数学建模a题系泊系统设计

摘要本题要求观测近海观测网的组成，建立模型对其中系泊系统进行设计，在不同风速和水流的情况下确定锚链，重物球，钢管及浮标等的状态，从而使通讯设备的工作效果最佳。

求解的具体流程如下：针对问题一，分别对系统中的受力物体在水平方向和竖直方向上的力进行分析，找出锚链对锚无拉力时的临界风速，运用力矩平衡求出钢管与钢桶的倾斜角度。

对于锚链，将其等效为悬链线模型，根据风速不同判断锚链的状态，从而求出结果。

⁄时能够正常工针对问题二，需要调节重物球的质量，使通讯设备在36m m作。

为了确定重物球的质量，首先将实际风速与临界风速进行比较，判断此时系统中各物体的状态，与题目中已知数据进行比较。

在钢桶倾斜角度达到临界角度时，计算锚链与海床的夹角并于题中数据进行比较，计算重物球的质量。

在浮标完全没入海面时，计算相应条件下重物球的质量，从而确定满足条件的重物球的质量范围。

针对问题三，要求在不同条件下，求出系泊系统中各物体的状态。

以型号I 锚链为例，当水流方向与风速方向相同时，系统条件最差，分析在不同水深条件下的系泊系统设计。

由题中已知条件确定系统设计的限制条件，对系统各物体进行受力分析，以使整体结果最小，即可得出最优的系泊系统设计。

#》关键词：悬链线多目标非线性规划@一、问题重述近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成（如图1所示）。

某型传输节点的浮标系统可简化为底面直径2m、高2m的圆柱体，浮标的质量为1000kg。

系泊系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。

锚的质量为600kg，锚链选用无档普通链环，近浅海观测网的常用型号及其参数在附表中列出。

钢管共4节，每节长度1m，直径为50mm，每节钢管的质量为10kg。

要求锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过16度，否则锚会被拖行，致使节点移位丢失。

水声通讯系统安装在一个长1m、外径30cm 的密封圆柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为100kg。

钢桶上接第4节钢管，下接电焊锚链。

钢桶竖直时，水声通讯设备的工作效果最佳。

若钢桶倾斜，则影响设备的工作效果。

钢桶的倾斜角度（钢桶与竖直线的夹角）超过5度时，设备的工作效果较差。

为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球。

系泊系统的设计问题就是确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。

问题1某型传输节点选用II型电焊锚链，选用的重物球的质量为1200kg。

现将该型传输节点布放在水深18m、海床平坦、海水密度为×103kg/m3的海域。

若海水静止，分别计算海面风速为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。

|问题2在问题1的假设下，计算海面风速为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。

请调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度。

问题3 由于潮汐等因素的影响，布放海域的实测水深介于16m~20m之间。

布放点的海水速度最大可达到s、风速最大可达到36m/s。

请给出考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。

二、模型假设1.不考虑流体对锚链的作用，忽略锚链本身的伸长，锚链沿长度均匀分布；2.假设风是二维的，只存在平行于水平面的风速，不存在垂直方向上的分量；三、符号说明四、问题分析问题一分析…问题一对于系泊系统的受力物体进行分析，分别对系统中的受力物体在水平方向和竖直方向上的力进行分析，找出锚链对锚无拉力时的临界风速，运用力矩平衡求出钢管与钢桶的倾斜角度。

对于锚链，将其等效为悬链线模型，根据风速不同判断锚链的状态，从而求出结果。

问题二分析⁄时能够正常工作。

为问题二需要调节重物球的质量，使通讯设备在36m m了确定重物球的质量，首先将实际风速与临界风速进行比较，判断此时系统中各物体的状态，并与已知数据进行比较。

在钢桶倾斜角度达到临界角度时，计算锚链与海床的夹角并与题目要求进行比较，计算重物球的质量。

在浮标完全没入海面时，计算相应条件下重物球的质量，综合确定满足条件的重物球的质量范围。

4.3问题三分析问题三要求在不同条件下，求出系泊系统中各物体的状态。

以型号I锚链为例，当水流方向与风速方向相同时，系统条件最差，分析在不同水深条件下的系泊系统设计。

由题中已知条件确定系统设计的限制条件，对系统各物体进行受力分析，以使整体结果最小，即可得出最优的系泊系统设计。

五、模型建立与求解问题一模型[问题分析问题一, 系泊系统整体受力平衡，浮标受到恒定风力时，分别对系统中的受力物体在水平方向和竖直方向上的力进行分析，找出锚链对锚无拉力时的临界风速，运用力矩平衡求出钢管与钢桶的倾斜角度。

对于锚链，将其等效为悬链线模型，根据风速不同判断锚链的状态，最后利用力矩平衡求出钢管与钢桶的倾斜角度,从而求出结果。

模型建立Step1.系泊系统受力分析对于浮标，它受到水的浮力，自身重力，风载荷及第一根钢管对浮标的力。

此题中海水静止，故所有近海水流力为0。

将钢管对浮标的力在分别水平方向和竖直方向上进行分解，具体受力如图所示，由浮标所受的力平衡得到：}图浮标受力分析图{m m,0=m风+m0（水平方向）m m,0=m浮0−m0（竖直方向）￥式中，m m,0、m m,0分别为钢管对浮标的力再水平方向和竖直方向的分立。

