“数形结合”巧解数学问题
“数形结合”巧计算
“数形结合”巧计算数形结合使“代数问题几何化，几何问题代数化”。
比如列方程解应用题时常画线段图、有理数用数轴上的点来表示等等，都是数形结合的典型例子。
对于一些较难的数学问题，采用由形思数、由数想形，结合具体问题，灵活进行数形转化，往往可使复杂问题简单化、抽象问题具体化。
下面就以举例谈谈“数形结合”解问题。
例如，求1＋2＋3＋4＋…＋n的值，其中n是正整数．分析：对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法（首尾两头加），问题虽然可以解决，但在求和过程中，需对正整数n是奇数，还是偶数进行讨论．如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观．现利用图形的性质来求1＋2＋3＋4＋…＋n的值，方案如下．方案一：如图1，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，3，…，n 个小圆圈排列组成的．而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1＋2＋3＋4＋…＋n 的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有n行，每行有（n＋1）个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为n（n＋1）个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为21）（+nn，即1＋2＋3＋4＋…＋n＝21）（+nn．图1方案二：设计图形如图2所示．图2因为组成此正方形的小圆圈共有n行，每行有n个，所以共有（n×n）个，即n2个．∴1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝n×n＝n2．（1）仿照上述数形结合的思想方法，设计相关图形，求1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）的值，其中n 是正整数．（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）（2）试设计另外一种图形，求1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）的值，其中n是正整数．（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）【分析】这是一道通过材料阅读，从中得出“解题方法型”的试题；试题中渗透了运用“数形结合”的思想。
利用“数形结合”有效解决生活化数学问题
利用“数形结合”有效解决生活化数学问题生活中，我们经常会遇到各种各样的数学问题，比如计算商品折扣后的价格、计算周围的围墙需要多少面砖、计算地板需要多少平方米的地板瓷砖等等。
这些看似简单的数学问题实际上涉及到了数学与几何的结合，也就是所谓的“数形结合”。
利用“数形结合”有效解决生活化数学问题已经成为了一种趋势，本文将为大家详细介绍这一方法。
我们需要了解什么是“数形结合”。
简单来说，“数形结合”是指将数学与几何相结合，通过数学方法解决几何问题，或者通过几何方法解决数学问题。
这种方法可以帮助我们更直观地理解数学问题，同时也可以提高我们的计算准确性和解题效率。
举个例子来说明“数形结合”的应用。
假设有一块长方形地板需要铺设地板砖，我们需要计算需要多少平方米的地板砖。
我们可以先通过数学方法计算出这块长方形地板的面积，然后通过几何方法计算出每块地板砖的面积，最后用地板砖的面积除以长方形地板的面积，就可以得出需要多少块地板砖了。
在实际生活中，我们经常会遇到各种需要用到“数形结合”方法的问题。
比如在购物时，商家会对商品进行打折促销。
我们希望知道折扣后的价格是多少，这时候我们就需要将商家提供的打折折扣转化为数学问题，计算出实际需要支付的价格。
又比如在装修时，我们需要计算需要购买多少平方米的地板砖或者墙砖，这时候也需要运用“数形结合”方法来解决问题。
在解决这些生活化数学问题时，我们可以采用多种方法。
一种常见的方法是代数法与几何法相结合，即先通过代数方法计算出所需的数量，然后通过几何方法来理解和验证结果。
另一种常见的方法是利用图像辅助计算，即通过绘制图像来直观地理解问题，进而得出解决问题的方法。
除了以上提到的方法，还有一些其他可以应用的方法。
我们可以利用图形的相似性质来解决一些几何问题，利用比例和三角函数等数学知识来解决一些复杂的几何问题。
我们还可以通过分析图形的特点，利用数学方法解决问题。
运用数形结合法巧解高考三角函数问题
（ｘ 詈 丌 ｋ ｝ ｃｌ 十 ∈ ） ｛ ｋ 詈，ｚ
（ ｛Ｉ １＋ ＜ｘ ｋＴ Ｄ） ２ Ｔ Ｊ Ｘｋ ＜２１
解 ．ｘ ＝ ｆ ） （
解 ： ｍ＝ｉｘｎ ｃｓ ， ‘ｎ＝ ． 令 ｓ ．： ｏｘ 则ｍ ＋ 一１ ｎ
由 直线 ２ Ｉ ｙ ０ ｍ— — ＝ 与圆ｍ ＋ 一 １ 公 共 点 ， ： Ｉ ｎ＝ 有 则
