离散时间信号与离散时间系统

§7-1 概述一、 离散时间信号与离散时间系统离散时间信号：只在某些离散的时间点上有值的信号。

离散时间系统：处理离散时间信号的系统。

混合时间系统：既处理离散时间信号，又处理连续时间信号的系统。

二、 连续信号与离散信号连续信号可以转换成离散信号，从而可以用离散时间系统（或数字信号处理系统）进行处理：三、 离散信号的表示方法：1、 时间函数：f(k)<——f(kT)，其中k 为序号，相当于时间。

例如：)1.0sin()(k k f =2、 （有序）数列：将离散信号的数值按顺序排列起来。

例如：f(k)={1,0.5,0.25,0.125,……,}时间函数可以表达任意长（可能是无限长）的离散信号，可以表达单边或双边信号，但是在很多情况下难于得到；数列的方法表示比较简单，直观，但是只能表示有始、有限长度的信号。

四、 典型的离散时间信号1、 单位样值函数：⎩⎨⎧==其它001)(k k δ下图表示了)(n k -δ的波形。

连续信号离散信号 数字信号 取样量化这个函数与连续时间信号中的冲激函数)(t δ相似，也有着与其相似的性质。

例如：)()0()()(k f k k f δδ=， )()()()(000k k k f k k k f -=-δδ。

2、 单位阶跃函数：⎩⎨⎧≥=其它001)(k k ε这个函数与连续时间信号中的阶跃函数)(t ε相似。

用它可以产生（或表示）单边信号（这里称为单边序列）。

3、 单边指数序列：)(k a k ε比较：单边连续指数信号：)()()(t e t e t a at εε=，其底一定大于零，不会出现负数。

4、 单边正弦序列：)()cos(0k k A εφω+(a) 0.9a = (d) 0.9a =-(b) 1a = (e) 1a =-(c) 1.1a = (f) 1.1a =-双边正弦序列：)cos(0φω+k A五、 离散信号的运算1、 加法：)()()(21k f k f k f +=<—相同的k 对应的数相加。

2、 乘法：)()()(21k f k f k f ⋅=3、 标量乘法：)()(1k f a k f ⋅=4、 移序：)()(1n k f k f -=当n>0时，信号向右移（后移）——>称为减序；当n<0时，信号向左移（前移）——>称为增序。

离散信号的移序计算相当于连续时间信号的时间平移计算。

六、 线性移不变离散时间系统1、 线性离散时间系统系统的激励和响应之间满足齐次性和叠加性关系的离散时间系统。

)()()()(22112211k r a k r a k e a k e a +⇔+ 2、 移不变离散时间系统系统的激励和响应之间满足移不变关系的离散时间系统。

)()(n k r n k e -⇔- 3、 线性移不变离散时间系统同时满足线性和移不变性的系统。

七、 离散时间系统的描述方法：见§7-3。

§7-2 抽样信号与抽样定理离散信号可以通过对连续信号抽样得到；连续信号可以通过抽样转化为离散信号，从而可以用离散时间系统进行处理。

但是，这牵涉到两个问题：1） 怎样进行抽样？2） 如何抽样才能不损失原来信号中的信息？一、 抽样器及其数学模型抽样是通过一定的装置（等间隔地）抽取原来连续信号中的很小的一段。

其等效电路它也可以用一个开关信号相乘的数学模型来表示，其中的开关函数为：∑+∞-∞=-=k kT t G t s )()(τ当0→τ时，开关函数近似为：∑+∞-∞=→→→⋅=-=k T t kT t t s )(lim )(lim )(lim 000δτδττττ 可见，开关函数近似成为一个幅度为无穷小的周期性冲激序列。

这个“无穷小”会给我们分析带来不便，所以一般直接用幅度为1的周期性冲激序列代替它，即： ∑+∞-∞==-=k T t kT t t s )()()(δδ 这样，抽样以后的信号为： ∑∑∑∞+-∞=∞+-∞=+∞-∞=-=-=-=⋅=k k k s kT t kT f kT t t f kT t t f t s t f t f )()()()()()()()()(δδδ 显然，抽样以后的信号只与原来的信号在某些离散的时间点上的值有关。

二、 抽样定理显然，利用原来的信号在某些离散的时间点上的值构成的信号，是否会损失信息？或者，在何条件下，可以用抽样后的信号，不失真地还原出原来的信号？1、 抽样信号的频谱：∑+∞-∞=-=k s kT t t f t f )()()(δ∑∑∑∞+-∞=∞+-∞=+∞-∞=-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=k s k s sk s s s k j F T k j F k j F j F )(*)(1)(*)(2)(*)(21)(ωωδωωωδωπωωωδωωπω 其中T s πω2=，称为抽样（角）频率；T 称为抽样（取样）周期。

可见，抽样后信号的谱是抽样以前的谱按抽样（角）频率周期化的结果。

如果原来信号最大频率分量为的谱m ω，抽样频率m s ωω2>，则周期化后的各个频谱不会相互重叠。

将抽样信号通过一个截止频率为2/s ω、增益为T 的ILPF ，可以不失真地还原原来的信号。

此低通滤波器的冲激响应: ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=222)(t Sa t Sa Tt h c c s ωωπω则 ∑+∞-∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=n s nT t Sa nT f t f 2)()()(ω这个定理称为Nyquist 抽样定理，或Shannon 抽样定理。

