新高三数学下期末试卷(带答案)

新高三数学下期末试卷(带答案)
一、选择题
1．已知回归直线方程中斜率的估计值为1.23，样本点的中心()4,5，则回归直线方程为（ ）
A ． 1.2308ˆ.0y
x =+ B ．0.0813ˆ.2y
x =+ C ． 1.234ˆy
x =+ D ． 1.235ˆy
x =+ 2．下列函数图像与x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( ) A ．
B ．
C ．
D ．
3．命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为（ ） A ．对任意x ∈R ，都有x 2＜0 B ．不存在x ∈R ，都有x 2＜0 C ．存在x 0∈R ，使得x 02≥0 D ．存在x 0∈R ，使得x 02＜0
4．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所示，则
该几何体的俯视图为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
5．已知集合{}{}
x -1<x 1Q=x 0x 2P =<<<，，那么P Q=⋃ A ．（-1,2） B ．（0，1）
C ．（-1,0）
D ．（1,2）
6．
()()3
1i 2i i --+=（ ）
A ．3i +
B ．3i --
C ．3i -+
D ．3i -
7．如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为1214,,A A A L ，下图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图，那么算法流程图输出的结果是（ ）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
8．已知函数()25,1,,1,x ax x f x a x x
⎧---≤⎪
=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）
A ．30a -≤<
B ．0a <
C ．2a ≤-
D ．32a --≤≤ 9．命题：三角形的内角至多有一个是钝角，若用反证法证明，则下列假设正确的是（ ）
A ．假设至少有一个钝角
B ．假设至少有两个钝角
C ．假设三角形的三个内角中没有一个钝角
D ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角
10．已知函数()32cos 2[0,]2
f x x x m π
=+-在上有两个零点，则m 的取值范围是
A ．（1,2）
B ．[1,2）
C ．（1,2]
D ．[l,2]
11．设F 为双曲线C ：22
221x y a b
-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径
的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为 A 2 B 3C ．2
D 5
12．已知长方体的长、宽、高分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个
球的表面积是（ ） A ．25π
B ．50π
C ．125π
D ．都不对
二、填空题
13．函数log (1)1(01)a y x a a =-+>≠且的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数
y mx n =+的图象上，其中,0,m n >则
12
m n
+的最小值为 14．已知函数()sin ([0,])f x x x π=∈和函数1
()tan 2
g x x =
的图象交于,,A B C 三点，则ABC ∆的面积为__________．
15．已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ
=+-<<的图象关于直线3
x π=对称，则ϕ的值是________．
16．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是_____.
17．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_____________． 18．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为3，外接球的表面积为16π，则正三棱锥
P ABC -的体积为________.
19．设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为 ．
20．已知集合P 中含有0,2,5三个元素,集合Q 中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q 中的元素为a+b ,其中a ∈P ,b ∈Q ,则集合P+Q 中元素的个数是_____.
三、解答题
21．“微信运动”是手机APP 推出的多款健康运动软件中的一款，大学生M 的微信好友中有400位好友参与了“微信运动”．他随机抽取了40位参与“微信运动”的微信好友（女20人，男20人）在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数情况可分为五个类别：A 、02000:步，（说明：“02000:”表示大于或等于0，小于2000，以下同理），B 、20005000:步，C 、50008000:步，D 、800010000:步，E 、
1000012000:步，且A 、B 、C 三种类别的人数比例为1:4:3，将统计结果绘制如图所
示的柱形图；男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）若以大学生M 抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动”
的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生M 的参与“微信运动”的400位微信好友中，每天走路步数在20008000:的人数；
（Ⅱ）若在大学生M 该天抽取的步数在800010000:的微信好友中，按男女比例分层抽取6人进行身体状况调查，然后再从这6位微信好友中随机抽取2人进行采访，求其中至少有一位女性微信好友被采访的概率．
22．已知A 为圆2
2
:1C x y +=上一点，过点A 作y 轴的垂线交y 轴于点B ，点P 满足
2.BP BA =u u u v u u u v
（1）求动点P 的轨迹方程；
（2）设Q 为直线:3l x =上一点，O 为坐标原点，且OP OQ ⊥，求POQ ∆面积的最小值.