２ 一 … ７ 、 ．
Ｄ
４ ３
Ｉ １
２４
图１
Hale Waihona Puke 已知函数ｆｘ ： ／３ｓ ｘ ＣＳ ， ∈Ｒ， （） （） 、 ｉ — ＯＸ ｘ ｎ 若ｆｘ
≥ １则 ｘ ， 的取 值 范 围为 （ ） ．
（ ｛ｌｌ＋ ≤ ｘ ｋ ｌ ， Ａ）ｘｋｖ ≤ ￣＋ ｖｋＥＺ ｌ
（ ） ｌ ｒ ［ ｘ ｋ ＋ ｋ∈ ） Ｂ ｛２ ｒ ｒ ｘ ｋ ＋ ｒ≤ ≤２ 订 订， ｚ
２
２ ＇ 图像 可 知 ）由
］ ｎ≥ 的 解 是 ｔ
２
６
．
ｔ ｆ一７ ） ｆ０ 得一 三 × — — ： ｌ 解 得 ａ２Ｘｆ ． ｈ （ 一 ：（ ） １ ＂ 二 — — ＋１ 一 一 ａ — ：＂ ／
， ，
３
２
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２
所 以在 Ｒ 的ｓ ｔ 的解 是 上 ｉ￣ ｎ＞
．
Ｊ 的 最 大 值 和 最 小值 ． －
解 ：（ ） ａ ｏｘ ｉｘ ｃ ｓｘ ｓ —＝￣ ｓｎ ｘ ｃ ｓ ｘ ｆｘ ＝ ｃ ｓ ｓ — ｏ‘＋ ｉ ｘ ａ ｉ２ — ｏ ２ ｎ ｎ
２
在 同 一 坐 标 系 内作 出 函 数 ｙ ｓ ｘ与ｙ 的 图 像 （ （ ＝ｉ － ： ｎ 女 １
巧用数形结合思想求函数最值
巧用数形结合思想求函数最值
1.利用函数图像：函数的图像能够直观地表示出函数的性质和变化规律。
通过观察函数图像的形状和趋势，可以得到函数的最值。
例如，对于一个连续递增函数，其最小值一定在定义域的最左边，最大值一定在定义域的最右边。
对于一个连续递减函数，则相反。
因此，可以通过观察函数图像的趋势来确定函数的最值。
2.利用导数和极值：当函数存在导数时，可以通过导数和极值的关系来求函数的最值。
根据导数的定义，函数的极值点对应着导数为0的点。
因此，求函数的最值可以转化为求函数导数的零点。
利用微积分的知识，可以求得函数的导数，然后找出导数为0的点，通过比较这些点的函数值来确定函数的最值。
3.利用平均值不等式：平均值不等式是数学中的一个重要定理，它可以用来求函数的最值。
平均值不等式的基本内容是：对于一组非负数的平均值，其最大值等于这组数中的最大值，最小值等于这组数中的最小值。
利用这个定理，可以将函数的求最值问题转化为一组非负数的最值问题，进而求得函数的最值。
除了以上几种常见的数形结合思想，还有其他一些方法，如利用等式和不等式的性质，利用对称性等。
这些方法在不同的问题中都有所应用。
最后，需要注意的是，求函数的最值并不总是一件容易的事情，它涉及到数学的各个方面，需要灵活运用各种方法。
在解决问题的过程中，除了观察图形和利用数学定理外，还需要深入理解问题的背景和条件，灵活运用数学知识，才能得出准确的结果。
因此，在求函数最值时，需要注意综合运用各种数学思想和方法，以取得较好的效果。
用“数形结合”解决数学问题
浅议用“数形结合”解决数学问题数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学，著名数学家华罗庚说：“数缺形时少直觉、形少数时难入微”。
“数”与“形”是数学中两个最根本的概念，任何一个几何都蕴含着一定的数量关系，而数量关系又常以几何图形做出直观反映和描述，“数”与“形”的相互转化，不仅使解题简洁明快，还能够开拓解题思路。
数形结合不仅作为一种解题方法。
还是一种重要的数学思想。
下面谈谈如何运用“数形结合”这种重要的数学思想方法来解决一些有关二次函数的问题。
一、由数到形a：由给定的“数”（即二次函数的系数）直接判断大致图形。
若a0,c>0那么二次函数y=ax2+bx+c图像为解：a开口向下、排除ac>0=>图承交y轴正半轴，排除da0=>-b2a>0=>顶点在右，故排出b选cb：由给定的“数”，画出大致图形，然后利用图形的直观探求解题思路。
例2：设a和b为抛物线y=3x2-2x+k与x轴的两个相异交点，m 为抛物线的顶点，当△mab为等腰直角三角形时，求k值。
分析：依题意画出抛物线得让草图、如下图，从图形的直观可知，所求的k值应符合两个条件，即抛物线与x轴有两个相异交点，由此可知，△>0，又△amb为等腰直角△。
由此可知mn= ab，再结合抛物线的特性，将mn、ab用含有k的代数式表示，形成关于k的方程，求出k值。
解：∵抛物线与轴有两个相异交点设为a（ⅺ,o），b(x2，o)∴△=（-2）2-4（-3）k＞0非得k＞-13在△amb中am=bm 过m作mn⊥ab于n∵m为抛物线的顶点∴mn是rt△amb斜边上的中线和高∴mn=4(-3)k-(-2)24(-3)=k+13∴ab=（x1-x2）=（x1+x2）2-4x1x2=(-23)-4(k3)=231-3k∵mn=12ab∴k+13=131+3k解得k1=0k2=- 13 （舍去）∴ k=o二、从形到数a：由“图形”可挖掘出隐含告诉我们的“数”例3则a-0b-0 c-0 △-0分析：判断这些数量关系需从观察分析抛物线的开口方向、形状、位置等因素入手图像高y轴于负半轴=＞cb0的数量关系，判定y2经过b、c、d三点，还要利用抛物线的对称性确定y1的对称轴为x=o y2的对称经过c点，推出d点的坐标，这里充分运用数形结合的思想，最后还要运用方程思想，利用图像上的点坐标应满足函数非析式，构造关于a、c的方程组：解：（ⅰ）∵a+1＞a a+1 a异号∴a+1＞o∴y2=（a+1）x2-2（b+2）x+c+3开口向上∴y2经过b、c、d三点（ii）∵|bo|=|ao|∴y1=的对称轴x=-2b2a=0∴b=0 b(1,0)c(3,y)又∵|bc|=|dc|∴y2的对称轴经过c点∴d(5,0)将b(1,0)代入y1得a+c=0①将d(5,0)代入y2得25a+c+8=0②解①、②得a=-13 c=13∵b=0∴y1=13-x2+ 13y2=23x2-4x-313三、由数至形，从形到数，数形结合。
