§3.2圆、圆弧的生成—Bresenham算法
bresenham圆弧算法
bresenham圆弧算法Bresenham圆弧算法Bresenham圆弧算法是一种用于绘制圆弧的算法，它是Bresenham 线算法的扩展。
Bresenham线算法是一种用于绘制直线的算法，而Bresenham圆弧算法则是在此基础上实现的。
圆弧是一个弧线段，它是由圆的一部分组成。
绘制圆弧的方法有很多种，但Bresenham圆弧算法是一种简单而高效的方法。
它通过使用离散的像素点来逼近圆弧的曲线，从而实现圆弧的绘制。
Bresenham圆弧算法的核心思想是利用圆的对称性和连续性，在每个象限内只绘制其中一部分弧线，然后通过变换和旋转来得到其他象限的弧线。
具体来说，算法通过计算每个象限内的像素点与理想圆弧曲线的差距，然后选择最接近理想曲线的像素点来绘制圆弧。
为了实现Bresenham圆弧算法，我们需要知道圆心坐标、半径和起始角度。
首先，我们需要确定圆弧的起始点和终止点，这可以通过圆心坐标、半径和起始角度来确定。
然后，我们可以使用Bresenham线算法来绘制起始点和终止点之间的线段。
接下来，我们需要计算每个象限内的像素点与理想圆弧曲线的差距，并选择最接近理想曲线的像素点来绘制圆弧。
Bresenham圆弧算法的优点是效率高，绘制的圆弧曲线非常接近理想曲线。
这是因为算法利用了圆的对称性和连续性，只需绘制部分弧线即可得到完整的圆弧。
此外，算法的实现较为简单，只需使用基本的数学运算和判断即可完成绘制。
然而，Bresenham圆弧算法也存在一些局限性。
首先，算法只适用于绘制在屏幕上呈现为直线的圆弧。
对于曲线较为复杂的圆弧，Bresenham圆弧算法可能无法得到准确的结果。
此外，算法对圆心坐标和半径的限制较大，不适用于所有情况。
Bresenham圆弧算法是一种用于绘制圆弧的高效算法。
它通过使用离散的像素点来逼近圆弧的曲线，实现了圆弧的绘制。
虽然算法具有一定的局限性，但在满足条件的情况下，它可以得到准确且高效的结果。
bresenham圆生成算法
bresenham圆生成算法Bresenham圆生成算法是一种经典的计算机图形学算法，用于在计算机屏幕上绘制圆形。
该算法是由美国计算机科学家Jack E. Bresenham于1965年发明的。
这个算法非常简单，但是它却非常有效，因为它只需要使用整数运算。
Bresenham圆生成算法的基本思想是使用一个叫做“决策参数”的变量来决定下一个像素点的位置。
该变量根据当前像素点到圆心的距离和半径之间的差异进行调整。
如果该差异小于0，则移动到右上方的像素点；否则，移动到右上方和正上方之间的像素点。
具体来说，Bresenham圆生成算法可以通过以下步骤来实现：1. 输入圆心坐标和半径。
2. 初始化x和y坐标为0，并计算出初始决策参数d=3-2r。
3. 在每个步骤中，检查当前像素点是否在圆内。
如果是，则将该像素点绘制出来；否则，不绘制。
4. 计算下一个像素点的位置。
如果d小于0，则移动到右上方；否则，移动到右上方和正上方之间。
5. 更新决策参数d。
Bresenham圆生成算法的优点是它非常快速和有效。
它只需要使用整数运算，因此可以在计算机上非常快速地执行。
此外，该算法还可以轻松地扩展到三维空间中的球体和其他形状。
尽管Bresenham圆生成算法已经有几十年的历史了，但它仍然是计算机图形学中最常用的算法之一。
它被广泛应用于游戏开发、计算机辅助设计、虚拟现实等领域。
此外，该算法还被用于许多其他领域，如数字信号处理和图像处理。
总之，Bresenham圆生成算法是一种简单而有效的计算机图形学算法。
它可以快速地绘制出圆形，并且可以轻松地扩展到其他形状。
尽管这个算法已经有几十年的历史了，但它仍然是计算机图形学中最常用的算法之一，并且在许多其他领域也得到了广泛应用。
画圆形（Bresenham算法）
画圆形（Bresenham算法）下⾯先简要介绍常⽤的画圆算法（Bresenham算法），然后再具体阐述笔者对该算法的改进。
⼀个圆，如果画出了圆上的某⼀点，那么可以利⽤对称性计算余下的七段圆弧：Plot(x，y)，Plot(y，x)，Plot(y，-x)，Plot(x，-y)，Plot(-x，-y)，Plot(-y，-x)，Plot(-y，x)，Plot(-x，y)。
1、Bresenham 画圆算法。
Bresenham算法的主要思想是：以坐标原点（0，0）为圆⼼的圆可以通过0度到45°的弧计算得到，即x从0增加到半径，然后利⽤对称性计算余下的七段圆弧。
当x从0增加到时，y从R递减到。
设圆的半径为R，则圆的⽅程为：f(x，y)＝(x+1)2+y2-R2＝0 (1)假设当前列（x=xi列）中最接近圆弧的像素已经取为P(xi，yi)，根据第⼆卦限1/8圆的⾛向，下⼀列（x=xi+1列）中最接近圆弧的像素只能在P的正右⽅点H(xi+1，yi)或右下⽅点L(xi+1，yi-1)中选择，如图1所⽰。
Bresenham画圆算法采⽤点T(x，y)到圆⼼的距离平⽅与半径平⽅之差D(T)作为选择标准，即D(T)=(x+1)2+y2-R2 (2)通过⽐较H、L两点各⾃对实圆弧上点的距离⼤⼩，即根据误差⼤⼩来选取，具有最⼩误差的点为绘制点。
根据公式(2)得：对H(xi+1，yi)点有：D(H)=(xi+1)2+yi2-R2；对L(xi+1，yi-1)点有：D(L)=(xi+1)2+(yi-1)2-R2；根据Bresenham画圆算法，则选择的标准是：如果|D(H)|<|D(L)|，那么下⼀点选取H(xi+1，yi)；如果|D(H)|>|D(L)|，那么下⼀点选取L(xi+1，yi-1)；如果|D(H)|=|D(L)|，那么下⼀点可以取L(xi+1，yi-1)，也可以选取H(xi+1，yi)，我们约定选取H(xi+1，yi)。
bresenham画圆算法原理
bresenham画圆算法原理宝子！今天咱们来唠唠这个Bresenham画圆算法的原理，可有趣儿啦！你想啊，画圆这个事儿，在计算机里可不像咱们拿个圆规在纸上画那么简单。
