2016年中山大学数学分析考研真题答案
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中山大学 2016 年数学分析考研试题参考解答
一、解答下面各小题（本题共 56 分，每小题 8 分）
1.求极限
lim
x→0
1 x
−
1 sin(
x)
1 sin(
x)
.
【解答】
原极限 = lim sin x − x 1 x→0 x sin(x) sin(x)
=
lim
x→0
sin
x− x3
x
(sin x ~ x, x → 0)
在收敛区间内，
∑ ∑ ∞ n2 −1xn = ∞ (n2 −1)tn (t = x )
2n
=n 0=n 0
2
∞
∞
∞
∞
∑ ∑ ∑ ∑ = [n(n −1) + n −= 1]tn t2 (tn ) ''+ t (tn ) '− tn
=n 0
=n 2 =n 1=n 0
∞
∞
∞
∑ ∑ ∑ = t2 ( tn ) ''+ t( tn ) '− tn
4.求曲线=y ln(1− x2 ) ， 0 ≤ x ≤ 1 ，的弧长. 2
【解答】
1
∫ 所= 求 2 1+ y '(x)2 dx 0
∫ ∫ =
1 2
1
+
x2
dx=
0 1− x2
1
2 (−1−
1
+
1
)d=x
ln 3 − 1 .
0
x −1 x +1
2
22
∫ ∫ 5.计算 dx e− y2 dy . 0x
∫∫∫ = F(t) 3
f ( x2 + y2 + z2 )dxdydz, t ∈ (0,1]
4π t3 x2 + y2 +z2 ≤t2
求 F (t) 在 (0,1]中的最小值.
【解答】
作极坐标变换，有
∫ ∫ = F(t)
4= π3t3 0t f (r)4π r2dr
3 t3
t f (r)r2dr
0
由
∫ f (t)t5 − 3t2 t f (r)r2dr
F '(t) = 3
0
t6
∫ =
3 t4
[
f
(t )t 3
−3
t 0
f
(r )r 2 dr ]
∫ =
3 t4
.3
t
[
0
f
(t) −
f
(r )]r 2 dr
≤0
知
∫ min F= (t) F= (1) 3 1 f (r)r2dr .
t∈(0,1]
=n 0 =n 0=n 0
= t2 ( 1 ) ''+ t( 1 ) '− 1= 3t −1 1− t 1− t 1− t (1− t)3
= 4(3x − 2) (2 − x)3
历年真题解答请联系，q_q.1.5.8.9.6.2.4.7.1.7
7.设 f (r) 是定义在 [0,1] 上的单调递减连续函数，定义
【解答】
∫ ∫ ∫ 原积分=
2
dy
y e− y2 dx=
0
0
2 ye− y2 dy=
0
1 2
−
1 2e4
.
∑ 6.求幂级数
∞ n=0
n2 − 2n
1x
n
的收敛区间与和函数.
【解答】
an
def
=
n2 −1 2n
⇒
an+1 an
=
(n
+ 1)2 2n+1
−1.
2n n2 −1
→
1 2
⇒ R =2 ⇒ 收敛区间为 (−2, 2) .
0
∑ 二、(10
分)证明:(i)级数
∞ n=1
(−1)n x2 (1+ x2 )n
在 [−1,1]上一致收敛.
∑ (ii)级数
∞ n=1
x2 (1+ x2 )n
在 [−1,1]上不一致收敛.
【证明】 (i)写出
(−1)n x2 (1+ x2 )n
=
(−1)n n
nx2 . (1+ x2 )n
∑ 由 ∞ (−1)n 收敛(而关于 x 一致收敛)
=
lim
x→0
cos x − 3x2
1
=
lim − sin x x→0 6x
=
−1 6
1
2.求极限 lim(n!)n2 . n→∞
【解答】
解法一：
1
1
由于1 ≤ (n!)n2 ≤ (nn )n2 =n n → 1 ，所以原极限为 1.
解法二：
∑ 原极限 =
exp
lim
n→∞
1 n2
n
k=1 ln k
0
2
【证明】 由 Taylor 展开式
f (x=) f (1) + f '(1)(x − 1) + f ''(xx ) (x − 1)2
2
22 2
2
≤ f (1) + f '(1)(x − 1)
2
22
从而有
∫ ∫ 1 f (x)dx ≤
1 f (1) + f '(1)(x − 1)dx = f (1)
0
02
22
2
1
四、(10 分)函数 f (x) = x8 sin x 在 [0, +∞) 是否一致连续？试说明理由.
