电磁场理论第6讲静态场问题求解方法概要
电磁场与电磁波6静态场边值问题的求解
( An ' cos K n x Bn ' sin K n x)(Cn ' chKn y Dn ' shKn y )
n 1
4）利用给定边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。 a ) y轴 x 0 0 y a 0
b ) x轴 y 0 0 x a 0 0 C0 0 Cn 0 Cn c) x a 0 y a 0 B0 0 Bn 0
400
1 n n sin xsh y n1 nshn a a
接地金属槽内的等位线分布
(n 1, 3, 5 )
三、分离变量法：柱坐标系中
电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为
1 1 2 2 2 0 r 2 2 r r r r z
( ) A sin m B cosm
考虑到 k m，以及变量 的方程式，则前述方程可表示为
1 d dR m 2 1 d 2 Z 0 r 2 2 Rr dr dr r Z dz
三、分离变量法：柱坐标系中
上式左边第一项仅为变量 r 的函数，第二项仅为变量 z 的函数，因
(6 )
(7 )
1 d 21 2 K n 1 dx2
1 d 2 2 2 K n 2 dy2
Kn 2 0
(8)
3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。
1 ( x) 2 ( y) ( A0 B0 x)(C0 D0 y)
( An chKn x Bn shKn x)(Cn cos K n y Dn sin K n y )
1 d 2 2 k d 2
静态场的解法
（3）混合边值问题，又称为第三类边值问题， 它是第一类和第二类边值问题旳混合型。
式中常数Am、Bm由边界条件决定。 例3.8 无限大介质外加均匀电场，在介质内有一种半 径为a旳球形空腔，介质旳介电常数为ε，求空腔内、 外旳电位分布及电场强度。
解 本题为球坐标系中具有轴对称性旳二维场问题 在空腔内旳通解为
在介质中旳通解为
下面利用边界条件拟定各个系数。 所以B1=0 ③ 系数A1、C1、D1能够由r=a时旳边界条件求出，当 r=a时由φ1=φ2 所以能够得出
所以k必须为整数，令k=n，于是式（3.4.7）变为
(3.4.8) 用n替代k，并把式（3.4.5）改写为如下形式
(3.4.9)
它是一种欧拉方程，其解为
(3.4.10)
式中旳系数由边界条件拟定
（3.4.11）
球坐标系中旳拉普拉斯方程为 ▪ 2.在球坐标系旳分离
变量法 在球坐标系中具有轴对称旳二维场旳解
按照梯形算法，每一种小梯形区间宽度为
，
第n个梯形采样点为
则 然后编写程序计算数值解。
2.有限差分法
在一种闭合边界L所界定旳平面域，其定解问 题可表述为
首先是把求解旳场域离散化，即在求解旳场域划提成 网格，网格旳划分有许多种措施，最简朴旳是正方形 网格划分，如图3.6.2所示。然后对偏微分方程进行 离散化，对正方形网格可采用五点差分格式。在二维 场域中取一点P，则沿x轴方向并经过P点旳直线上任 意一点旳数值ux用泰勒公式展开为
3 电磁场与电磁波--静态电磁场及其边值问题的解
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
电位差（电压） 将 E 两端点乘 dl ，则有 E dl dl dl d l 上式两边从点P到点Q沿任意路径进行积分，得
电场力 做的功
Q
P
Q E dl d ( P) (Q)
2
1 P1 2 Δl
P2
1 2 1 2 S n n
若介质分界面上无自由电荷，即S=0
1 2 1 2 n n
• 电磁场与电磁波 •
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
或
D1n D2n S
表明在两种媒质的分界面上存在自由面电荷分布时，电位移 矢量的法向分量是不连续的。
• 电磁场与电磁波 •
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
若分界面上不存在自由面电荷，即S=0，则
en (D1 D2 ) 0
或
D1n D2n
