电磁场理论第6讲静态场问题求解方法概要
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问题：这种等效电荷是否存在？ 这种等效是否合理？
13
14
2. 镜像法的原理 方法： 在求解域外设置等效电荷，集中代表边界上分布电 荷的作用 目的： 使复杂边值问题，化为无限大单一媒质空间的问题
3. 镜像法的理论基础
解的惟一性定理
14
15
4. 镜像法应用的关键点 镜像电荷的确定
像电荷的个数、位置及其电量大小——确定“三要素” 明确等效求解的“有效场域”
电磁场理论 第六讲
静态场问题求解方法概要
4
基于磁矢位求解分析静态磁场问题的方法
磁矢位函数满足Poisson方程
2 A J , ( B = A )
磁矢位的边界条件
A1 A2
en(11A112A2)JS
4
5
已经学习掌握的分析能力
无限大的均匀媒质空间中的问题 （包括高维问题） 待求场量或位函数依赖于多个坐标位置变量！ • 源的分布：不具有对称性 • 环境：具有对称性
第二类边值问题（或纽曼问题）
S
给定
n |S f2 (S)
第三类边值问题（或混合边值问题）
V：求解域 S：V的包围面
给定
|S1 f1(S1)、 n|S2f2(S2); SS1S2
7
自然边界条件 （无界空间）
limr有ຫໍສະໝຸດ Baidu值
r
要求：掌握用解边值问题的思想求解 任意复杂问题的数学描述方法
8
r
S
8
例：
镜象法 分离变量法 有限差分法 ……..
10
惟一性定理 惟一性定理的表述
在求解域V内保持待求量的方程不变， 同时，在V的包围边界面S上保持给定的 或 的边值不变，则泊松方程或拉普拉斯
n 方程在场域V 内的解惟一。
11
V S
惟一性定理的重要意义 给出了边值问题具有惟一解的条件
V：求解域 S：V的包围面
5. 确定镜像电荷的两条原则 像电荷必须位于求解域以外（保持问题描述的方程不变） 像电荷的个数、位置及电荷量的大小的选择目标 是保持问题的边界条件不变
15
16
分析方法总结
▪ 已经学到的方法和可以解决的问题
1. 无限大单一媒质空间的问题（一维、二维、三维问题） ✓ 场-源直接积分法 积分方程方法（Maxwell方程的积分形式） 微分方程方法（Maxwell方程的微分形式、Poisson方程）
为求解场问题的各种求解方法提供了理论依据 为求解结果的正确性提供了判据
11
12
镜像法的基本原理 1. 问题的提出
几个实例 接地导体板附近有
一 个 点 电荷 ， 如 图所 非均匀感应面电荷 q
示。
等效电荷
q′
12
13
接地导体球附近有一个点电荷，如图
等效电荷
q′
q
非均匀感应电荷
接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电 荷为线电荷。
y
b
U0
O
ax
例：
y
b
U0
0 x
0 x
O
ax
9
2 2
0 x2 y2
(0 ,y)0 ,(a ,y)0
(x,0)0,(x,b)U 0
（第一类边值问题）
2 2
0 x2 y2
x x0
0,
x
xa
0
(x,0)0,(x,b)U 0
（第三类边值问题） 9
10
求解边值问题：
边值问题的描述 边值问题的解法
具有强对称性的问题 （一维问题）
待求场量或位函数具有单一坐标位置变量依赖
的特征！！！
• 源的分布：具有对称性
• 环境：具有对称性
5
6
静态场的边值问题
边值问题：在给定的边界条件下，求解位函数的 泊松方程或拉普拉斯方程
6
7
▪ 边值问题的类型
第一类边值问题（或狄里赫利问题）
V
给定 |S f1(S)
2. 单一/非单一媒质空间的问题（一维问题） ✓ Gauss定律、安培环路定律（积分方程简化为代数方程） ✓ Poisson方程（偏微分方程简化为常微分方程）
3. 非单一媒质空间的高维问题
✓ 镜像法
✓ 。。。
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2. 镜像法的原理 方法： 在求解域外设置等效电荷，集中代表边界上分布电 荷的作用 目的： 使复杂边值问题，化为无限大单一媒质空间的问题
3. 镜像法的理论基础
解的惟一性定理
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4. 镜像法应用的关键点 镜像电荷的确定
像电荷的个数、位置及其电量大小——确定“三要素” 明确等效求解的“有效场域”
电磁场理论 第六讲
静态场问题求解方法概要
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基于磁矢位求解分析静态磁场问题的方法
磁矢位函数满足Poisson方程