计算机就知道一个个的像素点，它得想办法把这些像素点组合起来，看起来像个圆才行。
Bresenham画圆算法就像是一个超级聪明的小工匠，在像素的世界里一点点雕琢出圆的形状。
那这个算法是咋开始的呢？咱们先得知道圆的方程，一般的圆方程是(x - a)^2+(y - b)^2 = r^2，这里的(a,b)是圆心坐标，r是半径。
但是这个算法可不会直接用这个方程来一个点一个点地找。
为啥呢？因为计算起来太麻烦啦，计算机可不喜欢干这么费劲的事儿。
这个算法呀，它很聪明地利用了圆的对称性。
圆多对称呀，关于x轴、y轴还有原点都对称。
所以呢，只要算出圆的八分之一部分的像素点，其他部分就可以根据对称关系得到啦。
就好像你有一个小拼图块，通过对称翻转，就能拼出整个大图案一样。
咱就拿第一象限里的八分之一圆来说吧。
这个算法开始的时候，先确定一个初始点。
这个初始点呢，是在x = 0的时候，y = r。
这就像是在圆的最上面的那个点，就像圆的小脑袋一样。
然后呢，它就要开始一步一步地找下一个点啦。
它怎么找下一个点呢？这里面就有个很妙的决策。
它会比较两个可能的下一个点到圆的距离。
你可以想象成有两个小蚂蚁，都想朝着圆的方向走，但是哪条路更近呢？算法就要判断这个。
它会根据一些简单的计算，这些计算都是基于整数的哦，计算机就喜欢整数计算，快得很。
它会看如果选择一个点，和选择另一个点，哪个会让这个点更接近真正的圆。
如果一个点离圆更近，那就选这个点作为下一个点。
然后呢，每确定一个新的点，就像在这个像素的世界里又铺了一块小砖头，慢慢地，这个八分之一圆的形状就出来了。
等这个八分之一圆的像素点都确定好了，就可以根据对称关系，把整个圆的像素点都找出来啦。
这个算法的好处可多啦。
它计算速度快，因为都是整数运算，不用做那些复杂的浮点数计算。
C语言生成圆弧的Bresenham算法
生成圆弧的Bresenham算法1. 算法思想如果我们构造函数F(x,y)=x2+y2-R2，则对于圆上的点有F(x,y)=0，对于圆外的点有F(x,y)>0，对于圆内的点F(x,y)<0 。
与中点画线法一样，构造判别式：d=F(M)=F(x p+1,y p-0.5)=(x p+1)2+(y p-0.5)2-R2若d<0，则应取P1为下一象素，而且再下一象素的判别式为：d=F(x p+2,y p-0.5)=(x p+2)2+(y p-0.5)2-R2=d+2x p+3若d≥0，则应取P2为下一象素，而且下一象素的判别式为d=F(x p+2,y p-1.5)=(x p+2)2+(y p-1.5)2-R2=d+2(x p-y p)+5我们这里讨论的第一个象素是（0,R），判别式d的初始值为：d0=F(1,R-0.5)=1.25-R为了进一步提高算法的效率，将上面的算法中的浮点数改写成整数，将乘法运算改成加法运算，即仅用整数实现中点画圆法。
2. C源程序#include<stdio.h>#include<graphics.h>int Center_x,Center_y,radius,color;/**********显示圆弧的八个对称点**********/void CirclePoints(int Center_x,int Center_y,int x,int y,int color){putpixel(x+Center_x,y+Center_y,color);putpixel(x+Center_x,-y+Center_y,color);putpixel(y+Center_x,x+Center_y,color);putpixel(y+Center_x,-x+Center_y,color);putpixel(-x+Center_x,-y+Center_y,color);putpixel(-x+Center_x,y+Center_y,color);putpixel(-y+Center_x,-x+Center_y,color);putpixel(-y+Center_x,x+Center_y,color);}/**********消除的乘法的中点算法**********/void MidPointCircle(int Center_x,int Center_y,int radius,int color) {int x,y;int d;int DeltaE,DeltaSE;x=0;y=radius;d=5-4*radius;DeltaE=12;DeltaSE=20-8*radius;putpixel(Center_x,Center_y,color);CirclePoints(Center_x,Center_y,x,y,color);while(y>x){if(d<=0){d+=DeltaE;DeltaSE+=8;}else{d+=DeltaSE;DeltaSE+=16;y--;}DeltaE+=8;x++;CirclePoints(Center_x,Center_y,x,y,color);}}/**********主函数**********/void main( ){int graphdriver=DETECT,graphmode;initgraph(&graphdriver,&graphmode,"\\tc");printf("************************************************************\n"); printf("* Middle-Point Algorithm for Circling *\n");printf("* Creator:Zhang Zujin *\n");printf("* *\n");printf("* Input: Center and Radius of Circle and Color Index *\n");printf("* Output: The Circle Related to Input *\n");printf("************************************************************\n\n"); printf("Please Input Center Coordinate(x,y):");scanf("%d%d",&Center_x,&Center_y);printf("Please Input Radius:");scanf("%d",&radius);printf("Input Color Index[0,15]:");scanf("%d",&color);MidPointCircle(Center_x,Center_y,radius,color); getch( );closegraph( );}。