23．选修4-5：不等式选讲 设函数()|2||1|f x x x =-++.
（1）求()f x 的最小值及取得最小值时x 的取值范围； （2）若集合{|()10}x f x ax +->=R ，求实数a 的取值范围.
24．在ABC △中，BC a =，AC b =，已知a ，b 是方程22320x x -+=的两个根，且2cos()1A B +=． （1）求角C 的大小； （2）求AB 的长．
25．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E,F 分别是AB,BC 的中点，点M 在AD 上，且1
4
AM AD =，将AED,DCF V V 分别沿DE,DF 折叠，使A,C 点重合于点P ，如图所示2.
()1试判断PB 与平面MEF 的位置关系，并给出证明； ()2求二面角M EF D --的余弦值.
26．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ⋅=u u u r u u u r
，
1
cos 3
B =，3b =，求：
（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】
由题意得在线性回归方程$ˆy bx
a =+$中 1.23
b =$，然后根据回归方程过样本点的中心得到$a
的值，进而可得所求方程． 【详解】
设线性回归方程$ˆy bx
a =+$中，由题意得 1.23
b =$， ∴$1.23ˆy x a
=+． 又回归直线过样本点的中心()4,5，
∴$5 1.234a
=⨯+， ∴$0.08a
=， ∴回归直线方程为 1.2308ˆ.0y
x =+． 故选A ． 【点睛】
本题考查线性回归方程的求法，其中回归直线经过样本点的中心时解题的关键，利用这一性质可求回归方程中的参数，也可求样本数据中的未知参数，属于基础题．
2．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据函数图象理解二分法的定义，函数f （x ）在区间[a ，b ]上连续不断，并且有f （a ）•f （b ）＜0．即函数图象连续并且穿过x 轴． 【详解】
解：能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a ，b ]上连续不断，并且有f （a ）•f （b ）＜0A 、B 中不存在f （x ）＜0，D 中函数不连续． 故选C ． 【点睛】
本题考查了二分法的定义，学生的识图能力，是基础题．
3．D
【解析】
因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为．存在x 0∈R ，使得x 02＜0． 故选D ．
4．C
解析：C 【解析】 【分析】
从正视图和侧视图上分析，去掉的长方体的位置应该在的方位，然后判断俯视图的正确图形． 【详解】
由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的右侧， 由以上各视图的描述可知去掉的长方体在原长方体的右上方，其俯视图符合C 选项． 故选C ．
点评：本题考查几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义． 考点：三视图．
5．A
解析：A 【解析】
利用数轴，取,P Q 所有元素，得P Q =U (1,2)-．
【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理．
6．B
解析：B 【解析】 【分析】
先分别对分子和分母用乘法公式化简，再分子分母同时乘以分母的共轭复数，化简即得最后结果. 【详解】 由题意得，复数()()()3
1i 2i 13i i 13i 3i i i
i i
--+-+⋅-+===----⋅．故应选B
【点睛】
本小题主要考查复数的乘法和除法的运算，乘法的运算和实数的运算类似，只需要记住
2i 1=-.除法的运算记住的是分子分母同时乘以分母的共轭复数，这一个步骤称为分母实
数化，分母实数化的主要目的是将分母变为实数，然后将复数的实部和虚部求出来.属于基
7．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据流程图可知该算法表示统计14次考试成绩中大于等于90的人数，结合茎叶图可得答案． 【详解】
根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累计14次考试成绩超过90分的次数．根据茎叶图可得超过90分的次数为9. 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查了循环结构，以及茎叶图的认识，解题的关键是弄清算法流程图的含义，属于基础题．
8．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据分段函数的单调性特点，两段函数在各自的定义域内均单调递增，同时要考虑端点处的函数值. 【详解】
要使函数在R 上为增函数，须有()f x 在(,1]-∞上递增，在(1,)+∞上递增，
所以21,20,115,
1a a a a ⎧-≥⎪⎪
<⎨⎪⎪--⨯-≤⎩
，解得32a --≤≤.
