离散时间信号与离散时间系统

§7-1 概述

一、 离散时间信号与离散时间系统

离散时间信号：只在某些离散的时间点上有值的

信号。

离散时间系统：处理离散时间信号的系统。

混合时间系统：既处理离散时间信号，又处理连

续时间信号的系统。

二、 连续信号与离散信号

连续信号可以转换成离散信号，从而可以用离散时间系统（或数

字信号处理系统）进行处理：

三、 离散信号的表示方法：

1、 时间函数：f(k)<——f(kT)，其中k 为序号，相当于时间。

例如：)1.0sin()(k k f =

2、 （有序）数列：将离散信号的数值按顺序排列起来。例如：

f(k)={1,0.5,0.25,0.125,……,}

时间函数可以表达任意长（可能是无限长）的离散信号，可以

表达单边或双边信号，但是在很多情况下难于得到；数列的方法表

示比较简单，直观，但是只能表示有始、有限长度的信号。

四、 典型的离散时间信号

1、 单位样值函数：⎩⎨⎧==其它00

1)(k k δ

下图表示了)(n k -δ的波形。

连续信号

离散信号 数字信号 取样

量化

这个函数与连续时间信号中的冲激函数

)(t δ相似，也有着

与其相似的性质。例如：

)()0()()(k f k k f δδ=， )()()()(000k k k f k k k f -=-δδ。

2、 单位阶跃函数：⎩⎨⎧≥=其它00

1)(k k ε

这个函数与连续时间信号中的阶跃函数)

(t ε相似。用它可以

产生（或表示）单边信号（这里称为单边序列）。

3、 单边指数序列：)(k a k ε

比较：单边连续指数信号：

)(

)()(t e t e t a at εε=，其底一定大于零，不会出现负数。

4、 单边正弦序列：)()cos(0k k A εφω+

(a) 0.9a = (d) 0.9a =-

(b) 1a = (e) 1a =-

(c) 1.1a = (f) 1.1a =-

双边正弦序列：)cos(0φω+k A

五、 离散信号的运算

1、 加法：)()()(21k f k f k f +=<—相同的k 对应的数相加。

2、 乘法：)()()(21k f k f k f ⋅=

3、 标量乘法：)()(1k f a k f ⋅=

4、 移序：)()(1n k f k f -=

当n>0时，信号向右移（后移）——>称为减序；

当n<0时，信号向左移（前移）——>称为增序。

离散信号的移序计算相当于连续时间信号的时间平移计算。

六、 线性移不变离散时间系统

1、 线性离散时间系统

系统的激励和响应之间满足齐次性和叠加性关系的离散时间系

统。

)()()()(22112211k r a k r a k e a k e a +⇔+ 2、 移不变离散时间系统

系统的激励和响应之间满足移不变关系的离散时间系统。

)()(n k r n k e -⇔- 3、 线性移不变离散时间系统

同时满足线性和移不变性的系统。

七、 离散时间系统的描述方法：见§7-3。

§7-2 抽样信号与抽样定理

离散信号可以通过对连续信号抽样得到；连续信号可以通过抽样

转化为离散信号，从而可以用离散时间系统进行处理。但是，这牵涉到

两个问题：

1） 怎样进行抽样？

2） 如何抽样才能不损失原来信号中的信息？

一、 抽样器及其数学模型

抽样是通过一定的装置（等间隔地）抽取原来连续信号中的很小

的一段。其等效电路

它也可以用一个开关信号相乘的数学模型来表示，

其中的开关函数为：

∑+∞

-∞=-=

k kT t G t s )()(τ

当0→τ时，开关函数近似为：

∑+∞-∞=→→→⋅=-=k T t kT t t s )

(lim )(lim )(lim 000δτδττττ 可见，开关函数近似成为一个幅度为无穷小的周期性冲激序列。

这个“无穷小”会给我们分析带来不便，所以一般直接用幅度为1的周

期性冲激序列代替它，即： ∑+∞-∞==-=

k T t kT t t s )

()()(δδ 这样，抽样以后的信号为： ∑∑∑∞+-∞=∞

+-∞=+∞

-∞=-=-=

-=⋅=k k k s kT t kT f kT t t f kT t t f t s t f t f )()()()()()

()()()(δδδ 显然，抽样以后的信号只与原来的信号在某些离散的时间点上的值

有关。 二、 抽样定理

显然，利用原来的信号在某些离散的时间点上的值构成的信号，

是否会损失信息？或者，在何条件下，可以用抽样后的信号，不失真地

还原出原来的信号？

1、 抽样信号的频谱：

∑+∞-∞=-=k s kT t t f t f )()

()(δ

∑∑∑∞

+-∞

=∞

+-∞=+∞-∞=-=-=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-=k s k s s

k s s s k j F T k j F k j F j F )(*)(1)(*)(2)(*)(21)(ωωδωωωδωπωωωδωωπω 其中T s π

ω2=，称为抽样（角）频率；T 称为抽样（取样）周期。 可见，抽样后信号的谱是抽样以前的谱按抽样（角）频率周期化

的结果。如果原来信号最大频率分量为的谱m ω

，抽样频率m s ωω2>，

则周期化后的各个频谱不会相互重叠。将抽样信号通过一个截止频率为

2/s ω、增益为T 的ILPF ，可以不失真地还原原来的信号。此低通滤波

器的冲激响应: ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=222)(t Sa t Sa T

t h c c s ωωπω

则 ∑

+∞

-∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=

n s nT t Sa nT f t f 2)()()(ω

这个定理称为Nyquist 抽样定理，或Shannon 抽样定理。它说明

模拟信号可以有条件地由其无数个离散点上的数值恢复出，也就是说在

m s ωω2>时，用信号的一些离散的时间点上的数值来代替这个信号可以

不损失任何信息。