§3.2圆、圆弧的生成—Bresenham算法
§3.2圆的生成——Bresenham算法条件：给定圆心(x c,y c)和半径R约定：只考虑圆心在原点，半径为整数R的圆x2+y2.=R2。
对于圆心不在原点的圆，可先通过平移转换，化为圆心在原点的圆，再进行扫描转换，把所得到的像素集合加上一个位移量，就可以把目标圆光栅化。
在众多圆的生成算法，如逐点比较法、角度DDA法、Bresenham算法中，Bresenham画圆法是一种最简单有效的的方法。
首先注意到只要生成一个八分圆，那么，圆的其它部分就可以通过一系列的对成变换得到。
12345678由算法生成y=x第一八分圆关于y=x对称变换第一四分圆关于x=0对称变换上半圆关于y=0对称变换如果以点x=0，y=R为起点按顺时针方向生成圆，则在第一象限内y是x 的单调递减函数。
要在这三个像素中选择一个使其与理想圆的距离的平方达到最小，即下列数值中的最小者。
R(0,R)(R,0)xy这样，从圆上任一点出发，按顺时针方向生成圆时，为了最佳逼近该圆，对于下一像素的取法只有三种可能的选择，即正右方像素、正下方像素和右下角像素，分别记作：m H、m V、m D。
(x i，y i)(x i，y i-1)(x i+1，y i)(x i+1，y i-1)m Hm Dm Vm H=|(x i+1)2+(y i)2-R2|m V=|(x i)2+(y i+1)2-R2|m D=|(x i+1)2+(y I-1)2-R2|m H(x i,y i)(x i+1,y i)(x i+1,y i+1)(x i+1,y i-1)(x i-1,y i-1)(x i,y i-1)m Vm D12354圆与点(x i，y i)附近光栅格网的相交关系只有五种可能。
从圆心到右下角像素(x i+1,y i-1)的距离平方m D与圆心到圆上点的距离平方R2之差等于：Δi=(x i+1)2+(y i-1)2-R2如果Δi<0,那么右下角像素(x i+1,y i-1)在该圆内(图中①、②)，显然这时只能取像素(x i+1,y i)，即m H；或像素(x i+1,y i-1)，即m D。
圆的生成算法
圆的生成算法利用直线坐标法和极坐标法生成圆周颇费时间，而圆的Bresenham算法则简捷很多。
一．圆的Bresenham算法思想：设圆的半径为r，先考虑圆心在（0,0），并从x=0、y=r开始的顺时针方向的1/8圆周的生成过程。
在这种情况下，x每步增加1，从x=0开始，到x=y结束。
即有X i+1=X i+1相应地yi+1则在两种可能中选择：Y i+1=y i或者y i+1=y i-1选择的原则是考虑精确值y是靠近yi还是靠近yi-1,计算公式为Y2=r2-(x i+1)2d1=y i2-y2=y i2-r2+(x i+1)2d2=y2-(y i-1)2=r2-(x i+1)2-(y i-1)2令pi=d1-d2,并代入d1、d2，则有P i=2(x i+1)2+y i2+(y i-1)2-2r2(1)Pi称为误差。
如果Pi<0,则yi+1=yi，否则yi+1=yi-1.pi的递归式为P i+1=p i+4x i+6+2(y i+12-y i2)-2(y i+1-y i) (2)P i的初值由式（1）代入xi=0,yi=r,而得P1=3-2r (3)根据上面的推导，圆周生成算法思想如下：(1)求误差初值，p1=3-2r，i=1,画点（0，r）；(2)求下一个光栅位置，其中x i+1=x i+1,如果p i<0,则y i+1=y i,否则y i+1=y i-1；(3)画点（x i+1,y i+1）；(4)计算下一个误差，如果p i<0，则p i+1=p i+4x i+6，否则p i+1=p i+4(x i-y i)+10；(5)I=i+1,如果x=y，则结束，否则返回步骤2；虽然（1）式表示p i+1的算法很复杂，但因为y i+1只能y i或y i-1，使得步骤（4）的算法变得简单，只需做加法和乘4的乘法。
圆的Bresenham算法的程序实现如下：#include<stdio.h>#include<conio.h>#include<stdlib.h>#include<graphics.h>void BresenhemCircle(int centerx, int centery, int radius, int color, int type);void initgr(void) /* BGI初始化*/{int gd = DETECT, gm = 0; /* 和gd = VGA,gm = VGAHI是同样效果*/ registerbgidriver(EGAVGA_driver);/* 注册BGI驱动后可以不需要.BGI文件的支持运行*/ initgraph(&gd, &gm, "");setbkcolor(WHITE);}int main(void){int centerx,centery,radius,color,type;printf("centerx,centery\n");scanf("%d",¢erx);scanf("%d",¢ery);printf("radius\n");scanf("%d",&radius);printf("color,type\n");scanf("%d",&color);scanf("%d",&type);initgr(); /*BGI初始化*/BresenhemCircle(centerx,centery,radius,color,type);getch();closegraph();}void