故选D. 【点睛】
本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，考查数形结合思想、函数与方程思想的灵活运用，求解时不漏掉端点处函数值的考虑.
9．B
解析：B 【解析】
用反证法证明数字命题时，应先假设要证的命题的否定成立，而要证命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，所以应假设三角形的内角至少有两个钝角，故选B ．
10．B
【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：利用辅助角公式化简函数为
()3sin 2cos 2f x x x m
=+-,令,则,所以此时函数即为
.令
有
,根据题意可知
在
上有两个解,
根据在函数图像可知,
.
考点：辅助角公式;;零点的判断;函数图像.
11．A
解析：A 【解析】 【分析】
准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率． 【详解】
设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，
又||PQ OF c ==Q ，||,2
c
PA PA ∴
=∴为以OF 为直径的圆的半径， A ∴为圆心||2
c OA =
． ,22c c P ⎛⎫
∴ ⎪⎝⎭
，又P 点在圆222x y a +=上，
22244c c a ∴+=，即2222
2,22c c a e a
=∴==． 2e ∴=A ．
【点睛】
本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．
12．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得2
25
2
R =，再由球的表面积公式，即可求解． 【详解】
设球的半径为R ，根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，可得
2
2
2
3524R =++2
252R =
，所以球的表面积为2
2544502
S R πππ==⨯
=球. 故选：B 【点睛】
本题主要考查了长方体的外接球的性质，以及球的表面积的计算，其中解答中熟练应用长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得球的半径是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
二、填空题
13．8【解析】∵函数（且）的图象恒过定点A∴当时∴又点A 在一次函数的图象上其中∴又∴∴（当且仅当时取）故答案为8点睛：本题主要考查了基本不等式基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值其失误
解析：8 【解析】
∵函数log 1
1a y x =-+（）（0a ＞，且1a ≠）的图象恒过定点A ， ∴当2x =时，1y =，∴()21A ，，又点A 在一次函数y mx n =+的图象上，其中0mn >，
∴21m n +=，又0mn >，
∴0m >，0n >，∴()12124 248n m
m n m n m n m n
+=+⋅+=++≥（），（当且仅当1
22
n m ==时取“=”），故答案为8.
点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
14．【解析】【分析】画出两个函数图像求出三个交点的坐标由此计算出三角形的面积【详解】画出两个函数图像如下图所示由图可知对于点由解得所以【点睛】本小题主要考查正弦函数和正切函数的图像考查三角函数图像交点坐
【解析】 【分析】
画出两个函数图像，求出三个交点的坐标，由此计算出三角形的面积. 【详解】
画出两个函数图像如下图所示，由图可知()()0,0,π,0A C ，对于B 点，由sin 1
tan 2y x y x =⎧⎪
⎨=⎪⎩
，
解得π3B ⎛ ⎝⎭
，所以1π22
4
ABC S ∆=⨯⨯
=.
【点睛】
本小题主要考查正弦函数和正切函数的图像，考查三角函数图像交点坐标的求法，考查三角函数面积公式，属于中档题.
15．【解析】分析：由对称轴得再根据限制范围求结果详解：由题意可得所以因为所以点睛：函数（A>0ω>0）的性质：(1)；(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间;由求减区间
解析：6
π-
. 【解析】
分析：由对称轴得π
π()6
k k Z ϕ=-+∈，再根据限制范围求结果. 详解：由题意可得2sin π13ϕ⎛⎫
+=± ⎪⎝⎭
，所以2πππππ()326k k k Z ϕϕ+=+=-+∈，，因
为ππ22ϕ-
<<，所以π
0,.6
k ϕ==- 点睛：函数sin()y A x B ωϕ=++（A >0,ω>0）的性质：(1)max min ,y A B y A B =+=-+； (2)最小正周期2π
T ω
=
；(3)由π
π()2
x k k ωϕ+=
+∈Z 求对称轴；(4)由ππ2π2π()22k x k k ωϕ-+≤+≤+∈Z 求增区间; 由π3π2π2π()22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 求减区间.