对于钢管，将第一节钢管对浮标的力设为m0，后续第k+1节钢管对第k节钢管的力为F m，将钢管的力进行分解，钢管的受力情况如图所示，因此：！{图钢管受力分析图{m m,m=m m,m+1+m m（水平方向）m m,m+m浮=m m,m+1+m（竖直方向）式中，F浮为钢管收到的浮力，由于钢管体积较小，在水中钢管的浮力与重力相比很小，可忽略不计；m m,m，m m,m分别为第k跟钢管对前一根钢管在水平方向和竖直方向的分力。

对于钢桶，它受到第四根钢管的力，水的浮力，自身重力以及锚链的拉力和重物球的拉力，具体受力如图所示，则：>'图钢桶受力分析图{m m,m+1=m m,m+m1（水平方向）m浮1+m浮2+mm,m=m m,m+1+m1+m2（竖直方向）式中，F m,m+1和F m,m+1分别表示锚链的拉力在水平方向和竖直方向上的分力。

对于系泊系统，由浮标、钢管和钢桶得水平受力分析可得：m风=mm,0=m m,1=m m,2=m m,3=m m,4=m m,5=0.625×mm2其中，S为物体在风向法平面的投影面积，v为风速。

由竖直方向受力分析得：)m m,0=m浮0−m0m m,0=m m,1+mm m,1=m m,2+mm m,2=m m,3+mm m,3=m m,4+mm浮1+m浮2+mm,4=m m,5+m1+m2设浮标的吃水深度为h，则：m浮0=mmmm2m）m0=m0mm=mmm2=m2mm浮1=mmmm22m0m浮2=mmm2m重其中，m为海水密度，题中为1.025×103mm m3⁄；m为重力加速度，本题取9.8m m2⁄；m为浮标底面积半径，本题中为1m；m0为浮标质量，为1000kg；m 为每节钢管的质量，为10kg；m2为重物球的质量，本题中为1200kg，m2为钢桶底面半径，m0为钢桶的长度，钢管长度与钢桶相等。

将重物球当作铁球处理，则重物球的密度为ρ重=7.86×103mm m3⁄，由题中已知条件可知，可以递推出：m m,0=mmmm2m−1000m \m m,1=mmmm2m−1010mm m ,2=mmmm 2m −1020m m m ,3=mmmm 2m −1030mm m ,4=mmmm 2m −1040mm m ,5=mmmm 2m −1140m −m 2m +mm m 2m 重+mmmm 22m 0Step2. 悬链线模型对于锚链，假设其质量分布均匀，可以将锚链作为悬链线处理，从而做出以下分析,由静力学平衡条件可知，在坐标系中，锚链水平分立和垂直分力的代数和为0，可以得到：{m mmmmm =m 3+m m m m mmmm =m m·图 锚链受力分析图式中，m m 表示锚链对钢桶的拉力，m m 、m m 分别表示锚链的水平分力与竖直分力，m 3表示锚链的重力，m 为锚链任一点与水平方向的夹角。

因此，可推导出：{m m mmmm =mmm +m m m m mmmm =m mm 表示锚链单位长度的质量，即线密度；m 为锚链在水中未触碰海底的长度。

由曲线几何关系和力学关系及悬链线模型可求得，导线任一点的斜率为：mm mm=mmmm =mmm +m mm mmm =1√1+(mmm +m m m m)2mm =mmm +m mmm√1+(mmm +m m m m)2，式中,x、y分别表示锚链在水平方向和竖直方向的投影长度。

对两式分别进行积分，并用临界点数据(m=0,m=0)来确定积分常数，则可得，m=m msh−1(mmm+m mm)−m0m1m=m mmm(√1+(mmm+m mm m)2−1)+m2进一步可求得方程：m=m m sh(mmm m m)−m mmmm=m0mmmm(mm0+m1)+m2其中m0=m m mm*m1=mmmm−1(m m m m)m2=−m0mmmm(m1) Step3.力矩分析平衡对于钢管，由于钢管的力矩平衡，可以得到：m0mmmm m(m m,m+m m,m+1)=m0mmmm m(m m,m+m m,m+1+m m,水)其中，m m表示分别表示第k根钢管的倾斜角度，mm,水为水流对钢管的力，则：mmmm m=m m,m+m m,m+1+m m,水m,m+m m,m+1即为：￥mmmm1=m m,0+m m,1+m1,水m,0+m m,1mmmm2=m m,1+m m,2+m2,水m m,1+m m,2mmmm3=m m,2+m m,3+m3,水m m,2+m m,3mmmm4=m m,3+m m,4+m4,水m m,3+m m,4式中，m m分别是钢管的倾斜角度（k取1，2，3，4），根据题中的数值，可以得到以下公式：mmmm1=m风mmmm2m−1005mmmmm2=m风mmmm2m−1015mmmmm3=m风mmmm2m−1025m…mmmm4=m风mmmm2m−1035m代入数值后可求出钢管相应的倾斜角度。

对于钢桶，由钢桶的力矩平衡，可以得到：m0mmmm5(m m,m+m m,m+1+m2−F浮2)=m02mmmm5(m m,m+m m,m+1+m m,水)其中，m5表示分别表示钢桶的倾斜角度，于是：mmmm5=m m,4+m m,5+m1m m,4+m m,5+m2−F浮2带入数值得：mmmm5=m风mmmm2m−100m+mmm2m重+mmmm22m0#式中，m5是钢桶的倾斜角度，由题中给出的数据可以计算出钢桶的倾斜角度。