BresenhemCircle(int centerx, int centery, int radius, int color, int type){int x =type= 0;int y = radius;int delta = 2*(1-radius);int direction;while (y >= 0) {if (!type) {putpixel(centerx+x, centery+y, color);putpixel(centerx-x, centery+y, color);putpixel(centerx-x, centery-y, color);putpixel(centerx+x, centery-y, color);}else {line(centerx+x, centery+y, centerx+x, centery-y);line(centerx-x, centery+y, centerx-x, centery-y);}if (delta < 0) {if ((2*(delta+y)-1) < 0) {direction = 1;}else {direction = 2;}}else if(delta > 0) {if ((2*(delta-x)-1) <= 0) {direction = 2;}else {direction = 3;}}else {direction=2;}switch(direction) {case 1:x++;delta += (2*x+1);break;case 2:x++;y--;delta += 2*(x-y+1);break;case 3:y--;delta += (-2*y+1);break;}}}二．中心画圆法圆的特性：八对称性。
圆及圆弧生成算法
圆及圆弧生成算法圆及圆弧生成算法是计算机图形学中常用的算法之一，用于生成圆及圆弧的几何形状。
圆是一个闭合曲线，由一系列连续的点组成，其到中心点的距离都相等。
圆弧是圆的一部分，也是由一系列点组成的曲线。
下面将介绍几种常见的圆及圆弧生成算法。
1.中点圆生成算法：中点圆生成算法是一种常用的生成圆形的算法。
该算法从圆心开始，逐步生成圆上其它点的坐标，直到生成整个圆。
算法的基本思想是在每一步中选择一个点，使得该点的距离到圆的实际弧路径最接近满足圆方程的距离。
具体步骤如下：(1)初始化圆心坐标和半径；(2)设置初始点的坐标为(0,r)，即圆上的一个点；(3)设置初始参数值d，初始值为1-r；(4)当x小于等于y时，递归生成圆上的其它点的坐标，具体步骤如下：-如果d<0，则令d=d+2x+3，x=x+1，y=y；-如果d>=0，则令d=d+2x-2y+5，x=x+1，y=y-1；(5)重复步骤(4)直到x大于y结束。
2. Bresenham圆生成算法：Bresenham圆生成算法是基于中点圆生成算法的改进。
该算法的主要思想是通过对称性减少计算量，较中点圆生成算法更快速。
具体步骤如下：(1)初始化圆心坐标和半径；(2)设置初始点的坐标为(0,r)，即圆上的一个点；(3)设置初始参数值d，初始值为3-2r；(4)当x小于等于y时，递归生成圆上的其它点的坐标，具体步骤如下：-如果d<0，则令d=d+4x+6，x=x+1，y=y；-如果d>=0，则令d=d+4(x-y)+10，x=x+1，y=y-1；(5)重复步骤(4)直到x大于y结束。
3.中点圆弧生成算法：中点圆弧生成算法是用于生成圆弧的算法。
该算法通过给定圆心、弧的起始点和终止点，计算圆弧上的所有点的坐标。
具体步骤如下：(1)初始化圆心、起始点和终止点坐标；(2)计算圆上点的初始参数值d，初始值根据起始点和终止点的位置关系计算得到；(3)按递增顺序计算圆弧上的点的坐标，具体步骤如下：-如果d<0，则令d=d+4x+6，x=x+1，y=y；-如果d>=0，则令d=d+4(x-y)+10，x=x+1，y=y-1；-输出当前点的坐标；(4)重复步骤(3)直到到达终止点。
易懂的Bresenham布雷森汉姆算法画圆的原理与Python编程实现教程
易懂的Bresenham布雷森汉姆算法画圆的原理与Python编程实现教程Bresenham 布雷森汉姆算法画圆的原理与编程实现教程注意：Bresenham的圆算法只是中点画圆算法的优化版本。
区别在于Bresenham的算法只使⽤整数算术，⽽中点画圆法仍需要浮点数。
注意：不要因为我提到了中点画圆法你就去先看完再看Bresenham算法，这样是浪费时间。
中点画圆法和Bresenham画圆法只是思想⼀样，但是思路并没有很⼤关联。
所以直接看Bresenham算法就可以。
看下⾯这个图，这就是⼀个像素⼀个像素的画出来的。
我们平常的圆也是⼀个像素⼀个像素的画出来的，你可以试试在“画图”这个软件⾥⾯画⼀个圆然后放⼤很多倍，你会发现就是⼀些像素堆积起来的。
我们看出来圆它是⼀个上下左右都对称，⽽且也是中⼼对称的。
所以我们只⽤画好⼋分之⼀圆弧就可以，其他地⽅通过对称复制过去就好。
看下⾯这幅图，绿线夹住的那部分就是⼋分之⼀圆弧。
注意我们是逆时针画圆的（即从⽔平那个地⽅即(r,0)开始画因为⼀开始我们只知道⽔平位置的像素点该放哪其他地⽅我们都不知道）。
Bresenham 算法画完⼀个点(x,y)后注意x,y都是整数。
他们代表的是x,y⽅向上的第⼏个像素。
，它下⼀步有两个选择(x,y+1),(x-1,y+1)。
也就是说y⼀定增加,但是x要么保持不变要么减⼀（你也可以让x⼀定增加y要么不变要么加⼀，其实差不多的）。
当程序画到粉红⾊那个像素点的时候，程序选择下⼀步要绘制的点为(x-1，y+1)。
当程序画到黄⾊的那个像素点时候，程序选择下⼀步要绘制的点为(x,y+1)。
我们看看粉⾊的那个点的下⼀步是如何抉择的。
Bresenham是根据待选的两个点哪个离圆弧近就下⼀步选哪个。
那它是怎么判断的呢？这两个点⼀定有⼀个在圆弧内⼀个在圆弧外。