【解答】 不是。因为
f
(nπ
+
1 n1/8
)
−
f
(nπ )
=(nπ
+
1 n1/8
)1/8
sin
1 n1/8
≥
π
1/ 8 .
sin
1 n1/8
1
n1/8
≥ π 1/8 (n 1, lim sin t = 1)
n=1 n
d nx2 = − x2 [n ln(1+ x2 ) −1] dn (1+ x2 )n (1+ x2 )n
<0
(n >
1 ln(1 +
x2
)
,
x
≠
0),
由 nx2 ≤ (1+ x2 )n (Bernoulli不等式)及 Abel 判别法知原级数在 [−1,1]一致收敛.
历年真题解答请联系，q_q.1.5.8.9.6.2.4.7.1.7
=
exp
lni→m∞
n2
ln n − (n −1)2
(Stolz 公式)
=
exp
lim
n→∞
ln 2n
n −1
Fra Baidu bibliotek
=
exp
lim
x→∞
ln 2x
−x1=
exp lxi→m∞ 12x=
e=0
1
3.设 y = x2 cos 3x ，求 y(50) (x) .
【解答】
50
∑ y(50) (x) = C5k0 (x2 )(k ) (cos 3x)(50−k ) k =0
(ii)设
fn (x)
=
x2 (1+ x2 )n
，则对 e0=
1 > 0,∀n ≥ 1， 2e
∑ ∑ k= 2nn+1 fk ( 12= n )
2n 1
1
k= n+1 2n (1+ 1 )k
≥1 2(1+ 1
)2n
≥ ε0
2n
2n
因此原级数在 [−1,1]不一致收敛.
∫ 三、(10 分)设函数 f (x) 在 [0,1] 上二阶可导且 f ''(x) ≤ 0 .证明： 1 f (x)dx ≤ f (1) .
历年真题解答请联系，q_q.1.5.8.9.6.2.4.7.1.7
= x2 (cos 3x)(50) + C510 ⋅ 2x ⋅ (cos 3x)(49) + C520 ⋅ 2 ⋅ (cos 3x)(48) =−350 x2 cos 3x − 50 ⋅ 2x ⋅ 349 sin 3x + 50 ⋅ 49 ⋅ 348 cos 3x = 348[−9x2 cos 3x − 300x sin 3x + 2450 cos 3x]
一、解答下面各小题（本题共 56 分，每小题 8 分）
1.求极限
lim
x→0
1 x
−
1 sin(
x)
1 sin(
x)
.
【解答】
原极限 = lim sin x − x 1 x→0 x sin(x) sin(x)
=
lim
x→0
sin
x− x3
x
(sin x ~ x, x → 0)
在收敛区间内，
∑ ∑ ∞ n2 −1xn = ∞ (n2 −1)tn (t = x )
2n
=n 0=n 0
2
∞
∞
∞
∞
∑ ∑ ∑ ∑ = [n(n −1) + n −= 1]tn t2 (tn ) ''+ t (tn ) '− tn
=n 0
=n 2 =n 1=n 0
∞
∞
∞
∑ ∑ ∑ = t2 ( tn ) ''+ t( tn ) '− tn
4.求曲线=y ln(1− x2 ) ， 0 ≤ x ≤ 1 ，的弧长. 2
【解答】
1
∫ 所= 求 2 1+ y '(x)2 dx 0
∫ ∫ =
1 2
1
+
x2
dx=
0 1− x2
1
2 (−1−
1
+
1
)d=x
ln 3 − 1 .
0
x −1 x +1
2
22
∫ ∫ 5.计算 dx e− y2 dy . 0x
∫∫∫ = F(t) 3
f ( x2 + y2 + z2 )dxdydz, t ∈ (0,1]
4π t3 x2 + y2 +z2 ≤t2
求 F (t) 在 (0,1]中的最小值.
【解答】
作极坐标变换，有
∫ ∫ = F(t)
4= π3t3 0t f (r)4π r2dr
3 t3
t f (r)r2dr
0
由
∫ f (t)t5 − 3t2 t f (r)r2dr
F '(t) = 3
0
t6
∫ =
3 t4
[
f
(t )t 3
−3
t 0
f
(r )r 2 dr ]
∫ =
3 t4
.3
t
[
0
f
(t) −
f
(r )]r 2 dr
≤0
知
∫ min F= (t) F= (1) 3 1 f (r)r2dr .
t∈(0,1]
=n 0 =n 0=n 0
= t2 ( 1 ) ''+ t( 1 ) '− 1= 3t −1 1− t 1− t 1− t (1− t)3
= 4(3x − 2) (2 − x)3
历年真题解答请联系，q_q.1.5.8.9.6.2.4.7.1.7
7.设 f (r) 是定义在 [0,1] 上的单调递减连续函数，定义
【解答】
∫ ∫ ∫ 原积分=
2
dy
y e− y2 dx=
0
0
2 ye− y2 dy=
0
1 2
−
1 2e4
.