数形结合巧解的有关数学问题
数形结合巧解的有关数学问题数形结合的思想方法是高中教学中最重要的思想方法之一，在每年的高考中必须要涉及的思想方法，它可使数量关系与几何图形巧妙地结合起来，“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，数形结合思想可以帮助我们迅速解决问题。
下面就几个问题巧用数形结合思想的方法来解决的问题供参考。
一、函数的零点问题在最近两年各地高考和模拟考试中，出现的频率很高，特别对于含参数函数的零点问题，转化为曲线图像问题，利用数形结合的方法来解决，显得简洁明了。
例1.（2010南京调研）设函数f（x）=x3-mx2+（m2-4）x，x ∈r，函数f（x）有三个互不相同的零点0，α，β，且α＜β，若对任意的x∈［α，β，］，都有f（x）≥f（1）恒成立，求实数的取值范围。
解：∵f（x）=x3-mx2+（m2-4）x，x∈r∴f′（x）=x2-2mx+（m2-4），令f′（x）=0，得 x=m-2或x=m+2且m-2＜m+2当x∈（-∞，m-2）时，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，m-2）上是增函数；当x∈（m-2，m+2）时，f′（x）0，f（x）在（m+2，+∞）上是增函数.所以x=m-2，f（x）取极大值，x=m+2，f（x）取极小值.所以根据f（x）的单调性,可以把f（x）图像的趋势画出，有三种情况：（1）当α＜β＜0时，f（x）图像的趋势为由图像可知：f（α）=f（β）=0，f（1）=f（0）=0所以有f （1）＞f（α）＞f（β），与已知条件，若对任意的x∈［α，β］，都有f（x）≥f（1）恒成立矛盾，此情况舍去;（2）当α＜0＜β和0＜α＜β这两种情况时，对于x∈［α，β］，由图像可知，f（x）的最小值为f（m+2），已知条件，若对任意的x∈［α，β］，都有f（x）≥f（1）恒成立必有α＜1＜β，所以要想使对任意的x∈［α，β］，都有f（x）≥f（1）恒成立，一定有f（m+2）=f（1），即m+2=1，所以m=-1.解后反思：本题借助图像很直观地把函数本质展现出来，通过图像函数的一些特点和性质也暴露无遗，避免讨论很多问题，数形结合是高中四大数学思想方法之一，在每年的高考中必出现的内容，对小题解决起来可能更来得简洁，所以以后在解决数的问题时，不妨用形来解决，可能会带来意想不到的效果。
数学小巧思解决复杂算式的巧妙技巧
数学小巧思解决复杂算式的巧妙技巧在学习数学的过程中，我们经常会遇到各种复杂的算式，由于步骤繁琐或运算量大，可能会让我们感到头疼。
但实际上，只需要掌握一些小巧思，就能够简化计算过程，提高效率。
本文将介绍一些解决复杂算式的巧妙技巧，帮助大家更轻松地面对数学难题。
一、使用数形结合法简化计算数形结合法是一种将数学问题通过图形化方式进行表示的方法。
通过将算式转化为几何图形，可以利用图形的性质来解决问题。
例如，我们遇到一个复杂的多项式相乘的算式，可以利用数形结合法进行简化。
假设有一个算式 (a + b)(c + d)，我们可以将它表示为一个矩形，其中a、b、c、d分别代表矩形的边长。
通过观察面积的变化，我们可以得到简化后的结果。
二、利用分配律简化计算分配律是数学中常用的一条基本运算法则，它可以帮助我们简化复杂的算式。
例如，当我们遇到一个算式 a(b + c)，我们可以利用分配律将其转化为 ab + ac。
通过这种方式，我们可以减少乘法的步骤，简化计算过程。
三、使用乘法简化法则简化乘法运算在进行乘法运算时，我们可以利用一些简化法则，快速计算出结果。
1. 乘以10的幂：当一个数乘以10的幂时，我们只需要将这个数的末尾添加对应数量的0即可。
例如，3 × 10^4 = 30000。
2. 乘法交换律：当我们遇到较大的乘法运算时，可以根据交换律的原则，优先计算两个数中较小的数。
例如，3 × 7 × 8 = 8 × 3 × 7。
3. 减法替代法：当我们需要计算一个较大数减去一个较小数时，可以将减法转化为加法。
例如，27 - 8 = 27 + (-8) = 19。
四、利用特殊性质简化计算在数学中，有一些特殊性质可以帮助我们简化计算。
1. 平方差公式：当我们遇到两个平方数相减时，可以利用平方差公式，将其转化为一个平方差的形式。
例如，16 - 9 = (4 + 3)(4 - 3) = 7。
小学数学论文：巧用“数形结合”解决问题