2 A J , ( B = A )
磁矢位的边界条件
A1 A2
en(11A112A2)JS
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已经学习掌握的分析能力
无限大的均匀媒质空间中的问题 （包括高维问题） 待求场量或位函数依赖于多个坐标位置变量！ • 源的分布：不具有对称性 • 环境：具有对称性
第二类边值问题（或纽曼问题）
S
给定
n |S f2 (S)
第三类边值问题（或混合边值问题）
V：求解域 S：V的包围面
给定
|S1 f1(S1)、 n|S2f2(S2); SS1S2
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自然边界条件 （无界空间）
limr有ຫໍສະໝຸດ Baidu值
r
要求：掌握用解边值问题的思想求解 任意复杂问题的数学描述方法
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r
S
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例：
镜象法 分离变量法 有限差分法 ……..
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惟一性定理 惟一性定理的表述
在求解域V内保持待求量的方程不变， 同时，在V的包围边界面S上保持给定的 或 的边值不变，则泊松方程或拉普拉斯
n 方程在场域V 内的解惟一。
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V S
惟一性定理的重要意义 给出了边值问题具有惟一解的条件
V：求解域 S：V的包围面
5. 确定镜像电荷的两条原则 像电荷必须位于求解域以外（保持问题描述的方程不变） 像电荷的个数、位置及电荷量的大小的选择目标 是保持问题的边界条件不变
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分析方法总结
▪ 已经学到的方法和可以解决的问题
1. 无限大单一媒质空间的问题（一维、二维、三维问题） ✓ 场-源直接积分法 积分方程方法（Maxwell方程的积分形式） 微分方程方法（Maxwell方程的微分形式、Poisson方程）
为求解场问题的各种求解方法提供了理论依据 为求解结果的正确性提供了判据
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镜像法的基本原理 1. 问题的提出
几个实例 接地导体板附近有
一 个 点 电荷 ， 如 图所 非均匀感应面电荷 q
示。
等效电荷
q′
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接地导体球附近有一个点电荷，如图
等效电荷
q′
q
非均匀感应电荷
接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电 荷为线电荷。
y
b
U0
O
ax
例：
y
b
U0
0 x
0 x
O
ax
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0 x2 y2
(0 ,y)0 ,(a ,y)0
(x,0)0,(x,b)U 0
（第一类边值问题）
2 2
0 x2 y2
x x0
0,
x
xa
0
(x,0)0,(x,b)U 0
（第三类边值问题） 9
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求解边值问题：
边值问题的描述 边值问题的解法
具有强对称性的问题 （一维问题）
待求场量或位函数具有单一坐标位置变量依赖
的特征！！！
• 源的分布：具有对称性
• 环境：具有对称性
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静态场的边值问题
边值问题：在给定的边界条件下，求解位函数的 泊松方程或拉普拉斯方程
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▪ 边值问题的类型
第一类边值问题（或狄里赫利问题）
V
给定 |S f1(S)
2. 单一/非单一媒质空间的问题（一维问题） ✓ Gauss定律、安培环路定律（积分方程简化为代数方程） ✓ Poisson方程（偏微分方程简化为常微分方程）
3. 非单一媒质空间的高维问题
✓ 镜像法
✓ 。。。
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