它说明模拟信号可以有条件地由其无数个离散点上的数值恢复出，也就是说在m s ωω2>时，用信号的一些离散的时间点上的数值来代替这个信号可以不损失任何信息。

能够完全不失真地还原信号所需要的最小的抽样频率ms ωω2=称为Nyquist 抽样频率，或Shannon 抽样频率。

f(kT),然后再构成抽样信号。

工程上的采样就是指测量到kT 时刻f(t)的值。

● 在构成抽样信号时，不可能产生冲激信号，这时候可以用任意的周期性脉冲信号代替，其结果不变。

● 恢复信号时，ILPF 是不可能实现的，只能用其它的LPF ，所以抽m ω● 如果原来的信号是一个带限信号，则Nyquist 抽样定理还可以做适（a ） 原信号()f t (b) 原信号的频谱()F j ω（c ）单位冲激序列()T t δ （d ）单位冲激序列的频谱()s s ωωδω（2s T πω=）(e)1()()()()s T f t f t f t t δδτ== (f) ()f t δ的频谱抽样信号经过非理想低通滤波器当修改。

● 抽样也是一个线性处理过程，它满足齐次性和叠加性。

这是我们通过它达到用离散时间系统处理连续信号的基础。

● 通过抽样可以将连续信号转化为离散数字信号，从而可以用数字信号处理系统进行处理，达到模拟信号处理无法达到的效果。

§7-3 离散时间系统的描述离散时间系统的描述方法有三种：1） 数学模型——>差分方程2） 物理模型——>框图3） 系统函数——>Z.T.，在第八章中介绍。

一、 数学模型离散时间系统处理的信号是离散信号，信号只在某些不连续的时间点上存在，不存在微分，也就不可能用微分方程描述，只能用差分方程描述离散信号相邻的几个时间点之间的关系。

例7－3－1例7－3-1 著名的斐波纳奇（Fibonacci ）数列问题。

假设每对大兔子每个月生一对小兔子，而每对小兔子一个月后长成大兔子，而且不会发生死亡。

在最初一个月内有一对大兔子，问第n 个月时一共有几对兔子。

这里，每一个月中兔子的对数就构成了一个离散的时间信号。

列出描述该问题的差分方程。

解：这里，我们用)(k y 表示第k 个月兔子的对数。

显然，第k 个月兔子无论大小，在第1+k 个月都会是大兔子，从而在第2+k 个月中生出)(k y 个小兔子；同时，因为假设兔子不会死亡，第1+k 月的)1(+k y 对兔子在第2+k 月中依然存在，使第2+k 月中大兔子的个数为)1(+k y 。

而第2+k 月中兔子的总个数)1(+k y 等于大兔子对数)1(+k y 与小兔子对数)(k y 之和，由此可以得到方程：)()1()2(k y k y k y ++=+ 这就是斐波纳奇（Fibonacci ）数列问题的差分方程。

与微分方程一样，对于差分方程，我们一般将其中的未知的函数或序列放在方程等式的左边，而将激励函数或数列等放在等式的右边。

所以，可以将上式表示成：0)()1()2(=-+-+k y k y k y ● 差分方程与微分方程一样，也必须有初始条件。

如果已知y(0),则可以得到差分方程的解：)0()1()1(y a y +=,)1()1()1()1()2(2y a y a y +=+=,)0()1()2()1()3(3y a y a y +=+=,)0()1()(y a k y k +=● 差分方程也可以加激励：假设k 年从外地引入x(k)个人，则：)()()1()1(k x k y a k y ++=+。

例7－3－2 e(t)例7－3－2 一个空运控制系统，它用一台计算机每隔一秒钟计算一次某一飞机应有的高度)(k x ，另外用一雷达于以上计算同时对此飞机实测一次高度)(k y ，把应有高度)(k x 与一秒钟前的实测高度)1(-k y 相比较得一差值，飞机的高度将根据此差值为正或为负来改变。

设飞机改变高度的垂直速度正比于此差值，即)]1()([--=k y k x K v 米／秒。

求该问题的差分方程。

解：从第k-1秒到第k 秒这1秒钟内飞机升高为)1()()]1()([--=--k y k y k y k x K 经整理即得)()1()1()(k Kx k y K k y =--+这就是表示控制信号)(k x 与响应信号)(k y 之间关系的差分方程，它描写了这个离散时间（每隔1秒钟计算和实测一次）的空运控制系统的工作。

差分方程的一般形式：)()1(...)1()()()1(...)1()(011011k e b k e b m k e b m k e b k r a k r a n k r a n k r m m n ++++-+++=++++-+++--● 差分方程在形式上与微分方程相似，只不过微分计算变成了移序计算；● 差分方程也有阶，差分方程的阶定义为其中最大移序与最小移序之差；● 求解差分方程也必须有初始条件，初始条件的个数必须等于差分方程的阶数；● 与连续时间系统中的结论相似，线性移不变系统可以用一个常系数差分方程描述。

● 因为差分方程可以很方便地用计算机求其数值解，所以很多微分方程可以近似为差分方程求近似数值解。