“学”海无涯“画”作舟——巧用“数形结合”解决问题【内容摘要】 “数形结合”是一种重要的数学思想，在高年级数学教学中更是一种重要的解题策略。
运用“数形结合”有助于把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”使复杂问题简单化，抽象问题具体化，几何问题明显化，从而起到优化解题途径的目的。
“数形结合”不但能提高学生的数学兴趣，又能有效地利用形象化的思维延深学生抽象化的数学思维。
【关键词】 数形结合 小学数学 形象思维 抽象思维 【正文】曾在网上看到老师们在讨论：运用下图来说明“方程和等式”的关系，是不是渗透“数形结合”的思想。
因为我同存疑惑，于是就想对这早已流行的词汇进行进一步的了解。
1、利用“集合图”理解概念之间的关系不是渗透“数形结合”的思想方法。
如上例等式与方程的关系。
数学概念是数学大厦的基石，数学概念之间有着千丝万缕的联系，“画图”是学习数学概念的一种重要方法，这里老师运用“集合图”来帮助学生区分、理解概念之间的关系，类似案例还有“长方形和正方形的关系”、“质数合数及1的集合图”等等。
2、“有余数除法”教学时也不是渗透“数形结合的思想。
例如教学17÷4＝4……1， 老师经常让学生用学具先动手操作分一分理解算理，再出示左下图借助“形”来理解算式中每个数字及运算符号的意义，建立“形”与“有余数除法”算式之间的联系，但这也不是真正意义上的“数形结合”。
3、（如右图）这一教学目的渗透的是“符号思想”，也不是“数形结合”的思想。
因为这里并不关注“图形”的几何特征，这里的“小正方形、小三角形、圆形”都只是表示未知量，渗透的是“符号思想”，可以理解为是X 的前身。
以上都不是数学意义上的“数形结合”。
“数的概念”缘于“数”，“数”源于“计数”。
在古代的各种各样的计数法中，都是以具体的“图形”来表示抽象的“数”，直到出现表示“数”的各种抽象符号，“数”才真正脱去了“形”的束缚，从而极大地拓展了人们对“数”的认识和应用。
小学数学教学中如何巧用“数形结合”解决问题
小学数学教学中如何巧用“数形结合”解决问题摘要：数和形是数学中最重要的课题，两者在特殊情况下能够互相转换。
所以，数和形进行融合可以展现出数学科目的真理与思路。
也就是说，数和形融合就是通过数的准确性来解释形的特性，还能够通过形的几何直观性进行数的联系的思维方式。
在新课程变革的环境中，小学数学课本修订期间更为重视数与形融合思维，这种方式提高了同学们的数学思维。
不过，如今实际开展小学数学授课期间，老师对于数与形融合的关注度较低，不能良好的将数与形融合授课纳入到日常授课过程中，很多同学们都能对数与形有很强的知识理解，不过无法良好的应用数形融合处理问题，因此老师在日常授课期间需要进行思索与引导。
在此基础上，本文探讨了如何将多种形式结合起来解决小学数学教学中的问题，以供参考。
关键词：小学数学教学；巧用“数形结合”；解决问题引言近几年，家长们逐渐开始关注小学时期学生在数学方面的学习以及老师的数学授课。
小学数学主要是提高学生的思维能力和学生数学的水平，小学数学的学习效果可以为后续数学学习创建良好的条件。
但小学生一般都比较年轻，学习大多数数学困难的任务，对数学的知识，尤其是逻辑和抽象的知识解释起来比较困难，学生一般更难理解。
在这种情况下，合并数字和形状至关重要。
因此在小学授课期间，开展数学授课过程中老师采用何种方式将数与形良好的融合，从而来改善数学学习是目前迫在眉睫的问题。
一、数形结合思想方法的基本概念数学是数量与空间之间真实关系的主体。
数字和非形式思维方式是一种数学思维模式，它将现实生活的定量关系与空间形态相结合，通过数字教程和图形教程解决了问题。
数字整合和形式化定理是数学过程中一种相对简单、基本的数学思维方式，其中抽象、逻辑内容转化为更加直观、直观的内容，提高学生对数学内容的认识和记忆。
此外，它的应用和运作水平更高。
通俗而言，数和形融合的思想方式是把抽象的数学知识和形象的图形，抽象思维和形象思维融合起来，从而良好的处理数学知识。
“数形结合”巧解小学数学思维题
9（a+b+c)＜70
a+b+c＜70÷9
a+b+c＜ 8
a+b+c大于6小于8，所以a+b+c=7
例4: 计算：
我们用一个大正方形 表示整数1，依次表示出 、 、 ……
从图中可以 ，所以：
=1-
=
例5：计算：6²+8²+14²+22²+36²+58²
6、8、14、22、35、58这个数列是斐波那契数列，6²可以看作是边长为6的正方形，依次类推。
不难看出：6²+8²+14²+22²+36²+58²
=（36+58）×58-（8-6）×6
=5452-12
=5440
例6：甲、乙两站相距610千米，两站之间有丙站。快车从甲站开往丙站，已经行驶了90千米，慢车从乙站开往丙站，已经行驶了它全部路程的 ，这时丙站正好处在快慢两车中间的位置上，求甲站到丙站的距离。
例2：(16+△)÷(20-△)=3
根据题意有（16+△）是（20-△）的3倍，把（20-△）看作一份，（16+△）有这样的3份。由此画出线段图：
20- △：
16+△:
一份（20-△）就是36÷（1+3）=9 △=20-9=11
例3：9a+10b+11c=70(五年级思维题）
