2012年随机过程试卷答案

........8 分
北方工业大学试卷
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共 10 页
（2）因为
E ( X (t )) 2 = E ( X (t ) − EX (t )) 2 = D( X (t )) = cos 2 (θ t ) DY + sin 2 (θ t ) DZ
存在，且
mX (t ) = 0,
RX ( s, t ) = σ 2 cos[(t − s )θ ],
表示经 n 次传输后第 n 个接收站收到的数字， （1）判断{ X(n)，n=0,1,2,3,…}是否为两个状态的马氏链. （2）假定 P(X(0)=1)=α, P(X(0)=0)=1-α=β, 试证明
P{ X (0) = 1| X (2) = 1) =
α + α ( p − q)2 , 1 + (α − β )( p − q ) 2
……………..12 分
所以， {X(t), t>0} 为广义平稳过程.
二、 （12 分）
设 X 1 (t ) 和 X 2 (t ) 是两个参数为 λ1 和 λ2 的相互独立的泊松过程，判断
(1) X (t) = X1(t) + X2 (t)
是否为泊松过程；
（2）Z (t ) = X1(t ) − X2 (t) 是否为泊松过程； 解 且 （1）令 Y (t ) = X 1 (t ) + X 2 (t ) ，显然， {Y (t )} 是独立增量过程， ………………2 分
(2)若A为固定的实数，Θ在（-π ，π）上服从均匀分布， 则
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…………16 分
……………20 分
六、 （20 分）
在二元传输中， 依次的 率
n 个中继站从一个站向下一个站传送 0 或 1. 每个接收站以概
p 正确地接收信号， 而以概率 q=1-p 发生错误. X(0) 表示初始站发出的数字， X(n)
i =0
得到方程组
1 1 ⎧ ⎪π 0 = 2 π 0 + π 1 + 2 π 3 , ⎪ ⎪ π = 1π + 1π , ⎪ 1 2 0 3 2 ⎪ ⎨ π = 2π + 1π 2 2 3, ⎪ 3 2 ⎪ π 3 = 0, ⎪ 3 ⎪ π i = 1. ⎪ ∑ i =0 ⎩
解出
π 0 = , π 1 = , π 2 = π 3 = 0.
| P − λ E |= 0,
1 α [1 + ( p − q) 2 ] 2
…………14 分
可得 P 的两个特征根为 λ1 = 1, λ2 = p − q, 对应有 λ1 , λ2 的特征向量分别为 ⎛ 1⎞ e1 = ⎜ ⎟ , ⎝ 1⎠
令
⎛1⎞ e2 = ⎜ ⎟ . ⎝ −1⎠
…………16 分
⎛1 1 ⎞ −1 H =⎜ ⎟ = 2H , − 1 1 ⎝ ⎠
由于 EZ (t ) ≠ DZ (t ), 故 Z (t ) 不是泊松过程.
……………………12 分
三、 （18 分）
已知马尔可夫链X 的状态空间I= {0,1, 2,3} 及一步转移概率矩阵为
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ P = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
1 2 1 0 1 2
1 2 0 1 3 0
0 0 2 3 1 2
1 ⎛1 + ( p − q)2 1 − ( p − q) 2 ⎞ P = ⎜ ⎟ . …………10 分 2 ⎝1 − ( p − q)2 1 + ( p − q)2 ⎠
2
这样，由条件概率公式和全概率公式可得证
P{ X (0) = 1| X (2) = 1) =
=
P( X (0) = 1, X (2) = 1) P( X (2) = 1)
序号
北方工业大学
《随机过程》课程试卷评分标准
2012 年秋季学期
开课学院： 理学院 考试方式：闭卷 考试时间：100 分钟
班级
姓名
学号
题号 得分 装 阅卷人
一
二
三
四
五
六
七
八
总分
一、 （12 分）
设随机过程
X (t ) = Y cos(θ t ) + Z sin(θ t ), t > 0,
其中，Y 和 Z 是相互独立的随机变量，且
2 ，且当 n ≥ 2, 有 3
∞
(n) (n) f 22 = 0 ，所以 f 2 = ∑ f 22 =
n =1
2 < 1, 由定义可知，状态 2 也是非常返. …………6 分 3 1 1 + = 1, 于是状态 1 与 0 均 2 2
(1) (2) 又由状态转移概率 （图） 可知 1 ↔ 0 ， 并且 f1 = f11 + f11 =
=
1 {β [1 − ( p − q ) n ] + α [1 + ( p − q ) n ]} 2 α + α ( p − q)n = . 1 + (α − β )( p − q) n
进一步
α + α ( p − q)n P{ X (0) = 1| X (n) = 1) = , 1 + (α − β )( p − q ) n
解
由题意知依次的
n 个中继站从一个站向下一个站传送 0 或 1，即第 k 个站收到
的数字仅依赖于第 k-1 个站传送的数字而与第 k-1 个站以前的各站所传送的数字无关.
