(完整word版)2013-2018年上海高考试题汇编-数列.docx

③若a1
c，则由an
a1得到an 1
f (an)
an
c
8，
从而an为无穷等差数列，符合要求．
综上，a1的取值集合为c,Uc8．
知识点
4：等比数列的性质
（2015
理17）记方程①：x2
a1x
1 0，方程②：x2
a2x
2 0，方程③：
x2
a3x
4
0，其中a1, a2, a3
是正实数．当a1, a2, a3成等比数列时，下列选项中，能推出
当xc0时，等式化为2 xc42 xc显然
（3）由（2），结合c 0得an 1
an，即
an
为无穷递增数列．
又an
为等差数列，所以存在正数
M，当n
M时，an
c，
从而，an 1
f (an)
an
c 8．
由于a为等差数列，因此其公差
d
c
8．
n
①若a1
c 4，则a2
f (a1)
a1
c 8，
又a2
a1
d
a1
c
8，故a1c
3
5
8
由an
f (an)， 得an
1
1，a2010
a2012
，a2010
1
1
1
2
an
a2012
1
，
2
a2010
a2010
5
1，a2008
1
1
a2010，依次类推，得全体偶数项相等，
a2
a2010
2
a2010
所以a20
a11
8
5
1
3
13
5
13
2
26
（2017
春21）已知函数f
x
log2
1
x
1
x
（1）解方程f
x
6
．所以x的取值范围是
x [3,6]
．
3
3
（2）由1a
3a
，且
a
aqn 1
0，得an
0，所以1S
S
．又1a
a
3a
，
3
n
n
n
1
3n
n 1
3
n
n 1
n
所以1
q
3．
3
当
q 1
时，
S
n，
Sn 1
n 1
，由n
1
3n得
Sn 1
成立．
n
3Sn
当q
1时，Sn 1
3 Sn．即1 qn 1
31 qn
．
1
q
1
q
①若1
q
2
2k
，即k
1
所以k的最大值为
1999，k
1999时，a1, a2,L ak的公差为
1
．
1999
（2014文23）已知数列{a
}满足
1
an 1
3an,n N , a1
1
．
n
an
3
（1）若a12,a3x,a49，求x的取值范围；
（2）设{ an}是等比数列， 且am
1
，求正整数m的最小值，以及m取最小值时相应{an}
数列
知识点
1、等差数列的性质
（2018
秋6）记等差数列{ an}的前n项和为Sn，若a3
0，a6
a7
14，则S7
答案：14
（2018
春5）已知{an}是等差数列，若a2a8
10，则a3a5
a7
__________．
答案：1
知识点2：等差数列的判定
（2017秋15）已知数列xnan2bn c,nN*，使得x100 k, x200 k, x300 k成等差数列的必
（2）设{ an}是公比为q的等比数列，Sn
a1
a2
L
an．若1
Sn
Sn 13Sn，n
N*
，
3
求q的取值范围；
（3）若a , a
2
, L
, a
成等差数列，且
a
1
a
2
L
a
k
1000
，求正整数k的最大值，
1
k
以及k取最大值时相应数列
a1, a2, L
, ak
的公差．
解：（1）由条件得2
x
6
且x
9
3x
，解得3
x
1；
（2）设x
1,1 ,a
1,
,证明：ax
1
1,1，且f
ax
1
f
x
1
a
x
f
；
a
x
a
（3）在数列
xn中，x1
n 13xn
1
N，求x1
的取值范围，使
1,1，xn 11
，n
3
xn
得x3xn对任意nN成立
答案：（1）x
1； （3）
1,
1；
3
3
知识点
8：数列的前
n项和
（2016
理11）无穷数列
an
由k个不同的数组成，
③当a1
0时，则公差d
a2
a1
a12
a1
2 0，因此存在m
2使得
ama12 m 1 2．此时d
am 1
am
2
amam0，矛盾．
综合 ①②③
可知，当且仅当
a1
1时，a1, a2, a3L
构成等差数列．
（2013
理23）给定常数c
0，定义函数
f (x) 2 x c 4
x c．数列a1, a2, a3,L满
3
3
n
1, 2, L ,99
．
①当d
0
时，a99
a98
L
a2
a1
，所以0
d
2 a1，即
0
d
2
．
②当d
0
时，a99
a98
L
a2
a1
，符合条件．
③
当
d 0
时
，
，
所
以
2
，
a99
a98
L
a2
a1
3a99
d 2 a99
2(1
98 d )
d
2(1 98d )，
3
又d
0，所以
2
d
0．
199
综上，a1,a2,L a100的公差的取值范围为
Sn为
an
的前
n项和.若对任意
n
N，
Sn2,3，则k的最大值为______________.