16．【解析】【分析】由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积【详解】因为长方体的体积为120所以因为为的中点所以由长方体的性质知底面所以是三棱锥的底面上的高所以三棱锥的体积【点睛】本题蕴
解析：【解析】 【分析】
由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积. 【详解】
因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为120， 所以1120AB BC CC ⋅⋅=， 因为E 为1CC 的中点， 所以11
2
CE CC =
， 由长方体的性质知1CC ⊥底面ABCD ， 所以CE 是三棱锥E BCD -的底面BCD 上的高， 所以三棱锥E BCD -的体积
1132V AB BC CE =⨯⋅⋅=11111
1201032212AB BC CC =⨯⋅⋅=⨯=.
【点睛】
本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题.
17．【解析】【分析】首先根据题中所给的类比着写出两式相减整理得到从而确定出数列为等比数列再令结合的关系求得之后应用等比数列的求和公式求得的值【详解】根据可得两式相减得即当时解得所以数列是以-1为首项以2 解析：63-
【解析】 【分析】
首先根据题中所给的21n n S a =+，类比着写出1121n n S a ++=+，两式相减，整理得到
12n n a a +=，从而确定出数列{}n a 为等比数列，再令1n =，结合11,a S 的关系，求得
11a =-，之后应用等比数列的求和公式求得6S 的值.
【详解】
根据21n n S a =+，可得1121n n S a ++=+， 两式相减得1122n n n a a a ++=-，即12n n a a +=， 当1n =时，11121S a a ==+，解得11a =-， 所以数列{}n a 是以-1为首项，以2为公比的等比数列，
所以66(12)
6312
S --==--，故答案是63-.
点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令1n =，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.
18．或【解析】【分析】做出简图找到球心根据勾股定理列式求解棱锥的高得
到两种情况【详解】正三棱锥的外接球的表面积为根据公式得到根据题意画出图像设三棱锥的高为hP 点在底面的投影为H 点则底面三角形的外接圆半径
解析：
334
或93
【解析】 【分析】
做出简图，找到球心，根据勾股定理列式求解棱锥的高，得到两种情况. 【详解】
正三棱锥P ABC -的外接球的表面积为16π，根据公式得到2
1642,r r ππ=⇒= 根据题意画出图像，设三棱锥的高为h,P 点在底面的投影为H 点，则
2,2,2OP r OA r OH h =====-，底面三角形的外接圆半径为AH ，根据正弦定理得
到
3
23sin 60
= 3. 在三角形OAH 中根据勾股定理得到()2
23413h h -+=⇒=或 三棱锥的体积为：13
ABC h S ⨯⨯V 代入数据得到13133
1333224
⨯⨯⨯⨯⨯=或者1319333 3.3224⨯⨯⨯⨯
⨯= 故答案为：334或3
4
【点睛】
这个题目考查了已知棱锥的外接球的半径，求解其中的一些量；涉及棱锥的外接球的球心的求法，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.