到底选哪个？Bresenham的⽅法就是直接计算两个点离圆弧之间的距离，然后判断哪个更近就选哪个。
生成圆的bresenham算法原理描述详细
生成圆的bresenham算法原理描述详细Bresenham算法是计算机图形学中非常重要的算法之一，可以生成各种形状的图像。
其中，生成圆形图像的Bresenham算法也是应用比较广泛的算法之一。
本文将详细描述生成圆的Bresenham算法原理。
1. 圆的数学表示圆是一个几何图形，其数学表示为：x² + y² = r²，其中，x、y是圆上点的坐标，r是圆的半径。
因此，生成圆的Bresenham算法需要计算出符合该数学表示的所有点的坐标。
2. Bresenham算法的核心思想Bresenham算法的核心思想是利用对称性和递推式来快速计算出每个点的坐标。
对于圆而言，其有四分之一的区域可以通过对称性计算出来，而另外四分之三的区域可以通过递推式来得出。
3. 圆的对称性对于圆而言，其具有对称性，即当坐标为（x,y）在圆上时，也必然存在（y,x）、（y,-x）、（x,-y）、(-x,-y)、(-y,-x)、(-y,x)、(-x,y)在圆上的点，也就是说，直接通过圆的对称性可以得到大约四分之一的在圆上的点。
4. 圆的递推式对于圆的另外四分之三的部分，我们可以使用递推式来获得。
根据圆的坐标表示式x² + y² = r²，我们可以得到下届式：x² + y² - r² = 0根据这个方程，可以计算出下一个点的坐标为：x + 1, y 或 x + 1, y - 1如果采用当前点（x,y）的对称点来计算，比如（y,x），那么坐标可以改成：y + 1, x 或 y + 1, x - 1通过这种方式，就可以逐个计算出每个点的坐标了。
5. 算法步骤生成圆的Bresenham算法的步骤如下：1）确定圆的中心点的坐标和半径；2）以圆心为原点建立坐标系，以x轴为基准线向右，y轴向上；3）通过圆的对称性计算出直径上的点的坐标；4）使用递推式计算出剩余的坐标；5）根据得到的坐标渲染圆的边缘。
计算机图形学课后答案第三章
第三章答案3.1 修改Bresenham 算法，使之可绘制具有实线、虚线和点线等各种线型的直线，并且要求从键盘输入两端点坐标，就能在显示器屏幕上画出对应直线。
答案：（略）3.2 圆弧生成算法中，Bresenham 算法比正负法更合理的原因？答案：设圆的半径为R ，圆心在原点，则对于正负法，决定下一点走向的判别式为222(,)F x y x y R =+-，判别准则为：(,)0F x y ≤时，下一步取当前点的正右方的点；(,)0F x y >时，下一步取当前点正下方的点。
即若当前点在圆内，则下一步向圆外走；若当前点在圆外，则下一步向圆内走。
而对于Bresenham 算法，判别式为2222221111()()(1)(1)(1)i i i i i i i d D H D L x y R x y R ----=+=++-+++--判别准则为： 0<i d 时，下一步取当前点的正右方的点；0i d ≥时，下一步取当前点的正下方的点。
这说明Bresenham 算法在候选的两个像素中，总是选定离圆弧最近的像素为圆弧的一个近似点，因此，Bresenham 算法比正负法决定的像素更合理。
3.3 假设圆的中心不在原点，试编写算法对整个圆进行扫描转换。
答案：假设圆的方程为：222()()x a y b R -+-=，先用正负法、Bresenham 算法和圆的多边形迫近法这三种方法中的任一种生成圆心在原点的圆，再分别将x ，y 的坐标值加上a ，b ，得到的平移后的圆即所求的结果。
3.4 多边形的顶点和点阵表示各有什么优缺点？答案：顶点表示是用多边形的顶点序列来描述多边形。
该表示几何意义强、占内存少、几何变换方便；但它不能直观地说明哪些像素在多边形内，故不能直接用于面着色。
点阵表示用位于多边形内的像素的集合来描述多边形。
该方法虽然没有多边形的几何信息，但便于用帧缓存表示图形，可直接用于面着色。
3.5 在多边形的扫描线算法中，是如何处理奇点的？答案：为使每一条扫描线与多边形P 的边界的交点个数始终为偶数，规定当奇点是多边形P 的极值点时，该点按两个交点计算，否则按一个交点计算。
计算机图形学_圆弧的生成
2 (1 y0 R 2 ) (1 ( y0 1) 2 R 2 ) 3 2 y0 3 2R
下面给出 di 的递推公式。
d i ( xi2 yi21 R 2 ) ( xi2 ( yi 1 1) 2 R 2 ) 2 xi2 2 yi21 2 yi 1 2 R 2 1
xi 1 xi , yi 1 yi 1
代入圆的方程可得：
F ( xi 1 , yi 1 ) ( xi 1 )2 ( yi 1 )2 R2
xi ( yi 1)2 R2
F ( xi , yi ) 2 yi 1
(4-5)
2
公式(4-4)和(4-5)就是计算 F ( xi , yi ) 的递推公式。当判 别函数确定后，就可用正负法绘制圆弧。首先规定先 向右走一步。
2019年2月11日星期一
根据算法，可得Bresenham生成圆弧的程序如下： void bresenham_arc(int R,int color) { int x,y,d; x=0;y=R; d=3-2*R; while(x<y) { putpixel(x,y,color); if(d<0) d+=4*x+6; else { d+=4*(x-y)+10; y-=1; } x++; } if(x==y) putpixel(x,y,color); }
2019年2月11日星期一
判别式d： 2 2 d F M F x p 1, y p 0.5 x p 1 y p 0.5 R 2
d的初始值为： d 0 F (1, R 0.5) 1 (R 0.5) 2 R 2 1.25 R
计算机图形学(圆弧的扫描转换II)
椭圆弧 的生成
xi 1 a cos( i ) , yi 1 b sin( i )
由此可得
xi 1 xi y M y i 1 i
cos 其中 M b sin a
a sin b cos