此时，在分界面上，电位移矢量的法向分量是连续的。由 边界条件： E E 和 E E ，可得场矢量在分界 1t 2t 1 1n 2 2n 面上的折射关系：
• 电磁场与电磁波 •
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
3.1 静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析
3.3 恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性原理 3.5 镜像法 3.6 分离变量法 3.7 有限差分法
• 电磁场与电磁波 •
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
3.1 静电场分析
R
z L
( , , z)
2 ( z z ) 2 ，则
R
1 dz
L L
(r ) l 0 4 π 0
电磁场导论准静态电磁场解读
+ u(间变化缓慢, 近似为电准静态场， 1）仿照静电场求得介质中的电场强度
E (t ) U u (t ) e z m sint e z d d
2）介质中无传导电流，仅有位移电流密度
D E ( E m sint ) e z U m cos t e z t t t d D H d l 由M1方程 l S t dS
l2
S
t
坡印亭矢量 S E H r ( 0 NI 0 e t / ) ( NI 0 e t / ) (e e z ) 2 r 可见，电磁功率由螺线管 2 2 2t / 0 N I 0 e er 线圈内部沿半径向外传输。 2
2018/9/29 第六章准静态电磁场 11
2018/9/29 第六章准静态电磁场
l1 i (t)
H(t)
l2
E(t) 6-5题图
14
6-3 集肤效应与邻近效应
6-3-1 集肤效应
假设 x0的半无限大空间导体， 通有y方向的正弦电流i(t)， 电流扩散方程
y Jy x
jJ k 2J 2 J
简化为 通解
d2 J y dx 2 C ekx C e kx J y 1 2 k 2J y
J、E和H的振幅都沿导体的纵深x按指数规律ex衰减， 而且相位x也随之改变。 频率很高时，电流密度几乎只在导体表面附近一薄层中。
场量主要集中在导体表面附近的这种现象，称为 集肤效应。
2018/9/29 第六章准静态电磁场 16
工程上常用透入深度d表示场量的集肤程度 定义：透入深度d为场量振幅衰减到其表面值的 1/e时所经过的距离。
因此，一般认为良导体内部没有体电荷， = 0
ANSYS电磁场分析指南-第六章3-D静态磁场分析（棱边单元方法）
第六章３-Ｄ静态磁场分析（棱边单元方法）6.1何时使用棱边元方法在理论上，当存在非均匀介质时，用基于节点的连续矢量位A来进行有限元计算会产生不精确的解，这种理论上的缺陷可通过使用棱边元方法予以消除。
这种方法不但适用于静态分析，还适用于谐波和瞬态磁场分析。
在大多数实际3-D分析中，推荐使用这种方法。
在棱边元方法中，电流源是整个网格的一个部分，虽然建模比较困难，但对导体的形状没有控制，更少约束。
另外也正因为对电流源也要划分网格，所以可以计算焦耳热和洛伦兹力。
用棱边元方法分析的典型使用情况有：·电机·变压器·感应加热·螺线管电磁铁·强场磁体·非破坏性试验·磁搅动·电解装置·粒子加速器·医疗和地球物理仪器《ANSYS理论手册》不同章节中讨论了棱边单元的公式。
这些章节包括棱边分析方法的概述、矩阵列式的讨论、棱边方法型函数的信息。
对于ANSYS的SOLID117棱边单元，自由度是矢量位A沿单元边切向分量的积分。
物理解释为：沿闭合环路对边自由度（通量）求和，得到通过封闭环路的磁通量。
正的通量值表示单元边矢量是由较低节点号指向较高节点号（由单元边连接）。
磁通量方向由封闭环路的方向根据右手法则来判定。
在ANSYS中，AZ表示边通量自由度，它在MKS单位制中的单位是韦伯（Volt·Secs），SOLID117是20节点六面体单元，它的12个边节点（每条边的中间节点）上持有边通量自由度AZ。
单元边矢量是由较低节点号指向较高节点号。
在动态问题中，8个角节点上持有时间积分电势自由度VOLT。
ANSYS程序可用棱边元方法分析3-D静态、谐波和瞬态磁场问题。
（实体模型与其它分析类型一样，只是边界条件不同），具体参见第7章，第8章。