19．【解析】试题分析：设等比数列的公比为由得解得所以于是当或时取得最
大值考点：等比数列及其应用 解析：64
【解析】
试题分析：设等比数列的公比为q ，由132410{5a a a a +=+=得，212
1(1)10
{(1)5
a q a q q +=+=，解得18
{12
a q ==.所以2(1)
1712(1)222121
18()22n n n n n n n
n a a a a q
L L --++++-==⨯=，于是当3n =或4时，12n
a a a L 取得最大值6264=. 考点：等比数列及其应用
20．8【解析】【详解】由题意知a ∈Pb ∈Q 则a+b 的取值分别为123467811故集合P+Q 中的元素有8个点睛：求元素(个数)的方法根据题目一一列举可能取值(应用列举法和分类讨论思想)然后根据集合元素的
解析：8 【解析】 【详解】
由题意知a ∈P ,b ∈Q ,则a+b 的取值分别为1,2,3,4,6,7,8,11.故集合P+Q 中的元素有8个. 点睛：求元素(个数)的方法，根据题目一一列举可能取值(应用列举法和分类讨论思想)，然后根据集合元素的互异性进行检验，相同元素重复出现只算作一个元素，判断出该集合的所有元素，即得该集合元素的个数．
三、解答题
21．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）35
． 【解析】 【分析】
（Ⅰ）所抽取的40人中，该天行走20008000~步的人数：男12人，女14人，由此能求出400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走20008000~步的人数． （Ⅱ）该天抽取的步数在800010000~的人数：男6人，女3人，共9人，再按男女比例分层抽取6人，则其中男4人，女2人，由此能求出其中至少有一位女性微信好友被采访的概率． 【详解】
（Ⅰ）由题意，所抽取的40人中，该天行走20008000~步的人数：男12人，女14人， 所以400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走20008000~步的人数约为
26
40026040
⨯
=人； （Ⅱ）该天抽取的步数在800010000~的人数中，根据频率分布直方图可知，男生人数所占的频率为0.1520.3⨯=，所以男生的人数为为200.36⨯=人，根据柱状图可得，女生
人数为3人，再按男女比例分层抽取6人，则其中男4人，女2人．再从这6位微信好友
中随机抽取2人进行采访，基本事件总数2
615n C ==种，
至少1个女性的对立事件是选取中的两人都是男性，
∴其中至少有一位女性微信好友被采访的概率：242
6315
C P C =-=． 【点睛】
本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及古典概型及其概率的求解，以及分层抽样等知识的综合应用，其中解答中认真审题，正确理解题意，合理运算求解是解答此类问题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
22．(1) 2
214
x y += (2) 3.2
【解析】 【分析】
（1）设出A 、P 点坐标，用P 点坐标表示A 点坐标，然后代入圆方程，从而求出P 点的轨迹；
（2）设出P 点坐标，根据斜率存在与否进行分类讨论，当斜率不存在时，求出POQ ∆面积的值，当斜率存在时，利用点P 坐标表示POQ ∆的面积，减元后再利用函数单调性求出最值，最后总结出最值. 【详解】
解：（1） 设(),P x y ， 由题意得：()()1,,0,A x y B y ， 由2BP BA =u u u v u u u v
，可得点A 是BP 的中点， 故102x x +=， 所以12
x
x =
， 又因为点A 在圆上，
所以得2
214
x y +=，
故动点P 的轨迹方程为2
214
x y +=.
（2）设()11,P x y ，则10y ≠，且2
21114
x y +=，
当10x =时，11y =±，此时()33,0,2
POQ Q S ∆=； 当10x ≠时，1
1
,OP y k x = 因为OP OQ ⊥,
即1
1
,OQ x k y =-
故1133,x Q y ⎛⎫-
⎪⎝⎭
，
OP ∴=
OQ ==， 22
111
1322POQ
x y S OP OQ y ∆+==⋅①， 2
21114x y +=代入① 2111143334
322POQ
y S y y y ∆⎛⎫-=⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭
()101y <≤
设()()4
301f x x x x
=
-<≤ 因为()24
f x 30x
'=-
-<恒成立， ()f x ∴在(]
0,1上是减函数， 当11y =时有最小值，即3
2
POQ S ∆≥, 综上：POQ S ∆的最小值为3.2
【点睛】
本题考查了点的轨迹方程、椭圆的性质等知识，求解几何图形的长度、面积等的最值时，常见解法是设出变量，用变量表示出几何图形的长度、面积等，减元后借助函数来研究其最值.
23．（1）min ()3f x =，此时x ∈[]
1,2-（2）()1,2- 【解析】 【分析】
（1）利用绝对值不等式公式进行求解；
（2）集合(){}
10x f x ax R +-=表示x R ∀∈，()1f x ax >-+，令()1g x ax =-+， 根据几何意义可得()y f x =的图像恒在()y g x =图像上方，数形结合解决问题. 【详解】
解（1）因为()()21213x x x x -++≥--+=，
当且仅当()()210x x -+≤，即12x -≤≤时，上式“=”成立，
故函数()21f x x x =
++-的最小值为3， 且()f x 取最小值时x 的取值范围是[]
1,2-. （2）因为(){}
10x f x ax R +-=， 所以x R ∀∈，()1f x ax >-+.
