海岸线究竟有多长

海岸线究竟有多长？

PB08207006 王婷一节微积分课上，宣老师简单的说了一句话，“海岸线的长度是无穷大的”。说者无心，听者有意，百度一下，终于明白了个中究竟。

海岸线长度依赖于测量单位，若以1km为单位测量海岸线，得到的近似长度将短于1km的曲折都忽略掉了，若以1m为单位测量，则能测出被忽略掉的曲折，长度将变大，测量单位进一步变小，测得的长度将愈来愈大，这些愈来愈大的长度将趋近于一个确定值，这个极限值就是海岸线的长度。

但仔细一想：当测量单位变小时，所得的长度是无限增大的。

海岸线的长度是不确定的，或者说，在一定意义上海岸线是无限长的。为什么？答案也许在于海岸线的极不规则和极不光滑。实际测量中，我们将海岸线折线化，得出一个有意义的长度，这就是我们通常所说的海岸线的长度了。

下面我们来看一下经典的科赫曲线（科赫雪花）：

科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，所以又称为雪花曲线，

它是分形曲线中的一种，具体画法如下：

1、任意画一个正三角形，并把每一边三等分；

2、取三等分后的一边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉；

3、重复上述两步，画出更小的三角形。

4、一直重复，直到无穷，所画出的曲线叫做科赫曲线。

科赫曲线有以下几个特点：

1、曲线任何处不可导，即任何地点都是不平滑的

2、总长度趋向无穷大

3、曲线上任意两点距离无穷大

4、面积是有限的雪花曲线的面积是原来生成它的三角形的面积的8/5；

面积计算方法如下

Ⅰ．假定等边△ABC的面积是k。

Ⅱ．分△ABC为九个全等等边三角形，各具有面积a，如图所示。因此k=9a。

现在确定雪花曲线六个初始尖角中每一个面积的极限。我们知道大尖角的面积是a，因为它是九个三角形之一向外翻转而形成的。在由它生成的下一批尖角中，每一尖角具有面积a/9，因为和原来的三角形一样，它也被分为九个全等三角形后再把其中一个向外翻转而形成下一批的一个尖角。事实上，每一个相继的尖角都被分为九个全等三角形，同时在两边生出两个三角形。

Ⅲ．把这个尖角本身及其不断生成的各个尖角的面积相加如下

现在，把六个尖角中每一个所造成的面积相加，再加上原来的生成三角形内部的六边形，我们得到

Ⅴ．上式变成

方括弧内第二项开始的级数是几何级数，它的公比是4/9，首项是2/9，所以我们能计算它的极限：（2/9）／（1-（4/9））=2/5。

Ⅳ．代入级数的极限值2/5，我们得到

（1+2/5）6a+ 6a= 72a/5。

现在我们需要把雪花曲线的面积用原来的生成三角形面积k来表示。因为k=

9a，我们得a= k/9。把这a值代入72a/5，我们得（72/5）（k/9）=（8/5）k。

周长计算方法如下：设初始三角形的边长为L，则

a1=3L;

a2=3L*3/4;

…

3)1n

An=3L*(

4

显然，a n是无上界的。而海岸线也可以类似的看做一个科赫曲线，当量度越来越小时，我们也可以把它当做是无限大的。

这就是数学家所说的分形，在数学上说，分形是一种形式，它从一个对象——例如线段、点、三角形——开始，重复应用一个规则连

续不断地改变直至无穷。这个规则可以用一个数学公式或者用文字来描述用以研究人口分布的皮亚诺曲线，造成电影场景的分形曲线，描述天文学、气象学、经济学、生态学等的分形，具有广泛的作用。

原来，看似简单的生活中，也有如此复杂的数学。应该可以说，数学是无处不在的吧。通过这一学期数学的学习，我不仅仅是在数学解题方面有了进一步的提高，更重要的是对数学有了进一步的认识和理解：高等数学并不是高不可攀的，它存在于我们生活的方方面面，有了它，我们可以解决各种各样的实际问题。如：不规则图形的面积，化学反应速率中的各种问题，物理运动方面的问题，甚至于雪人融化的问题……

终于明白，为什么人们总说，数学是一切学科的基础，确切的说，任何一门学科的研究都离不开数学，我们的生活也时时刻刻离不开数学。曾经很喜欢数学，在数学学习中得到了很多的快乐，但高中的题海战术让很多人在数学面前怯步。现在，正在重新学习享受数学，感受数学的美丽。