连续周期信号的频域分析

2 t0 T0 ~ 其中：a0 x (t )dt T0 t0 2 t0 T0 ~ an x (t ) cos(n0t )dt T0 t0
(n = 1,2) (n = 1,2)
2 bn T0

t 0 T0
t0
~ x (t ) sin(n0t )dt
一、周期信号的傅里叶级数表示
1 (te jn0t 2 jn 0
0 jn0t 0 1 e dt 1

te
jn0t
1 0

1 jn0t e dt ) 0
1 (cos nπ 1) 2 (nπ)
2π 0 π T0
例2 试计算图示周期三角脉冲信号的频谱， 并写出其傅里叶级数表示式。
所以系数
Ci

t2 t1
f (t ) i (t ) d t
t2 t1

i2 (t ) d t
1 Ki

t2 t1
f (t ) i (t ) d t
代入，得最小均方误差（推导过程见教材P57）
n t2 1 2 [ f 2 (t ) d t C 2 jKj] 0 t t 2 t1 1 j 1
3. 指数形式傅里叶级数
a ~ x (t ) 0 (an cos n0t bn sin n0t ) 2 n1 1 jn0t cos(n0t ) e e jn0t an jbn 2 令 Cn 2

1 jn0t jn0t sin(n0t ) e e 2j
A
~ x (t ) ~ x (t )
二、周期信号的频谱
周期信号可以分解为不同频率虚指数（或正弦）信 号之和 从信号分析的角度，将信号表示为不同频率正 弦分量的线性组合，为不同信号之间进行比较 提供了途径。
从系统分析角度，已知单频正弦信号激励下的 响应，利用迭加特性可求得多个不同频率正弦 信号同时激励下的总响应,及每个正弦分量通 过系统后的变化。
Cn是频率的函数，它反映了组成信号各次谐波 的幅度和相位随频率变化的规律，称频谱函数。
x (t ) 例1 试计算图示周期矩形脉冲信号 ~ 的频谱，并写出其傅里叶级数表示式。
~ x (t )
A
- T0
0

T0
t
解:
1 Cn T0

T0 2 T 0 2
1 jn0t ~ x (t )e dt T0
x (t ) 可以分解为不同频率虚指数信号之和 周期信号 ~
二、周期信号的频谱
周期信号可以分解为不同频率虚指数（正弦）信号 之和
~ x (t )
n =
C

n
e
jn0t
a ~ x (t ) 0 (an cos n0t bn sin n0t ) 2 n1
不同的时域信号，只是傅里叶级数的系数Cn不同， 因此通过研究傅里叶级数的系数来研究信号的特性。

2π 0 π T0
1 4 4 4 2 cos 0 t 2 cos 3 0 t cos 5 0 t 2 2 π 9π 25π
二、周期信号的频谱
周期信号可以分解为不同频率虚指数信号之和
~ x (t )
jn0t C e n
n =
例如例1,2信号



~ x (t ) 1 Cn T0
n =
jn0t C e n
T0 t 0


t0
~ x (t )e jn 0t dt
一、周期信号的傅里叶级数表示
3. 指数形式傅里叶级数
连续时间周期信号可以用指数形式傅里叶级数表示为
~ x (t )
n =
Cn e

jn0t
展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不 为0，写为 t2 2 2 [ 2 C f ( t ) ( t ) C i i i i (t )] d t 0 Ci t1
2 2 f ( t ) ( t ) d t 2 C 即 i i i (t ) d t 0 t1 t1 t2 t2
三、周期信号频谱的特性
3 信号的有效带宽
信号的有效带宽有多种定义方式。 物理意义：在信号的有效带宽内，集中了信 号绝大部分谐波分量。若信号丢失有效带宽以 外的谐波成分，不会对信号产生明显影响。
说明：当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽必须“匹配” 。
三、周期信号频谱的特性
4. 对称特性
(1) 纵轴对称信号
~ x (t )
A
x (t ) 为实信号且满足偶对称，故其三角形式 解: 由于 ~ 傅里叶级数展开式为 n0 A 2A ~ x (t ) Sa ( ) cosn0t
- T0
0