答案：4
知识点
9：数列的单调性和最值
（2018
春15）记n
为数列
an
的前
n
项和．“
an
n
为递增数列 ”的（
）
S
是递增数列”是 “S
（A）充分非必要条件
（B）必要非充分条件
（C）充要条件
（D）既非充分也非必要条件
x
c
8,x
c
4.
当an
c时，an 1
an
c
8 c；
当c
4 an
c时，an 1an
2an
3c 8 2 c 4 3c 8 c；
当an
c 4时，an 1an
2anc 8 2 c 4 c 8 c．
所以，对任意nN，an 1anc．
方法二：要证：2 xc4xcxc
2 xc4xcxc
当xc0时，等式右边为0，不等式显然成立
方程 ③ 无实根的是（
）
A．方程 ①有实根，且②有实根
B．方程 ①有实根，且
② 无实根
C．方程 ①无实根，且②
有实根
D．方程 ①无实根，且
② 无实根
答案：B
知识点
5：等比数列的判定
（2011
理
18） 设{ an}
是 各项 为正数 的 无穷 数 列，Ai是 边 长 为ai, ai 1的 矩形面 积
（i
21，求a3；
（2）若无穷数列{bn}是等差数列，无穷数列
{cn}是公比为正数的等比数列，
b1c51，
b5
c181，anbn
cn判断{an}是否具有性质
P，并说明理由；
（3）设{bn}是无穷数列，已知an
1bn
sinan(n
N*).求证：“对任意a1,{an}都具有性
质P”的充要条件为“
{bn}是常数列”.
足an 1
f (an)，n N*．
（1）若a1
c 2，求a2及a3；
（2）求证：对任意
n
wenku.baidu.comN*
，an 1
an
c；
（3）是否存在a1，使得a1, a2, L
, an,L
成等差数列？若存在，
求出所有这样的
a1；若不存
在，说明理由．
解：（1）a2
2, a3
c
10
．
x
c
8,x
c,
（2）f
x
3x
3c+8,
c
4
xc,
去）或a12
2
．
综合 ①② 得a1
1或a 22．
1
（3）假设这样的等差数列存在，那么
a2
2
a1
，a3
2
2
a1
．
由2 a2
a1
a3得2 a1
2 a1
2 a1（ ）．
以下分情况讨论：
①
当a1
2时，由（ ）得a10，与a12矛盾；
②
当0
a12时，由（ ）得a11，从而an1
n 1,2,L，
所以an是一个等差数列；
答案：（1）a316；（2）由于a1
a5，但a2a6，故an不具有性质P；
（3）证明：必要性： 若对于任意
a1，an
都具有性质P，则a2b1
sin a1，设函数
f x
x b1, g x
sin x,由f
x , g
x
图像可得， 对于 任意的b1，二者图像必有一个
交点，所以一定能 找到
a1，使得a1
b1
sin a1，所以a2b1sin a1a1，所以anan 1，
1, 2, L
），则{ An}为等比数列的充要条件为
（
）
A{ an}是等比数列
B
a1, a3,L
, a2 n
1,L或a2, a4,L
, a2 n
C
a1, a3,L
, a2 n
1,L和a2, a4,L
, a2 n
D
a1, a3,L , a2 n 1,L和a2, a4,L , a2 n
答案：D
,L是等比数列
1000
的公比；
（3）若a1,a2,L ,a100成等差数列，求数列
a1,a2,L , a100的公差的取值范围．
解：（1）由条件得2
x 6
且x
9
3x，解得3
x 6
．所以x的取值范围是
x [3,6]．
3
3
（2）设{
an
}
的公比为
．由
1
an
3an
，且
n 1
0
，得a 0．
q
3
anaq1
n
因为1anan
1
，则
a121 an
n 20
{an}
与
{bn}
是无穷互补数列”矛盾；
，
，与“
若d
2，则a1
6，an
2n 4，bn
n ,
n
5
2n
5 , n
．
5
综上，an
2n
4
，bn
n ,
n
5
．
2n
5 , n
5
（2014
年理
23）已知数列{an}满足1an
an 1
3an，n
N*
，a1
1．
3
（1）若a2
2,a3
x,a4
9，求x的取值范围；
答案：D
（2015理22文23）已知数列{an}与{bn}满足an+1﹣an=2（bn+1﹣bn），n∈N*．
（1）若bn=3n+5，且a1=1，求数列{an}的通项公式；
（2）设{an}的第n项是最大项，即
an
an（n∈N
*），求证：数列{bn}的第n项是最大
0
0
0
项；
n
*
），求λ的取值范围，使得{an}有最大值M与最小值m，且
故bn 1an 2sin an 1an 1sin anbn，故bn是常数列
3an，所以1
q
3．从而1
a1qm 1
qm 1
(1)m 1，3
m 1
