量子力学 中科大课件 一些自旋算符及它们组成的Hamiltonian讨论

量子力学中科大课件一些自旋算符及它们组成的Hamiltonian讨论

一些自旋算符及它们组成的Hamiltonian 讨论

[问题I]，单个12

自旋向任一方向r r e r

=的投影算符()r e σ⋅。

1) 算符()r e σ⋅为书上已研究过的（p.204-205）。它满足()2

r e I σ⋅=，所以其本征值为1±，其本征函数

()()()()()()

()()cos exp 2sin exp 222;

sin exp 2cos exp 222r r i i e e i i θθϕϕχχθθϕϕ+-⎛⎫

⎛⎫

--- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭

所以可将它写为它本身的谱表示：

()()()()()()()()()r r r r r e e e e e σχχχχ++--⋅=-

2) 计算对易子()(),1,2i r i e i σσ⋅=⎡⎤⎣⎦。下面略去脚标1,2i =。 先计算(),r x e σσ⋅⎡⎤⎣⎦：

()(),,222r x x x y y z z x z y y z r x

e n n n i n i n i e σσσσσσσσσ⎡⎤⋅=++⎡⎤⎣⎦⎣⎦

=-+=⨯

于是有

()(),2r r e i e σσσ⋅=⨯⎡⎤⎣⎦

3) 再往算(),r e l σ⎡⎤⋅⎣⎦

先算轨道角动量的z l 分量的对易子：

[](),,r z x y z y x r z x y z e l i x y i e r r r σσσσσ⎡⎤

⋅=-++∂-∂=-⨯⎢⎥⎣⎦

于是有

()(),r r e l i e σσ⎡⎤⋅=-⨯⎣⎦

4) 再往算()(),,σσ⎡⎤⎡⎤⋅=⋅+⎣⎦⎣⎦r r e J e l S 总之有

,,02r r e J e l σσσ⎡⎤

⎡⎤⋅=⋅+=⎣⎦⎢⎥⎣

⎦ 于是，这种()r e σ⋅算符将保持此费米子的总角动量不变。

5) 再往算()2

,r e σσ⎡⎤⋅⎣⎦。

显然，由于单个12

自旋的23σ=，有

()2

,0r e σσ⎡⎤⋅=⎣⎦

6) 再往算()2

,r e l σ⎡⎤⋅⎣⎦

()()()()()(

)(

){}

(

)(

){}

2

,,,r r r r r r r r r

e l e l l l e l i e l i l e i e l l e i e l l e σσσσσσσσ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅=⋅⋅+⋅⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦

=-⨯⋅-⋅⨯=-⋅⨯-⨯⋅=-⋅⨯-⨯ 为计算()r l e ⨯，先算它的x 分量：

(

)

()()()()22333311

2r

y

z x z y x x x z y x y z

z y z y l e l l i z x x y r r r r x z z y x y i z x xz z x x xy y x y r r r r r r r r x z y i l l r r r

⎧

⎫⨯=-=-∂-∂-∂-∂⎨⎬

⎩⎭⎧----⎫⎛⎫⎛⎫=---+∂-∂-+--∂-∂⎨⎬

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭

=+-于是有

()()

2r

r r l e i

e e l ⨯=-⨯

最后得

()(

)

{}

(){}(){}

2

22,222r r r

r r r r r r e l i e l i e re e e r e e r e σσσσ⎡⎤⋅=-⋅⨯-⎣⎦=-⋅⨯⨯∇+=-⋅⋅∇-∇+

7) 再往算(),r e l s σ⎡⎤⋅⋅⎣⎦

()()()2222

11,,,22r r r e l s e J l s e l σσσ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅⋅=⋅--=⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦

即有

()()(

)

{}

21

,,2

r r r r e l s e l i e l i e σσσ⎡⎤⎡⎤⋅⋅=-⋅=⋅⨯-⎣⎦⎣⎦ ※ ※ ※

[问题II]，两个12

自旋算符()()()1212123r r S e e σσσσ≡⋅⋅-⋅的研究。

它们之间相互作用的形式，除纯粹含,r p 的部分以外，其中主要组成部分是如下形式

()()()1212123r r S e e σσσσ≡⋅⋅-⋅

现在来分析这种算符的各种性质。

1) 这种形式下的12S 对全空间方位角的等权积分为零。

12

4

0S

d πΩ=⎰

因为{}{}123sin cos ,sin sin ,cos ,,r e n n n θϕθϕθ=≡，所以有

()3

121,2,,1

3i

j

i j i j i j S n n

δσσ==

-∑

223121,2,1000031,2,1

sin sin 34340

3i j i j i j i j i j i j i j i j d d S d d n n π

πππ

ϕθθϕθθσσδπσσδπδ==⎧⎫

⎡⎤⋅=⋅-⎨⎬⎣⎦⎩⎭

⎧⎫⎡⎤=-=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭∑⎰⎰⎰⎰∑

因此，12S 只对相对运动为非球对称的空间概率分布起作用，它在s -态中平均值为零，不起作用。

2) 它的本征值为：124,0,2,2S =-

解1： 由[1]第222页，利用自旋投影算符和自旋交换算符12P 来表示这个12S ，即知它的平方满足下面二次方程式

()()2

12121212221410S P S P +--+=

于是利用2

121211P P =→=±，将12P 本征值代入，即得下面两个方程