P(xi,yi) P (x +1,y ) u i i M(xi+1,yi-0.5) Pd(xi+1,yi-1)
如果d1i >0,中点在椭圆外，应取右下方像素Pd(xi+1,yi-1) 判别式更新为：d1(i+1)=F(xi+2,yi-1.5)=d1i+b2(2xi+3)+2a2(-yi+1) 如果d1i ≤0,中点在椭圆内，应取正右方像素Pu(xi+1,yi) 判别式更新为：d1(i+1)=F(xi+2,yi-0.5)=d1i+b2(2xi+3) 判别式初值为：d10=F(1,b-0.5)=b2+a2(-b+0.25)
■ 圆穿越⑤区域时，D(Hi) > 0，D(Li) = 0，有 Di = | D(Hi) |-| D(Li) | = D(Hi) = di
结论： di的符号与Di的符号是否一致
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判别式di的增量计算
di = D(Hi)+D(Li) = [(xi-1+1)2+yi-12-R2]+[(xi-1+1)2+(yi-1-1)2-R2] 若di<0，表示Hi点更接近圆周，
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判别式的改进
Bresenham算法画圆
bresenham画圆算法bresenham画圆算法中点画圆算法在一个方向上取单位间隔，在另一个方向的取值由两种可能取值的中点离圆的远近而定。
实际处理中，用决策变量的符号来确定象素点的选择，因此算法效率较高。
一、中点画圆算法描述设要显示圆的圆心在原点(0，0)，半径为R，起点在(0，R)处，终点在(，)处，顺时针生成八分之一圆，利用对称性扫描转换全部圆。
为了应用中点画圆法，我们定义一个圆函数F(x，y)=x2+y2-R2 (2－19)任何点(x，y)的相对位置可由圆函数的符号来检测：F(x，y) <0点(x，y)位于数学圆内=0点(x，y)位于数学圆上>0点(x，y)位于数学圆外(2－20)如下图所示，图中有两条圆弧A和B，假定当前取点为Pi(xi，yi)，如果顺时针生成圆，那么下一点只能取正右方的点E(xi+1，yi)或右下方的点SE(xi+1，yi-1)两者之一。
中点画线算法假设M是E和SE的中点，即，则：1、当F(M)<0时，M在圆内(圆弧A)，这说明点E距离圆更近，应取点E作为下一象素点；2、当F(M)>0时，M在圆外(圆弧B)，表明SE点离圆更近，应取SE点；3、当F(M)=0时，在E点与SE点之中随便取一个即可，我们约定取SE点。
二、中点画圆算法思想因此，我们用中点M的圆函数作为决策变量d i，同时用增量法来迭代计算下一个中点M的决策变量d i+1。
(2－21)下面分两种情况来讨论在迭代计算中决策变量d i+1的推导。
1、见图（a），若d i <0，则选择E点，接着下一个中点就是，这时新的决策变量为：(2－22)（a）(di<0) 中点画线算法式(2－22)减去(2－21)得：d i+1=d i+2x i+3(2－23)2、见图（b），若di≥0，则选择SE点，接着下一个中点就是，这时新的决策变量为：(2－24)（b）(d i ≥0) 中点画线算法式(2－24)减去(2－21)得：d i+1=d i+2(x i-y i)+5(2－25)我们利用递推迭代计算这八分之一圆弧上的每个点，每次迭代需要两步处理：（1）用前一次迭代算出的决策变量的符号来决定本次选择的点。
第三章-圆弧的生成
P0 ( x0, y0) P , y1) 1 ( x1
画直线的方法 • 方法1：直接求交算法 m y / x
y i ,r round (y i ) (int)( m xi B 0.5)
• 方法2：DDA算法
y i 1,r round (y i 1 ) (int)( yi m 0.5)
Bresenham算法-2
CDC *pDC=GetDC(); Dx=xe-xs; dy=ye-ys; Dxx=dx+dx;dyy=dy+dy; e=-dx; y=ys; for(x=xs;x<=xe;x++) {
pDC->SetPixel(x,y,RGB(0,0,0)); If(e>=0) y=y++,e-=dxx; e+=dyy;
• 方法3：中点算法
y i 1,r
y i ,r y 1 i ,r 当d i 0 当d i 0
1
Bresenham算法
y i 1
yi , y i 1
ei 1
ei k ei k 1
ei 0 ei 0
判别式：
1 1 2 2 d i F ( M ) F ( xi 1, yi ,r ) ( xi 1) ( yi ,r ) R 2 2 2
由圆的正负划分性知：
yi 1,r
yi , r yi , r 1
当di 0 当di 0
1 d i 1 F (x i 2,y i 1,r ) 2 1 2 2 2 (x i 2) (y i 1,r ) R 2 1 2 2 2 ( x 2 ) ( y ) R i ,r i 2 +1+1 1 2 2 2 ( x 2 ) ( y 1 ) R i i , r 2 d i 2x i 3 (x i y i ,r ) 5 d i 2
圆及圆弧生成算法
F (xi1, yi1) (xi xc )2 ( yi 1 yc )2 R2 (xi xc )2 ( yi yc )2 2( yi xc ) 1 F (xi , yi ) 2( yi xc ) 1
结论——第一个1/4圆弧的正负法算法：
已知圆心坐标为（xc,yc），半径为R，F (x, y) (x xc )2 ( y yc )2 R2
起始点(x0,y0) x0=xc y0=yc+R
F( x0 , y 0 ) 0
若F(xi,yi) ≤0 （点在内侧，下一点选外侧）
xi+1= xi+1, yi+1= yi
移动到V点
Xi+1=xi yi+1=yi-1 Δi+1 = Δi-2yi+1 +1
P(xi,yi)
V(xi,yi-1)
H(xi+1,yi)
D(xi+1,yi-1)
正负法绘制的圆
Bresenham法绘制的圆