（a,b,c是非0的自然数）
求a+b+c=
先画长9、宽a的长方形，再画长10、宽b的长方形，最后画长11、宽c的长方形。
把这个图形补成一条边长11、一条边长（a+b+c)的长方形。由图可知，这个长方形的面积一定小于70，即：
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数形结合思想在解题中的应用（包含30例子）一、知识整合1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。
所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。
数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。
2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
如等式()()x y -+-=214223．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。
这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。
二、例题分析例1.的取值范围。
之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322-=++ 分析：0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >，()()02bf f k a-=-<10(10)k k -<<∈-同时成立，解得，故，例2. 解不等式x x +>2 解：法一、常规解法：“数形结合”在解题中的应用原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>⎧⎨⎪⎩⎪<+≥⎧⎨⎩02020202 解，得；解，得()()I x II x 0220≤<-≤<综上可知，原不等式的解集为或{|}{|}x x x x x -≤<≤<=-≤<200222 法二、数形结合解法： 令，，则不等式的解，就是使的图象y x y x x x y x 121222=+=+>=+在的上方的那段对应的横坐标，y x 2=如下图，不等式的解集为{|}x x x x A B ≤<而可由，解得，，，x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。
运用数形结合思想巧解高中数学题例析
运用数形结合思想巧解高中数学题例析正文高中数学题目往往给学生带来了很大的困扰，尤其是在运用数形结合思想巧解题目时更是难上加难。
今天我们将通过几个例子来演示如何运用数形结合思想巧解高中数学题目。
例一：已知一个等边三角形的边长为a，求其高和面积。
解题思路：首先我们可以通过数学公式得出等边三角形的高和面积，公式如下：1. 等边三角形的高为：sqrt(3)/2*a2. 等边三角形的面积为：sqrt(3)/4*a^2接着我们可以通过数形结合思想来验证这两个公式。
我们可以画出等边三角形的图形，然后利用勾股定理来计算三角形的高和面积。
解题过程：首先我们画出一个等边三角形ABC，边长为a，然后我们假设高为h。
根据勾股定理，我们可以得到：a^2 = h^2 + (a/2)^2通过这个等式，我们可以求解出h的值，即：h = sqrt(3)/2 * a接着我们计算三角形的面积，根据公式S=1/2*底*高，我们可以得到三角形的面积为：S = sqrt(3)/4*a^2。
通过这种数形结合思想，我们不仅验证了等边三角形的高和面积的公式，而且更加深入地理解了这些公式的意义。
例二：已知梯形的上底长为a，下底长为b，高为h，求其面积。
解题思路：梯形的面积公式为：S=(a+b)*h/2我们可以通过数形结合思想，将梯形拆分成两个三角形和一个矩形，然后分别计算它们的面积来求解梯形的面积。
解题过程：首先我们将梯形拆分成上下两个三角形和一个矩形。
然后我们分别计算这两个三角形和一个矩形的面积，然后相加起来就是梯形的面积。
三角形1的底长为a，高为h，面积为：Sa=1/2*a*h三角形2的底长为b，高为h，面积为：Sb=1/2*b*h矩形的长为(a+b)，宽为h，面积为：Sc=(a+b)*h最后将这三个部分的面积相加起来就是梯形的面积，即：S=Sa+Sb+Sc=(a+b)*h/2通过这种数形结合思想，我们可以更加直观地理解梯形的面积公式，并且能够灵活地应用到解题过程中。
“数形结合”巧解数学题