T0
t
若 =T0/2，则有
T0
n 1
T0
2
2π A 2A 1 1 ~ x (t ) (cos 0t cos 30t cos 50t ) 0 T0 2 π 3 5
~ x (t ) 不连续时，Cn按1/n的速度衰减 ~ x (t ) 一阶导数不连续时， Cn按1/n2的速度衰减
三、周期信号频谱的特性
3 信号的有效带宽 0~2 / 这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的 有效频带宽度,即
B
2π

信号的有效带宽与信号时域的持续时间成反比。 即 越大，其B越小；反之， 越小，其B 越大。
连续周期信号的频域分析
周期信号的傅里叶级数表示 周期信号的频谱 傅里叶级数的基本性质
周期信号的功率谱
信号正交与正交函数集
1. 定义： 定义在(t1，t2)区间的两个函数 1(t)和 2(t),若满足 t t 1 (t )2 (t ) d t 0 (两函数的内积为0)
2 1
则称 1(t)和 2(t) 在区间(t1，t2)内正交。 2. 正交函数集： 若n个函数 1(t)， 2(t)，…， n(t)构成一个函数集， 当这些函数在区间(t1，t2)内满足
1 Cn 其中 T0

T0 t 0
t0
~ x (t )e jn 0t dt
n 1 两项的基波频率为f0，两项合起来称为信号的基波分量 n 2 的基波频率为2f0，两项合起来称为信号的2次谐波分量 n N 的基波频率为Nf0，两项合起来称为信号的N次谐波分量
物理含义：
例2 试计算图示周期三角脉冲信号的频谱， 并写出其傅里叶级数表示式。
~ x (t )

-2 1
0

2
t
解:
1 Cn T0
1 1 0 jn0t jn0t jn0t ~ x ( t ) e d t ( t e d t t e dt ) T0 / 2 0 2 1 T0 / 2
~ x (t )

-2 1
0

2
t
解:
2 /(nπ) 2 , n为奇数 1 Cn (cos nπ 1) 2 n0 (nπ) 1 / 2,
周期三角脉冲信号的指数形式傅里叶级数展开式为
~ x (t ) Cn e jn0t
n =

1 2 2π j( 2 m 1) 0t e 0 π 2 2 m= [(2m 1) π] T0
(t ) i (t ) d t 0
( i =1，2，…，n)
则称此函数集为完备正交函数集。 例如：三角函数集{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…} 和 虚指数函数集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}是两组典型的 在区间(t0，t0+T)(T=2π/Ω)上的完备正交函数集。
在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即n越 大，则均方误差越小。当n→∞时（为完备正交函数 集），均方误差为零。此时有

t2 t1
f 2 (t ) d t C 2 jKj
j 1

上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式，表明：在区间(t1,t2) f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各 正交分量能量的总和。 函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和 f (t ) C j j (t )

t2 t1
i j 0, i (t ) j (t ) d t K i 0, i j
则称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集。
3. 完备正交函数集： 如果在正交函数集{1(t)， 2(t)，…， n(t)}之外， 不存在函数φ(t)(≠0）满足

t2 t1


2


2
Ae
jn0t
n0 A Sa ( ) dt T0 2
x (t ) 的指数形式傅里叶级数展开式为 因此， ~
A jn0t ~ x (t ) Cn e T0 n =


n0 jn0 t Sa ( )e 2 n =

2π 0 T0
x (t ) 例1 试计算图示周期矩形脉冲信号 ~ 的频谱，并写出其傅里叶级数表示式。
信号的正交分解
设有n个函数 1(t)， 2(t)，…， n(t)在区间(t1，t2) 构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交 函数的线性组合来近似，可表示为 f(t)≈C11+ C22+…+ Cnn
如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差在 区间(t1，t2)内为最小。


n 0
0 2π / T
三、周期信号频谱的特性
1 离散频谱特性 周期信号的频谱是由间隔为0 的谱线组成的。 信号周期 T0越大，0就越小，则谱线越密。 反之， T0越小，0越大，谱线则越疏。