∑ 6.求幂级数
∞ n=0
n2 − 2n
1x
n
的收敛区间与和函数.
【解答】
an
def
=
n2 −1 2n
⇒
an+1 an
=
(n
+ 1)2 2n+1
−1.
2n n2 −1
→
1 2
⇒ R =2 ⇒ 收敛区间为 (−2, 2) .
0
∑ 二、(10
分)证明:(i)级数
∞ n=1
(−1)n x2 (1+ x2 )n
在 [−1,1]上一致收敛.
∑ (ii)级数
∞ n=1
x2 (1+ x2 )n
在 [−1,1]上不一致收敛.
【证明】 (i)写出
(−1)n x2 (1+ x2 )n
=
(−1)n n
nx2 . (1+ x2 )n
∑ 由 ∞ (−1)n 收敛(而关于 x 一致收敛)
=
lim
x→0
cos x − 3x2
1
=
lim − sin x x→0 6x
=
−1 6
1
2.求极限 lim(n!)n2 . n→∞
【解答】
解法一：
1
1
由于1 ≤ (n!)n2 ≤ (nn )n2 =n n → 1 ，所以原极限为 1.
解法二：
∑ 原极限 =
exp
lim
n→∞
1 n2
n
k=1 ln k
0
2
【证明】 由 Taylor 展开式
f (x=) f (1) + f '(1)(x − 1) + f ''(xx ) (x − 1)2
2
22 2
2
≤ f (1) + f '(1)(x − 1)
2
22
从而有
∫ ∫ 1 f (x)dx ≤
1 f (1) + f '(1)(x − 1)dx = f (1)
0
02
22
2
1
四、(10 分)函数 f (x) = x8 sin x 在 [0, +∞) 是否一致连续？试说明理由.
【解答】 不是。因为
f
(nπ
+
1 n1/8
)
−
f
(nπ )
=(nπ
+
1 n1/8
)1/8
sin
1 n1/8
≥
π
1/ 8 .
sin
1 n1/8
1
n1/8
≥ π 1/8 (n 1, lim sin t = 1)
n=1 n
d nx2 = − x2 [n ln(1+ x2 ) −1] dn (1+ x2 )n (1+ x2 )n
<0
(n >
1 ln(1 +
x2
)
,
x
≠
0),
由 nx2 ≤ (1+ x2 )n (Bernoulli不等式)及 Abel 判别法知原级数在 [−1,1]一致收敛.
历年真题解答请联系，q_q.1.5.8.9.6.2.4.7.1.7
=
exp
lni→m∞
n2
ln n − (n −1)2
(Stolz 公式)
=
exp
lim
n→∞
ln 2n
n −1
Fra Baidu bibliotek
=
exp
lim
x→∞
ln 2x
−x1=
exp lxi→m∞ 12x=
e=0
1
3.设 y = x2 cos 3x ，求 y(50) (x) .
【解答】
50
∑ y(50) (x) = C5k0 (x2 )(k ) (cos 3x)(50−k ) k =0
(ii)设
fn (x)
=
x2 (1+ x2 )n
，则对 e0=
1 > 0,∀n ≥ 1， 2e
∑ ∑ k= 2nn+1 fk ( 12= n )
2n 1
1
k= n+1 2n (1+ 1 )k
≥1 2(1+ 1
)2n
≥ ε0
2n
2n
因此原级数在 [−1,1]不一致收敛.
∫ 三、(10 分)设函数 f (x) 在 [0,1] 上二阶可导且 f ''(x) ≤ 0 .证明： 1 f (x)dx ≤ f (1) .
历年真题解答请联系，q_q.1.5.8.9.6.2.4.7.1.7
= x2 (cos 3x)(50) + C510 ⋅ 2x ⋅ (cos 3x)(49) + C520 ⋅ 2 ⋅ (cos 3x)(48) =−350 x2 cos 3x − 50 ⋅ 2x ⋅ 349 sin 3x + 50 ⋅ 49 ⋅ 348 cos 3x = 348[−9x2 cos 3x − 300x sin 3x + 2450 cos 3x]