圆弧的Bresenham算法的优点:起点和终点准确，分布均匀，计算简单。
举例: 画圆心为(0,0),半径R=8的四分之一的圆弧
则 F (xi1, yi1) (xi1 xc )2 ( yi1 yc )2 R2 当xi+1= xi+1, yi+1= yi时，
F (xi1, yi1) (xi 1 xc )2 ( yi yc )2 R2 (xi xc )2 ( yi yc )2 2(xi xc ) 1 F (xi , yi ) 2(xi xc ) 1
归纳总结：
bresenham圆弧算法
bresenham圆弧算法Bresenham圆弧算法Bresenham圆弧算法是一种用于绘制圆弧的算法，该算法基于Bresenham直线算法，通过在二维平面上绘制一系列点的方式来逼近圆弧的形状。
与传统的圆弧绘制算法相比，Bresenham圆弧算法具有较高的效率和精度。
Bresenham圆弧算法的核心思想是利用圆的对称性，将圆弧的绘制问题转化为直线的绘制问题。
通过逐步迭代，计算出每个绘制点的坐标，从而绘制出整个圆弧。
该算法在绘制过程中，只需进行简单的加减运算和比较判断，不需要复杂的三角函数运算，因此具有较高的效率。
其基本原理是：首先确定圆弧的起点和终点，然后计算圆弧所在的圆的半径和圆心坐标。
接下来，在一个辅助的正方形区域内，按照Bresenham直线算法的思想，逐步迭代计算出每个绘制点的坐标。
通过判断与圆弧的距离，确定每个点应该绘制在圆弧内还是外部。
最后，根据需要，可以进行平移、旋转和缩放等变换操作，以实现对圆弧的精确绘制。
Bresenham圆弧算法的优点在于其简洁性和高效性。
由于该算法只需进行简单的加减运算和比较判断，因此在计算机中的实现非常方便。
而且，该算法的绘制结果具有较高的精度，可以满足大部分绘制需求。
此外，由于Bresenham圆弧算法基于对称性，因此可以减少计算量，提高绘制速度，特别适用于实时绘制和动画效果的生成。
然而，Bresenham圆弧算法也存在一些局限性。
首先，该算法只适用于绘制位于正方形区域内的圆弧，无法直接绘制超出该区域的圆弧。
其次，由于该算法是通过逼近的方式来绘制圆弧，因此在绘制过程中可能会产生一些误差。
特别是对于较大的圆弧或高分辨率要求较高的场景，这种误差可能会导致绘制结果的不准确。
Bresenham圆弧算法是一种简洁高效的圆弧绘制算法，通过利用圆的对称性和Bresenham直线算法的思想，可以快速、准确地绘制圆弧。
该算法在计算机图形学和计算机游戏等领域得到广泛应用，为实时绘制和动画效果的生成提供了重要的支持。
基于Bresenham 算法圆弧的设计与算法分析
文化视野183２０２１年１８期 （６月下旬）摘要：本文在对LCD 的GUI 设计进行大量实验的基础上，利用Bresenham 算法如何在LCD 上形成圆弧、椭圆等基本图形进行设计，并对Bresenham 算法进行了详细的算法分析，结果表明Bresenham 算法在LCDGUI 设计方面具有高效性和准确性。
关键词：Bresenham ；算法分析；圆弧设计一、圆的构建圆形是在GUI 设计过程中不可规避的重要图形，可以通过确定“一点一线”来描述一个圆形，“一点”为圆心，“一线”为圆的半径，圆心确定了圆的位置，半径确定了圆的大小。
圆形及圆弧的生成算法主要有数值微分法、Bresenham 画圆算法和中点画线法等。
由于圆形是一个对称的结构，不但左右对称，而且中心对称，所以利用Bresenham 画圆算法只需要绘制出圆的一段圆弧，然后通过对称复制的方法即可实现整个圆的绘制。
首先确定目标圆的圆心，然后以圆心为坐标原点建立对称坐标系，如先绘制第一象限的1/8段圆弧(如图1所示)。
设最先确定的逼近像素点P i-1的坐标为(x i-1,y i-1)，那么在圆弧附近有两个或者多个逼近像素点，如图1中的S i (x i-1+1,y i-1)和T i (x i-1+1,y i-1-1)点，在这两个点的选择时需要计算这两个点离理论圆弧的距离，选择离理论圆弧比较近的那个点作为圆弧构建的下一个像素点，以此类推，可以形成一段1/8段圆弧。
下面来讨论一下S i 点和T i 点到理论圆弧的距离，设S i 点和T i 点到理论圆弧的距离分别为D(S i )、D(T i )，计算公式如下：图1 Bresenham 算法构建1/8段圆弧因为S i 点和T i 点的坐标分别为(x i-1+1,y i-1)、(x i-1+1,y i-1-1)，那么Si 点和Ti 点分别离坐标原点即圆心的距离的平方分别为：(x i-1+1)2+y i-12、(x i-1+1)2+(y i-1-1)2，将它们与圆的半径的平方做差就可以得出S i 点和T i 点离理论圆弧的距离大小了。
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§3.2圆的生成——Bresenham算法
条件：给定圆心(x c,y c)和半径R
约定：只考虑圆心在原点，半径为整数R的圆x2+y2.=R2。
对于圆心不在原点的圆，可先通过平移转换，化为圆心在原点的圆，再进行扫
描转换，把所得到的像素集合加上一个位移量，就可以把目标圆光
栅化。
在众多圆的生成算法，如逐点比较法、角度DDA法、Bresenham算法中，Bresenham画圆法是一种最简单有效的的方法。
首先注意到只要生成一个八分圆，那么，圆的其它部分就可以通过一系列的对成变换得到。
1
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由算法生成
y=x
第一八分圆关于y=x对称变换
第一四分圆关于x=0对称变换
上半圆关于y=0对称变换
如果以点x=0，y=R为起点按顺时针方向生成圆，则在第一象限内y是x 的单调递减函数。
要在这三个像素中选择一个使其与理想圆的距离的平方达到最小，即下
列数值中的最小者。
R
(0,R)
(R,0)
x
y
这样，从圆上任一点出发，按顺时针方向生成圆时，为了最佳逼近该圆，对于下一像素的取法只有三种可能的选择，即正右方像素、正下方像素和右下角像素，分别记作：m H、m V、m D。