6.2单元边方法中用到的单元表 1三维实体单元6.3物理模型区域的特性与设置对于包括空气、铁、永磁体、源电流的静态磁场分析模型，可以通过设置不同区域不同材料特性来完成。
第6讲 静态电磁场分析
静电场分析典型例题
（续上例）故有： d1 0 c2a d2 0
c1b d1 c2b d2
解以上四式，最终可得：
c2
c1
S0 0
1 ( x)
2 (x)
S0(a 0a
S0b (a 0a
b) x x)
0 xb bxa
E1
(
x)
E2
(
x)
1 ( x)
ex
S0 (a 0a
2 (x)
ex
r2
J
σ
化的，电位 只是变量 的函数。
0
h
U Ed
U0 E0r
E U0
0r
r1
环形导电媒质块
J E U0 0r
I
r2 r1
U0 0r
hdr
U0h 0
(ln
r2
ln
r1)
R U0
0
I h(ln r2 ln r1)
第六讲 静态电磁场分析
d
21 ( x)
dx2
0
(0 x b)
d
22 (x)
dx2
0
(b x a)
12((xx))
c1x d1 c2 x d2
y
S0
1(x) 2 (x) a x
O
b
由电位边界条件：
1 xb
2 xb
2 (x) 1(x) S0
x
x xb
0
1 x0 0
2 xa 0
第六讲 静态电磁场分析
第六讲 静态电磁场分析
静电场分析典型例题
【例4】导体球壳，内径为b，外径为c，球壳球心为半径为a导体球，导
体球带电量Q，外导体接地。中间充满两种介质，介电系数分别为ε1和 ε2，介质分界面如图所示。 求：（1）空间场分布E(r)；
静态场的解析法.
D
mh
当：r′ ≥R 时
柱面
R O′
= =
R q -q O O′ d h D
mq mh
O
D
ρl mh
d1
R=mh/(m-1) ; R2=Dd D-mR ; m＞1
当：ρ′ ≥R 时
ρl
R O′
ρl - ρ lO d h D
ρl mh
-ρl
d2
R2=d1d2
d
4.3
格林函数法
中国地质大学
定义： 格林函数法就是一个积分公式:
若已知：第2类边值 ∂φ(r)/∂n｜s 则：取∂G(r,r′)/∂n｜s = 0 因而有： φ(r)=∫vρ(r′)G(r′,r)dv′+ε∮s[G(r′,r) ∂φ(r′)/∂n′ ]ds′
有关格林函数的注意事项：
中国地质大学
由前面的推导中可知，格林函数若不完全按标准定义 则格林函数法将有不同的表达式，常见的有三种：
①
▽2G(r, r′)=－δ (r-r′)/ε
φ(r)=∫vρ(r′)G(r′,r)dv′+ε∮s[G(r′,r) ∂φ(r′)/∂n′ _ φ(r′) ∂G(r′,r)/∂n′ ]ds′ ② ▽2G(r, r′)=－4πδ (r-r′)
φ(r)= (1/4πε)(∫vρ(r′)G(r′,r)dv′+ε∮s[G(r′,r) ∂φ(r′)/∂n′ _ φ(r′) ∂G(r′,r)/∂n′ ]ds′ ) ③
1、无界空间：G = 1/4πε︱r-r′︱
q
2、接地无穷大平板导体的半空间： G =[1/︱r-r′︱－ 1/︱r-r′′ ︱]/ 4πε
3、接地球导体的内、外空间： G =[m/︱r-r′︱－ 1/︱r-r′′ ︱]/ 4πε
2020年高中物理竞赛-电磁学篇(电磁场理论)04静态电磁场求解：静态场的唯一性定理(共10张PPT
Electromagnetic Theory 2020高中物理竞赛 （电磁学篇）
第四章 静态电磁场求解
主要内容：
静态的场唯一性定理 分离变量方法 Green函数方法 镜像原理
4.1 静态场的唯一性定理
1 静态电磁场的方程 静电场由电荷激发，电荷是静电场的通量源。 恒定磁场由恒定电流激发，电流是静态磁场的 涡旋源。静态电磁场与时间无关，具有相同的 基本特性。 ① 静态电磁场与时间无关，属于时不变场， 数学上满足同一类方程（Poisson方程）
M
n
r r
2 唯一性定理
设在区域V内源已知，在区域的边界S上：
r
| 边界
M
或
r
n
|边界
M
已知（M为边界上
的变点）。则在区域V内存在唯一的解，
它在该区域内满足Poisson方程；在区域
的边界上满给定的边界条件。称为静态电
磁场的唯一性定理。
设
E1 r
A1
r r3
E2
r
A2
r r3
两个同心导体球壳之 间充满两种介质。内
导体带电，电荷量为Q，
外导体球壳接地。