“数形结合”巧解数学题作者：朱允著来源：《师道·教研》2012年第07期数形结合，顾名思义就是把数学问题中的数量关系与几何图形结合起来，使“数”和“形”各展其长，优势互补，相辅相成，使逻辑思维和形象思维完美地统一起来.正如我国著名数学家华罗庚先生所言：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞？数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”数是形的灵魂，形是数的翅膀，二是相互联系、相互补充、密不可分.每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之，数量关系又常常可以通过几何图形作出直观地反映和描述.一、以形助数，直观明朗许多代数问题，可根据题设中的数量关系的几何意义，联想构造出与之相关的几何图形（图示、图象、图表等），使原问题所蕴含的数量关系，通过图形直观、整体、鲜明地表示出来，从而使原问题获得巧妙的解答，这种创造性思维方式，不妨称之为“以形助数”.例1已如cosα+cosβ=1，求sinα+ sinβ的最值.解：构造圆心在原点的单位圆，如图1所示，在单位圆上取两点A(cosα，sinα)和B(cosβ，sinβ)，则AB连线的中点坐标M为（■,■），由cosα+cosβ=1可知M点坐标为（■,■），当M点在弦CD上移动时，可得-■≤■≤■，即－■≤sinα+sinβ≤■. ∴ sinα+sinβ的最小值是-■，最大值是■.本题仅凭代数方法难以求解.根据题目中cosα+cosβ=1和sinα+sinβ的特点，联想到圆心在原点的单位圆上的点的坐标（cosα, sinα）和（sinα, sinβ），构造出图1后，可直观清晰地体现出题中式子cosα+cosβ和sinα+sinβ与弦AB的中点坐标相关，从而巧妙地找到解题之路.正如美国数学家斯蒂思所说的：“如果一个代数问题可以被转化为一个图形，那么，思想就整体地把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法.”“以形助数”的解题方法，其作用有如“春雨断桥人不渡，小舟撑出柳荫来”.行人要过河，恰逢断桥受阻，可喜的是，柳荫深处悠悠撑出小舟一只，渡过行人.构造之图形好似撑出之小舟，它能及时渡过解题难关.用“以形助数”的方法解题既要明确目的，即需要构造什么图形，又要清楚题设条件的特点，以便依据特点设计构造途径和形式.明确目的、掌握特点是“以形助数”解题的关键.二、以数辅形，简便灵巧不少几何问题，可针对其图形的特点，寻找恰当表达问题的数量关系，将图像信息转换为代数信息，让几何问题代数化，巧妙利用代数的知识解决几何问题.这种解题方法，不妨称之为“以数辅形”.例2在正方形ABCD内取一点E，使∠EBC=∠ECB=15°，连结AE、DE，求证：△AED是正三角形.证明：建立如图2所示的平面直角坐标系，设正方形边长为2，则B（0,0），C（2,0），A（0,2），D（2,2），E点坐标为（1,tan15°），即E（1,2－■）.∴AE=■=2，DE=■=2，而AD=2，∴△AED是正三角形.本题仅凭“纯几何”的方法难以证明，但题目中给出了边和角度的数量关系，且图形对称，故可考虑建立平面直角坐标系，用坐标法求得AE、DE的长度，与AD等长，灵巧而简便地解答了问题.当几何问题中“形缺数时”，往往使人感受到“难入微”的困惑，对于这类问题，要善于挖掘图形特点，利用代数的性质，得出相应的数量关系，实现由形到数的转化，让几何问题代数化，使问题化难为易.在“以数辅形”解题中，常用的方法是解析法，也即坐标法，对于具有明确的数量关系的命题和具有对称图形、图形中各元素有一定的位置关系的命题，用解析法解题是很方便的，除前面所列出常见的“数”与“形”的对应关系外，还有利用斜率关系证明直线的平行或垂直，利用距离公式证明线段的相等或不等.这种利用“以数辅形”来解决“纯几何”问题的解题思维，往往有“出人意料之外，又在情理之中”的效果，其方法别开生面，不仅能拓宽思维，开阔解题思路，有益于培养学生良好的思维品质，对几何与代数知识的综合、熟练掌握也有促进作用.。
利用“数形结合”有效解决生活化数学问题
利用“数形结合”有效解决生活化数学问题数学是一门抽象而又实用的学科，它不仅有着严密的逻辑和抽象的理论体系，还有着广泛的实际应用。
在日常生活中，我们经常会遇到各种各样的数学问题，例如物品购买、食物配方、地图测量等等。
对于这些生活化的数学问题，利用“数形结合”能够有效地解决，并且使数学问题更加直观和具体。
本文将重点介绍数形结合在解决生活化数学问题中的应用，并举例说明其有效性和实用性。
数形结合是指通过图形来帮助理解和解决数学问题。
图形可以使抽象的数学概念更加具体和直观，有助于我们更好地理解问题的本质和解决方法。
以数轴为例，它可以帮助我们直观地理解正数、负数和零的概念，从而更好地解决与这些概念相关的问题。
利用图形可以使数学问题更加形象化，从而减少抽象思维的负担，使解决问题更加简单和直观。
在生活化数学问题中，数形结合可以发挥重要作用。
假设我们需要根据一张比例图来估算实际长度，利用数形结合的方法，我们可以把图形上的长度与实际长度进行对比，从而更加准确地估算长度。
又如，在购物过程中，我们经常会遇到打折、满减等促销活动，利用数形结合的方法，我们可以通过图形来直观地理解折扣和优惠的概念，从而更好地计算最终的花费。
数形结合也可以在解决日常生活中的投资理财问题中起到重要作用。
利用图形可以帮助我们直观地理解复利的计算方法，从而更好地规划个人的投资和理财计划。
又如，在房屋购买过程中，我们需要计算贷款的利息和月供，利用数形结合的方法，我们可以通过图形来更加直观地理解贷款的计算原理，从而更好地选择合适的贷款方案。
