
[问题IV]，三个1
2
自旋123,,s s s 粒子组成一个体系。

其Hamiltonian 为
()121232
2
A
B
H s s s s s =
⋅+
+⋅
求系统的能级及能级的简并度。

答：这是一个纯由自旋算符组成的Hamiltonian 。

其自变数本来即为
1,2,3,,,z z z s s s
所以此系统自由度的数目是3。

鉴于()12123,s s s s s ⋅+⋅之间：
()()[][]1212312123
12131223
1,2,1,3,1,2,2,3,1,1,2,3,1,2,2,3,1,2,3,1,2,,,,,,,,,i i j j i i j j i j i j i i j j ijk k i j ijk i k s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s i s s s i s s s εε⋅+⋅=⋅+⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=⋅⋅+⋅⋅⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦=+3,1,2,3,1,2,3,0
j kij k i j ikj i k j i s s s i s s s εε=-= 就是说，它们既是对易的又是组成Hamiltonian 的两个主要成分，所以它们是守恒量。

于是可以“直接设定”这两者在耦合中可能获得的量子数以直接方式确定能量（即能级）。

当然，按照两者间耦合的具体情况，也可将Hamiltonian 改写为
()()()()1
2132312
22
222222212312312
122222123122222123122222
1333133244424432228
B
A B
H s s s s s s s s B A B S s s s S s s B A B S S B A B S S A B -=⋅+⋅+⋅+⋅-=
---+---⎛⎫⎛⎫=---+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=+-+
这里1231231212,S s s s S s s =++=+，由于12312,S S 两者也是对易的，并且是构成Hamiltonian 主要成分，于是也是守恒量。

若取定两个12
自旋耦合的120S =或1，就有
1212121231231230,1,1113,
,
2223,
,
4
4
42S S S S S S A A B E A E B E ======
=-=-=+
而简并度由123,z S 决定：分别为2,2,4。

总共2228⨯⨯=个独立的状态。

※ ※ ※
[问题V]，一个自旋为1粒子的Hamiltonian 为
2
,(1)z x H As Bs =+=
其中A 、B 是常系数。

求系统的能级。

如果0t =时，粒子处在+的本征态上，求t 时刻粒子自旋的期望值。

解1：这又是一个纯由自旋算符组成的Hamiltonian 。

态空间维数是3，相应的三个基矢为{}{1,1,1,1,0,1,1l m ==-。

显然这是一个守恒量不明显的问题，我们不能简单地知道如何叠加，以求其本征矢量。

只能采用矩阵表示并将其对角化的办法，以求得本征值和本征矢量。

即便不知道自旋为1粒子的三个自旋分量的表示矩阵，也可以用下面办 法进行。

由于自旋平方总和它的三个分量都对易，而自旋升降算符也好
计算，所以转向用它们来表示。

这里主要是改写2x s 算符。

已知
()()22
122x z L L L L L L L L L +-+--+⎧=+⎪⎨
⎪+=-⎩
代入Hamiltonian ，成为
()2222
224
z z B B B H S s As s s +-=
-+++ 现在采用矩阵表示，设：
0011,10,
1,01,
1,10,
100⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪-=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
设
()1112
1322222122
233132
33224z z a a a B B B H S s As s s a a a a
a a +-⎛⎫ ⎪=-+++= ⎪ ⎪⎝⎭
利用公式()()11,1L lm l l m m m ±=+-+±，和,0,,0L l l L l l +-=-=，有
()()()2222222222221,11,121,1224241,01,0
2241,11,121,1
2
2424z z z z z z B B B B B S s As s s B A B B B S s As s s B B B B B B S s As s s B A +-+-+-⎧⎧⎫⎛⎫
-+++-=---+⎨⎬ ⎪⎪⎩
⎭⎝⎭⎪⎪⎧⎫
-+++=⎨⎨⎬⎩
⎭⎪⎪⎧⎫⎛⎫
-+++=-++-⎪⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭⎩ 写成矩阵形式，即为
1112
132122
233132
330000122
000;1;001100022B B A a a a H a a a H B H a
a a B B A ⎛⎫⎛⎫
+ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪
⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
由此即可定出全部矩阵元，即，此Hamiltonian 的矩阵表示为：
02200
022B
B A H B
B
B
A ⎛⎫
+ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭
问题至此就变成求此矩阵的本征值和本征矢量了。

显然其中一个本征值为1B λ=，其余两个为
{}
2222222,30
14;222B A B B B B A A
λλλωω⎧--=⎪⎨⎛⎫=+≡±=+⎪ ⎪⎝⎭⎩
为求另两个本征矢量，可排除本征值1B λ=及其本征矢量1,0，只需求本征值23,λλ数值为已知的如下二阶本征方程即可
2,32,32,32,32,3222
2B B A x x z z B B A λ⎛⎫
+ ⎪⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭
由于两个分量方程相关，只需取一个，再利用归一化条件即可定出两组系数()()2233,,,x z x z 。