= e − λτ ⋅
(λτ ) n , n = 0,1, 2, ⋅⋅⋅ n!
………………7 分
故 {Y (t )} 服从参数 (λ1 + λ2 ) 的泊松过程.
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(2)
EZ (t ) = E ( X 1 (t ) − X 2 (t )) = EX 1 (t ) − EX 2 = (λ1 − λ2 )t , DZ (t ) = D ( X 1 (t ) − X 2 (t )) = DX 1 (t ) + DX 2 (t ) = (λ1 + λ2 )t. ………10 分
⎞ 0 ⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎠
试分析各个状态，并求相应的平稳分布.
(n) 解： 由转移概率矩阵可知，对一切 n ≥ 1, 均有 f 33 = 0, 所以
(n) f3 = ∑ f 33 = 0 < 1, 从而状态 3 是非常返态， n =1
∞
…………………3 分
(1) 易见， f 22 =
线
= cos(θ t ) EY + sin(θ t ) EZ = 0
又有 Y 和 Z 相互独立，故
............3分
BX ( s, t ) = RX ( s, t ) = E[ X ( s ) X (t )] = E[(Y cos(θ s ) + Z sin(θ s ))(Y cos(θ t ) + Z sin(θ t ))] = cos(θ s ) cos(θ t ) E (Y 2 ) + sin(θ s ) sin(θ t ) E ( Z 2 ) = σ 2 cos[(t − s )θ ].
订
EY = EZ = 0,
DY = DZ = σ 2 ,
(1) 求随机过程{X(t), t>0}的均值函数 m X (t ) 和协方差函数 B X ( s, t ).
(2) 判断随机过程{X(t), t>0}的平稳性.
解： (1) 由数学期望的性质，有
EX (t ) = E[Y cos(θ t ) + Z sin(θ t )]
n=0,1,2,3,…}是两个状态的马氏链， 这说明 n 个中继站具有无记忆性， 所以 { X(n)，
状态空间为 I ={0，1}， ……………5 分
而其一步转移概率矩阵为
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⎛ p 1− p ⎞ ⎛ p P=⎜ ⎟=⎜ p ⎠ ⎝q ⎝1 − p
q⎞ ⎟. p⎠
……………8 分
i =0 n
= ∑ P( X 2 (t + τ ) − X 1 (t ) = n − i ) ⋅ P( X 1 (t + τ ) − X 1 (t ) = i )
i =0 n
n
= ∑ e − λ1τ ⋅
i =0
i (λτ (λ τ ) n − i 1 ) ⋅ e− λ2τ ⋅ 2 i! (n − i )!