利用数形结合可以有效解决生活化数学问题，并且提高我们的数学素养和应用能力。
在日常生活中，我们可以通过图形来更加直观地理解和解决各种数学问题，使数学更加贴近生活，更加具体和实用。
我们应该积极倡导和推广数形结合的方法，使数学教学和学习更加具体和生动，从而更好地应用数学知识解决生活中的实际问题。
借用“数形结合”巧解数学问题
借用“数形结合”巧解数学问题作者：朱若兰来源：《文理导航·教育研究与实践》2015年第07期【摘要】数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。
数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。
“数形结合”不仅是一种重要的数学思想，也是一种行之有效的教学方法，在促进学生思维能力的发展方面有着不可忽视的作用。
【关键词】小学数学;数形结合;解题数形结合思想是一种重要的数学思想。
数形结合就是通过数（数量关系）与形（空间形式）的相互转化、互相利用来解决数学问题的一种思想方法。
它既是一个重要的数学思想，又是一种常用的数学方法。
数形结合，可将抽象的数学语言与直观的图形相结合，是抽象思维与形象思维结合。
有些数量关系，借助于图形的性质，可以使抽象的概念和关系直观化、形象化、简单化;而图形的一些性质，借助于数量的计量和分析，得以严谨化。
著名数学家华罗庚曾说过：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。
数无形时少直觉，形无数时难入微。
数形结合百般好，隔离分家万事休。
切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离。
”数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。
数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。
“数形结合”不仅是一种重要的数学思想，也是一种行之有效的教学方法，在促进学生思维能力的发展方面有着不可忽视的作用。
笔者结合自己的教学实践，谈谈数形结合在数学教学中在运用和体会。
一、见形想数，体现直观数学学习内容的一个重要方面就是关于算理、法则、规律的认识和运用，代数知识和几何知识同样包含许多规律性的知识。
这些知识的学习和把握往往比较抽象和深奥，数形结合可在一定程度上减缓学生认识上的难度。
妙用“数形结合”,巧解小学数学问题
移７
教 苑 时空 ・ 教法探讨
妙用‘ ‘
酷国’ ’ ， 巧解小学数学问题
浙 江绍兴 市越城 区灵芝镇 中心 小学（ ３ １ ２ ０ ０ ０ ） 罗海明
“ 数形 结合 ” 是数 学的 重要 思想 方 法之 一 ， 而 且“ 数 形 结
梯 形 的面 积 公 式 得 （ 上 底＋ 下底 ） × 高÷ ２ ＝ （ ６ ｘ ６ ） ＋ ２ ＝ １ ８ （ 平 方
１ １ ５ ＝ ５ ｘ ２ ３ ＝ ５ ｘ （ 丙＋ 丁） ，
三 角形 ， 因此梯 形 高的 左边部 分 与 下底 相 等 。同理 可知 ， 右
边 的小 三角形 也是 一个 等腰 直 角三 角形 ，因此梯 形 的上 底
所以 ， 丙＋ 丁＝ ２ ３ 。 根 据 已知条 件 ， 甲数 比 乙数大 ７ ，
此， 引导 学生 通过 想像 ， 将“ 数” 化为 “ 形” ： 画一 个长 方 形 ， 长
６厘 米
为甲， 宽为乙， 把长 方形 的面 积想 像 为 甲 、 乙两 数之 积 ， 阴影 面积为 丙 、 丁 两数 的积 ， 空 白面积 为 甲 、 乙 两数 的积 比 丙 、 丁
两数 的 积大 １ ４ ０ 。如 图 ３ 。
是６ 厘米 ， 那 么解题 的关 键就 是 求 出上底 以及 下底 的长 度 ，
或 者求 出它 们二 者 的长 度和 。 在左边 的直 角三 角形 中 ， 其 中
一
翻
图 ３
个 内角是 ４ ５ 。 ， 由此 可知 左边 这个 直 角三 角形 为等 腰直 角
解： 由图可知 １ ４ ０ — ５ ｘ ５ ＝ １ １ ５ ，
算 圆的 面积 ， 那 么解 决此 题 的关键 之处 在 于先 求 出 ｒ 。在 图 ２中 ， 三角 形 的底 以及 高都 是 圆 的半 径 ， 图 中阴影 部 分 三角 形面积 Ｓ ＝ ｒ ￣ ｒ ＋ ２ ＝ １ ２ （ 平 方厘 米 ） ， 即ｒ Ｚ ＝ １ ２ ＋ ２ ＝ ６ （ 平方厘米 ） ， 所 以 圆的面 积为 ６ 盯 ＝ ６ × ３ ． １ ４ ＝ １ ８ ． ８ ４ （ 平方 厘米 ） 。
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说， 用字 母表 示数既有助于揭示概念 的本 质特征 ， 又能使 数量之间的关系更加简单
明 了。 在 教 材 中 ， 学 生 所 接 触 到 的 用 字 母
０天 的 一 半 ， 即第 ２ ９天 时 的 长 度 用数学 知识 ， 能否准确运用有效的数学思 就 是 第 ３ 应 该 是 ２ ０＋２ ＝ １ ０ （ 厘 米 ） ； 再根 据第 ２ ９天 想方法。教学 实践 中我们 发现 ， 小学生 的