E1t E2t
D1n D2n
S
D dS
S1
1E1 dS
S2
2 E2
dS
Q
A
Q
2π1 2
2r r
κ为介质的电磁特性参数
② 静态电磁场（恒定电流磁场源区）具有 无旋特性，可以用标量函数（称为位函 数或势函数）的梯度来表示，即
Fr r
③ 在介质的分界面上，位函数满足
1
r
| S
2
r
| S
工程电磁场导论准静态电磁场和边值问题知识点
工程电磁场导论准静态电磁场和边值问题知识点一、知识概述准静态电磁场和边值问题①基本定义：- 准静态电磁场呢，简单说就是一种近似的电磁场情况。
在一些情况下，电磁场变化不是那么快，就可以把它当作准静态的。
比如说电场或者磁场的变化率相对比较小的时候，就像是大家走路的时候一步一步慢慢走，而不是跑来跑去那种很剧烈的变化。
电场准静态的时候，可以近似用静电场的一些方法去分析，磁场准静态的时候也类似能用上一些静磁场的办法。
边值问题呢，就是在给定的边界条件下，去求解电磁场的问题。
就好比你要在一个限定的区域里，根据这个区域四周的情况来确定里面电磁场是啥样的，这个区域周围的情况就是边界条件。
②重要程度：- 在工程电磁场导论这个学科里，这可是很重要的一部分呢。
因为实际工程中很多电磁场的情况都可以用准静态的概念简化分析，让复杂的问题变得好理解一些。
边值问题相当于把电磁场的理论和实际应用连接起来的一座桥，如果搞不定边值问题，很多实际工程中的电磁场就没法准确计算和设计。
③前置知识：- 得先掌握静电场、静磁场的基本概念和计算方法。
比如说库仑定律得知道吧，安培定律这些也得有个印象。
就像你要学烧复杂的菜，那得先把切菜洗菜、基本的煎炒烹炸先学会。
④应用价值：- 在电气设备的设计里经常用到。
比如电机的电磁场分析，就可以用准静态电磁场的概念简化计算。
还有像变压器的设计，要考虑铁芯周围的磁场分布，这时候就会涉及到边值问题。
如果这些搞不清楚，电机可能性能就不好，变压器效率也上不去。
二、知识体系①知识图谱：- 准静态电磁场和边值问题在工程电磁场导论这个学科里就像是大树的树干分出来的一个大树枝。
它跟之前学的静电场、静磁场有联系，又为后面学习更复杂的时变电磁场打基础。
②关联知识：- 和麦克斯韦方程组里的各个方程关系密切。
像准静态电磁场很多时候就是在麦克斯韦方程组在特殊情况下的一种反映。
和电磁感应原理也有关联，因为磁场变化产生感应电场之类的。
③重难点分析：- 重点是确定不同情况下的准静态电磁场的近似条件，还有就是高效准确地根据边界条件求解边值问题。
电磁场理论-静态场的解法
V
2
dV
S
n
dS
— 格林第一公式
第4章 静态场的解法
若1 、2 都满足 Laplace 方程（或 Poisson 方程），则 1 2 满足 Laplace 方程，即：
2 0
令格林公式中 、 都是 ，则：
2 dV dS
V
S n
第一种情况（Dirichlet 问题）：
1 、2 在
q
r2
d2
2rd c os
由于 r a 时电位为 0，有
q
q
0
a2 d 2 2ad cos a2 d2 2ad cos
第4章 静态场的解法
上式对任意的 都成立，必有
q q 0 d a ad
q q 0 d a ad
( 0) ( )
由此解得
d
a2 d
,
q a q d
因此，球外任一点的电位为
第4章 静态场的解法
4.1 静态场唯一性定理
1、边值型问题的分类
边值型问题按其边界条件不同可分为三类：
(1)已知区域边界上的位函数值，即构成如下边值问题：
2 或0
|S 0
— 荻利克利特(Dirichlet)问题
(2)已知待求函数在区域边界上的法向导数值，即：
2
n
S
0
— Neumann 问题
第4章 静态场的解法
1、接地导体平面的镜像法
(1) 点电荷对接地导体平面的镜像法
设在无限大导体平面的上半空间放置一点电荷 q，导体
接地，电位为 0。在计算上半空间某点 P 的电位时，由于
导体表面存在与点电荷符号相反的感应电荷，因此不能用
无界空间点电荷的电位公式来计 算。
电磁场电磁波静态场及其边值问题的解
Cq
两个带等量异号电荷（q）的
1 U
E
2 0
导体组成的电容器，其电容为
q
q
C q q
U 1 2
电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质