于是得到此H 的本征矢量为
()()()()()1232322
222302211,0;0;002;222B B N N A A B B N A A N A A
λλλωωωωωωωω⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪
====⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪--+⎨⎝⎭⎭⎭⎪⎛⎫⎛⎫⎪=+-=-=++=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩
当初态为1,1时，按H 演化，到t 时刻将成为
()()312112233
///
11
223301,1iE t iE t iE t c c c t c e c e c e ψλλλψλλλ---⎧==++⎪⎨=++⎪⎩
这里，初态的展开系数为{}1232
3,,0,2B c c c N N ⎧⎫⎪
=
⎨⎪⎩。

注意这里自旋不是12，z s 期望值计算不能全套用二维Pauli 矩阵运
算（否则有[],0z s H =）。

但按z s 本征值，可以取它为100000001z s ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭。

为恢复正确的量纲，可假设,A B 的量纲原都是正确的[]2x z Bs As ⎡⎤=⎣⎦=能量，
故[]2
B ω
ω
==，[]A ω=。

于是通过添加手续，得
22
2,3
222B B B E A ω⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=±+≡± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
按此得
()()()(
)()
{
}
2
3
3
,12
2
2
2232323
33
00000exp /002Re z z i j i j j i i j i E E t z s t s t c c i E E t c c c s e c ψψλλλλλλλλ*=--*
⎛⎫ ⎪
⎡⎤==-- ⎪⎣⎦ ⎪-⎝⎭
=++∑
()22
2
1cos 24B t ωω⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭。

解2：已知角动量,,z L L L +-的对易子构成封闭的()2SU Lie 代数：
[,]2[,]z
z L L L L L L +-±±
=⎧⎨
=±⎩ 显然123,,z s s s s s s +-===分别对应,,z L L L +-，它们是()2SU 的生成元。

同时
22
z z S s s s s ±=+。

这时由它们组成的下述Hamiltonian
()2222224
z z B B B H S s As s s +-=
-+++ 其演化问题可以用有限维量子变换理论求解。

也就是说，有
()()()()()()
()(),,0exp /exp /0exp /exp /;,,i i i i
i j j j z s t s t iHt s iHt iHt s iHt s i z ψψψψα=+-⎧==-⎪
⎨-==+-⎪⎩
∑ 现在的任务是去求得系数i j α表达式。

但由于初态为1,1，故2,1,2,3i i α∀=都不必计算。

首先的任务是，消除Hamiltonian 中的线性项，将其表示为这些生
成元的二次齐次式形式。

为此对它作平移变换，引入新算符z z s s C '=+。

由于222S =是个常数，C A B =-。

Hamiltonian 等价转换为（1=）
()()22
22242z B B A H s s s B B +-⎛⎫'=-+
+++ ⎪⎝⎭
Hamiltonian 常数项只出相因子，可略去。

但{},,z s s s +-'不满足()2SU 代数。

于是主方程便可以形式地积出来，表示成为
()(){}()00exp 0t W K W K W K t ρρ++--=++ （35）
现在的任务是分解（35）式中指数和形式的超算符，使其成为单项指数超算符连乘的形式，便于从()0ρ得到()t ρ的显式表达式。

由于对易规则（34b ）是封闭的，按Baker-hausdorff 公式容易验证有如下两种解——由降算符→升算符的乘积分解（升序乘积解），和由升算符→降算符的乘积分解（降序乘积解）：
(){}()()()()()()0000exp exp exp ln exp W K W K W K t x t K K x t x t K ++--++--++=
（36a ）
(){}()()()()()()0000exp exp exp ln exp W K W K W K t y t K K y t y t K ++----++++=
（36b ）
这里()()()()()00,,~,,W t W t W t x t x t x t +-+-和()()()()()00,,~,,W t W t W t y t y t y t +-+-两组系数之间的关系可由（34）式确定，是已知可求的。

于是，当主方程具有这些对称结构时，利用（36）式便普遍地解决了它的含时求解问题。

当然，也许在得到（34）式这种标准形式之前，可能需要预先作适当的变换，如同[6]和下面例解中所做的那样。

于是，（35）式既可以表示为升序乘积解的形式
()()()
()()00
ln 0x t K K
x t x t K
t e e e ρρ+
+
--= （37a ）
也可以表示为降序乘积解的形式
()()()
()()00
ln 0y t K K
y t y t K t e e e
ρρ-
-
++
= (37b)
两种解中的展开系数分别由下式决定[6]
()()()()()()()()()()()()()()
()()()()000001
0,,2,1,21,
,
W W ch t sh t sh t x t x t x t x t x t W W x t sh t ch t sh t y t y t y t y t y t y t γγγεγγεεγγγγγεε++-+--+--+-⎛⎫
+ ⎪-⎛⎫
⎪=
⎪
- ⎪
⎭-- ⎪⎝⎭
⎫
=⎪⎪--⎭
(37b)
这里中间参量γ等于
12
2014W W W γε+-⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
(37b) 与[4]中方法相比，这里方法不但给出了这一类主方程解的一般显示表达式，而且其系数也无需去解微分方程。

由于许多开放体系的主方程都可归结为这两类形式，此处方法具有一定的普遍性。

※ ※ ※
参考文献
[1] 张永德，《量子力学》，北京：科学出版社，2005年 [4]
[6] 张永德，《量子信息物理原理》，北京：科学出版社，2006年。