2009理论力学竞赛-答案

大连理工大学2009年度理论力学竞赛试题

考试日期：2009年5月9日 试卷共6页

一、（15分）在图示平面机构的铰接A 处，作用一铅垂向下的力N 60=F ，它使位于铅直面内两杆OA 、AB 张开，而圆柱B 沿平面向右作纯滚动。此两均质杆的长度均为1m ，质量均为2kg 。圆柱的半径为250mm ，质量为4kg ，在两杆的中点D 、E 处用一刚度系数N/m 50=k 的弹簧连接着，弹簧的自然长度为1m ，若系统在图示位置时静止，此时 60=θ。试求系统运动到 0=θ时，杆AB 的角速度（O 点与圆柱轴心B 位于同一高度）。

221216

121ωωl m J =

杆动能：22122216

12

12

1ωωl m J v m E

=+

B 动能为零

22123

1ωl m =

()

2

2211122

60sin 21260sin δδ-+⋅+=k

l g m Fl W m 2

11-=δ，02=δ

1212W T T =-

该瞬时，OA 杆角速度为ω rad/s 6.10=ω

0=B v ，0=B ω AB 杆角速度为ω

2

ω

=

E v

题一图 A E

二、（15分）杆AB 和BC 其单位长度的质量为m ，杆AB 两端分别与圆盘O 和杆BC 铰接。圆盘在铅垂平面内绕O 轴以等角速度ω转动，在图示位置时，求作用在A 点和B 点的力。

（1）速度分析：r v A ω=

0=B v

01=ω

2

ω

ω=AB

（2）B 点加速度分析

n BA t BA n A t B a a a a ++=， r a n A 2

ω= ，r a n BA 221ω= 投影x 轴：r a a a n BA n A t B 22

3ω=+=，223ωα=CB 投影y 轴：0=t

BA a , 0=AB α

D 点加速度分析（AB 杆中点)

n DA t DA n A y D x D

a a a a a ++=+，r a n A 2

ω= ，r a n DA 24

1ω=

投影x 轴：r a a a n

DA n A x D 24

5ω=

+= 投影y 轴：0=y

D a ,

（3）受力分析（动静法）

以杆CB 为对象，对C 点取矩， 32222

1

2331r m r mr J M CB C IC ωωα=⋅⋅=

= ∑

==-=222

1

,0,0r m F M r F M Bx IC Bx C ω

以杆AB 为对象

2222

5

452r m r r m F IDx ωω=⋅⋅=

∑=0x F ，223r m F F F Bx IDx Ax ω=+=

∑=0A

M ，mgr F By =

∑=0y

F

，mgr F Ay =

B v

F

IC M

Bx

By Ax F Ay mrg 2

三、（15分）图示系统由鼓轮O 、均质圆轮A 和B 组成。其中鼓轮的质量为

2m ，对轴的回转半径为r O 2

3=ρ，轮A 的质量为m ，在倾角

30=θ的斜面上

只滚不滑。轮B 的质量为5m ，物块C 的质量为m 。求物块C 的加速度及各段绳内的张力。

（1）利用功率方程:

∑

⋅=v

F t

T d d 设物块C 的速度为v v v B =,v v E 3=,v v D =,r

v

B =ω

v v A 23=,r

v A 43=ω

动能：

22

1mv T C =

()22

22215

252121521mv r v r m v m T B =⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅+⋅⋅=

22

28922121mv r v m T O O =⎪⎭

⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅=ρ ()22

22162743221212321mv r v r m v m T A =

⎪⎭

⎫

⎝⎛⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅= 2

16

173mv T T T T T A O B C =+++=

mgv v mg mgv mgv v F 4

212330sin 5=⋅-+=⋅∑

∑

⋅=v F t

T

d d ， mgv a mv 4218173=⋅， g g a 24.0173

42== （2）求各段绳的拉力

mg g m mg F C 24.124.0=⋅+=

对B 轮用动量矩定理：()r F F J E D B B 2-=α，r

a B =

α 对B 轮用质心运动定理：a m a m mg F F E D ⋅-⋅-=-+56

mg F D 58.2=，mg F E 98.1=

对A 轮用动量矩定理：r mg r F J A A N 230sin 4⋅-⋅= α，r

a A 43=

α()()22

26222

1mr r m r m J N =⋅+=

mg F A 52.0= 题三图

E

E

A F