(x i，y i)
(x i，y i-1)
(x i+1，y i)
(x i+1，y i-1)
m H
m D
m V
m H=|(x i+1)2+(y i)2-R2|
m V=|(x i)2+(y i+1)2-R2|
m D=|(x i+1)2+(y I-1)2-R2|
m H
(x i,y i)
(x i+1,y i)
(x i+1,y i+1)
(x i+1,y i-1)
(x i-1,y i-1)
(x i,y i-1)
m V
m D
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4
圆与点(x i，y i)附近光栅格网的相交关系只有五种可能。
从圆心到右下角像素(x i+1,y i-1)的距离平方m D与圆心到圆上点的距离平方R2之差等于：
Δi=(x i+1)2+(y i-1)2-R2
如果Δi<0,那么右下角像素(x i+1,y i-1)在该圆内(图中①、②)，显然这时只能取像素(x i+1,y i)，即m H；或像素(x i+1,y i-1)，即m D。
为了确定究竟应该选择哪一个像素，首先考察情形①，为此计算理想圆到像素m H的距离平方与理想圆到像素m D的距离平方之差，即：
=|(x i+1)2+(y i)2-R2|-| (x i+1)2+(y i-1)2-R2|
如果<0,那么圆到右下方像素(m D)的距离大于圆到正右方像素(m H)的距离。
反之，如果>0，圆到正右方像素(m H)的距离较大。
这样
当<0,取像素m H(x I+1,y i)
当>0,取像素m D(x I+1,y I-1)
当=0时，两者距离相等，规定取正右方像素(m H)。
对于情形①，右下方像素(m D)，总是位于圆内，而正右方像素(m H)总是位于圆外，即
(x i+1)2+(y i)2-R2>0
(x i+1)2+(y i-1)2-R2<0
因此的计算可简化为：
=(x i+1)2+(y i)2-R2-[ R2 -(x i+1)2-(y i-1)2]
=2[(x i+1)2+(y i-1)2- R2]+2y i-1
=2(Δi+y i)-1
其次，考虑情形②。
由于y是x的单调递减函数，所以只能选择右方像素(x i+1,y i)。
因为右方像素(x i+1,y i)和右下方像素(x i+1,y i-1)这时都位于圆内，故表达式中有如下关系：
(x i+1)2+(y i)2-R2<0
i i 因此，<0。
：根据与情形①相同的判别准则，这时应选像素
(x i +1,y i )。
如果Δi >0，右下角像素(x i +1,y i -1)位于圆外，(图中③、④)，显然这
时只能取像素(x i +1,y i -1)，即m D ；或像素(x i ,y i -1)，即m V 。
为了确定究竟应该选择哪一个像素，首先考察情形③，为此计算理想圆
到像素m D 的距离平方与理想圆到像素m V 的距离平方之差，即：
’=|(x i +1)2+(y i -1)2-R 2|-| (x i )2+(y i -1)2-R 2|
如果’<0,那么圆到下方像素(m V )的距离大于圆到右下方像素(m D )的距
离。
反之，如果’>0，圆到右下方像素(m D )的距离较大。
这样
当‘<0,取像素m D (x i +1,y i -1)
当‘>0,取像素m V (x i ,y i -1)
当’=0时，两者距离相等，规定取右下方像素(m D )。
由于右下角像素(x i +1,y i -1)位于圆外，而下方像素(x i ,y i -1)位于圆内，所
以对于情形③，作为’分量有如下关系：
(x i +1)2+(y i -1)2-R 2>0
(x i )2+(y i -1)2-R 2<0
因此’的计算可简化为：
’’=(x i +1)2+(y i -1)2-R 2-[ R 2 -(x i )2-(y i
-1)2] =2[(x i +1)2+(y i -1)2- R 2]-2x i -1
=2(Δi +x i )-1
对于情形④，再次注意到由于y 是x的单调递减函数，因此这时需选取下
方像素(x i ,y i -1)。
这时正下方和右下角两像素均位于圆外，即’的分量有如下关系：
i i
(x i)2+(y i-1)2-R2>0
因此，’>0,这时应取m V。
最后考虑情形⑤，这时右下角像素(x i+1,y i-1)恰好在圆上，即Δi=0。
由于
(x i+1)2+(y i)2-R2>0
(x i+1)2+(y i-1)2-R2=0
从而>0，这时应选取右下角像素。
类似地，’的分量有
(x i+1)2+(y i-1)2-R2=0
(x i)2+(y i-1)2-R2<0
因此’<0,这时应选取右下角的像素。
这样Δi=0时具有与Δi<0或Δi>0一样的判别准则。
上述结果可以归纳为：
当Δi<0时：
<=0,取像素(x i+1,y i) 即m H
>0，取像素(x i+1,y i-1) 即m D
当Δi>0时：
'<=0,取像素(x i+1,y i-1) 即m D
'>0,取像素(x i,y i-1) 即m V
当Δi=0时：取像素(x i+1,y i-1) 即m D
下面我们根据上述结论，导出简单增量法的递推关系。
首先考虑水平移动到m H，即像素(x i+1,y i),称此像素为第i+1个像素。
该像素的坐标及Δi的值为
x i+1=x i+1
y i+1=y i
Δi+1=(x i+1+1)2+(y i+1-1)2-R2
=(x i+1)2+2x i+1+1+(y i-1)2-R2
=(x i+1)2+(y i-1)2-R2+2x i+1+1
=Δi+2x i+1+1
类似地，对角移动到m D（x i+1,y i-1）时，新像素的坐标和Δi的值为
x i+1=x i+1
y i+1=y i-1
Δi+1=Δi+2x i+1-2y i+1+2
对于移动到m V（x i,y i-1）时，新像素的坐标和Δi的值为
x i+1=x i
y i+1=y i-1
Δi+1=Δi-2y i+1+1。