力。 其实数形结合就不失为一种 有效 的数 该 追寻 的快 乐教 学 。 总之 ， 数学研究的对象本身就是现实 学方法。
与 除之 间的互逆关系 ， 从 后往前一步一步 地推算 ， 追根究底 ， 逐步推 出结果 ， 使 问题
得 到 解 决 。 当然 ， 在 解决 这 类 稍 复 杂 的 复
０ 厘米 ，半 圆的周长是多 之一。尤其在小学数学教学 中， 数形 结合 半 圆的半径是 １ 法的运 用不仅可 以使一 些数学 问题化抽 象为直观 ， 化难为 易， 化繁为简 ， 使问题简
生通过数形结合 ， 巧 用推理来解决。 如图 ：
圆 的 周长 等 于 ２ １ Ｔ ｒ ， 圆 周 长 的 一 半 就 可 用
题的能 力 ，让他 们在巧 思妙解 中乐学 数
帮助学生理解题意 ， 教学 中我们 可以引导 学， 好学 数学 ， 同时也让 我们 的课堂更 高 周长就 等于 １ Ｔ ｒ ＋ ２ ｒ ＝ ５ ． １ ４ ｒ ， 这道 题便可根 学 生 画 出线 段 图 ： （ 如 图） 效。那么 ， 运 用数形 结合法如何 巧解数学 据 推 理 一 步 来 算 ： Ｃ
关键词 ： 数形结合
在教学中 ， 我 们 要 适 时 对 学 生 进 行 数
这 道题 如让学 生顺 向思维分 析是 很 难 解决 的， 甚至无从 下手。解决这 类数学
问题 的最 佳 方 法 就 是 用倒 推 法 分 析 ， 为 了
形结合法的渗透 ， 引导 学生巧思妙解数学
问题 ， 不 断地 提 高 他 们 分 析 问题 和 解 决 问
品质。
数学问题的能力 ， 有效地提 升学 生的思维 步 ， 先算 圆的周长 ； 第二步 ， 算圆周长的一 学 题 ： 有 一种神奇 的毛毛虫 ， 它的身体每 半： 第三 步 ， 用圆周长 的一半 加直径 算出 数学问题 倒推法 半 圆 的 周长 。
其 实 这 道 常 规 题 我 们 也 可 以 引 导 学
表示 数比较 多 ， 就 是用字母 表示数 、 数量 关 系、 几何 公式 ， 而 用字母表 示数去 解答
实 际 问题 的应 用相 对 比较 少 ， 实 际 上 用字
结合清 晰的线段 图， 通过倒退法大部分学
生 都 可 以轻 松 地 解 决 问题 ， 同时 学 生 在 解
母表 示数去 解决一 些数学 问题可 以使算
少厘米？
合 应用题时还得 借助直 观的线段 图来 帮 如 中年级 数学 中有 这样一道 趣味 数 天都会长大一倍 ，它们 ３ Ｏ天身体就长 到
了２ ０厘 米 ， 长到 ５ 厘 米时 需 要 用几 天 ？
这样题 目也算是 比较 常规 的题 了， 大 助 学 生 理 解 题 意 。
第一 捷地得以解决 ； 还可 以培养学 生灵活解决 部分学生也是 比较 习惯分三步来算 ：
空间想 象能 力存在一定 的局限性 ，有时 ， 仅仅依 靠大脑 中初浅 的想 象 ， 或一定 的定 式思维 ，这 使得他 们考虑 问题不但 不周 密 ，而且还会影 响到他们 解题 的正确性 。
这 就 需 要 我 们 在 教 学 中 不 断 拓 展 学 生 的
的长 度倒退 到第 ２ ８天的 长度就 是第 ２ ９ 天的一 半 ， 即 １ Ｏ ＋２ ＝ ５ （ 厘米） ， 由此倒 退 可知长到 ５ 厘米 时需要 用 ２ ８天。这道题
法更加简便。 二、 数形 结合 巧 用 推 理 解 决 数 学 问题 把数与形有机地结合起来 ， 不 仅 形 象
思维 ， 合理 、 灵 活地 运 用有效的数 学方法 来逐步培 养学 生综合 分析 、 解决 问题 的能
决 问题 的过 程 中也 同样感 受到 了学 习数 学的乐趣。 我想这也正是我们数学课堂应
问题 呢 ？ 下 面就 结 合 我 的教 学 实 践 谈 几 点 具体做法。
一
盯ｒ 表示 ， 直径用 ２ ｒ 来 表示 ， 那 么半 圆的 ＝ ５ ． １ ４ ｒ ＝ ５ ． １ ４ Ｘ
第 一天 的长度 ： Ｌ—＿．Ｊ 第二 天 的长度 ：Ｌ— ——Ｊ ＿ — ．－Ｊ 第三 天的 长度
１ ０ ＝ ５ １ ． ４ （ ｃ ｍ） ， 有 了这 样的 推理 ， 学 生 在
解决这类数学 问题时 岂不更轻松快捷 ！ 三、 数形结合巧拼妙算
在教 学 实践 中 ， 老 师 们 都 有 这 么 一 种
一
、
数形 结合 。 巧 用 线段 图和题意可知 ： 每天身体 长 大一倍 ， 其实也就是前一天 的长度总是后 天长 度的一半 ，这样 已知 ３ Ｏ天身体 长 度是 ２ ０厘米 ， 那么倒 退到第 ２ ９天的长度
用字母可 以表示任意 的数 ， 也可 以表 体 会 ， 变相思维的题型学生解决起来 比较 示特定意义的公式 ， 还可以表示符合条件 的某一个数 ， 甚至 可以表示具有某些规律
的 数 以及 清 楚 地 表 示 出 数 量 关 系 。 可 以
费劲 ， 甚至无从下手。其实解答这一类题 目， 关键就在于学生能不能灵活地综合运
ｓ Ｈ ｕ ｘ ｕ Ｅ Ｔ Ｉ Ａ ｏ Ｙ ｕ ８ ｌ ｌ ２ ４ ９
● ● 数形结合 ＂ 巧解数学问题
一宁夏贺兰一小 陈 波
摘要： “ 数形 结合” 在整个数 学思想体 好 的基 础 。
系 中 占有 重 要地 位 ， 是 经 典 数 学 思想 方 法
如这道 题 ： 一 个