1000，解
3
3
1000
3
得m 8．
7
1
1
7104
m 8时，q
[ ,3]．所以，m的最小值为
8，m
8时，{an}的公比为
．
1000
3
10
（3） 设 数 列a1, a2,L
a100
的 公 差 为d
． 由1an
an
d
3an
，
2an
d
2 an，
（1）若an2n 1，bn4n2，判断{an}与{bn}是否为无穷互补数列，并说明理由；
（2）若an2n且{an}与{bn}是无穷互补数列，求数列{bn}的前16项的和；
（3）若{an}与{bn}是无穷互补数列，{an}为等差数列，且a16
36，求{an}与{bn}的通项
公式．
【解】（1）因为
4
A , 4
,L均是等比数列
,L均是等比数列，且公比相同
知识点6：等差数列与等比数列综合
（2016文22） 对 于 无 穷 数 列{an}与{bn}， 记A { x| xan,nN*}，
B{ x| xbn,nN*}，若同时满足条件：①{an}，{bn}均单调递增；②A I B且
A U BN*，则称{an}与{bn}是无穷互补数列．
( n
1) d ]
n
1, 2, L
, k 1
(2 n
1)d
2,
，
． 即
3)d
2,
3
(2 n
n
1, 2, L
, k
1．
当n
1时，
2
d
2；
3
当n
2, L
, k
1
时，由
2
1
2
，得d
2n
2
，所以d
2
1
2．
2n
2n
3
1
2k
3
所以1000 ka1
k k
1
d
k
k k
1
2
2
2000 k
1000
0，得k 1999．
2
（3）设a1=λ＜0，bn=λ（n∈N
M
2, 2．
m
答案：（1）6n 5；（3）
1
,0
2
知识点
10：数列的周期性
（2016
年理23）若无穷数列{a }满足：只要a
p
a ( p,q N*)，必有ap 1aq 1，则称
n
q
{an}具有性质P.
（1）若{an}具有性质P，且a1
1,a2
2,a43,a52，a6a7a8
8
a1
c
8，即a1
c
8，从而a2
0．
当n
2时，由于an
为递增数列，故
an
a2
0
c，
所以，
an 1
f (an)
an
c 8，而a2
a1c
8，
故当a1
c
8时，a
为无穷等差数列，符合要求；
n
②若c
4
a1
c，则a2
f (a1) 3a1
3c 8，又a2
a1
da1c
8，
所以，3 a1
3c
8
a1
c 8，得a1
c，舍去；
, an,L
成等差数列？若存在，
求出所有这样的
a1；若不存
在，说明理由．
解：（1）a2
2，a3
0，a4
2．
（2）a2
2 a1
2 a1，a32 a2
2 2 a1．
时，a
2
2
a
a，所以
a2
2
2
① 当
0
a
1
2
a
，得
a
1
1
．
3
1
1
1
1
2时，a3
2
a12
4
a1，所以a1
4
a1
2
2
，得a1
2 2（舍
②当a1
a1
B，所以
4
A U B，从而{an}与{bn}不是无穷互补数列．
（2）因为a4
16，所以b4
16 4
20．
数
列
{bn}
的
前
16
项
的
和
为
：
(1 2
L
20)
(2 22
23
24)
1
20
20
(25
2)
180．
2
（3）设{an}的公差为d , d
N，则a16
a1
15d
36．由a1
36 15d
1，得d
1
或2．
若
d 1
3
，则qn(3
q )
2
．由qn
q，n
N
，得q (3
q )
2
，所以1
q
2
．
② 若1
q
1
，则qn(3
q )
2
．由qn
q，n
N
，得q (3
q )
2，所以1
q
1
．
3
3
综上，q的取值范围为
1, 2
．
3
（3）设
a
1
2
,L a
k
的公差为d．由1
an
an 1
3an
，且a
1，
, a
3
1
得1[1
( n
1)d ]
1
nd
3[1
要条件是（）
A.a
0B.b 0
C.
c
0D.
a
2b c
0
答案：A
知识点
3：等差数列的递推关系式
（2013
年文22）已知函数
f (x)
2
x，无穷数列
an
满足an 1
f (an)，n N*．
（1）若a10，求a2, a3,a4；
（2）若a10，且a1,a2,a3成等比数列，求a1的值；
（3）是否存在a1
，使得a1, a2, L
[
2, 2]
．
199
知识点
7：数列的递推关系式与函数
（2012
文14）已知f ( x)
1
an
满足a1
1
，an 2
f (an)，
1
，各项均为正数的数列
x
若a2010
a2012，则a20
a11的值是
．
答案：
3
13
5
26
解：由a1
1，an
f (an)，得a3
1
，a5
2
3
5
8
2
2
,a7
, a9
, a11
13