的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
11
3.1.4 静电场的能量 静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有 能量。
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
1
• 静态电磁场：场量不随时间变化，包括： 静电场、恒定电场和恒定磁场
• 时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场
• 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立
本章内容
3.1 静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析 3.3 恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理 3.5 镜像法 3.6 分离变量法
1 P1 2 P2
Δl
2
2
n
1
1
n
S
• 若介质分界面上无自由电荷，即S 0
2
2
n
1
1
n
•
导体表面上电位的边界条件： 常数，
n
S
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
10
电容 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷能
力的物理量。
孤立导体的电容
孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位 的比值，即
上式两边从点P到点Q沿任意路径进行积分，得
电场力做 的功
Q
Q
P E dl P d (P) (Q)
关于电位差的说明
第6讲静态电磁场分析
第6讲静态电磁场分析静态电磁场分析是电磁场理论的重要分支，研究在不随时间变化的条件下的电磁场分布和特性。
静态电磁场分析在电力系统的设计和运行中起着关键的作用，对于解决电磁场相关问题具有重要的理论和实践意义。
静态电磁场分析的基础是麦克斯韦方程组，包括高斯定理、法拉第电磁感应定律以及安培环路定理。
这些方程描述了电场和磁场之间的相互作用关系，以及随时间变化的规律。
在静态条件下，电场和磁场的变化可以忽略不计，只需要考虑它们的分布和静态特性。
静态电场分析主要研究电场中的电荷分布以及电场强度的变化规律。
电荷的分布可以通过静电势来描述，静电势的分布满足拉普拉斯方程。
通过解拉普拉斯方程可以得到电场的分布和静态特性。
在电力系统的设计中，静态电场分析可以用于计算电线、电缆等导体中的电场分布，从而确定电介质的电场强度以及绝缘介质的选取。
静态电场分析的一种常用方法是有限元法。
有限元法是一种数值分析方法，将复杂的电场问题离散化为简单的有限单元，通过求解有限元方程组得到电场的数值解。
该方法的优点是适用于任意复杂的电场问题，并且能够得到高精度的结果。
静态磁场分析主要研究磁场中的磁感应强度和磁场分布。
磁感应强度的变化主要由两个方面决定：一是磁场中的电流分布，二是磁性材料的磁化特性。
静态磁场分析可以用于计算电流在导线中的分布以及空间中的磁感应强度分布。
在电力系统中，静态磁场分析可以用于计算输电线路和变压器等设备中的磁场分布，从而进行电磁实施评估和电磁辐射控制。
静态电磁场分析在电力系统的设计和运行中有重要的应用价值。
通过分析电场和磁场的分布和特性，可以对电力系统中的电磁问题进行评估和控制，从而确保电力系统的稳定运行和人体生物安全。
此外，静态电磁场分析还可以用于电力设备的设计和优化，提高电力系统的效率和可靠性。
综上所述，静态电磁场分析是电磁场理论的重要分支，研究在不随时间变化的条件下的电磁场分布和特性。
它在电力系统的设计和运行中起着关键的作用，对于解决电磁场相关问题具有重要的理论和实践意义。
静态场及其边值问题的解
3.1.2 电位函数 1. 电位函数旳定义
E 0
E
即静电场能够用一种标量函数旳梯度来表达，标量函数 称
为静电场旳标量电位或简称电位。
2. 电位旳体现式
对于连续旳体分布电荷，由
R r r
E(r )
1
4
V
(r ) R3
RdV
1
4
V
(r)( 1 )dV
R
[ 1
4
V
(r)( 1 )dV ]
3.