(2) P( X (0) = 1) p11 (2) (2) + P( X (0) = 1) p11 P( X (0) = 0) p01
=
1 {β [1 − ( p − q ) 2 ] + α [1 + ( p − q) 2 ]} 2 α + α ( p − q)2 = , 1 + (α − β )( p − q ) 2 进一步，由
则可写成 于是，
⎛λ 0 ⎞ ⎛1 Λ=⎜ 1 ⎟=⎜ ⎝ 0 λ2 ⎠ ⎝ 0
1 H ΛH , 2
0 ⎞ ⎟, p − q⎠
P = H Λ H −1 =
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P ( n ) = P n = H Λ n H −1 1 1 ⎛1 + ( p − q)n 1 − ( p − q)n ⎞ n = HΛ H = ⎜ ⎟ 2 2 ⎝1 − ( p − q)n 1 + ( p − q)n ⎠
这样，可以得到，
…………18 分
P{ X (0) = 1| X (n) = 1) =
P ( X (0) = 1, X (n) = 1) P( X (n) = 1)
(n) P( X (0) = 1) p11 = (n) (n) + P( X (0) = 1) p11 P( X (0) = 0) p01
为常返态.
……………10 分
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又因为
(1) (2) μ0 = f 00 + 2 f 00 =
3 1 < ∞, 并且 p00 = > 0, 易得 d1 = d 0 = 1, 所以状态 1，0 均为非周期、 2 2
正常返.
3
……………13 分 ……………15 分
由π = π P 和 ∑π i = 1，
解 （1） A 服从瑞利分布，可得
……………2 分 被积函数是标准正态分布的概率密度，故
所以，
……………3 分
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令y=
x2 ，则 2σ 2
故
……………6 分 （1）
…………8 分 （2）
…………10 分 与 t 无关. （3）
综上知， X (t ) 是平稳过程.
……………12 分
1 2 0 1 3 0 1 3
0 3 4 0 1 4 0
⎤ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 2 ⎥ ⎥ 3 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎥ 3 ⎦
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解： 由转移概率矩阵，可知 0 ↔ 2 ↔ 4, 由 p00 =
1 > 0, 2
……………3 分
得到 d 0 = d 2 = d 4 = 1,
……………6 分
因而， {0, 2, 4} 构成一个不可约、非周期的子马尔可夫链的状态空间， 因此， 0, 2, 4, 均为正常返. 由转移概率矩阵可知， 1 ↔ 3, 由 p11 = 得到 但是
f33 =
……………8 分 ……………10 分
1 > 0, 4
d1 = d3 = 1,
1 1 3 1 1 3 + × × [1 + + ( ) 2 + ⋅⋅⋅] = < 1, 4 2 4 4 4 4
2 3
1 3
……………18 分
四、 （18 分）
已知{X n , n ≥ 0}是马尔可夫链， 其状态空间为I= {0,1, 2,3, 4}，一步转移概率矩阵为
⎡ 1 ⎢ 2 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ P = ⎢ 0 ⎢ ⎢ 1 ⎢ ⎢ 4 ⎢ 1 ⎢ ⎣ 3 试分析各状态，并分解状态空间.
0 1 4 0 1 2 0
P(Y (t + τ ) − Y (t ) = n) = P( X 1 (t + τ ) + X 2 (t + τ ) − X 1 (t ) − X 2 (t ) = n) = P( X 1 (t + τ ) − X 1 (t ) + X 2 (t + τ ) − X 2 (t ) = n) −∑ P( X 2 (t + τ ) − X 2 (t ) = n − i, X 1 (t + τ ) − X 1 (t ) = i)
故 3,1, 是非常返且非周期， 因此， I 可分解为
I = K + J = {1, 3} ∪ {0, 2, 4}.
……………15 分
……………18 分
转移状态图如下：
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Baidu Nhomakorabea
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五、 （20 分）
设随机过程X (t ) = A cos(ωt + Θ), 其中A是服从瑞利分布的随机变量，其概率密度为
⎧a a2 ⎪ exp{− 2 }, a > 0, f (a) = ⎨σ 2 2σ ⎪ 0, a ≤ 0, ⎩
Θ是在（0， 2π）上服从均匀分布且与 A 相互独立的随机变量，ω为常数.
(1)判断X (t )是否为平稳过程. (2)若A为固定的实数，Θ在（-π ，π）上服从均匀分布，计算 X(t) 的谱密度.