函数()21f x x x =-++化为()21,13,1221,2x x f x x x x -+<-⎧⎪
=-≤≤⎨⎪->⎩
.
令()1g x ax =-+，
其图像为过点()0,1P ，斜率为a -的一条直线. 如图，()2,3A ，()1,3B -.
则直线PA 的斜率131
120
k -==-， 直线PB 的斜率231
210
k -=
=---. 因为()()f x g x >，所以21a -<-<，即12a -<<， 所以a 的范围为()1,2-. 【点睛】
本题考查了绝对值不等式问题与不等式恒成立问题，不等式恒成立问题往往可以借助函数的图像来研究，数形结合可以将抽象的问题变得更为直观，解题时应灵活运用. 24．120o C =,10c = 【解析】
试题分析：解：（1）()()1
cos cos cos 2
C A B A B π⎡⎤=-+=-+=-⎣⎦，所以120C =o （2）由题意得23{
2
a b ab +==∴222222cos 2cos120AB AC BC AC BC C a b ab =+-⋅⋅=+-o
=()()
2
2
2
2
23
210a b ab a b ab ++=+-=-=
∴10AB =
考点：本题考查余弦定理，三角函数的诱导公式的应用
点评：解决本题的关键是用一元二次方程根与系数之间关系结合余弦定理来解决问题 25．（1）见解析；（2）6
. 【解析】 【分析】
(1)根据线面平行的判定定理直接证明即可；
（2）连接BD 交EF 与点N ，先由题中条件得到MND ∠为二面角M EF D ﹣﹣的平面角，再解三角形即可得出结果. 【详解】
（1）PB P 平面MEF ．证明如下：在图1中，连接BD ，交EF 于N ，交AC 于O ， 则11
24
BN BO BD =
=， 在图2中，连接BD 交EF 于N ，连接MN ，在DPB n 中，有1
4
BN BD =
，1
4
PM PD =
， MN PB P ∴． PB ⊄Q 平面MEF ，MN ⊂平面MEF ，故PB P 平面MEF ；
（2）连接BD 交EF 与点N ，图2中的三角形PDE 与三角形PDF 分别是图1中的
Rt ADE n 与Rt CDF n ，PD PE PD PF ∴⊥⊥，，又PE PE P ⋂＝，PD ∴⊥平面PEF ，则PD EF ⊥，又EF BD ⊥，EF ∴⊥平面PBD ， 则MND ∠为二面角M EF D ﹣﹣的平面角．
可知PM PN ⊥，则在Rt MND n 中，12PM PN ＝，=
，则
22PM PN 3MN =+=．
在MND n 中，332MD DN =＝，，由余弦定理，得
2226
2MN DN MD cos MND MN DN +-∠==
⋅． ∴二面角M EF D ﹣﹣的余弦值为
6．
【点睛】
本题主要考查线面平行的判定，以及二面角的求法，熟记线面平行的判定定理以及二面角的概念即可，属于常考题型. 26．（1）3,2a c ==；（2）2327
【解析】
试题分析：（1）由2BA BC ⋅=u u u r u u u r
和1
cos 3
B =
，得ac=6.由余弦定理，得2213a c +=. 解
，即可求出a ，c ；（2） 在ABC ∆中，利用同角基本关系得
22
sin .3
B =
由正弦定理，得42
sin sin 9
c C B b =
=
，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此27
cos 1sin 9
C C =-=
，利用cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+，即可求出结果. （1）由2BA BC ⋅=u u u r u u u r
得，
，又1
cos 3
B =
，所以ac=6. 由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+. 又b=3，所以2292213a c +=+⨯=. 解
，得a=2，c=3或a=3，c=2.
因为a>c,∴ a=3，c=2.
（2）在ABC ∆中，2212
sin 1cos 1()33
B B =-=-= 由正弦定理，得22242
sin sin 3c C B b =
==
a b c =>，所以C 为锐角，因此22427cos 1sin 1(
)99
C C =-=-=.
于是cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+=17224223
3927
⋅+=
. 考点：1.解三角形；2.三角恒等变换.。