电位差
将
E
两端点乘 dl，则有
E
dl
dl
(
dx
dy
dy)
d
x y y
上式两边从点P到点Q沿任意途径进行积分，得
电场力对单 位正电荷做
旳功
Q
Q
P E dl P d (P) (Q)
有关电位差旳阐明:
P、Q 两点间旳电位差
P、Q 两点间旳电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至Q 点 所做旳功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处； 电位差也称为电压，可用U 表达； 电位差有拟定值，只与首尾两点位置有关，与积分途径无关。
U
2
ln(b / a)
F/m
21
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
3.1.4 静电场旳能量 静电场对电荷有作用力，这表白静电场具有能量。静电场能
量起源于建立电荷系统旳过程中外电源提供旳能量。
1. 静电场旳能量 体分布电荷旳电场能量为
We
1 2
dV
V
对于面分布电荷，电场能量为
We
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
1
静态场及其边值问题的解
R r r
3. 电位差 将 E 两端点乘 dl ，则有 E dl dl ( dx dy dy) d x y y 上式两边从点P到点Q沿任意路径进行积分，得
电场力做 的功
Q
P
Q E dl d ( P) (Q)
P
关于电位差的说明
P、Q 两点间的电位差
P、Q 两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至Q 点 所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处。
电位差也称为电压，可用U 表示。
电位差有确定值，只与首尾两点位臵有关，与积分路径无关。
4. 电位参考点 静电位不惟一，可以相差一个常数，即
C ( C )
•
• •
静态电磁场：场量不随时间变化，包括：
静电场、恒定电场和恒定磁场 时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立
本章内容
3.1 静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析 3.3 恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理 3.5 镜像法
如果选择参考点在rQ=∞，得P=∞，显然不合理。 l 1 ln ，显然这种形式最简单。 如果选择rQ=1，得 P 2 0 rP l 1 由此得到线电荷电位的一般表达式 ln 2 0 r l l 1 1 对于位于r 的线电荷，电位表达式为 ln ln 2 0 r r 2 0 R
线电荷：设线电荷 l 在原点，参考点 Q ，场点 ( 电位考察 点)P，沿如前路径进行积分，有 M Q l Q r P E d l E d l d r 2 P M M 2 0 r
静态电磁场边值问题的解法
1 1 2
q q' q q''
2
1 1
q' 1 2 q
1 2 q'' q' 2 1 q
1 2
上半空间电势为 P 下半空间电势为 P
q q'
41r1 41r2
q
q''
4 r 4 r 2 1 第八页，共30页
21
2 2
q q' q q''
1
➢ 1中的电场是由 q与 q'共同产
1
上 半 空 间
E1t
q
41r 2
cos
q'
41r 2
cos
D1n
q
4r 2
sin
q'
4r 2
sin
下 半 空 间
E2t
q
42r 2
cos
q''
42r 2
cos
D2n
q
4r 2
sin
q'' sin 4r 2
第七页，共30页
2 2
q
q' q q''
q q' q q''
DE11tn
E2t D2
n
(x, y) X (x)Y ( y)
y
( A1 cos kx A2 sin kx) (B1chky B2shky)
边界条件：
U0
0
0 z
ab 0
x
x 0, 0 y b, 0 x a, y 0, x a, 0 y b, 0 x a, y b,
由（1）可得：A1 0 由（2）可得：B1 0
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2. 单一/非单一媒质空间的问题（一维问题） ✓ Gauss定律、安培环路定律（积分方程简化为代数方程） ✓ Poisson方程（偏微分方程简化为常微分方程）
3. 非单一媒质空间的高维问题
✓ 镜像法
✓ 。。。
16
为求解场问题的各种求解方法提供了理论依据 为求解结果的正确性提供了判据
11
12
镜像法的基本原理 1. 问题的提出
几个实例 接地导体板附近有
一 个 点 电荷 ， 如 图所 非均匀感应面电荷 q
示。
等效电荷
q′
12
13
接地导体球附近有一个点电荷，如图
等效电荷
q′
q
非均匀感应电荷
接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电 荷为线电荷。
具有强对称性的问题 （一维问题）
待求场量或位函数具有单一坐标位置变量依赖
的特征！！！
• 源的分布：具有对称性
• 环境：具有对称性
5
6
静态场的边值问题
边值问题：在给定的边界条件下，求解位函数的 泊松方程或拉普拉斯方程
6
7
▪ 边值问题的类型
第一类边值问题（或狄里赫利问题）
V
给定 |S f1(S)
5. 确定镜像电荷的两条原则 像电荷必须位于求解域以外（保持问题描述的方程不变） 像电荷的个数、位置及电荷量的大小的选择目标 是保持问题的边界条件不变
15
16
分析方法总结
▪ 已经学到的方法和可以解决的问题
1. 无限大单一媒质空间的问题（一维、二维、三维问题） ✓ 场-源直接积分法 积分方程方法（Maxwell方程的积分形式） 微分方程方法（Maxwell方程的微分形式、Poisson方程）
镜象法 分离变量法 有限差分法 ……..
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惟一性定理 惟一性定理的表述
在求解域V内保持待求量的方程不变， 同时，在V的包围边界面S上保持给定的 或 的边值不变，则泊松方程或拉普拉斯
n 方程在场域V 内的解惟一。
11
V S
惟一性定理的重要意义 给出了边值问题具有惟一解的条件
V：求解域 S：V的包围面
电磁场理论 第六讲
静态场问题求解方法概要
4
基于磁矢位求解分析静态磁场问题的方法
磁矢位函数满足Poisson方程
2 A J , ( B = A )
磁矢位的边界条件
A1 A2
eБайду номын сангаас(11A112A2)JS
4
5
已经学习掌握的分析能力
无限大的均匀媒质空间中的问题 （包括高维问题） 待求场量或位函数依赖于多个坐标位置变量！ • 源的分布：不具有对称性 • 环境：具有对称性
问题：这种等效电荷是否存在？ 这种等效是否合理？
13
14
2. 镜像法的原理 方法： 在求解域外设置等效电荷，集中代表边界上分布电 荷的作用 目的： 使复杂边值问题，化为无限大单一媒质空间的问题
3. 镜像法的理论基础
解的惟一性定理
14
15
4. 镜像法应用的关键点 镜像电荷的确定
像电荷的个数、位置及其电量大小——确定“三要素” 明确等效求解的“有效场域”
y
b
U0
O
ax
例：
y
b
U0
0 x
0 x
O
ax
9
2 2
0 x2 y2
(0 ,y)0 ,(a ,y)0
(x,0)0,(x,b)U 0
（第一类边值问题）
2 2
0 x2 y2
x x0
0,
x
xa
0
(x,0)0,(x,b)U 0
（第三类边值问题） 9
10
求解边值问题：
边值问题的描述 边值问题的解法
第二类边值问题（或纽曼问题）
S
给定
n |S f2 (S)
第三类边值问题（或混合边值问题）
V：求解域 S：V的包围面
给定
|S1 f1(S1)、 n|S2f2(S2); SS1S2
7
自然边界条件 （无界空间）
limr有限值
r
要求：掌握用解边值问题的思想求解 任意复杂问题的数学描述方法
8
r
S
8
例：